PROBLEMAS

7.27 Aplique el mtodo del trabajo virtual para determinar la pendiente y la deflexin en el punto D de la viga mostrada.

7.28 y 7.29 Use el mtodo del trabajo virtual para determinar la deflexin vertical en el nodo C del armazn mostrado.

7.30 Use el mtodo del trabajo virtual para determinar la rotacin del nodo D del armazn mostrado.

7.31 Utilice el mtodo del trabajo virtual para determinar la deflexin horizontal en el nodo E del armazn mostrado en la figura P7.30

7.32 Use el mtodo del trabajo virtual para determinar la rotacin del nodo B del armazn mostrado.

7.33 Use el mtodo del trabajo virtual para determinar la rotacin del nodo B del armazn mostrado en la figura P7.32.

7.34 Use el mtodo del trabajo virtual para determinar la rotacin del nodo D del armazn mostrado.

7.35 y 7.36 Use el mtodo del trabajo virtual para determinar la deflexin horizontal en el nodo C del armazn mostrado.

7.37 y 7.38 Determine el menor momento de inercia I requerido para los miembros para los miembros del armazn mostrado ,de modo que la deflexin horizontal en el nodo C no sea mayor de 1 pulgada. Aplique el mtodo del trabajo virtual.

7.39 Use el mtodo del trabajo virtual para determinar la rotacin del nodo D del armazn mostrado.7.40 Con aplicacin del mtodo del trabajo virtual, determine la deflexin vertical en el nodo E del armazn mostrado en la figura P7.39.7.41 a 7.44 Aplique el segundo teorema de Castigliano para determinar las componentes horizontal y vertical de la deflexin en el nodo B de las armaduras en las figuras P7.1-P7.4.7.45 Utilice el segundo teorema de Castigliano para determinar la deflexin horizontal en el nodo E de a armadura mostrada en la figura P7.6.7.46 a 7.49 Utilice el segundo teorema de Castigliano para determinar la deflexin en el punto C de las vigas mostradas en las figuras P7.20- P7.23.7.50 Use el segundo teorema de Castigliano para determinar la pendiente y la deflexin en el punto D de la viga mostrada en la figura P7.27.7.51 Use el segundo teorema de Castigliano para determinar la rotacin en el nodo D del armazn mostrado en la figura P7.34.7.53 y P7.54 Use el segundo teorema de Castigliano para determinar la deflexin horizontal en el nodo C de a armadura mostrada en la figura P7.35.y P7.36.LNEAS DE INFLUENCIA8.1 Lneas de influencia para las vigas y los armazones para el mtodo del equilibrio 8.2 Principio de Mller Breslau y lneas cualitativas de influencia 8.3 Lneas de influencia para vigas maestras con sistemas de pisos 8.4 Lneas de influencia para armaduras 8.5 Lneas de influencia para deflexiones Resumen Problemas En los captulos anteriores, se consider el anlisis de estructuras sujetas a cargas cuyas posiciones estaban fijas sobre las propias estructuras. Un ejemplo de una carga estacionaria de ese tipo es la carga muerta debida al peso de la ropa estructura y del otro material y equipo fijos de manera permanente sta. Sin embargo, en general las estructuras tambin se sujetan a cargas (como las vivas y las ambientales) cuyas posiciones pueden variar sobre las mismas .En este captulo, se estudia el anlisis de estructuras estticamente determinadas sujetas a cargas variables.Como un ejemplo, considere la armadura de puente mostrada en la figura 8.1.A medida que un automvil se mueve de un lado a otro del puente, las fuerzas en los miembros de la armadura variarn con la posicin x de aqul. Se debe comprender que las fuerzas en los diferentes miembros de la armadura se volvern mximas en diferentes posiciones del automvil. Por ejemplo, si la fuerza en el miembro AB se hace mxima cuando el automvil se encuentra en cierta posicin , entonces la fuerza en otro mimbro por ejemplo el CH se puede hacer mxima cuando ese automvil est en una posicin diferente . El diseo9 de cada miembro de la armadura se debe basar en la fuerza mxima que se desarrolla en ese miembro a medida que el automvil se mueve de uno a otro lado del puente. Por lo tanto, el anlisis de la armadura comprender, para cada miembro, la determinacin de la posicin del automvil en la cual la fuerza es el mismo se hace mxima y, a continuacin, el clculo del valor de la fuerza mxima en el miembro.A partir de la discusin precedente, se puede ver que el anlisis de las estructuras para cargas variables consta de dos paso: 1) determinacin de la posicin (o posiciones) de la (s) carga(S) en las que la funcin de respuesta que interesa (por ejemplo, una reaccin, una cortante o un momento flexionante en una seccin de una viga, o una fuerza en un miembro de una armadura) se hace mxima y 2) clculo del valor mximo de la funcin de respuesta.Un concepto importante que se usa en el anlisis de las estructuras sujetas a cargas variables es el de las lneas de influencia, introducido inicialmente por E. Winkler, en 1867. Una lnea de influencia es una grfica de una funcin de la posicin de una carga unitaria hacia abajo que se mueve de un lado a otro de esa estructura. Este captulo se inicia con la descripcin del procedimiento para la construccin de las lneas de influencia para las reacciones, las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes de las vigas y armazones mediante el uso de las ecuaciones de equilibrio. Enseguida, se discute el principio de Mller Breslau y su aplicacin para la determinacin de las lneas de influencia. Tambin se considera las lneas de influencia para las funciones de respuesta de las fuerzas de vigas maestras con sistemas de pisos y de armaduras y, por ltimo, las lneas de influencia en la determinacin de los valores mximos de las funciones de respuesta de las estructuras se considera en el captulo siguiente.

LNEAS DE INFLUENCIA PARA LAS VIGAS Y LOS ARMAZONES POR EL MTODO DEL EQUILIBRIO Considrese la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 8.2(a).La carga est sujeta a una carga concentrada hacia debajo de magnitud unitaria, la cual se mueve desde el extremo izquierdo A de la viga hasta el derecho C. La posicin de la carga unitaria se define por la coordenada medida desde el extremo izquierdo A de la viga, como se muestra en la figura. Suponga que se desea trazar las lneas de influencia para las reacciones verticales en los apoyos A y C, as como para la cortante y el momento flexionante en el punto B, ubicado a una distancia a del extremo izquierdo de la viga, como se muestra en la figura.

Lnea de influencia para se inserta una articulacin interna en el punto D, en la viga dada, y se aplica una pequea rotacin en este punto, para obtener la forma deformada que se muestra en la figura 8.9 (f). La forma de la lnea de influencia es la misma que la deformada de la estructura liberada, como se muestra en la propia figura.El valor de la ordenada de la lnea de influencia en D se determina al colocar la carga 1 k en este punto y calculando el momento flexionante en el mismo, para esta posicin de la carga unitaria (Fig. 8.9 (f)). Entonces se determina la ordenada en F a partir de la configuracin geomtrica de la propia lnea. La lnea de influencia obtenida de este modo se muestra en la figura 8.9 (f).

8.3 LNEAS DE INFLUENCIA PARA VIGAS MAESTRAS CON SISTEMAS DE PISOS En las secciones anteriores, se consideraron las lneas de influencia para vigas que estaban sujetas a una carga en movimiento aplicada directamente a stas. En la mayor parte de los puentes y edificios, existen algunos miembros estructurales que no estn sujetas a las cargas vivas directamente, sino a las cargas que se transmiten a travs de sistemas de armazones de pisos. En la seccin 1.4, se describieron sistemas tpicos de armazones usados en puentes y edificios (Figs. 1.13 y 1.14, respectivamente). En la figura 8.10, se muestra otro ejemplo del sistema de armazn de un puente. El tablero del puente descansa sobre vigas llamadas largueros, las cuales son sostenidas por las vigas de piso, las que, a su vez, son sostenidas por las vigas maestras. De este modo, cualesquiera cargas vivas (por ejemplo, el peso del trnsito), sin importar en donde estn localizadas sobre el puente o si son concentradas o distribuidas, siempre se transmiten a las vigas maestras como cargas concentradas, aplicadas en los puntos en donde estas vigas soportan las viga de piso. Para ilustrar el procedimiento de construccin de las lneas de influencia para las cortantes y momentos flexionantes en las viga maestras que soportan sistema de puentes y pisos de edificios, considere la viga maestra simplemente apoyada que se muestra en la figura 8.11 (a). Como se ilustra, una unitaria se mueve de izquierda a derecha sobre los largueros, los cuales se supone estn simplemente apoyados sobre las vigas de piso. El efecto de la carga unitaria se transmite hacia la viga maestra en los puntos A al F, en los cuales la viga maestra presta apoyo a las vigas de piso. Por lo comn, los puntos A al F se conocen como nodos y las partes de la viga maestra entre los nodos (por ejemplo, AB o BC) se llaman panales. En la figura 8.11 (a), se muestran los largueros que descansan sobre la parte superior de la viga maestra. Aun cuando aqu se usan esos esquemas para mostrar la manera en que la carga se transmite de un miembro estructural al otro, en los sistemas reales de pisos, los miembros rara vez se soportan sobre la parte superior del uno al otro, como se ilustra en la figura 8.11 (a). En lugar de ello, los largueros y las vigas de piso suelen colocarse en posicin

De modo que sus bordes superiores queden parejos entre s y se encuentran ms debajo de los bordes superiores de las vigas maestras, o al mismo nivel que estos (vase la figura 8.10).

Lneas de influencia para las reacciones

Se pueden determinar las lneas de influencia para las reacciones verticales mediante la aplicacin de las ecuaciones de equilibrio (Fig. 8.11 (a)):

En las figuras 8.11 (b) y (c) se muestran las lneas de influencia obtenidas al trazar las grficas de estas ecuaciones. Note que estas lneas de influencia son idnticas a las correspondientes a las reacciones de una viga simplemente apoyada a la cual la carga unitaria se aplica en forma directa.

Lnea de influencia para la cortante en el panel BC A continuacin, supngase que se desea construir las lneas de influencia para las cortantes en los puntos G y H, los cuales estn localizados en el panel BC como se muestra en la figura 8.11 (a). Cuando la carga unitaria est ubicada a la izquierda del nodo B, la cortante en cualquier punto dentro del panel BC (por ejemplo, los puntos G y H) se pueden expresar como

De manera anloga cuando la carga unitaria est localizada a la derecha del nodo C, la cortante en cualquier punto dentro del panel BC se da por

Cuando la carga unitaria est localizada dentro del panel BC, como se muestra en la figura 8.11 en la expresin para la cortante en ese panel debe incluirse la fuerza ejercida sobre la viga de piso, en B:

De donde, las ecuaciones de la lnea de influencia para pueden escribirse como

Estas expresiones para la cortante no dependen de la ubicacin exacta de un punto dentro del panel; es decir, estas expresiones siguen siendo las mismas para todos los puntos ubicados dentro del panel BC. Las expresiones no cambian porque las cargas se transmiten de la viga maestra solo en los nodos; por lo tanto, la cortante en cualquier panel de la viga maestra permanece constante de un lado a otro de la longitud de ese panel. De este modo, para las vigas maestras con sistemas de pisos, las lneas de influencia para las cortantes suelen construirse para los paneles, en lugar de hacerlo para puntos especficos a lo largo de las vigas maestras. La lnea de influencia para la cortante en el panel BC, obtenida al trazar la grfica de las ecuaciones (8.13) se muestra en la figura 8.11 (e).

Lnea de influencia para el momento flexionante en G

Se puede construir la lnea de influencia para el momento flexionante en el punto G, el cual est localizado en el panel BC (Fig. 8.11 (a)), aplicando un procedimiento semejante. Cuando la carga unitaria est localizada a la izquierda del nodo B, el momento flexionante en G se puede expresar como

Cuando la carga unitaria est localizada a la derecha del nodo C, el momento flexionante en G se da por

Cuando la carga unitaria est localizada dentro del panel BC, como se muestra en la figura 8.11 (d), en la expresin para el momento flexionante en G, debe incluirse el momento de la fuerza ejercida sobre la viga maestra en B, por la viga de piso, en torno a ese punto G:

De este modo, las ecuaciones de las lneas de influencia para pueden escribirse como

La ecuacin (8.14) indica que, a diferencia de la cortante, la cual permanece constante en todo un papel, las expresiones para el momento flexionante dependen de la ubicacin especfica del punto G dentro del panel BC. La lnea de influencia para , obtenida la trazar la grfica de las ecuaciones (8.14), se muestra en la figura 8.11 (f). En esta figura se puede ver que tanto de lnea de influencia para , como la lnea de influencia para la cortante construida con anterioridad (Fig. 8.11 (e)), consta de tres segmentos rectilneos, con discontinuidades en los extremos del panel que contiene la funcin de respuesta que se est considerando.

Lnea de influencia para el momento flexionante en el nodo C

Cuando la carga unitaria est localizada a la izquierda de C (Fig. 8.11 (a)), el momento flexionante en este punto queda dado por

Cuando la carga unitaria est localizada a la derecha de C,

De donde, las ecuaciones de la lnea de influencia para se pueden escribir como

La lnea de influencia obtenida al trazar las grficas de esas ecuaciones se muestra en la figura 8.11 (g). Note que esta lnea de influencia es idntica a la del momento flexionante de una viga correspondiente, sin el sistema de pisos.

Procedimiento para el anlisis

Como el ejemplo antes dado indica, las lneas de influencia para las vigas maestras que sirve de apoyo a sistemas de pisos, con largueros simplemente apoyados, constan de segmentos rectilneos, tenindose discontinuidades o cambios en las pendientes slo en los nodos. En las lneas de influencia para las cortantes y para los momentos flexionantes, en puntos localizados dentro de los paneles, los cambios en la pendiente se tiene en los nodos que estn en los extremos del panel que contiene la funcin de respuesta (Figs. 8.11 (e) y (f)), en tanto que las lneas de influencia para los momentos flexionantes en los nodos, el cambio en la pendiente ocurre en el nodo en donde se evala el momento flexionante. Como consecuencia, las lneas de influencia para las vigas maestras se construyen en forma conveniente como se indica a continuacin.Determine las ordenadas de la lnea de influencia en los puntos de apoyo y en los nodos en donde ocurren los cambios en la pendiente, colocando una carga unitaria de manera sucesiva en cada uno de estos puntos y aplicando las ecuaciones de equilibrio. En el caso de una lnea de influencia para el momento flexionante en un nodo de una viga en voladizo, la ordenada de esa lnea en la ubicacin del momento ser ceo. En ese caso, se hace necesario determinar una ordenada adicional de la lnea de influencia (por lo comn, en el extremo libre de la viga maestra en voladizo) que no sea cero, a fin de completar dicha lnea.Si la viga maestra contiene articulaciones internas, sus lneas de influencia sern discontinuas en los nodos, en donde se localizan esas articulaciones. Si, dentro de un panel, se localiza una articulacin, entonces se tendrn las discontinuidades en los nodos que se encuentran en los extremos de ese panel. Determine las ordenadas de las lneas de influencia en los nodos en donde se presentan las discontinuidades debidas a la presencia de articulaciones internas, colocando la carga unitaria e estos puntos y aplicando las ecuaciones de equilibrio o de condicin, o de ambos tipos.Complete la lnea de influencia al unir las ordenadas restantes mediante la aplicacin de la configuracin geomtrica de la propia lnea.

EJEMPLO 8.7 Trace las lneas de influencia para la cortante en el panel CD y el momento flexionante en D de la viga maestra con el sistema de piso, segn se muestra en la figura 8.128(a).

Lnea de influencia para a fin de determinar la lnea de influencia para la cortante en el panel CD, se coloca una carga de 1 kN de manera sucesiva en los nodos B, C, D y F. Para cada posicin de la carga unitaria, en principio se determina por proporciones la reaccin apropiada en el apoyo, y se calcula la cortante en el panel CD. Por tanto, cuando

La lnea de influencia para se construye al sustituir estas ordenadas en una grfica y al unirlas con rectas, como se muestra en la figura 8.12 (c). Entonces se determinan las ordenadas en los extremos A y B de la viga maestra a partir de la configuracin geomtrica de esa lnea de influencia.Lnea de influencia para para determinar la lnea de influencia para el momento flexionante en el nodo D, se coloca la carga de 1KN de manera sucesiva en los nodos B, D y F. Para cada posicin de la carga unitaria, el momento flexionante en D se determina como sigue: Cuando

En la figura 8.12 (d), se muestra la lnea de influencia para .

EJEMPLO 8.8 Trace las lneas de influencia para las reacciones en los apoyos A, la cortante en el panel CD y el momento flexionante en D de la viga maestra con sistema de piso, segn se muestra en la figura 8.13 (a).

SOLUCIN Lnea de influencia para A fin de determinar la lnea de influencia para la reaccin por la aplicacin de la ecuacin de condicin =0. Es decir, cuando

La lnea de influencia para obtenida de este modo, se muestra en la figura 8.13 (c) La lnea de influencia para Se coloca la carga de 1 k de manera sucesiva en cada uno de los cinco nodos y se determina las ordenadas de la lnea de influencia, como se indica a continuacin. Cuando

La lnea para as obtenida se muestra en la figura 8.13 (d).

Lneas de influencia para Se coloca una carga de 1 K de manera sucesiva en cada uno de los cinco nodos y se determinan las ordenadas de la lnea de influencia como sigue. Cuando

La lnea de influencia para se muestra en la figura 8.13 (e)

8.4 LNEAS DE INFLUENCIA PARA ARMADURAS Los sistemas de armazones de pisos de uso comn para transmitir cargas vivas a las armaduras son semejantes a los usados para las vigas maestras, discutidos en la seccin anterior. En la figura 8.14, se muestra un sistema de piso de un puente de armadura, descrito con anterioridad en la seccin 1.4 (Fig. 1.13). El tablero del puente descansa sobre largueros que son soportados por vigas de piso, las cuales, a su vez, estn conectadas en sus extremos a los nodos de las cuerdas inferiores de las dos armaduras longitudinales. Por tanto, cualesquiera cargas vivas (por ejemplo, el peso del trnsito), sin importar en donde estn ubicadas sobre el tablero o si estn concentradas o distribuidas, siempre se transmiten hacia las armaduras con cargas concentradas que se aplican en los nodos. Las cargas vivas se transmiten a las armaduras de tejados de manera semejante. Como en el caso del sistema de piso de las vigas maestras, se supone que los sistemas de pisos de las armaduras estn simplemente apoyados en sus extremos, sobre las vigas adyacentes de piso. De donde, las lneas de influencia para las armaduras tambin contienen segmentos rectilneos entre los nodos.

Para ilustrar la construccin de las lneas de influencia para las armaduras, considere la armadura Pratt para puente mostrada en la figura 8.15 (a). Una carga unitaria (de 1 k) se mueve de izquierda a derecha sobre los largueros de un sistema de piso sujeto a la cuerda inferior AG de la armadura. El efecto de la carga unitaria se transmite a la armadura en los nodos A al G, en donde las vigas de piso se conectan a la propia armadura. Suponga que se desean trazar las lneas de influencia para las reacciones verticales en los apoyos A y E, as como las fuerzas axiales en los miembros CI, CD, DI, IJ y FL de la armadura.

Lneas de influencia para las reaccionesSe pueden determinar las ecuaciones de las lneas de influencia para las reacciones verticales, al aplicar las ecuaciones de equilibrio (Fig. 8.15 (b)):

En las figuras 8.15 (c) y (d), se muestran las lneas de influencia que se obtienen al trazar las grficas de estas ecuaciones. Ntese que estas lneas de influencia son idnticas a las de las reacciones de una viga correspondiente a la cual se aplica directamente la carga unitaria.

Lnea de influencia para la fuerza en el movimiento vertical CISe pueden determinar las expresiones para la fuerza en el miembro, , si se pasa una seccin imaginaria aa a travs de los miembros CD, CI y HI, como se muestra en la figura 8.15 (e) y mediante la aplicacin de la ecuacin de equilibrio =0 a una de las dos partes de la armadura. En la armadura 8.15 (e), se puede ver que, cuando la carga de 1 k se encuentra localizada a la izquierda del nodo C ---es decir, sobre la parte AC de la armadura---, entonces se puede determinar de modo conveniente al considerar el equilibrio del cuerpo libre de la parte derecha DG como

Lo cual indica que el segmento de la lnea de influencia para , entre A y C, es idntico al segmento correspondiente de la lnea de influencia para . Cuando la carga de 1 k se encuentra localizada a la derecha del nodo D, resulta conveniente determinar al utilizar el cuerpo libre de la parte izquierda AC:

Lo cual indica que se puede obtener el segmento de la lnea de influencia para entre D y G, al multiplicar el segmento correspondiente de la lnea de influencia para por -1. En la figura 8.15 (f), se muestran los segmentos de la lnea de influencia para entre A y C y entre D y G, construidos de este modo a partir de las lneas de influencia para respectivamente, al utilizar las expresiones anteriores. Cuando la carga de 1 k est localizada entre C y D, la parte de la misma transmitida hacia la armadura por la viga de piso en C, = (45-x)/15, debe incluirse en la ecuacin de equilibrio en la parte izquierda AC, para obtener