2Lmites y continuidadLmites y continuidad

2.1. Lmites

El lmite por la izquierda de una funcin f en un punto x0, denotado como

lmxx0

f(x)

es el valor al que se aproxima1 f(x) cuando x se acerca hacia x0 por la izquierda. Deigual forma, el lmite por la derecha de una funcin f en un punto x0,

lmxx

+

0

f(x)

es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se acerca hacia x0 por la derecha.

Ejemplo 2.1. Consideremos la siguiente funcin:

f(x) =

{4x 2 x2 si x < 21 si x 2

1

2

1 2 3 4 5 6

b

bc

En el punto x0 = 4, el lmite por la izquierda vale 2,

lmx4

f(x) = 2,

ya que como ilustra la siguiente figura, cuando x tiende hacia 4 por la izquierda, losvalores de f(x) tienden hacia dos

1De forma precisa, la definicin es la siguiente: El lmite por la izquierda es el valor b que cumpleque para cualquier > 0 existe > 0 tal que si a < x < a, entonces b < f(x) < b + .Anlogamente, se define el lmite por la derecha.

Matemticas J. Asensio, A. Avils, S. Snchez-Pedreo

2 Lmites y continuidad

b b b b b

b

b

b

b

x

f(x)

2

4

b

bc

Por otra parte, el lmite de f(x) cuando x tiende hacia 4 por la derecha es igual a1. De hecho, en este caso, f(x) vale siempre 1 para todos los valores de x a la derechadel nmero 4.

Adems de un nmero real, el valor de un lmite tambin puede ser + o .Esto ocurre cuando los valores de f(x) tienden a ser arbitrariamente grandes en lugarde acercarse a un determinado nmero.

Ejemplo 2.2. Consideremos la funcin f(x) = 1x, definida en toda la recta real excepto

en el punto 0.

10

10

55

Por la izquierda, cuando x est prxima a 0, f(x) = 1/x se hace ms y ms grande,f(0.1) = 10, f(0.01) = 100, etc. Por la derecha pasa lo mismo, pero con signo negativo,f(0.1) = 10, f(0.001) = 1000, etc. De esta, forma, los lmites por la derecha eizquierda valen:

lmx0

1/x = lmx0+

1/x = +

Finalmente, se pueden considerar tambin los lmites de una funcin en + y ,

lmx+

f(x) lmx

f(x)

Ejemplo 2.3. Consideremos la funcin g(x) = 10 ex,

10

10

33

En este caso, lmx g(x) = 10,

10

10

33

bbb

x

9.789.929.97

Matemticas J. Asensio, A. Avils, S. Snchez-Pedreo

2.1 Lmites 3

En cambio, lm+ g(x) = , ya que la exponencial se hace infinitamentegrande, cuando los valores de x crecen hacia +.

Los lmites por la izquierda y la derecha de una funcin f en un punto x0 no tienenpor qu existir. Si la funcin no est definida por el correspondiente lado del punto x0simplemente no tiene sentido calcularlos. Incluso as, puede que la funcin f(x) no seacerque a ningn punto, sino que tenga un comportamiento catico.

Ejemplo 2.4. La funcin f(x) = sen( 1x) en el punto x0 = 0, no tiene lmite ni por la

derecha ni por la izquierda.

Al acercarse x a 0, f(x) toma repetidamente todos los valores entre 0 y 1, as que nose acerca a ningn valor en particular.

Cuando los lmites por la derecha e izquierda existen y son iguales, entonces sedefine el lmite de la funcin f en el punto x0 como ese valor coincidente.

lmxx0

f(x) = lmxx

0

f(x) = lmxx

+

0

f(x)

(cuando lmxx

0

f(x) = lmxx

+

0

f(x))

Clculo elemental de lmites

El lmite de una funcin en un punto puede calcular muchas veces simplementesustituyendo en la funcin, cuando se trata de funciones continuas:

lmx3

log(x/3) = log(3/3) = 0

En este tipo de clculos pueden involucrar valores infinitos, teniendo en cuenta lasreglas

++ a = +

+ a =

++ = +

=

() (a) = (respectando las reglas de signos)

() () = (respectando las reglas de signos)

+ = indeterminacin

= indeterminacin

1

0=

1

= 0

0

0= indeterminacin

0 = indeterminacin

Matemticas J. Asensio, A. Avils, S. Snchez-Pedreo

4 Lmites y continuidad

Cuando se presenta una indeterminacin, quiere decir que no se puede calcular ellmite por este procedimiento, y habr que buscar su valor por otros mtodos. Porejemplo:

lmx0+

2x2 log(x) = 2(+)() =

lmx0

x2

sin(x)=

0

0= ?

lmx0

e1x = e = 0

En el ltimo caso, en primer lugar hemos utilizado que lmx0

1x= , y en un

segundo paso hemos usado que lmx ex = 0. La expresin e no es ms que una

abreviacin de lmx ex.

2.2. Funciones continuas

Una funcin f es continua en un punto a de su dominio si se tiene que

lmxa

f(x) = f(a).

Si se tiene que lmxa

f(x) = f(a) o lmxa

+ f(x) = f(a) decimos que la funcin escontinua por la izquierda o por la derecha respectivamente.

Las funciones elementales (definadas mediante sumas, productos, potencias, loga-ritmos, funciones trigonmetricas, etc.) son continuas en todo su dominio. Los puntosdonde se ha de estudiar la posible continuidad o discontinuidad de una funcin sonaquellos donde hay un cambio en la definicin, o aquellos puntos que no estn en eldominio natural (porque hay divisin por 0, logartimos de nmeros negativos, etc.)aunque s en su frontera.

Ejemplo 2.5.

F (x) =

{x2 si x < 2x 3 si x 2

1

2

3

4

5

1

2

1 2 3 4 5 6123 b

bc

Tanto la funcin x2 como la funcin x 3 son funciones elementales que estndefinidas y son continuas en toda la recta real. Por tanto, el nico punto donde podraexistir discontinuidad, es en el punto x = 2, ya la funcin F est definida de dos formasdistintas a la izquierda y a la derecha de 2. Los lmites laterales son

lmx2

F (x) = lmx2

x2 = 22 = 4

lmx2+

F (x) = lmx2+

x 3 = 2 3 = 1

Matemticas J. Asensio, A. Avils, S. Snchez-Pedreo

2.3 Asntotas 5

Como F (2) = 1, la funcin es continua en 2 por la derecha, pero no por la izquierda.Por tanto, la funcin es discontinua en 2. Esta discontinuidad puede observarse en lagrfica de la funcin, que se rompe en el punto de abscisa 2.

Si en lugar de la funcin F (x) consideramos la siguiente:

G(x) =

{x2 si x < 2x+ 2 si x 2,

de nuevo, el nico punto problemtico podra ser en x = 2. Pero en este caso, loslmites por la derecha y por la izquierda coinciden, as que

lmx2

G(x) = 4

de modo que la funcin G(x) tambin es continua en el punto 2. La funcin G escontinua, pues, en todo R.

Ejemplo 2.6. Sea f(x) = sen(x)x

. Esta funcin est definida y es continua en toda larecta salvo en el punto x = 0, donde no est definida al anularse el denominador. Sugrfica es:

1

1

1 2 3 4 512345

bc

En este caso, puede comprobarse que lmx0sen(x)

x= 1. Por tanto, al existir el

lmite, podemos asignar de forma natural el valor f(0) = 1, y de esa forma se consigueque la funcin est definida y sea continua tambin en el punto 0.

Una funcin se dice que es continua, si lo es en todos los puntos de su dominio.Para funciones definidas en un intervalo cerrado f : [a, b] R, se entiende que lacontinuidad en el punto a es por la derecha y en el punto b por la izquierda.

El Teorema de Bolzano afirma que si tenemos una funcin continua f : [a, b] R, de modo que f(a) y f(b) tienen distinto signo, entonces ha de existir un punto cdel intervalo [a, b] tal que f(c) = 0.

Esto quiere decir, visualmente, que para que la grfica de una funcin continua pasedel semiplano positivo al semiplano negativo (o viceversa) ha de cortar necesariamenteal eje X.

b

b

ab

c

2.3. Asntotas

Una asntota es una recta del plano a la que se aproxima la grfica de una funcin.Las hay de tres tipos: verticales, horizontales y oblicuas.

Matemticas J. Asensio, A. Avils, S. Snchez-Pedreo

6 Lmites y continuidad

Asntonta horizontal

Asntota oblicua

Asntota vertical

Asntotas verticales

Las asntotas verticales de una funcin aparecen en aquellos puntos a en los quelmite de f en el punto a (por la derecha o por la izquierda) sea infinito.

lmxa

= o lmxa

+=

En ese caso, la asntota vertical es la recta x = a. Para determinar las asntotasverticales, primero tenemos que identificar aquellos puntos a problemticos donde lafuncin es discontinua, no est definida, estn en la frontera del dominio... y posteri-ormento comprobar si en esos puntos el lmite es infinito o no.

Ejemplo 2.7.

f(x) =x 1

x2 1

Los nicos puntos del dominio que pueden presentar problemas son aquellos dondese anula el denominador, que son los puntos 1 y 1. Si comprobamos los lmites,tenemos

lmx1

x 1

x2 1= lm

x1

x 1

x2 1= 0.5

Por lo tanto, la funcin presenta una asntota vertical en x = 1.

5

10

5

10

1 2 3123

Ejemplo 2.8.

f(x) = log(x 3)

El dominio del logartimo es el intervalo (0,+). La funcin f est definida por tantoen los puntos x tales que x 3 > 0. Esta igualdad equivale a x > 3, as que el dominiode la funcin f es el intervalo (3,+). En todo ese dominio la funcin es continua yno presenta problemas. El nico punto donde podra haber una asntota vertical es ena = 3 ya que est justamente en la frontera del dominio. Comprobamos que

lmx3

log(x 3) = .

Por tanto la funcin presenta una asntota vertical en x = 3.

Matemticas J. Asensio, A. Avils, S. Snchez-Pedreo

2.3 Asntotas 7

Asntotas horizontales

Para determinar si una funcin f tiene una asntota horizontal hemos de calcularlos lmites

lmx

f(x) y lmx+

f(x)

Si cualquiera de estos dos valores es un nmero real b (no infinito), entonces larecta y = b ser una asntota horizontal.

Ejemplo 2.9.

f(x) = 3 ex

El dominio de esta funcin es todo R. Podemos calcular los dos lmites:

lmx

3 ex = 3 y lmx+

3 ex =

Por tanto, la funcin tiene una asntota horizontal en y = 3. La funcin f(x) seacerca a la asntota cuando x tiende hacia .

5

5

1 2 3123

Ejemplo 2.10.

g(x) = log(x)

El dominio de esta funcin es el intervalo (0,+). Por tanto, no tiene sentido calcularel lmite cuando x tiene a , as que calculamos solamente

lmx+

log(x) = +

Como este lmite no es un valor real, no existe asntota horizontal, a pesar de loque pudiera parecer a simple vista mirando la grfica:

2

2

1 2 3 4 51

Ejemplo 2.11.

h(x) = arctg(x)

La funcin tiene por dominio toda la recta real, calculamos los dos lmites,

lmx

arctg(x) = pi/2 y lmx+

arctg(x) = +pi/2

lo que nos da dos asntotas horizontales, en y = pi/2 e y = pi/2.

Matemticas J. Asensio, A. Avils, S. Snchez-Pedreo

8 Lmites y continuidad

2

2

1 2 3123

Asntotas oblicuas

Para determinar si existen asntotas oblicuas, hemos de considerar por separado loque pasa por una parte al tender a + y por otra parte al tender a .

En el caso de +, primero calculamos

M = lmx+

f(x)

x

Si M es un nmero real (no infinito), entonces calculamos

N = lmx+

f(x)Mx

Si N tambin es un nmero real, entonces tendremos que y = Mx + N es unaasntota oblicua.

En el caso de procedemos de forma similar, primero

m = lmx

f(x)

x

Si m es un nmero real (no infinito), entonces calculamos

n = lmx

f(x)mx

Si n tambin es un nmero real, entonces tendremos que y = mx+n es una asntotaoblicua.

De esta forma podemos obtener hasta un mximo de dos asntotas oblicuas, unaque aproxime a la funcin cuando x tiende a + y otra cuando x tiende a .

Ejemplo 2.12.

h(x) = ex + 2x+ 1

En +, tenemos que M = lmx+ f(x)/x = +, por lo tanto no hay asntotaoblicua por ese lado. En cambio

m = lmx

f(x)/x = lmx

ex/x+ 6 + 1/x = 6

y ademsn = lm

x

f(x)mx = lmx

ex + 1 = 1,

por lo tanto, se tiene una asntota oblicua 6x+ 1 que aproxima a a la funcin cuandox tiende a .

Matemticas J. Asensio, A. Avils, S. Snchez-Pedreo

2.3 Asntotas 9

Ejemplo 2.13.

g(x) = x+ log(x)

En este caso, no tiene sentido calcular lmites en puesto que el dominio de lafuncin es (0,+). Por el otro lado, tenemos que

M = lmx+

(x+ log(x))/x = lmx+

1 + log(x)/x = 1,

peroN = lm

x+f(x)Mx = lm

x+log(x) = +

as que no hay asntotas oblicuas.

Matemticas J. Asensio, A. Avils, S. Snchez-Pedreo

Lmites y continuidadLmitesFunciones continuasAsntotas