Cálculo de Límites de Funciones Elementales y Límites Que Conviene Conocer
Límites
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Formas Indeterminadas II•Función Racional
•Función Irracional
MATEMÁTICA II
Prof. Carlos Deudor Gomez
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FORMA
Para levantar la indeterminación se factoriza el numerador y denominador en función de la variable independiente elevada a la mayor potencia que aparece en la expresión, se simplifica luego se evalúa.
2
Funciones Racionales
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Operaciones con ± ∞Más infinito (+ ∞): Representa el concepto, no el número, de ser mayor que cualquier número.Menos infinito (– ∞): Representa el concepto, no el número, de ser menor que cualquier número.
Sea a un número real cualquiera.a + ∞ =+ ∞ , a – ∞ =– ∞ + ∞ + ∞ =+ ∞ , – ∞– ∞=– ∞Si a >0 a .(+ ∞) =+ ∞ , a.(– ∞) =– ∞(+ ∞) / a =+ ∞ , (– ∞) / a =– ∞Si a <0 a .(+ ∞) =- ∞ , a.(– ∞) =+ ∞(+ ∞) /a =- ∞ , (– ∞) /a =+ ∞(+ ∞).(+ ∞) =(+ ∞) , (– ∞).(– ∞)=(+ ∞)(+ ∞).(- ∞) =(- ∞) , (– ∞).(+ ∞)=(- ∞)
3
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TeoremaSi n, es un número entero positivo,
entonces1lim 0nx x
4
1lim 0nx x
5
2010lim 0x x
Ejemplos
5 10
3 4lim 0 0 0x x x
6
11limx
xx 5
1limx x
0
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5
dividimos entre x 2
2
2
7 4 8lim4 9 4x
x xx x
2
2
2
2
7 4 8
4 9 4
x xx
x xx
2
2 2 2
2
2 2 2
7 4 8
4 9 4
x xx x xx xx x x
2
2
4 87
9 44
x x
x x
Reemplazando y tomando el límite2
2
4 87lim
9 44x
x x
x x
7 0 04 0 0
74
Ejemplos
Significa que cuando la variable x disminuye indefinidamente, el valor de la función se aproxima cada vez más a 7
4
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6
Ejercicios del texto
AutoevaluaciónPágina 51– Ejercicios 8 , 10 , 12Página 61– Ejercicios 46 hasta 51
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7
FORMA
Para levantar la indeterminación se debe tener en cuenta
Funciones Irracionales
2 si 0 si 0x x
x xx x
4 2x x
3 3x x
si
si
x x x
x x x
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8
25 11 4lim8 7x
x xx
recordando
Ejemplos
25 11 4x x 22
11 45xx x
2
11 45xx x
si x x x
2
11 45lim
78x
xx x
xx
2
11 45lim
78x
x x
x
5 0 08 0
Significa que cuando la variable x disminuye indefinidamente, el valor de la función se aproxima cada vez más a 5
8
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9
236 7 4 2lim10 19x
x x xx
recordando
Ejemplos
236 7 4x x
si x x x
22
7 436xx x
2
7 436xx x
2
7 436 2lim
1910x
x xx x
xx
2
7 436 2lim
1910x
xx x
xx
2
7 436 2lim
1910x
x x
x
36 0 0 2lim10 0x
6
10
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10
3 3
11 5lim8 7x
xx
Ejemplos
333
78xx
3 3 33
78xx
33
7. 8xx
reemplazando
33
11 5lim
7. 8x
xx
xx
33
11 5lim
78x
x
x
3
0 58 0
Significa que cuando la variable x aumenta indefinidamente, el valor de la función se aproxima cada vez más a 5 2,5
2
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11
Ejercicios del texto
AutoevaluaciónPágina 51– Ejercicios 13 hasta el 24