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UNIVERSIDAD DEL BÍO-BÍOFACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

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Listado Métodos Numéricos

1.- Demuestre que las siguientes ecuaciones tienen al menos una solución en los intervalos dados

a) xcosx -2x2 +3x – 1, [0.2, 0.3] y [1.2, 1.3]

b) ( x - 2)2 - lnx = 0, [1, 2] y [e, 4]

c) x – (lnx)x = 0, [4, 5]

2.- Determine intervalos que contengan soluciones a las siguientes ecuaciones

a) x – 3-x = 0b) 4x2 - ex = 0c) x3 -2x2 - 4x + 3 = 0

3.- Use el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para mostrar que la gráfica de f(x)= x3 + 2x + k cruza al eje x exactamente una vez, sin importar el valor de la constante k

4.- Suponga que f C[a, b] y que f´ existe en (a, b) . demuestre que si f´(x)0, para toda x en (a, b), entonces puede existir a lo sumo un número p en [a, b] tal que f(p) = 0

5.- Determine el segundo polinomio de Taylor P2(x) para la función f(x) = excosx en torno a x0= 0

a) Use P2(5) para aproximar f(0.5). Determine una cota superior para el error |f(0.5)- P2(0.5)| por medio de la fórmula para el error y compárelo con el error real

b) calcule una cota para el error |f(x)-P2(x)| al usar P2(x) para aproximar f(x) en el intervalo [ 0, 1].

c) Aproxime ∫0

1

f ( x )dx por medio de

∫0

1

P2 ( x )dxd) Calcule una cota superior para el error

en c) mediante ∫0

1

|R2( x )dx|y compárela con el error real

6.- Suponga que p* debe aproximar p con un error relativo a lo sumo 10 -3. determine el máximo intervalo en que debe estar p* para cada valor de p.

a) 150, b) 900, c) 1500

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7.-Un amperímetro marca las lecturas con un error de 0.05A. Se realiza una lectura que da como resultado 10A Calcular la cota del error absoluto y relativo , determine un intervalo que contenga el valor exacto.

8.- Una corriente eléctrica fluye a través de una resistencia de 10, dándose este valor dentro de una aproximación del 10%. La corriente es de 2A dentro de una aproximación de 0.1A. Aplicando la ley de Ohm,¿cuáles serán los errores máximo absoluto y relativo del voltaje calculado?¿Entre qué límites está el valor verdadero del voltaje?

9.- Se desea calcular T mediante la siguiente expresión :

T=2 π √ ImgL

Si los errores porcentuales asociados a los datos son 1% en I, 1/2% en m, g, L , se pide :

a) Calcular el error porcentual asociado a T, suponiendo que es exacto

b)Calcular el error porcentual asociado a T si para se considera el valor 3.00 0.15

10.- Un cierto proceso está regido por la ley : z = uvw

Si los instrumentos con que se miden u, v y z tienen una precisión de 1%, 2% y 5% respectivamente , y las mediciones realizadas son u = 3, v = 2.5, y z = 16. calcular la precisión de w.

11.- Si R = V/I, ¿Con qué precisión relativa deberá medirse I para que el error relativo en el cálculo de R no exceda un 6% si V se toma con un error de 2%.

12.- Se desea construir un silo en forma de cilindro circular recto de 5 metros de diámetro básalo y 10 metros de altura, con un error relativo porcentual no mayor a 1% en el volumen . ¿Qué margen de error permisible en radio y altura se debe tener?

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13.- Jenkins y White han determinado valores exactos del índice de refracción , para diferentes longitudes de ondas (Ao) , en un material de vidrio. Algunos de estos avlores se muestran en la siguiente tabla:

6563 6439 5890 5338 5086 4861 4340 3988

1.50883 1.50917 1.51124 1.51386 1.51534 1.51690 1.52136 1.52546

Se pide

a) Usar el 20, 40 y 70 pares de valores de la tabla para formular un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar las constantes A, B, C en la ecuación de Cauchy para el índice de refracción

η=A+ B

λ2+ C

λ4

b) Resolver el sistema formulado mediante el método de factorización de Croutc) Obtener , a partir de la factorización ya realizada , la factorización según Doolitle

de la matriz de coeficientes del sistemad) Obtener la factorización según Cholesky de la matriz de los coeficientes,

verificando que ésta cumple las condiciones requeridas para la aplicabilidad del método. Realizar las transformaciones pertinentes si fuera necesario

14) Sea (A) el número de condición de una matriz A Mn(IR). Demostrar que

a) (AB) (A)(B), A, B Mn(IR).

b) (cA) = (A), c IR, A Mn(IR).

c) 2(UA) = 2(A) , A Mn(IR), U Mn(IR), U matriz ortogonal

d) 2(A) n2 (A)

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15) Dada una matriz U ortogonal, es decir U-1 = UT

a) Probar que (U) = 1, donde el número de condición se calcula con la norma espectral b) Considerar el sistema de ecuaciones lineales Ux = b donde U es una matriz ortogonal, y el

sistema perturbado U( x + x) = b + b. Obtener una cota del error absoluto de la solución y realizar un estudio de la estabilidad del sistema( Ind. (A-1)T = (AT)-1 )

16) Sea el sistema de ecuaciones lineales Ax = b

Si x +x es la solución del sistema A(x + x) = b + b

Demostrar que una cota del error relativo en x, introducido por el error en b, está dado por:

‖Δ x‖‖x‖

≤ μ(A)‖Δb‖‖b‖

17.- Sea el sistema :

{ 10 x1+3 x2+x3=92 x1+5 x2−x3=−5x1−3 x2+10 x3=24

Resolver el sistema considerando x(0) = 0 y usando

a) Método de Gauss-Jacobib) Método de Gauss – Seidel

En cada caso, use como test de parada ER(k)<∈, donde el error relativo es

ER(k)=

max1 ≤i ≤3

|x i(k+1)−x i

(k)|max1 ≤i ≤3

|x i(k +1)|

, k = 0, 1, 2, ….

y la cota de error es = 0.005

18.- Dados A=[2 a 0a 2 a0 a 2] ; b=[123]

a) Probar que el método de Gauss- Seidel es convergente para el sistema Ax = b si y sólo si cumple

|a|<√2(Ind. Hallar el radio espectral de la matriz iterativa = -E-1F, obteniendo la matriz E-1 por el

método de diagonalización de Gauss- Jordan

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b)Resolver el sistema para a =1.1 , por el método de Gauss- Seidel, hasta obtener x5 , usando

x0=[0,0,0 ]T

c) Calcular ‖x5−x4‖∞