Logaritmos de base a · 2014-11-20 · Logaritmos de base a Definición Sea a un número real...
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Funciones
Logarítmicas
Logaritmos de base a
Definición
Sea a un número real positivo distinto de 1.
el logaritmo base a de x ,
y = loga x
existe, si y solo si,
x = ay
para cada x > 0 y cada número real y.
Interpretacion de 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥
significa
¿cuál es el exponente al cual se eleva la base a
para que el resultado sea y?
Ejemplos:
= 1
= 3
= 3
= 0
Forma Logarítmica vs. Forma Exponential
y = loga x
significa
¿cuál es el exponente al cual se eleva a para que el
resultado sea y?
• El diagrama muestra que “el logaritmo es un
exponente”.
Ejemplos
• A continuación se muestran varios ejemplos de formas
equivalentes:
Ejemplos Determine el número si es posible:
Debemos encontrar el exponente tal que ay = x.
Ejemplos Determine el número si es posible:
Propiedades de loga x
• Visualizar al loga x como un exponente nos lleva a
las propiedades generales siguientes:
Gráfica de loga x
• Podemos trazar una gráfica logarítmica punto a punto,
igual que otras funciones.
• Trazar la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙
x f(x)
16 4
8 3
4 2
2 1
1 0
½ -1
¼ -2
Gráfica de loga x
• Como log2 x es la
función que deshace lo
que hace 2x , la gráfica
de log2 x es una
reflexión de la gráfica de
2x sobre la línea y = x .
• Esto implica si el par
ordenado (a,b) está en
la gráfica de 2x ,
entonces (b,a) está en la
gráfica de log2 x
Gráfica de 2x y log2 x
f(x) = 2x :para valores muy negativas
en x, los valores de y son muy
cercanos a 0.
f(x) = log2x : NO ESTA DEFINIDA
para valores negativas en x, ni para x
= 0.
Gráfica de loga x • Ambas gráficas son
crecientes. •Dominio ax : R
Rango: (0,∞)
•Dominio loga x: (0,∞)
Rango: R
• Ambas gráficas tiene
asíntotas.
• ax : asíntota horizontal y = 0
• loga x: asíntota vertical x = 0
• Ambas funciones son uno-a-
uno por que pasan la prueba de
la línea horizontal
Casos Especiales
• Cuando la base a es…
• 10 , llamamos log10 x el logaritmo común de x ;
• normalmente se escribe log x en vez de log10 x .
• e, llamamos loge x el logaritmo natural de x ;
• normalmente escribimos ln x en vez de loge x .
Ejemplo: Determinar x si:
Fórmula para cambiar de base
• Las propiedades de logaritmos se pueden usar para derivar
una fórmula para cambiar de base .
• La fórmula es útil ya que muchas calculadoras sólo incluyen
formas para determinar el logaritmo común y el logaritmo
natural.
• Sea u > 0 y a,b números reales positivos distintos de 1,
entonces
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏
Formula para cambiar de base
•Determine el valor, redondeado a 2 lugares
decimales, de
log3100
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑢 =𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏
Ejemplo
•Resolver : 5x = 105
Formula para cambiar de base
• Trazar la gráfica de f(x)= log4(x) con calculadora gráfica
• Usando la fórmula para cambiar de base:
f(x)= log4(x) 𝑓 𝑥 =log(𝑥)
log(4)