LOGICA MATEMATICA

(LOGICA DIFUSA)

MIGUEL ANGEL CARVAJAL RUBIO.

20131072014.

EDWIN FLOREZ BAUTISTA.

20131072087.

JOHNNATAN ESTIVEN AMAYA CASTAEDA.

20131072036.

TECNOLOGIA EN ELECTRICIDAD

DOCENTE:

JAVIER HERNAN GIL GOMEZ.

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

FACULTAD TECNOLOGICA

2014

INTRODUCCIN A LA LGICA DIFUSA

El concepto de lgica difusa es muy comn, est asociado con la manera en que las personas

perciben el medio, por ejemplo ideas relacionadas con la altura de una persona, velocidad con la

que se mueve un objeto, la temperatura dominante en una habitacin, cotidianamente se formulan

de manera ambigua y depende de quin percibe el efecto fsico o qumico, ser su enunciado acerca

de tal fenmeno. Una persona puede ser alta o baja, algo puede moverse rpido o lento, una

temperatura puede ser baja o moderada o alta, se dice que estas afirmaciones acerca de una

variable son ambiguas porque rpido, bajo, alto son afirmaciones del observador, y estas pueden

variar de un observador a otro. Uno se puede preguntar cundo algo es fro o caliente, que tan baja

es la temperatura cuando decimos fro, o que tan alta es cuando decimos caliente.

Los conjuntos difusos definen justamente estas ambigedades, y son una extensin de la teora

clsica de conjuntos, donde un elemento pertenece o no a un conjunto, tal elemento tiene solo 2

posibilidades, pertenecer o no, un elemento es bi-valuado y no se definen ambigedades. Con

conjuntos difusos se intenta modelar la ambigedad con la que se percibe una variable. Los

conjuntos difusos son la base para la lgica difusa, del mismo modo que la teora clsica de

conjuntos es la base para la lgica Booleana. Con los conjuntos difusos se realizan afirmaciones

lgicas del tipo si-entonces, definindose estas con Lgica Difusa. Este tema es propio de

inteligencia artificial, donde se intenta emular en pensamiento humano. Nuestro campo de estudio

es el control industrial, debemos tener en cuenta la experiencia o base de conocimiento del

operario, esto ser til para emular el comportamiento humano con una mquina, a pesar de ser

esta muy limitada. Desde que Lotfy A. Zadeh (1965) desarroll este concepto de lgica difusa, se ha

trabajado en este tema, el principal centro de desarrollo es Japn, donde sus investigadores la han

aplicado a muy diversos sistemas, principalmente electrodomsticos, sistemas ms recientes estn

vinculados con la industria, la medicina y la actividad espacial. Muchas publicaciones y libros se han

escrito de este tema, pero an queda mucho por explorar.

CONJUNTOS DIFUSOS

Si X es una coleccin de objetos denotados genricamente por x, entonces un conjunto borroso A

en X se define como un conjunto de pares ordenados: A= {(x,A(x))xX}, donde A(x) se llama la

funcin de pertenencia (MF) para el conjunto difuso A. La "MF" mapea cada elemento de X a un

grado de pertenencia (o valor de pertenencia) entre 0 y 1

EJEMPLOS:

Se desea representar con conjuntos difusos la variable altura de una persona, en este caso el

universo de discurso ser el rango de posibles valores de la altura que tenga una persona adulta. Se

escoge un rango entre 140 cm y 200 cm, valores por fuera de este rango son posibles pero son muy

escasos. El universo de discurso U = [140, 200],

Otro ejemplo es la clasificacin del nivel de velocidad de los autos, clasificndolos en el rango de

posibles valores desde los 120 km hasta los 300 km.

OPERACIONES CON CONJUNTOS DIFUSOS

De manera similar a la que entre los conjuntos clsicos se realizan operaciones entre ellos, en

conjuntos difusos se puede hacer lo mismo, pero debido a la naturaleza diferente de ellos la

formulacin de estas operaciones es algo especial.

A continuacin se definen algunas de las operaciones ms comunes que se pueden aplicar a los

conjuntos difusos.

UNIN

Si A y B son conjuntos difusos del universo U, la unin de A y B, se define como:

A B = {MAX (pA(x), pB(x)) | x U}

Donde, pA(x) y pB(x) son los grados de pertenencia del elemento x en el conjunto A y B,

respectivamente.

INTERSECCIN

La interseccin de los conjuntos difusos A y B, se define como:

A B = {MIN (pA(x), pB(x)) | x U}

COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto difuso, est definido por la diferencia que cada grado de

pertenencia del elemento x tiene con respecto al valor unitario:

AC = {(1 - pA(x)) | x U}

NORMALIZACIN

La normalizacin divide el grado de pertenencia de cada elemento de un determinado conjunto

difuso, por el mximo valor de pertenencia que exista en dicho conjunto. Esta operacin asegura

que al menos un miembro tendr un grado de pertenencia igual a 1.

NORM(A) = {(pA(x)/(MAX(pA(y)) | x, y U}

DILATACIN

Este operador incrementa el grado de pertenencia de cada elemento del conjunto difuso, tomando

la raz cuadrada de cada valor. Mientras menor sea el grado de pertenencia, mayor ser el

incremento.

DIL (A) = { pA(x) | x U}

CONCENTRACIN

Este operador es lo opuesto de la dilatacin. Reduce el grado de pertenencia, elevando al cuadrado

cada valor. Mientras menor sea el grado de pertenencia, mayor ser la reduccin.

CON (A) = { pA(x)2 | x U}

INTENSIFICACIN

Este operador reduce el grado de pertenencia de los elementos que tengan un valor menor que 0,5

e incrementa el grado de pertenencia de los elementos que tengan in valor mayor que 0,5.

OPERADORES LOGICOS DIFUSOS

Para representar la interseccin de dos conjuntos borrosos, buscamos funciones del tipo T: [0,1] x

[0,1] [0,1], que nos permitan obtener la funcin de pertenencia del conjunto interseccin de la

siguiente forma:

PQ(x) = T(P(x), Q(x)), x X

Si queremos que la interseccin sea conmutativa, asociativa, que tenga por elemento neutro el

conjunto X y sea montona creciente, se debe verificar:

Desde el punto de vista de las funciones de pertenencia se deben cumplir cuatro propiedades:

CONMUTATIVA:

PQ(x) = QP(x), y por tanto, T(P (x), Q (x)) = T(Q (x),P (x)) x, con lo que T ha de ser

conmutativa.

ASOCIATIVA:

(PQ)R(x) = P(QR)(x), entonces, T(T(P (x), Q (x)),R (x)) = T(P (x), T(Q (x),R (x)))

x, por lo que T ha de ser asociativa.

Elemento neutro el conjunto X:

PX(x) = P(x) con lo que T(P (x), X (x)) = T(P (x),1) = P (x) x, siendo el 1 el elemento

neutro de T.

Montona creciente:

Si P (x) Q (x) x y R (x) S (x) x, entonces, P R (x) Q S (x) x.

De esta forma, T(P (x), V (x)) T(Q (x),S (x)) por lo tanto, T ha de ser creciente.

Por tanto buscamos las funciones T: [0,1] x [0,1] [0,1] que cumplan las siguientes propiedades:

Conmutativa

T(x,y) = T(y,x) x, y [0,1]

Asociativa

T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z) x, y, z [0,1]

Elemento neutro

T(x,1) = x x [0,1]

REGLAS DE LGICA DIFUSA

Temperatura Descripcin

FRO Abrir vlvula de aire caliente

TIBIO Entre-abrir la vlvula

CALIENTE Cerrar vlvula de aire caliente

Al conjunto de reglas de esta tabla se le llama reglas difusas. Y pueden ser escritas de la forma SI...

ENTONCES, por ejemplo:

SI FRO ENTONCES ABRE VLVULA

SI TIBIO ENTONCES ABRE Y CIERRA VLVULA

SI CALIENTE ENTONCES CIERRA VLVULA

1. PROCESO DE INFERENCIA: Para cada grado de pertenencia asociados a la medicin de

temperatura se generan conclusiones. Por ejemplo, para los grados de pertenencia asociados a la

medicin de 29 C se debe concluir la accin que se realizar y existen diversos mtodos, entre ellos:

MTODO DE TRUNCAMIENTO: que consiste en cortar la funcin de membresa de salida, de tal

forma que los valores mayores al grado de pertenencia asociado desaparezcan.

MTODO DE ESCALAMIENTO, consiste en escalar la funcin de membresa en proporcin con el

grado de pertenencia entre ellas:

PROMEDIO DE MXIMOS: que consiste en calcular el promedio de todas las variables que tienen

el mayor valor de grado de membresa. Para el mtodo de truncamiento se obtiene 0,195 es decir

la vlvula se abrir 19,5 por ciento.

MTODO DE CENTROIDE: que consiste en calcular el promedio ponderado de la salida. Para el

mtodo de truncamiento se obtiene 0.346 es decir la vlvula se abrir 34,6 por ciento.

Cabe mencionar, que la seleccin del mtodo de deffuzyficacin ser el que mejor se adapte a las

necesidades y dinmica del proceso.

Sin embargo, se puede apreciar que el correcto funcionamiento del sistema depender

ampliamente del conocimiento de la dinmica del proceso y dicho conocimiento surge de la

experiencia del operador humano. A pesar de ello, los conceptos de la lgica difusa han encontrado

gran campo de aplicacin en sistemas cuyo comportamiento es difcil de predecir o modelar

matemticamente.

APLICACIONES

La Lgica Borrosa tiene gran utilidad ya que ella nos permite tratar problemas demasiado complejos,

mal definidos o para los cuales no existen modelos matemticos precisos.

Gracias a este tipo de lgica se ha permitido resolver situaciones consideradas intratables desde el

punto de vista de la Lgica Clsica.

En los ltimos aos la Lgica Borrosa se ha utilizado en distintos tipos de instrumentos, mquinas y

en diversos mbitos de la vida cotidiana. Algunos casos por ejemplo son los estabilizadores de

imgenes en grabadoras de vdeo, controladores de ascensores e ingeniera de terremotos.

Tambin se ha usado esta tcnica en la industria, obtenindose excelentes resultados como en el

caso del metro de Sendai en Japn, ya que permita que el metro arrancara y frenara con gran

suavidad, sin producir alteraciones entre los pasajeros.

Realizando una divisin de los ejemplos en tres grandes grupos tenemos:

Productos creados para el consumidor: Lavadoras difusas (Matsuhita Electronic Industrial), hornos

microondas, sistemas trmicos, traductores lingsticos, cmaras de vdeo, televisores,

estabilizadores de imgenes digitales (Matsuhita) y sistemas de foco automtico en cmaras

fotogrficas.

Sistemas: Elevadores, trenes, automviles (caso de los sistemas de transmisiones, de frenos y

mejora de la eficiencia del uso de combustible en motores), controles de trfico, sistemas de control

de acondicionadores de aire que evitan las oscilaciones de temperatura y sistemas de

reconocimiento de escritura.

Software: Diagnstico mdico, seguridad, comprensin de datos, tecnologa informtica y bases de

datos difusas para almacenar y consultar informacin imprecisa (uso del lenguaje FSQL).

REFERENCIAS

http://ingenieria.uatx.mx/labastida/files/2011/03/INTRODUCCI%C3%93N-A-LA-

L%C3%93GICA-DIFUSA.pdf

http://www.dma.fi.upm.es/java/fuzzy/tutfuzzy/contenido7ff.html

http://www.dma.fi.upm.es/java/fuzzy/tutfuzzy/introduccion3.html

www.galeon.com/palmia/capitulo54.htm

www.ingenieria.uatx.mx/.../OPERACIONES-CON-CONJUNTOS-DIFUSOS.pdf

http://www.biblioteca.udep.edu.pe/bibvirudep/tesis/pdf/1_185_184_133_1746.pdf