LOS DOS PROBLEMAS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRIA ANALITICA

PRIMER PROBLEMAGRAFICA DE UNA ECUACIÓN

Consideremos una igualdad de la forma:

E(x , y) = 0

A esta ecuación se le llama ecuación de dos variables x e y si se verifica para ciertos pares x e y.

Una ecuación representada por una curva no necesariamente puede ser curva, puede ser una recta; así mismo puede tener puntos aislados o también puede estar formada

por varias partes distintas e incluso puede ser un punto.

Para trazar la gráfica de una curva es conveniente algunas veces, despejar ya sea y o y en función de la otra variable, puesto que al transportar uno o más términos de la

ecuación no se modifica la solución.

• Ejemplo:Para la ecuación : E(x , y) : y + 2x2 = 0Primeramente despejamos y = - 2x2 , después damos valores a x = 0 , ± 1 , ± 2 , … y obtendremos los valores correspondientes para y = 0 , - 2 , - 8 , … estos valores anotaremos en una tabla.

x y

0 0

1 - 2

2 - 8

… …

• Ahora marcamos los puntos : ( 0 , 0) , (± 1 , - 2) , (± 2 , - 8) , … en el plano cartesiano, luego unimos dichos puntos mediante una línea continua.

Y -2 -1 0 1 2 X

-2 -8

Ahora veremos métodos que nos permita estudiar los pasos previos a la discusión y trazado de la gráfica de una ecuación

1. INTERSECCION CON LOS EJES COORDENADOS (COORDENADAS AL ORIGEN)

Son los puntos en los cuales la grafica corta los ejes de coordenadas. La ecuación es E(x , y) = 0 resulta más fácil cuando una de sus coordenadas es cero puestos

que esos puntos se encuentran en los ejes X o Y. Si P(a , 0) ∈C , entonces a es la

abscisa en el origen de C . Una grafica puede tener una, varias o ninguna coordenada al origen. El modo de averiguarlo es el siguiente:

Intersección con el eje X Hacemos y = 0 y se reemplaza en la ecuación E(x , y) = 0 es decir E(x , 0) = 0, luego se resuelve esta ecuación.

Intersección con el eje Y

Hacemos x = 0 y se reemplaza en la ecuación E(x , y) = 0 es decir E(0 , y) = 0, luego se resuelve esta ecuación.

Ejemplo:

1) Dada la ecuación E(x , y) : y2 + 2x = 16, hallar las coordenadas al origen de su gráfica.

Solución: a. Haciendo y = 0 se tiene:

E(x , y) : 2x = 16 ⇔ x = 8 Luego 8 es la abscisa al origen y el punto de intersección es (8 , 0) para el eje x.

b. Haciendo x = 0 se tiene:

E(x , y) : y2 = 16 ⇔ y = ± 4 Luego 4 y -4 son las ordenadas al origen y los puntos de intersección son (0, 4), (0, -4) para el eje y.

1. SIMETRIA Se considera solo dos tipos de simetría:

1) Simetría respecto a un punto

Se dice que dos puntos P y Q, están localizados simétricamente con respecto a un tercer punto F, si y solo si F es un punto medio del segmento que los une. En ese caso, F es un centro o foco de simetría del segmento 𝑃𝑄തതതത.

Q

F

Ejercicios propuestos:• . En cada uno de los ejercicos, discútase

la ecuación estudiando las intercepciones, y simetria . Después trásece la gráfica correspondiente

1. 5x + 4y – 20 = 0• 2. 3x2 + 3y2 – 10 = 0• 3. 16y2 – x= 0• 4. x2 – 6x + y2 = 0• 5. 16x2 – y = 0

Una curva C es simétrica con respecto a un punto C si para cada punto

P ∈ C , hay otro punto Q ∈ C tal que P y Q están localizados

simétricamente con respecto a C. Así, una circunferencia es simétrica respecto a su centro.

C Q

P

2)Simetría respecto a una recta

Se dice que dos puntos P y Q están localizados simétricamente con

respecto a una recta L , si y solo si L es la mediatriz del segmento que los

une. Al punto Q se le denomina reflexión o imagen del punto P respecto a la recta L .

P

Una curva C es simétrica respecto a una recta L si para cada punto

P ∈ C hay otro punto Q ∈ C , tal que punto P y Q están localizados

simétricamente con respecto a la recta L .

Veamos ahora el uso de estas definiciones en la simetría de una gráfica, con respecto a los ejes coordenados y al origen.

2.1 SIMETRIA CON RESPECTO AL EJE X

Si para cada valor de x se obtienen dos valores iguales pero de signos contarios de y . Por lo tanto, si una ecuación no se altera al sustituir y por - y , su representación gráfica es simétrica respecto al eje X. Su equivalente es:

E(x , y) = ± E(x , -y) Es decir para cada punto P(x , y) ∈C debe haber un punto correspondiente Q(x , -y) ∈C . Y

P(x , y)

0

Q(x , y)

Ejemplo:

1) Para la ecuación E(x , y) = x2y2 – 2x + y2 = 0 Se tiene: E(x , -y) = x2(-y)2 – 2x + (-y)2 ⇔ E(x , y) = x2y2 – 2x + y2 = 0 Veamos que E(x , y) = E(x , -y), por tanto, C es simétrico respecto al eje X.

1) Para la ecuación E(x , y) = x2y2 – 4x2 - 4y2 = 0 Se tiene: E(x , -y) = x2(-y)2 – 4x2 – 4(-y)2 ⇒ x2y2 – 4x2 - 4y2 = 0 Veamos que E(x , y) = E(x , -y), por tanto C es simétrico respecto al eje X.

1.2 SIMETRIA CON RESPECTO AL EJE Y

Si para cada valor de y se obtienen dos valores iguales pero de signos contarios de x . Por lo tanto, si una ecuación no se altera al sustituir x por - x , su representación gráfica es simétrica respecto al eje Y. Su equivalente es:

E(x , y) = ± E(-x , y) Esto es, para cada punto P(x , y) ∈C debe haber un punto correspondiente Q(-x , y) ∈C . Y

Q(-x , y) P(x , y)

0 X

• Ejemplo:• Para la ecuación:• E(x , y) = x2 – x2y – y3 = 0• • Se tiene:• E(-x , y) = (-x)2 – (-x)2y – y 3 E(-x , y) : x⇔ 2 – x2 y – y3 = 0• Como E(x , y) = E(-x , y), la curva c es simétrica respecto al eje Y.• • Para la ecuación:• E(x , y) = x2y2 – 4x2 - y = 0• • Se tiene:• E(-x , y) = (-x)2y2 – 4(-x)2 – y x⇒ 2y2 – 4x2 - y = 0• Como E(x , y) = E(-x , y) por lo tanto c es simétrico respecto al

eje Y.

• Observaciones:• Una curva es simétrica respecto al eje X si su ecuación E(x , y) = 0 no

contiene potencias impares de y.• Una curva es simétrica respecto al eje Y si su ecuación E(x , y) = 0 no

contiene potencias impares de x.

• 2.3 SIMETRIA RESPECTO AL ORIGEN• Si para cualquier punto que pertenezca al primer cuadrante

equidista de otro punto que esté en el tercer cuadrante o, si para cualquier punto que se ubique en el segundo cuadrante, equidista de otro punto que se localice en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, si una ecuación no se altera al sustituir x por - x y y por - y simultáneamente, su representación gráfica es simétrica respecto al origen.

• • Su equivalente es:• E(x , y) = E(-x , -y)

• Es decir, el conjunto c tiene como • centro de simetría el origen si y solo si,• para cada punto P(x , y) C ,• existe un punto Q(-x , -y) C .

Y

P(x , y)

0 X

Q(-x , -y)

• Ejemplos:• 1. Para la ecuación:• E(x , y) = x2 – xy + y2 – 20• Se tiene:• E(-x , -y) = (-x)2 – (-x)(-y) + (-y)2 – 20 x⇒ 2 – xy + y2

– 20• Como E(x , y) = E(-x , -y) por lo tanto c es simétrico

respecto al origen.

•

Ejercicos

• En cada uno de loa siguientes ejercicios, construir la curva correspondiente a la ecuación dada.

1.Xy – 2y – 3 = 02.X4 + y4 = 163.Xy – 3y – x = 04.Xy – 2x – 2y + 2 = 05.X3 + x – y = 0

SEGUNDO PROBLEMA FUNDAMENTAL DE LA GEOMETRIA ANALITICA

• LUGAR GEOMETRICO• Dado un Lugar Geométrico definido por determinadas condiciones se

hallara su ecuación matemática lo cual llamaremos el segundo problema fundamental de la Geometría Analítica.

• El término de un Lugar Geométrico (L.G.) se aplica generalmente al conjunto de todos los puntos que tiene alguna característica genérica común.

• Por ejemplo:• El conjunto de los puntos del plano cuyas distancias a un punto fijo son

iguales (circunferencia).

• DEDUCCION DE LA ECUACION DE UN LUGAR GEOMETRICO

• Los pasos para determinar una ecuación de un L.G. son los siguientes:

1) Suponer un punto cualquiera P(x; y) del lugar geométrico que satisface la condición o condiciones geométricas dadas.

2) Expresar analíticamente la condición o condiciones dadas por medio de una ecuación en las variables x e y.

3) Efectuar las transformaciones necesarias para simplificar la ecuación

resultante.•La ecuación final que contiene a las variables x e y, así como las constantes dadas en el problema será la ecuación del lugar geométrico buscado.

• Ejemplos:• Obtener una ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que

equidisten de los puntos A(-3;2) y B(2; -5).• Solución: • Conviene empezar dibujando los puntos Ay B y el punto genérico P(x;y) en

el plano. y

3

A * 2 * P(x; y)

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x

-1

L -2

-3

-4

-5 * B

• • Sea P( x;y) un punto cualquiera del lugar Geométrico • Si P equidista de A y B , entonces :• d (A,P) = d(B,P) ↔ (y – 2) =

3. Elevando al cuadrado y simplificando se obtiene, 5x-7y-8=0• Esta es la ecuación de la mediatriz del segmento que une los puntos A y B,

esto es, L = {P(x; y) si d (A, P)= d (B, P) ↔ 5x - 7y =8}

• 1 .Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(2;3)es siempre igual a su distancia del eje Y aumentada en 2. Hallar la ecuación del lugar geométrico.

• 3.Los extremos A y B de una barra de longitud 2L se mueve a lo largo de los ejes coordenados.¿ Qué lugar geométrico describe P (x;y), punto medio de la barra?

• Solución: • De la figura se tiene:• X = L cos

• Y = L sen………………..(I)• •

La ecuación (I) son las

B paramétricas del lugar

𝜃 P( x,y) Geométrico. Por lo tanto:

- 𝑥2 = 𝐿2𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝜃 - 𝑦2 = 𝐿2𝑠𝑒𝑛2𝜃

0 A

. Luego el punto P( x,y) describe a una circunferencia de centro (0,0) y radio L.

• PROBLEMAS PROPUESTOS:

• 1.- un puntos se mueve de tal manera que su distancia al punto A(2,3) es siempre igual a su distancia del eje Y aumentada en 2. Hallar la ecuación del lugar geométrico.

• 2.-Hallar la ecuación del lugar geométrico (L.G.) de los puntos medios del segmento AB, donde A =(2,2) y B es un punto de L.G. de aquellos cuya distancia el origen es de 3 unidades.

Ejercicios Propuestos

1-Halla el lugar geométrico de los puntos del plano, P(x, y), tales que el triángulo ABP sea rectángulo en P, siendo A(2, 1) y B(-6, 1). Interpreta la figura que obtienes.

2.- Halla la ecuación de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas :r1: x + 3y - 1 = 0 y r2: 3x - y + 4 = 0.

3.- Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a Q(2, 4) sea igual a 3. ¿De qué figura se trata?

4.- Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia al punto A(1, 0), es el triple de su distancia a la recta x = 2.