Los números enteros

Los números enteros (designado por \mathbb{Z}) son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, queℤ proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

Los números enteros no tienen parte decimal: −783 y 154 son números enteros, mientras que 45,23 y −34/95 no. Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primerosLos números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas.

Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.

También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m. Ejemplo:

Los números enteros son los números simples hasta el infinito o periódicos.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 -20- 30- 40- 50- 60- 70- 80- 90 100- 500- 1000- 10.000- 100.000- 1.000.000- infinito

Propiedades de los números enteros

Orden numérico. Es el que da la idea de que un número es mayor o menor que otro número, o que hay diferencia real entre dos números. Ejemplo: el orden de los cursos de la educación primaria es (1º primero, 2º segundo, 3º tercero, 4º cuarto, 5º quinto)

Número mayor: Que supera en cantidad a otro.

Número menor: Que es inferior en cantidad a otro.

El número siguiente a otro, es el número considerado más una unidad , por ejemplo 6 = 5 + 1.

El número anterior a otro, es el número considerado menos una unidad, por ejemplo 4 = 5 – 1.

Recta numérica. es la que esta dividida en intervalos iguales de distancia. La diferencia entre una división y la siguiente es siempre la unidad (1).

Número natural

Un número natural (designados por ℕ) es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto.

Es todo número perteneciente a la serie \mathbb N=\{0,1,2,3,4,...\} formada por todos los números que, a partir del cero (o ausencia de elemento), el uno inicia y sin término medio

Estos números están compuestos por todos aquellos símbolos que nos permiten tener una idea de cantidad o que nos sirven para ordenar elementos.

Debido a que son un conjunto específico, en las matemáticas debemos expresarlos como tal, bajo la letra "N" mayúscula.

Debido a que estos números tienen la funcion específica de representar cantidades que podemos verificar, los matemáticos aún se debaten entre si el cero representa alguna cantidad o no.

Representación del conjunto de números naturales.

Los números romanos, por ejemplo, no tienen el cero dentro de sus símbolos. Es decir, que para los antiguos romanos no existía tal cosa como una cantidad vacía o equivalente a cero. Sin embargo, cuando los árabes incluyeron el cero dentro de los símbolos numéricos con el fin de representar un conjunto vacío, esto supuso un enorme avance para las matemáticas.

La importancia del cero

Este símbolo nos dio la idea de una cantidad vacía, es decir, de no tener nada o de no tener nada que contar.

El cero representa entonces un conjunto vacío o una cantidad sin elementos. Por lo tanto, trabajaremos con el cero como un número natural, ya que cumple con los requisitos para serlo:

1. Representar la idea de cantidad (aunque en este caso sea la de una cantidad vacía).

2. Representar la idea de orden (aunque sirva para representar que no hay nada por ordenar).

3. Poderse multiplicar o sumar y que su resultado sea, en todos los casos, un número natural (debido a que un número multiplicado por cero siempre será cero y cualquier número natural añadido a cero, dará su misma cantidad)

Propiedades del Conjunto de los Números Naturales

El conjunto de los números naturales es el primer conjunto y surge de manera empírica para satisfacer las necesidades de cuantificar. Este conjunto permite contar y ordenar. Se representa con la letra N y se expresa así:

N= (1, 2, 3, 4, 5…) ó N=(1,2,3,…, n+1, n+2,…)

a) El conjunto de los números naturales es ordenable.

b) El conjunto de los números naturales tiene un primer elemento y no tiene un último elemento, es decir, es un conjunto infinito.

c) Entre dos números naturales consecutivos no existe ningún otro número natural.

d) Todo número natural “n” posee un número anterior, menos el 1. Esto implica que el 1 es el primer número natural:

1+1=2, segundo número natural

2+1= 3, tercer números natural

e) A todo número natural sigue otro número natural. Expresamos el siguiente número natural mediante: n + 1, (para todo n que pertenece al conjunto de los números naturales).

Número racional

Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo, es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien \mathbb{Q}, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (\mathbb{Z}), y es un subconjunto de los números reales (\mathbb{R}).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre \mathbb{Z}.

Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).

Propiedades de los números racionales

Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:

Entre las propiedades de la suma y resta están:

Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo necesitara. ab+cd=ef

Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos: (ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)

Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera: ab+cd=cd+ab

Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional. ab+0=ab

Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero. ab−ab=0

Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son:

Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional. ab×cd=ef

Esta además aplica con la división ab÷cd=ef

Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto. (ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)

Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona. ab×cd=cd×ab

Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo: ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef

Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.ab×1=ab ab÷1=ab

Números irracionales

Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.

Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número 2√, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.

Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.

Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una aproximación en números racionales.

Notación de los números irracionales

La representación gráfica de los números irracionales se la hace con la letras mayúsculas así: R - Q. Se la utiliza de esta manera para diferenciarla de los números imaginarios, cuya representación es la i minúscula. Pero el símbolo no se representa en las ecuaciones al no constituir una estructura algebraica, y para no crear confusión, en ocasiones se los puede ver como R/Q como la representación de números irracionales por definición.

Existen algunos casos especiales de números irracionales famosos que tienen su propia notación y simbología, estos casos serán tratados posteriormente.

Propiedades de los números irracionales

Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:

Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.

Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).

Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.

La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.

Ejemplos de números irracionales

En primer lugar vamos a anotar los ya mencionados números irracionales algebraicos con ejemplos, ya habíamos hablado de √2 o raíz cuadrada de dos que resulta de una ecuación algebraica, pero también tenemos otros ejemplos que podrían resultar son:

1+3√2

Y

1+√3−−−−−−√4

Por otro lado, tenemos a los números irracionales trascendentes, que no pueden representarse mediante radicales como se lo ha hecho en el ejemplo anterior, sino que deben ser representados con decimales infinitos no periódicos, y con tres puntos suspensivos para denotar que son infinitos, de lo contrario estaríamos escribiendo números durante toda la eternidad, así:

0,1961325454898161376813268743781937693498749…

0,01001000100001000001000000100000001000000001…

Número real

En matemáticas, los números reales (designados por ℝ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: \sqrt{5}, \pi, el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII.1

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.2 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind

Propiedades y operaciones con los números reales

Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir números Reales.Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero en direcciones opuestas se denominan:Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo.3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).Inverso aditivoPara cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este número debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la propiedad del doble negativo.Propiedad del doble negativo

Para cualquier número real a, -(-a) = aPor la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9Valor absoluto El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el valor absoluto de 0 es 0.

Números No-Reales

El conjunto de los números no-reales se puede considerar el conjunto de todos los números que no existen en la recta numérica.

¿Que es un Número No-Real?

Número No-Real

Explicación Ejemplos

-a, a > 0El argumento de una raíz cuadrada no puede ser negativo.

-2 no es un número real.

a0 a  es real.El denominador de una fracción que no puede ser cero.

00 y 30 no son reales.

Propiedades de las operaciones con números entero

Suma de números enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

Propiedades de operaciones de los Números naturales

Suma de números naturales a + b = c Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma. 

Propiedades de la suma 1.Interna: a + b 

2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 5 + 5 = 2 + 8 10 = 10 

3.Conmutativa: a + b = b + a 2 + 5 = 5 + 2 7 = 7 4. Elemento neutro: a + 0 = a 3 + 0 = 3 

Resta de números naturales a - b = c 

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia. 

Propiedades de la resta 1. No es una operación interna 2 − 5 

2. No es Conmutativa 5 − 2 ≠ 2 − 5 

Mutiplicación de números naturales a · b = c Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto. Propiedades de la multiplicación 1. Interna: a · b 2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) (2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5) 6 · 5 = 2 · 15  30 = 30 3. Conmutativa: a · b = b · a 2 · 5 = 5 · 2 10 = 10 

4. Elemento neutro: a · 1 = a 3 · 1 = 3 

5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5 2 · 8 = 6 + 10 16 = 16 

6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c) 2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5) 6 + 10 = 2 · 8 16 = 16 

División de números naturales D : d = c Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente. Propiedades de la división 1.División exacta 15 = 5 · 3 

2. División entera 17 = 5 · 3 + 2 

3. No es una operación interna 2 : 6 

4. No es Conmutativo. 6 : 2 ≠ 2 : 6 5. Cero dividido entre cualquier número da cero. 0 : 5 = 0 6. No se puede dividir por 0. 

Propiedades de las potencias 1.a0 = 1  2. a1 = a 

Propiedades de las operaciones con RacionalesAquí vamos a discutir las operaciones de números racionales como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y sacar su factor común:

Suma de números racionalesPara sumar y restar números racionales existen dos casos diferentes con los cuales podemos tratar, el primero es cuando poseen un denominador distinto entre los sumandos, y el otro es cuando tienen un denominador de igual valor y es por este por el que vamos a empezar.

Cuando resolvemos la adición de números racionales y la sustracción de números racionales con igual denominador, simplemente se mantiene el mismo denominador (que es el valor ubicado en la parte inferior de la fracción) y sumamos o restamos los numeradores (en la parte superior de la fracción) según sea el caso:

65+35=6+35=95Cuando tenemos denominadores de distinto valor, lo que tenemos que hacer es buscar una fracción equivalente, y encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores a través de multiplicaciones o divisiones que los igualen y formen fracciones equivalente, tomando en cuenta que cualquier operación realizada debe también realizarse al numerador para no alterar el resultado, por ejemplo si multiplicamos el denominador por 4 para encontrar el mínimo común múltiplo también debemos multiplicar por 4 al numerador, veamos:

14+65=520+2420=5+2420=2920Notamos que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20, por lo tanto multiplicamos al primer sumando por 5 y al segundo por 4 para obtener un mismo denominador con fracciones equivalentes y luego los sumamos como fue mostrado en la operación anterior.

Multiplicación de números racionalesLa multiplicación entre fracciones es sencilla si se sabe cómo hacer. En primer lugar, se multiplican los numeradores de todos los factores y a continuación el producto resultante se lo utiliza como numerador, luego se multiplican los denominadores y al resultado se lo ubica como denominador sin importar si el valor es igual o distinto, de esta manera:

43×56×12=4×5×13×6×2=2036=1018=59En este caso el resultado pudo ser simplificado, dividiendo el numerador y el denominador para el mismo número hasta obtener el mínimo número entero en los dos cocientes.En la multiplicación también existe un elemento inverso que da como resultado una unidad, tomando en cuenta que los números enteros también son números racionales si se los expresa como fracción, para explicarlo mejor, se ofrece algunos ejemplos:

13×3=13×31=33=1Aunque entre fraccionarios no enteros, también sucede el mismo fenómeno:57×75=3535=1

División de números racionalesPara dividir los números racionales, tomamos el numerador de la primera fracción y se lo multiplica por el denominador de la segunda fracción y este resultado será utilizado como numerador; a continuación se toma el denominador de la primera fracción y se lo multiplica por el numerador de la segunda fracción, y a ese resultado se lo ubica como denominador. Por lo tanto en el caso de la división, el orden de los cocientes si altera el resultado, veamos el siguiente ejemplo: 54÷23=5×34×2=158

Como se puede notar, para dividir los números racionales, se debe multiplicar en cruz, tomando en cuenta que el numerador y el denominador de la primera fracción no cambia de orden, pero los de la segunda fracción si lo hacen para lograr el resultado final.

Potenciación de números racionales

Para la potenciación de un número racional, se deben seguir estas simples reglas:Si el número racional posee distintas potencias para distinto numerador y el denominador, solo se procede a potenciar cada cociente y simplificar si es posible:anbm2332=89

Cuando se tiene el mismo valor en el numerador y el denominador, pero distinta potencia para cada uno, podemos sustraer la potencia del denominador de la del numerador y simplificar la fracción a un entero, de esta manera:aman=am−n 3436=32−6=3−2

Aunque también se puede proceder de esta manera, tomando el mismo ejemplo:3436=3×3×3×33×3×3×3×3×3=13×3=132=3−2

Para elevar los números racionales a una potencia natural, elevamos el numerador y el denominador a dicha potencia:(ab)n=anbn(32)3=3323=278

En el caso de que la potencia sea negativa, simplemente invertimos la fracción y la potencia:(ab)−n=(ba)n=bnan(56)−2=(65)2=6252=3625

Si la potencia es -1, simplemente se invierte la fracción:(ab)−1=ba(815)−1=158

Cuando la potencia es igual a 0, el resultado es 1:(ab)0=1(931)0=1

Si la potencia es igual a 1, el resultado será el mismo número racional:(ab)1=ab(1743)1=1743

Si se multiplican potencias con la misma base, en el resultado se mantiene la base y se suman los exponentes:

(ab)n×(ab)m=(ab)n+m(34)2×(34)3=(34)2+3=3545=2431024

Si dividimos potencias con la misma base, utilizamos el mismo principio que con el producto, es decir que se mantiene la base pero se resta el exponente del segundo número racional del primero

3. Producto de potencias con la misma base: am · a n = am+n 25 · 22 = 25+2 = 27 

4. Cocointe de potencias con la misma base: am : a n = am - n 25 : 22 = 25 - 2 = 23 

5. Potencia de una potencia: (am)n = am · n (25)3 = 215 

6. Producto de potencias con el mismo exponente: an · b n = (a · b) n 23 · 43 = 83 

7. Cociente de potencias con el mismo exponente: an : bn = (a : b)n 63 : 33 = 23

Propiedad de operación de los números irracionales

Además de ser un número decimal infinito no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:

Propiedad conmutativa: al sumar o multiplicar números irracionales también se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π + ϕ = ϕ + π; así como en la multiplicación, π × ϕ=ϕ × π.

Propiedad asociativa: los números irracionales pueden distribuirse o agruparse de distinta manera entre sí y el resultado será el mismo. Por ejemplo, en la suma, será (ϕ + π) +e = ϕ + (π + e); y de la misma manera en la multiplicación, (ϕ × π) × e = ϕ × (π × e).

Propiedad cerrada: es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación, división o potenciación de un número irracional, siempre será un número irracional. Sin embargo, la propiedad cerrada no se cumple en el caso de la radicación.

Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales; es decir que para cada número existe su negativo que lo anula, por ejemplo π – π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ × 1/ϕ = 1.

\

Una operación matemática, se dice que es una operación interna, en un

conjunto A si para todos los valores de la operación el resultado pertenece

a A.

En el caso de una operación binaria en un conjunto 

y una operación  , 

tendremos que para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados

bajo  , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:

Operaciones internas de los números enteros son: 

a - Adicion o Suma: Sean a y b numeros enteros, entonces c = a + b, es tambien un entero.Ej.: 1 + 1 = 2 

b - Sustracción o Resta: Sean a y b números enteros, entonces c = a - b, es tambien entero. Ej.: -6 + 8 = 2 

c - Producto o Multiplicacion: Sean a y b numeros enteros, entonces c = a*b, es tambien un numero entero. Ej.: 3 * (-4) = -12 

Operaciones internas de los números naturales

La suma, el producto, la potenciación... cualquier operación que al aplicarla a los naturales de cómo resultado un número natural.

Propiedades de los Números Reales

Los números reales son los números que se utilizan para la medición de cantidades reales. Incluyen los números racionales, números irracionales, números enteros, decimales, etc. Estas cantidades reales incluyen longitud, velocidad, temperatura ambiente, tasas de crecimiento y muchos más. Los números racionales e irracionales llenan completamente la recta numérica y forman el conjunto de los números reales. En palabras más simples, los números reales se pueden clasificar en números racionales y números irracionales. Estos números racionales se pueden dividir en números enteros y fracciones.

Los números reales mantienen algunas de las propiedades básicas de las Matemáticas que por lo general pueden ser articuladas con respecto de las 2 operaciones elementales de multiplicación y suma.

Estas propiedades incluyen:

Propiedad Conmutativa de la Suma: Establece que el orden en el que dos números reales se suman no afecta a su sumatoria. Esto es,

Ejemplo: 3 + 7 = 7 + 3 = 10.

Propiedad Conmutativa de la Multiplicación: De acuerdo con esta, cuando dos números reales se multiplican en diferentes órdenes, el resultado es siempre el mismo. En términos matemáticos,

Ejemplo: 4 X 3 = 3 X 4 = 12

Propiedad Asociativa de la Suma: Esta propiedad dice que la suma de tres números reales dados, manteniendo su orden, agrupa dos de ellos, y luego se añade el tercer número a la sumatoria del grupo. Matemáticamente,

Ejemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9

Propiedad Asociativa de la Multiplicación: El producto de dos números reales se puede calcular de dos formas: De la primera forma, preservando el orden y multiplicando el número del producto del primer y segundo número al tercer número. La segunda forma de hacerlo es preservando el mismo orden y

multiplicando el primer número con el producto del segundo y tercer número. El resultado en ambos casos será el mismo. Para ser específicos,

Ejemplo: (2 X 3) X 4 = 2 X (3 X 4) = 24

Propiedad de Identidad de la Suma: ‘0’es el número neutral, es decir, la identidad para la suma. La suma de cualquier número con 0 dará como resultado el propio número. Expresamente,

Ejemplo: 9 + 0 = 9

Propiedad de Identidad de la Multiplicación: Según esta propiedad de los Números Reales, el producto de cualquier número real con el elemento de identidad ‘1’ es el número real mismo. Es decir,

Ejemplo: 6 X 1 = 6

Inverso aditivo: Para cada Número Real, existe su inverso, de tal manera que la suma del número con su inverso dará como resultado 0, es decir,

Ejemplo: 3 + (−3) = 0

Inverso multiplicativo: De acuerdo con este, para todo Número Real distinto de cero, existe otro número real tal que el producto de los dos es 1. Matemáticamente,

Ejemplo: 3 X 1/3 = 1

Ley distributiva: En los Números Reales, la multiplicación se puede distribuir sobre la suma y viceversa.

Ejemplo: 2 X (3 + 5) = (2 X 3) + (2 X 5) = 16

Relaciones de los conjuntos numéricos entres Ellos

Si trazas una linea recta y marcas un punto como el "cero' u origen, cada punto se corresponde a un numero real. Si ahora cada 1 cm. numeras los puntos, a la izquierda y derecha del cero tendrás números positivos a la derecha: 1, 2 , 3 etc . y negativos a la izquierda -1, -2, -3 etc.

El conjunto de todos los números positivos y negativos se llama "enteros" y son un subconjunto del total de números (numeros reales).

Por su parte, los números enteros positivos, se llaman "naturales".

Entre dos números enteros hay otros que se pueden expresar como fracción (1/2, 3/2) y que en la recta están entre los que hemos marcado como enteros. Los números que se pueden expresar como cociente de 2 enteros se llamas racionales. Incluyen a los enteros ya que a estos podemos expresarlos como cociente de otros dos: 1= 2 / 2 por ejemplo.

Finalmente, entre los números racionales existen otros números, que también se corresponden a puntos de la recta pero que no es posible expresar como cociente de dos enteros ( raíz de 2, etc), esos son los irracionales.

Se puede demostrar que entre los racionales y los irracionales se cubren todos los puntos de la recta, correspondiendo a los números reales que incluyen a todos los anteriores.