LOCALIZACIÓN DE BANDAS DE CORTANTE VIA UN MODELO...

MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM ENGENHARIA Lisboa, 31 de Maio – 2 de Junho, 2004

© APMTAC, Portugal 2004

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LOCALIZACIÓN DE BANDAS DE CORTANTE VIA UN MODELO LOCAL DE DAÑO CONTINUO TIPO J2

Miguel Cervera, Michele Chiumenti y Carlos Agelet de Saracíbar

Centro de Métodos Numéricos en Ingeniería Universidad Politécnica de Cataluña, Barcelona, España

e-mail: [email protected]

Palabras-clave: Bandas de cortante, localización de deformación, modelo de daño continuo tipo J2, métodos de estabilización, sub-escalas ortogonales.

Resumen. Este artículo describe una formulación novedosa para la solución de problemas que contemplen la localización de bandas de deformación de cortante utilizando un modelo local e isótropo de daño continuo tipo J2 y elementos simpliciales (triángulos y tetraedros) mixtos con interpolación lineal tanto para desplazamientos como presión. La existencia y unicidad de la solución se asegura mediante la utilización del método de estabilización de las sub-escalas ortogonales, que consigue estabilidad global y local de las correspondientes ecuaciones discretas de elementos finitos. Se considera un modelo de daño continuo tipo J2 sencillo, local e isótropo, con ablandamiento lineal o exponencial. El módulo de ablandamiento se regulariza en función de la energía de fractura del material en modo II y del tamaño del elemento. Se propone el uso de una viscosidad residual consistente para mejorar la robustez y la convergencia de la formulación. Los ejemplos numéricos muestran que la formulación resultante es completamente estable y notablemente robusta, totalmente libre de bloqueo volumétrico y de oscilaciones espurias de la presión. En consecuencia, los resultados obtenidos no sufren de dependencia respecto de la orientación y el tamaño de la malla, comparándose muy favorablemente con los obtenidos mediante los procedimientos estándar no estabilizados.


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1. INTRODUCCIÓN

Existen varias posibilidades para modelar la formación de bandas de cortante mediante elementos finitos, considerándolas tanto como discontinuidades débiles como fuertes en desplazamientos. En las primeras, el objetivo es capturar la banda de forma tan precisa como sea posible utilizando elementos estándar con campos continuos de desplazamientos. En las segundas, se enriquece el campo de desplazamientos con funciones discontinuas capaces de capturar saltos en el interior de los elementos.

La mayor dificultad que se encuentra al intentar modelar discontinuidades débiles de desplazamiento mediante formulaciones estándar es que las soluciones obtenidas parecen estar determinadas, de forma espuria e inaceptable, por la orientación y la finura de la discretización utilizada. Esta desagradable observación ha sido generalmente atribuida al hecho de durante el régimen de ablandamiento la pendiente de la relación tensión-deformación local se hace negativa y las ecuaciones de gobierno pierden su “natural” carácter elíptico. Para remediar esto se han propuesto en la última década multitud de modelos “no locales”, “enriquecidos”, “micro-polares” o “regularizados”.

Hasta la fecha, la mayoría de los estudios sobre localización de bandas de cortante se han llevado a cabo utilizando modelos plásticos tipo J2, implementados con la formulación estándar irreducible de elementos finitos. Desgraciadamente, la deformación inelástica de un modelo J2 es isocórica, y la formulación irreducible no es capaz de reproducir la correspondiente restricción de incompresibilidad.

De hecho, la formulación mixta desplazamiento/presión es el marco adecuado para resolver problemas cuasi-incompresibles. Recientemente, los autores han aplicado métodos de estabilización, originados en el campo de la dinámica computacional de fluidos ([8, 9] y otros), a la solución de problemas elasto-plásticos incompresibles con elementos simpliciales lineales mixtos, ver [4, 6, 7]. En [5] se demuestra que se pueden desarrollar métodos estables para materiales plásticos tipo J2 con ablandamiento, manteniendo el carácter local de las relaciones constitutivas. Pero las bandas de cortante no se dan exclusivamente en materiales plásticos tipo J2. En este trabajo se formula un modelo de daño continuo tipo J2, local e isótropo, que puede también usarse para modelar de manera estable procesos de localización de deformación de cortante.

El contenido del artículo es como sigue. En la sección siguiente, se presenta de forma esquemática el método de estabilización mediante sub-escalas ortogonales (Orthogonal SubGrid Scale, OSGS). Después, se presenta el modelo isótropo de daño continuo tipo J2. Se describe también la necesaria regularización del módulo de ablandamiento en función del tamaño de los elementos dentro de la banda de localización. También se considera la posibilidad de mejorar la robustez y la convergencia del procedimiento numérico mediante la inclusión de una viscosidad residual consistente. Finalmente, se presenta un ejemplo numérico para demostrar las capacidades de la presente formulación aplicada con elementos simpliciales lineales, triangulares (o tetraédricos), y para comparar los resultados con los obtenidos con formulaciones estándar de Galerkin, ya sean irreducibles o mixtas.


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2. EL MÉTODO DE ESTABILIZACIÓN DE LAS SUBESCALAS ORTOGONALES

Siguiendo los procedimientos estándar, [10], se puede escribir la formulación mixta discreta de elementos finitos del problema mecánico como: encontrar el campo de desplazamientos uh y el de presiones ph, para unas fuerzas por unidad de volumen f, tales que:

( ) ( ) ( ) ( ) hhhhhhhs

tp v0tvfvvsv ∀=−−⋅∇+∇ Ω∂,,,,

( ) hhhh qpK

qq ∀=

−⋅∇ 01,, hu

(1a)

(1b)

donde uh ,vh Є Vh y ph ,qh Є Qh son los campos discretos de desplazamiento y presión y sus variaciones, definidos en los espacios de elementos Vh y Qh, respectivamente. Los paréntesis (•,•) indican el producto escalar en L2(Ω), donde Ω es un dominio abierto y acotado de Rn

ocupado por el sólido en un espacio de n dimensiones. Las Ecs. (1) deben cumplir las condiciones de contorno adecuadas de Diritchlet y Neumann. Supondremos que éstas consisten en desplazamientos prescritos u = ū en ∂Ωu, y tracciones prescritas t en ∂Ωt, respectivamente. En la Ec. (1b) K es el módulo volumétrico del material.

Como se sabe, la condición inf-sup, [1], implica severas restricciones en la selección de los espacios Vh y Qh cuando se usa una forma discreta de Galerkin estándar. Por ejemplo, si se intenta resolver un problema (cuasi)-incompresible usando símplices lineales, tales como triángulos o tetraedros de deformación constante, se tiene que Vh = P1 y Qh = P0, que no satisfacen la condición inf-suf. Afortunadamente, se puede evitar la rigidez de esta condición modificando en forma apropiada la forma variacional discreta, buscando conseguir la necesaria estabilidad pero utilizando los espacios de interpolación que se deseen.

La idea básica del método de las sub-escalas, [9], es considerar que el campo continuo de desplazamientos se puede dividir en dos componentes, una más grosera y otra más fina, correspondientes a las diferentes escalas o niveles de resolución. La solución del problema continuo contiene, por tanto, componentes de ambas escalas. Para que la solución del problema discreto sea estable es necesario incluir, de alguna manera, el efecto de ambas escalas en la aproximación. La escala más gruesa se puede resolver de forma adecuada mediante una interpolación estándar de elementos finitos, que, sin embargo, no puede resolver la escala más fina. No obstante, el efecto de esta escala más fina puede incluirse, al menos localmente, para mejorar la estabilidad de la presión en la formulación mixta. Para esto, se aproxima el campo de desplazamientos del problema mixto como

uuu ~+= h (2)

donde uh ∈Vh es la componente correspondiente a la escala (gruesa) de los elementos finitos y ũ∈ V~ es el enriquecimiento del campo de desplazamientos correspondiente a la sub-escala (más fina). Consideraremos también las correspondientes variaciones vh ∈Vh y v~ ∈ V~ , respectivamente.


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En [8] se propone y discute que una elección muy natural para el desconocido espacio de las sub-escalas, V~ , es el espacio ortogonal al espacio de elementos finitos, Vh

. La correspondiente técnica de estabilización se llama método de las sub-escalas ortogonales (Orthogonal Sub-grid Scale method, OSGS), que ha sido ensayado con éxito en varios problemas de dinámica de fluidos.

Siguiendo este procedimiento, y después de algunas hipótesis y aproximaciones adicionales que el lector interesado puede encontrar en [4, 6], es posible llegar al sistema mixto estabilizado de ecuaciones propuesto en este trabajo para resolver el problema de comportamiento elástico con daño tipo J2 (incompresible) utilizando interpolaciones lineales para desplazamientos y presión. Tiene la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) hhhhhhhs p v0tvfvvsv ∀=−−⋅∇+∇ Ω∂,,,,

( ) [ ]( ) h

n

ehhhehhhh qpqp

Kqq

elem

∀=−∇⋅∇−

−⋅∇ ∑

=

0τ1,,1

Πu

( ) ( ) hhhhhp ηη,Πη, ∀=−∇ 0

(3a)

(3b)

(3c)

donde el parámetro de estabilización τe se define más abajo. Es importante resaltar que, si se usan interpolaciones lineales para desplazamientos y

presión, el único término de estabilización aparece en la ecuación (3b). Obsérvese que en ella aparece una nueva y tercera variable nodal: Πh. La ecuación (3c) define Πh como la proyección L2 (ajuste de mínimos cuadrados) del gradiente de presión. En [4] se demuestra que la desventaja de tener que calcular una variable nodal adicional se puede solucionar fácilmente, consiguiendo un procedimiento que es, a la vez, robusto y eficiente.

En [5] se propone mejorar las propiedades de estabilización utilizando un parámetro de estabilización no lineal de la forma

*

2

2τ

Gche

e = ( 4 )

calculado como función del tamaño característico del elemento he y del módulo de rigidez secante G*. Para modelos constitutivos no lineales, este módulo es obviamente no constante y varía a lo largo del proceso de deformación. En régimen de ablandamiento, G* decrece y, en consecuencia, el valor de τe aumenta. La constante c = O(1) debe determinarse mediante experimentación numérica.

3. MODELO DE DAÑO CONTINUO TIPO J2

3.1. Ecuación Constitutiva

La Mecánica de Daño Continuo se basa en la definición del concepto de tensión efectiva. En este trabajo, el tensor de tensiones desviadoras efectivas se define en la forma:


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es G2= (5)

donde G es el módulo elástico de cortante del material y e es el tensor de deformaciones desviadoras. La ecuación constitutiva para el modelo de daño tipo J2 se define en la forma

( ) ( ) ess GddKp v 211;ε −=−== (6)

donde vε es la deformación volumétrica y se ha introducido el índice de daño, d, cuya definición y leyes de evolución se definen a continuación. 3.2. Caracterización del daño

Para definir de forma clara conceptos tales como carga, descarga y recarga en estados triaxiales de tensión, se define una cantidad escalar positiva llamada tensión equivalente. Con esta definición se pueden relacionar los diferentes estados de tensión con un único test unidimensional de tensión equivalente, lo cual permite su comparación cuantitativa. En este trabajo, la tensión desviadora equivalente se define como:

[ ] 21

23

23τ s:ss == (7)

que se corresponde con la definición habitual de la tensión equivalente de von Mises s . Con esta definición, se introduce el criterio de daño, Φ ,en la forma:

( ) 0τ,τ ≤−=−=Φ rsrr (8)

La variable r es una variable interna tipo tensión que se interpreta como el valor actual del umbral de daño, en el sentido de que su valor controla el tamaño de la superficie de daño, que se expande de forma monótona. Nótese que el criterio de daño se define en el espacio de tensiones desviadoras efectivas. En el espacio de tensiones principales, la forma del criterio de daño se corresponde con el conocido cilindro de von Mises, con eje sobre el eje hidrostático.

La expansión de la superficie límite de daño bajo condiciones de carga, descarga y recarga está controlada por las relaciones de Kuhn-Tucker y por la condición de consistencia de daño:

( ) ( )( ) ( ) 0,τentonces0,τsi

0,τ0,τ0=Φ=Φ

=Φ≤Φ≥

rrrrrrr&&

&&

(9a)

(9b)

Éstas, a su vez, conducen a la definición explícita del valor de la variable interna r, en la forma:

( ) τmax,max ),0[ ∞∈= torr (10)

El valor inicial del umbral de daño es ro = σo, donde σo es el valor inicial de la tensión uniaxial de daño.


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Finalmente, el índice de daño se define explícitamente en función del valor actual del

umbral de daño, d = d(r), de forma que sea una función monótonamente creciente en el rango 0 ≥ d ≥ 1.

En este trabajo, consideraremos las siguientes funciones de ablandamiento: • Ablandamiento linear:

( ) ( ) uoo

s rrrrr

Hrd ≤≤

−+= 11 (11)

donde HS ≥ 0 es una constante y ru = ro(1+1/HS). Para r > ru , d(r) = 1.

• Ablandamiento exponencial:

( ) ∞≤≤

−−−= rr

rrr

Hrr

rd oo

os

o 2exp1 (12)

3.3. Daño dependiente de la velocidad de carga

En muchos materiales hay una fuerte relación entre la velocidad de carga y el crecimiento del daño. Por tanto, es natural desarrollar un modelo sensible a la velocidad de carga dentro del marco de la mecánica de daño continuo, a partir del modelo de daño independiente de la velocidad de carga y que tenga en cuenta la citada dependencia de la velocidad de deformación a través de las leyes de evolución del daño. Para esto, consideremos una regularización de tipo viscoso de la condiciones de Kuhn-Tucker y de consistencia, de manera que éstas sean sustituidas por la ley:

ϑr

r−

=τ

& ≥ 0 (10)

donde <• > es la función rampa y ϑ es el tiempo de retardo para el daño. Nótese que esta modificación de la ley de evolución sólo afecta a la integración del umbral de daño r, pero no al índice de daño d. Éste sigue calculándose de forma cerrada, a través de la definición explícita de la función de ablandamiento d = d(r). 3.4. Régimen de ablandamiento y regularización

Durante el proceso de ablandamiento, la tensión decrece a medida que aumenta la deformación, hasta anularse. Con esta evolución de la tensión, queda encerrada un área finita


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entre la curva de tensión-deformación y el eje horizontal de deformación. Este área define la energía disipada en el volumen de control durante el proceso de daño. En análisis mediante elementos finitos, esto se traduce en la pérdida de objetividad de los resultados, en el sentido de que las deformaciones inelásticas tienden a localizarse en una banda de sólo un elemento de espesor, independientemente del tamaño he de los elementos de la malla. A medida que las mallas se refinan, y he tiende a cero, las deformaciones tienden a concentrarse en una banda de anchura nula (una línea geométrica), y la energía disipada en el proceso de fallo va disminuyendo hasta anularse. Claramente, esto es inaceptable desde el punto de vista físico.

Para remediar este conocido hecho, en [1] se propone el uso de una técnica de regularización basada en la energía de fractura, que hoy se utiliza en muchas aplicaciones de elementos finitos. Esta técnica se basa en la hipótesis de que la disipación tiene lugar en una banda de sólo un elemento de espesor, independientemente del tamaño de éste. El concepto básico consiste en modificar la ley de ablandamiento de tal manera que la energía disipada en un elemento íntegramente dañado sea igual a un valor dado, que depende de la energía de fractura del material y de la longitud característica del elemento lch ; esta longitud depende de las dimensiones geométricas del elemento y mide la anchura computacional de la zona de fractura. La energía disipada por unidad de volumen D se re-escala para cada elemento de manera que se satisfaga la ecuación

IIch GlD = (13)

donde GII es la energía de fractura en modo II del material, supuesta una propiedad medible de éste. 3.4.1. Comportamiento independiente de la velocidad de carga

Consideremos un experimento ideal en el que la deformación crece monótonamente y de forma cuasi-estática desde un estado inicial indeformado hasta otro en el cual se produce degradación total del material. Utilizando la versión del modelo de daño independiente de la velocidad de carga, la energía disipada por unidad de volumen en el proceso es:

( ) ( ) ∫∫∫∞∞∞

′=

==

0

2

00 223/2:2

21

rdrdr

GdtdGdtDD && ee (14)

donde la tasa de daño se ha expresado como .rdd && ′= Utilizando bien la ecuación (11) o la (12), para ablandamiento lineal o exponencial, respectivamente, integrando D e igualando luego D = GII/lch , se obtiene que

01

≥−

=chs

chss lH

lHH (15)

donde =SH σ o2/(3(2G)GII) depende exclusivamente de las propiedades del material, ya GII

es la energía de fractura en modo II por unidad de área,σ o es la resistencia uniaxial y G es el módulo de cortante elástico.


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En el marco de los modelos constitutivos locales y análisis por elementos finitos, las variables de estado se calculan en los puntos de integración en función de la historia de deformación (y/o tensión) local. Por lo tanto, las variables internas umbral e índice de daño se calculan en los puntos de integración. En consecuencia, la longitud característica está relacionada con el área (o el volumen) de cada elemento finito. Para elementos simpliciales lineales, la longitud característica puede identificarse con el tamaño representativo del elemento, lch = he. En este trabajo, y suponiendo que los elementos son aproximadamente equiláteros, el tamaño del elemento se calcula como he

2 = (4/ 3 ) Ae para elementos triangulares, siendo Ae el área del elemento, y como he

3 = (12/ 2 ) Ve para elementos tetraédricos, donde Ve es el volumen del elemento. 3.4.2. Comportamiento dependiente de la velocidad de carga

Consideremos ahora un experimento ideal en el que la deformación crece monótonamente pero no de forma cuasi-estática desde un estado inicial indeformado hasta otro en el cual se produce degradación total. Utilizando ahora la versión del modelo de daño dependiente de la velocidad de carga, la energía disipada por unidad de volumen en el proceso es:

( ) [ ]∫∞

′+=0

2

223/2

r

drdrrG

D &ϑ (16)

Comparando la Ec. (14) con la Ec. (16) es obvio que la segunda se reduce a la primera para un valor nulo de ϑ , o para procesos muy lentos, con r& tendiendo a cero. En otros casos, la ley de evolución (10) asegura que los términos r y (ϑ r& ) sean del mismo orden. Por lo tanto, puede suponerse que el parámetro regularizado de la Ec. (15), que regulariza el modelo independiente de la velocidad, regulariza también el modelo dependiente de la velocidad, tanto para ablandamiento lineal como exponencial. 4. VISCOSIDAD RESIDUAL CONSISTENTE

En materiales tipo J2 con ablandamiento, las deformaciones de corte localizan y el módulo de corte secante G* = (1 - d) G disminuye rápidamente a medida que aumenta la deformación, hasta anularse eventualmente. Esto conlleva valores muy altos del parámetro de estabilización. Al mismo tiempo, algunas componentes del tensor constitutivo tangente se hacen negativas, conduciendo a una matriz de rigidez global que no es definida positiva. Estas circunstancias producen dificultades numéricas que se traducen en poca velocidad o incluso falta de convergencia de la solución de las ecuaciones discretas no lineales, particularmente en problemas que presentan puntos singulares, en los que se alcanzan valores muy altos de las deformaciones.


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Por otro lado, son bien conocidos y están documentados en la literatura los beneficios que, desde el punto de vista numérico, conllevan la regularizaciones “viscosas”, aunque es cierto que la introducción indiscriminada de viscosidad “artificial” cambia la naturaleza de la solución obtenida. Es, por tanto, importante diseñar un esquema de alto orden en el cual se añada una mínima cantidad de viscosidad artificial sólo allí donde es necesaria y, también, de manera consistente, esto es, con valores decrecientes con el tamaño de los elementos.

Se propone aquí regularizar el modelo de daño con una viscosidad artificial residual, definida en función de la proyección ortogonal del residuo de la ecuación de momento en el espacio de elementos finitos (ver [4] y [5]), en la forma

hhe pG

thc Π−∇∆′=ϑ ( 17 )

donde c’ = O(1) es una constante, he es el tamaño característico del elemento, ∆t es el tamaño del paso de tiempo y G es el módulo de cortante. Nótese que así definido, ϑ tiene unidades de tiempo. 5. EJEMPLO NUMÉRICO

En esta sección se demuestra el comportamiento de las formulaciones irreducible, mixta estándar y mixta estabilizada con sub-escalas ortogonales (OSGS) considerando un ejemplo numérico que combina elasticidad compresible con daño isótropo tipo J2 con softening exponencial. Nótese que la única fuente de incompresibilidad es el modelo de daño.

El ejemplo resuelto consiste en una placa rectangular en condiciones de deformación plana con cuatro perforaciones circulares colocadas de forma simétrica y sometida a un estiramiento

Figura 1. Geometrías original y deformada (x 5) de la placa con multiples perforaciones


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en la dirección axial mediante desplazamientos verticales impuestos. Debido a la doble simetría del dominio y de las condiciones de contorno, sólo se discretiza una cuarta parte del dominio (el cuarto superior derecho).

La Figura 1a muestra la geometría original del problema. Las dimensiones son 20 x 40 m x m (b x h) y el radio de las perforaciones es r = 1 m. Se supone un espesor de 1 m. El dominio computacional se divide en una malla uniforme no estructurada de 7.310 triángulos lineales de 3 nodos (un total de 3.810 nodos) con un tamaño medio de he = 0.25 m.

Se suponen las siguientes propiedades del material: módulo de Young E = 10 MPa, coeficiente de Poisson υ = 0.3 (recuérdese que G = E/2( 1+υ ) , K = E/3(1-2υ )), tensión uniaxial de daño σo = 10 KPa y energía de fractura en modo II GII = 200 J/m2. Se toma un valor c = 1 para la evaluación del parámetro de estabilizaciónτ e. Se toma un valor de c’ = 10 para la evaluación de la viscosidad residual.

La Figura 2 muestra los resultados obtenidos utilizando la formulación irreducible estándar, una vez que las bandas de cortante están totalmente desarrolladas y el mecanismo de colapso puede apreciarse claramente ((mitad) del desplazamiento vertical δ = 0.10 m). Obviamente, las isolíneas de presión presentas severas oscilaciones, particularmente en las proximidades de las bandas de cortante en forma de X. La presencia de bloqueo volumétrico es evidente en los gráficos que muestran la deformación desviadora equivalente e = 3/2 e y el índice de daño, d. La falta de objetividad respecto a la orientación de la malla es clara, ya que las bandas de cortante exteriores presentan un quiebro brusco y siguen la orientación preferente de la malla, formando un ángulo incorrecto de ± 30º con la horizontal; también presentan una ramificación espuria cerca de los contornos laterales. Las bandas de cortante interiores también tienen una orientación incorrecta, reflejo de la orientación de la malla, y no se intersecan en el centro del espécimen.

Figura 2. Resultados para una placa con múltiples perforaciones usando la formulación irreducible estándar.

Isolíneas de : (a) desplazamiento vertical, (b) deformacion desviadora equivalente, (c) índice de daño y (d) presión


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Figura 3. Resultados para una placa con múltiples perforaciones usando la formulación mixta estándard. Isolíneas de : (a) desplazamiento vertical, (b) deformacion desviadora equivalente, (c) índice de daño y

(d) presión

Figura 4. Resultados para una placa con múltiples perforaciones usando la formulación mixta estabilizada.

Isolíneas de : (a) desplazamiento vertical, (b) deformacion desviadora equivalente, (c) índice de daño y (d) presión

La Figura 3 muestra los resultados obtenidos usando la formulación mixta estándar,

también para un valor (mitad) del desplazamiento vertical δ = 0.10 m. Los resultados obtenidos con este método son mucho mejores que los obtenidos con la formulación irreducible. En este caso las bandas exteriores forman aproximadamente un ángulo correcto de ± 45º con la horizontal, aunque también presentan una curvatura y una ramificación espuria cerca de los contornos laterales. Las bandas de cortante interiores tienen una


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orientación correcta, y se intersecan en el centro del espécimen. La falta de estabilidad local del método queda claramente demostrada por las severas oscilaciones de la presión que se producen en el interior y en las proximidades de las bandas de localización.

Por su parte, la Figura 4 muestra los resultados obtenidos usando la formulación mixta estabilizada con sub-escalas ortogonales (OSGS) que aquí se propone, para el mismo valor (mitad) del desplazamiento vertical δ = 0.10 m. Los resultados obtenidos con este método son muy satisfactorios, y no se observan oscilaciones anómalas de la presión ni dentro ni fuera de las bandas de localización. La resolución de las bandas de cortante es óptima, tal como muestran los gráficos de isolíneas de desplazamiento vertical deformación desviadora equivalente, con las discontinuidades ocurriendo en un único elemento. No se observan ni quiebros bruscos ni ramificaciones. La orientación de las bandas no se ve afectada en modo alguno por las direcciones preferentes de orientación de la malla. La geometría deformada de la placa (con un factor de amplificación de 5 para los desplazamientos) se muestra en la Figura 1b.

La Figura 5 muestra las curvas (mitad) de carga vs (mitad) de desplazamiento vertical impuesto (recuérdese que se calcula para un espesor de 1m) obtenidas con las tres formulaciones: (a) irreducible estándar, (b) mixta estándar y (c) mixta estabilizada con OSGS. Se puede observar como el fenómeno de bloqueo volumétrico afecta a las dos formulaciones estándar sin estabilizar, y sobre todo a la formulación irreducible.

Finalmente, la Figura 6 muestra las curvas (mitad) de carga vs (mitad) de desplazamiento vertical impuesto obtenidas con la formulación mixta estabilizada y dos mallas uniformes no estructuradas con dos tamaños de elemento diferentes: (a) he = 0.25 m y (b) he = 0.50 m (1.810 elementos, 977 nodos). Es evidente que no se observa una fragilización anómala de los resultados cuando se reduce el tamaño de los elementos de la malla. Por el contrario, los resultados obtenidos pueden considerarse prácticamente independientes del tamaño de los elementos empleados. 5. CONCLUSIONES

Este artículo presenta la aplicación de elementos simpliciales lineales mixtos estabilizados a la solución de problemas de localización de deformación de corte utilizando un modelo local e isótropo de daño continuo tipo J2.

Se obtiene una formulación totalmente estable usando el método de estabilización de las sub-escalas ortogonales (OSGS), que permite usar interpolaciones del mismo orden para los campos de desplazamientos y presión. Se muestra que la formulación propuesta consigue un control total sobre la presión, eliminando completamente las oscilaciones tanto globales como locales inducidas por la condición de deformación incompresible impuestas por el modelo constitutivo. Esto se traduce en la consecución de tres objetivos importantes: (a) la solución del correspondiente problema de contorno existe y es única, (b) la posición y orientación de las bandas de localización es independiente de la orientación de la malla de elementos finitos,


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Figura 5. Fuerza vs desplazamiento para placa perforada. Comparación entre diferentes formulaciones

Figura 6. Fuerza vs desplazamiento para placa perforada. Comparación entre diferentes tamaños de malla


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y (c) las curvas de respuesta global post-pico fuerza-desplazamiento son independientes del tamaño de los elementos en la banda de localización.

El método propuesto proporciona un esquema robusto, adecuado para aplicaciones ingenieriles en 2D y 3D.

REFERENCIAS

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