Lógica y conjuntos 1

Matemáticas para Economía y Administración

LÓGICA MATEMÁTICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS

Matemático Iván Quinteros

Universidad Politécnica Estatal del Carchi


1. Lógica MatemáticaINTRODUCCIÓN


1. Lógica MatemáticaINTRODUCCIÓN

La lógica es esencialmente importante cuando:

• Validamos un resultado o queremos convencer a alguien de que nuestra posición o nuestras ideas son las correctas.

• Demostramos un teorema en cualquier rama de la matemática; o, sacamos conclusiones de experimentos en ciencias naturales o físicas. Para hacerlo, debemos recurrir a un razonamiento o presentar evidencia que respalde nuestras opiniones o resultados.

En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si un argumento es válido o no. Se convierte así en un soporte de toda actividad científica.


OBJETIVOS

GENERALGENERAL

Aplicar métodos de argumentación y demostración en la resolución de problemas de la vida cotidiana; así como también utilizar correctamente el lenguaje formal a través del cual se expresa la matemática y

otras áreas de las ciencias.

ESPECÍFICOS ESPECÍFICOS

Identificar la posición de un determi-nado término que cumpla ciertascondiciones

Obtener el desarrollo de un binomiodado

Determinar un término en particularconociendo su posición sin desarrollartodos los términos del binomio

1. Lógica Matemática


La lógica matemática, también llamada lógica simbólica o logística, informalmente puede definirse como la disciplina que formaliza el estudio de los métodos de razonamiento.

1.1 Proposiciones


Definición 1.1.1 (Proposición)Una proposición es un enunciado u oración declarativa que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez.


1.1 Proposiciones


Proposición

Lógica• Una expresión que no

es ni verdadera ni falsa, como: Hola, que tal ¡Llueve! ¿Quién fue Bolívar?

• Un enunciado u oración declarativa que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Ejemplo:Tulcán está en el CarchiMessi es un

basquetbolistaLa Internet es una RED

de redes

Atómicas (simples)

Moleculares (compuestas)

Negación Conjunción Disyunción Condicional

Representación

Bicondicional

¬𝒑 𝒑 𝒒 𝒑 𝒒 𝒑→𝒒 𝒑↔𝒒


1.1 Proposiciones


3. Principio del tercero excluidoO bien es verdadera, o bien su

negación lo es.

1. Principio de IdentidadToda cosa es igual a sí misma.

2. Principio de no–ContradicciónNinguna cosa puede ser y no ser

Principios de la Lógica


1.1 Proposiciones


Ejemplo 1.1.1 Oraciones o enunciados que no son proposiciones

• ¿Quién fue Steve Jobs?• Entregue el deber de Lógica• ¡Salve oh Patria, mil veces! ¡Oh Patria!• ¡Llueve!

Ejemplo 1.1.2 Oraciones o enunciados que son proposiciones

• Quito es la capital del Ecuador• La Luna es un planeta

• es un número irracional• Aristóteles fue el autor del Organon


1.1 Proposiciones


NOTACIÓN: Por convención, se utilizarán las letras minúscu-las , , ,, para representar a las proposiciones.

En los casos en que se utilicen las letras , , , ..., sin aclarar explícitamente a qué proposiciones se refieren, hablaremos de variables proposicionales, en el sentido que en estos casos, las mismas actúan como contene-dores de cualquier proposición y no representan una en particular.


1.1 Proposiciones


Ejemplo 1.1.3 Representación de proposiciones• : Quito es la capital del Ecuador

Se lee, es la proposición: “Quito es la capital del Ecuador”• : La Luna es un planeta

Se lee, es la proposición: “La Luna es un planeta”• :

Se lee, es la proposición: “”• : es un número irracional

Se lee, es la proposición: “ es un número irracional”• : Aristóteles fue el autor del Organon

Se lee, es la proposición: “Aristóteles fue el autor del Organon”


1.1 Proposiciones


Definición 1.1.2 (Valor de verdad)Valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que la describe adecuadamente. En la lógica matemática sólo se asignan dos valores, verdadero o falso.

Al valor verdadero se asocian los símbolos: , , , ; mientras que, el valor falso está asociado a los símbolos: , , . Para nuestro curso se tomará como referencia para verdadero o falso, el sistema binario o , respectivamente.


1.1 Proposiciones


Ejemplo 1.1.4 Valor de verdad de una proposición• : Quito es la capital del Ecuador

es verdadera o • : La Luna es un planeta

es falsa o • :

es falsa o • : es un número irracional

es verdadera o • : Aristóteles fue el autor del Organon

es verdadera o


1.2 Operadores lógicos


Definición 1.2.1 (Proposiciones compuestas y operadores lógicos)

Son proposiciones compuestas (o, moleculares) aquellas que se forman a partir de otras ya existentes, usando como nexo términos tales como: y, ó, si…entonces, sí y sólo sí, entre otros, a los cuales se les denomina operadores lógicos. La proposición se dice simple (o, atómica) si no es compuesta.




Definición 1.2.3 (Tabla de verdad)Un arreglo tabular en el que se muestra las relaciones entre los valores de verdad de las proposiciones se dice una tabla de verdad.

El número de filas en el arreglo, depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresión lógica y de la posible cantidad de combinaciones de los valores de verdad, su fórmula está dada por , donde es el número de proposiciones presentes.




Definición 1.2.4 (Negación)Sea una proposición, el enunciado

«No se cumple »es otra proposición, llamada la negación de . La negación de se denota por y se lee «no ». El valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad.




Si la proposición es verdadera, es falsa, o viceversa. Expresiones equivalentes a «no se cumple…», son: «no…», «ni…», «no es verdad que…», «no es cierto que…».

Ejemplo 1.2.2 Negación de proposicionesObtenga la negación y el valor de verdad de las proposiciones dadas,: Quito es la capital del Ecuador: La tierra es plana:: Hoy es lunes: es un número irracional: Aristóteles es el autor del Organon




Definición 1.2.5 (Conjunción)Dadas dos proposiciones y , la proposición « y », denotada por , es la proposición que es verdadera cuando tanto como son verdaderas y falsa en cual-quier otro caso. La proposición se llama la conjunción de y . La tabla siguiente resume sus valores de verdad.




Términos relacionados con la conjunción «y» son: «pero», «mas» y signos de puntuación tales como: la coma, el punto y el punto y coma.

Ejemplo 1.2.3 Conjunción de proposicionesDadas las proposiciones verdaderas

: Quito es la capital del Ecuador: Quito está en Sudamérica

1. Representar simbólicamente la conjunción de éstas y traducirlas al lenguaje común

2. Evaluar el valor de verdad de , y




Definición 1.2.5 (Disyunción)Dadas dos proposiciones y , la proposición « ó », denotada por , es la proposición que es falsa cuando tanto como son falsas y verdadera en cualquier otro caso. La proposición se llama la disyunción de y . Sus valores de verdad se muestran en la tabla 1.2.3.




Ejemplo 1.2.4 Disyunción de proposicionesCon las proposiciones dadas en lo que sigue, obtenga la disyunción : Tengo un libro de Trigonometría: Tengo un libro de Álgebra Solución:La disyunción es, : Tengo un libro de Trigonometría ó uno de Álgebra




Definición 1.2.6 (Disyunción exclusiva)Sean y dos proposiciones, la disyunción exclusiva « ó (pero no ambos)», denotada por , es la proposición que es verdadera cuando sólo o sólo son verdaderas en cualquier otro caso son falsas. Los valores de verdad se muestran en la tabla 1.2.4.




Ejemplo 1.2.5: Dadas las siguientes proposiciones simples:: es un número impar: es un número primo

1. Indique la notación simbólica y en lenguaje natural, de la disyunción de estas proposiciones.

2. Determine el valor de verdad de , y ).3. Construya las tablas de verdad de y de .

Observación: La disyunción exclusiva, se puede expresar equivalentemente mediante la siguiente simbología




Definición 1.2.6 (Condicional)Dadas las proposiciones y , el condicional , que se lee « implica », es la proposición que es falsa cuando es verdadera y falsa y es verdadera en los otros casos. Sus valores de verdad están resumidos en la siguiente tabla.




En la definición anterior, recibe el nombre de antecedente (hipótesis o premisa) del condicional, y el nombre de consecuente (conclusión o tesis). También se dice que , es condición suficiente para , y que , es condición necesaria para .

La proposición condicional desempeña un papel esencial en el razonamiento matemático, por lo que existen muchas formas de expresar . La lista que se detalla a continuación es extensa, en muchas de ellas se denota la relación causa–efecto:

«si , entonces » «si , »« sólo si » « es suficiente para »«una condición suficiente para es » « si »« siempre que » « cuando »« si » « es necesario para »«una condición necesaria para es » « se deduce de »« con la condición de que » « cuando »« cada vez que » « ya que »« debido a que » « puesto que »«se tiene si se tiene » «sólo si , »«, pues » «cuando , »




Ejemplo 1.2.6Dadas las siguientes proposiciones simples:

: Daniel gana la lotería: Daniel promete construirme una casa

a) Construya el condicional entre y b) Parafrasee la proposición obtenida utilizando al menos

seis formas equivalentes para el condicionalc) Analice el valor de verdad de la proposición obtenida




Ejemplo 1.2.7: Dada la proposición : “Si me prestan el auto, entonces te llevo al cine”

Analice los posibles resultados para la veracidad de la proposición dada

Solución:a) Si (me prestan el auto) se cumple y (te llevo al cine) también (esto es,

ambas son verdaderas), entonces el compromiso se cumple, y el condicional resulta verdadero.

b) Si se cumple y no, está claro que he roto mi compromiso, por lo cual el condicional es falso.

c) Pero si no se cumple (no me prestan el auto), sea cierto o no, me veo de alguna forma liberado del compromiso establecido y puedo pensar que, la lleve al cine o no, no lo he roto, por lo cual el condicional resulta verdadero.




Ejemplo 1.2.10 Variaciones del condicionalEscriba la recíproca, inversa y contrarrecíproca de la siguiente proposición:

: Si es un automóvil, entonces es un medio de transporte

Solución: La recíproca sería:

: Si es un medio de transporte, entonces es un automóvil

La inversa se escribiría:

: Si no es un automóvil, no es un medio de transporte

La contrarrecíproca se traduciría como:

: Si no es un medio de transporte, no es un automóvil




Definición 1.2.8 (Bicondicional)Dadas las proposiciones y , el bicondicional, o doble implicación , que se lee « sí, y sólo sí, », es la proposición que es verdadera cuando y tienen los mismos valores de verdad y es falsa en cualquier otro caso. Su valor de verdad está resumido en la siguiente tabla.


Antes de seguir, algunas recuerdos


𝒑 𝒒

𝒑 𝒒𝒑→𝒒

«no ocurre »

«ocurre y ocurre »

«ocurre u ocurre »

«si ocurre entonces pasará »


¿Cómo interpretar el “Sólo si”


1. Si termino pronto el trabajo, me iré al cineEjemplo 1.2.8

2. Sólo si termino pronto el trabajo, me iré al cine

𝒑 → 𝒒

Únicamente si termino pronto el trabajo, me iré al cineSi no termino pronto el trabajo, no iré al cine

¬𝒑 → ¬𝒒𝒒 → 𝒑


Condición necesaria y suficiente


1. Si la figura es un cuadrado sus diagonales son perpendicularesEjemplo 1.2.9

En lógica, las palabras necesario y suficiente describen la relación que mantienen dos proposiciones o estado de las cosas, si una es condicionante de la otra. Por ejemplo, alguien puede decir:• El tomar agua regularmente es necesario para que un

humano se mantenga con vida.• El saltar es suficiente para despegarse de la tierra.• El tener cédula de identidad es una condición necesaria y

suficiente para votar.



En general esto ocurre con las implicaciones:

Si es cierto A, entonces es cierto B

Que esto ocurra no significa ni Si es cierto B, entonces es cierto A ni Si no es cierto A, entonces no es cierto B, pero en muchos casos se piensa que sí. Un ejemplo:

Esta claro que Si llueve, entonces mi patio se mojaSi es cierto A, entonces es cierto B




¿Es cierto entonces que Si mi patio se ha mojado, entonces es que ha llovido (Si es cierto B, entonces es cierto A)?

Y, ¿es cierto que Si no llueve, entonces mi patio no se moja (Si no es cierto A, entonces no es cierto B)?

La primera parte de la primera frase, Si llueve,…, es una condición suficiente para que mi patio se moje, pero no una condición necesaria. Es decir, es suficiente que llueva para que se moje mi patio, pero no es necesario que llueva para que ello ocurra.




Definición 1.3.1 (Formas proposicionales)• se dice una variable proposicional, cuando representa a

una proposición cualesquiera, ya sea simple o compuesta. Su valor de verdad será desconocido mientras no se espe-cifiquen los valores de verdad de las proposiciones involu-cradas.

• Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por variables proposicionales y los operadores lógicos que las relacionan. La formas proposicionales se representan con letras mayúsculas , ,

1.3 Formas proposicionales


1. Lógica Matemática1.3 Formas proposicionales

Ejemplo 1.3.1 Tabla de verdad de una forma proposicionalDada la siguiente forma proposicional:

Construya la tabla de verdad para determinar los valores de verdad de .


1. Lógica Matemática1.3 Formas proposicionales

Definición 1.3.2 (Tautología, Contradicción, Contingencia)Una forma proposicional que siempre es verdadera, sin importar los valores de verdad de las proposiciones que la componen, se dice tautología. Una forma proposicional que siempre es falsa, se denomina contradicción. Por último, una forma proposicional que no es ni tautología, ni contradicción se dice contingencia.

Definición 1.3.3 (Equivalencia lógica)Dadas y , dos formas proposicionales, se dice que es lógicamente equivalentes a , y denotamos por (ó, ), si , es una tautología.

Observación: Los símbolos o , no son conectivos lógicos, puesto que o no son formas proposicionales, sino la afirmación de que es una tautología.

Matemático Iván QuinterosNo ocurre Y O Si … entonces Sí y sólo si

1.1 Proposiciones


Proposición

Lógica• Una expresión que no

es ni verdadera ni falsa, como: Hola, que tal ¡Llueve! ¿Quién fue Bolívar?

• Un enunciado u oración declarativa que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Ejemplo:Tulcán está en el CarchiMessi es un

basquetbolistaLa Internet es una RED

de redes

Atómicas (simples)

Moleculares (compuestas) Representación

Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional

𝒑 𝒒 𝒑 𝒒 𝒑→𝒒 𝒑↔𝒒¬𝒑


1.1 Proposiciones


3. Principio del tercero excluidoO bien es verdadera, o bien su

negación lo es.

1. Principio de IdentidadToda cosa es igual a sí misma.

2. Principio de no–ContradicciónNinguna cosa puede ser y no ser

Principios de la Lógica

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