Sesión 10:

LONGITUD DE UNA CURVA PLANA

CALCULO INTEGRAL (ARQ)

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INTRODUCCIÓNAl igual que el conceptos de área, el concepto de longitud de arco requiere una definición cuidadosa.Si se estudiara un segmento de recta que une P1 y P2, su longitud sería:

P1

P2

y2

y1

x1 x2

|P1P2|

212

21221 )yy()xx(|PP| 2

122

1221 )yy()xx(|PP|

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LONGITUD DE ARCO

Si la curva C se define mediante la ecuación y=f(x), donde a ≤ x ≤ b, obtenemos una aproximación de C tomando una partición P de [a; b], con a = x0 < x1 < x2 <.......< xn = b. Los

puntos Pi(xi; yi) están en la curva y el polígono

de vértices Pi es una aproximación de C . La

longitud de esa aproximación poligonal será:

figurafigura

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a x1 x2 xi-1 xi xn=b

P0

P1 P2

Pi

Pi-1

Pn

La longitud de C será aproximadamente:

C

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La longitud anterior parece mejorar a medida que (P)0, por lo tanto definimos:

La cual como se ve no es aún una suma de Riemann, sin embargo, si f '(x) es continua, se puede escribir:

n

1i

2ii

2i

0)P(x)x('f)x(limL

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TEOREMA

b

a

2 dx)x('f1L b

a

2 dx)x('f1L

Si f '(x) es continua en [a; b], la longitud de la curva definida por la ecuación y = f(x), siendo a ≤ x ≤ b, es:

Que en términos de integral adopta la forma:

n

1ii

2i

0)P(x)x('f1limL

b

a

2 dx)(1 dxdy

Ejemplo 1:

2) Determine la longitud de la curva

para x

1) Determine la longitud de la curva

3/2

2

x

y

2;0

21,2 xxy

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Ejemplo 2:Calcula la longitud de arco de la parábola semicúbica y2 = x3 entre los puntos (1; 1) y (4; 8)

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Si la ecuación de la curva es x = g(y), siendo c ≤ y ≤ d, la longitud de arco se calculará con:

Ejemplo 2:Calcula la longitud del arco de parábola y2=x, de (0; 0) hasta (1; 1)

d

c

2 dy)y('g1L b

a

2 dx)(1 dydx

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Ejemplo 3:a) Plantee una integral para hallar la longitud de

un arco de la hipérbola xy = 1, de (1; 1) hasta (2; ½).

b) Con ayuda de un asistente matemático calcule la integral planteada en (a).

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Ejemplo 4:

Determina la longitud de un arco de la curva

,desde (1; 1) hasta un punto de

abscisa x. 8

)xln(2xy

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Ejemplo 5:Calcula la longitud de cada una de las curvas en los intervalos indicados.

2x1)1x(y)a 32

3x1y)b 2

4

x81

4x

4x0)xcos(lny)c

Cartel publicitario: La figura muestra un cartel publicitario, cuya elevación (región sombreada) está formada por una región rectangular, coronada en la parte superior derecha por otra región limitada por un arco parabólico BCD, con vértice en C y cuyas dimensiones se muestran. Sabiendo que se desea:Forrar todo su contorno (ABCDEFA) con una cinta de ancho 0.15m (igual al espesor constante del cartel); determine ¿qué longitud de cinta se requiere?

0.15m

3 m 2m 2m

1m

3 m

A

BD

E F

C

Nota: )ln(22

222 axcaxa

caxc

xdxaxc

;

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