Lógica y Cálculo Proposicional
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Matemáticas DiscretasLógica y Cálculo Proposicional
M. en C. Juliho Castillo29 de enero de 2017
Tec de Monterrey, Campus Ciudad de México
1
1 Lógica y Cálculo Proposicional
Proposiciones y Declaraciones CompuestasProposiciones compuestas
Operaciones Lógicas BásicasConjunción p ∧ q
Disjunción p ∨ q
Negación ¬p
Proposiciones y Tablas de Verdad
Tautologías y Contradicciones
Equivalencias Lógicas
Sentencias condicionales y bicondicionales
Argumentos
Funciones proposicionales y Cuantificadores
Cuantificador universal
Cuantificador existencial
Negación de Sentencias Cuantificadas
Ejercicios ResueltosProposiones y Tablas de Verdad
Sentencias condicionales
Argumentos
Cuantificadores y Funciones Proposicionales
2
Muchos algoritmos y demostraciones usan expresiones lógicastales como si p entonces q. Entonces es necesario conocerlos casos en los cuales esas expresiones son ciertas ofalsas. Discutiremos esto en esta unidad.
4
También investigamos el valor de verdad de enunciadoscuantificados, que son aquellos que usan los cuantificadoreslógicos para todo... y existe...
5
Ejemplo 1.1.¿Cuál de los siguientes enunciados es una proposición?
1 El hielo flota en el agua.2 China está en Europa.3 2 + 2 = 4
4 2 + 2 = 55 ¿A donde vas?6 Haz tu tarea.
8
Muchas proposiciones están compuestas de proposiciones mássimples, llamadas subproposiciones, por medio de conectoreslógicos. Una proposición se dice que es primitiva si no puededescomponerse en proposiciones más simples.
10
Muchas proposiciones están compuestas de proposiciones mássimples, llamadas subproposiciones, por medio de conectoreslógicos. Una proposición se dice que es primitiva si no puededescomponerse en proposiciones más simples.
10
Por ejemplo, las siguientes proposiciones son compuestas
“Las rosas son rojas y las violetas son azules”“Juan es inteligente y estudía hasta muy noche”
11
La propiedad fundamental de una proposición compuesta esque su valor de verdad está completamente deteminado por losvalores de verdad de sus subproposiciones y la manera en lacual están conectadas para formar la proposición compuesta.
12
En esta sección discutiremos las tres operaciones lógicalbásicas: conjunción , disjunción y la negación.
14
Cualesquiera dos proposiciones p, q pueden ser combinadas porla palabra “y” para formar una proposición compuesta llamadaconjunción que se escribe p ∧ q.
16
Definición 1.1.Si tanto p como q son ciertas, entonces p∧ q es cierta; en otrocaso p ∧ q es falsa.
17
Observación 1.1.Para entender mejor como se conectan los valores de verdad,generalmente se utilizan tablas de verdad.
Por brevedad 1 representará el valor cierto, mientras que 0representará falso
18
Observación 1.1.Para entender mejor como se conectan los valores de verdad,generalmente se utilizan tablas de verdad.
Por brevedad 1 representará el valor cierto, mientras que 0representará falso
18
En este curso, usaremos el sistema algebráico de computoSageMath, el cuál está escrito con base en el lenguaje deprogramación Python e incorpora diversos paquetes deOpenSource.
Puede acceder a este sistema, a través dehttps://cloud.sagemath.com/
20
En este curso, usaremos el sistema algebráico de computoSageMath, el cuál está escrito con base en el lenguaje deprogramación Python e incorpora diversos paquetes deOpenSource.
Puede acceder a este sistema, a través dehttps://cloud.sagemath.com/
20
Construimos la tabla de verdad de la conjunción en elsiguiente scritp https://goo.gl/hEF5os
21
Ejemplo 1.2.¿Cuál de las siguientes proposiciones es cierta?
1 El hielo flota y 2 + 2 = 42 El hielo flota y 2 + 2 = 53 China está en Europa y 2 + 2 = 44 China está en Europa y 2 + 2 = 5
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Cualesquiera dos proposiciones p, q pueden ser combinadas porla palabra “o” para formar una proposición compuesta llamadadisjunción que se escribe p ∨ q.
24
Definición 1.2.Si tanto p como q son falsas, entonces p ∨ q es falsa; en otrocaso p ∨ q es verdadera.
25
Construimos la tabla de verdad de la disjunción en el siguientescritp https://goo.gl/5kXzNI
27
Observación 1.2.Algunas veces ``p o q'' se entiende en el sentido exclusivo:Puede ocurrir p o q, pero no ambos, que es diferente a ladefinición anterior. Sin embargo, existe un conector llamado dehecho o exclusivo, que cumple esta definición yconsideraremos más adelante.
28
Dada cualquier proposición p, otra proposición llamadanegación de p puede ser formada escribien “No es ciertoque...” o “Es falso que...” antes de p. De manera más sencilla,decimos no p y escribimos ¬p.
30
Dada cualquier proposición p, otra proposición llamadanegación de p puede ser formada escribien “No es ciertoque...” o “Es falso que...” antes de p. De manera más sencilla,decimos no p y escribimos ¬p.
30
Construimos la tabla de verdad de la disjunción en el siguientescritp https://goo.gl/sgCfkC
33
Sea P (p, q, ...) una expresión construida con variables lógicasp, q, ..., que toman valores de verdadero ``V'' o falso``F'', a través de conectores lógicos como ∧, ∨, ¬ y otrosque discutiremos más adelante.
Tales expresiones P (p, q, ...) son llamadas proposiciones.
35
Sea P (p, q, ...) una expresión construida con variables lógicasp, q, ..., que toman valores de verdadero ``V'' o falso``F'', a través de conectores lógicos como ∧, ∨, ¬ y otrosque discutiremos más adelante.
Tales expresiones P (p, q, ...) son llamadas proposiciones.
35
La propiedad principal de una proposición P (p, q, ...) es quesus valores de verdad sólo dependen del valor de sus varibles.
Una manera simple y concisa de mostrar esta relación es através de una tabla de verdad.
36
La propiedad principal de una proposición P (p, q, ...) es quesus valores de verdad sólo dependen del valor de sus varibles.
Una manera simple y concisa de mostrar esta relación es através de una tabla de verdad.
36
Construimos la tabla de verdad de la proposición anterior conel siguiente script https://goo.gl/V2Axzi
38
Tabla de Verdad 4 (¬ (p ∧ ¬q)).p q not q p and not q not( p and not q)1 1 0 0 11 0 1 1 00 1 0 0 10 0 1 0 1
39
Observación 1.3.Para evitar el uso excesivo de parentesis, algunas vecesadoptamos una jerarquía para los conectores lógicos.
De manera especifica ¬ tiene prioridad sobre ∧, que a su veztiene prioridad sobre ∨.
40
Observación 1.3.Para evitar el uso excesivo de parentesis, algunas vecesadoptamos una jerarquía para los conectores lógicos.
De manera especifica ¬ tiene prioridad sobre ∧, que a su veztiene prioridad sobre ∨.
40
Evaluación Continua 1.Construya las tablas de verdad de las siguientes proposiciones
1 p ∨ ¬p
2 p ∧ ¬p
3 ¬ (p ∨ q)4 ¬p ∧ ¬q
5 ¬ (p ∧ q)6 ¬p ∨ ¬q
43
Algunas proposiciones P (p, q, ...) son siempre ciertas, noimporta los valores de verdad de las variables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como tautologías.
45
Algunas proposiciones P (p, q, ...) son siempre ciertas, noimporta los valores de verdad de las variables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como tautologías.
45
De manera similar, algunas proposiciones P (p, q, ...) sonsiempre falsas, no importa los valores de verdad de lasvariables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como contradicciones.
46
De manera similar, algunas proposiciones P (p, q, ...) sonsiempre falsas, no importa los valores de verdad de lasvariables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como contradicciones.
46
Diremos que dos proposiciones P (p, q, ...) y Q(p, q, ...) sonlógicamente equivalentes si tienen tablas de verdad identidas.
En tal caso, escribimos
P (p, q, ..) ≡ Q(p, q, ...)
49
Diremos que dos proposiciones P (p, q, ...) y Q(p, q, ...) sonlógicamente equivalentes si tienen tablas de verdad identidas.
En tal caso, escribimos
P (p, q, ..) ≡ Q(p, q, ...)
49
Ejemplo 1.6.Reescriba la frase “No es cierto que: las rosas son rojas y lasvioletas son azules”, usando la equivalencia anterior.
51
Por su utilidad, algunas equivalencias lógias con llamadas leyespara el álgebra de proposiciones.
A continuación, enunciaremos algunas, pero es necesarioverificar su validez a través de tablas de verdad.
52
Por su utilidad, algunas equivalencias lógias con llamadas leyespara el álgebra de proposiciones.
A continuación, enunciaremos algunas, pero es necesarioverificar su validez a través de tablas de verdad.
52
Muchas sentencias, particularmente en matemáticas, son de laforma ``si p entonces q''. Tales sentencias son llamdascondicionales y son denotadas por
p→ q.
55
Muchas sentencias, particularmente en matemáticas, son de laforma ``si p entonces q''. Tales sentencias son llamdascondicionales y son denotadas por
p→ q.
55
Otra sentencia común es de la forma “p si y solo si q”. Talessentencias son llamadas bicondicionales y se denota por
p ⇐⇒ q.
57
Otra sentencia común es de la forma “p si y solo si q”. Talessentencias son llamadas bicondicionales y se denota por
p ⇐⇒ q.
57
Evaluación Continua 2.Determine cuales de las siguientes sentencias son tautologías,construyendo las correspondientes tablas de verdad.
1 ¬ (p ∨ ¬q)→ ¬p
2 p→ (q → r)3 (p→ q)→ r
4 (p→ q)→ (q → p)5 (p ∧ (p→ q))→ q
6 (p ∧ q)→ p
7 q → (¬p ∨ ¬q)8 ((p→ q) ∧ (q → r))→ (p→ r)
61
Un argumento es una afirmación de que un conjunto dado deproposiciones
P1, P2, ..., Pn,
llamadas premisas, tiene como consecuencia otra proposicionQ, llamada conclusión.
En otras palabras, es una sentencia de la forma
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn)→ Q
Tal argumento se denota por
P1, P2, ..., Pn ` Q.
63
Un argumento es una afirmación de que un conjunto dado deproposiciones
P1, P2, ..., Pn,
llamadas premisas, tiene como consecuencia otra proposicionQ, llamada conclusión.
En otras palabras, es una sentencia de la forma
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn)→ Q
Tal argumento se denota por
P1, P2, ..., Pn ` Q.
63
Un argumento es una afirmación de que un conjunto dado deproposiciones
P1, P2, ..., Pn,
llamadas premisas, tiene como consecuencia otra proposicionQ, llamada conclusión.
En otras palabras, es una sentencia de la forma
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn)→ Q
Tal argumento se denota por
P1, P2, ..., Pn ` Q.
63
La noción de “argumento lógico” o “argumento válido” seformaliza de la manera siguiente:
Definición 1.4.
Un argumento P1, P2, ..., Pn ` Q se dice que es válido si laproposición
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn)→ Q
es una tautología.
Si un argumento no es válido, diremos que es una falacia.
64
La noción de “argumento lógico” o “argumento válido” seformaliza de la manera siguiente:
Definición 1.4.
Un argumento P1, P2, ..., Pn ` Q se dice que es válido si laproposición
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn)→ Q
es una tautología.
Si un argumento no es válido, diremos que es una falacia.
64
La noción de “argumento lógico” o “argumento válido” seformaliza de la manera siguiente:
Definición 1.4.
Un argumento P1, P2, ..., Pn ` Q se dice que es válido si laproposición
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn)→ Q
es una tautología.
Si un argumento no es válido, diremos que es una falacia.
64
Ejemplo 1.8.
1 Demuestre que p, p→ q ` q es un argumento válido.2 Demuestre que p→ q, q ` p es una falacia.3 Demuestre que p→ q,¬q ` ¬p es un argumento válido.
65
Ejemplo 1.8.
1 Demuestre que p, p→ q ` q es un argumento válido.2 Demuestre que p→ q, q ` p es una falacia.3 Demuestre que p→ q,¬q ` ¬p es un argumento válido.
65
Ejemplo 1.8.
1 Demuestre que p, p→ q ` q es un argumento válido.2 Demuestre que p→ q, q ` p es una falacia.3 Demuestre que p→ q,¬q ` ¬p es un argumento válido.
65
Ejemplo 1.9.Un principio fundamental del razonamiento lógico nos diceque:
Si p implica q y q implica r, entonces p implica r.
En otras palabras, el siguiente argumento es válido
p→, q, q → r ` p→ r.
66
Ejemplo 1.9.Un principio fundamental del razonamiento lógico nos diceque:
Si p implica q y q implica r, entonces p implica r.
En otras palabras, el siguiente argumento es válido
p→, q, q → r ` p→ r.
66
Ejemplo 1.9.Un principio fundamental del razonamiento lógico nos diceque:
Si p implica q y q implica r, entonces p implica r.
En otras palabras, el siguiente argumento es válido
p→, q, q → r ` p→ r.
66
Ejemplo 1.10.
Si sube el dólar, sube la gasolina.Si sube la gasolina, entonces hay inflación.∴ Si sube el dólar, entonces hay inflación.
68
Una función proposicional (o sentencia abierta o condición)definida en un conjunto A es una expresión p(x) que tiene lapropiedad de que p(a) es cierta o falsa para cada a ∈ A.
70
El conjunto A se conoce como dominio de p(x), y elsubconjunto de todos los elementos para los cuales p(x) escierto se conoce como el conjunto de verdad Tp de p(x) :
Tp = {x | x ∈ A, p(x) = 1} ,
o simplementeTp = {x | p(x)} .
71
El conjunto A se conoce como dominio de p(x), y elsubconjunto de todos los elementos para los cuales p(x) escierto se conoce como el conjunto de verdad Tp de p(x) :
Tp = {x | x ∈ A, p(x) = 1} ,
o simplementeTp = {x | p(x)} .
71
El conjunto A se conoce como dominio de p(x), y elsubconjunto de todos los elementos para los cuales p(x) escierto se conoce como el conjunto de verdad Tp de p(x) :
Tp = {x | x ∈ A, p(x) = 1} ,
o simplementeTp = {x | p(x)} .
71
Ejemplo 1.11.
Encuentre el conjunto de verdad para cada función en elconjunto N de los enteros positivos:
1 p(x) : x + 2 > 72 p(x) : x + 5 < 33 p(x) : x + 5 > 1
72
Ejemplo 1.11.
Encuentre el conjunto de verdad para cada función en elconjunto N de los enteros positivos:
1 p(x) : x + 2 > 72 p(x) : x + 5 < 33 p(x) : x + 5 > 1
72
Ejemplo 1.11.
Encuentre el conjunto de verdad para cada función en elconjunto N de los enteros positivos:
1 p(x) : x + 2 > 72 p(x) : x + 5 < 33 p(x) : x + 5 > 1
72
Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión∀x ∈ A : p(x) (1.1)
se lee como ``para todo x ∈ A, p(x) es verdadero.''
El símbolo ∀ (``para todo'') se llama cuantificadoruniversal.
74
Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión∀x ∈ A : p(x) (1.1)
se lee como ``para todo x ∈ A, p(x) es verdadero.''
El símbolo ∀ (``para todo'') se llama cuantificadoruniversal.
74
Mientras que p(x) es una sentencia abierta (su valor de verdaddepende de cada x ∈ A), la afirmación
∀x ∈ A : p(x)
es verdadera si y solo si p(x) se cumple para todo x ∈ A.
75
Ejemplo 1.12.
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∀n ∈ N : n + 4 > 3.
2 ∀n ∈ N : n + 2 > 8.
77
Ejemplo 1.12.
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∀n ∈ N : n + 4 > 3.
2 ∀n ∈ N : n + 2 > 8.
77
Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión∃x ∈ A : p(x) (1.2)
se lee como ``existe x ∈ A, tal que p(x) esverdadero.''
El símbolo ∃ (``existe...'') se llama cuantificadorexistencial.
79
Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión∃x ∈ A : p(x) (1.2)
se lee como ``existe x ∈ A, tal que p(x) esverdadero.''
El símbolo ∃ (``existe...'') se llama cuantificadorexistencial.
79
Mientras que p(x) es una sentencia abierta (su valor de verdaddepende de cada x ∈ A), la afirmación
∃x ∈ A : p(x)
es verdadera si y solo si p(x) se cumple algún x ∈ A.
80
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∃n ∈ N : n + 4 < 7;2 ∃n ∈ N : n + 6 < 4.
82
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∃n ∈ N : n + 4 < 7;2 ∃n ∈ N : n + 6 < 4.
82
Considere la afirmación:
Todos los estudiantes de ingeniería saben programar.
¿Cómo podemos negar esta afirmación?
Al menos un estudiante de ingeniería no sabe programar.
84
Considere la afirmación:
Todos los estudiantes de ingeniería saben programar.
¿Cómo podemos negar esta afirmación?
Al menos un estudiante de ingeniería no sabe programar.
84
De manera simbólica, si M de ntoa el conjunto de estudiantesde ingeniería, la negación anterior se puede escribir como
¬ (∀x ∈M : x sabe programar)≡ ∃x ∈M : x no sabe programar.
85
Si en el ejercicio anterior definimos
p(x) : x sabe programar,
entonces podemos reescribir la equivalencia anterior como
¬ (∀x ∈M : p(x))≡ ∃x ∈M : ¬p(x).
86
De manera similar
No hay estudiante de ingeniería que sepa programar
se puede reescribir como
Cada uno de los estudiantes de ingeniería no saben programar.
87
Teorema 1.1 (DeMorgan).
¬ (∀x ∈M : p(x)) ≡ ∃x ∈M : ¬p(x) (1.3)¬ (∃x ∈M : p(x)) ≡ ∀x ∈M : ¬p(x). (1.4)
89
Ejemplo 1.13.
La negación de la siguiente afirmación
Para todo entero positivo n, tenemos que n + 2 > 8
es
Existe un entero positivo n tal que n + 2 ≤ 8.
90
Ejemplo 1.14.
La negación de la siguiente afirmación
Existe una persona viva con 150 años o más.
es
Toda persona viva tiene menos de 150 años.
91
Observación 1.4.Para negar una afirmación del tipo
∀x ∈ A : p(x)
sólo necesitamos encontrar un elemento x0 ∈ A tal que p(x)sea falso.
A un elemento x0 así se le conoce como contraejemeplo.
92
Observación 1.4.Para negar una afirmación del tipo
∀x ∈ A : p(x)
sólo necesitamos encontrar un elemento x0 ∈ A tal que p(x)sea falso.
A un elemento x0 así se le conoce como contraejemeplo.
92
Ejemplo 1.15.
(a) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : |x| 6= 0 es x = 0.
(b) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : x2 ≥ x es x = 12 .
(c) Sin embargo, ∀x ∈ N :: x2 ≤ x es siempre cierto.
93
Ejemplo 1.15.
(a) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : |x| 6= 0 es x = 0.
(b) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : x2 ≥ x es x = 12 .
(c) Sin embargo, ∀x ∈ N :: x2 ≤ x es siempre cierto.
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Ejemplo 1.15.
(a) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : |x| 6= 0 es x = 0.
(b) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : x2 ≥ x es x = 12 .
(c) Sin embargo, ∀x ∈ N :: x2 ≤ x es siempre cierto.
93
Ejercicio Resuelto 1.Sea p : ``Hace frío'' y q : ``Está lloviendo''.Proponga un enunciado verbal simple que describa cada unade las siguientes proposiciones:
1 ¬p;2 p ∧ q;3 p ∨ q;4 q ∨ ¬p.
96
Ejercicio Resuelto 4.Muestre que las proposiciones ¬ (p ∧ q) y ¬p ∨ ¬q sonlógicamente equivalentes.
99
Ejercicio Resuelto 6.
Reescriba los siguientes enunciados sin usar el condicional:
1 Si hace frío, el usa sombrero.2 Si la productividad se incrementa, entonces el salario
aumenta.
102
Ejercicio Resuelto 6.
Reescriba los siguientes enunciados sin usar el condicional:
1 Si hace frío, el usa sombrero.2 Si la productividad se incrementa, entonces el salario
aumenta.
102
Ejercicio Resuelto 7.
Considere la proposición condicional p→ q. La proposiones
q → p,¬p→ ¬q,¬q → ¬p
son llamadas conversa, inversa y contrapositiva,respectivamente.
¿Cuáles de estas proposiciones son lógicamente equivalente s ap→ q?
103
Ejercicio Resuelto 7.
Considere la proposición condicional p→ q. La proposiones
q → p,¬p→ ¬q,¬q → ¬p
son llamadas conversa, inversa y contrapositiva,respectivamente.
¿Cuáles de estas proposiciones son lógicamente equivalente s ap→ q?
103
Ejercicio Resuelto 8.Determine la contrapositiva de cada enunciado:
1 Si Erik es poeta, entonces es pobre.2 Solo si Marcos estudia, pasará el examen.
104
Ejercicio Resuelto 8.Determine la contrapositiva de cada enunciado:
1 Si Erik es poeta, entonces es pobre.2 Solo si Marcos estudia, pasará el examen.
104
Ejercicio Resuelto 9.Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como seaposible:
1 Si ella trabaja, ganará dinero.2 El nada si y solo si el agua está tibia.3 Si neva, entonce no manejaré.
105
Ejercicio Resuelto 9.Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como seaposible:
1 Si ella trabaja, ganará dinero.2 El nada si y solo si el agua está tibia.3 Si neva, entonce no manejaré.
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Ejercicio Resuelto 9.Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como seaposible:
1 Si ella trabaja, ganará dinero.2 El nada si y solo si el agua está tibia.3 Si neva, entonce no manejaré.
105
Ejercicio Resuelto 12.Muestre que el siguiente argumentos siempre es válido:
p→ ¬q, r → q, r ` ¬p.
109
Ejercicio Resuelto 13.Determine la validez del siguiente argumento:
Si 7 es menor que 4, entonces 7 no es número primo7 no es menor que 47 no es número primo.
110
Ejercicio Resuelto 14.Determine la validez del siguiente argumento:
Si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los respectivos ángulos opuestos son igualesDos lados de un triángulo no son igualesLos respectivos ángulos opuestos no son iguales.
111
Ejercicio Resuelto 15.Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cadauno de los siguientes enunciados:
1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10;2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10;3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5;4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7.
113
Ejercicio Resuelto 15.Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cadauno de los siguientes enunciados:
1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10;2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10;3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5;4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7.
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Ejercicio Resuelto 15.Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cadauno de los siguientes enunciados:
1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10;2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10;3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5;4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7.
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Ejercicio Resuelto 15.Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cadauno de los siguientes enunciados:
1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10;2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10;3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5;4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7.
113
Ejercicio Resuelto 16.Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientesafirmaciones donde U = {1, 2, 3} es el conjunto “universo”(de referencia):
1 ∃x∀y : x2 < y + 1;2 ∀x∃y : x2 + y2 < 12;3 ∀x∀y : x2 + y3 < 12.
114
Ejercicio Resuelto 16.Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientesafirmaciones donde U = {1, 2, 3} es el conjunto “universo”(de referencia):
1 ∃x∀y : x2 < y + 1;2 ∀x∃y : x2 + y2 < 12;3 ∀x∀y : x2 + y3 < 12.
114
Ejercicio Resuelto 16.Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientesafirmaciones donde U = {1, 2, 3} es el conjunto “universo”(de referencia):
1 ∃x∀y : x2 < y + 1;2 ∀x∃y : x2 + y2 < 12;3 ∀x∀y : x2 + y3 < 12.
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Ejercicio Resuelto 17.Encuentre la negación de cada una de las siguientesafirmaciones:
1 ∃x∀y : p(x, y);2 ∀x∀y : p(x, y);3 ∃x∃y∀z : p(x, y, z).
115
Ejercicio Resuelto 17.Encuentre la negación de cada una de las siguientesafirmaciones:
1 ∃x∀y : p(x, y);2 ∀x∀y : p(x, y);3 ∃x∃y∀z : p(x, y, z).
115
Ejercicio Resuelto 17.Encuentre la negación de cada una de las siguientesafirmaciones:
1 ∃x∀y : p(x, y);2 ∀x∀y : p(x, y);3 ∃x∃y∀z : p(x, y, z).
115
Ejercicio Resuelto 18.Sea
p(x) : x + 2 > 5.
Indique cuando p(x) es una función proposicional o no en cadauno de los siguientes conjuntos:
1 N2 Z− = {−1,−2,−3, ...}3 C
116
Ejercicio Resuelto 18.Sea
p(x) : x + 2 > 5.
Indique cuando p(x) es una función proposicional o no en cadauno de los siguientes conjuntos:
1 N2 Z− = {−1,−2,−3, ...}3 C
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Ejercicio Resuelto 18.Sea
p(x) : x + 2 > 5.
Indique cuando p(x) es una función proposicional o no en cadauno de los siguientes conjuntos:
1 N2 Z− = {−1,−2,−3, ...}3 C
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