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LÍMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Antes de analizar este tipo de límites recordemos algunos conceptos básicos de la trigonometría y de lo relacionados con esos conceptos,

luego estudiaremos los límites de las funciones seno y coseno cuando el ángulo tiende a cero, y algunos límites especiales que no pueden

resolverse por los procedimientos ya estudiados.

La medida en radianes de un

ángulo , está definida por

, donde es la longitud

del arco interceptado por el

ángulo sobre una

circunferencia de radio , cuyo

centro coincide con el vértice del ángulo según podemos

recordar en la figura 1.

En la figura 2 consideremos

ahora un círculo de radio uno

y un ángulo agudo cuya

medida en radianes es . Como se tiene entonces

que El triángulo rectángulo

tiene como catetos a y a

, en la circunferencia de

radio 1 se obtiene que:

Podemos decir que la medida de los catetos es:

Si empleamos el teorema de

Pitágoras se obtiene:

La longitud del arco entre los puntos P y A es mayor que el segmento

que une los mismos puntos o que es mayor que el ángulo , podemos escribir como:

Figura 1

Figura 2

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Recordando las propiedades básicas de la suma podemos expresar

que si los dos miembros de la desigualdad anterior son sumandos

positivos, cada uno de ellos es

De la definición formal de límite: si tomamos un épsilon como un

número positivo, y asumimos que delta y épsilon son iguales de tal forma que el valor absoluto del seno del ángulo Alfa es menor que el

propio Alfa y este menor que épsilon y de igual manera se plantea para el otro cateto tenemos:

Siempre que: siempre que por lo que

siempre que por lo que

Limites de las funciones trigonométricas

Teorema: Si c es un número real en el dominio de la función

trigonométrica indicada, se cumple:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Cuando calculamos límites trigonométricos es necesario recordar las

siguientes identidades básicas:

1.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8.

9.

10. 11.

12.

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Veamos ahora dos límites que podemos llamar especiales y que son

de gran utilidad al evaluar límites trigonométricos:

1. Límite especial 1.

Si medimos el ángulo en radianes y sabiendo que nuestro

denominador no puede ser cero, realicemos una tabla de valores con

valores próximos a cero tanto por la izquierda como por la derecha:

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.01 0.01 0.1 0.2 0.3 0.4

0.973 0.985 0.993 0.998 0.999 0.999 0.998 0.993 0.985 0.973

Podemos deducir entonces que:

Ejemplo 1: Hallar el valor de

Solución. En esta función debemos aplicar la propiedad fundamental

de los racionales que me permite hallar racionales equivalentes:

Multipliquemos numerador y denominador por 3:

2. Para nuestro segundo límite especial:

Recordando que el coseno de cero grados vale 1, obtendríamos una

indeterminación 0/0, destruimos ésta multiplicando por su conjugada:

De la identidad Nº 1

*

Podemos concluir:

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Ejemplo 2. Hallar el valor de:

Solución. (Apliquemos la propiedad del ejemplo anterior):

Veamos otros ejemplos donde podamos aplicar todo lo estudiado acerca de

los límites: Ejemplo 3. Determinar el valor de:

Solución.

Multipliquemos el primer límite por (-1) para convertirlo en el primer límite especial que estudiamos:

Ejemplo 4. Determinar el valor de:

Solución.

Por identidad Nº2

Común denominador

Factorizando

Multiplicando por la

conjugada

Por identidad Nº 1

Distribuyendo

Reescribiendo

Evaluando

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Ejemplo 5. Determinar el valor de:

Solución.

Recordemos que el coseno de 60º es , entonces tendríamos una

indeterminación 0/0, puesto que cuando .

Por otro lado, cuando .

Identidad 7

Entonces

Racionalizar

Reescribiendo

Evaluando

EJERCICIOS.

Para algunos de los ejercicios aquí propuestos debe tenerse en cuenta las identidades relacionadas en la página 2.

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1.

2. 3.

4.

5.

6.

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12.

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15.

16.

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18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.