Limite de funciones
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Límite de funcionesMagister Lord Barrera:coordinador del área dematemática
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II
Lord Barrera
1. Límite de Funciones
Nos acercaremos de manera informal al concepto de límite: damos un númeroreal a y una función definida en todos los números x próximos de a (puede pasarque f no esté definida en a).
Definición 1.1. Sea un número real L. Decimos que el límite de f (x) cuando xtiende al número a es L y escribimos
lı́mx→ a
f (x) = L
significando: cuando x está bien próximo de a, entonces f (x) está bien próximode L.
La curva en la figura derecha representala gráfica de una función f . El número aestá en el eje x y el límite L en el eje y.Cuando x se aproxima al número a en eleje x, entonces f (x) se aproxima a L enel eje y.
ax xx
y
L
x( (f
x( (ff
Ejemplo 1.1. Sea la función f (x) =
x + 1. Cuando x se aproxima a 1, x + 1se aproxima a 1+ 1 = 2. Haciendo L = 2concluímos que
lı́mx→ 1
(x + 1) = 2.x x
x
y
x( (f
1
2
-1
x( (f
1
Ejemplo 1.2. Sea f (x) =
{ √x + 3 si x �= 1
3 si x = 1. Cuando x se aproxima a 1,
entonces √x + 3 se aproxima a
√1 + 3 = 2.
Concluímos quelı́mx→ 1
√x + 3 = 2.
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1.1. Propiedades de los Límites
En esta sección estableceremos algunas fórmulas que nos permitirán calcularde manera simple diversos límites. Nuestro objetivo es manipular estas fórmulasy familiarizarnos con sus aplicaciones.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE
A continuación enunciaremos nuestro primer resultado para el cálculo delímites. Este resultado consiste de calcular el límite de una función constantef (x) = c.
Teorema 1.3. Para cualquier c ∈ R
lı́mx→a
c = c .
Como vemos en la figura derecha, la grá-fica de la función constante f (x) = c esla recta horizontal pasando por el nively = 3. Cuando calculamos el límite lı́m
x→ac,
no importa a qué número se aproxime lavariable x, el límite que resulta es siemprela constante.
x
y
a
c
x( (f
x x
x( (f
Ejemplo 1.4. Algunos límites de funciones constantes son
lı́mx→ 1
5 = 5, lı́mx→ 2
3 = 3, lı́mx→ 5
(−1) = −1 y lı́mx→ 0
π = π .
Ejemplo 1.5. Calcular los siguientes límites
lı́mx→ 1
10 = , lı́mx→ 2
√2 = , lı́m
x→ 5π = , y lı́m
x→ 0(−5) = .
Solución. Ejercicio para el lector.
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Lord Barrera
LÍMITE DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD
A continuación calcularemos el límite de la función identidad f (x) = x.
Teorema 1.6.lı́mx→a
x = a .
Ejemplo 1.7. Algunos límites son
lı́mx→ 1
x = 1, lı́mx→ 2
x = 2, lı́mx→π
x = π y lı́mx→ 0
x = 0 .
Ejemplo 1.8. Calcular los siguientes límites
lı́mx→ 2
x = , lı́mx→ 3
x = , lı́mx→√
2x = y lı́m
x→ 1x = .
Solución. Ejercicio para el lector.
PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LÍMITES
A continuación estableceremos algunas propiedades algebraicas que nos ayu-darán a calcular de manera efectiva límites que involucran expresiones más ex-tensas. Estas expresiones pueden ser sumas de funciones, diferencias, o tambiénproductos y cocientes.
Teorema 1.9. Se cumplen
(a) lı́mx→a
[f (x) + g(x)
]= lı́m
x→af (x) + lı́m
x→ag(x).
(b) lı́mx→a
[f (x)− g(x)
]= lı́m
x→af (x)− lı́m
x→ag(x).
(c) lı́mx→a
[c f (x)
]= c lı́m
x→af (x), para cualquier c ∈ R.
(d) lı́mx→a
[f (x)g(x)
]= lı́m
x→af (x) lı́m
x→ag(x).
(e) lı́mx→a
f (x)g(x)
=lı́mx→a
f (x)
lı́mx→a
g(x), sabiendo que lı́m
x→ag(x) �= 0.
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Ejemplo 1.10. Calcular el siguiente límite
lı́mx→ 1
(x + 5)
Solución. Aplicando la propiedad (a) tenemos
lı́mx→ 1
(x + 5) = lı́mx→ 1
x + lı́mx→ 1
5 = 1 + 5 = 6 .
Ejemplo 1.11. Calcular el siguiente límite
lı́mx→ 2
(1 − x)
Solución. Aplicando la propiedad (b) tenemos
lı́mx→ 2
(1 − x) = lı́mx→ 2
1 − lı́mx→ 2
x = 1 − 2 = −1 .
Ejemplo 1.12. Calcular el siguiente límite
lı́mx→ 0
5(x + 1)
Solución. Aplicando la propiedad (c) tenemos
lı́mx→ 0
5(x + 1) = 5 lı́mx→ 0
(x + 1)
= 5[
lı́mx→ 0
x + lı́mx→ 0
1]
= 5[0 + 1
]= 5.
Ejemplo 1.13. Calcular el límite lı́mx→ 1(x2 + 2x).
Solución. Desde quex2 + 2x = x(x + 2),
de acuerdo a la propíedad (d) tenemos
lı́mx→ 1
(x2 + 2x) = lı́mx→ 1
x(x + 2)
=[
lı́mx→ 1
x][
lı́mx→ 1
(x + 2)]
= 1(1 + 2)
= 3.
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LÍMITE DE UNA POTENCIA
Ya vimos en el ítem (d) de las propiedades algebraicas de límites que el límitede un producto es el producto de límites. Si aplicamos esto al límite
lı́mx→ a
x2
tenemoslı́mx→ a
x2 =(
lı́mx→ a
x) (
lı́mx→ a
x)= a · a = a2
Generalizando este resultado tenemos:
Teorema 1.14. Dado un entero positivo n, entonces
lı́mx→ a
xn = an .
Ejemplo 1.15. Tenemos por ejemplo los límites
(i) lı́mx→ 1
x2 = 12 = 1 (ii) lı́mx→ 2
x4 = 24 = 16 (iii) lı́mx→−2
x3 = (−2)3 = −8
Ejemplo 1.16. Completar los siguientes límites
(i) lı́mx→ 3
x5 = (ii) lı́mx→√
2x2 = (iii) lı́m
x→−2x4 =
Solución. Ejercicio para el lector.
Ejemplo 1.17. Calcular el siguiente límite
lı́mx→ 1
(2x2 + 4x + 1)
Solución. Aplicando las propiedades de límites tenemos
lı́mx→ 1
(2x2 + 4x + 1) = lı́mx→ 1
(2x2) + lı́mx→ 1
(4x) + lı́mx→ 1
(1)
= 2 lı́mx→ 1
(x2) + 4 lı́mx→ 1
(x) + lı́mx→ 1
(1)
= 2(12) + 4(1) + 1
= 7.
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Ejemplo 1.18. Calcular el siguiente límite
lı́mx→ 2
x2 − 5xx − 3
Solución. Desde que lı́mx→ 2
(x − 3) = −1 �= 0, podemos aplicar la regla del
cociente
lı́mx→ 2
x2 − 5xx − 3
=lı́mx→ 2
(x2 − 5x)
lı́mx→ 2
(x − 3)
=lı́mx→ 2
(x2)− 5 lı́mx→ 2
(x)
lı́mx→ 2
(x)− lı́mx→ 2
(3)
=22 − 5(2)
2 − 3
=−6−1
= 6.
Podemos generalizar el resultado anterior en la siguiente propiedad
Proposición 1.19. Si n es un entero positivo y lı́mx→ a
f (x) = L, entonces
lı́mx→ a
[ f (x)]n = Ln .
Ejemplo 1.20. Evaluemos el límite
lı́mx→ 1
(x2 + 4x + 4)
Solución. Sabemos que x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 y que
lı́mx→ 1
(x + 2) = 3
Luegolı́mx→ 1
(x2 + 4x + 4) = lı́mx→ 1
(x + 2)2 = 32 = 9 .
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Teorema 1.21. Si n es un entero positivo y lı́mx→ a
f (x) = L, entonces
lı́mx→ a
n√
f (x) = n√
L , donde L > 0 si n es par .
Ejemplo 1.22. Evaluemos el límite
lı́mx→ 1
√x + 8
Solución. Sabemos quelı́mx→ 1
(x + 8) = 9
Luegolı́mx→ 1
√x + 8 =
√9 = 3 .
Ejemplo 1.23. Evaluar el siguiente límite
lı́mx→−1
√x + 5
Solución. Sabemos que
lı́mx→−1
(x + 5) = 4
Luegolı́m
x→−1
√x + 5 =
√4 = 2 .
Ejemplo 1.24. Suponga que se cumple
lı́mx→ 3
√ax2 + 2ax = 3
√10
Calcular el valor de a.
Solución. Aplicando límite a la expresión dentro de la raiz
lı́mx→ 3
(ax2 + 2ax) = a(3)2 + 2a(3) = 15a
o sea quelı́mx→ 3
√ax2 + 2ax =
√15a = 3
√10
Esto significa que√
15a = 3√
10, que implica 15a = 90. Por tanto, a = 6.
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA
De las propiedades algebraicas de límites sigue el resultado
Proposición 1.25. Si p(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a0 es una función polinómica,entonces
lı́mx→ a
p(x) = p(a) .
Ejemplo 1.26. Evaluemos el límite
lı́mx→−1
(x5 − 3x3 + 2x)
Solución. Si consideramos el polinomio
p(x) = x5 − 3x3 + 2x,
entonces p(−1) = (−1)5 − 3(−1)3 + 2(−1) = 0 y
lı́mx→−1
(x5 − 3x3 + 2x) = p(−1) = 0 .
Ejemplo 1.27. Evaluar el límite
lı́mx→−1
(x7 − 2x3 + 3x − 1)
Solución. Evaluando directamente se tiene
lı́mx→−1
(x7 − 2x3 + 3x − 1) = (−1)7 − 2(−1)3 + 3(−1)− 1 = −3
Ejemplo 1.28. Silı́mx→ 2
(ax3 − 2ax2 + 3x) = 21
Calcular el valor de a.
Solución. Evaluando conseguimos
21 = lı́mx→ 2
(ax3 + 2ax2 + 3x) = a(2)3 + 2a(2)2 + 3(2) = 8a + 8a + 6 = 16a + 16
o sea que a = 5/16.
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
Continuamos con la siguiente propiedad de límite para funciones racionales
Proposición 1.29. Si p(x) y q(x) son polinomios con q(a) �= 0, entonces
lı́mx→ a
p(x)q(x)
=p(a)q(a)
.
Ejemplo 1.30. Evaluemos el límite
lı́mx→ 3
x3 − 3x2 + 1x2 − 1
Solución. Desde que (3)2 − 1 = 8 �= 0, entonces
lı́mx→ 3
x3 − 2x2 + 1x2 − 1
=(3)3 − 2(3)2 + 1
(3)2 − 1=
108
=54
.
Ejemplo 1.31. Evaluar el límite
lı́mx→ 2
x4 + x2 + 5x2 + 1
Solución. Evaluando directamente tenemos
lı́mx→ 2
x4 + x2 + 5x2 + 1
=(2)4 + (2)2 + 5
(2)2 + 1=
255
= 5 .
Ejemplo 1.32. Evaluar los siguientes límites
(i) lı́mx→ 2
x4 + x2 + 5x2 + 1
(ii) lı́mx→−1
5x4 − x3
2x2 + 3(iii) lı́m
x→ 0
x2 + x + 1x + 1
(iv) lı́mx→ 4
2x + 1x
(v) lı́mx→ 2
−(x + 1)2
x + 1(vi) lı́m
x→√2
x4 + x2
x2(vii) lı́m
x→ 0
−x2 + x − 1x − 1
(viii) lı́mx→ 3
x + 1x − 1
Solución. Ejercicio para el lector.
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1.2. Límite de Funciones Trigonométricas
Ya sabemos calcular límite de funciones algebraicas. El siguiente teorema diceque si a es un número que está en el dominio de una función trigonométrica,entonces el límite de la función cuando x se aproxima al punto a, se calcula porsustitución.
Teorema 1.33. (Límite de funciones trigonométricas). Sea a un número en el domi-nio de una función trigonométrica. Entonces
(a) lı́mx→ a
sen x = sen a (b) lı́mx→ a
cos x = cos a
(c) lı́mx→ a
tg x = tg a (d) lı́mx→ a
cot x = cot a
(e) lı́mx→ a
sec x = sec a (f) lı́mx→ a
csc x = csc a
Ejemplo 1.34. Calcular los límites
(i) lı́mx→π/4
x cos x (ii) lı́mx→π/2
(x2 + sen x) (iii) lı́mx→π/3
sen x cos x
Solución.
(i) lı́mx→π/4
x cos x =
(lı́m
x→π/4x)(
lı́mx→π/4
cos x)
=π
4cos
π
4=
π
4
√2
2=
π√
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(ii) lı́mx→π/2
(x2 + sen x) = lı́mx→π/2
x2 + lı́mx→π/2
sen x
=(π
2
)2+ sen
π
2
=π2
4+ 1 =
π2 + 44
(iii)
lı́mx→π/3
sen x cos x = sen(π/3) cos(π/3) =
(√3
2
)(12
)=
√3
4.
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Teorema 1.35. (Límites trigonométricos importantes). Se cumplen:
lı́mx→ 0
sen xx
= 1 y lı́mx→ 0
1 − cos xx
= 0
Ejemplo 1.36. Evaluar el siguiente límite
lı́mh→ 0
sen 4hh
Solución. Haciendo x = 4h, entonces tenemos
sen 4hh
=4 sen 4h
4h= 4
sen xx
La nueva variable x tiende a cero cuando h → 0, pues, x es múltiplo de h. Portanto, cambiamos el límite h → 0 por x → 0 y obtenemos
lı́mh→ 0
sen 4hh
= lı́mx→ 0
4sen x
x= 4
(lı́mx→ 0
sen xx
)= 4(1) = 4 .
Ejemplo 1.37. Evaluar el siguiente límite
lı́mx→ 0
tg xx
Solución.
lı́mx→ 0
tg xx
= lı́mx→ 0
(sen x
x· 1
cos x
)
=
(lı́mx→ 0
sen xx
)·(
lı́mx→ 0
1cos x
)= (1)(1)
= 1 .
Ejemplo 1.38. Evaluar el siguiente límite
lı́mh→ 0
sen 3h2h
Solución. Ejercicio para el lector.
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TÉCNICA DEL SANDWICH
Las técnicas anteriores son muy buenas pero no resuelven todas las situacio-nes, como vemos a continuación.
Por ejemplo, si queremos calcular lı́mx→ 0 x2 sen1x
entonces una herramienta útil es el siguiente teorema
Teorema 1.39. (El sandwich). Supongamos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x enun intervalo centrado en a (es posible que no lo contenga). Si
lı́mx→ a
f (x) = L = lı́mx→ a
h(x)
entonceslı́mx→ a
g(x) = L
Ejemplo 1.40. Calcular el límite
lı́mx→ 0
x2 sen1x
Solución. Desde que −1 ≤ sen t ≤ 1 para todo número real t, entonces
−1 ≤ sen1x≤ 1 para todo x �= 0
Por tanto,
−x2 ≤ x2 sen1x≤ x2, x �= 0
Seanf (x) = −x2, g(x) = x2 sen
1x
y h(x) = x2
Entoncesf (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
Desde que
lı́mx→ 0
f (x) = lı́mx→ 0
(−x2) = 0 y lı́mx→ 0
h(x) = lı́mx→ 0
(x2) = 0
El teorema del sandwich implica que
lı́mx→ 0
g(x) = lı́mx→ 0
x2 sen1x= 0 .
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