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Lo ordinario y lo extraordinario en el aula de Matemáticas1

José Luis Lupiáñez GómezDepartamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de GranadaEspañalupi@ugr.es

Resumen2

Interpretar y resolver problemas, enfrentar demandas rutinarias y complejas, aplicarconocimientos a la práctica o desarrollar formas de comunicación y argumentación,forman parte de las prioridades habituales en la enseñanza de las matemáticas.Que chicos ordinarios realicen acciones extraordinarias, representa parte de lasexpectativas del profesor que persigue que los alumnos desarrollen sus compe-tencias. Pero ocasionalmente surgen mentes extraordinarias que necesitan nuevosretos y estímulos y es responsabilidad del docente suministrar a unos y otrosuna educación matemática de calidad. En esta conferencia relacionaré lo ordinariocon lo extraordinario en matemáticas en el contexto de las tareas matemáticasque pueden afrontar los escolares y las implicaciones de esa coexistencia para elprofesorado.

Palabras clave

Competencia matemática, tareas, altas capacidades, talento matemático, enrique-cimiento curricular.

Abstract

Interpreting and solving problems, confronting routine and complex demands, ap-plying knowledge to practice, and developing forms of communication and argu-mentation are a part of the habitual priorities in the teaching of Mathematics.That ordinary children carry out extraordinary actions, represents part of the ex-pectations of the teacher that seeks for students to develop competencies. Butoccasionally extraordinary minds emerge that need new challenges and stimuli,and it is the teacher?s responsibility to provide all with a quality MathematicsEducation. In this paper the ordinary will be related to the extraordinary in Math-ematics in the context of the mathematical tasks that students can face and theimplications of this coexistence for teachers.

Key words

Mathematical competence, tasks, high-level capacities, mathematical talent, cur-ricular enrichment.

La tecnología permite que alguien ordinario realice cosas extraordinarias

Jim Kaput

1 Este trabajo corresponde a una conferencia paralela dictada en la XIV CIAEM, celebrada en TuxtlaGutiérrez, Chiapas, México el año 2015.

2 El resumen y las palabras clave en inglés fueron agregados por los editores.

Recibido por los editores el 10 de noviembre de 2015 y aceptado el 15 de enero de 2016.Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2016. Año 11. Número 15. pp 253-268. Costa Rica

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La introducción de la noción de competencia en las directrices curriculares de muchospaíses ha promovido un determinado enfoque del aprendizaje escolar. Este enfoquedestaca que el aprendizaje se manifiesta mediante la acción, interpretando y resol-viendo problemas y cuestiones, enfrentando demandas cognitivas de distinto nivel decomplejidad y aplicando conocimientos a la práctica. También enfatiza que este apren-dizaje fomenta el desarrollo personal y social del individuo para vivir y desenvolverseen la sociedad, para desarrollar capacidades y habilidades de manera autónoma, pa-ra tomar decisiones con criterio y, en síntesis, para mejorar su calidad de vida. Esteenfoque expresa unos fines válidos para todos los escolares; la noción de competenciaestablece un nivel de expectativa que deben alcanzar toda la comunidad de alumnoscon motivo de la educación obligatoria que cursan. En este caso estaré hablando deun aprendizaje ordinario, no como sinónimo de vulgar, sino de básico o estandarizado.Pero la realidad del aula evidencia que es frecuente encontrar alumnos que requierenunas actuaciones específicas, bien porque manifiestan algún tipo de dificultad paraseguir el ritmo de sus compañeros o bien porque destacan con claridad por encimade ellos. Y mientras son generalizadas y están notablemente desarrolladas medidaspara atender la educación del primer grupo, aún hay muchas líneas abiertas en lacaracterización de las actuaciones idóneas para los escolares del segundo grupo, es-pecialmente en el área de matemáticas. Como señala Leikin (2008), existe una profundabrecha entre lo que se constata en la investigación en Educación Matemática y lo quese avanza en la investigación sobre educación de alumnos con altas capacidades.En este caso de los escolares de altas capacidades, hablaré de un aprendizaje extra-ordinario. Estos términos, ordinario y extraordinario, no pretenden desarrollarse comoun constructo teórico elaborado; su uso en el ámbito educativo lo escuché por primeravez en 1999 en una conferencia en México del tristemente desaparecido Jim Kaput(cita al inicio) en un contexto sobre el uso de tecnología en el aula. Mi interés aquíes emplearlos para relacionar dos realidades del aula de matemáticas con las que elprofesorado puede encontrarse y para las que tiene que desarrollar estrategias docen-tes diferenciadas. Concretamente, centraré mi reflexión en la problemática del diseñode tareas matemáticas significativas en ambos casos.

1. Lo ordinario

En el enfoque funcional por competencias, el aprendizaje de las matemáticas se centraen la importancia del empleo y la puesta en práctica, de manera racional, reflexiva ycoherente, del conocimiento matemático en una variedad de situaciones y contextos. Lacompetencia matemática es parte constitutiva y organizativa del currículo de matemá-ticas y establece el aprendizaje de los escolares sobre esta materia a largo plazo. Elconocimiento de la terminología propia de las matemáticas, con sus vocablos y expre-siones más usuales, la definición de los conceptos básicos y el manejo de técnicas yalgoritmos, constituye el conocimiento del contenido matemático. Aprender el contenidomatemático es un aspecto importante del aprendizaje matemático escolar, pero no esel prioritario.

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Para ser matemáticamente competente hay que conocer, representar, comunicar, ejem-plificar y usar los contenidos matemáticos; identificar y describir situaciones en quelos conceptos y procedimientos implicados se pueden poner en juego considerando suscondicionantes; resolver problemas y cuestiones usando una variedad amplia de estra-tegias en diferentes contextos; y cultivar una actitud crítica y constructiva para validary contrastar los razonamientos seguidos y las soluciones encontradas. (Lupiáñez y Rico,2015)Fomentar ese aprendizaje en el aula de matemáticas no es tarea sencilla. Las decisionesy las actuaciones que debe determinar el profesor son complejas y necesitan de unaplanificación muy detallada. Existen muchos acercamientos que sugieren decisionesmetodológicas de los profesores para llevar a la práctica un currículo funcional y enellos siempre destaca la importancia de la propuesta de tareas que éstos les puedenplantear a los escolares. Así, Watson y Sullivan (2008), destacan el papel de las tareasen el aprendizaje y su importancia en la enseñanza:

Las diferentes tareas escolares proporcionan diferentes tipos de actividad matemá-tica y las experiencias de los estudiantes con estas diferentes actividades, indicandistintos tipos de aprendizaje de las matemáticas. Cuando el profesor decide em-plear unas tareas particulares, o una clase de tareas, están tomando decisionesacerca de actividad matemática, del aprendizaje que podría producirse y sobre laspropias matemáticas. (p. 111)

Snow-Renner (2001) y Carrión (2007) consideran las tareas de aprendizaje para losescolares como una dimensión clave de las oportunidades de aprendizaje que los pro-fesores pueden suministrarles. En esta misma línea, Lo y Wheatly (1994) sostienenque: “La selección de tareas es de especial importancia. (. . . ) el profesor es capaz deplanificar actividades que tengan el potencial de crear oportunidades de aprendizaje”(p. 148). Centrándose más en la actividad de planificación del profesor, Horoks y Robert(2007), sostienen que un análisis detallado de las tareas que los profesores plantearána los escolares, es fundamental en el aprendizaje de éstos.Las tareas constituyen el principal medio por el que un profesor puede perseguiren sus escolares el logro de los objetivos específicos de un tema de matemáticas. Lafunción cognitiva de una tarea se centra en proporcionar un contexto en el cual proponerdeterminadas actuaciones a los escolares mediante el uso de una o varias herramientasmatemáticas. Las tareas ejemplifican y, a la vez, muestran la diversidad de actividadesque pueden considerarse en relación y bajo el enunciado de un determinado objetivo.Las tareas son demandas cognitivas que movilizan conocimientos para su empleo. Unatarea es un reto para el alumno, y sirve para mostrar su aprendizaje sobre un focode contenido movilizando conceptos y procedimientos y, asimismo, un indicador paraque el profesor valore el grado de logro del aprendizaje expresado mediante uno ovarios objetivos. A su vez, una familia de tareas conexas también han de contribuir aldesarrollo paulatino de las competencias matemáticas en los escolares y servir comoinstrumentos para valorar su grado de desarrollo (Lupiáñez, 2009).Los criterios para el diseño de tareas pueden ser muy variados y no es objetivo deeste trabajo describirlos todos. Pero encuentro importante ejemplificar algunos de ellosque son especialmente propicios para desarrollar la competencia matemática de los

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escolares. Estos criterios tienen que ver con la actuación que promueve la tarea, conla situación en la que se enmarca y con la complejidad que tiene para el resolutor.

Actuación promovida

Es obvio que las tareas que el profesor planifique, como propuestas de acción, debenestar vinculadas al análisis y selección que hace el profesor sobre los conceptos yprocedimientos que configuran el contenido matemático que está trabajando en elaula. Pero esas tareas también deben contribuir al logro de unas expectativas deaprendizaje. En algunos casos pueden perseguir la adquisición de alguna destreza, peroen otros, deben movilizar un conjunto de conocimientos y habilidades que promuevenel desarrollo de la competencia matemática. Si tomamos como ejemplo el tema de lasuma de los números naturales, es obvio que los escolares de educación primaria obásica deben usar diferentes algoritmos para sumar y pueden diseñarse muchas tareaspara esa finalidad. Pero la suma posee un gran número de propiedades y relacionesque relegan los algoritmos a un segundo plano (Cañadas y Castro-Rodríguez, 2011).La siguiente tarea, extraída de Rico y Lupiáñez (2008, p. 315), profundiza en esta idea:

Cada una de las siguientes sumas 243+675 = 918; 318+654 = 972 y 154+782 = 936contienen todos los dígitos del 1 al 9. Descubre nuevas sumas con esta mismapropiedad.

Esta tarea tiene que ver con que los escolares descubran relaciones entre númerosnaturales y promueve el cálculo mental. El algoritmo se considera, pero no es unelemento clave. Por el contrario, favorece que los escolares desarrollen argumentos paramostrar y validar sus hallazgos, y todas estas actuaciones son descriptores básicos dela competencia matemática.

Situación

Las tareas escolares constituyen un medio clave que el profesor tiene a su disposiciónpara incentivar en sus escolares el logro de los objetivos específicos de un tema dematemáticas, contribuyendo así al desarrollo de su competencia matemática. La funcióncognitiva de una tarea se centra en proporcionar un contexto en el cual proponer a losescolares determinadas actuaciones con sentido para ellos, mediante el ejercicio de unao varias habilidades matemáticas; una tarea constituye un reto para el escolar y sirvepara motivar la comprensión de un contenido, movilizando conceptos y procedimientosy dotándoles de sentido. El desarrollo paulatino de la competencia matemática enlos escolares se estimulará mediante familias de tareas conexas, que también serviráncomo instrumentos para valorar el grado de su logro y alcance.La secuencia de tareas que un profesor propone a sus alumnos, al vincularse a uno ovarios objetivos específicos, pueden enmarcarse en una amplia variedad de contextos ysituaciones. No es mi argumento el desprestigiar o desaconsejar el empleo de tareastécnicas, enmarcadas en un contexto exclusivamente matemático. Estas tareas contri-buyen a que los estudiantes adquieran y consoliden determinadas destrezas, pero el

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dotar a una tarea de carácter auténtico para el escolar, pasa por su contextualizaciónen una situación en la que éste pueda identificar la necesidad de emplear matemáticaspara dar respuesta a un requerimiento real. Bell, Burkhardt y Swan (1992) destacanvarias condiciones que ha de satisfacer las tareas matemáticas, y entre ellas, destacansu relevancia práctica, en términos de que muy a menudo, se les plantean a los esco-lares tareas que presentan una situación de la vida real, pero plantean cuestiones queno tienen significado práctico.Por ejemplo, si dentro de los objetivos de aprendizaje que hemos elaborado para eltema de fracciones, se incluye el uso de fracciones con el significado de operador, enel que el número racional representa una operación multiplicativa sobre una cantidad,es totalmente acertado si el profesor propone a sus escolares operaciones como lassiguientes: 3/5 de 15 o 4/6 de 24. Pero el hecho de incluir un contexto real en unenunciado como el siguiente, no necesariamente le brinda un carácter auténtico osignificativo, pues muestra una ficción que se aleja mucho de la realidad de cualquierciudadano: En una pastelería tienen 360 productos, si 3/5 de ellos son pasteles, 4/6son tartas y el resto diferentes tipos de pan, ¿cuántas unidades hay de cada tipo deproducto?En una secuencia de tareas, puede haber espacio para algunas de tipo algorítmico, mástécnicas, pero también resulta clave introducir otras que movilicen varios conocimientosde los escolares para que los pongan a prueba en un reto. La siguiente tarea, obtenidadel banco de problemas del Proyecto LEMA3, sí puede resultar auténtica para escolares.¿Cuántos conocimientos activa? ¿Son conocimientos matemáticos? ¿Son únicamente dematemáticas?La siguiente fotografía se tomó durante el descanso de una reunión de profesores.¿Desde qué altura se tomó?

ComplejidadA veces las tareas resultan más sencillas a los escolares por estar enmarcadas enun contexto cercano a ellos porque los conceptos y procedimientos que la resuelvenson simples, corresponden a significados o representaciones más sencillas o han sidosuficientemente practicadas. En otros casos el simple enunciado de la tarea, su longitudo su vocabulario o la cantidad de información, también influye en su complejidad. Pero

3 http://www.lema-project.org

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una faceta clave son las demandas cognitivas que las tareas exigen a los escolares quelas afrontan, pues no siempre esas demandas tienen el mismo grado de complejidad.En el contexto del Proyecto PISA (OCDE, 2005, pp. 40-41) la complejidad de las tareasse organiza en tres conjuntos, en función de las demandas cognitivas que son necesariaspara resolverlas. Resumo esos tres conjuntos en la Tabla 1.

Tabla 1Indicadores para la complejidad de las tareas según demandas cognitivas

Reproducción Conexión Reflexión

Contextos escolaresConocimientos ya

practicadosAplicación de algoritmos

estándarRealización de operaciones

sencillasUso de fórmulas elementales

Contextos familiaresInterpretar y explicarManejar y relacionardiferentes sistemas de

representaciónSeleccionar y usar

estrategias de resolución deproblemas

Tareas que requierencomprensión y reflexión

CreatividadEjemplificar, usar yrelacionar conceptos

Relacionar conocimientospara resolver problemas

complejosGeneralizar y justificarresultados obtenidos

Si volvemos al tema de los números naturales, las siguientes tres tareas ejemplificanestos tres niveles de complejidad. La primera es un problema aditivo de dos etapas(combinación y cambio), que suelen tener una notable presencia en el aula y en loslibros de texto. La segunda incorpora la invención y es necesario interpretar una sumaen un contexto deportivo. Finalmente, la tercera se enmarca en el conjunto de reflexiónporque no se explicita el modo de resolución, porque es necesaria la planificación dediferentes heurísticos y porque es necesaria la justificación de los hallazgos encontra-dos.

En mi hucha tengo 45€ y en mi cumpleaños me han regalado otros 50€. Hedecidido comprarme un juego que cuesta 35€, ¿cuánto dinero me queda ahorrado?

Inventa un problema que tenga que ver con algún deporte que conozcas y que seresuelva con la suma 75+37.

Descubre qué números entre los 20 primeros no se pueden escribir mediante unasuma de dos o tres números consecutivos. Indaga la razón y explícala.

Este papel relevante que tienen las tareas en el aprendizaje escolar, se relaciona conotras muchas consideraciones docentes que el profesor debe tomar en consideración. Enun contexto de una enseñanza funcional, que promueva el desarrollo de la competenciamatemática de los escolares, Onrubia, Rochera y Barberá (2001) destacan, las siguientesrecomendaciones (p. 498):

Contextualizar el aprendizaje de las matemáticas en tareas auténticas y significa-tivas para los alumnos.Orientar el aprendizaje de los alumnos hacia la comprensión y la resolución deproblemas.

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Vincular el lenguaje formal matemático com su significado referencial.Activar y emplear como punto de partida el conocimiento matemático previo, formale informal, de los alumnos.Avanzar de manera progresiva hacia niveles cada vez más altos de abstracción ygeneralización.Enseñar explícitamente y de manera informada estrategias y habilidades matemá-ticas de alto nivel.Secuenciar adecuadamente los contenidos matemáticos, asegurando la interrela-ción entre las distintas capacidades implicadas en la adquisición del conocimientomatemático.Apoyar sistemáticamente la enseñanza en la interacción y la cooperación entrealumnos.Ofrecer a los alumnos oportunidades suficientes de “hablar matemáticas” en el aula.Atender los aspectos afectivos y motivacionales implicados en el aprendizaje ydominio de las matemáticas.

¿Son estas prácticas recurrentes en el aula de matemáticas? ¿Son accesibles? ¿Sontodas aplicables en cualquier contexto educativo? Estas cuestiones y muchas otras quepueden plantearse, están enmarcadas en lo que he denominado aprendizaje ordinario,aquél que deben lograr todos los escolares. Pero como señalé al inicio, la diversidad quede manera natural surge en el aula de matemáticas, nos lleva a considerar la realidadde que hay escolares que tienen un potencial sobresaliente y que, muy habitualmente,deben desarrollar su formación escolar básica dentro de un grupo estandarizado deescolares. Aquí paso a reflexionar sobre lo extraordinario.

2. Lo extraordinario

Aunque como señalan Gutiérrez y Maz (2004), la diversidad en educación no sólo semanifiesta en el alumnado, sino también en el profesorado o los centros, mi interésaquí es reflexionar sobre la diversidad en el aula de matemáticas y, más concretamente,sobre aquella que se manifiesta en las habilidades y el rendimiento de determinadosescolares. El usar el término extraordinario para referirme a los escolares con altascapacidades, pone el énfasis, precisamente, en el carácter que tienen las respuestas,los razonamientos y la actividad matemática de estos alumnos.Castro (2008) identifica tres focos prioritar ios para la investigación sobre los alumnoscon altas capacidades en matemáticas (también denominados con talento matemático):la caracterización del talento matemático, los procesos para el establecimiento demecanismos de identificación y el diseño, implementación y evaluación de propuestasde intervención educativa. Como señala Ramírez (2012), las características que definena un alumnos con talento matemático se han ido desarrollando desde los años ochentadel pasado siglo y una de las caracterizaciones que propone determina que un

alumno con talento matemático es aquel que pregunta espontáneamente cuestionesque van más allá de las tareas matemáticas que se le plantean, busca patrones y

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relaciones, construye nexos, lazos y estructuras matemáticas, localiza la clave delos problemas, produce ideas originales, valiosas y extensas, mantiene bajo controllos problemas y su resolución, presta atención a los detalles, desarrolla estrategiaseficientes, cambia fácilmente de una estrategia a otra, de una estructura a otra,piensa de modo crítico y persiste en la consecución de los objetivos que se propone.(pp. 23-24)

Rodríguez (2004) señala que los programas de diagnóstico e identificación de alumnoscon talento pretenden “determinar su capacidad y ritmo de aprendizaje como indica-dores indispensables para poder ofrecer respuestas educativas que tengan en cuentasus necesidades” (p. 39). Este autor sintetiza varios programas de identificación y eva-luación.Finalmente, en relación a los programas de tratamiento y formación, también existeuna gran variedad de modelos. Como señala Castro (2004), por ejemplo, es posibleestablecer unas marcadas diferencias entre países iberoamericanos en el tratamientoeducativo con alumnos de estas características. Los programas para alumnos con altascapacidades, como señalan Moon y Rosselli (2000), son experiencias educativas espe-cíficamente diseñadas e implementadas en un contexto determinado con el objetivo depromover y desarrollar a estos estudiantes. No se trata de elaborar programas para-lelos, sino actuar para que cada alumno realice los aprendizajes con el ritmo y con elnivel adecuados a sus características.Reyero y Tourón (2003) señalan dos tipos básicos de programas educativos para estosalumnos: los de enriquecimiento (estrategias que permiten ampliar las experiencias deaprendizaje de los alumnos y que generalmente tratan contenidos, materiales y téc-nicas que aparecen en el currículo pero con mayor profundidad) y los de aceleración(estrategias que permiten a los alumnos moverse por el currículo a mayor velocidadsaltándose algún curso, cursarlo de manera comprimida, o bien adelantando el ingresoa determinados ciclos). Hoogevenn (2008) destaca que los programas de enriquecimien-to ofrecen a los estudiantes experiencias educativas adicionales que están dirigidas asuministrarles más desafíos en un ambiente de aprendizaje más rico y que puedentener una finalidad cognitiva, social o ambas. Esta investigadora distingue cinco tiposbásicos de programas de enriquecimiento: dentro del aula (experiencias individuales oen pequeños grupos); fuera del aula (casi todo el tiempo en la escuela estándar perocon actividades extraescolares programadas fuera del aula); grupos de altas capacida-des (estos estudiantes están en grupos específicos si bien comparten con el resto decompañeros materias generales como educación física o música); escuelas de verano(que suelen tener la doble finalidad cognitiva y social); y escuelas de altas capacida-des (que son centro especialmente diseñados para formar a estos estudiantes a tiempocompleto).Si pensamos en el primer modelo, nos encontramos con la situación a la que me hereferido al inicio de este trabajo: un profesor tiene un grupo de alumnos en el que esmuy probable que uno o varios de ellos presente algún tipo de dificultad para seguir elritmo de aprendizaje del resto y también es posible que uno o varios de ellos atesoreun gran potencial, por ejemplo, para las matemáticas.

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¿Qué puede hacer el profesor en este caso? ¿Pierden fuerza los argumentos esgrimidosen el caso ordinario? Ni mucho menos. En ocasiones las altas capacidades se focalizanen un ámbito de conocimiento específico y esos escolares deben formarse en todas lasáreas. De hecho, en aquella disciplina en la que destacan, los criterios presentadosantes para el diseño de tareas siguen teniendo presencia en el caso del enriquecimientocurricular. Pero la caracterización anterior del talento matemático abre muchas puertasen cada uno de ellos.

Actuación promovida

Las características cognitivas de los estudiantes con talento matemático, deben condu-cir el diseño de tareas de enriquecimiento curricular. En ocasiones, su potencial para lamatemática es idóneo para llevar a la práctica actuaciones complejas derivadas de lasactividades que se les propongan. Veamos un ejemplo centrado en invención de pro-blemas que fue realizado por niños de 13 años diagnosticados con talento matemático(Espinoza, Lupiáñez y Segovia, 2013).A los niños se les plantearon dos tareas sobre invención con consignas diferentesy tuvieron 20 minutos para inventarse dos enunciados. La consigna de uno de losproblemas es la siguiente:

Con la siguiente información inventa un problema matemático que te parezca difícilde resolver y que en su resolución se utilice una o varias de las operaciones desuma, resta, multiplicación o división. Si lo consideras necesario, puedes agregarmás datos o información:

Un tren con cuatro vagones para pasajeros sale de una estación a las 9:00 h condestino a Málaga. El tren tiene una capacidad máxima para 294 pasajeros.

A continuación aparecen dos respuestas que dieron dos de los escolares.

En este viaje el tren va lleno. En la primera parada se bajan 2 parejas, una conun hijo más que la otra, y suben un número de personas tal que quedan 290. Enla segunda parada bajan 10 parejas y suben 15 personas y en la última, antes dellegar, bajan 3 personas y suben el triple de niños que tenían las dos primerasparejas juntas. ¿Cuántas personas subieron en la primera parada y cuántos niñostenía cada pareja de la 1° parada?

El tren va a una velocidad de 384 km/h (constante) y entre su posición actual yMálaga hay 583,85 km. Cada vagón mide 5,9 m (locomotora incluida). El primerasiento de cada vagón está situado en el metro cero justo donde empieza el vagóny el último a 1 m del final de cada vagón. Si el tren no se parase en Málaga ysiguiera, ¿cuál sería la diferencia de tiempo que tardaría en cruzar la frontera deMálaga desde el primer pasajero hasta el último, suponiendo que el tren va lleno?

Como puede comprobarse, la riqueza de los problemas manifiesta las característicasde los escolares. En los enunciados aparecen una gran cantidad de datos añadidos,se expresan muchas relaciones entre ellos y también se incluyen diferentes tipos de

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hipótesis. En el segundo enunciado, además, destaca el gran número de magnitudesque espontáneamente surgieron: longitud, velocidad y tiempo.Estos resultados evidencian que las tareas de invención puede movilizar actuacionesmuy ricas en los escolares con talento matemático: “existen algunas característicasdel talento matemático que se asocian a los procesos de invención de problemasaritméticos.” (p. 194)SituaciónLa situación en la que se enmarcan las tareas no juega en este caso un papel tanprimordial o básico como en el caso anterior, pues una de las motivaciones naturalesde los estudiantes con talento matemático es asumir retos nuevos y en muchos casosel contexto puramente matemático les brinda desafíos muy atrayentes. La siguientetarea, por ejemplo, se contextualiza en una noción matemática avanzada, como son elestudio de familias de curvas y se ha usado en un programa educativo del tipo fuerade clase para escolares de 14 años con talento matemático (extraída de cuestionariosde ESTALMAT4):

Una curva de Jordan es una curva cerrada y simple (sin autointersecciones) quedivide al plano en dos zonas: una acotada (interior) y otra no acotada (exterior).Los puntos que se sitúan en esas zonas se denominan, respectivamente, puntosinteriores y exteriores.

a) ¿Cuáles de los siguientes puntos son interiores y cuáles son exteriores?

b) ¿Se puede saber si dos puntos están en la misma zona se ocultan los bordes de lacurva?

4http://www.estalmat.org

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c) En cada uno de estos tres casos, si el punto i es interior, ¿cómo son los puntos j, ky l?

El contexto en esta tarea es totalmente abstracto, si bien se relaciona con un tipo dejuego solitario habitual en revistas y pasatiempos. El núcleo de la tarea es el segundoapartado, en donde los escolares deben explorar relaciones para encontrar que dospuntos están en la misma zona si al trazar una línea que los una, ese segmento cortaun número par de zonas.Esta otra tarea, enmarcada en una situación propia de los medios de comunicación,puede favorecer la discusión y la toma de decisiones, pues el primer paso es delimitarcon claridad que variables se van a considerar y su peso en la solución. Problemasde modelización abierta como ésta, se prestan también a que se presenten en el auladiferentes propuestas de resolución. En el caso de estudiantes con talento matemático,se puede usar con escolares con 8 años.

En 1993 las reservas mundiales de gas natural se estimaron en 141,8 billonesde metros cúbicos. Desde entonces se han consumido anualmente 2,5 billones demetros cúbicos. La Comisión sobre el Desarrollo Sostenible de la ONU necesitahacer un estudio acerca de cuándo se acabarán las reservas de gas natural. Elaboraun informe previo para la Comisión que les ayude a organizar el estudio.

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Como señala Ramírez (2012), las características propias de los estudiantes con talentomatemático pueden manifestarse en los logros al llevar a cabo una actividad matemática,en donde pueden destacar la habilidad para localizar los datos clave de los problemasy desarrollar estrategias de resolución eficientes, habilidades ambas que resultan muyacertadas para esta segunda tarea.ComplejidadPartiendo de las habilidades de los estudiantes con talento matemático, es fácil pensarque la complejidad de las demandas cognitivas que las tareas pueden demandarlespueden llegar a ser muy alta. De hecho, puede ser frecuente que un escolar sea capazde resolver un problema que para otros compañeros es totalmente inabordable y queincluso para los profesores puede resultar muy difícil. Boal y Expósito (2012) señalanque en ocasiones, el profesor puede sentirse incluso desbordado por las exigencias deestos alumnos.La siguiente tarea es un buen ejemplo de esta idea. La propuso Ramírez (2012) aun estudiante de 14 años diagnosticado con talento matemático y éste la resolviómentalmente, sin usar prácticamente un lápiz, en sólo dos minutos.En el siguiente cubo se ha trazado un camino entre C y D que sigue algunas aristas:

A continuación tienes un desarrollo plano de ese cubo y en él está marcada la ubicacióndel punto C y la primera sección del camino. ¿Puedes continuar el camino hasta D?

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En su análisis, Ramírez (op. cit.), encontró que el escolar manifestó una correcta percep-ción de la posición en el espacio y de las relaciones espaciales (pp. 287-288), ademásde que fue capaz de argumentar la bondad de su razonamiento.La complejidad de las demandas cognitivas a las que pueden responder estos esco-lares también se manifiesta en los contenidos matemáticos que se desarrollan en losprogramas que se diseñan e implementan que van dirigidos a ellos. Así, en algunos deestos programas para niños de 13 y 14 años se incluyen cursos de cálculo simbólico,invariantes, programación matemática, grafos, teoría de nudos o astronomía de posición,entre otros.

3. Lo ordinario y lo extraordinario coinciden en el aula de Matemáticas

Si en un aula hay uno o varios escolares con altas capacidades, es necesario y prio-ritario que se planifiquen cuidadosamente estrategias de intervención educativa quepromuevan su desarrollo y que potencien sus habilidades:

Los ajustes que se realicen supondrán la ampliación y el enriquecimiento delcurrículo ordinario, dotándolo de una mayor amplitud en relación con ciertos con-tenidos específicos de área/materia, con alguna unidad didáctica que es tratadacon mayor profundidad o profundizando en temas de su interés, lo que requierede procesos cognitivos más complejos, sin adelantar contenidos correspondientesa cursos superiores. (Boal & Expósito, 2012, p. 58)

Estas autoras destacan además que esas estrategias no tienen por qué ser exclusivasde los estudiantes con altas capacidades, sino que también pueden participar en ellasaquellos alumnos que acaban sus tareas rápido, contribuyendo así a la socializacióncolectiva.Los ajustes metodológicos son necesarios y algunos especialistas sugieren varias re-comendaciones al respecto. Así, por ejemplo, Bueno (2012), propone un modelo deenseñanza diferenciada que favorece:

construir una base de conocimiento significativo y preciso, desarrollar las habi-lidades necesarias para llegar a ser competentes científica y tecnológicamente,y desarrollar actitudes que son valiosas para la sociedad. La diferenciación noes un conjunto de herramientas instructivas, sino una filosofía que un profesor yuna comunidad de aprendizaje adoptan para satisfacer las necesidades de cadaestudiante. Requiere la planificación cuidadosa de las lecciones para conseguirobjetivos y metas importantes e incluye una variedad de métodos y estrategiaspara satisfacer las necesidades de los alumnos”. (p. 95)

Esta autora centra su propuesta en diversas técnicas de aprendizaje cooperativo, enlas que los escolares con altas capacidades se integran con sus compañeros y aportansu potencial al aprendizaje colectivo.En el caso de las matemáticas, hay autores que ejemplifican propuestas metodológicasenriquecedoras para los escolares con talento matemático (Boal y Expósito, 2012; John-son, 2000, citado por Ramírez, 2012). Entre ellas destacan con recurrencia elaboración

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de problemas de ingenio que propondrán para que resuelvan sus compañeros, plan-teamiento de alternativas distintas para resolver problemas, usar juegos de lógica yestrategia, diseño y construcción de juegos de mesa a partir de principios matemáticos,invención y resolución de jeroglíficos y enigmas, explorar relaciones entre matemáticasy prensa o participar en competiciones matemáticas, entre otros.Estas sugerencias y los ejemplos mostrados anteriormente evidencian que en matemá-ticas es posible identificar un gran número de tareas que promueven la puesta en juegode muchas habilidades de alto nivel y que constituyen auténticos retos o desafíos paralos alumnos con altas capacidades. El reto natural para el profesor es secuenciar esastareas en una planificación organizada e integrarla dentro de su actividad docente.El compromiso de la comunidad educativa con la identificación, la promoción y eldesarrollo delas habilidades de los alumnos de altas capacidades debe ser sólido ya largo plazo. La sociedad actual demanda individuos altamente cualificados: “Lashabilidades de alto nivel son críticas para crear nuevos conocimientos y tecnologíasy para estimular la innovación; son claves per se para el crecimiento económico y eldesarrollo social” (OECD, 2013, p. 1). Pero también es fundamental que esos alumnosse desenvuelvan en todas las áreas curriculares, incluyendo aquellas en las que nodestacan, y por esa razón la formación que reciban debe estar en consonancia consu potencial pero también con sus derechos como ciudadanos. Una visión real de laatención a la diversidad en el aula pasa porque reconozcamos esa compleja realidaddel aula y que actuemos en consecuencia.

Agradecimientos

Este trabajo se llevado a cabo con el apoyo del Proyecto de Investigación “Proce-sos de Aprendizaje del Profesor de Matemáticas en Formación”(EDU2012-33030) delPlan Nacional de Investigación, Desarrollo e Innovación del Ministerio de Economía yCompetitividad (España).

Referencias

Bell, A., Burkhardt, H. & Swan, M. (1992). Assessment of extended tasks. En R. Lesh & S.Lamon (Eds.), Assessment of authentic performance in school mathematics (pp. 145-176).Washington: American Association for the Advancement of Science.

Boal, M. T., & Expósito, M. A. (2012). Medidas de intervención específicas para alumnos con altascapacidades en la Comunidad de Madrid: respuestas educativas y programa de enriqueci-miento. En J. C. Torrengo (Coord.), Alumnos con altas capacidades y aprendizaje cooperativo(pp. 53-87). Madrid: Fundación SM.

Bueno, A. (2012). La diferenciación curricular desde una perspectiva de inclusión. Conceptos yprincipios metodológicos generales. En J. C. Torrengo (Coord.), Alumnos con altas capacidadesy aprendizaje cooperativo (pp. 89-124). Madrid: Fundación SM.

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Cañadas, M. C. & Castro-Rodríguez, E. (2011). Aritmética de los números naturales. Estructuraaditiva. En I. Segovia & L. Rico (Coords.), Matemáticas para maestros de Educación Primaria.Madrid: Ediciones Pirámide.

Carrión, V. (2007). Análisis de errores de estudiantes y profesores en expresiones combinadascon números naturales. Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 11, 19-57.

Castro, E. (2004). Perspectivas futuras de la educación de niños con talento. En M. Benavides, A.Maz, E. Castro & R. Blanco (Eds.), La educación de niños con talento en Iberoamérica (pp.171-185). Santiago de Chile: UNESCO.

Castro, E (2008). Resolución de problemas: ideas, tendencias e influencias en España. En R.Luengo, B. Gómez, M. Camacho & B. Lorenzo (Eds.), Investigación en Educación MatemáticaXII (pp 113-140). Badajoz: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática.

Espinoza, J., Lupiáñez J. L. & Segovia, I. (2013). Características del talento matemático asociadasa la invención de problemas. Revista Científica, número especial octubre 2013, 190-195.

Gutiérrez, M. P. & Maz, A. (2004). Educación y diversidad. En M. Benavides, A. Maz, E. Castro &R. Blanco (Eds.), La educación de niños con talento en Iberoamérica (pp. 15-24). Santiagode Chile: UNESCO.

Hoogevenn, L. (2008). Social emotional consequences of accelerating gifted students. Tesis doc-toral. Universidad de Radboud.

Horoks, J. & Robert, A. (2007). Tasks Designed to Highlight Task-Activity Relationships. Journalof Mathematics Teacher Education, 10(4-6), 279-287.

Johnson, D. T. (2000). Teaching mathematics to gifted students in a mixed-ability classroom.Reston, VA: Council for Exceptional Children.

Leikin, R. (2008).Creativity in mathematics and the education of gifted students: research agendaand the complexity of the field. Trabajo presentado en el 11th International Conference ofMathematics Education, ICME-11, TG6: Activities and programs for gifted students. Monte-rrey, México.

Lo, J., & Wheatley, G. H. (1994). Learning opportunities and negotiating social norms in mathe-matics class discussion. Educational Studies in Mathematics,27 (2), 145-164.

Lupiáñez, J. L. & Rico, L. (2015). Aprender las matemáticas escolares. En P. Flores & L. Rico(Coords.), Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en Educación Primaria (pp. 41-60).Madrid: Ediciones Pirámide.

Moon, S. M., & Rosseli, H. C. (2000). Developing gifted programs. In K.A. Heller, F.J. Mönks,R.J. Sternberg, & R.F. Subotnik (Eds.), International Handbook of Giftedness and Talent (pp.499-521). Amsterdam: Elsevier.

OCDE (2005). Informe PISA 2003. Aprender para el mundo del mañana. Madrid: Editorial San-tillana.

OECD (2013). ¿Quiénes son los académicos talentosos? PISA in Focus, 31. Disponible enhttp://www.oecd.org/pisa/pisaproducts/pisainfocus/PISA-in-focus-n31-esp.pdf.

Onrubia, J., Rochera, M. J. & Barberá, E. (2001). La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas:una perspectiva psicológica. En C. Coll, J. Palacios & A. Marchesi (Comp), Desarrollo psi-cológico y educación. Volumen 2: Psicología de la educación escolar. (pp. 487-508). Madrid:Editorial Alianza.

ii

ii

ii

ii

268 Lupiáñez

Ramírez, R. (2012). Habilidades de visualización de los alumnos con talento matemático. Tesisdoctoral. Universidad de Granada.

Reyero, M. & Tourón, J. (2003). El desarrollo del talento. La aceleración como estrategia educativa.A Coruña: Netbiblio.

Rodríguez, L. (2004). Identificación y evaluación de niños con talento. En M. Benavides, A. Maz,E. Castro & R. Blanco (Eds.), La educación de niños con talento en Iberoamérica (pp. 37-47).Santiago de Chile: UNESCO.

Snow-Renner, R. (2001). What is the promise of large-scale classroom practice measures forinforming us about equity student opportunities-to-learn? An example using the Colora-do TIMSS. Trabajo presentado en Annual Meeting of the American Educational ResearchAssociation, Seattle.

Watson, A. & Sullivan, P. (2008). Teachers learning about tasks and lessons. En D. Tirosh & T.Wood (Eds.), Tools and processes in mathematics teacher education (pp. 109-134). Rotterdam:Sense Publishers.