ENUNCIADO

Problemas de Programacin Entera

Fichero W430-5.doc

Winston, pgina 430, problema 5

ENUNCIADO (adaptacin)

Considrese la lista (simplificada) de las actividades y de las prelaciones que intervienen en la construccin de una casa (Tabla 17)

a) Dibuje una red del proyecto y, manualmente, determine los tiempos early y late, la holgura de cada nodo y el tiempo mnimo de duracin del proyecto. Indique que nodos son crticos.

b) Para cada actividad, manualmente, determine las holguras total, de seguridad, libre e independiente. Indique que actividades son crticas.

c) Determine las rutas crticasa.

d) Elabore un programa en LINGO que realice los clculos pedidos en (a) y (b).

e) Usando PL elabore un programa en LINGO para calcular la duracin mnima del proyecto.

f) Supngase que se puede reducir la duracin de cada actividad, contratando ms trabajadores. En la Tabla 18 se dan los costos diarios de la reduccin de la duracin de las actividades. Establezca el PL que hay que resolver para minimizar el costo total de la terminacin del proyecto dentro de 20 das.

Tabla 17

ACTIVIDADDESCRIPCINANTECESORES INMEDIATOSDURACIN

(Das)

AConstruir cimientos-5

BConstruir los muros y los techos A8

CConstruir tejadoB10

DColocar los cables elctricosB5

EColocar VentanasB4

FColocar RevestimientoE6

GPintar la casaC, F3

Tabla 18

ACTIVIDADCOSTO DIARIO POR REDUCIR LA DURACIN DE LA ACTIVIDAD

(Dlares)MXIMA REDUCCIN POSIBLE EN LA DURACIN DE LA ACTIVIDAD (Das)

Cimientos302

Muros y techos153

Tejado201

Cables Elctricos402

Ventanas202

Revestimiento303

Pintura401

SOLUCIN

Apartado (a):

D=5

A=5 B=8 C=10 G=3

E=4 F=6

Clculo manual de los tiempos early.

ET(1)=0.

ET(2)=max{ET(1)+t(1,2)}= max{0 + 5}=5.

ET(3)=max{ET(2)+t(2,3)}= max{5 + 8}=13.

ET(4)=max{ET(3)+t(3,4)}= max{13 + 4}=17.

ET(5)=max.

ET(6)=max.

Luego el tiempo mnimo necesario para ejecutar el proyecto es de 26 das.

Clculo manual de los tiempos late o last.

LT(6)=ET(6)=26.

LT(5)=min{LT(6) ( t(5,6)}= min{26 ( 3}=23.

LT(4)=min{LT(5) ( t(4,5)}= min{23 ( 6}=17.

LT(3)=min.

LT(2)=min{LT(3) ( t(2,3)}= min{13 ( 8}=5.

LT(1)=min{LT(2) ( t(1,2)}= min{5 ( 5}=0.

Resumen y clculo manual de las holguras de los nodos.

SucesoET(i)LT(i)H(i)=ET(i)(LT(i)

1000 *

2550 *

313130 *

417170 *

523230 *

626260 *

Los nodos marcados con * son nodos crticos, es decir pertenecen a alguna ruta crtica.

Apartado (b):Clculo manual de las holguras de las actividades.

ActividadArcoHT(i,j)HS(i,j)HL(i,j)HI(i,j)

A(1,2)5(0(5 = 0 *

B(2,3)13(5(0=0 *

C(3,5)17(13(4=0 *

D(3,6)23(13(10=0 *

E(3,4)26(13(5=8

F(4,5)23(17(6=0 *

G(5,6)16(23(3=0 *

Nota:

HT(i,j)=LT(j)(ET(i)(t(i,j)

HS(i,j)=LT(j)(LT(i)(t(i,j)

HL(i,j)=ET(j)(ET(i)(t(i,j)

HI(i,j) =ET(j)(LT(i)(t(i,j)

Las actividades marcadas con * son actividades crticas, es decir pertenecen a alguna ruta crtica.

Apartado (c):

Son rutas crticas:

A ( B ( C ( G y A ( B ( E ( F ( G.

Apartado (d):PROGRAMA EN LINGO PARA LA RESOLUCION DEL PROBLEMA ANTERIOR! Problema 5 de Winston de la pgina 430;

SETS:

nodos/1..6/: et, lt, h ;

arcos(nodos, nodos)/ 1,2 2,3 3,4 3,5 3,6 4,5 5,6/: t, ht, hs, hl, hi ;

ENDSETS

DATA:

t= 5, 8, 4, 10, 5, 6, 3 ;

ENDDATA

! Clculo del tiempo ms temprano;

et(1)=0;

@FOR(nodos(j)| j #GT#1:et(j)=@MAX(arcos(i,j):et(i)+t(i,j)));

! Clculo del tiempo ms tardo;

lt(6)=et(6);

@FOR(nodos(i)|i #LT#5:lt(i)=@MIN(arcos(i,j):lt(j)-t(i,j)));

!Holgura de los nodos;

@FOR(nodos(i):h(i)=lt(i)-et(i));

!Holgura total de los arcos;

@FOR(arcos(i,j):ht(i,j)=lt(j)-et(i)-t(i,j));

!Holgura de seguridad de los arcos;

@FOR(arcos(i,j):hs(i,j)=lt(j)-lt(i)-t(i,j));

!Holgura libre de los arcos;

@FOR(arcos(i,j):hl(i,j)=et(j)-et(i)-t(i,j));

!Holgura independiente de los arcos;

@FOR(arcos(i,j):hi(i,j)=et(j)-lt(i)-t(i,j));

Las soluciones obtenidas con LINGO coinciden con las dadas manualmente.

Apartado (e):

Ver libro de Winston pgina 423.

Variables de decisin:

xj : el tiempo de ocurrencia del evento correspondiente al nodo j.

Funcin objetivo:

Minimizar z = x6Restricciones:

x1=0

(Consideramos que el proyecto se inicia en el instante 0).

x2(x1 ( 5(Restriccin asociada al arco (1,2) o actividad A).

x3(x2 ( 8(Restriccin asociada al arco (2,3) o actividad B).

x4(x3 ( 4(Restriccin asociada al arco (3,4) o actividad E).

x5(x3 ( 6(Restriccin asociada al arco (3,5) o actividad C).

x6(x3 ( 5(Restriccin asociada al arco (3,6) o actividad D).

x5(x4 ( 6(Restriccin asociada al arco (4,5) o actividad F).

x6(x5 ( 3(Restriccin asociada al arco (5,6) o actividad G).

xj ( 0

para j=1,2,3,4,5,6.

PROGRAMA EN LINGO PARA LA RESOLUCION DEL PROBLEMA ANTERIORLa solucin obtenida con este programa es:

Son actividades crticas aquellas cuyos precios duales son 1, es decir:

Luego son rutas crticas:

Apartado (f):

Ver libro de Winston pgina 424.Funcin objetivo:Min = 30XA + 15XB + 20XC + 40XD + 20XE + 30XF + 40XGRestricciones:

0 ( A( 2;

(Restriccin asociada al arco (1,2) o actividad A).

0 ( B (3;

(Restriccin asociada al arco (2,3) o actividad B).

0 ( C (1;

(Restriccin asociada al arco (3,4) o actividad E).

0 ( D (2;

0 ( E (2;

0 ( F (3;

0 ( G (1;

X2 ( X1 + 5 A;(Restriccin asociada al arco (1,2) o actividad A).

X3 ( X2 + 8 B;

X4 ( X3 + 4 E;

X5 ( X4 + 6 F;

X6 ( X3 + 10 C;

X6 ( X3 + 5 D;

X6 X1 ( 20;

Xj ( 0

para j=1,2,3,4,5,6.

PROGRAMA EN LINGO PARA LA RESOLUCION DEL PROBLEMA ANTERIORLa solucin obtenida con este programa es:

Son actividades crticas aquellas cuyos precios duales son 1, es decir:

Luego son rutas crticas:6

5

3

2

1

4

Diego Lagunar Arribas Juan Mayor Rueda

Pgina 1 de 3Curso 2002/2003

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