Sistemas de Ecuaciones Lineales.

1. Se tienen dos soluciones distintas, x1 y x2, del sistema de ecuaciones lin-eales Ax = b. ¿Cual de las siguientes proposiciones ha de ser necesaria-mente cierta?

(a) b = 0.

(b) A es invertible.

(c) Existe una solucion x del sistema distinta de x1 y de x2.

(d) x1 + x2 = 0.

(e) A tiene mas filas que columnas.

2. La solucion del sistema ax + ay − z = 1x − ay − az = −1ax − y + az = 1

es (x, y, z) = (a, b, c). Si a no es un numero entero, ¿cual es el valor de lasuma a+ b?

(a) −3/2

(b) −1

(c) 0

(d) 1/2

(e) 1

3. ¿Para cuantos valores del parametro k, el siguiente sistema no poseesolucion alguna? kx + y z = 1

x + ky + z = kx + y + kz = k2

(a) 0

(b) 1

(c) 2

(d) 4

(e) Para una cantidad infinita.

1

Matrices.

4. Sea A,B,C tres matrices 2 × 2. Por 0 denote la matriz nula de tamano2× 2. ¿Cuales de las siguientes proposiciones es/son ciertas?

I. Si A2 = 0, entonces A = 0.

II. Si AB = AC, entonces B = C.

III. Si A es invertible con A = A−1, entonces A = I o bien A = −I.

(a) Solamente I

(b) Solamente I y III.

(c) Solamente II y III.

(d) Solamente III.

(e) Ninguna de las anteriores.

5. Si se cumple la igualdad matricial(1 10 1

)n

−(

1 01 1

)n

=

(0 6−6 0

).

¿El valor de n es?

(a) −7

(b) −5

(c) 5

(d) 6

(e) 7

6. Sea M =

(2 41 2

). Resulta que M6 = kM para algun numero entero

k, ¿cual es el valor de k?

(a) 26

(b) 28

(c) 210

(d) 212

(e) 214

7. Dada A =

(1 01 1

), ¿la suma de las cuatro entradas de An es?

(a) 3n

(b) n+ 3

2

(c) n

(d) 2n

(e) n+ 2

8. Si las siguientes dos matrices 3 −2 −2−1 1 13 −1 −2

y

1 a 0−1 b 12 c −1

,

son mutuamente inversas, ¿cual ha de ser el valor de c?

(a) −3

(b) −2

(c) 0

(d) 2

(e) 3

9. La inversa de la matrizA =

2 1 30 −1 24 3 1

es la matrizA = 16

−7 8 a8 −10 −44 b −2

,

donde

(a) a = 5; b = −2

(b) a = 3; b = 2

(c) a = 1; b = −3

(d) a = 2; b = −3

(e) a = 2; b = 3

10. Considere la matriz 1 2 32 3 41 1 5

.

¿Cual es el valor de la entrada en la fila 3 y columna 2 de la matriz A−1?

(a) −1/2

(b) −1/4

(c) 1

(d) 1/4

(e) 1/2

11. ¿Para que valores de a el vector (1, 2, a, 5) es una combinacion lineal delos vectores (0, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1), y (1, 1, 2, 0)?

3

(a) Para ningun valor de a.

(b) Solamente para a = −1.

(c) Solamente para a = 1.

(d) Solamente para a = 3

(e) Para una cantidad infinita de valores de a.

12. En un sistema homogeneo de 5 ecuaciones lineales y 7 incognitas, el rangode la matriz de coeficientes es 4. ¿El numero maximo de vectores solucionindependiente es?

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

(e) 5

4

Determinantes.

13. Considere la matriz 1 2 34 5 67 8 9

.

Si r denota su rango y d su determinante. ¿Cual es el valor de r − d?

(a) −2

(b) −1

(c) 0

(d) 1

(e) 2

14. Suponga que el determinante de la matriz a b ck l mp q r

,

es d. ¿Cual serıa el determinante de la matriz k 2(a− k) p+ kl 2(b− l) q + lm 2(c−m) r +m

?

(a) −8d

(b) −6d

(c) −2d

(d) 2d

(e) 8d

15. Si A es la matriz 2× 2 cuya entrada (i, j) es i+ j, y B es la matriz 3× 3cuya entrada (i, j) es i+ j, ¿cual es el valor de la suma detA+ detB?

(a) −2

(b) −1

(c) 0

(d) 2

(e) 5

5

16. Considere la funcion f : R −→ R definida por por f(x) = detAx, en donde

Ax =

1 1 x1 −1 x2

−1 0 1

.

¿Cual es el valor maximo que toma la funcion f?

(a) −7/4

(b) −1/2

(c) 0

(d) 1/2

(e) 3/4

17. Sean A y B dos matrices de tamano 4×4, suponiendo que el determinantede A es 3, y el de B es 2, ¿cual es el determinante de la matriz 2(AB)−1?

(a) 1/3

(b) 2/3

(c) 4/3

(d) 8/3

(e) 12

18. Si A =

(1 23 4

), ¿cual es el determinante de A−1?

(a) −5

(b) −2

(c) −1/2

(d) 1/5

(e) 2

19. ¿Para cual valor de a la siguiente matriz no es invertible?7 6 0 15 4 a 08 7 0 10 0 1 1

(a) −1

(b) 0

(c) 1

(d) 3

6

(e) 9

20. ¿Para que valores de p el sistema de ecuaciones px + y = 1x + py + = 2

+ y + pz = 3

no posee solucion?

(a) 0, 1

(b) 1, −1

(c) −1

(d) −2

(e) 0, 1, −1

7

Geometrıa de Vectores.

21. Considere los puntos A = (−1, 2), B = (6, 4), y C = (1,−20) en R2. ¿Paracuantos puntos D en R2 los puntos A,B,C,D forman los vertices de unparalelogramo?

(a) Ninguno.

(b) Uno.

(c) Dos.

(d) Tres.

(e) Cuatro

22. ¿Cual es el area del triangulo cuyos vertices son (0, 0, 1), (0, 2, 0), y (3, 0, 0)?

(a) 8/3

(b) 7/2

(c) 3

(d) 6

(e) 7

23. Sean ~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0), ~e3 = (0, 0, 1) los vectores de la base

canonica de R3. Si ~b y ~c son vectores tales que∥∥∥~b∥∥∥ = 3, ~b ·~c = 5, ‖~c‖ = 7,

y ~b× ~c = 8~e2 + 4~e3. ¿Cual de los siguientes vectores satisface la ecuacion

~a ·((~a+ ~c

)×~b)

= 12?

(a) ~a = 2~e1 + ~e2 − 2~e3

(b) ~a = ~e1 − ~e2 + 2~e3

(c) ~a = ~e1 − 2~e2 + ~e3

(d) ~a = 2~e1 − ~e2 + ~e3

(e) ~a = ~e1 + 2~e2 − 2~e3

24. Dados tres vectores ~a, ~b y ~c, se satisface la identidad ~a × (~b × ~c) = (~a ·~c)~b− (~a ·~b)~c (esta identidad es conocida como “BAC-CAB rule”). ¿Cual

de los siguientes vectores satisface la ecuacion ~a×~v = ~b, en donde ~a es unvector unitario y ~b es ortogonal a ~a?

(a) ~v = ~b+ (~a×~b)(b) ~v = ~b− (~a×~b)(c) ~v = (~a×~b)(d) ~v = ~a+ (~a×~b)(e) ~v = ~a− (~a×~b)

8

Rectas y Planos.

25. Sea P = (1,−1, 1) y Q = (−3, 3, 3). ¿Cual es el punto R sobre la rectaque contiene a P y a Q cuya distancia a P es 3 veces la distancia a Q, yademas R no esta entre P y Q?

(a) (−4, 4, 7/2)

(b) (−5, 5, 4)

(c) (−13/3, 13/3, 11/3)

(d) (−15/2, 15/2, 11/2)

(e) (−9, 9, 6)

26. ¿Cual de las siguientes ecuaciones describe el plano que pasa a traves delos puntos (2, 0, 1), (0, 6,−2), y (−2, 3, 1)?

(a) 3x+ 4y + 6z = 12

(b) 2x+ 2y − 3z = 9

(c) x+ 2y + z = 9

(d) x+ 2y − 3z = 7

(e) y − z = 4

27. Sea L la recta que pasa por los puntos (−1,−2, 4) y (4, 2, 1). ¿En quepunto la recta L interseca al plano x+ y + 2z = 11?

(a) (5, 4, 1)

(b) (1, 2, 4)

(c) (8, 9,−3)

(d) (6, 7,−1)

(e) (9, 6,−2)

28. Si L es la recta que pasa por el punto A = (3, 2, 1) en direccion del vector~v = (−2, 1, 3), ¿cual es la ecuacion del plano que contiene a L y al puntoB = (−2, 3, 1)?

(a) −x+ y + z = 6

(b) 3x− 2y − z = 4

(c) x+ 6y − 11z = 5

(d) x+ 5y − z = 12

(e) 2x+ 10y − 19z = 7

29. Considere los planos x + 3y − 2z = 7 y 2x + y − 3z = 0 de R3. ¿Cual delos siguientes conjuntos es la interseccion de ambos planos?

9

(a) ∅(b) {(0, 3, 1)}(c) {(x, y, z) ∈ R3 : x = t, y = 3t, z = 7− 2t, para algun t ∈ R}(d) {(x, y, z) ∈ R3 : x = 7t, y = 3 + t, z = 1 + 5t, para algun t ∈ R}(e) {(x, y, z) ∈ R3 : x− 2y − z = −7}

10

Espacios Vectoriales.

30. Considere las matrices

A =

(1 10 −1

), B =

(0 11 1

), C =

(−1 01 1

), D =

(3 30 −2

).

Resulta que D se escribe como combinacion lineal de A,B,C, es decir,hay numeros a, b, c tales que D = aA+ bB + cC. ¿a, b, c vienen dadas demanera respectiva por?

(a) 1, 1,−1

(b) 2, 1,−1

(c) 2, 2,−2

(d) 1,−2, 1

(e) −1, 1,−2

31. Los vectores (−1, 1, 1), (1, 1, 1) y (1,−1, k) forman una base de R3, estopara cualquier valor de k a excepcion de un valor particular. ¿Cual es elvalor de k para el cual los anteriores vectores forman una base para R3?

(a) −2

(b) −1

(c) 0

(d) 1

(e) 2

32. Suponga que B es la pase de un espacio V de dimension mayor a 1. ¿Cualde las siguientes proposiciones podrıa ser cierta?

(a) El vector cero de V es un elemento de B.

(b) B posee un subconjunto propio que genera V .

(c) B es subconjunto propio de un subconjunto linealmente independi-ente de V .

(d) Existe una base de V disjunta de B.

(e) Uno de los vectores de B es combinacion lineal de otros vectores deB.

33. ¿Cual es la dimension del subespacio de R4 generado por el siguienteconjunto de vectores?

1−101

,

−2111

,

−1012

,

0000

,

11−2−5

11

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

(e) 5

34. ¿Cual es la dimension del subespacio de R5 generado por el siguienteconjunto de vectores?

10−101

,

00000

,

01−110

,

0010−1

,

0−11−10

,

−1010−1

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

(e) 5

35. ¿Para cual valor de a el vector (12, 11, a) esta en el espacio fila generadopor la siguiente matriz? 1 4 7

2 5 83 6 9

(a) −1

(b) 0

(c) 1

(d) 3

(e) 9

12

Ortogonalidad y Proyecciones.

36. ¿Cual de los siguientes conjuntos de vectores forman una base para elsubespacio R4 que consiste de todos los vectores que son ortogonales a(0, 1, 1, 1) y a (1, 1, 1, 0)?

(a) {(0, 1, 1, 0)}(b) {(1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)}(c) {(−2, 1, 1,−2), (0, 1,−1, 0)}(d) {(1,−1, 0, 1), (−1, 1, 0,−1), (0, 1,−1, 0)}(e) {(0, 0, 0, 0), (−1, 1, 0,−1), (0, 1,−1, 0)}

37. Suponga que ~a y ~b son dos vectores en Rn linealmente independientes. Sea

~c =~a ·~b‖~c‖2

~a−~b. ¿Cual de las siguientes proposiciones es verdadera?

(a) ~a y ~c son linealmente dependientes.

(b) ~a y ~c son ortogonales.

(c) ~b y ~c son linealmente dependientes.

(d) ~b y ~c son ortogonales.

(e) {~a,~b,~c} forman un conjunto linealmente independiente.

38. ¿Cual es la distancia perpendicular desde el origen al plano x+2y+2z = 6?

(a) 1

(b) 4/3

(c) 2

(d) 8/3

(e) 3

13

Transformaciones Lineales.

39. La transformacion lineal T : R2 −→ R2 es tal que envıa (1, 2) a (−1, 1) y(0,−1) a (2,−1). ¿A que punto de R2 es enviado (1, 1)?

(a) (1, 2)

(b) (1, 0)

(c) (2,−1)

(d) (2, 1)

(e) (1, 1)

40. Si T es una transformacion lineal que aplica los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0),y (0, 0, 1) en los vectores (1, 2, 3), (2, 3, 1), y (1, 1,−2); respectivamente,¿cual vector es la imagen bajo T del vector (3,−2, 1)?

(a) (1, 1, 7)

(b) (1, 0, 5)

(c) (0, 1, 5)

(d) (0, 1, 9)

(e) (1, 7, 0)

41. Sea T : R3 −→ R una transformacion lineal tal que T (1, 0, 1) = 1,T (0, 1,−2), y T (−1,−1, 0) = 3. ¿Si v = (x, y, z), T (v) puede ser ex-presado como?

(a) −4x− 7y + 3z

(b) 4x− 7y − 3z

(c) 3x− 6y − 3z

(d) 3x− 6y − 2z

(e) 4x− 7y + 3z

42. Sea v = (a, b, c)t un vector de R3, arbitrario pero fijo. Defina la transfor-macion lineal T : R3 −→ R3 por la relacion T (x) = v × x (que en efectodefine una transformacion lineal). Se sabe entonces que hay una matrizA tal que, T (x) = Ax para todo x in R3. ¿Cual de las siguientes matriceses A?

(a)

0 −c bc 0 −a−b a 0

(b)

1 −c bc 1 −a−b a 1

14

(c)

0 c −b−c 0 ab −a 0

(d)

1 c −b−c 1 ab −a 1

(e)

0 a ba 1 cb c 0

43. Defina un par de transformaciones lineales S, T : R2 −→ R2 de la siguiente

manera: S rota cada vector π/2 de radian en el sentido contrario a lasagujas del reloj, y T refleja cada vector a traves del eje−y. ¿Cual de lassiguientes igualdades es correcta?

(a) S ◦ T = I

(b) S ◦ T = −I(c) T ◦ S = I

(d) S ◦ T = T ◦ S(e) S ◦ T = −T ◦ S

44. Sea f : R3 −→ R3 la funcion definida por la igualdad f(x) = Ax, en donde

A =

1 2 34 5 67 8 9

¿Cual de las siguientes proposiciones describe de mejor forma la imagende f?

(a) Un punto.

(b) Una recta que pasa por el origen.

(c) Un plano que contiene al origen.

(d) La union de un plano que contiene al origen con una recta que pasapor el origen, siendo la recta perpendicular al plano.

(e) Todo el espacio R3.

45. ¿Cual es la dimension del nucleo de la transformacion lineal que vienedada por la matriz

1 2 −1 03 2 0 11 2 0 2−1 0 1 3

?

(a) 0

15

(b) 1

(c) 2

(d) 3

(e) 4

46. Sea T una transformacion lineal sobreyectiva que va de un espacio V dedimension 11, a un espacio W de dimension 7. ¿Cual es la dimension delnucleo de T?

(a) 0

(b) 2

(c) 3

(d) 4

(e) 5

47. Sea T : R5 −→ R3 una transformacion lineal cuyo nucleo es un subespaciotridimendional de R5. ¿El conjunto {T (x) : x ∈ R5} es?

(a) El origen.

(b) Una recta que pasa por el origen.

(c) Un plano que contiene al origen.

(d) Todo el espacio R3.

(e) No puede ser determinado de la informacion dada.

48. Sea T : Rn −→ Rn una transformacion lineal invertible. ¿Cual de lassiguientes proposiciones no es verdadera?

(a) El nucleo de T es {0}.(b) T es inyectiva.

(c) La dimension del nucleo de T es cero.

(d) La dimension de la imagen de T es n

(e) La dimension del nucleo de T−1 es igual a la dimension de la imagende T .

49. Considere T la transformacion lineal de R2 en R2 que viene dada porT (x, y) = (2x− y, x + 3y). Resulta que T es invertible, ¿su inversa vienedada por?

(a) T−1(x, y) =(3x+ y,−x+ 2y

)(b) T−1(x, y) =

(37x+ 1

7y,−17x+ 2

7y)

(c) T−1(x, y) =(− 3

7x+ 27y,−

17x+ y

)(d) T−1(x, y) =

(x+ 2y,−x+ 3y

)(e) Ninguna de las anteriores.

16

Vectores propios y Valores propios.

50. Sea A la matriz

(1 −3−2 2

). ¿A cual valor propio de M esta asociado

el vector propio (2, 3)?

(a) −4

(b) −1

(c) 1

(d) 2

(e) 4

51. Resulta que (1, 2, 3) es un vector propio para la matriz 2 3 −13 2 12 2 3

.

¿A cual valor propio de dicha matriz esta asociado?

(a) 2

(b) 3

(c) 4

(d) 5

(e) Ninguno de los anteriores.

52. Si v es un vector propio de A, una matriz invertible, entonces ¿cual de lassiguientes proposiciones son necesariamente ciertas?

I. v tambien es un vector propio de 2A.

II. v tambien es un vector propio de A2.

III. v tambien es un vector propio de A−1.

(a) Solamente I.

(b) Solamente II.

(c) Solamente III.

(d) Solamente I y II.

(e) I, II, y III.

53. Si A es una matriz n×n donde todas las entradas de la diagonal son iguala a, y todas las demas entradas son igual a b, entonces un valor propio deA es a− b. ¿Otro valor propio de A es?

(a) b− a

17

(b) a+ (n− 1)b

(c) nb− a+ b

(d) 0

(e) Ninguna de las anteriores.

54. Si A es una matriz invertible, siendo 4 un valor propio de A con x un vectorpropio asociado. ¿Cual de las siguientes afirmaciones deber ser cierta?

(a) La matriz A−1 posee a 1/4 como valor propio con x como un vectorpropio asociado.

(b) La matriz A−1 posee a 1/4 como valor propio con x como un vec-tor propio asociado, en donde x es el vector cuyas entradas son losinversos multiplicativos de las respectivas entradas de x.

(c) La matriz A2 posee a 4 como valor propio con x como un vectorpropio asociado.

(d) La matriz A2 posee a 8 como valor propio con 2x como un vectorpropio asociado.

(e) La matriz A2 posee a 4 como valor propio con 4x como un vectorpropio asociado.

55. ¿Para que valor de k, λ = 1 es un valor propio de la matriz k 1 21 2 k1 2 3

?

(a) −1

(b) −1/2

(c) 0

(d) 1/2

(e) 1

56. Se tiene que los valores propios de la matriz(2 b3 −1

)son −4 y b− 1. ¿Cual es el valor de b?

(a) 2

(b) 3

(c) 4

(d) 5

18

(e) 6

57. Si 1 es un valor propio de la matriz A =

(2 b3 −1

). ¿Cual de los

siguientes numeros podrıa ser otro valor propio de A?

(a) −3

(b) −2

(c) 2

(d) 3

(e) 4

58. Sea A =

(2 1−1 x

). ¿Cual es el conjunto de valores de x para el cual la

matriz A posee dos valores propios repetidos?

(a) {0, 4}(b) {0, 3}(c) {1, 4}(d) {1, 3}(e) {1, 2}

59. Se tiene que una matriz A de tamano 3 × 3 posee un unico valor pro-pio, ¿cual es la dimension del espacio propio correspondiente a este valorpropio?

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 1 o 2.

(e) 1, 2, o 3.

60. Suponga que A =

(5 −26 −2

). ¿Cual de las siguientes matrices puede ser

utilizada para diagonalizar A?

(a)

(2 13 2

)(b)

(6 −25 −2

)(c)

(2 00 1

)

19

(d)

(1 00 2

)(e)

(2 31 2

)

20