Limit Es

Unidad 1

Lmites

Objetivos

Al inalizar la unidad, el alumno:Mostrar la convergencia o divergencia de funciones mediante el criterio

de lmite de una funcin en un punto.

Calcular lmites de funciones aplicando los teoremas correspondientes, dependiendo de la funcin que se trate.

Identiicar cundo una funcin tiene lmite o no, mediante el anlisis de lmites laterales.

Resolver ejercicios que involucren el lmite al ininito de funciones algebraicas, racionales y trascendentes.

Clculo diferencial e integral 17

Introduccin

La idea y el mtodo de los lmites de funciones surge en el siglo XIX como una

herramienta para acceder al entendimiento del clculo y anlisis matemtico,

desde entonces es considerado un elemento esencial de la matemtica. En esta

unidad se presentar el desarrollo de los lmites de funciones de la siguiente manera:

definicin de lmite, interpretacin geomtrica, procedimientos para calcular lmites,

as como los teoremas involucrados.

Comenzaremos recordando el concepto de funcin y ofreceremos algunas

nociones bsicas sobre las funciones, para dar paso al estudio del lmite de una

funcin y al clculo de lmites de funciones. En este tema la intuicin juega un

papel definitivo; as, hemos procurado evitar las formalizaciones rigurosas, pues

formalizar lo que muchas veces es claro intuitivamente, no aporta ms claridad.

Las funciones estn presentes en la vida cotidiana, a saber: el espacio que recorre

un mvil en funcin del tiempo, el crecimiento de una planta en funcin del tiempo,

el costo de cierto papel en funcin de la cantidad, el aumento o disminucin de la

temperatura del agua en funcin del tiempo, etctera.

Concepto de funcin

Definicin. Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una funcin definida en

el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le

asigna uno y slo un elemento de I, y se representa por f: D I.El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto

inicial, dominio de la funcin o campo de existencia de la funcin, y se representa por

Dom ( f ).

Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra x, y es la

variable independiente.

Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la funcin f, un elemento de

I que se representa por y y es la variable dependiente. Esto se expresa escribiendo

y = f (x).

El conjunto I es el contradominio o conjunto final y los elementos que son

imagen de algn elemento de D forman el conjunto imagen (Im( f )), rango de la

funcin o recorrido de la funcin ( f (D)):

f(D) = { f(x) | x D}

Unidad 118

Funcin real de variable real

Se llama funcin real de variable real a toda funcin definida en un subconjunto

D de los nmeros reales R, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y slo

un elemento y de R: se representa f: D R o x f (x) = yRepresentacin de una funcin

La representacin grfica de una funcin permite visualizar de un modo claro y

preciso su comportamiento. Una funcin f asigna a cada nmero x del conjunto origen

un nmero y = f (x) del conjunto imagen. Cada par de nmeros (x, f (x)) corresponde

a un punto del plano, que al ser ubicado en un sistema cartesiano da como resultado

la grfica de la funcin.

Operaciones con funciones

Suma de funciones. Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en

un mismo intervalo, se llama suma de ambas funciones y se representa por f + g a la

funcin definida por ( f +g) (x) = f (x) + g (x)

Resta de funciones. Del mismo modo que se ha definido la suma de

funciones, la resta de dos funciones reales de variable real f y g se define como

la funcin: ( f g) (x) = f (x) g (x). Para que esto sea posible es necesario que f y g

estn definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones. Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas

en un mismo intervalo, se llama funcin producto de f y g a la funcin definida por:

( f g) (x) = f (x) g (x)Cociente de funciones. Dadas dos funciones reales de variable real f y g definidas

en un mismo intervalo, se llama funcin cociente de f y g a la funcin definida por:

f

gx

f x

g x( )

( )

( )=

La funcin f /g est definida en todos los puntos en que la funcin g no se anula.

Producto de un nmero por una funcin. Dado un nmero real a y una funcin

f, el producto del nmero por la funcin es la funcin definida por:

(a f ) (x) = a f (x)


Composicin de funciones

Esta operacin ser de gran utilidad en las siguientes unidades, por lo cual se le

dar ms importancia.

Definicin. Dadas dos funciones reales de variable real f y g, se llama composicin

de las funciones f y g, y se escribe g o f ( f seguida de g), a la funcin definida de R

en R, por (g o f )(x) = g[ f (x)].

Donde

f: D( f )RR g: D(g)RR g o f:{xD( f )| f(x)D(g)}RRFunciones simtricas

Funciones pares. Una funcin f es par cuando cumple f (x) = f (x). Es decir,

las imgenes de valores de signo contrario coinciden. Por lo que la grfica de una

funcin par es simtrica respecto del eje y.

Funciones impares. Una funcin f es impar si cumple f (x) = f (x). A valores

opuestos de x corresponden imgenes de signo contrario. Por lo que la grfica de una

funcin impar es simtrica respecto al origen.

Funciones inversas. Dada una funcin f (x), si tiene inversa sta es otra funcin

designada por f 1 (x) de forma que se verifica: f (a) = b, si y slo si f 1(b) = a para toda

a en el dominio de f. Las grficas de la funcin y de su inversa son simtricas respecto

de la recta y = x.

1.1. Concepto de entorno

Antes de estudiar funciones especficas y ejemplos numricos se establecer la

siguiente definicin.

R R R

g o f

f g

Unidad 120

Definicin. Sea x0 R y > 0. Una vecindad o entorno de x

0 es un intervalo de la

forma (x0 , x

0 + ).

Figura 1.1

1.1.1. Lmite de una funcin en un punto

Idea intuitiva de lmite de una funcin en un punto. El lmite de una funcin y = f (x)

en un punto x0

es el valor al que tiende la funcin en puntos muy cercanos a x0.

Con frecuencia surgen situaciones de carcter fsico o geomtrico que dan lugar

a eventos que pueden ser relacionados con el lmite de una funcin determinada.

Algunas veces el valor de la funcin proporciona directamente el lmite, en otras el

lmite se intuye por las condiciones del problema. Asimismo, en varias ocasiones

el valor de la funcin no est definido, pero el lmite existe.

Definicin. Se dice que una funcin f (x) tiene como lmite a L en el punto x0, o

que su lmite en x0 es L y se escribe lim ( )

x xf x L =0 , cuando para toda > 0 existe

> 0 tal que si 0 < | x x0| < entonces | f(x) L | <

Ejemplo 1

Considera la funcin lineal y = 2x + 1, a qu valor se aproxima la funcin,

cuando x se aproxima al valor 3?

Solucin

Si se quiere estudiar el lmite de esta funcin cuando x tiende a 3, hay que

observar los valores que toma la funcin en puntos prximos a 3. Para ello se puede

elaborar la siguiente tabla de valores:


Tabla 1.1.

Observa que al tomar valores de x prximos a 3, ya sean mayores o menores, sus

imgenes se acercan al valor 7. Cuanto mayor es la proximidad de x a 3, mayor es la

proximidad de f (x) a 7.

Esto se expresa as: cuando x tiende a 3, el lmite de la funcin

y = 2x + 1 es 7, y se escribe de la siguiente forma:

lim ( )x

x + =3 2 1 7 Ejemplo 2

Calcula el lmite aproximado cuando x tiende a 2 de la funcin definida por:

f x x x( ) ,= 2 2 si Solucin

Para calcular el lmite de la funcin cuando x tiende a 2, puede elaborarse una

tabla de valores para puntos de abscisa prximos a 2:

Tabla 1.2.

Observa que al tomar valores de x prximos a 2, ya sean mayores o menores, sus

imgenes se acercan al valor 4. Cuanto mayor es la proximidad de x a 2, mayor es la

proximidad de f (x) a 4, esto es:

lim ( )x

f x =2 4

Unidad 122

1.1.2. Interpretacin geomtrica del lmite

La interpretacin geomtrica de una funcin es de gran utilidad ya que dadas las

caractersticas de una grfica se pueden conocer sus elementos; asimismo, conociendo

los elementos de una grfica se puede intuir su ecuacin. La definicin de lmite se

puede interpretar como sigue:

Una funcin f (x) tiene por lmite L en x0, si dada una vecindad de L ( , )L L +

existe una vecindad en x0, ( , )x x0 0 + , tal que para cualquier x x0 en la vecindad

de x0

la imagen f (x) est en la vecindad de L, ( , )L L + .

Geomtricamente tenemos que:

Figura 1.2.

1.2. Teoremas sobre lmites

Un hecho fundamental acerca de los lmites es que cumplen con ciertos

teoremas:

Sean f y g dos funciones tales que lim ( )x x

f x A =0 y lim ( )x x g x B =0 Lmite de una suma de funciones. El lmite de una suma de dos funciones es

igual a la suma de los lmites de cada una de ellas:

lim ( )( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x

f g x f x g x A B + = + = +0 0 0 Lmite de una resta de funciones. El lmite de una resta de dos funciones es

igual a la diferencia de los lmites de cada una de ellas:


f g x f x g x A B = = 0 0 0 Lmite de un producto de funciones. El lmite de un producto de dos funciones

es igual al producto de los lmites de cada una de ellas:


f g x f x g x A B = =0 0 0


Lmite de un cociente de funciones. El lmite del cociente de dos funciones es

igual al cociente de los lmites de cada una de ellas, si el denominador no es nulo:

lim ( )lim ( )

lim ( )x xx x

x x

f

gx

f x

g x

A

B

= =0 00

; esto slo si B 0

Ejemplo 3

Si f x x( ) = +2 2 y g xx

( ) = 1 , calcula:a) lim ( )( )

xf g x +3

b) lim ( )( )x

f g x 3 c) lim ( )( )

xf g x 3

d) lim ( )x

f

gx

3 Solucin

Se tiene que: lim ( )x

f x = + =3 23 2 11 ; asimismo, lim ( )x g x =3 13 , entonces:a) lim ( )( ) lim ( ) lim ( )

x x xf g x f x g x + = + = + =3 3 3 11 13 343

b) lim ( )( ) lim ( ) lim ( )x x x

f g x f x g x = = =3 3 3 11 13 323 c) lim ( )( ) lim ( ) lim ( )

x x xf g x f x g x = = =3 3 3 11 13 113

d) lim ( )x

f

gx

= =3 1113

33

Ejemplo 4

Calcula el lmite de 4 3 23x x , cuando x tiende a 1, esto es:

lim ( )x

x x 1 34 3 2

Unidad 124

Solucin

Se tiene que: lim ( ) ( ) ( )x

x x = = + = 1 3 34 3 2 4 1 3 1 2 4 3 2 3 Por lo tanto, lim ( )

xx x = 1 34 3 2 3

1.2.1. Formas determinadas e indeterminadas de lmites

Para saber si el lmite de una funcin se puede determinar o no, es necesario el

estudio de las funciones racionales, as como el entendimiento de las propiedades

que estas funciones cumplen, razn por la cual estudiaremos el clculo de lmites de

funciones racionales:

Clculo de lmites de funciones racionales. Una funcin racional es del tipo

f xP x

Q x( )

( )

( )= ; donde P(x) y Q(x) son polinomios. Ahora bien, se ver cmo obtener

el lmite de una funcin racional en un punto x0.

Puesto que una funcin racional es el cociente de dos polinomios, para calcular

su lmite puede aplicarse la regla para el clculo del lmite de un cociente de dos

funciones:

lim( )

( )

lim ( )

lim ( )x xx x

x x

P x

Q x

P x

Q x

=0

0

0

Tanto el lmite del numerador como el del denominador son lmites de funciones

polinmicas, cuyo clculo se explic en el apartado anterior.

Al calcular los lmites de las funciones racionales pueden presentarse varias

situaciones:

Caso 1. El lmite del denominador es distinto de cero: lim ( )x x

Q x 0 0 . En este caso, se calculan los lmites de P(x) y Q(x) como funciones polinmicas y se realiza

su cociente.

Caso 2. El lmite del denominador es cero: lim ( )x x

Q x =0 0 . En este caso, el denominador se anula en x

0. Por lo que lo estudiaremos de la siguiente forma.


a) El lmite del numerador y denominador es cero:

lim ( )x x

Q x =0 0 ; lim ( )x x P x =0 0 . En este el resultado es 00 , indeterminado.Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x

0) = 0 y P(x

0) = 0, x

0 es

raz de los polinomios P(x) y Q(x), entonces el cociente P x

Q x

( )

( ) se puede simplificar

antes de calcular los lmites.

b) El lmite del numerador es diferente de cero y el denominador es cero:

lim ( )x x

Q x =0 0 ; lim ( )x x P x 0 0 ; entonces: lim ( )( ) lim ( )x x x xP xQ x P x =0 0 0 .Para resolver esta indeterminacin ser necesario estudiar el apartado 1.2.2

referente a los lmites laterales de una funcin

f xP x

Q x( )

( )

( )= en el punto x

0

Si ambos lmites laterales son iguales, la funcin tiene por lmite su valor. Si no

son iguales, la funcin no tiene lmite.

Ejemplo 5

Calcula el lmite de la funcin f x x xx

( ) = 3 42 , cuando x0.Solucin

lim ( ) limlim( )

limx xx

x

f x x xx

x x

x = = =

0 0

20

2

0

3 43 4 0

0, indeterminado por lo que se

simplifican numerador y denominador:

lim ( ) lim lim( )

lim( )x x x x

f x x xx

x x

xx = = = 0 0 2 0 03 4 3 4 3 4 == 4 .

Ejemplo 6

Calcula el lmite de las siguientes funciones:

a) f x x

x( ) = +2 13 432 , cuando x tiende a 1.

Unidad 126

b) g x x x x

x x( ) = ++ 3 222 6 123 10 , cuando x tiende a 2.

Solucin

a) lim ( ) limlim( )

lim(x xx

x

f x x

x

x

x = + = 1 1 32 1

3

1

2

2 1

3 4

2 1

3 ++ =4 17) b) lim ( ) lim

x xg x

x x x

x x = ++ =2 2 3 222 6 123 10lim( )

lim( )

( ) ( )

(

x

x

x x x

x x

++ = ++23 2

2

2

3 2

2

2 6 12

3 10

2 2 2 6 2 12

2 3 22 10

0

0) =Esta indeterminacin se resuelve simplificando el cociente, para lo cual se

obtiene la factorizacin de los polinomios

P(x) = x3 2x2 6x +12 y Q(x) = x2 + 3x 10; esto es:

P(x) = x3 2x2 6x +12 = (x2) (x26);

asimismo,

Q(x) = x2 + 3x 10 = (x2) (x+5),

entonces, el lmite del cociente P(x)/Q(x) es:

1.2.2. Lmites laterales

Ahora examinaremos la condicin para que el lmite exista, con base en los

lmites laterales de una funcin.

El lmite por la izquierda de una funcin y = f (x), cuando x tiende a x0, es el

valor al que tiende la funcin para puntos prximos menores que x0. Para expresar el

lmite por la izquierda se escribe: lim ( )x x

f x 0 .El lmite por la derecha de una funcin y = f (x), cuando x tiende a x

0, es el valor

al que tiende la funcin para puntos prximos mayores que x0. Para expresar el lmite

por la derecha se escribe: lim ( )x x

f x +0 .

lim ( ) lim lim( )

x x xg x

x x x

x x

x

= ++ = 2 2 3 22 22 6 123 10 2 (( )( )( ) lim ( )( )xx x xxx2 2 262 5 65 27 + = + =


La relacin entre el lmite y los lmites laterales de una funcin es:

El lmite de una funcin y = f (x) existe en un punto x0 si y slo si existen los

lmites laterales, izquierda y derecha, y adems son iguales, esto es:

lim ( )x x

f x L =0 , si y slo si: lim ( )x x f x 0 = lim ( )x x f x +0 = LEjemplo 7

Calcula los lmites laterales de las siguientes funciones cuando x0 = 0

a) f xx

( ) = 12

b) g xx

( ) = 12

Solucin

a) Para calcular el lmite de la funcin f xx

( ) = 12

, hay que estudiar los valores

que toman las imgenes de puntos prximos a 0. De lo que se deduce que: para

valores prximos y menores que 0, la funcin toma valores cada vez mayores. Lo que

significa que:

lim ( ) limx x

f xx = = +0 0 21

Asimismo, para valores prximos mayores que 0, la funcin toma valores cada

vez mayores. Lo que significa que:

lim ( ) limx x

f xx + += = +0 0 21 . Por lo tanto, limx x = +0 21

b) Para la funcin g xx

( ) = 12

, el lmite de esta funcin en el punto x0 = 0 es

ya que para valores prximos a 0 y distintos de 0, tanto por la derecha como por la

izquierda, los valores que toma la funcin son cada vez menores.

Por lo tanto, limx x

= 0 21

Unidad 128

Ejemplo 8

Calcula el lmite de la funcin f xx

( ) = 1 1 , cuando x1.Solucin

Se tiene que: (

lim ( ) limlim( )

lim )x xx

x

f xx x

= = =1 1 11

11

1

1

1

0; indeterminado por lo que

se analizan los lmites laterales.

Para valores prximos mayores que 1, la funcin toma valores cada vez ms

grandes. Lo que significa:

(

lim ( ) limlim ( )

lim )x xx

x

f xx x + +

++= = = +1 1 111 1

1

1

Para valores prximos menores que 1, la funcin toma valores cada vez ms

chicos. Lo que significa:

(

lim ( ) limlim( )

lim )x xx

x

f xx x

= = = 1 1 11

11

1

1

Como los lmites laterales no coinciden, la funcin f (x) = 1/(x 1) no tiene lmite

cuando x tiende a 1.

Ejemplo 9

A qu valor se aproxima la funcin f xx

x x( )

,

,= 1 32 3 si si definida en R cuando x se aproxima a 3?

Solucin

Cuando x se aproxima a 3, tanto por la izquierda como por la derecha, la funcin

f (x) se aproxima al valor de uno. Por lo tanto, se intuye que:

lim ( )x

f x =3 1


Ejercicio 1

1. Calcula el limx

x

x2 242

2. Calcula el limx x +5 2 3 2

3. Calcula el limh

h

h++0 3 82

4. Calcula el limx

x x +12

24 8 5( )

5. Calcula el limt

t

t+

0

2 2

1.3. Lmite de una funcin cuando la variable

independiente tiende a infinito

Ahora examinaremos los lmites infinitos de funciones y daremos un criterio

para el clculo del lmite de funciones polinmicas, utilizando las propiedades

definidas con anterioridad.

Lmites infinitos de funciones. Para observar el lmite de una funcin cuando la

variable independiente tiende a , se estudiarn los siguientes lmites:a) lim ( )

xf x L = ; b) lim ( )x f x =

Lmites de funciones polinmicas. Una funcin polinmica es una funcin del

tipo: f x a a x a x a xnn( ) ...= + + + +0 1 2 2 . El lmite de una funcin polinmica en el

infinito es +o , dependiendo de que el coeficiente del trmino de mayor grado del polinomio sea positivo o negativo, esto es:

lim( ... )x

n

na a x a x a x + + + + = +0 1 2 2 ; si an > 0lim( ... )x

n

na a x a x a x + + + + = 0 1 2 2 ; si an < 0

Unidad 130

Ejemplo 10

Calcula los siguientes lmites:

a) limx

x

x 1b) lim )

xx + ( 5

Solucin

a) Dando valores cada vez ms grandes a la variable independiente de la funcin

f xx

x( ) = 1 , se observa que a medida que x toma valores cada vez mayores, la

funcin se aproxima ms a 1. Por lo tanto, el lmite de la funcin cuando x + es 1, lo que se escribe como:

lim ( ) limx x

f xx

x+ += = 1 1Ahora bien, a medida que x toma valores cada vez menores, la funcin se

aproxima ms a 1. Por lo tanto, el lmite de la funcin cuando x es tambin 1. lim ( ) limx x

f xx

x = = 1 1Por lo tanto, lim

x

x

x = 1 1b) De la funcin f (x) = x + 5, se ve claramente que cuando x+, la funcin

f(x) +. Es decir, a valores cada vez mayores de x, corresponden valores cada vez mayores de la funcin. Por lo tanto:

lim ( ) lim ( )x x

f x x+ += + = + 5Asimismo, cuando x toma valores cada vez menores, la funcin tambin toma

valores cada vez menores. Por lo tanto:

lim ( ) lim ( )x x

f x x = + = 5Entonces, lim

xx + = ( 5)


Ejemplo 11

Calcula los lmites siguientes:

a) lim )x

x x + + ( 4 35 2b) lim

xx x + 83 52 63

Solucin

a) Para ( ) + +4 35 2x x el coeficiente del trmino de mayor grado es 4, entonces: lim )x

x x + + = ( 4 35 2b) Para

8

3

5

263x x+ , el coeficiente del trmino de mayor grado 8/3 es positivo,

entonces: limx

x x + = + 83 52 63

1.3.1. Lmites de funciones racionales cuando la variable

tiende a infinito

En este apartado abordaremos otro caso particular de la obtencin de lmites de

funciones donde la variable tiende a , utilizando para esto las mismas reglas que en el caso anterior.

Lmite de una funcin racional. El lmite de una funcin racional cuando

x+, es igual al lmite del cociente de los trminos de mayor grado del numerador y denominador,

P x a a x a x a xnn( ) ...= + + + +0 1 2 2 y Q x b b x b x b xm m( ) ...= + + + +0 1 2 2 .

Entonces: lim( )

( )lim

...

...x xn

nP x

Q x

a a x a x a x

b b x b x b = + + + ++ + + +0 1 2 20 1 2 2 mm m x nn

m

mx

a x

b x= lim

El valor de este lmite depende del valor que tengan n y m:

Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m), el lmite es + si a

b

a

b

n

m

n

m

>

Unidad 132

Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador (n = m), el lmite es el cociente a

n/ b

m.Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (n < m), el

lmite es 0.

Ejemplo 12

Calcula el lmite de las funciones siguientes cuando x :a) f x

x x

x( ) = 3 2 542

b) g xx

x( ) = 32 54

Solucin

a) En este caso, el grado del numerador, 2, es mayor que el grado del denominador,

1, por lo tanto:

lim ( )x

f xx x

x+ = 3 2 542 = lim limx xxx x+ += = +3 312b) El grado del numerador es mayor que el grado del denominador y los trminos

de mayor grado tienen signos distintos, por lo tanto:

lim ( ) limx x

g xx

x = 32 54 = lim limx xxx x = = 32 1Ejemplo 13

Calcula los lmites siguientes:

a) limx

x x

x +3 2 54 42 2

b) limx

x x

x x + +23 14 3


Solucin

a) El grado del numerador es igual que el grado del denominador, por lo tanto:

limx

x x

x +3 2 54 42 2 = limx xx = 34 3422

b) El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por lo tanto:

limx

x x

x x + +23 14 3 = lim limx xxx x = =23 1 0

1.4. Lmites de funciones trascendentes cuando x

tiende a cero

En este apartado analizaremos las funciones trascendentes cuya variable tiende a

cero, para esto, iniciamos con la siguiente propiedad.

Dadas las funciones f (x) y g (x) tales que f x g x( ) ( ) , entonceslim limx x

f x g x ( ) ( ) o lim limx x x xo of x g x ( ) ( ) si estos lmites existen.Ahora bien, si f(x) g(x) h (x) y lim ( ) lim ( )

x x x xf x L h x = =0 0 , entonces,

lim ( )x x

g x L =0Ejemplo 14

Muestra que limx

x =0 0 sen .Solucin

De acuerdo con la f igura 1.3, si OP = 1 y el ngulo x > 0, se tiene que

OQ = cos x, PQ = sen x, PR = x, adems se observa que: sen x < x, como

x > 0, entonces, sen x x< .

Figura 1.3

Unidad 134

Por las propiedades anteriores tenemos que lim( ) lim limx x x

x x x 0 0 0sen por lo que se puede concluir que lim lim

x x x x =0 0 0 sen

donde limx

x =0 0senEjemplo 15

Utilizando la figura del problema anterior, muestra que lim x

x

=0 2 0senSolucin

En efecto sen senx

x2< y dado que lim( ) lim lim

x x xx

xx 0 0 02sen sen sen , tenemos

lim senx x

x

x =0 02 0sen lim .1.4.1. El nmero e

Definicin. Se denomina nmero e al lmite de la variable 11+ n

n

, cuando

n , lo que se escribe como limn

n

n e + = 1 1 .

Su valor con diez cifras decimales es:

e = 2.7182818284

Donde, por el criterio de convergencia, el nmero e satisface la desigualdad

2 e 3, es irracional y se puede calcular con la precisin que se requiera. Ejemplo 16

Calcula los siguientes lmites:

a) limn

n

n++ 1 1

5


b) limx

x

x + 1 13

Solucin

a) El lim limn

n

n

n

n n n+

+ = + + =

11

11

11

5 5

lim limn

n

nn ne e + + = =

11

11

1

5

.

Por lo tanto, limn

n

ne

++ = 1 15

b) El lim limx

x

x

x x

x x x x + = + + + 1 1 1 1 1 1 1 13

x

, luego entonces

lim lim limx

x

x

x

x

x

x x xe + + + = 1 1 1 1 1 1 ee e e = 3.

Por lo tanto, limx

x

xe + = 1 1

3

3.

Ejercicio 2

1. Calcula el limx x

5.

2. Calcula el limx

x

x++22 12 3 .

3. Calcula el limx

x ( )2 100 .4. Calcula el lim

x

x x

x x x+ + 100 400 74 7 1123 2 .

5. Calcula el limx

x

x +0 2csc

cos.

Unidad 136

Ejercicios resueltos

En cada uno de los siguientes ejercicios determina el lmite de la funcin cuando

su variable tiende al valor que se indica:

1. limx

x +3 22 1( )Solucin

Sustituyendo el valor de la variable en la funcin directamente se tiene:

limx

x + = + = + = + =3 2 22 1 2 3 1 2 9 1 18 1 19( ) ( ) ( ) , que es el lmite al que tiende la funcin cuando x tiende a 3.

2. limx

x

x+2 23 51

Solucin

Sustituyendo el valor de la variable en la funcin directamente se tiene

lim( )

( )x

x

x+ = + = + =2 2 23 51 3 2 52 1 6 54 1 15 , que es el valor del lmite.

3. limx

x

x1 3 11

Solucin

Observa que esta funcin no est definida cuando x = 1, porque cuando x

es 1 el numerador y el denominador son 0. No obstante, puedes preguntar: cmo se

comporta f (x) cuando x est cerca de 1 pero no es 1?

Ahora bien, considerando la identidad algebraica x x x x3 21 1 1 = + + ( )( ) ,

entonces, lim lim limx x x

x

x

x x x

xx x

= + + = + + = +1 3 1 2 1 2 211 1 11 1 1 1( )( ) ( ) ( ) ++ =1 3 , por lo tanto, el lmite de la funcin es 3.

4. limx

x x

x3 3 2231


Solucin

Sustituyendo el valor al que tiende x en la funcin resulta

limx

x x

x = = = =3 3 22 3 2231 3 3 31 3 27 271 9 08 0( ) ( )( ) , donde el lmite de la funcin es 0.

5. limx

x x

x x+ ++2 2 2 12

Solucin

Sustituyendo el valor al que tiende x en la funcin, se obtiene:

limx

x x

x x+ ++ = + ++ = + ++ =2 2 2 2212 2 2 12 2 2 4 2 14 4 78( )( ) ( ) , que es valor al que tiende el lmite en

la funcin dada.

6. limx a

x ax ( )2Solucin

Sustituyendo el valor al que tiende x en la funcin resulta:

limx a

x ax a a a a a = = =( ) ( )2 2 2 2 0 , que es el valor del lmite de la funcin.7. lim

x

x x

x

0

23

Solucin

Nota que esta funcin no est definida cuando x = 0, porque cuando x es 0,

el numerador y el denominador son 0. No obstante, tenemos todo el derecho de

preguntar: cmo se comporta f (x) cuando x est cerca de 0 pero no es 0?

Factorizando el numerador se obtiene x x( )3 1 ; luego, sustituyendo: lim lim limx x x

x x

x

x x

xx

= = ( )= = = 0

2

0 0

3 3 13 1 3 0 1 0 1 1

( )( ) , que es el valor del

lmite de la funcin cuando x tiende a cero.

8. limsen

tan0

Unidad 138

Solucin

Sustituyendo el valor al que tiende en la funcin se obtiene:lim

sen

tan

sen

tan = =0 00 00( )( ) , como se observa, al sustituir directamente el valor al que

tiende el ngulo la funcin se indefine al quedar un cociente de cero entre cero, por

lo que mediante identidades trigonomtricas se intentar encontrar el lmite de la

funcin si es que tiene.

De la trigonometra elemental se tiene que tansen

cos = , entonces, sustituyendo

en la expresin original se tiene

limsen

tanlim

sen

senlim

sen

senlim

= = =0 0 0

1

cos cos

= = =0 0 0 1sensen lim cos cos cos( ) , que es el valor del lmite de la funcin.

9. limx

x1 3( )Solucin

Sustituyendo el valor al que tiende x en la funcin resulta:

limx

x = = 1 3 31 1( ) ( ) , que es el valor del lmite de la funcin.10. lim

x

x

x+ +2 2 2 Solucin

Sustituyendo el valor al que tiende x en la funcin, resulta:

limx

x

x+ + = + = =2 2 22 22 2 44 1( ) , que es el lmite de la funcin.11. lim

x

x

x++1 3 11

Solucin

Nota que esta funcin no est definida cuando x =1, porque cuando x es 1,

el numerador y el denominador son 0. No obstante, podemos preguntar: cmo se

comporta f (x) cuando x est cerca de 1 pero no es 1?


Del lgebra se tiene la siguiente identidad: x x x x3 21 1 1+ = + +( )( ) , sustituyendo

en la expresin dada se obtiene:

lim lim limx x x

x

x

x x x

xx x

++ = + ++ = + = 1 3 1 2 1 211 1 11 1 1( )( ) ( ) ( )) ( )2 1 1 1 1 1 3 + = + + = ,que es el valor del lmite de la funcin.

12. Encuentra los lmites laterales en x = 0 de la funcin f xx x

xx( ) , ( )= + 2 0 .

Solucin

lim lim lim lim limx x x x x

x x

x

x

x

x

xx + + + + +

+ = + = + =0

2

0 0

2

0 01 1

lim lim lim lim limx x x x x

x x

x

x

x

x

xx

+ = + = + 0 2 0 0 2 0 01( ) ( )) = 1que son los lmites de la funcin por la derecha y por la izquierda.

13. limx x

7

Solucin

Como 7

71

x x= , cuando x toma valores muy grandes, 1x toma valores cada vez

ms pequeos, por lo que limx x =1 0 , por lo tanto, lim limx xx x = = ( )=7 7 1 7 0 0

En los siguientes ejercicios para calcular los lmites haremos uso del resultado

enunciado en la seccin 1.3.1.

14. limx

x

x2

Solucin

lim limx x

x

xx = = 2

Unidad 140

15. limx

x x

x x+ ++ 2 5 13 122

Solucin

limx

x x

x x+ ++ = =2 5 13 1 21 222 , lmite de la funcin dada.

16. limx

x x

x x + +4 2 16 5 23 23

Solucin

limx

x x

x x + + = =4 2 16 5 2 46 233 23 , que es el valor del lmite de la funcin.

17. limx

x x

x+ ++2 4 13

Solucin

limx

x x

x+ ++ = 2 4 13

18. Si f xx x

x x( )= + 2 33 1 3

limx

f x + ( )3Solucin

lim limx x

f x x + +( )= ( )= ( ) = =3 3 3 1 3 3 1 9 1 819. Si f x

x x

x x( )= + 2 33 1 3

limx

f x ( )3Solucin

lim limx x

f x x ( )= + = + =3 3 2 3 2 5


Ejercicios propuestos

1. Calcula el limh

x h x

h+

0

2 2( )

2. Calcula el limx xe + +0 111

3. Calcula el limctgx

x

x03 2

2

cos

4. Calcula el limx

x

x25 525

5. Calcula el limx

x x + ( )3

Unidad 142

Autoevaluacin

1. Calcula el limx

x

x+16 81 y selecciona la opcin correcta:

a) 8

17

b) 817

c) 815

d) 1

2

2. Calcula el lim senx

x x + + ( )3 8 y selecciona la opcin correcta:a) 2 8+b) 3 8+c) 4 8+d) 5 8+3. Calcula el lim

x

x x

x+1 4 35 2 y selecciona la opcin correcta:

a) 6

b) 4

c) 2

d) 2

4. Calcula el limx

x

x+9 2 819 y selecciona la opcin correcta:

a) 18

b) 14

c) 0

d) 18

5. Calcula el limx

x x +( )12 20 33 y selecciona la opcin correcta:a) Ninguna es correcta

b) 0

c) d)


6. Calcula el limx

x

x x + 3 15 722 y selecciona la opcin correcta:

a) 27

b) 3

c) 3

d) 27

7. Calcula el limtan

sen0 y selecciona la opcin correcta:

a) 1

b) 0

c) 1

d) 0.5

8. Calcula el limsen

x

x

x 0 y selecciona la opcin correcta:a) 2

b) 1

c) 0

d) 1

9. Calcula el limx

x x + ( )( )4 21 7 y selecciona la opcin correcta:a) b) 0

c) + d) Ninguna es correcta.

10. Calcula el limx

x

x+

0

4 2 y selecciona la opcin correcta:

a) b) 0

c) 1

8

d) 1

4


Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1) L = 4

2) L = 1

9

3) L = 4

4) L = 2

5) L = 2

4

Ejercicio 2

1) L = 0

2) L = 1

2

3) L = +4) L = 0

5) L = Respuestas a los ejercicios propuestos

1) L = 2x

2) L = 1

3) L = 0

4) L = 1

10

5) L = 0

Unidad 146

Respuestas a la autoevaluacin

1) L = 8

17

2) L = 3 8+3) L = 2

4) L = 18

5) L = 6) L = 3

7) L = 1

8) L = 1

9) L = 10) L =

1

4

Limit Es

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