Calculo Diferencial e Integral I

Límites Ciclo escolar 2014-2015

Definición intuitiva de límites

• Uno de los conceptos básicos del calculo es el de límite de una función. La definición formal de límite esta fuera del alcance de los objetivos para un estudiante de bachillerato. Por esta razón es mejor estudiar una definición de tipo intuitiva, y ya en un curso mas avanzado estudiar de manera formal los límites.

• Básicamente la definición intuitiva de límites implica responder a la pregunta: – Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) ¿Qué le pasa a 𝑦 cuando 𝑥 se acerca a 𝑥0?

Definición intuitiva de límites • Ejemplo: Si 𝑦 =

𝑥2+3𝑥−4

𝑥2−𝑥 ¿Qué le pasa a 𝑦 si 𝑥 se acerca a 1?

a) Para resolver este problema lo primero que hacemos es hacer nuestra clásica tabulación de valores de 𝑥 y 𝑦, para cuando 𝑥 toma valores cercanos a 1, a saber si 𝑥 = 0.1, 0.9, 0.99, 0.999

b) Una vez que encontremos los valores de 𝑦, tendremos una idea de lo que pasa. Pero esto solo nos dará la respuesta cuando x toma valores menores que 1, y por esa razón también necesitamos tomar valores para 𝑥 mayores que 1, es decir 𝑥 = 2, 1.1, 1.01, 1.001 y juzgar si esto nos arroja el mismo resultado

𝑥 0.1 0.9

0.99 0.999

𝑥 2

1.1 1.01

1.001

𝑦 𝑦

Definición intuitiva de límites • Ejemplo: Si 𝑦 =

𝑥2+3𝑥−4

𝑥2−𝑥 ¿Qué le pasa a 𝑦 si 𝑥 se acerca a 1?

c) Observemos que el valor de 𝑦 de acerca a 5 por ambos lados, por lo que la respuesta seria la siguiente

Respuesta: El valor de 𝑦 se acerca a 5

𝑥 0.1 0.9

0.99 0.999

𝑥 2

1.1 1.01

1.001

𝑦 41

5.44444 5.040404 5.004004

𝑦 3

4.636363 4.960396 4.996004

Definición intuitiva de límites

• Ciertamente esta definición esta lejos de parecerse a la definición formal, pero al menos da una idea de lo que uno debería de entender cuando nos piden calcular un límite. A continuación damos una notación que es la mas utilizada en cuanto a resolver límites se trata.

Definición intuitiva de límites • Notación: A la expresión “Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) ¿Qué le

pasa a 𝑦 cuando 𝑥 se acerca a 𝑥0?” se le asigna la siguiente notación.

lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥

Y se lee “El límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑥_0”

• Ejemplo:

lim𝑥→1

𝑥2 + 3𝑥 − 4

𝑥2 − 𝑥= 5

Cálculo de límites en funciones algebraicas

• Para calcular límites en funciones algebraicas se aplican diversos métodos, pero en muchos casos podríamos ahorrarnos muchos procesos innecesarios si intentamos resolverlas en el orden siguiente a) Si al sustituir el valor al cual tiende x obtengo una cantidad real,

entonces esa cantidad es el límite buscado. b) Si al sustituir obtengo formas indeterminadas del tipo 0/0,

buscamos simplificar lo mas posible la expresión mediante diferentes técnicas, y luego procedemos como en a). Las técnicas mas comunes para este caso son Factorización Radicalización Uso de identidades diversas Otras

c) Si al sustituir obtenemos otras formas indeterminadas la simplificación puede costar mas trabajo, y en algunos casos podríamos llegar a la conclusión de que el límite pueda o no existir. Dejaremos este tipo de límites para mas adelante

Formas indeterminadas del tipo 0/0: Factorización.

• lim𝑥→2

𝑥2−3𝑥+2

3𝑥−6

Como al sustituir obtenemos una forma indeterminada del tipo 0/0, usamos factorización para simplificar la expresión y luego sustituir nuevamente

lim𝑥→2

𝑥2 − 3𝑥 + 2

3𝑥 − 6

= lim𝑥→2

(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

3(𝑥 − 2)

= lim𝑥→2

𝑥 + 1

3=

2 + 1

3=

3

3= 1

• lim𝑥→1

𝑥3−1

𝑥2−1

= lim𝑥→1

(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

= lim𝑥→1

𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥 + 1

=12 + 1 + 1

1 + 1=

3

2

Formas indeterminadas del tipo 0/0: Radicalización.

• lim𝑥→3

22−2𝑥−4

𝑥−3

– Nuevamente primero

intentamos sustituir, pero observamos que tenemos una forma indeterminada del tipo 0/0, por lo que simplificamos la expresión, esta vez usando radicalización o también llamado racionalización. Para ello ocupamos la propiedad de los productos de binomios conjugados.

𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2

lim𝑥→3

22 − 2𝑥 − 4

𝑥 − 3

= lim𝑥→3

22 − 2𝑥 − 4

𝑥 − 3

22 − 2𝑥 + 4

22 − 2𝑥 + 4

= lim𝑥→3

22 − 2𝑥2

− 4 2

(𝑥 − 3)( 22 − 2𝑥 + 4)

= lim𝑥→3

22 − 2𝑥 − 16

(𝑥 − 3)( 22 − 2𝑥 + 4)

= lim𝑥→3

6 − 2𝑥

(𝑥 − 3)( 22 − 2𝑥 + 4)

= lim𝑥→3

−2(𝑥 − 3)

(𝑥 − 3)( 22 − 2𝑥 + 4)

= lim𝑥→3

−2

22 − 2𝑥 + 4

=−2

22 − 2 3 + 4= −

2

8= −

1

4

Otras formas indeterminadas en funciones racionales

• La variedad de formas indeterminadas resulta muy extensa, y los ejercicios asociados a estas formas indeterminadas también. Trataremos de reducir esta lista con el fin de no hacer muy complicados los temas.

• Ejemplo: Realice la grafica, y use la definición intuitiva de límite para calcular:

lim𝑥→0

1

𝑥2 lim𝑥→0

1

𝑥

Otras formas indeterminadas en funciones racionales

•𝑐

0 𝑐 ≠ 0

– El límite puede ser +∞, −∞, o puede no existir

• lim

𝑥→+∞𝑥𝑛 con 𝑛 un entero positivo

– el límite es +∞

• lim

𝑥→−∞𝑥𝑛 con 𝑛 un entero positivo

– Si n es par, el límite es +∞ – Si n es impar, el límite es −∞

•𝑐

+∞ ,

𝑐

−∞ 𝑐 ≠ 0

– El límite es 0

Otras formas indeterminadas en funciones racionales

• lim𝑥→+∞

𝑝 𝑥 , lim𝑥→−∞

𝑝 𝑥

con 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 un polinomio no constante

– Calculamos el límite con respecto al termino principal

• lim𝑥→+∞

𝑝 𝑥

𝑞 𝑥 , lim

𝑥→−∞

𝑝 𝑥

𝑞 𝑥

con 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) polinomio y 𝑞 𝑥 ≠ 0 – Se reduce la expresión, sustituyendo los términos principales de

cada uno de los polinomios y finalmente se calculan los límites.

Determinación de límites de una función dada su grafica

a) b) c)

A partir de las graficas calcula los límites que te piden

xf

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

x

5

1

1

lim

lim

lim

lim

lim

xf

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

x

0

2

2

lim

lim

lim

lim

lim

xf

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

x

0

3

3

lim

lim

lim

lim

lim

Continuidad

• Definición: Una función es continua en 𝑥0 si se cumplen las tres condiciones siguientes – 𝑓 𝑥0 existe

– lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 existe

– lim𝑥→𝑥0

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0

• Una función es llamada continua en el intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, si es continua para cada valor 𝑥_0 en el mismo intervalo.

Continuidad

• Determina las discontinuidades de la funcion cuya grafica es la siguiente.

Actividad

• Determina las discontinuidades de las funciones cuyas graficas son las siguientes