“Año De La Diversificación Productiva Y Fortalecimiento De La Educación”

CALCULO II

CONCURSO DE ARCO

FACULTAD: Ingeniería

CENTRO: Universidad Privada Del Norte

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: CALCULO II

SEMESTRE ACADÉMICO: 2015-II

CICLO ACADÉMICO: III

DOCENTE: CAVERO CHUQUIVIGUEL.JORGE

INTEGRANTES:

CHILON PEREYRA GONZALOOLIVA ALBURQUEQUE JAQUELINE MERCEDESROMERO ARAUCO ANA FRANSHESCASAMANIEGO CHUQUIVIGUEL IVONNE MARINASOTOMAYOR COQUINCHE KATERINE PATRICIAZEGARRA PEREYRA JEANETH DEL PILAR

PERU-2015

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RESUMEN

Para empezar, con esta investigación, se quiere dar a conocer, y por lo tanto comprender las aproximaciones que pueden presentar ciertas longitudes en un concurso de arco, el cual, nos hará entender de manera aproximada las medidas de cada una de las longitudes, que puede llegar a poseer una determinada curva. Por lo tanto, al momento de hacer las diferentes comparaciones de cada longitud, podremos darnos cuenta despejando cada una de nuestras dudas presentadas en un problema que suele suceder en la vida cotidiana.

Asimismo, gracias a las comparaciones en un concurso de arco observaremos las fórmulas para conocer las funciones, las cuales satisfagan las n condiciones que se puedan dar, para lo cual se tendrá que calcular la longitud que se podría dar en una gráfica, en base a esto, el elemento que resulte ganador será aquel que tenga la longitud de arco más pequeña. Gracias a estas averiguaciones, se contribuye de manera asertiva al entendimiento, para los estudiantes de ingeniería y/o carreras afines a las cuales les pueda servir de mucha ayuda para su conocimiento en el plano educativo.

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DEDICATORIA

El presente trabajo está dedicado a DIOS porque es Él quien le da la sabiduría necesaria a nuestro profesor para transmitirnos de sus conocimientos y asi contribuir a nuestra formación profesional, A nuestros padres por darnos los recursos y el apoyo necesario para poder lograr nuestras metas y a todos los estudiantes universitarios que se esfuerzan para culminar su carrera a pesar de las dificultades por las que puedan pasar.

ÍNDICE

Introducción…………………………………………………………………………..……………………………………………,... 5

Capítulo I …………………………………………………………………………………………………………………………..…. 6

Definición……………………………………………………………………………………………………………..………………… 6

Calculo de la longitud del arco mediante integrales……….………………………………….……………..….. 6

Deducción de la fórmula para funciones de una variable……………………………………………………….. 8

Métodos anteriores al cálculo……………………………………………………………………………………………….. 10

Ejemplos……………………………………………………………………………………………………………………………….. 11

Capítulo II

Análisis e interpretación del problema………………………………………………………………………….……….. 14

CONCLUSIONES……………………………………………………………………………………………..……….………………. 22

REFERENCIAS…………………………………………………………………………………..…..…………………………………. 23

ANEXOS…………………………………………………………………………………………………………………….….………… 24

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INTRODUCCIÓN:

Desde siempre, hemos tenido la noción de longitud, y siempre nos ha parecido muy sencillo medir objetos, usando los diferentes instrumentos de medición o simplemente calculando dichas longitudes usando formulas sencillas que nos sirven básicamente para estimar medidas de rectas o circunferencias; de manera que ahora tendremos la oportunidad de calcular longitudes pero esta vez de segmentos curvos. Uno de estos métodos utilizados es el cálculo de la distancia entre dos puntos usando la formula que deriva del teorema de Pitágoras.

Esta fórmula es útil para lograr medir la longitud de arco, pero se debe tener en cuenta que para poder realizar este cálculo, es necesario que la curva además de ser continua en un intervalo cerrado, sea también continua su derivada en el mismo intervalo [a, b]. También hay que saber que, no todas las curvas tienen longitud finita entre dos de sus puntos; si una curva tiene longitud finita entre dos de sus puntos, se dice que es rectificable entre esos dos puntos.

Aunque históricamente fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Para calcular la longitud de un arco de una curva plana y el área de una superficie de revolución se utiliza el carácter de suma de la integral definida. Si un trozo de curva tiene una longitud de arco finita, se dice que es rectificable. El problema de calcular la longitud de una curva ha motivado trabajos matemáticos muy variados .Algunas contribuciones tempranas al problema se deben al matemático holandés Christian Huygens (1629-1695), el inventor del reloj de péndulo. Otro precursor en el trabajo sobre curvas rectificables fue el matemático escocés James Gregory (1638-1675). Ambas personalidades fueron importantes en las primeras etapas del desarrollo del cálculo.

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CAPITULO I

MARCO TEORICO

1. Definición:

Longitud proviene del vocablo latino “longitudo” y significa en Física la distancia que une dos puntos, y permite su medición para conocer su altura cuando se trata de una longitud vertical; o su ancho, si tomamos en cuenta una longitud horizontal. En general se llama longitud cuando medimos una superficie plana, a su largo, que es el de mayor extensión; la medida menor es el ancho.

En geometría, arco es cualquier curva continua que une dos puntos. También, se denomina arco a un segmento de circunferencia; un arco de circunferencia queda definido por tres puntos, o dos puntos extremos y el radio, o por la longitud de una cuerda y el radio.

En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.

2. Calculo de la longitud del arco mediante integrales:

Para poder entender la longitud de arco se podría pensar en ajustar un trozo de cuerda a la curva de la figura 1, y después medir la cuerda contra una regla. Pero eso podría ser difícil de hacer con mucha exactitud si se tiene una curva complicada, pero si la curva es un polígono, se determina con facilidad su longitud; sólo se suman las longitudes de los segmentos de recta que forman el polígono. (Se puede usar la fórmula de la distancia para hallar la distancia entre los puntos extremos de cada segmento.) Se definirá la longitud de una curva general aproximándola primero mediante un polígono y luego tomando un límite cuando se incrementa el número de segmentos del polígono. Este proceso es familiar para el caso de un círculo, donde la circunferencia es el límite de longitudes de polígonos inscritos (observar la figura 2).

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Figura 1

Figura 2

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2.1 Deducción de la fórmula para funciones de una variable:

En particular, si tenemos dos puntos del plano , la longitud del segmento AB es, según el teorema de Pitágoras,

Análogamente, si son puntos del espacio tridimensional, la longitud

del segmento AB es:

Comenzaremos con el caso más simple, la gráfica de una función que es derivable y tiene derivada continua. Para calcular la longitud de la curva, aproximamos ésta mediante la longitud de una línea poligonal cuyos vértices son puntos de la curva C.

Si tomamos una partición Xo=a < X1 < X2<…<Xn = b del intervalo [a, b].

En la figura hemos representado la curva y = y (x) y el segmento Lk de la poligonal correspondiente a los puntos Pk-1= (xk-1,y(xk-1) y PK=(XK,Y(XK)).

Una aproximación de la longitud total L de la curva y = y (x) en el intervalo [a, b] es

Es más, cuando el diámetro de la partición disminuye a cero (y los puntos de la partición aumentan), la suma de las longitudes estos segmentos se aproxima a la longitud total L. Por otra

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parte, aplicando el teorema del valor medio de Lagrange a la función y = y(x) en cada intervalo |xk-1,

xk|, existirá tk є (xk-1, xk) tal que y(xk) – y(xk-1)=y’ (tk)(xk - xk-1) .

Luego, se tiene que:

Esto implica que:

Este argumento justifica la fórmula para el cálculo de la longitud de una curva de la siguiente definición.

Al usar la notación de Leibniz para derivadas, se puede escribir la fórmula de la longitud de arco.

Pero en el caso que una curva presente dos funciones, para ello a la formula general se tendrá que acompañar por la otra función, de esta manera se hará posible encontrar la aproximación de la curva en cada una de los puntos, tal como se muestra a continuación:

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Por lo tanto, si C es la curva dada por la gráfica de una función y: x ∈ |a,b| ⊆ |R → y = y(x) ∈ |R, que es derivable y tiene derivada continua, entonces la longitud de C está dada por la integral:

3. Métodos anteriores al cálculo:

3.1 Antigüedad

A través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había descubierto una aproximación rectangular para calcular el área bajo una curva con un método de agotamiento, pocos creyeron que fuera posible que una curva tuviese una longitud definida, como las líneas rectas. Las primeras mediciones se hicieron posibles, como ya es común en el cálculo, a través de aproximaciones: los matemáticos de la época trazaban un polígono dentro de la curva, y calculaban la longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obtenía una aproximación cada vez mejor.

3.2 Siglo XVII

En esta época, el método de agotamiento llevó a la rectificación por métodos geométricos de muchas curvas trascendentales: la Espiral logarítmica de Torricelli en 1645(algunos piensan que fue John Wallis en 1650), el Cicloide de Christopher Wren en 1658, y la Catenaria de Gottfried Leibniz en 1691.

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A continuación se presentara algunos ejemplos de longitud de arco:

Ejemplo 01. Halle la longitud de arco de la parábola semicúbica entre los puntos (1, 1) y

(4, 8). (Observar figura 1 en ANEXOS).

SOLUCIÓN

Se tiene que,

=

Luego, la fórmula de longitud de arco es

Al sustituir ,se tiene que .

Por consiguiente,

L = [

L = [10 7,63371 U

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Esto implica que, si una curva tiene la ecuación es continua, por

tanto al intercambiar los papeles de y en la fórmula 2 o la ecuación 3, se obtiene la fórmula

siguiente para su longitud.

=

Ejemplo 02. Encuentre la longitud del arco de la curva.

1≤x≤2

SOLUCIÓN:

Al derivar la función, se tiene que,

’=

Luego, la formula de longitud de arco es,

L=

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OBSERVACIÓN:

Pero en el caso que una curva presente dos funciones, para ello a la formula general se tendrá que acompañar por la otra función, de esta manera se hará posible encontrar la aproximación de la curva en cada una de los puntos, tal como se muestra a continuación

L=

L=

Por consiguiente,

L=

L=

L=

Por lo tanto,

L= 2,0625 u

Ejemplo 03. Encuentre la longitud del arco de la curva.

; 0≤x≤2

Al derivar la función, se tiene que,

Luego, la formula de longitud de arco es,

L=

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L=

L=

L=

Al integrar la función, obtenemos que,

L=

L=

L=

Por lo tanto,

L= 2.79 u

CAPITULO II

Problema de investigación

¿Cómo se realiza el concurso de la longitud de arco entre dos o más curvas?

ENFOQUE: Se comprueba que cada función cumpla con las propiedades pertinentes, se halla y compara la longitud de arco de cada función para determinar el ganador del concurso de la longitud de arco.Para realizar el concurso de la longitud de arco entre varias funciones continuas f primero cada una de las funciones debe cumplir las siguientes propiedades:

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1. f(0)=0 y f(1)=02. f(x)≥0 para 0≤x≤13. El área bajo la gráfica de f desde 0 a 1 es igual a 1

Por lo tanto, el elemento ganador del concurso de la longitud de arco será el que tenga la longitud de arco más pequeña.

1) Sea f(x)= 4x; 0 ≤ x ≤ ½ -4x+4; ½ ≤ x ≤ 1

Al evaluar la función en x=0 y x=1.

Si x=0, entonces: f(0)=0

Si x=1, entonces: f(1)=0

A continuación, se verifica que f(x) ≥0 para 0≤ x≤ 1.

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Luego, se verifica que el área(A) bajo la gráfica de f desde 0 a 1 es igual a 1u2.

Para ello, se usa la integral, donde:

A=

A=

A= (2x2) + (-2x2+4x)

A= 2(1/4) - 2(1-1/4)+4(1-1/2)= 1u2

Posteriormente, se calcula la longitud de arco (L). Para ello:

Al derivar la función, se tiene que,

F’(x)= 4; 0 ≤ x ≤ ½ -4; ½ ≤ x ≤ 1

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Al aplicar la fórmula de la longitud de arco,

L=

Se tiene que,

L=

Al integrar la función, obtenemos que,

L= x x

L=

Por lo tanto, la longitud de arco es 4,123 u.

2) Sea f(x)= 6x-6x2

Al evaluar la función en x=0 y x=1

Si x=0, entonces: f(0)=0

Si x=1, entonces: f(1)=0

A continuación, se verifica que f(x) ≥0 para 0≤ x≤ 1

Esto se evidencia en la gráfica de la función.

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Luego, se verifica que el área(A) bajo la gráfica de f desde 0 a 1 es igual a 1u2.

Para ello, se usó la integral, donde:

A=

A=

A= (3x2 – 2x3)

A= 3 - 2= 1u2

Al derivar la función, se tiene que,

f’(x)= 6 – 12x

Al aplicar la fórmula,

L=

Se obtiene que,

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L=

Al aplicar la integración por cambio de variable,

Sea u= 6 – 12x; entonces: du= -12dx.

Se tiene que,

L=

Al usar la sustitución trigonométrica, obtenemos que,

u= tgθ; entonces: du= sec2θdθ

L=

L=

Al hacer uso de la integración por partes, se tiene que

u= secθ dv= sec²θdθ

du= tanθ*secθ v= tanθ

L=

L=

Al reemplazar L= en la ecuación anterior, obtenemos que

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L=

L=

L=

L= -1/24*[ -6 - ln(6+ ) ]

L= -1/24*[ -12* + 2*ln( ) ]

L= [ ]

L≈ 3,247 u

3 ) Sea f(x)= 12x2 – 12x3

Primero, se evalúa la función en x=0 y x=1.

Si x=0, entonces: f(0)=0

Si x=1, entonces: f(1)=0

A continuación, se verifica que f(x)≥0 para 0≤ x≤ 1

Esto se evidencia en la gráfica de la función.

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Luego, se verifica que el área(A) bajo la gráfica de f desde 0 a 1 es igual a 1u2.

Para ello, se usó la integral, donde

A=

A=

A=(4x3 – 3x4 )

A= 4 - 3= 1u2

Posteriormente, se calcula la longitud de arco (L).

Al derivar la función, se tiene que

f’(x)= 24x – 36x² dx

Al aplicar la formula,

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L=

Se obtiene que,

L=

L≈ 3,778 u

4) Sea f(x)=4x –4x3

Primero, se evalúa la función en x=0 y x=1.

Si x=0, entonces: f(0)=0

Si x=1, entonces: f(1)=0

A continuación, se verifica que f(x)≥0 para 0≤ x≤ 1

Esto se evidencia en la gráfica de la función.

Luego, se verifica que el área(A) bajo la gráfica de f desde 0 a 1 es igual a 1u2.

Para ello, se usó la integral, donde

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A=

A=

A= (2x² – x4)

A= 2 – 1= 1 u2

Posteriormente, se calcula la longitud de arco (L)

Al derivar la función, se tiene que

f’(x)= 4 – 12x²

Al aplicar la formula de longitud de arco,

L=

Se obtiene que,

L=

L≈ 3,317 u

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CONCLUSION

Comparando la longitud de arco de cada uno de los 4 ejercicios anteriores, se puede evidenciar que la función f(x)= 6x – 6x2 presentó la menor longitud de arco; por tanto está función es la ganadora del concurso de longitud de arco.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Stewart, J.(2008). Calculo de una variable, 6ta edición. Recuperado de:

https://ramojim.files.wordpress.com/2015/05/calculo-de-una-variable-1.pdf

Martínez, del C.(2001). Aplicaciones de la Integral. Recuperado de:

https://bjglez.webs.ull.es/aplicaciones_de_la_integral.pdf

(2011). Matemática II, Longitud de una curva. Recuperado de:

http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1323249486_576184243.pdf

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ANEXOS

EJEMPLO 01

EJEMPLO 02

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EJEMPLO 03

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