Tercera Jornada localde Enseñanza de las Ciencias Naturales

27 de octubre de 2007

Instituto MurialdoVilla Bosch, Buenos Aires, Argentina

Equilibrio de poblaciones(conejos, lobos y

cuentas)

Agustín Rela – Capacyt – 27 de octubre de 2007

Un tratamiento matemático sencillopropuesto por Alfred J. Lotka y Vito Volterra

en 1925 y 1926.

La lucha por la vida hiere nuestra sensibilidad. A la cultura dominante le incomoda el hecho y lo oculta, o lo disfraza desde la más temprana

educación.

Se nos enseña que habría animalesbuenos y animales malvados.

Tambor, el amigo del cervatillo Bambi

Las presas se muestran a menudo como personajes bondadosos

Rogger Rabbity su novia, la humana Jessica, de Gary K. Wolf, 1981...

...el Correcaminos de Chuck Jones, 1976...

Zeque, el Lobo Feroz, de Walt Disney, 1933.

Piolín y Silvestre (Tweety & Silvester), de Friz Freleng, 1947.

(Naturalmente, en esa ficción el gato nunca se come al pájaro.)

Una reciente excepción: En El Rey León, de 1994, hay leones buenos. Pero las hienas son malvadas.

Jerónimo Rivera ve en esa historia una alegoría de la sociedad estadounidense, con sus aliados,

enemigos, y vecinos marginales y menesterosas.

Casi siempre simpatizamos con la presa, más que con el predador.

El resultado opuesto, el real, nos parece triste...

...aunque lo aceptemos como natural, inevitable, y hasta

necesario, tanto para los lobos, como para los humanos.

Lo que llamamos equilibrio ecológico o estabilidad de las

poblaciones, está lejos de la idea bucólica en la que fuimos criados.

bucólico, ca.(Del lat. bucolĭcus, y este del gr. βουκολικoς, de βουκoλος, boyero).

1. adj. Dicho de un género de poesía o de una composición poética, por lo común dialogada: Que trata de cosas concernientes a los pastores o a la vida campestre.

2. adj. Perteneciente o relativo a este género de poesía.

3. adj. Dicho de un poeta: Que cultiva el género bucólico. U. t. c. s.

4. adj. Que evoca de modo idealizado el campo o la vida en el campo.

5. f. Composición poética del género bucólico.

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El término ecología (Ökologie) fue introducido en 1866 por el biólogo y filósofo prusiano Ernst Haeckel, en su trabajo Morfología General del Organismo.

La palabra, de raíces griegas, significa estudio de las viviendas; y en sentido especial, el del hábitat.

ecología.(De eco-1 y -logía).

1. f. Ciencia que estudia las relaciones de los seres vivos entre sí y con su entorno.

Real Academia Española (Edición 19, de 1979)

ecología.(De eco-1 y -logía).

1. f. Ciencia que estudia las relaciones de los seres vivos entre sí y con su entorno.

2. f. Parte de la sociología que estudia la relación entre los grupos humanos y su ambiente, tanto físico como social.3. f. Defensa y protección de la naturaleza y del medio ambiente. La juventud está preocupada por la ecología.

Real Academia Española (Edición 22, de 2001)

Vito Volterra(1860-1940) Físico matemático italiano, n. en Ancona y m. en Roma. Catedrático de la Universidad de Roma desde 1900, senador y presidente de la Accademia dei Lincei, durante la I Guerra Mundial se alistó en el cuerpo de Ingenieros, donde se interesó por la artillería aire-tierra, asegurándose haber sido el primero que disparó desde una aeronave. Su oposición al fascismo y el pretexto de su origen judío le supusieron la expulsión de su cátedra y de las sociedades científicas italianas, si bien en 1936 el Papa Pío XI lo recibió en la Pontificia Academia de Ciencias. Exiliado a...

...Francia hasta 1939, impartió cursos en distintos países, entre ellos España. Volterra desarrolló la solu-ción de ecuaciones integrales de límites variables que lleva su nombre, y en 1926, sobre un problema de poblaciones de peces, diseñó la ecuación logística que serviría de base a Alfred J. Lotka (1880-1949) para desarrollar la ley de crecimiento de dos poblaciones competitivas (por ejemplo, depredadores y presas), expresada como sistema de doble ecuación diferencial (ecuaciones de Lotka-Volterra). Sus Opere matemati-che (Roma, 1954–62) se publicaron en cinco tomos.

Alfred James Lotka(Lemberg, 1880-Nueva York, 1949) Matemático estadounidense. Especializado en estadística, se le considera el fundador de la demografía matemática. Estudió la evolución de las poblaciones y definió los conceptos de población estable, población estacionaria y tasa de crecimiento natural. Su obra más importante se titula Teoría analítica de las asociaciones biológicas.

http://www.biografiasyvidas.com

Hipótesis simplificadas

• Los conejos disponen de alimento ilimitado.

• Los conejos siempre mueren comidos, y jamás llegan a viejos.

• Los lobos carecen de predadores y sólo mueren de hambre o de viejos.

• Los lobos sólo disponen de conejos como alimento

Vienen las ecuaciones

¡Prepararse..!

¡Aaaghh..!

)( yxdt

dx

)( xydt

dy

)( yxdt

dx

)( xydt

dy

Cantidad de conejos

)( yxdt

dx

)( xydt

dy

Variación de la cantidad de conejos en un cierto tiempo

)( yxdt

dx

)( xydt

dy

Tiempo en el que ocurre esa variación

)( yxdt

dx

)( xydt

dy

Cantidad de lobos

)( yxdt

dx

)( xydt

dy

Variación de la cantidad de lobos en

el mismo tiempo

)( yxdt

dx

)( xydt

dy

El mismo tiempo, en el que ocurre esa

otra variación

)( yxdt

dx

)( xydt

dy

Tasa de natalidad de los conejos

)( yxdt

dx

)( xydt

dy

Probabilidad de que lo capturen

)( yxdt

dx

)( xydt

dy

Tasa de natalidad de los lobos, mayor

cuando están bien alimentados

)( yxdt

dx

)( xydt

dy

Tasa de mortalidad de los lobos, por

vejez

Procedimiento de cálculocon lápiz y papel

• Elegimos las cantidades iniciales de conejos y lobos, por ejemplo x = 3000; y = 1000.

• Elegimos un lapso, p.ej. dt = 1 mes.

• Elegimos las dos tasas de natalidad, p.ej. = 0,5 nacimiento por conejo y por mes. = 0,0002 nacimientos por lobo y por mes.

• Elegimos las tasas de captura y de mortalidad, p.ej. = 0,0002 capturas por mes, por lobo y por conejo. = 0,5 muertes por mes y por lobo.

x = 3000

y = 1000

dt = 1

= 0,5

= 0,0002

= 0,5

= 0,0002

• Usamos la primera ecuación

dx/dt = x(–y)

dx/1 = 3000 (0,5 –0,00021000)

dx = 3000 (0,3)

dx = 900

Entre nacimientos y muertes, hay 900 conejos más. Había 3000; ahora hay 3900.

• Usamos la segunda ecuación

dy/dt = –y( –x)

dy/1 = –1000 (0,5–0,00023900)

dy = –1000 (–0,28)

dy = 280

Entre nacimientos y muertes, hay 280 lobos más. Había 1000; ahora hay 1280.

• Volvemos a usar la primera ecuación, con las nuevas cantidades de lobos y

conejos:

x = 3900

y = 1280

Resulta una nueva cantidad de conejos:

x = 4852 (redondeamos a un valor entero)

• Volvemos a usar la segunda ecuación con la nueva cantidad de conejos y la que

teníamos de lobos:

x = 4852

y = 1280

Resulta una nueva cantidad de lobos:

y = 1882 (redondeamos a un valor entero)

Y así sucesivamente.

Gráficamente

Lobos

2000 4000 6000

2000

4000

0

Condición inicial

Conejos

Según los parámetros elegidos (alfa, beta, gamma y delta) puede ocurrir, como en este caso, que las poblaciones oscilen, pero que sin embargo se mantengan entre límites estables.

Con otros parámetros, las poblaciones languidecen, o al contrario una explota y causa la extinción de la otra, o de ella misma.

Y hay parámetros que determinan cierta clase de equilibrio de apariencia caótica entre las poblaciones.

Procedimiento de cálculocon computadora

Con planilla de cálculo

100 SCREEN 9:KEY OFF:CLS:I=1120 A=.5130 B=.0002140 C=.5150 D=.0002160 X=3000:Y=1000:WINDOW(0,0)-(X*2,Y*6)165 REM i=i+1:LOCATE I,1: PRINT I;TAB(5); INT(X); INT(Y):IF I>20 THEN STOP180 X=X+A*X-B*X*Y : X=INT(X+.5)200 Y=Y-C*Y+D*X*Y : Y=INT(Y+.5)210 CIRCLE(X,Y),25:I=I+1:FOR PT=1 TO 1000000!:NEXT PT220 GOTO 165:REM AR 2007.Oct.15:save"amano3.bas",a

Con el vetusto y precámbrico GW Basic que usaba en mi juventud; disculpen. Se

resaltan las instrucciones principales.

PT significa perder tiempo.

Nuestro ejemplo, calculado en Basic.

Con diferentes parámetros alfa, beta, gamma y delta, y diferentes poblaciones iniciales.

Curioso caso, que resulta de determinadas condiciones iniciales.

Lo mismo, con el agregado de colores.

Ciertos parámetros dan lugar a comportamientos extraños de las poblaciones. Parecen estables...

...pero después de miles de generaciones, y sin que nadie intervenga...

...estalla una catástrofe poblacional, consecuencia de las reglas establecidas.

(Desborde en la instrucción 50 significa que la cantidad de animales es gigantesca.)

Esto ha sido sólo una simplificación de una teoría de la que no se sabe hasta qué punto es

verdadera.

Nuestras ideas actuales de la naturaleza quizá sean muy distantes de la verdad.

(Visión artística de Quino)

Sin embargo, el modelo presentado, aun dentro de su simplicidad, da cuenta de hechos que se observan realmente en la naturaleza, y sirve de base para planear la explotación y conservación de recursos.

Por ejemplo, en qué momento conviene cazar, pescar, faenar la hacienda y cosechar, y cuándo es más favorable dejar que las poblaciones de organismos se recuperen.

Versión del 19.Oct.2007 - 19:02H

Fin

Corregida el 9.Abr.2008 - 17:25H