Longitud de Arco y Area de Un Sector Circular

Dedicatoria:A mis padres

Remigio y Victoriay a mis hermanos

YefersonDany

RemigioPlinio

GinoRosmery

yVanesa

A mi. . .Porque cada da y todos los das existe algo queaprender y tambin mucho que ensear. . .

Ivn

Derechos reservados

Prohibida la reproduccin de esta obrapor cualquier medio, total o parcialmentesin permiso del autor.

TERCERA EDICIN: Enero del 2014

Tiraje: 1000 ejemplares

Pedidos:

Av. Mariscal Castilla N 1310(Huanta)

Urb. Enace Vista AlegreMZ KLT 03 (Ayacucho) Celular: 999242611 RPM: #999242611AYACUCHO - PER

Captulo 1 SISTEMAS DE MEDIDASANGULARES

Son aquellos sistemas en la cual es medidoun ngulo trigonomtrico.

ngulo trigonomtrico

Es aquel ngulo que se genera porla rotacin de un rayo alrededor de un puntojo llamado vrtice (la rotacin se realiza enun mismo plano), desde una posicin inicial(llamada lado inicial) hasta una posicin nal(llamada lado nal).

q ( trigonomtrico)O

A

B

Lado inicial (LI)

Lado fin

al

(LF)

Origen(Vrtice)

Si la rotacin se realiza en sentido antiho-rario el ngulo generado se considera positi-vo, en cambio si la rotacin se realiza en sen-tido horario el ngulo generado se consideranegativo.

qLad

o final

Lado inicialO

Sentido antihorarioMedida positiva

O Lado inicial

Lado final

a

Sentido horarioMedida negativa

VrticeA

B

A

C

La rotacin de un rayo puede ser menos deuna vuelta, de una vuelta (cuando al girar elrayo y vuelve a coincidir con la posicin ini-cial por primera vez) o ms de una vuelta. Lamedida de un ngulo trigonomtrico se puedeextender ilimitadamente tanto positiva comonegativamente (tiene cualquier magnitud).

b = 1 = 360 v

O

ngulo de una vuelta

LI

LF

O

ngulo de ms de una vuelta

LI

LF

g

) 1 m^ ngulo trigonomtrico +1

Observacin

1. Cuando a un ngulo trigonomtrico sele invierte su sentido, su signo cambia.

Oq

O- q

2. Para sumar ngulos trigonomtricos enun grco estos deben estar en el mismosentido.

Aplicacin

1. Del siguiente grco

5q- q- 3q

es igual a:

Resolucin

Reordenemos los ngulos en sentido

antihorario.

7Ivn Rondinel Mora Sistemas de Medidas Angulares

5q- q- 3q

- 5q

Del grco:

() + (5) + (3)| {z } = 360

! = 20

Sistemas de medicin angular

Existen muchos sistemas para medir unngulo trigonomtrico; pero los ms conocidosy usuales son tres.

Sistema sexagesimal o Ingls (S)

Este sistema divide al ngulo de una vueltaen 360 partes iguales y a cada parte se le de-nomina grado sexagesimal, que es la unidadde medida angular. Cada grado se divide 60minutos y cada minuto en 60 segundos.

Notacin:

Un grado sexagesimal: 1 Un minuto sexagesimal: 10 Un segundo sexagesimal: 100

Equivalencias:

1v 360 1 600 10 6000 1 360000

Observacin:

= ab0c00 a + b0 + c00 (a + b + c) (a+ b+ c)

a

b

a

b a

0

b0

a

b

a00

b00

a

b

Aplicacin

1. Simplicar el valor de:

J =2 30 0

10 0+3 20 0

25 0

Resolucin

Utilizando la observacin anterior:

J =2 + 300

100+3 + 200

250

J =1200 + 300

100+1800 + 200

250

J =1500

100+2000

250

J = 15 + 8

) J = 23

En este sistema se deduce:

Grados SegundosMinutos60 60

60 603600

x 3600

Sistema Centesimal o Francs (C)

Este sistema divide al ngulo de una vueltaen 400 partes iguales y a cada parte se le lla-ma grado centesimal. Cada grado centesimalcontiene 100 minutos centesimales y cadaminuto centesimal contiene 100 segundos cen-tesimales.

Notacin:

Un grado centesimal: 1g Un minuto centesimal: 1m Un segundo centesimal: 1s

Equivalencias:

1v 400g 1g 100m 1m 100s 1g 10000s

8Solucionario de preguntas cepre - unsch, unsch y otras universidades

Trigonometra

9 = 360

Observacin:

= agbmcs ag + bm + cs

(ag + bg + cg) (a+ b+ c)g

ag

bg

a

b a

m

bm

a

b

as

bs

a

b

Aplicacin

1. Simplica el valor de:

H =2 g

25m+7 g20m

1 g20m

Resolucin

Por la observacin:

H =2g

25m+7g + 20m

1g + 20m

H =200m

25m+700m + 20m

100m + 20m

H =200m

25m+720m

120m

H = 8 + 6

) H = 14

En este sistema se deduce:

Grados SegundosMinutos100 100

100 10010000

x 10000

Sistema radial o Circular (oInternacional) (R)

La unidad de medida es el radin (1rad)el cual se dene como la medida del ngulocentral que subtiende en todo circunferenciaun arco de igual longitud que la de su radio.Gracamente:

O

1rad Lados del ngulo

Equivalencias:

1v 2rad 22

7 p3 +p2 p10 3; 1416

Observacin:

1rad 571704500 63g66m19; 77s 1rad 1 1g 10 1m 100 1s

Relacin entre los tres sistemasangulares

Consideramos un ngulo trigonomtricopositivo tal como se muestra en la gura.

q = = = S C Rradg

I:

Establecemos la primera relacin teniendoen cuenta de que el ngulo trigonomtricoda slo media vuelta.

180 = 200g = rad

Esta relacin es utilizado mayormente paraproblemas de conversin.

Observacin

Una forma prctica para convertir de unsistema a otro es multiplicar a la medida dadapor un FACTOR DE CONVERSIN. Dichofactor consiste en una fraccin equivalente a la


unidad tal que en el numerador colocamos launidad deseada y en el denominador la unidada eliminar y los nmeros que acompaan a es-tas unidades deben ser equivalentes. Para uti-lizar este mtodo debe recordarse la relacin(I).

F:C =Unidad que se quiere

Unidad a cancelar

Por ejemplo, convierte:

25g a grados sexagesimales

Sea = 25g180

200g

| {z } = 22; 5F:C

Nota:

9 10g 270 50m 8100 250s

II:

Como la relacin (I) se cumple entonces:

S

180=C

200=R

Igualando a una constante de proporcio_nalidad tenemos:

S

180=C

200=R

= k !

8>>:S = 9kC = 10k

R =k

20

Esta relacin es utilizado para pro_blemas literales.

Donde

S : Nmeros de grados sexagesimales. C : Nmeros de grados centesimales. R : Nmeros de radianes.( De un mismo ngulo)

Aplicacin

1. Si: C S = 10 : Halle RResolucin

Sabemos

8>>>:S = 9kC = 10k

R =k

20Condicin:

C S = 10Reemplazamos

10k 9k = 10! k = 10Nos piden:

R =k

20

R =(10)

20

) R = 2rad

Tambin:

Sistemas sexag. Centes. Radial# de grados S C R# de minutos 60S 100C # de segundos 3600S 10000C

Observacin

a)

Complemento de ()

(S; Cg; R rad)=

8>>>:(90 S)(100 C)g

(

2R)rad

b)

Suplemento de ()

(S; Cg; R rad)=

8

PROBLEMAS TIPO ADMISIN

q

a

o

A) 180 B) 270 C) 360

D) 450 E) 540

Resolucin

Anlisis y procedimientos

Incgnita: Reordenemos los ngulos en sentido an-tihorario.

a - qa - 90

90O

Del grco:

90 + () = 360 = 450

Alternativa: D

Problema 02

Convertir 50m a segundos sexagesimales.

A) 182000

B) 162000

C) 154000

D) 181000

E) 167000

Resolucin


Se busca calcular el equivalente de 50m

en segundos sexagesimales.

50m lo expresamos en grados centesimales

50m = 50m1g

100m

50m =

1

2

g

1

2

glo expresamos en grados sexagesi-

males.1

2

g=

1

2

g 9

10g

1

2

g=

9

20

9

20

lo expresamos en segundos sexa-

gesimales.9

20

=

9

20

3600

00

1

!9

20

= 1620

00

Alternativa: B

Problema 03

Calcular :

r20

30+4g

5m+90

10g

A) 5 B) 7 C) 9D) 100 E) 11

Resolucin

Recuerde

1600 1g100m

9

10g1 a

0

b0=a

b


Sea:N =

s20

30+4g

5m+90

10g| {z } (1)A

Resolviendo el radicando tenemos:

A =20

30+

4g

5m+

90

10g

A =120

0

30+

400m

5m+ 1

A = 40 + 80 + 1

A = 121 (2)De (2) en (1)

11

Problema 01

Del grco adjunto, halle .

Ivn Rondinel Mora Sistemas de Medidas Angulares

N =p121

) N = 11Alternativa: E

Problema 04

Determine:pa+ b+ c; si: 140g = abc

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

Resolucin


De la condicin

abc= 140g (1)

140g lo expresamos en gradossexagesimales.

140g = 140g9

10g

! 140g = 126

(2)De (2) en (1)

abc= 126

Por comparacin

a = 1; b = 2 y c = 6

Nos piden calcular:pa+ b+ c =

p1 + 2 + 6p

a+ b+ c =p9

)pa+ b+ c = 3

Alternativa: C

Problema 05

Si: x+ y = 74: Calcular: = xy0+ yx

0

A) 70140

B) 68100

C) 74240

D) 75140

E) 64150

Resolucin

Recuerde

ab0c00 = a + b0 + c00 x + y + z = (x+ y + z)


Condicin

x+ y = 74

Nos piden calcular:

= xy0+ yx

0

= (x + y0) + (y + x

0)

Agrupando

= (x + y) + (x0+ y

0)

= (x+ y) + (x+ y)0

Reemplazamos

= 74 + 740

= 74 + (600+ 14

0)

= 74 + (1 + 140)

= 75 + 140

) = 75140

Alternativa: D

Problema 06

Halle el valor de la expresin:

N =rad

18 +18

5 g rad20 g

A)1

2B)

1

4C) 2

D) 4 E) 6

(CEPRE - UNSCH 2008 - I)

Resolucin


Nos piden calcular:

N =rad

18+18

5g rad20g

A cada trmino multiplicamos por el fac-tor de conversin.

rad18

=rad

18

180

rad

! rad

18= 10

18

5g=18

5g

10g

9

! 18

5g= 4

rad20g

=rad

20g

200g

rad

! rad

20g= 10

En el problema

N = 10 + 4 10) N = 4

Alternativa: D

Problema 07

En la gura, hallar x


Trigonometra

- 4 - 20 x5 - 20x

A) 20 B) 10 C) 20D) 59 E) 60

(CEPRE - UNSCH 2008 - III)

Resolucin


Reordenemos los ngulos en sentido an-tihorario

- 4 - 20 x5 - 20x

4 + 20x

Del grco

(5x 20) + (4x+ 20) = 1809x = 180

x = 20

Alternativa: C

Problema 08

En un tringulo rectngulo, los ngulosagudos son (3x + 9 ) y (7x 3 )g . Cal-cular el valor de x

A) 9 B) 18 C) 12D) 5 E) 16

(CEPRE - UNSCH 2009 - II)

Resolucin

Referencias:

Sabemos que en todo tringulo rectn-gulo la suma de sus ngulos agudos esigual a 90


Condicin

(3x+9)+(7x3)g = 90 (1) (7x 3)g lo expresamos en gradossexagesimales.

(7x 3)g = (7x 3)g9

10g

! (7x3)g =

(7x 3)

9

10

(2)

De (2) en (1)

(3x+9)+(7x 3)

9

10

= 90

Simplicando grados sexagesimales en laigualdad

(3x+ 9) + (7x 3)9

10

= 90

3(x+ 3)10 + 9(7x 3) = (90)(10)30x+ 90 + 63x 27 = 900

93x+ 63 = 900

93x = 837

) x = 9Alternativa: A

Problema 09

La suma de dos ngulos es 1 y sudiferencia es 1 g . Halle la medida del menorngulo en minutos sexagesimales.

A) 10

B) 30

C) 50

D) 70

E) 90


Resolucin


Sean y los ngulos agudos ( ).Nos piden la medida del menor nguloagudo en minutos sexagesimales

Condicin

+ = 1 (1) = 1g (2)

1g lo expresamos en grados sexagesimales

1g = 1g9

10g

! 1g =

9

10

Reemplazamos en (2)

=9

10

(3)

Restamos (1) y (3)

2 = 1 9

10

2 =

1

10

=

1

20

13

Ivn Rondinel Mora Sistemas de Medidas Angulares

Su equivalente en minutos sexagesimalesser

1

20

60

0

1

es decir

30

Alternativa: B

Problema 10

Halle el valor de la expresin siguiente:

M =2 g2m

2m+3 3

0

3 0

A) 200 B) 162 C) 161D) 163 E) 101


Resolucin

Recuerde

ab0c00 = a + b0 + c00 1600

am

bm=a

b;

a0

b0=a

b 1g100m


Reducimos M

M =2g2m

2m+33

0

30

M =2g + 2m

2m+3 + 3

0

30

M =200m + 2m

2m+180

0+ 3

0

30

M =202m

2m+183

0

30

M = 101 + 61

)M = 162Alternativa: B

Problema 11

Un alumno del CEPRE UNSCH , envez de escribir 30 escribe 30 g : Cuntode error cometi en el sistema sexagesi-mal?A) 2 B) 3 C) 5

D) 4 E) 6


Resolucin


Medida del ngulo verdadero:verd: = 30

Medida del ngulo errneo:

falso = 30g = 30g

9

10g

! falso = 27

Luego el error es

error = verd: falsoerror = 30 27) error = 3

Alternativa: B

Problema 12

Un ngulo de un tringulo mide 35 y

el otro5

9rad . Cul es la medida del

tercer ngulo en el sistema centesimal?

A) 40g B) 35g C) 60g

D) 70g E) 50g


Resolucin


Condicin

A = 35 y B =5

9rad

Nos piden: m^C (Sistema centesimal)

Convertimos5

9rad a grados sexagesi-

males5

9rad =

5

9rad

180

rad

! 5

9rad = 100

Recuerde que:

A+B + C = 180

En el problema

35 + 100 + C = 180

C = 45

El equivalente en grados centesimales ser

4510g

9

14

Solucionario de preguntas cepre - unsch, unsch y otras universidades

Trigonometra

es decir

50g

Alternativa: EProblema 13

S y C son nmeros convencionales paraun ngulo trigonomtrico tal que:

C 2 SS

= 99 ; halle S

A) 80 B) 75 C) 81D) 85 E) 64


Resolucin


Sabemos

8>:S = 9kC = 10k

R =k

20Condicin:

C2 SS

= 99

Reemplazando

(10k)2 9k9k

= 99

100k2 9k9k

= 99

100k 99

= 99

100k 9 = 891k = 9

Nos piden:

S = 9k= 9(9)

) S = 81Alternativa: C

Problema 14

En el grco halle: K = 100a + 9b

a (10b)m

A) 0 B) 1 C) 1D) 2 E) 3


Resolucin


Incgnita:

K = 100a+ 9b

Del grco anterior se obtiene el nuevoesquema

a - (10 ) b m

Luego:

a = (10b)m

a = (10b)m1g

100m

a =

b

10

ga =

b

10

g 9

10g

a =

9b

100

a =

9b

100

Multiplicamos por 100

100a = 9b100a+ 9b = 0

) K = 0Alternativa: A

Problema 15

Si S y C son nmeros convencionalespara un mismo ngulo, calcule el valorde:

J =

vuutS + CC S +

sC + 2S

C S +rC + 6S

C S

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5



Resolucin


SabemosS = 9kC = 10k

Reemplazando en la expresin

J =

vuut19kk+

s28k

k+

r64k

k

Simplicando

J =

q19 +

p28 +

p64

J =p25

) J = 5Alternativa: E

Problema 16

Del grco, halle la medida del nguloAOB en el sistema radial

(3x) ( 2x 8)- - gO

A

B

A)

10rad B)

5rad C)

18rad

D)

20rad E)

15rad


Resolucin


Del grco anterior se obtiene el nuevoesquema

(3x)O

A

B

- - - ( 2x 8)g

Luego:

(3x) = (2x 8)g(3x) = (2x+ 8)g

(3x) = (2x+ 8)g9

10g

Simplicando

x =(x+ 4)

3

5

x =

(x+ 4)

3

5

x = 6

Nos piden calcular:

m^AOB = (3x)

m^AOB = 18

Su equivalente en radianes ser

18rad

180

es decir

10rad

Alternativa: A

Problema 17

El nmero de grados sexagesimales Sy el nmero de grados centesimales Cde la medida de un ngulo satisface larelacin C = S + 2

pS : Calcule la me-

dida del ngulo en radianes.

A)5

3B)

9

5C)

7

3

D)8

5E)

7

5


Resolucin


Sabemos

8>:S = 9kC = 10k

R =k

20Condicin:

C = S + 2pS

Reemplazando

10k = 9k + 2p9k


Trigonometra

k = 6pk

Elevamos al cuadrado:

k2 = (6pk)2

k2 = 36k

k = 36

Nos piden:

R =k

20

R =(36)

20rad

) R = 95rad

Alternativa: B

Problema 18

Indique el nmero de segundos sexa-gesimales que hay en 120300

A) 123 B) 321 C) 2313D) 3723 E) 3273


Resolucin

Recuerde

ab0c00 = a + b0 + c00

1360000

106000


Se busca calcular el equivalente de 120300

en segundos sexagesimales.

Sea: = 12

0300

= 1 + 20+ 3

00

= 360000+ 120

00+ 3

00

) = 372300

Alternativa: D

Problema 19

Se ha creado un nuevo sistema demedicin angular (sistema CEPRE) enla cual 1 (grado CEPRE) equivale a las

3

4partes de la medida del ngulo de una

vuelta. Simplique:

N =4 5rad

20g

A) 1 B) 3 C) 15D) 9 E) 10


Resolucin


Nos piden:

N =4 5rad

20g

Dato:

13

4vuelta

! 1vuelta4

3

(1)

Pero sabemos

1vuelta2rad (2)Luego, igualamos (1) y (2)

4

3

2rad

Ahora si:

8>>>:4

3

2rad

4 x

Por regla de tres simple tenemos:

x =4(2rad)

4

3

x = 6rad

20g lo expresamos en radianes

20g = 20grad

200g

! 20g =rad

10

Reemplazando en la expresin

N =6rad 5rad

rad

10

) N = 10


Alternativa: E

Problema 20

Siendo S ,C y R los nmeros conven-cionales para la medida de un mismo n-gulo. Calcule el valor de R si se cumpleque:

S 9C (C 20 )10S = 9 10 g

A)

2B) C) 3

D) 5 E) 20


Resolucin


Sabemos

8>:S = 9kC = 10k

R =k

20Condicin:

S9C (C 20)10S = 9 10g| {z }0

S9C (C 20)10S = 0S9C = (C 20)10S

Reemplazando

(9k)9(10k) = (10k 20)10(9k)[9k]90k = [10k 20]90k! 9k = 10k 20! k = 20

Nos piden:

R =k

20

R =(20)

20rad

) R = radAlternativa: B

Problema 21

Exprese el suplemento de 120 g en el sis-tema radial.

A)2

3rad B)

3

5rad C)

2

5rad

D)3

7rad E)

4

7rad


Resolucin

Recuerde

S(Sistema centecimal) = 200g


Sea el ngulo:

= C = 120g

Nos piden:


S(Sistema centecimal) = 200g 120g



80grad

200g

es decir

2

5rad

Alternativa: C

Problema 22

Halle el suplemento de un ngulo en elsistema circular si el complemento de di-cho ngulo es 80 g centesimales.

A)7

9rad B)

9

10rad C)

8

9rad

D)11

12rad E)

19

10rad

(UNSCH 2009)Resolucin

Recuerde

C(Sistema centecimal) = 100g S(sistema circular) = rad


Sea el ngulo:

= C = 80g

Condicin:C(Sistema centecimal) = 80

g

100g = 80g = 20g


Trigonometra


20grad

200g

es decir

= R =

10rad

Nos piden:

S(sistema circular) = rad

S(sistema circular) = rad 10rad

) S(sistema circular) =9

10rad

Alternativa: B

Problema 23

Sabiendo que (3x y) es equivalente a

(x + 2y)g :Determina: N =x yx + y

A)4

7B)

7

4C)

1

7

D)1

4E) 7

(UNCP 2009 I)Resolucin

Dato:

(3xy)(x+2y)g (1) (x + 2y)g lo expresamos en gradossexagesimales

(x+ 2y)g = (x+ 2y)g9

10g

! (x+2y)g =

(x+ 2y)

9

10

(2)

De (2) en (1)

(3x y)(x+ 2y)

9

10

Simplicando

(3x y) (x+ 2y)

9

10

30x 10y 9x+ 18y

21x 28y

3x 4y

! xy

4k

3k

x = 4ky = 3k

Nos piden:

N =x yx+ y

=4k 3k4k+ 3k

=k

7k

De donde

N =1

7

Alternativa: C

Problema 24

En la gura, determina la diferencia delmayor y menor ngulo.

A

B

C

D

2p45 xrad

403 x

g

10x

6x

A) 80 B) 100 C) 30

D) 40 E) 60

(UNCP 2011 I)Resolucin

Teorema:

En todo cuadrilteroa b c d + + + = 360a

b c

d


Del grco:

A = 245rad lo expresamos en grados

sexagesimales

A =2

45rad =

2

45rad

180

rad

! A = 8x

B = 403xg lo expresamos en grados

sexagesimales

B =40

3xg =

40

3xg9

10g

! B = 12x

Recuerde que:

A+B + C +D = 360


En el problema

8x + 12x + 10x + 6x = 360

36x = 360x = 10

Nos piden:

B D = 12x 6xB D = 6xB D = 60

Por lo tanto, la diferencia del mayor ymenor ngulo es 60

Alternativa: E

Problema 25

Determinar la medida de un ngulo enradianes, si se cumple que:18

S

3+

20

C

3+ 10R

3=

1

9

A)7

15rad B)

3

20rad C)

3

10rad

D)

5rad E)

3

5rad

(UNCP 2011 II)Resolucin


Sabemos

8>:S = 18kC = 20k

R =k

10Reemplazando18

18k

3+

20

20k

3+

0B@ 10(k

10)

1CA3

=

1

9

Simplicando

1

k

3+

1

k

3+

1

k

3=

1

9

3

1

k

3=

1

9

1

k

3=

1

3

3! 1k=1

3

! k = 3Nos piden:

R =k

10

R =3

10rad

) R = 310rad

Alternativa: C

Problema 26

La medida de un ngulo en los sistemassexagesimal y centesimal estn represen-tados por dos nmeros pares consecu-tivos. Halle la medida de dicho nguloen radianes.

A)

12B)

10C)

6

D)2

3E)

5

3(UNI 2007 II)

Resolucin


Se tiene un ngulo representado por enlos sistemas sexagesimal y centesimal.

Por dato: = (2n)

= (2n+ 2)g (1) (2)

Como se trata del mismo ngulo, en-tonces igualamos (1) y (2)

(2n) = (2n+ 2)g (3) (2n + 2)g lo expresamos en gradossexagesimales

(2n+ 2)g = (2n+ 2)g9

10g

(2n+2)g =

9n+ 9

5

(4)

De (4) en (3)

(2n) =9n+ 9

5

Simplicando

2n =9n+ 9

520


Trigonometra

10n = 9n+ 9

n = 9

En (1)

= 18


18rad

180

es decir

rad

10

Alternativa: B

Problema 27

En un nuevo sistema de medicin an-gular, un ngulo de grados sexagesi-males mide 3 . Si un ngulo de radianes mide 120 en el nuevo sistema,halle 3A) 15 B) 6 C) 9D) 12 E) 3

(UNI 2009 I)Resolucin


Nuevo sistema de medicin angular (X);donde 1X denota un grado en el sistemaX

Condiciones = ( 3)Xrad = 120X

Por regla de tres simple

=( 3)Xrad

120X

= ( 3)rad

120

Empleamos el mtodo de factor de conversin

= ( 3)rad

120

180

rad

= ( 3)3

2

2 = 3 9 = 9

Se busca calcular

( 3)Reemplazando

(9 3) = 6Alternativa: B

Problema 28

Si S ;C y R son lo convencional para unmismo ngulo y se cumple que :S

180+1

C

200+1

R

+1

= 64 ;

calculeS + C

20

A) 57 B) 38 C) 76D) 19 E) 95

Resolucin


Nos piden:S + C

20

Sabemos:

8

Problema 29

Si S ;C y R son lo convencional para unmismo ngulo positivo y se cumple queS 2+C 2+2SC = 36 ; calcule R:

A)

190B)

3

190C)

10

D)

19E)

5

6

Resolucin


De la condicin:S2 + C2 + 2SC| {z } = 36

T:C:P

(S + C)2 = 62

! S + C = 6

Adems como se sabe:

8>:S = 9kC = 10k

R =k

20Se tiene

9k + 10k = 6

19k = 6

k =6

19

Se busca calcular

R =k

20

R =

20

6

19

) R = 3190

rad

Alternativa: B

Problema 30

Si:89

1440radAB0C 00

Halle el valor de: M =(A+B)

3rad c

A) 1; 2 B) 1 C) 0; 6D) 1; 18 E) 1; 8

Resolucin


Nos piden:

M =(A+B)

3rad c

Condicin

AB0C 0089

1440rad (1)

891440

rad lo expresamos en grados

sexagesimales

89

1440rad =

89rad

1440

180

rad

! 891440

rad =89

8

En (1)

AB0C 00 89

8

(2)

898

lo expresamos en grados, minutos

y segundos sexagesimales

89

8

= 11; 125

89

8

= 11 + 0; 125

89

8

= 11 + 0; 125

60

0

1

89

8

= 11 + 7; 5

0

89

8

= 11 + 7

0+ 0; 5

0

89

8

= 11 + 7

0+ 0; 5

060

00

10

89

8

= 11 + 7

0+ 30

00

89

8

= 117

030

00 (3)

Reemplazamos (3) en (2)

AB0C 00 117030

00

Por comparacin

A = 11; B = 7; C = 30

Luego:

M =(A+B)

3rad c


Trigonometra

M =(18)

3rad 30

M =(18)

60 30

M =18

30

)M = 0; 6Alternativa: C

Problema 31

Si: ab0c00= 5 48

023

00+ 6 25

040

00

Calcular:pa + b + c 4

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

Resolucin

Recuerde

ab0c00 = a + b0 + c00

1600

106000


Nos piden:pa+ b+ c 4

Condicin

ab0c00= 548

023

00+ 625

040

00

ab0c00= 5 + 48

0+ 23

00+ 6 + 25

0+ 40

00

ab0c00= 11 + 73

0+ 63

00

ab0c00= 11 + 73

0+ (60

00+ 3

00)

ab0c00= 11 + 73

0+ 1

0+ 3

00

ab0c00= 11 + 74

0+ 3

00

ab0c00= 11 + (60

0+ 14

0) + 3

00

ab0c00= 11 + 1 + 14

0+ 3

00

ab0c00= 12 + 14

0+ 3

00

ab0c00= 1214

0300

Por comparacin

a = 12; b = 14; c = 3

Luegopa+ b+ c 4 = p12 + 14 + 3 4

pa+ b+ c 4 = p25

)pa+ b+ c 4 = 5

Alternativa: E

Problema 32

Simplique: E =ab

0+ ba

0

(a + b)0

A) 60 B) 61 C) 120D) 121 E) 180

Resolucin

Recuerde

ab0c00 = a + b0 + c00

x + y + z = (x+ y + z) 1600


Nos piden:

E =ab

0+ ba

0

(a+ b)0

E =a + b

0+ b + a

0

(a+ b)0

Convirtiendo grados a minutos

E =60a

0+ b

0+ 60b

0+ a

0

(a+ b)0

Agrupando

E =60(a

0+ b

0) + (a

0+ b

0)

(a+ b)0

E =60(a+ b)

0+ (a+ b)

0

(a+ b)0

Simplicando

E = 60 + 1

) E = 61Alternativa: B


Problema 33

Siendo S , C y R los nmeros conven-cionales para un cierto ngulotrigonomtrico tal que se cumple que:

S

180+C

200+2R

= 4

Halle el valor de: E =C + S

95

A)3

2B)

1

2C) 3

D)5

2E) 4

Resolucin


Nos piden:

E =C + S

95

Adems como se sabe:

8>>:S =

180R

C =200R

Reemplazando en la igualdad se tiene

(180R

)(200R

)R =

6rad

R3 =

(6)(10)

3! R =

60rad

Alternativa: C

Problema 35

El doble del complemento de un nguloes el triple de su suplemento disminuidoen 120 . Halle la medida de un nguloen radianes.

A)2

3B)

5

3C)

3

4

D)3

2E)

4

3

(UNMSM 2012 II)Resolucin


Dato:2C = 3S 120

2(90 ) = 3(180 ) 120180 2 = 540 3 120

= 240



Trigonometra

240rad

180

es decir

4

3rad

Alternativa: E

Problema 36

Los nmeros S = k3 119y C = k3+

1

19son las medidas de un ngulo en los sis-temas sexagesimal y centesimal respec-tivamente. Determine la medida del n-gulo en radianes.

A)

200B)

180C)

190

D)

250E)

3

200

(UNI 2012 I)

Resolucin


Condicin:

S = k3 119

(1)

C = k3+1

19 (2)

Sabemos:

S

180=C

200=R

)

8>>>>>:S

C=

9

10

R =S

180

Se tiene

k3 119

k3 +1

19

=9

10

10k3 1019

= 9k3 +9

19

k = 1

k en (1)

S = k3 119

S = 1 119

S =18

19

Nos piden calcular:

R =S

180

R =

18

19

180

) R = 190

Alternativa: C

Problema 37

Si los nmeros que representan la me-dida de un ngulo en los sistemas sexa-gesimal y centesimal son nmeros con-secutivos, Cul es la medida radial delngulo?

A)

10rad B)

20rad C)

3rad

D)

6rad E)

4rad

(UNSCH 2012 II)Resolucin


Incgnita: R

Condicin:

S = n (1)C = n+ 1 (2)

Sabemos:

S

180=C

200=R

)

8>>>>>:S

C=

9

10

R =S

180

Se tienen

n+ 1=

9

10

10n = 9n+ 9

! n = 9n en (1)

S = 9

S = 9

Nos piden calcular:


R =S

180

R =9

180

) R = 20rad

Alternativa: B

Problema 38

De la gura mostrada, simplique la ex-

presin: I = 3r10m 9n100

n

m

g

A) 4 B) 2 C) 3D) 5 E) 6


Resolucin


Incgnita:

I = 3r10m 9n100

n

m

g

Del grco anterior se obtiene un nuevoesquema

n

m

g

- n g

Luego

m ng = 270

m ng9

10g

= 270

m 9n

10

= 270

! m 9n10

= 270

Multiplicamos por 10

10m 9n = 2700Reemplazando 10m 9n en nuestra in-cgnita; luego

I = 3r2700

100

I = 3p27

) I = 3Alternativa: C

Problema 39

Si: K =90 g + 9

36 30rad

Adems:

k + 1

rad =ab

: Calcule: b a

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

Resolucin

Observacin

Para poder operar las medidas tenemosque pasar todas a un solo sistema. Pasan-do al sistema sexagesimal.


Condicin:


Trigonometra

K =90g + 9

36 30rad

90g su equivalente en el sistema sexa-gesimal ser

90g9

10g

= 81

30rad su equivalente en el sistema

sexagesimal ser

30rad

180

rad

= 6

En la expresin

K =81 + 9

36 6 = 3

Luego reemplazando K en

k + 1

rad = ab

3 + 1

rad = ab

4rad = ab

45 = ab

Por comparacin

a = 4 y b = 5

Nos piden calcular:

b a = 5 4) b a = 1

Alternativa: A

Problema 40

Se tiene un nuevo sistema de medida an-gular, cuya unidad es equivalente a 18 .A cuntos radianes equivalen 40 gra-dos en el nuevo sistema?

A) B) 4 C)3

5

D)

7E)

8

5

(CEPRE - UNSCH 2013 II)Resolucin


Nuevo sistema de medicin angular (X);donde 1X denota un grado en el nuevosistema X:

Condiciones1X 18

40X Z (rad)

Por regla de tres simple

Z =40X(18)1X

= [40(18)]

Empleando el mtodo de factor de conversin

Z = [40(18)]rad

180

Z = 4rad

Alternativa: BProblema 41

Del grco, calcula S =x

y

x y mO

A

B

A) 25=27 B) 50 C) 50=27D) 27=25 E) 27=50

(UNCP 2012 II)Resolucin


Incgnita: S =x

y

Del grco anterior:

x0 = ym; recuerde: 270 50m

x0 = ym270

50m

x = y

27

50

! xy=27

50

) S = 2750

Alternativa: E


PROBLEMAS PROPUESTOS

x2a - a

obtener el valor de: K =x

3 a

A) 50 B) 60 C) 40D) 30 E) 20

Problema 02

Dado el siguiente ngulo

x y = mO

A

B

Evalua:

I =3

5y(x+ 2; 6y)

A) 19 B) 20 C) 21D) 22 E) 23

Problema 03

Del grco siguiente:

b

qa

Indicar cul(es) de las proposiciones sonverdaderas (V ) o falsas (F ):

I: Es: = II: + = 180

III: es un ngulo positivo y es un ngulo negativo.

A) V V F B) FFV C) V FVD) V FF E) FFF

Problema 04

Calcular el valor de:

V =10m

90+2700

50s

A)33

15B)

15

34C)

15

33

D)34

15E)

31

15

Problema 05

Calcule a+ b+ c, si:

ab0c00 = 54005000 + 23202400

A) 31 B) 30 C) 35D) 32 E) 34

Problema 06

Sabiendo que:

72rad xy0

Calcule el valor de: A =

rx+ y

x

A) 5 B) 6 C) 2D) 3 E) 4

Problema 07

Si: xy0 + yx0 = (AB)(CD)0;

x+ y = 90

Halle: A+B + C +D

A) 10 B) 18 C) 15D) 13 E) 12

Problema 08

Halle x, si se cumple que:

(9x)g x10

4rad (100x)g

=1

5

A) 1 B)9

26C)

5

26

D)1

5E)

7

26

Problema 09

Siendo R;S y C lo convencional para unmismo ngulo. Halle R, si

28

Problema 01

Del grco mostrado


Trigonometra

SR + C

S+CR + S

C= 361

90

A)

3

2B)

4C)

3

D) E)

2

Problema 10

Se ha creado un nuevo sistema: sistemacrespo en la cual 1C (grado crespo)

equivale a las3

4partes del ngulo de una

vuelta. Simplique

N =3C 7

2rad

18

A) 10 B)1

2C) 9

D) 1 E) 5

Problema 11

Siendo R;S y C lo convencional donde

S = xxx+ 2 ; C = xx

x+ 4

Halle: Rx

A)

10B)

5C)

3

D)

12E)

9

Problema 12

En el grco, m^BOA = 120 y

= (40 7x)g, = x120

rad:

Hallar el valor depx+ 5

a

b

A

O B

A) 5 B) 6 C) 2D) 3 E) 4

Problema 13

Halle la medida en radianes, de aqulngulo tal que la diferencia de su nmero

de segundos sexagesimales y de su nmerode minutos centesimales sea 15700.

A) 40 B) 2 C)

2

D)

40E)

10

Problema 14

En la gura, O es un punto de la rectaL. Cul es el valor de x?

(2x 10)+g

(7 7x)-O

L

A) 20 B) 12 C) 10D) 8 E) 15

Problema 15

Si S y C son los nmeros de gra-dos sexagesimales y centesimales de unmismo ngulo, hallar el valor de:

9

vuutSC

200@SC

1A

A) 0; 83 B) 0; 81 C) 0; 82D) 0; 91 E) 0; 71

Problema 16

Si la diferencia de segundos centesimalesy segundos sexagesimales que mide unngulo es 27040. Calcule la medida (enrad.) de dicho ngulo.

A)

10B)

20C)

30

D)

40E)

50

Problema 17

Si el nmero de grados sexagesimales deun ngulo excede en 34 a 14 veces elnmero de radianes de su medida. Hallela medida de dicho ngulo en grados cen-tesimales (Usar 22=7):


A) 40g B) 45g C) 50g

D) 3rad E) 60g

Problema 18

Para un cierto ngulo se cumple que lasuma del nmero de grados sexagesimales,el doble del nmero de grados centesi-males y el triple del nmero de radianesde su medida es igual a 1740 + 9.Hallar la medida del ngulo en el sistemaradial.

A) rad B) 3rad C)3

20rad

D) 55g E)3

20rad

Problema 19

Con los datos de la gura, si se cumpleque 5+4 = 21, halle la medida de en radianes.

4a5b

O

A)

4rad B)

5rad C)

10rad

D)

20rad E)

32rad

(CEPRE UNMSM 2010 - II)Problema 20

Sean18x 18

y10x 30

glas medidas de un ngulo en gradossexagesimales y centesimales, respecti-vamente. Halle la medida del ngulo enradianes.

A)1

5rad B)

2

5rad C)

3

5rad

D)4

5rad E)

1

2rad


Sean S; Cg y R rad las medidas de unngulo en grados sexagesimales, cen-tesimales y radianes respectivamente, talque

S10

729+C10

1000+R10

3=125

S7+C7+

R7

8000

Halle dicha medida en radianes.

A)2

3rad B)

3rad C)

2rad

D)3

4rad E)

4rad


Con la informacin mostrada en la gu-ra, determine ( )g en gradossexagesimales sabiendo que + 6 = 0

AO

B

a

bp 60

rad

A) 30 B) 60 C) 55D) 45 E) 50


En el tringulo ABC de la gura,AB = AC,

!MB y

!CT son bisectrices

si el ngulo agudo ACB mide 72, encuntos radianes excede el ngulo ! a ?

q

w

B C

A

T M

A)

4rad B)

2

9rad C)

2

5rad

D)

5rad E)

3rad

(CEPRE UNMSM 2011 - II)


Trigonometra

Alternativas CAPITULO I

1 A

2 C

3 B

4 D

5 C

6 E

7 D

8 B

9 D

10 A

11 B

12 A

13 D

14 C

15 B

16 E

17 C

18 C

19 D

20 B

21 E

22 D


Trigonometra

Longitud de Arco y Area de Un Sector Circular

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