LICEO “TAJAMAR” PROVIDENCIA Depto. Matemática. NIVEL: PRIMER AÑO MEDIO, FORMACIÓN GENERAL...

LICEO “TAJAMAR”PROVIDENCIADepto. Matemática

NIVEL: PRIMER AÑO MEDIO, FORMACIÓN GENERAL

• Sector: Matemática

• Jefe Departamento: Lautaro Opazo S.

• NIVEL: PRIMER AÑO MEDIO, FORMACIÓN GENERAL

• Profesor(es) responsable actividad: Carmen Quintanilla Ramos

• Correo electrónico: [email protected]

• Correos electrónicos de los profesores de matemática: [email protected], [email protected] ,[email protected]

• Fecha 10/2011

• Nombre Unidad Temática: Algebra

• Contenidos a desarrollar en la Guía de Aprendizaje (CMO):

• - Multiplicación de Expresiones Algebraicas

• - Productos Notables

• Objetivo de Aprendizaje:

• - Multiplicar Expresiones Algebraicas

• - Resolver Productos Notables

•

• Breve descripción de Guía de Aprendizaje y documentos de apoyo asociados (PPT, PDF, lecturas asociadas):

• Lectura del power

• Desarrollar guías de ejercicios

•

• Trabajo Individual o grupal : • Desarrollo de guía por grupos de 3 o 4 integrantes• Fecha máxima para la entrega de las respuestas

de las alumnas: • Siete días desde la fecha en que las Guías estén a

disposición de las

• alumnas en la plataforma virtual.

Multiplicación

• La multiplicación es una operación, donde dadas dos cantidades llamadas factores, se halla una tercera cantidad llamada producto.

• Los símbolos para indicar la multiplicación son : x, ( ), ∙

Multiplicación

• Cuando los factores son literales se usan los dos últimos símbolos o ninguno

• Por ejemplo

• ab = (a) (b) ó ab = a ∙ b

Propiedades de la Multiplicación

• 1) Unicidad: El producto de dos o más factores es único.

• Ejemplo:

• El producto de 3 y 7

• es siempre 21


• 2) Conmutatividad: El orden de los factores no alteran el producto.

• Ejemplo:

• (4)(5) = (5)(4)

• 20 = 20

Propiedades de la Multiplicación• 3) Asociatividad: En la multiplicación de

tres o más cantidades, los factores pueden agruparse de cualquier modo obteniéndose el mismo resultado.

• Ejemplo:

• 3 ∙ (4 ∙ 5) = (3 ∙ 4) ∙ 5

• 3 ∙ 20 = 12 ∙ 5

• 60 = 60


• 4) Distributividad: El producto de una cantidad por la suma de otros dos es igual a la suma de los productos de la primera cantidad por cada una de las otras dos.


• Ejemplo:

• 5 ∙ (4 + 6) = 5 ∙ 4 + 5 ∙ 6

• 5 ∙ 10 = 20 + 30

• 50 = 50

Propiedades de la Multiplicación• 5) Neutro multiplicativo: El producto

de cualquier cantidad por 1 es la misma cantidad.

• Ejemplo:

• 3 ∙ 1 = 3

• 250 ∙ 1 = 250

• 1 ∙ 403 = 403


• 6) Multiplicación por cero ( 0 ) :

• El producto de cualquier cantidad por cero es cero

• Ejemplo:

• 5 ∙ 0 = 0

• 0 ∙ 12 = 0


• 7) Producto Nulo: Si el producto de dos o más cantidades es cero, por lo menos una de ellas es cero.

• Si a ∙ b = 0, entonces a = 0 ó b = 0

• o bien a = b = 0

Leyes de los Signos

• 1) El producto de dos cantidades del mismo signo es positivo

• + ∙ + = +

• ─ ∙ ─ = +

Leyes de los Signos

• 2) El producto de dos cantidades de diferentes signos es siempre negativo.

• + ∙ ─ = ─

• ─ ∙ + = ─

Leyes de los Signos

• 3) El signo del producto de varios factores es positivo cuando tiene un número par de factores negativos o ninguno.

• Ejemplo:

• 5 ∙ 3 ∙ 6 = 90

• ─ 3 ∙ 4 ∙ ─ 5 ∙ 6 = 360

• - 3 ∙ - 4 ∙ - 5 ∙ - 6 = 360

Leyes de los Signos

• 4) El signo del producto de varios factores es negativo cuando tiene un número impar de factores negativos.

• Ejemplo:

• - 3 ∙ - 4 ∙ - 5 = - 60

• - 6 ∙ - 2 ∙ - 1 = - 12

Signos de Agrupación• En álgebra se utilizan los signos de agrupación

para indicar con mayor claridad las operaciones que se efectúan.

• Los paréntesis se llaman signos de agrupación porque se usan para

• encerrar o incluir una expresión • que representa un número en particular, • es decir, para• considerar dicha expresión como • un todo

Signos de Agrupación

• Algunas expresiones algebraicas pueden necesitar dos o más conjuntos de paréntesis para indicar las operaciones necesarias.

• Por tal razón además de paréntesis redondos

• ( ) se usa el de corchetes [ ] y el de

• llaves { } para lograr mayor

• claridad entre las operaciones

Orden de las Operaciones

• En el lenguaje matemático son importantes los signos de operación y de agrupación para darle exactitud y claridad a las proposiciones.

• Es por eso que se establece un

• orden de operaciones, para evitar

• ambigüedades.

Orden de las Operaciones• 1) Primero se debe simplificar la expresión

dentro de los signo de agrupación, comenzando con los más interiores.

• 2) Se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparezcan

• a partir de la izquierda.

• 3) Finalmente se efectúan

• las sumas algebraicas

Orden de las Operaciones• También es conveniente tener presente

algunas propiedades del Álgebra de potencias, como por ejemplo multiplicación de potencias:

•

Multiplicación

• En la multiplicación de polinomios distinguiremos tres casos:

• Monomio por Monomio

• Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí,

• haciendo uso del álgebra

• de potencias.

Multiplicación

• Monomio por PolinomioSe multiplica el monomio por cada término del polinomio. Dicho de otra forma se distribuye con respecto a cada término del polinomio.

Multiplicación

• Polinomio por Polinomio

• Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay.

MultiplicaciónMonomio por Monomio a ∙ b = b ∙ a

Monomio por binomio a (c + d) = a ∙ c + a ∙ d

Binomio por binomio (a + b) (c + d) = a ∙ c + a ∙ d + b ∙ c + b ∙ d

Polinomio por polinomio (a + b + c + d)(e + f + g + h + j)

= a (e + f + g + h + j) + b (e + f + g + h + j) + c (e + f + g + h + j) + d ( e + f + g + h + j)

= a∙e + a∙f + a∙g + a∙h + a∙j + b∙e + b∙f + b∙g + b∙h + b∙j + c∙e + c∙f + + c∙g + c∙h + c∙j + d∙e + d∙f + d∙g + d∙h + d∙j

Ejemplos• 1) (2x3) · (5x3) = 2 ∙5 ∙

• = 10x6

• 2) (12x3) · (4x) = 12∙ 4 ∙

• = 48x4

• 3) 5 · (2x2 y3z) = 5 ∙ 2 ∙ x2 y3z

• = 10x2y3z

Ejemplos

• 4)(5x2y3z) · (2 y2z2) = 5 ∙ 2 ∙

• = 10x2y5z3

• 5)(18x3y2z5) · (6x3yz2) = 18 ∙ 6 ∙

• = 108x6y3z7

• 6)(−2x3) · (−5x) · (−3x2) =

• = - 2 ∙ - 5 ∙ -3 ∙

• = −30x6

• 7) (2x3)3 = 23 · (x3)3 = 2³ ∙

• = 8x9

• 8) (-3x2)3 = (-3)3 · (x3)2 = - 3³ ∙

• = −27x6

Ejemplos

Ejemplos

• 9)

• =

• =

• =

Ejemplos• 10) (x – 1)(x + 5) = x∙x + 5∙ x –1∙ x – 1∙5

• = x2 + 4x – 5

• 11) (2a + b)(3a – b)

• = 2a ∙ 3a – 2∙a∙b + 3∙a∙b – b∙ b

= 6a2 + ab – b2

• 12) (p + 2)(3p + 4)

• = p∙ 3p + 4p + 6p + 8

• = 3p2 + 10p + 8

Ejemplos

• 10) (x – 3)(3x – 4) – ( x – 3) 2x =• = 3 ∙ x ∙ x – 4 ∙ x – 3 ∙ 3x – 3 ∙ - 4 – (2x ∙ x – 3 ∙ 2x) • = 3 x² - 4x – 9x + 12 – (2 x² - 6x)• = 3 x² - 13x + 12 - 2x² + 6x• = x² - 7x + 12

Ejemplos• 11) (x + y + z)(x + 2y + 3z) =

• = x∙x + x∙2y + x∙3z + y∙x + y∙2y + y∙3z +

• + z∙x + z∙2y + z∙3z

• = x² + 2xy + 3xz + xy + 2y² + 3yz + xz +

• + 2yz + 3z²

• = x² + 2y² + 3z² + 3xy + 4xz + 5yz

Ejercicios• Desarrolle y Resuelve los siguientes enunciados,

reduce términos semejantes cuando lo amerite:• 1) 5x · 4x · -2x =• 2) 15x3y2z · 4xy2z · 3x2yz2 = • 3) -4x2y2 · -2x4y2 · 3x5y3 =• 4)–18pq3· -3p2q =• 5) z3n+2 · 3zn-2 =• 6) y2p-1 · y6 =

Ejercicios

• 7) 6 y2 · 12y =

• 8) –19m3n · -6m2n3 =

• 9) 3x3a+2 · - 4x4a-2 =

• 10) 7(a + b) =

• 11) 8(2x + 3y – 4z) =

• 12) 2a(4a + 2a2b + 3a2c) =

• 13) -3x(5x – 7x3y – 4x2y) =

• 14) –3ab(a2 - 2ab + b2) =

Ejercicios

• 15) –6xy2(3x2 – 5xy2 – 4x2y)=

• 16) 5(2x – 3y + 2z) + 3(5y – 3x – 2z) =

• 17) 8a(3a - 5y – 2z) – 6y(4a - 6y + 3z) =

• 18) 2(5a + 8b) – 3(3a2 - 5b) + 4a(a – 7b) =

• 19) 10 – 6(x – 5y) + 2(3x – 5 + 14y) =

• 20)(a + b)(a – b) =

• 21) (a + b)(a – 2b) + (a + b)(a + b) =

• 22) (x - 1)(x3 + x2 + x + 1) =

• 23) 2(x + 2)(x + 1) =

Ejercicios• 24) 4(a + 4)(a – 2) =

• 25) 26xy – (9x – 8y)(5x + 2y) – (4y – 3x)(15x + 4y) =

• 26) (2x + 3y + 4z)(5x + 2y + z) =

• 27) (2x – y + 3z)(4x + 2y – z) =

• 28) (x + 4)(x + 3)(x + 2) =

• 29) 8 – a2(10a + 3b) – [9 – 2(14a - 7b) - 4(3a - 9b)] =

• 30)(x – y)(x3 + x2y + xy2 + y3) =

Productos Notables

• Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección

Productos Notables

• Cuadrado de Binomio

• El cuadrado de binomio es igual al cuadrado del primer término más o menos el doble producto del primero por el segundo término y el cuadrado del segundo término

• (a + b)² = a² + 2ab + b²

• (a – b)² = a² - 2ab + b²

Productos Notables

• Suma por Diferencia

• El producto de la suma por la diferencia entre dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo.

• ( a + b) ∙ (a – b) = a² - b²

Productos Notables

• Cubo de Binomio

• El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más o menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo término, más el triple del primero por el cuadrado del segundo,

• más o menos el cubo del

• segundo término

Productos Notables

• Cubo de Binomio

• (a + b)³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³

• (a - b)³ = a³ - 3a² b + 3ab² - b³

Productos Notables• Binomios con término común

• El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término común, más el producto del término común con la suma algebraica

• de los otros dos términos,

• más el producto de los términos

• no comunes.

Productos Notables

• Binomio con término común

• (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

Productos Notables • Trinomio al cuadrado

• (x + y + z)² = x² + y² + z² +2xy + 2xz + 2yz

Ejemplos: Cuadrado de Binomio• 1.- (m + n)² = (m)² + 2(m)(n) + (n)²

• = m² + 2mn + n²

•2.- (5x – 7y)² = (5x)² + 2(5x)(-7y) + (-7y)²

• = 25x² – 70xy + 49y²

• 3.- (ab – 1)² = (ab)² + 2(ab)(-1) + (-1)²

• = a²b² – 2ab + 1

• 4.- (3a³ + 5ab)² = (3a³)² + 2(3a³)(5ab) + (5ab)²

• = 9 a6 + 30 a 4 b + 25a²b²

Ejemplos Cuadrado de Binomio

• 5) (x + 5)² = x² + 10x + 25

• 6) (8 – a)² = 64 – 16 a + a²

• 7) (2x - 5)2 = 4x2 - 20 x + 25

Ejemplos Suma por Diferencia

• 1) (3x - 2) · (3x + 2) =

• = (3x)2 − 22

• = 9x2 − 4

• 2) (3x - 5) · (3x - 5) =

• = (3x) 2 − 52

• = 9x 2 − 25

Ejemplos Suma por su diferencia

• 3) (a + 9) (a – 9) = a² - 81

• 4) (2 a + 3)(2 a – 3) = 4 a² - 9

• 5) (m – n )( m + n ) = m² - n²

• 6) (p – q) (p + q) = p² - q²

Ejemplos Cubo de Binomio

• 11) (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33

• = 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

• 12) (x + 2)3 = x 3 + 3 · x2 ·2 + 3 · x· 2 2 + 23

• = x3 + 6 x2 + 12 x + 8

• 13) (3x - 2)3 = (3 x)3 − 3 · (3x)2 ·2 + 3 · 3x· 2 2 − 23

• = 27x 3 − 54 x2 + 36 x − 8

• 14) (2x + 5)3

• = (2 x)3 + 3 ·(2x)2 ·5 + 3 · 2x· 52 + 5 3

= 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125

Ejemplos Binomio con término común

• 1) (x + 2)(x + 7 )

• = x2 + (2 + 7)x + (2)(7)

• a) El cuadrado del término común es

• (x)(x) = x2

• b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término

• común es (2 + 7)x = 9x


• c) El producto de los términos

• no comunes es (2)(7) = 14

• Entonces:

• (x + 2)(x + 7 ) = x2 + 9x + 14


• 2) (y + 9)(y - 4 )=y2 + (9 - 4)y + (9)(-4)

• a) El cuadrado del término común

• es (y)(y) = y2

• b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término

• común es (9 - 4)y = 5y


• c) El producto de los términos

• no comunes es (9)(-4) = -36

• Entonces:

• (y + 9)(y - 4 ) = y2 + 5y - 36


• 3) (x + 3) (x + 2) = x² + (3 + 2)x + 3 ∙ 2

• = x² + 5x + 6

• 4) (a + 8)(a – 7) = a² + (8 – 7)a + (8)(-7)

• = a² + a – 56

• 5) (p – 9)(p – 12)

• = p² + (- 9 – 12)p + (-9)(-12)

• = p² - 21p + 108

Ejercicios

• Desarrolla y resuelve los siguientes enunciados, reduce términos semejantes cuando lo amerite:

• 1) (1 – x)² =

• 2) (3x + 2y)² =

• 3) (5m – 2n)² =

• 4) (¼ a + ½ b)²

Ejercicios

• 5) (1 – 2p)(1 + 2p) =

• 6) (- 4a²b + 5b)(4a²b + 5b) =

• 7) (3m + 5n)(3m – 5n) =

• 8) (¾ x + ½ y)(¾ x - ½ y) =

• 9) (x – 1)³ =

• 10) (3m + 2n)³ =

• 11) (½ p - ¼ q)³

Ejercicios

• 12) (x – 5)(x + 2) =

• 13) (2y – 3a)(2y – a) =

• 14) (2z + 1)(2z - ½) =

• 15) (x² - 4)(x² - 9) =

• 16) (p – q)² - (p – q)(p + q) =

• 17) (m – 3)(4m – 4) – (m +2)³

Ejercicios

• 18) (t – 3)³ - (t + 2)³ =

• 19) (a + b +1)² =

• 20) (1 – x – y)² =

LICEO “TAJAMAR” PROVIDENCIA Depto. Matemática. NIVEL: PRIMER AÑO MEDIO, FORMACIÓN GENERAL...

Documents

Transcript of LICEO “TAJAMAR” PROVIDENCIA Depto. Matemática. NIVEL: PRIMER AÑO MEDIO, FORMACIÓN GENERAL...