Logaritmo 1

Logaritmo

Logaritmos

Gráfica de LogaritmosDefinición

Tipo Función real

Descubridor(es) John Napier (1614)

Dominio

Codominio

Imagen

Propiedades BiyectivaCóncavaEstrictamente crecienteTrascendente

Cálculo infinitesimal

Derivada

Función inversa

Límites

Funciones relacionadas Función exponencial

El rojo representa el logaritmo en base e.El verde corresponde a la base 10.

El púrpura al de la base 1,7.

En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar labase para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a lapotencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculode logaritmos es la operación inversa a la potenciación de la base del logaritmo.

Logaritmo 2

DefiniciónDado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un númerofijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función seescribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.[1]

(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; sí y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)

• La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 .• x tiene que ser un número positivo .• n puede ser cualquier número real .Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

Identidades logarítmicasLos logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:•• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

•• El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

•• El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

•• El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

Cambio de baseSon comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario),o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos noes crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en baseb (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):

en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso de lasmatemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medidade la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. Eninformática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.

Logaritmo 3

Elección de la baseSe denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) al logaritmo en base e; fueron desarrollados por JohnNapier.Los logaritmos de base 10, decimales, comunes o vulgares son aquellos en que la base es 10. Fueron inventados ydesarrollados por Henry Briggs.Para representar la operación de logarítmica se escribe la abreviatura Log y como subíndice la base y después elnúmero resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Ejemplo: luego .Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

HistoriaEl método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier (latinizadoNeperus) en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemático yrelojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicósu descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiadapor Kepler, por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban.Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la resolución decálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegación marítima y otrasramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en elcálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmonatural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire deSaint-Vincent en 1647.Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban demanera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar larelación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier escogió r = 1 - 10−7 = 0,999999 (Bürgi eligiór = 1 + 10−4 = 1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenían log 1 = 0, sino log 107 = 0. Así, si N es unnúmero y L es el logaritmo, Napier calcula: N = 107(1 − 10−7)L. Donde (1 − 10−7)107 es aproximadamente 1/e,haciendo L/107 equivalente a log1/e N/107.Inicialmente, Napier llamó «números artificiales» a los logaritmos y «números naturales» a los antilogaritmos. Mástarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción: λόγος (logos) elsentido de proporción, y ἀριθμός (arithmos) significado número, y se define, literalmente, como «un número queindica una relación o proporción». Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier en su «teorema fundamental»,que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, demanera que una progresión aritmética de logaritmos corresponde a una progresión geométrica de números. Eltérmino antilogaritmo fue introducido a finales de siglo xvii y, aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas,perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso.

Logaritmo 4

Definición analítica

En la imagen se puede ver la representacióngráfica del logaritmo neperiano, como también larepresentación de las rectas tangentes a la función

en x = e (Te) y en x = 1 (T1).

Podemos introducir la función logarítmica como una función analíticaque es de hecho la función primitiva de otra función analítica bienconocida. Para definir de esa manera el logaritmo empezamos conalgunas observaciones:

1. La derivada de la función es . Aldividir ambos lados de la expresión entre "n" y observar elresultado, se puede afirmar que una primitiva de es

(con ).2. Este cálculo obviamente no es válido cuando , porque

no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa es la única función «potencia» que no tiene una primitiva«potencia».

3. Sin embargo, la función es continua sobre el rango lo que implica que tiene forzosamente unaprimitiva en este intervalo, y también sobre .

A la función analítica cuya existencia se deduce de las observaciones anteriores la llamaremos función logaritmo, yla definiremos convencionalmente como:

Propiedades de la función logarítmica

1. El dominio de la función definida anteriormente es el conjunto de los números reales positivos.2. es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva.3. Tiene límites infinitos en y en .4. La tangente que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen.5. La tangente que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: .6. La derivada de segundo orden es , siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, hacia

abajo, como la forma que tiene la letra "r" ( ), es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva.Es lo que se constata con y .

7. La función logaritmo neperiano es la inversa de la función exponencial: .

Propiedades generales1. Los números negativos no tienen logaritmo en el campo de los reales, ya que cualquiera sea u, es siempre

(o ) y en consecuencia no hay ningún valor de u que pueda satisfacer cuando , sin embargo, se pueden calcular logaritmos de números negativos recurriendo a la fórmula de Euler.

2. El logaritmo de su base es 1. Así ya que .3. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base). Así ya que .4. Si 0<A<1 entonces es un logaritmo negativo. Es lógico ya que el logaritmo de 1 es cero, entonces los

menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente.5. Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión

aritmética. Así las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,32,64...etc y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc ya que, , , , y etc. Luego , , ,

y etc.

Logaritmo 5

Logaritmo decimalLos logaritmos decimales tienen, en general, una parte entera y una parte fraccionaria.• Se denomina característica a la parte entera del logaritmo.• Se denomina mantisa a la parte fraccionaria (que puede ser cero).

1. La característica de un número comprendido entre 1 y 10 (excluido este) es cero. Es lógico ya que y entonces los números comprendidos entre 1 y otro menor que 10 serán decimales, con entero 0,que es su característica.

2.2. La característica de los números superiores o iguales a 10 será un número igual a la cantidad de cifras menos 1del mencionado número. Así para 10, 20 o 30 su característica es 1; la de 150 es 2, etc.

3.3. La característica y mantisa de los logaritmos superiores a 1 será positiva.4.4. La característica de los logaritmos entre 0 y 1 será negativa y su mantisa positiva.Los logaritmos negativos se escriben en forma decimal con la característica subrayada seguido de la mantisa. Si unlogaritmo negativo lo ponemos (–C,mantisa) indicaríamos que la mantisa es negativa; por eso se indica un líneahorizontal encima de la característica, indicando que esta se tiene que restar y la mantisa sumar.

ExtensionesEs posible extender el concepto de logaritmo más allá de los reales positivos.

Números reales

Para enteros b y x, el número es irracional (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si b o xtienen un factor primo que el otro no tiene.El logaritmo natural de un número real positivo está bien definido y es un número real. Sin embargo, generalizar ellogaritmo natural a números reales negativos sólo puede hacerse introduciendo números complejos.Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de números complejos la elección de logaritmo de un número negativono es única, aunque la elección hecha es la más frecuentemente usada para extender el logaritmo a números realesnegativos.

Números complejosEl logaritmo natural de un número complejo z es otro número complejo b = ln(z) que sea solución de la ecuación:

(*) La ecuación anterior no tiene solución única. De hecho, tiene un número infinito de soluciones, aunque todas ellasson fáciles de encontrar. Dado un número complejo z escrito en forma polar, una solución posible de la ecuación (*)es b0:

Puede comprobarse que ésta no es la única solución, sino que para cualquier valor resulta que el númerocomplejo bk, definido a continuación, también es solución:

De hecho cada valor particular de k define una superficie de Riemann.

Logaritmo 6

Logaritmo en base imaginariaUn logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidad imaginaria). Este tipo delogaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:

Dónde z es cualquier número complejo excepto 0. Sin embargo, cabe señalar que la fórmula anterior sólo es una delas posibles soluciones ya que la ecuación:

admite no sólo la solución dada anteriormente sino que cualquier x de la forma:

también es solución.

MatricesUna matriz B es logaritmo de una matriz dada A si la exponenciación de B es A:

A diferencia de la exponenciación de matrices, el logaritmo de una matriz real puede no estar definido siempre.En el caso de una matriz diagonalizable es necesario que logaritmo esté definido para todos y cada uno de losautovalores o valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de la matriz está definido y es una matriz real.Si el logaritmo no está definido sobre el espectro o conjunto de autovalores, aún así es posible definir una matrizlogaritmo (en forma similar a como se definen los logaritmos de números negativos o complejos), aunque no resultaúnica.En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es más complicado, ya que requiere encontrar primero suforma canónica de Jordan.

Referencias[1] Weisstein, Eric W. « Logaritmo (http:/ / mathworld. wolfram. com/ http:/ / mathworld. wolfram. com/ Logarithm. html. html)» (en inglés).

MathWorld. Wolfram Research.

Bibliografía• Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada.• Marcos, C., y J. Martínez. Matemáticas.• González Aguilar. Matemáticas.• Chávez Reyes, Carmen y León Quintanar, Adriana. La Biblia de las Matemáticas.

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre LogaritmoCommons.• Weisstein, Eric W. « Logaritmo (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Logarithm. html)» (en inglés). MathWorld.

Wolfram Research.• Historia de los logaritmos por Francisco Javier Tapia Moreno (http:/ / www. mat. uson. mx/ depto/ publicaciones/

apuntes/ pdf/ 2-2-1-logaritmos. pdf)• Proyecto MaTeX: Logaritmos (formato PDF, 58 páginas). (http:/ / personales. unican. es/ gonzaleof/ Sociales_1/

ExpoLog. pdf)

Fuentes y contribuyentes del artículo 7

Fuentes y contribuyentes del artículoLogaritmo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55318235  Contribuyentes: 142857, Acratta, Adept, Airunp, Aleator, Alejandrocaro35, Algarabia, Allforrous, Alvaro qc,Amanuense, Andreasmperu, Andrestorreg, Antonorsi, Antur, AoX, Arkady, Arnajuan, Açipni-Lovrij, Banfield, Belgrano, Biasoli, Bibliofilotranstornado, Bonaire, Bucephala, Bucho,BuenaGente, C4Z4D0R159, CARHER666, Camilo, Carcediano, Carlosavelar1992, Cascaradeg7, Cesarsorm, Crichtoman, Csoliverez, Ctrl Z, DJ Nietzsche, Dangelin5, Daniel JG, David0811,Davius, Deltasubk, Dibujon, Diegusjaimes, Dishtonio, Dodo, Dorieo, Echani, Eduardosalg, El Moska, Emijrp, Equi, Etepero, Farisori, Fernando101, Filipo, Foundling, Fsd141, Furado, G katerin,Gaby mda, GermanX, Ggenellina, Greek, Góngora, Götz, HUB, Humberto, Igna, Ingenioso Hidalgo, Invadinado, Isha, JMCC1, Jainfante, JanoMasoneria, Jarisleif, Jehtao, Jerowiki, Jkbw,Joang4, JorgeGG, Jose luis gonzalez tolosa, Joseaperez, JoshAcevedo, Jtico, Juan Mayordomo, Jurock, Kaprak, Kavanagh, Kismalac, Kn, Kolbert, KronAL, Kved, Laura Fiorucci, Leonpolanco,LordT, Lucien leGrey, Lupinoid, Mafores, Mahadeva, Malfer, ManuelGR, Manwë, Matdrodes, Maugemv, Mayolo, Mecamático, Meredhit, Miss Manzana, Moriel, Muro de Aguas, Murphy eraun optimista, Neomow, Netito777, Nixón, OboeCrack, P40p, PACO, Pablo.cl, Pacomegia, Pedro Nonualco, Petruss, Platonides, Prometheus, Pólux, R2D2!, Raulshc, Resped, Ricardogpn,Roberto Fiadone, Romero Schmidtke, Rondador, Rsg, Sabbut, Sanbec, Santiperez, Savh, Skuark, Snakeyes, Solaris3001, Sonicriderslash, Soulreaper, SrFrederick, SuperBraulio13, Superzerocool,Taichi, Tano4595, Technopat, Tirithel, Txo, Unaiaia, Vbenedetti, Vitamine, Vivero, WLoku, Wesisnay, Wikiléptico, Xtquique, Yeza, 604 ediciones anónimas

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