Unidad 1
Lmites
Objetivos
Al inalizar la unidad, el alumno:Mostrar la convergencia o divergencia de funciones mediante el criterio
de lmite de una funcin en un punto.
Calcular lmites de funciones aplicando los teoremas correspondientes, dependiendo de la funcin que se trate.
Identiicar cundo una funcin tiene lmite o no, mediante el anlisis de lmites laterales.
Resolver ejercicios que involucren el lmite al ininito de funciones algebraicas, racionales y trascendentes.
Clculo diferencial e integral 17
Introduccin
La idea y el mtodo de los lmites de funciones surge en el siglo XIX como una
herramienta para acceder al entendimiento del clculo y anlisis matemtico,
desde entonces es considerado un elemento esencial de la matemtica. En esta
unidad se presentar el desarrollo de los lmites de funciones de la siguiente manera:
definicin de lmite, interpretacin geomtrica, procedimientos para calcular lmites,
as como los teoremas involucrados.
Comenzaremos recordando el concepto de funcin y ofreceremos algunas
nociones bsicas sobre las funciones, para dar paso al estudio del lmite de una
funcin y al clculo de lmites de funciones. En este tema la intuicin juega un
papel definitivo; as, hemos procurado evitar las formalizaciones rigurosas, pues
formalizar lo que muchas veces es claro intuitivamente, no aporta ms claridad.
Las funciones estn presentes en la vida cotidiana, a saber: el espacio que recorre
un mvil en funcin del tiempo, el crecimiento de una planta en funcin del tiempo,
el costo de cierto papel en funcin de la cantidad, el aumento o disminucin de la
temperatura del agua en funcin del tiempo, etctera.
Concepto de funcin
Definicin. Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una funcin definida en
el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le
asigna uno y slo un elemento de I, y se representa por f: D I.El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto
inicial, dominio de la funcin o campo de existencia de la funcin, y se representa por
Dom ( f ).
Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra x, y es la
variable independiente.
Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la funcin f, un elemento de
I que se representa por y y es la variable dependiente. Esto se expresa escribiendo
y = f (x).
El conjunto I es el contradominio o conjunto final y los elementos que son
imagen de algn elemento de D forman el conjunto imagen (Im( f )), rango de la
funcin o recorrido de la funcin ( f (D)):
f(D) = { f(x) | x D}
Unidad 118
Funcin real de variable real
Se llama funcin real de variable real a toda funcin definida en un subconjunto
D de los nmeros reales R, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y slo
un elemento y de R: se representa f: D R o x f (x) = yRepresentacin de una funcin
La representacin grfica de una funcin permite visualizar de un modo claro y
preciso su comportamiento. Una funcin f asigna a cada nmero x del conjunto origen
un nmero y = f (x) del conjunto imagen. Cada par de nmeros (x, f (x)) corresponde
a un punto del plano, que al ser ubicado en un sistema cartesiano da como resultado
la grfica de la funcin.
Operaciones con funciones
Suma de funciones. Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en
un mismo intervalo, se llama suma de ambas funciones y se representa por f + g a la
funcin definida por ( f +g) (x) = f (x) + g (x)
Resta de funciones. Del mismo modo que se ha definido la suma de
funciones, la resta de dos funciones reales de variable real f y g se define como
la funcin: ( f g) (x) = f (x) g (x). Para que esto sea posible es necesario que f y g
estn definidas en un mismo intervalo.
Producto de funciones. Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas
en un mismo intervalo, se llama funcin producto de f y g a la funcin definida por:
( f g) (x) = f (x) g (x)Cociente de funciones. Dadas dos funciones reales de variable real f y g definidas
en un mismo intervalo, se llama funcin cociente de f y g a la funcin definida por:
f
gx
f x
g x( )
( )
( )=
La funcin f /g est definida en todos los puntos en que la funcin g no se anula.
Producto de un nmero por una funcin. Dado un nmero real a y una funcin
f, el producto del nmero por la funcin es la funcin definida por:
(a f ) (x) = a f (x)
Clculo diferencial e integral 19
Composicin de funciones
Esta operacin ser de gran utilidad en las siguientes unidades, por lo cual se le
dar ms importancia.
Definicin. Dadas dos funciones reales de variable real f y g, se llama composicin
de las funciones f y g, y se escribe g o f ( f seguida de g), a la funcin definida de R
en R, por (g o f )(x) = g[ f (x)].
Donde
f: D( f )RR g: D(g)RR g o f:{xD( f )| f(x)D(g)}RRFunciones simtricas
Funciones pares. Una funcin f es par cuando cumple f (x) = f (x). Es decir,
las imgenes de valores de signo contrario coinciden. Por lo que la grfica de una
funcin par es simtrica respecto del eje y.
Funciones impares. Una funcin f es impar si cumple f (x) = f (x). A valores
opuestos de x corresponden imgenes de signo contrario. Por lo que la grfica de una
funcin impar es simtrica respecto al origen.
Funciones inversas. Dada una funcin f (x), si tiene inversa sta es otra funcin
designada por f 1 (x) de forma que se verifica: f (a) = b, si y slo si f 1(b) = a para toda
a en el dominio de f. Las grficas de la funcin y de su inversa son simtricas respecto
de la recta y = x.
1.1. Concepto de entorno
Antes de estudiar funciones especficas y ejemplos numricos se establecer la
siguiente definicin.
R R R
g o f
f g
Unidad 120
Definicin. Sea x0 R y > 0. Una vecindad o entorno de x
0 es un intervalo de la
forma (x0 , x
0 + ).
Figura 1.1
1.1.1. Lmite de una funcin en un punto
Idea intuitiva de lmite de una funcin en un punto. El lmite de una funcin y = f (x)
en un punto x0
es el valor al que tiende la funcin en puntos muy cercanos a x0.
Con frecuencia surgen situaciones de carcter fsico o geomtrico que dan lugar
a eventos que pueden ser relacionados con el lmite de una funcin determinada.
Algunas veces el valor de la funcin proporciona directamente el lmite, en otras el
lmite se intuye por las condiciones del problema. Asimismo, en varias ocasiones
el valor de la funcin no est definido, pero el lmite existe.
Definicin. Se dice que una funcin f (x) tiene como lmite a L en el punto x0, o
que su lmite en x0 es L y se escribe lim ( )
x xf x L =0 , cuando para toda > 0 existe
> 0 tal que si 0 < | x x0| < entonces | f(x) L | <
Ejemplo 1
Considera la funcin lineal y = 2x + 1, a qu valor se aproxima la funcin,
cuando x se aproxima al valor 3?
Solucin
Si se quiere estudiar el lmite de esta funcin cuando x tiende a 3, hay que
observar los valores que toma la funcin en puntos prximos a 3. Para ello se puede
elaborar la siguiente tabla de valores:
Clculo diferencial e integral 21
Tabla 1.1.
Observa que al tomar valores de x prximos a 3, ya sean mayores o menores, sus
imgenes se acercan al valor 7. Cuanto mayor es la proximidad de x a 3, mayor es la
proximidad de f (x) a 7.
Esto se expresa as: cuando x tiende a 3, el lmite de la funcin
y = 2x + 1 es 7, y se escribe de la siguiente forma:
lim ( )x
x + =3 2 1 7 Ejemplo 2
Calcula el lmite aproximado cuando x tiende a 2 de la funcin definida por:
f x x x( ) ,= 2 2 si Solucin
Para calcular el lmite de la funcin cuando x tiende a 2, puede elaborarse una
tabla de valores para puntos de abscisa prximos a 2:
Tabla 1.2.
Observa que al tomar valores de x prximos a 2, ya sean mayores o menores, sus
imgenes se acercan al valor 4. Cuanto mayor es la proximidad de x a 2, mayor es la
proximidad de f (x) a 4, esto es:
lim ( )x
f x =2 4
Unidad 122
1.1.2. Interpretacin geomtrica del lmite
La interpretacin geomtrica de una funcin es de gran utilidad ya que dadas las
caractersticas de una grfica se pueden conocer sus elementos; asimismo, conociendo
los elementos de una grfica se puede intuir su ecuacin. La definicin de lmite se
puede interpretar como sigue:
Una funcin f (x) tiene por lmite L en x0, si dada una vecindad de L ( , )L L +
existe una vecindad en x0, ( , )x x0 0 + , tal que para cualquier x x0 en la vecindad
de x0
la imagen f (x) est en la vecindad de L, ( , )L L + .
Geomtricamente tenemos que:
Figura 1.2.
1.2. Teoremas sobre lmites
Un hecho fundamental acerca de los lmites es que cumplen con ciertos
teoremas:
Sean f y g dos funciones tales que lim ( )x x
f x A =0 y lim ( )x x g x B =0 Lmite de una suma de funciones. El lmite de una suma de dos funciones es
igual a la suma de los lmites de cada una de ellas:
lim ( )( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x
f g x f x g x A B + = + = +0 0 0 Lmite de una resta de funciones. El lmite de una resta de dos funciones es
igual a la diferencia de los lmites de cada una de ellas:
lim ( )( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x
f g x f x g x A B = = 0 0 0 Lmite de un producto de funciones. El lmite de un producto de dos funciones
es igual al producto de los lmites de cada una de ellas:
lim ( )( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x
f g x f x g x A B = =0 0 0
Clculo diferencial e integral 23
Lmite de un cociente de funciones. El lmite del cociente de dos funciones es
igual al cociente de los lmites de cada una de ellas, si el denominador no es nulo:
lim ( )lim ( )
lim ( )x xx x
x x
f
gx
f x
g x
A
B
= =0 00
; esto slo si B 0
Ejemplo 3
Si f x x( ) = +2 2 y g xx
( ) = 1 , calcula:a) lim ( )( )
xf g x +3
b) lim ( )( )x
f g x 3 c) lim ( )( )
xf g x 3
d) lim ( )x
f
gx
3 Solucin
Se tiene que: lim ( )x
f x = + =3 23 2 11 ; asimismo, lim ( )x g x =3 13 , entonces:a) lim ( )( ) lim ( ) lim ( )
x x xf g x f x g x + = + = + =3 3 3 11 13 343
b) lim ( )( ) lim ( ) lim ( )x x x
f g x f x g x = = =3 3 3 11 13 323 c) lim ( )( ) lim ( ) lim ( )
x x xf g x f x g x = = =3 3 3 11 13 113
d) lim ( )x
f
gx
= =3 1113
33
Ejemplo 4
Calcula el lmite de 4 3 23x x , cuando x tiende a 1, esto es:
lim ( )x
x x 1 34 3 2
Unidad 124
Solucin
Se tiene que: lim ( ) ( ) ( )x
x x = = + = 1 3 34 3 2 4 1 3 1 2 4 3 2 3 Por lo tanto, lim ( )
xx x = 1 34 3 2 3
1.2.1. Formas determinadas e indeterminadas de lmites
Para saber si el lmite de una funcin se puede determinar o no, es necesario el
estudio de las funciones racionales, as como el entendimiento de las propiedades
que estas funciones cumplen, razn por la cual estudiaremos el clculo de lmites de
funciones racionales:
Clculo de lmites de funciones racionales. Una funcin racional es del tipo
f xP x
Q x( )
( )
( )= ; donde P(x) y Q(x) son polinomios. Ahora bien, se ver cmo obtener
el lmite de una funcin racional en un punto x0.
Puesto que una funcin racional es el cociente de dos polinomios, para calcular
su lmite puede aplicarse la regla para el clculo del lmite de un cociente de dos
funciones:
lim( )
( )
lim ( )
lim ( )x xx x
x x
P x
Q x
P x
Q x
=0
0
0
Tanto el lmite del numerador como el del denominador son lmites de funciones
polinmicas, cuyo clculo se explic en el apartado anterior.
Al calcular los lmites de las funciones racionales pueden presentarse varias
situaciones:
Caso 1. El lmite del denominador es distinto de cero: lim ( )x x
Q x 0 0 . En este caso, se calculan los lmites de P(x) y Q(x) como funciones polinmicas y se realiza
su cociente.
Caso 2. El lmite del denominador es cero: lim ( )x x
Q x =0 0 . En este caso, el denominador se anula en x
0. Por lo que lo estudiaremos de la siguiente forma.
Clculo diferencial e integral 25
a) El lmite del numerador y denominador es cero:
lim ( )x x
Q x =0 0 ; lim ( )x x P x =0 0 . En este el resultado es 00 , indeterminado.Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x
0) = 0 y P(x
0) = 0, x
0 es
raz de los polinomios P(x) y Q(x), entonces el cociente P x
Q x
( )
( ) se puede simplificar
antes de calcular los lmites.
b) El lmite del numerador es diferente de cero y el denominador es cero:
lim ( )x x
Q x =0 0 ; lim ( )x x P x 0 0 ; entonces: lim ( )( ) lim ( )x x x xP xQ x P x =0 0 0 .Para resolver esta indeterminacin ser necesario estudiar el apartado 1.2.2
referente a los lmites laterales de una funcin
f xP x
Q x( )
( )
( )= en el punto x
0
Si ambos lmites laterales son iguales, la funcin tiene por lmite su valor. Si no
son iguales, la funcin no tiene lmite.
Ejemplo 5
Calcula el lmite de la funcin f x x xx
( ) = 3 42 , cuando x0.Solucin
lim ( ) limlim( )
limx xx
x
f x x xx
x x
x = = =
0 0
20
2
0
3 43 4 0
0, indeterminado por lo que se
simplifican numerador y denominador:
lim ( ) lim lim( )
lim( )x x x x
f x x xx
x x
xx = = = 0 0 2 0 03 4 3 4 3 4 == 4 .
Ejemplo 6
Calcula el lmite de las siguientes funciones:
a) f x x
x( ) = +2 13 432 , cuando x tiende a 1.
Unidad 126
b) g x x x x
x x( ) = ++ 3 222 6 123 10 , cuando x tiende a 2.
Solucin
a) lim ( ) limlim( )
lim(x xx
x
f x x
x
x
x = + = 1 1 32 1
3
1
2
2 1
3 4
2 1
3 ++ =4 17) b) lim ( ) lim
x xg x
x x x
x x = ++ =2 2 3 222 6 123 10lim( )
lim( )
( ) ( )
(
x
x
x x x
x x
++ = ++23 2
2
2
3 2
2
2 6 12
3 10
2 2 2 6 2 12
2 3 22 10
0
0) =Esta indeterminacin se resuelve simplificando el cociente, para lo cual se
obtiene la factorizacin de los polinomios
P(x) = x3 2x2 6x +12 y Q(x) = x2 + 3x 10; esto es:
P(x) = x3 2x2 6x +12 = (x2) (x26);
asimismo,
Q(x) = x2 + 3x 10 = (x2) (x+5),
entonces, el lmite del cociente P(x)/Q(x) es:
1.2.2. Lmites laterales
Ahora examinaremos la condicin para que el lmite exista, con base en los
lmites laterales de una funcin.
El lmite por la izquierda de una funcin y = f (x), cuando x tiende a x0, es el
valor al que tiende la funcin para puntos prximos menores que x0. Para expresar el
lmite por la izquierda se escribe: lim ( )x x
f x 0 .El lmite por la derecha de una funcin y = f (x), cuando x tiende a x
0, es el valor
al que tiende la funcin para puntos prximos mayores que x0. Para expresar el lmite
por la derecha se escribe: lim ( )x x
f x +0 .
lim ( ) lim lim( )
x x xg x
x x x
x x
x
= ++ = 2 2 3 22 22 6 123 10 2 (( )( )( ) lim ( )( )xx x xxx2 2 262 5 65 27 + = + =
Clculo diferencial e integral 27
La relacin entre el lmite y los lmites laterales de una funcin es:
El lmite de una funcin y = f (x) existe en un punto x0 si y slo si existen los
lmites laterales, izquierda y derecha, y adems son iguales, esto es:
lim ( )x x
f x L =0 , si y slo si: lim ( )x x f x 0 = lim ( )x x f x +0 = LEjemplo 7
Calcula los lmites laterales de las siguientes funciones cuando x0 = 0
a) f xx
( ) = 12
b) g xx
( ) = 12
Solucin
a) Para calcular el lmite de la funcin f xx
( ) = 12
, hay que estudiar los valores
que toman las imgenes de puntos prximos a 0. De lo que se deduce que: para
valores prximos y menores que 0, la funcin toma valores cada vez mayores. Lo que
significa que:
lim ( ) limx x
f xx = = +0 0 21
Asimismo, para valores prximos mayores que 0, la funcin toma valores cada
vez mayores. Lo que significa que:
lim ( ) limx x
f xx + += = +0 0 21 . Por lo tanto, limx x = +0 21
b) Para la funcin g xx
( ) = 12
, el lmite de esta funcin en el punto x0 = 0 es
ya que para valores prximos a 0 y distintos de 0, tanto por la derecha como por la
izquierda, los valores que toma la funcin son cada vez menores.
Por lo tanto, limx x
= 0 21
Unidad 128
Ejemplo 8
Calcula el lmite de la funcin f xx
( ) = 1 1 , cuando x1.Solucin
Se tiene que: (
lim ( ) limlim( )
lim )x xx
x
f xx x
= = =1 1 11
11
1
1
1
0; indeterminado por lo que
se analizan los lmites laterales.
Para valores prximos mayores que 1, la funcin toma valores cada vez ms
grandes. Lo que significa:
(
lim ( ) limlim ( )
lim )x xx
x
f xx x + +
++= = = +1 1 111 1
1
1
Para valores prximos menores que 1, la funcin toma valores cada vez ms
chicos. Lo que significa:
(
lim ( ) limlim( )
lim )x xx
x
f xx x
= = = 1 1 11
11
1
1
Como los lmites laterales no coinciden, la funcin f (x) = 1/(x 1) no tiene lmite
cuando x tiende a 1.
Ejemplo 9
A qu valor se aproxima la funcin f xx
x x( )
,
,= 1 32 3 si si definida en R cuando x se aproxima a 3?
Solucin
Cuando x se aproxima a 3, tanto por la izquierda como por la derecha, la funcin
f (x) se aproxima al valor de uno. Por lo tanto, se intuye que:
lim ( )x
f x =3 1
Clculo diferencial e integral 29
Ejercicio 1
1. Calcula el limx
x
x2 242
2. Calcula el limx x +5 2 3 2
3. Calcula el limh
h
h++0 3 82
4. Calcula el limx
x x +12
24 8 5( )
5. Calcula el limt
t
t+
0
2 2
1.3. Lmite de una funcin cuando la variable
independiente tiende a infinito
Ahora examinaremos los lmites infinitos de funciones y daremos un criterio
para el clculo del lmite de funciones polinmicas, utilizando las propiedades
definidas con anterioridad.
Lmites infinitos de funciones. Para observar el lmite de una funcin cuando la
variable independiente tiende a , se estudiarn los siguientes lmites:a) lim ( )
xf x L = ; b) lim ( )x f x =
Lmites de funciones polinmicas. Una funcin polinmica es una funcin del
tipo: f x a a x a x a xnn( ) ...= + + + +0 1 2 2 . El lmite de una funcin polinmica en el
infinito es +o , dependiendo de que el coeficiente del trmino de mayor grado del polinomio sea positivo o negativo, esto es:
lim( ... )x
n
na a x a x a x + + + + = +0 1 2 2 ; si an > 0lim( ... )x
n
na a x a x a x + + + + = 0 1 2 2 ; si an < 0
Unidad 130
Ejemplo 10
Calcula los siguientes lmites:
a) limx
x
x 1b) lim )
xx + ( 5
Solucin
a) Dando valores cada vez ms grandes a la variable independiente de la funcin
f xx
x( ) = 1 , se observa que a medida que x toma valores cada vez mayores, la
funcin se aproxima ms a 1. Por lo tanto, el lmite de la funcin cuando x + es 1, lo que se escribe como:
lim ( ) limx x
f xx
x+ += = 1 1Ahora bien, a medida que x toma valores cada vez menores, la funcin se
aproxima ms a 1. Por lo tanto, el lmite de la funcin cuando x es tambin 1. lim ( ) limx x
f xx
x = = 1 1Por lo tanto, lim
x
x
x = 1 1b) De la funcin f (x) = x + 5, se ve claramente que cuando x+, la funcin
f(x) +. Es decir, a valores cada vez mayores de x, corresponden valores cada vez mayores de la funcin. Por lo tanto:
lim ( ) lim ( )x x
f x x+ += + = + 5Asimismo, cuando x toma valores cada vez menores, la funcin tambin toma
valores cada vez menores. Por lo tanto:
lim ( ) lim ( )x x
f x x = + = 5Entonces, lim
xx + = ( 5)
Clculo diferencial e integral 31
Ejemplo 11
Calcula los lmites siguientes:
a) lim )x
x x + + ( 4 35 2b) lim
xx x + 83 52 63
Solucin
a) Para ( ) + +4 35 2x x el coeficiente del trmino de mayor grado es 4, entonces: lim )x
x x + + = ( 4 35 2b) Para
8
3
5
263x x+ , el coeficiente del trmino de mayor grado 8/3 es positivo,
entonces: limx
x x + = + 83 52 63
1.3.1. Lmites de funciones racionales cuando la variable
tiende a infinito
En este apartado abordaremos otro caso particular de la obtencin de lmites de
funciones donde la variable tiende a , utilizando para esto las mismas reglas que en el caso anterior.
Lmite de una funcin racional. El lmite de una funcin racional cuando
x+, es igual al lmite del cociente de los trminos de mayor grado del numerador y denominador,
P x a a x a x a xnn( ) ...= + + + +0 1 2 2 y Q x b b x b x b xm m( ) ...= + + + +0 1 2 2 .
Entonces: lim( )
( )lim
...
...x xn
nP x
Q x
a a x a x a x
b b x b x b = + + + ++ + + +0 1 2 20 1 2 2 mm m x nn
m
mx
a x
b x= lim
El valor de este lmite depende del valor que tengan n y m:
Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m), el lmite es + si a
b
a
b
n
m
n
m
>
Unidad 132
Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador (n = m), el lmite es el cociente a
n/ b
m.Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (n < m), el
lmite es 0.
Ejemplo 12
Calcula el lmite de las funciones siguientes cuando x :a) f x
x x
x( ) = 3 2 542
b) g xx
x( ) = 32 54
Solucin
a) En este caso, el grado del numerador, 2, es mayor que el grado del denominador,
1, por lo tanto:
lim ( )x
f xx x
x+ = 3 2 542 = lim limx xxx x+ += = +3 312b) El grado del numerador es mayor que el grado del denominador y los trminos
de mayor grado tienen signos distintos, por lo tanto:
lim ( ) limx x
g xx
x = 32 54 = lim limx xxx x = = 32 1Ejemplo 13
Calcula los lmites siguientes:
a) limx
x x
x +3 2 54 42 2
b) limx
x x
x x + +23 14 3
Clculo diferencial e integral 33
Solucin
a) El grado del numerador es igual que el grado del denominador, por lo tanto:
limx
x x
x +3 2 54 42 2 = limx xx = 34 3422
b) El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por lo tanto:
limx
x x
x x + +23 14 3 = lim limx xxx x = =23 1 0
1.4. Lmites de funciones trascendentes cuando x
tiende a cero
En este apartado analizaremos las funciones trascendentes cuya variable tiende a
cero, para esto, iniciamos con la siguiente propiedad.
Dadas las funciones f (x) y g (x) tales que f x g x( ) ( ) , entonceslim limx x
f x g x ( ) ( ) o lim limx x x xo of x g x ( ) ( ) si estos lmites existen.Ahora bien, si f(x) g(x) h (x) y lim ( ) lim ( )
x x x xf x L h x = =0 0 , entonces,
lim ( )x x
g x L =0Ejemplo 14
Muestra que limx
x =0 0 sen .Solucin
De acuerdo con la f igura 1.3, si OP = 1 y el ngulo x > 0, se tiene que
OQ = cos x, PQ = sen x, PR = x, adems se observa que: sen x < x, como
x > 0, entonces, sen x x< .
Figura 1.3
Unidad 134
Por las propiedades anteriores tenemos que lim( ) lim limx x x
x x x 0 0 0sen por lo que se puede concluir que lim lim
x x x x =0 0 0 sen
donde limx
x =0 0senEjemplo 15
Utilizando la figura del problema anterior, muestra que lim x
x
=0 2 0senSolucin
En efecto sen senx
x2< y dado que lim( ) lim lim
x x xx
xx 0 0 02sen sen sen , tenemos
lim senx x
x
x =0 02 0sen lim .1.4.1. El nmero e
Definicin. Se denomina nmero e al lmite de la variable 11+ n
n
, cuando
n , lo que se escribe como limn
n
n e + = 1 1 .
Su valor con diez cifras decimales es:
e = 2.7182818284
Donde, por el criterio de convergencia, el nmero e satisface la desigualdad
2 e 3, es irracional y se puede calcular con la precisin que se requiera. Ejemplo 16
Calcula los siguientes lmites:
a) limn
n
n++ 1 1
5
Clculo diferencial e integral 35
b) limx
x
x + 1 13
Solucin
a) El lim limn
n
n
n
n n n+
+ = + + =
11
11
11
5 5
lim limn
n
nn ne e + + = =
11
11
1
5
.
Por lo tanto, limn
n
ne
++ = 1 15
b) El lim limx
x
x
x x
x x x x + = + + + 1 1 1 1 1 1 1 13
x
, luego entonces
lim lim limx
x
x
x
x
x
x x xe + + + = 1 1 1 1 1 1 ee e e = 3.
Por lo tanto, limx
x
xe + = 1 1
3
3.
Ejercicio 2
1. Calcula el limx x
5.
2. Calcula el limx
x
x++22 12 3 .
3. Calcula el limx
x ( )2 100 .4. Calcula el lim
x
x x
x x x+ + 100 400 74 7 1123 2 .
5. Calcula el limx
x
x +0 2csc
cos.
Unidad 136
Ejercicios resueltos
En cada uno de los siguientes ejercicios determina el lmite de la funcin cuando
su variable tiende al valor que se indica:
1. limx
x +3 22 1( )Solucin
Sustituyendo el valor de la variable en la funcin directamente se tiene:
limx
x + = + = + = + =3 2 22 1 2 3 1 2 9 1 18 1 19( ) ( ) ( ) , que es el lmite al que tiende la funcin cuando x tiende a 3.
2. limx
x
x+2 23 51
Solucin
Sustituyendo el valor de la variable en la funcin directamente se tiene
lim( )
( )x
x
x+ = + = + =2 2 23 51 3 2 52 1 6 54 1 15 , que es el valor del lmite.
3. limx
x
x1 3 11
Solucin
Observa que esta funcin no est definida cuando x = 1, porque cuando x
es 1 el numerador y el denominador son 0. No obstante, puedes preguntar: cmo se
comporta f (x) cuando x est cerca de 1 pero no es 1?
Ahora bien, considerando la identidad algebraica x x x x3 21 1 1 = + + ( )( ) ,
entonces, lim lim limx x x
x
x
x x x
xx x
= + + = + + = +1 3 1 2 1 2 211 1 11 1 1 1( )( ) ( ) ( ) ++ =1 3 , por lo tanto, el lmite de la funcin es 3.
4. limx
x x
x3 3 2231
Clculo diferencial e integral 37
Solucin
Sustituyendo el valor al que tiende x en la funcin resulta
limx
x x
x = = = =3 3 22 3 2231 3 3 31 3 27 271 9 08 0( ) ( )( ) , donde el lmite de la funcin es 0.
5. limx
x x
x x+ ++2 2 2 12
Solucin
Sustituyendo el valor al que tiende x en la funcin, se obtiene:
limx
x x
x x+ ++ = + ++ = + ++ =2 2 2 2212 2 2 12 2 2 4 2 14 4 78( )( ) ( ) , que es valor al que tiende el lmite en
la funcin dada.
6. limx a
x ax ( )2Solucin
Sustituyendo el valor al que tiende x en la funcin resulta:
limx a
x ax a a a a a = = =( ) ( )2 2 2 2 0 , que es el valor del lmite de la funcin.7. lim
x
x x
x
0
23
Solucin
Nota que esta funcin no est definida cuando x = 0, porque cuando x es 0,
el numerador y el denominador son 0. No obstante, tenemos todo el derecho de
preguntar: cmo se comporta f (x) cuando x est cerca de 0 pero no es 0?
Factorizando el numerador se obtiene x x( )3 1 ; luego, sustituyendo: lim lim limx x x
x x
x
x x
xx
= = ( )= = = 0
2
0 0
3 3 13 1 3 0 1 0 1 1
( )( ) , que es el valor del
lmite de la funcin cuando x tiende a cero.
8. limsen
tan0
Unidad 138
Solucin
Sustituyendo el valor al que tiende en la funcin se obtiene:lim
sen
tan
sen
tan = =0 00 00( )( ) , como se observa, al sustituir directamente el valor al que
tiende el ngulo la funcin se indefine al quedar un cociente de cero entre cero, por
lo que mediante identidades trigonomtricas se intentar encontrar el lmite de la
funcin si es que tiene.
De la trigonometra elemental se tiene que tansen
cos = , entonces, sustituyendo
en la expresin original se tiene
limsen
tanlim
sen
senlim
sen
senlim
= = =0 0 0
1
cos cos
= = =0 0 0 1sensen lim cos cos cos( ) , que es el valor del lmite de la funcin.
9. limx
x1 3( )Solucin
Sustituyendo el valor al que tiende x en la funcin resulta:
limx
x = = 1 3 31 1( ) ( ) , que es el valor del lmite de la funcin.10. lim
x
x
x+ +2 2 2 Solucin
Sustituyendo el valor al que tiende x en la funcin, resulta:
limx
x
x+ + = + = =2 2 22 22 2 44 1( ) , que es el lmite de la funcin.11. lim
x
x
x++1 3 11
Solucin
Nota que esta funcin no est definida cuando x =1, porque cuando x es 1,
el numerador y el denominador son 0. No obstante, podemos preguntar: cmo se
comporta f (x) cuando x est cerca de 1 pero no es 1?
Clculo diferencial e integral 39
Del lgebra se tiene la siguiente identidad: x x x x3 21 1 1+ = + +( )( ) , sustituyendo
en la expresin dada se obtiene:
lim lim limx x x
x
x
x x x
xx x
++ = + ++ = + = 1 3 1 2 1 211 1 11 1 1( )( ) ( ) ( )) ( )2 1 1 1 1 1 3 + = + + = ,que es el valor del lmite de la funcin.
12. Encuentra los lmites laterales en x = 0 de la funcin f xx x
xx( ) , ( )= + 2 0 .
Solucin
lim lim lim lim limx x x x x
x x
x
x
x
x
xx + + + + +
+ = + = + =0
2
0 0
2
0 01 1
lim lim lim lim limx x x x x
x x
x
x
x
x
xx
+ = + = + 0 2 0 0 2 0 01( ) ( )) = 1que son los lmites de la funcin por la derecha y por la izquierda.
13. limx x
7
Solucin
Como 7
71
x x= , cuando x toma valores muy grandes, 1x toma valores cada vez
ms pequeos, por lo que limx x =1 0 , por lo tanto, lim limx xx x = = ( )=7 7 1 7 0 0
En los siguientes ejercicios para calcular los lmites haremos uso del resultado
enunciado en la seccin 1.3.1.
14. limx
x
x2
Solucin
lim limx x
x
xx = = 2
Unidad 140
15. limx
x x
x x+ ++ 2 5 13 122
Solucin
limx
x x
x x+ ++ = =2 5 13 1 21 222 , lmite de la funcin dada.
16. limx
x x
x x + +4 2 16 5 23 23
Solucin
limx
x x
x x + + = =4 2 16 5 2 46 233 23 , que es el valor del lmite de la funcin.
17. limx
x x
x+ ++2 4 13
Solucin
limx
x x
x+ ++ = 2 4 13
18. Si f xx x
x x( )= + 2 33 1 3
limx
f x + ( )3Solucin
lim limx x
f x x + +( )= ( )= ( ) = =3 3 3 1 3 3 1 9 1 819. Si f x
x x
x x( )= + 2 33 1 3
limx
f x ( )3Solucin
lim limx x
f x x ( )= + = + =3 3 2 3 2 5
Clculo diferencial e integral 41
Ejercicios propuestos
1. Calcula el limh
x h x
h+
0
2 2( )
2. Calcula el limx xe + +0 111
3. Calcula el limctgx
x
x03 2
2
cos
4. Calcula el limx
x
x25 525
5. Calcula el limx
x x + ( )3
Unidad 142
Autoevaluacin
1. Calcula el limx
x
x+16 81 y selecciona la opcin correcta:
a) 8
17
b) 817
c) 815
d) 1
2
2. Calcula el lim senx
x x + + ( )3 8 y selecciona la opcin correcta:a) 2 8+b) 3 8+c) 4 8+d) 5 8+3. Calcula el lim
x
x x
x+1 4 35 2 y selecciona la opcin correcta:
a) 6
b) 4
c) 2
d) 2
4. Calcula el limx
x
x+9 2 819 y selecciona la opcin correcta:
a) 18
b) 14
c) 0
d) 18
5. Calcula el limx
x x +( )12 20 33 y selecciona la opcin correcta:a) Ninguna es correcta
b) 0
c) d)
Clculo diferencial e integral 43
6. Calcula el limx
x
x x + 3 15 722 y selecciona la opcin correcta:
a) 27
b) 3
c) 3
d) 27
7. Calcula el limtan
sen0 y selecciona la opcin correcta:
a) 1
b) 0
c) 1
d) 0.5
8. Calcula el limsen
x
x
x 0 y selecciona la opcin correcta:a) 2
b) 1
c) 0
d) 1
9. Calcula el limx
x x + ( )( )4 21 7 y selecciona la opcin correcta:a) b) 0
c) + d) Ninguna es correcta.
10. Calcula el limx
x
x+
0
4 2 y selecciona la opcin correcta:
a) b) 0
c) 1
8
d) 1
4
Clculo diferencial e integral 45
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1) L = 4
2) L = 1
9
3) L = 4
4) L = 2
5) L = 2
4
Ejercicio 2
1) L = 0
2) L = 1
2
3) L = +4) L = 0
5) L = Respuestas a los ejercicios propuestos
1) L = 2x
2) L = 1
3) L = 0
4) L = 1
10
5) L = 0
Unidad 146
Respuestas a la autoevaluacin
1) L = 8
17
2) L = 3 8+3) L = 2
4) L = 18
5) L = 6) L = 3
7) L = 1
8) L = 1
9) L = 10) L =
1
4
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