Limites
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NOMBRE: ANDREA TROYA
LOJA – ECUADOR2012
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APROXIMACION AL LIMITE
LIMITES
PROPIEDADES DE LOS LIMITES
INDETERMINACIONES
LIMITES EN EL INFINITO
LIMITES TRIGONOMETRALES
El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.
CONCEPTO
VIDEO
VIDEO
VIDEO
VIDEO
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PROPIEDADES DE LOS LIMITES
f(x) = f(a)
[ f(x) ± g(x) ] = f(x) ± g(x)
[ c f (x)] = c f(x)
[ f(x) . g(x) ] = f(x) . g(x)
=
=
MENU
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EJEMPLOS
UTILIZAR LAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES PARA CALCULAR:
( 2+ 8x + 5 + 3
SOLUCIÓN
MENU
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EJEMPLOS
UTILIZAR LAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES PARA CALCULAR:
( 2+ 8x + 5 + 3
B.
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
( 2+ 8x + 5 + 3
MENU
![Page 6: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/6.jpg)
EJEMPLOS
UTILIZAR LAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES PARA CALCULAR:
( 2+ 8x + 5 + 3
B.
C
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
( 2+ 8x + 5 + 3
= = =
MENU
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EJEMPLOS
UTILIZAR LAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES PARA CALCULAR:
( 2+ 8x + 5 + 3
B.
C D.
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
( 2+ 8x + 5 + 3
= = =
= =
MENU
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EJEMPLOS
UTILIZAR LAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES PARA CALCULAR:
( 2+ 8x + 5 + 3
B.
C D. E. cos x
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
( 2+ 8x + 5 + 3
= = =
= =
= = = = 0
MENU
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EJEMPLOS
UTILIZAR LAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES PARA CALCULAR:
( 2+ 8x + 5 + 3
B.
C D. E. cos x
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
( 2+ 8x + 5 + 3
= = =
= =
= = = = 0
cos x = cos 0 = 1
MENU
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INDETERMINACIONES
En algunas ocasiones. Cuando se utilizan las propiedades de limites obtenemos resultados carentes de sentido, que se conocen como indeterminaciones.
CONCEPTO
MENU
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INDETRMINACIONES MAS NOTABLES
OPERACION INDETERMINACION
Sustracción ∞− ∞Multiplicación ∞. 0División , Elevación a potencia ,
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere como el límite que tiende a infinito y al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):
Cuando tenemos funciones de la forma con f(x) y g(x) teniendo a cero, buscamos expresiones equivalentes cuyo limite si existe.
MENU
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EJEMPLOS
CALCULAR:
SOLUCIÓN
MENU
![Page 13: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/13.jpg)
EJEMPLOS
B.
SOLUCIÓN
= (x+5) = 5+5 = 10
CALCULAR:
SOLUCIÓN
= 10 Luego
MENU
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EJEMPLOS
B.
SOLUCIÓN
= (x+5) = 5+5 = 10
CALCULAR:
SOLUCIÓN
= 10 Luego
Primero eliminamos la indeterminación
=
Luego
MENU
![Page 15: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/15.jpg)
LIMITES EN EL INFINITO
El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.
CONCEPTO
MENU
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LIMITES EN EL INFINITO
De acuerdo con la definición anterior se puede concluir que:
Si a es un número racional positivo y c es un número real cualquiera
Por lo tanto para calcular un limite con x ≠ ∞, es conveniente expresar la función de la forma
MENU
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EJEMPLOS
SOLUCIÓN
CALCULAR:
Debemos expresar la función en la forma :
MENU
![Page 18: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/18.jpg)
EJEMPLOS
SOLUCIÓN
CALCULAR:
Debemos expresar la función en la forma :
lim𝑥→∞
2x2+𝑥+7𝑥2
x2+3x2
Dividimos cada termino de la función por la potencia de mayor exponente.
En este caso es
MENU
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EJEMPLOS
SOLUCIÓN
CALCULAR:
Debemos expresar la función en la forma :
lim𝑥→∞
2x2+𝑥+7𝑥2
x2+3x2
lim𝑥→∞
2+1
𝑥+7
x2
1+ 3x2
=21=2
Dividimos cada termino de la función por la potencia de mayor exponente.
En este caso es
Luego
MENU
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EJEMPLOS
B.
SOLUCIÓN
CALCULAR: Debemos expresar la función en la
forma
MENU
![Page 21: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/21.jpg)
EJEMPLOS
B.
SOLUCIÓN
CALCULAR: Debemos expresar la función en la
forma
=
Aparentemente en este ejercicio la potencia de mayor exponente es
Po lo tanto dividimos cada término entre x:
MENU
![Page 22: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/22.jpg)
EJEMPLOS
B.
SOLUCIÓN
CALCULAR: Debemos expresar la función en la
forma
=
=
Aparentemente en este ejercicio la potencia de mayor exponente es
Po lo tanto dividimos cada término entre x:
Luego
MENU
![Page 23: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/23.jpg)
LIMITES Trigonométricos
Hemos visto que los limites de muchas funciones se pueden calcular mediante sustitución directa. Los limites de las seis funciones trigonométricas también se pueden calcular directamente.
MENU
![Page 24: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/24.jpg)
LIMITES TRIGONOMETRICOS
Si a es un número real, se verifican las siguientes propiedades:
MENU
![Page 25: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/25.jpg)
LIMITES TRIGONOMETRICOS
• sen x = sen a
• cos x = cos a
• tan x = tan a
• cot x = cot a
• sec x = sec a
• csc x = csc a
Si a es un número real, se verifican las siguientes propiedades:
MENU
![Page 26: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/26.jpg)
EJEMPLOS
CALCULAR EL LIMITE DE:
f(x) = cuando x → 0
SOLUCIÓN
MENU
![Page 27: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/27.jpg)
EJEMPLOS
CALCULAR EL LIMITE DE:
f(x) = cuando x → 0
SOLUCIÓN
= Utilizamos la identidad trigonométrica de tan x, para eliminar la determinación.
MENU
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EJEMPLOS
CALCULAR EL LIMITE DE:
f(x) = cuando x → 0
SOLUCIÓN
=
= =
Utilizamos la identidad trigonométrica de tan x, para eliminar la determinación.
Por tanto:
MENU
![Page 29: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/29.jpg)
EJEMPLOS
CALCULAR EL LIMITE DE:
f(x) = cuando x → 0
SOLUCIÓN
=
= =
= Luego
Utilizamos la identidad trigonométrica de tan x, para eliminar la determinación.
Por tanto:
MENU
![Page 30: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/30.jpg)
EJEMPLOS
CALCULAR : =
SOLUCIÓN
MENU
![Page 31: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/31.jpg)
EJEMPLOS
CALCULAR : =
SOLUCIÓN
= Sabemos ya que
= 1
MENU
![Page 32: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/32.jpg)
EJEMPLOS
CALCULAR : =
SOLUCIÓN
=
2 . .
Sabemos ya que
= 1
Entonces:
MENU
![Page 33: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/33.jpg)
EJEMPLOS
CALCULAR : =
SOLUCIÓN
=
2 . .
= Luego
Sabemos ya que
= 1
Entonces:
MENU
![Page 34: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/34.jpg)
APROXIMACION AL LIMITE
x 1 0,1 0,01 0 -0,01 -0,1 -1
0,841470
o998334
0,999983
? 0,999983
0,998334
0,841470
Cuando x es cero. Para tener una idea del comportamiento de la función cuando x=0, podemos usar dos conjuntos de valores de x. Uno que se aproxime a 0 por la izquierda y otro que se aproxime a 0 por la derecha. Observemos en la tabla , que ocurre con los correspondientes valores de f(x).
Supongamos que queremos hallar el valor de la función f(x) =
Estos resultados inducen a pensar que los valores de f(x) se acercan a 1, por tanto el limite de la función es 1
Se expresa : = 1
MENU
![Page 35: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/35.jpg)
EJEMPLOS
CALCULAR EL LIMTE DE :
f(x) =
SOLUCIÓN
x 4 3,5 3,1 3,01 3,001 3 2,999 2,99 2,9
7 6,5 6,1 6,01 6,001 ? 5,999 5,99 5,9
La tabla muestra los valores f(x) en varios x cercanos al 3
Luego: concluimos que el limite es 6
MENU
![Page 36: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/36.jpg)
DEFINICION DE LIMITE
De acuerdo con lo anterior, hay que comprobar que la distancia de f(x) a L, es decir│L – f(x), es menor que cualquier cantidad positiva muy pequeña que se fije. Si llamamos £ a esa cantidad, se debe verificar que │L – f(x) < £ siempre que x ≠ a, aunque x este suficientemente cerca de a. Por lo tanto │x-a│es diferente de cero y a su vez, menor que una cantidad positiva, muy pequeña que llamaremos . Es decir │x-a│<
En consecuencia:
El > 0tal que: si 0 < │x-a│ < , entonces │L-f(x)│ < .
Decimos que L es el limite de f(x) cuando x →a, si f(x) esta muy próximo a L cuando x esta muy cerca a a.
MENU
![Page 37: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/37.jpg)
EJEMPLOS
UTILIZAR LA DEFINICION DE LIMITE PARA COMPROBAR QUE:
SOLUCIÓN
MENU
![Page 38: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/38.jpg)
EJEMPLOS
UTILIZAR LA DEFINICION DE LIMITE PARA COMPROBAR QUE:
SOLUCIÓN
=
= =
= <
![Page 39: Limites](https://reader037.fdocuments.es/reader037/viewer/2022110314/55c92d30bb61ebc8428b467e/html5/thumbnails/39.jpg)
EJEMPLOS
UTILIZAR LA DEFINICION DE LIMITE PARA COMPROBAR QUE:
SOLUCIÓN
=
= =
= <
Resulta que dado £ > 0, para ∂ = £ ∂ se cumple la condición de limite, ya que:
Luego: < < = £
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