Los problemas semánticos Los problemas semánticos de las expresiones del de las expresiones del Lenguaje ProposicionalLenguaje Proposicional

Las tablas de verdadLas tablas de verdadYY

Las propiedades veritativas de las Las propiedades veritativas de las expresiones del Lenguaje expresiones del Lenguaje

ProposicionalProposicional

La tablas de verdadLa tablas de verdad- Una vez que hemos definido qué - Una vez que hemos definido qué expresiones son correctas en L.P. y expresiones son correctas en L.P. y cuáles no lo son, por el significado de cuáles no lo son, por el significado de estas expresiones se plantea un nuevo estas expresiones se plantea un nuevo problema: ¿En qué condiciones una problema: ¿En qué condiciones una expresión correcta de L.P. es verdadera expresión correcta de L.P. es verdadera y en qué condiciones es falsa?y en qué condiciones es falsa?

Para responder a este problema disponemos de Para responder a este problema disponemos de medios gráficos que se llaman TABLAS DE medios gráficos que se llaman TABLAS DE VERDAD: cada expresión elemental tiene una VERDAD: cada expresión elemental tiene una tabla de verdad y mediante éstas podemos tabla de verdad y mediante éstas podemos construir las tablas de verdad de todas las construir las tablas de verdad de todas las demás expresiones. demás expresiones.

expresiones son correctasexpresiones son correctas

Noción Noción sintácticsintácticaa

qué condiciones una expresión correctaqué condiciones una expresión correctade L.P. es verdaderade L.P. es verdadera

Condiciones Condiciones semánticassemánticas

TABLAS DE TABLAS DE VERDADVERDAD

Expresiones primitivas Expresiones primitivas del lenguaje del lenguaje

proposicional.proposicional.Expresiones primitivasExpresiones primitivas pp ppqqpp ppqq ppqq

ppqq No es una expresión No es una expresión primitivaprimitiva

(p(pq) q) (q (qp)p)

Significa Significa

Las tablas de verdad de Las tablas de verdad de las expresiones las expresiones

primitivas.primitivas.p p

V VF F

p q pq

VVFF

V VFFF

FVF

p q pqVV

F

VVVF

F

V

F

FV

p p

VF

FV

p q pq

V

FF

VFVV

VVF

FV

Número de líneas de una tabla: 2n donde n es el número de variables proposicionales.

Tablas de verdad de cualquier Tablas de verdad de cualquier expresión del lenguaje expresión del lenguaje

proposicionalproposicionalSea la función veritativa siguienteSea la función veritativa siguiente (p(pq) q) (q (qp)p)

Tabla de verdadTabla de verdad ppqq

pq qp (pq) (qp) ppqqp q

VV

VF

FFVF

V V

V V

FVF V

VFFV

VV

VVFFFF

Tabla de verdad de una Tabla de verdad de una expresión compleja.expresión compleja.

Sea la función veritativa siguiente pqrp p1 q1

p q r p1 q1 q r pq rp pq rp p1 q1

V F F V V V V V V V V VV

Líneas de la tabla: 2Líneas de la tabla: 255=32=32

Propiedades veritativas de las Propiedades veritativas de las expresiones del Lenguaje expresiones del Lenguaje

ProposicionalProposicional

Las expresiones del Lenguaje Leopardo pueden ser

TAUTOLÓGICAS, CONTRADICTORIAS Y TAUTOLÓGICAS, CONTRADICTORIAS Y

CONSISTENTESCONSISTENTES

TAUTOLÓGICASTAUTOLÓGICAS

Expresiones que son siempre Expresiones que son siempre VERDADERAS con independencia VERDADERAS con independencia de las asignaciones de valores de de las asignaciones de valores de verdad a sus variables verdad a sus variables proposicionalesproposicionales

VERDADERASVERDADERAS

CONTRADICTORIASCONTRADICTORIAS

Expresiones que son siempre Expresiones que son siempre FALSAS con independencia de las FALSAS con independencia de las asignaciones de valores de asignaciones de valores de verdad a sus variables verdad a sus variables proposicionalesproposicionales

FALSASFALSAS

CONSISTENTESCONSISTENTES

Expresiones que son Expresiones que son VERDADERAS O FALSAS VERDADERAS O FALSAS dependiendo de las asignaciones dependiendo de las asignaciones de valores de verdad a sus de valores de verdad a sus variables proposicionalesvariables proposicionales

VERDADERAS OVERDADERAS OFALSASFALSAS

Ejemplo de una expresión en Ejemplo de una expresión en Castellano TautológicaCastellano Tautológica

Sea la expresiónSea la expresión pp(q(qr)r)ppqqrr

Para determinar por los árboles Para determinar por los árboles semánticos si es tautológica negamos semánticos si es tautológica negamos la expresión y en todas las ramas del la expresión y en todas las ramas del árbol deben aparecer variables árbol deben aparecer variables proposicionales afirmadas y negadasproposicionales afirmadas y negadas

tautológicatautológicanegamosnegamostodas las ramas del árboltodas las ramas del árbol

#

pp(q(qr)r)ppqqrr

Negamos Negamos la la expresiónexpresión

[p[p(q(qr)r)ppqqr]r]

pp(q(qr)r) [p[p(q(qr)]r)]

[p[pqqr]r] ppqqrrR.N.B.R.N.B.

ppqq

rrR.N.C.R.N.C.

pp qqrrR.C.R.C.

ppR.C.R.C.

#

qq rr R.C.R.C.

qq R.C.R.C.

#

rr R.R.R.R.

#

pp

(q(qr)r)R.N.C.R.N.C.

qq

#

rrR.N.C.R.N.C.

(p(pq)q) rr R.C.R.C.

#pp

pp

R.N.CR.N.Cqq

R.RR.R # qq R.RR.R

Procedimiento para determinar si Procedimiento para determinar si una expresión es consistente.una expresión es consistente.

Para determinar por los árboles Para determinar por los árboles semánticos si es consistente negamos semánticos si es consistente negamos la expresión y en algunas de las la expresión y en algunas de las ramas del árbol no deben aparecer ramas del árbol no deben aparecer variables proposicionales afirmadas y variables proposicionales afirmadas y negadas: no hay contradicciónnegadas: no hay contradicción

consistenteconsistentealgunas de las ramas del árbolalgunas de las ramas del árbolnononononononononono

no hay contradicciónno hay contradicción

Ejemplo de una expresión en Ejemplo de una expresión en Castellano ConsistenteCastellano Consistente

p p [ q[ q1 1 (( r r q q p p1 1 r)]r)]{p {p [ q[ q1 1 (( r r q q p p1 1 r)]}r)]}Negamos Negamos la la expresiónexpresión

pp

[q[q11 ( ( r r q q p p11 r)] r)] R.N.CR.N.C..

qq11

(( r r q q p p11 r) r) R.N.CR.N.C..

??

r r q q p1 p1

rr R.N.CR.N.C..

rr R.D.R.D.

Procedimiento para determinar si Procedimiento para determinar si una expresión es contradictoria.una expresión es contradictoria.

Para determinar por los árboles Para determinar por los árboles semánticos si es contradictoria la semánticos si es contradictoria la expresión, en todas las ramas del expresión, en todas las ramas del árbol deben aparecer variables árbol deben aparecer variables proposicionales afirmadas y negadas.proposicionales afirmadas y negadas.

contradictoriacontradictoria en todasen todaslas ramaslas ramas

Ejemplo de una expresión en Castellano Ejemplo de una expresión en Castellano ContradictoriaContradictoria

(p (p q ) q )(( p p q) q)

p p q q

p p q q R.C.R.C.

pp

qq R.C.R.C.

pp

#

ppR.R.R.R.

qq R.D.R.D.

qq R.R.R.R.

#

Relaciones lógicas: la implicación y equivalencia

Definición de equivalencia: Definición de equivalencia: una expresión una expresión correcta en leopardo es equivalente a otra correcta en leopardo es equivalente a otra expresión correcta en leopardo (en símbolos expresión correcta en leopardo (en símbolos

““”)si y solo si el bicondicional, cuyos ”)si y solo si el bicondicional, cuyos miembros están constituidos por ambas miembros están constituidos por ambas expresiones, es tautológico.expresiones, es tautológico.

Definición de implicación:Definición de implicación: una expresión una expresión correcta en L.P. implica a otra expresión correcta en L.P. implica a otra expresión

correcta en L.P. (en símbolos “correcta en L.P. (en símbolos “”) si y solo ”) si y solo si el condicional, cuyo antecedente lo si el condicional, cuyo antecedente lo constituye la primera expresión y el constituye la primera expresión y el consiguiente la segunda expresión, es consiguiente la segunda expresión, es tautológico.tautológico.

el condicionalel condicional

tautológicotautológico

bicondicionalbicondicional

tautológicotautológico

El problema de la implicación entre El problema de la implicación entre expresiones.expresiones.

Sean las expresiones en Castellano siguientes:

SS11 Solo cuando los números son reales estos son Solo cuando los números son reales estos son pares o imparespares o impares

SS22 Admitimos la siguiente alternativa: o bien los Admitimos la siguiente alternativa: o bien los números son reales en el caso de que sean pares o números son reales en el caso de que sean pares o bien cuando son impares son reales.bien cuando son impares son reales.

Deseamos saber si SS11 SS22

El paso primero es proceder a las simbolizaciones de las expresiones propuestas en el Lenguaje Leopardo.

Simbolización en Lenguaje Leopardo de SSimbolización en Lenguaje Leopardo de S11..

Solo cuando los números son reales estos son pares o Solo cuando los números son reales estos son pares o imparesimpares

FormalizaciónFormalización

Elementos lógicos.Elementos lógicos.

Solo Solo cuandocuando

AnálisisAnálisis

AntecedenteAntecedente ConsiguienteConsiguiente

los números son los números son realesreales

ProposicionesProposicionesp los números son paresq los números son imparesr los números son reales

SS1 1 p pqqrr

estos son pares o estos son pares o imparesimpares

oo

Simbolización en Lenguaje Leopardo de SSimbolización en Lenguaje Leopardo de S22..

FormalizaciónFormalización

Elementos lógicos.Elementos lógicos.

AnálisisAnálisis

Admitimos la siguiente alternativa: o bien los números son reales en Admitimos la siguiente alternativa: o bien los números son reales en el caso de que sean pares o bien cuando son impares son reales.el caso de que sean pares o bien cuando son impares son reales.

o bieno bieno bieno bien

enenel caso de queel caso de que

cuandocuando

AntecedentesAntecedentes ConsecuentesConsecuentes

ProposicionesProposiciones Los mismos valores Los mismos valores que para Sque para S11

SS2 2 (p(pr) r) ( q( q r) r)

Determinar si SDeterminar si S1 1 implica a Simplica a S2 2 mediante los mediante los árboles semánticosárboles semánticos

ppqqrr Expresión Expresión implicante implicante

[(p[(pr) r) ( q( q r)] r)] Negación de la Negación de la expresión expresión implicada implicada (p(pr)r)

( q( q r) r) R.N.D

pp

rr R.N.C

qq

rr R.N.C(p(pq)q)

rr R.C

#

pp

R.N.D qq

qqR.R #

La primera La primera expresión implica expresión implica a la segunda, en a la segunda, en símbolos símbolos

(p(pqqr) r) ((p((pr) r) ( q( q r)) r))

Determinar la validez de los Determinar la validez de los razonamientos en el Nivel razonamientos en el Nivel

Proposicional por los árboles Proposicional por los árboles semánticossemánticos

Un razonamiento en el nivel de Un razonamiento en el nivel de lógica proposicional es válido si y lógica proposicional es válido si y solo si de las premisas y de la solo si de las premisas y de la negación de la conclusión resulta negación de la conclusión resulta una contradicción.una contradicción.

premisaspremisas negación de lanegación de laconclusiónconclusión contradiccióncontradicción

Se afirman las premisas y se niega la Se afirman las premisas y se niega la conclusión y deben aparecer conclusión y deben aparecer contradicciones en todas las ramas del contradicciones en todas las ramas del árbol que se genere con las reglas de árbol que se genere con las reglas de derivación. derivación.

Ejemplo de validación de un Ejemplo de validación de un razonamiento en Lógica razonamiento en Lógica

ProposicionalProposicional

Si digo siempre la verdad los demás confían en mí; si los Si digo siempre la verdad los demás confían en mí; si los demás confían en mí, me siento seguro e independiente. demás confían en mí, me siento seguro e independiente. Cuando me siento seguro e independiente, soy capaz de Cuando me siento seguro e independiente, soy capaz de afrontar cualquier problema. En consecuencia como yo digo afrontar cualquier problema. En consecuencia como yo digo siempre la verdad soy capaz de afrontar cualquier problema.siempre la verdad soy capaz de afrontar cualquier problema.

Paso primero: Paso primero: reducción a la reducción a la forma lógica del razonamientoforma lógica del razonamiento

Identificación de las premisa y la Identificación de las premisa y la conclusión: conclusión: búsqueda de las conexiones de búsqueda de las conexiones de justificación o de consecuencia.justificación o de consecuencia.

Conexión de Conexión de consecuenciaconsecuencia

En consecuencia

ConclusiónConclusión

como yo digosiempre la verdad soy capaz de afrontar cualquier problema.

Premisa primera y forma Premisa primera y forma lógicalógica

Si digo siempre la verdad los demás confían en míSiSi

Proposiciones:p digo siempre la verdadq los demás confían en mí

Forma lógica del razonamientoForma lógica del razonamientoPremisa nº1: p q

Premisa segunda

si lossi losdemás confían en mí me siento seguro e independientedemás confían en mí me siento seguro e independiente

sisi

r me siento seguro e independientePremisa nº2: q r

Tercera premisaTercera premisa

Cuando me siento seguro e independiente, soy capaz de Cuando me siento seguro e independiente, soy capaz de afrontar cualquier problema.afrontar cualquier problema.CuandoCuando

p1 soy capaz de afrontar cualquier problema

Premisa nº3: r p1

comocomo

p p1

Determinar la validez del Determinar la validez del razonamiento mediante los razonamiento mediante los

árboles lógicosárboles lógicos

p q Premisa 1

q r Premisa 2

r p1 Premisa 3

(p p1) Negación de la conclusión

p

p1

p

R.N.C.

q R.C.

pR.R.

#

q r R.C.

# r p1 R.C.

# p1 R.R.

#

El razonamiento es El razonamiento es válido, pues lleva a válido, pues lleva a una contradicción una contradicción cuando afirmamos cuando afirmamos las premisas y las premisas y negamos la negamos la conclusiónconclusión

Nuevo ejemplo de validación de un Nuevo ejemplo de validación de un razonamiento en Lógica razonamiento en Lógica

ProposicionalProposicional

La humanidad deberá progresar realizando sus ideales cuando las

preferencias humanas se centren fundamentalmente en los bienes

abstractos o los seres humanos aspiren a una vida digna, pero para que la

humanidad deba progresar en la realización de sus ideales es necesario y

suficiente tener una imagen adecuada de sí misma en las situaciones

conflictivas; por eso sostenemos que la humanidad tiene una imagen

adecuada de sí misma en las situaciones conflictivas y los seres humanos

aspiran a una vida digna, porque las preferencias humanas se centran

fundamentalmente en los bienes abstractos.

Paso primero: Paso primero: reducción a la reducción a la forma lógica del razonamientoforma lógica del razonamiento

Identificación de las premisa y la Identificación de las premisa y la conclusión: conclusión: búsqueda de las conexiones búsqueda de las conexiones de justificación o de consecuencia.de justificación o de consecuencia.

Conexión de consecuenciaConexión de consecuencia

por eso

Conexión de Conexión de fundamentación.fundamentación.

porque

ConclusiónConclusión

sostenemos que la humanidad tiene una imagen

adecuada de sí misma en las situaciones conflictivas y los seres humanos

aspiran a una vida digna

Premisa primeraPremisa primera

La humanidad deberá progresar realizando sus ideales cuando las

preferencias humanas se centren fundamentalmente en los bienes

abstractos o los seres humanos aspiren a una vida digna

Forma lógica

cuando

o

Premisa nº1: p q r

Premisa segundaPremisa segunda

pero

Premisa nº2: r p1

Premisa terceraPremisa tercera

las preferencias humanas se centran

fundamentalmente en los bienes abstractos

Premisa nº3: p

y yy yy

p1q

para que la

humanidad deba progresar en la realización de sus ideales es necesario ysuficiente tener una imagen adecuada de sí misma en las situaciones

conflictivas

es necesario ysuficiente

Determinar la validez del Determinar la validez del razonamiento mediante los razonamiento mediante los

árboles lógicosárboles lógicos

pp q q r r Premisa 1

r r pp11 Premisa 2

pp Premisa 3

(p(p11q)q) Negación de la conclusión

pp11 qq R.N.C.

#

(p(p q) q) rr R.C.

pp

qq R.N.D.

rr

pp11

rr

pp11 R.B.

??

El razonamiento no El razonamiento no es válido, pues no es válido, pues no hay contradicción hay contradicción cuando afirmamos cuando afirmamos las premisas y las premisas y negamos la negamos la conclusión.conclusión.

(p(p q) q) rr

pp

pp

qq

R.C.

R.R.

rr

pp11

#

rr

pp11

#

R.N.D. R.N.B.