Losas en Dos Direcciones-metodo Directo

CONCRETO ARMADO II

DOCENTE: ING. OVIDIO SERRANO ZELADA 1 METODO DIRECTO

LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES METODO DIRECTO

Es un procedimiento simplificado que permite determinar los momnetos de diseño de losas armadas en dos direcciones . Los elementos diseñados haciendo uso de este procedimiento satisfacen los requerimientos de resistencia de la estructura y también la mayor parte de las condiciones necesarias para un adecuado comportamiento bajo cargas de servicio. Este método compatibiliza la simplicidad de su procedimiento con los resultados obtenidos a través de procedimientos teóricos y las observaciones efectuadas a lo largo de los años en que se ha trabajado con este tipo de estructuras. Este método se aplica en las dos direcciones de armado de la losa por separado. Para el análisis, esta se divide en secciones constituidas por una franja de columna y dos medias franjas centrales, una a cada lado. Estas porciones de losa son tratadas como vigas anchas y chatas y son analizadas independientemente una de la otra. Este método consta básicamente de tres etapas: Determinación del momento estático total, Mo, igual a la suma del momento positivo al centro de la luz entre

apoyos y la semisuma de los momentos negativos en ellos. Distribución del momento total estático entre los apoyos y el centro de la luz. Distribución de los momentos positivos en la franja de columna y las medias franjas centrales

respectivamente. Limitaciones del Método.‐ 1. La losa debe contar como mínimo con tres paños en cada dirección. 2. Los paños deben ser rectangulares con una relación entre la mayor y menor dimensión centro a centro menor

que 2. 3. Las luces centro a centro de paños adyacentes no deberán diferir en mas de un tercio de la luz mayor de las

dos. 4. Las columnas podrán desfasarse de su eje principal en no mas de un 10% de la luz entre línea de centro de

columnas sucesivas. 5. Todas las cargas aplicadas deberán ser de gravedad y uniformemente distribuidas en todo el paño. La carga

viva deberá ser menor que dos veces la carga muerta. La alternancia de carga viva es prevista por el método. 6. En los paños apoyados en vigas en los cuatro lados, la rigidez relativa de las vigas en direcciones

perpendiculares no será mayor que 5 ni menor que 0.2, es decir:

0.2 5

Donde: L1=Dimensión centro a centro del paño en la dirección de análisis.

L2= Dimensión centro a centro del paño en la dirección perpendicular al análisis α1= Parámetro de relación de rigidez de viga a rigidez de losa, evaluado en la dirección L1. α2= Parámetro de relación de rigidez de viga a rigidez de losa, evaluado en la dirección L2.

7. Al aplicar este método, no se permite redistribución de esfuerzos en los apoyos. Sin embargo, estos se pueden

modificar hasta en un 10% siempre que se efectúe el ajuste necesario en el momento positivo para mantener inalterado el momento estático final.

El método directo puede aplicarse aún si las limitaciones presentadas no son cumplidas si se demuestra que ello no afecta la resistencia y el comportamiento de la estructura.

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Determinación del Momento estático Total.‐ Para carga uniforme, el momento de diseño total Mo para un tramo de la franja de diseño se calcula simplemente aplicando la expresión correspondiente a momento estático:

8

Donde:

Mo: Momento total estático igual a la suma del momento positivo en el centro del tramo y al promedio de los momentos negativos en el apoyo.

Wu: Carga última por unidad de área. Ln: Distancia entre las caras de la columna,

capiteles o muros pero no será menor que 0.65 L1. Si los apoyos no son rectangulares, se considerará para la determinación de Ln, que estos son equivalentes a soportes cuadrados de igual área como se muestra en la siguiente figura:

Distribución de los Momentos Positivos y Negativos.‐ Los momentos negativos determinados con los criterios que se detallan a continuación corresponden a la cara de los apoyos rectangulares y a la car del apoyo cuadrado equivalente cuando el soporte no es rectangular. En los tramos interiores, se considerará: Momento negativo, 0.65Mo Momento positivo, 0.35Mo

En los tramos exteriores, el momento estático totalm se distribuye como se indica en la siguiente tabla:

Borde exterior no restringido

Losa con vigas entre todos sus

apoyos

Losas sin vigas entre apoyos exteriores

Borde exterior

totalmente restringido

Sin viga de borde

Con viga de borde

Momento negativo interior

0.75 0.70 0.70 0.70 0.65

Momento positivo 0.63 0.57 0.52 0.50 0.35Momento negativo exterior

0 0.16 0.26 0.30 0.65

Coeficientes para distribuir momentos positivos y negativos en los tramos exteriores de las losas armadas en dos sentidos.

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Los apoyos internos deberán ser diseñados para resistir el mayor momento negativo que se le haya asignado proveniente de los tramos adyacentes a ellos. Las vigas de borde y los bordes de la losa deben diseñarse para resistir la torsión que desarrollan para transmitir los momentos negativos exteriores a la columna. Distribución de los Momentos en la Franja de Columna y en la Franja Central.‐ El código del ACI presenta una serie de tablas que permiten determinar directamente los porcentajes de momento positivo y negativo que son resistidos por la franja de columna. La fracción restante es dividida, proporcionalmente a sus dimensiones, entre las dos medias franjas centrales. Cada franja central debe ser diseñada para resistir la suma de los momentos que han sido asignados a sus correspondientes medias franjas en sus análisis respectivos. Si aquella es adyacente y paralela a un borde de la losa soportado por un muro, se deberá diseñar para resistir el borde del momento asignado a la media franja central de la primera fila de los apoyos interiores. En los sistemas de vigas y losas, parte de los momentos asignados a la franja de columna deben ser resistidos por dichas vigas y el resto por la losa. Si el término α1L2/L1 es mayor que la unidad, la viga se diseñará para resistir el 85% del momento asignado a la franja de columna. Si por el contrario, es nulo, entonces significa que no existe viga y por lo tanto la losa resiste todo el momento asignado. Para valores intermedios se interpola linealmente. La viga deberá resistir, además que las cargas provenientes de la losa, aquellas que le son aplicadas directamente. A continuación se presentan las tablas con los porcentajes de momento positivo y negativo que corresponden a la franja de columna. Momento Negativo Interior.‐ La distribución es función de la relación entre las dimensiones de la losa y de la rigidez de sus apoyos.

L2/L1 0.5 1.0 2.0 / 0 75 75 75

/ 1.0 90 75 45 Fracción del Momento Negativo interior que corresponde a la franja de columna

Momento Negativo Exterior.‐ La distribución no solo es función de la relación entre las dimensiones de la losa y la rigidez a la flexión de la viga entre columnas, también depende del parámetro ßt, el cual es igual a la relación entre la rigidez a la torsión de la viga de borde, si es que existe y la rigidez a la flexión de la losa. El valor de ß se determina a través de las siguientes expresiones:

2

1 0.63 3

Para la determinación de la rigidez torsional de la viga de borde, se ha asumido Gb=0.5Eb.

L2/L1 0.5 1.0 2.0/ 0 ßt=0

ßt>=2.5 10075

10075

10075

/ 1.0 ßt=0 ßt>=2.5

10090

10075

10045

Fracción del momento negativo exterior que corresponde a la franja de columna Si no existe viga de borde el parámetro ß es nulo y por lo tanto todo el momento es resistido por la franja de columna. Si el parámetro ß es mayor que 2.5, la distribución de momentos es igual que la correspondiente a los momentos negativos interiores. Cuando los apoyos consisten en columnas o muros cuya dimensión perpendicular a la dirección en estudio es mayor que 0 .75L2, los momentos negativos pueden asumirse uniformemente distribuidos a lo largo de L2.

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Momento Positivo.‐

L2/L1 0.5 1.0 2.0 / 0 60 60 60

/ 1.0 90 75 45 Fracción del momento positivo que corresponde a la franja de columna

Momentos en las Columnas.‐ Los momentos de diseño de las columnas que sostienen la losa dependen de su ubicación. Las columnas exteriores, superior e inferior, se diseñarán para resistir todo el momento negativo proveniente de la losa repartido proporcionalmente a sus rigideces. Las columnas interiores serán diseñadas para un momento proveniente de cargar el tramo adyacente de mayor luz, con toda la carga muerta y la mitad de la carga viva y el tramo de menor luz, solo con carga muerta.

0.65 , 0.5 ,

8,

8

Donde: Wu,cm : Carga muerta en el tramo de mayor luz. Wu,cv : Carga viva en el tramo de mayor luz. W’u,cm : Carga muerta en el tramo de menor luz. W’u,cv : Carga viva en el tramo de menor luz. L’2 : Luz del tramo menor perpendicular a la dirección de diseño. L’1 : Luz del tramo menor entre caras de apoyo.

Simplificando la relación anterior se llega a:

0.081 , 0.5 , , Una porción de este momento es absorbido por la losa y el resto por las columnas. El código asume que la mayor parte del momento es absorbido por las columnas y por ello sugiere para su diseño:

0.07 , 0.5 , , Este momento es repartido entre las columnas sobre y bajo la losa proporcionalmente a sus rigideces.

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Ejemplo 01.‐ Diseño de un sistema de piso por el Método Directo Columnas : 40*40 cm Vigas : 25*60 cm. en la dirección horizontal 25*50 cm. en la dirección vertical Sobrecarga : 900 Kg/m2. f’c=210 Kg/cm2. fy=4200 Kg/cm2.

Solución.‐ Espesor de la Losa.‐

4056040 14.00

í180

2 560 460180 11.33

Asumimos h=14.00cm.

Verificación por Deflexiones.‐ Valores α Para las vigas interiores de 6.00m de largo.‐

ht=(60‐14=46=<(4*14=56) Usar ht=46.00cm.

8.38 10

12450 14

12

10.3 10

8.38 1010.3 10

.

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Para las vigas de borde de 6.00m de largo

ht=(60‐14=46=<(4*14=56) Usar ht=46.00cm.

6.99 10

12262.5 14

12

6.0 10

..

.

Para las vigas interiores de 5.00m de largo.‐

ht=(50‐14=36=<(4*14=56) Usar ht=36.00cm.

4.58 10

12600 14

12

1.37 10

..

.

Para las vigas de borde de 5.00m de largo

ht=(50‐14=36=<(4*14=56) Usar ht=36.00cm.

3.85 10

12312.5 14

12

7.146 10

3.85 10

7.146 10

.

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Resumen de los valores α

Revisión del Peralte Mínimo.‐ Se analiza el tablero I, que es el más desfavorable Ln = (600‐40=560cm)>(0.65*600=390cm)

560460 1.217

560 4602 560 2 460 0.50

8.13 11.65 3.34 5.394 7.13

560 800 0.071 4200

36000 5000 1.217 7.13 0.5 1 0.5 1 1 1.217⁄

. .

560 800 0.071 420036000 5000 1.217 1 0.50

. .

560 800 0.071 420036000

. .

Por lo tanto la altura asumida h=14.00cm., es correcta.

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Revisión de las Limitaciones del Método.‐ a. Se cumple porque hay tres claros en una dirección y cuatro en la otra. b. Relación máxima entre claro largo y claro corto:

1.5 2.0 c. Diferencia máxima entre claros sucesivos.‐ 5‐4=1m. < (5/3=1.7m.) d. No hay columnas fuera de los ejes e. Carga Muerta Peso Propio de Losa = 0.14*2400 = 336.00 Kg/m2. Peso Muerto = 150.00 Kg/m2. Carga Muerta Total = 486.00 Kg/m2. Carga Viva = 900.00 Kg/m2.

1.85 2

f. La rigidez relativa de las vigas en direcciones perpendiculares no será mayor que 5 ni menor que 0.2

Para el tablero I En dirección horizontal

11.65 8.13 55.39 3.34 6 1.57; 0.2 1.57 5.0

En dirección vertical 5.39 3.34 6

11.65 8.13 5 0.64; 0.2 0.64 5.0

Para el tablero II

En dirección horizontal 8.13 8.13 45.39 3.34 6 0.83; 0.2 0.83 5.0

En dirección vertical 5.39 3.34 68.13 8.13 4 1.21; 0.2 1.21 5.0

Para el tablero III


En dirección vertical 3.34 3.34 6

11.65 8.13 5 0.49; 0.2 0.49 5.0

Para el tablero IV


En dirección vertical 3.34 3.34 68.13 8.13 4 0.92; 0.2 0.92 5.0

En todos los casos se cumple la relación

0.2 5

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Cálculo del Momento Estático Total.‐ Amplificación de Cargas

Wu=1.5*486+1.8*900=2349.00 Kg/m2=2.349 Tn/m2. Eje A, Todos los claros.‐

82.349 2.625 5.60

8 24.17 . Eje B, Todos los claros.‐

82.349 4.50 5.60

8 41.44 . Eje 1, Claro AB

82.349 3.125 4.60

8 19.42 . Eje 1, Claro BC

82.349 3.125 3.60

8 11.89 . Eje 2, Claro AB

82.349 6.00 4.60

8 37.28 . Eje 2, Claro BC

82.349 6.00 3.60

8 22.83 . Momentos Longitudinales.‐ Ejes A y D

M1‐2(‐) = 0.16*Mo=0.16*24.17=3.87 Tn‐m. M1‐2(+) = 0.57*Mo=0.57*24.17=13.78 Tn‐m. M2‐1(‐) = 0.70*Mo=0.70*24.17=16.92 Tn‐m.


Ejes B y C



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Ejes 1 y 5 MA‐B(‐) = 0.16*Mo=0.16*19.42=3.11 Tn‐m. MA‐B(+) = 0.57*Mo=0.57*19.42=11.07 Tn‐m. MB‐A(‐) = 0.70*Mo=0.70*19.42=13.59 Tn‐m.

MB‐C(‐) = 0.65*Mo=0.65*11.89=7.73 Tn‐m. MB‐C(+) = 0.35*Mo=0.35*11.89=4.16 Tn‐m. MC‐B(‐) = 0.65*Mo=0.65*11.89=7.73Tn‐m.

Ejes 2,3 y 4

MA‐B(‐) = 0.16*Mo=0.16*37.28=5.96 Tn‐m. MA‐B(+) = 0.57*Mo=0.57*37.28=21.25 Tn‐m. MB‐A(‐) = 0.70*Mo=0.70*37.28=26.10 Tn‐m.

MB‐C(‐) = 0.65*Mo=0.65*22.83=14.84 Tn‐m. MB‐C(+) = 0.35*Mo=0.35*22.83=7.99Tn‐m. MC‐B(‐) = 0.65*Mo=0.65*22.83=14.84 Tn‐m.

Distribución de los Momentos Longitudinales a lo Ancho de las Franjas.‐ Cálculo del parámetro ßt,

2

Constante de Torsión C para las vigas de borde del eje A:

Para la condición a.

10.63 25

6025 60

3 10.63 14

4614 46

3

C=26.4*104cm4.

Para la condición b.

10.63 25

4625 46

3 10.63 14

7114 71

3

C=21.4*104cm4 < 26.4*104cm4 Usar C=26.4*104cm4.

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Constante de Torsión C para las vigas de borde del eje A:

Para la condición a.

10.63 25

5025 50

3 10.63 14

3614 36

3

C=20.3*104cm4.

Para la condición b.

10.63 25

3625 36

3 10.63 14

6114 61

3

15.3*104cm4 < 20.3*104cm4.

Usar C=20.3*104cm4.

Para las franjas A y D

2

500 14

12 11.4 10

20.3 10

2 11.4 10 0.89

Para las franjas B y C

450 1412 10.3 10

20.3 10

2 10.3 10 0.98

Para las franjas 1, 2, 3, 4 y 5

600 1412 13.7 10

26.4 10

2 13.7 10 0.96

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Cálculo de los Momentos en la Franja de Columna, Franja Central y Viga.‐ Franjas de los Ejes A y D Sección Momento Porcentaje Momento Momento Momento Losa Momento

Total L2/L1 αL2/L1 βt Franja de Viga Franja de Franja Central(Tn‐m) Columna Columna

M1‐2(‐) 3.87 0.83 9.67 0.89 92.9 3.60 3.06 0.54 0.27

M1‐2(+) 13.78 0.83 9.67 80.1 11.04 9.38 1.66 2.74

M2‐1(‐) 16.92 0.83 9.67 80.1 13.55 11.52 2.03 3.37

M2‐3(‐) 15.71 0.83 9.67 80.1 12.58 10.70 1.89 3.13

M2‐3(+) 8.46 0.83 9.67 80.1 6.78 5.76 1.02 1.68

M3‐2(‐) 15.71 0.83 9.67 80.1 12.58 10.70 1.89 3.13 Franjas de los Ejes B y C Sección Momento Porcentaje Momento Momento Momento Losa Momento


M1‐2(‐) 6.63 0.75 6.10 0.98 93.1 6.17 5.25 0.93 0.46

M1‐2(+) 23.62 0.75 6.10 82.5 19.49 16.56 2.92 4.13

M2‐1(‐) 29.00 0.75 6.10 82.5 23.93 20.34 3.59 5.08

M2‐3(‐) 26.94 0.75 6.10 82.5 22.23 18.89 3.33 4.71

M2‐3(+) 14.50 0.75 6.10 82.5 11.96 10.17 1.79 2.54

M3‐2(‐) 26.94 0.75 6.10 82.5 22.23 18.89 3.33 4.71 Franjas de los Ejes 1 y 5 Sección Momento Porcentaje Momento Momento Momento Losa Momento


MA‐B(‐) 3.11 1.2 6.47 0.96 88.1 2.74 2.33 0.41 0.37

MA‐B(+) 11.07 1.2 6.47 69.0 7.64 6.49 1.15 3.43

MB‐A(‐) 13.59 1.2 6.47 69.0 9.38 7.97 1.41 4.21

MB‐C(‐) 7.73 1.5 8.08 60.0 4.64 3.94 0.70 3.09

MB‐C(+) 4.16 1.5 8.08 60.0 2.50 2.12 0.37 1.66

MC‐B(‐) 7.73 1.5 8.08 60.0 4.64 3.94 0.70 3.09 Franjas de los Ejes 2, 3 y 4 Sección Momento Porcentaje Momento Momento Momento Losa Momento


MA‐B(‐) 5.96 1.2 4.01 0.96 88.1 5.25 4.46 0.79 0.71

MA‐B(+) 21.25 1.2 4.01 69.0 14.66 12.46 2.20 6.59

MB‐A(‐) 26.10 1.2 4.01 69.0 18.01 15.31 2.70 8.09

MB‐C(‐) 14.84 1.5 5.01 60.0 8.90 7.57 1.34 5.94

MB‐C(+) 7.99 1.5 5.01 60.0 4.79 4.07 0.72 3.20

MC‐B(‐) 14.84 1.5 5.01 60.0 8.90 7.57 1.34 5.94

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Cálculo de las Áreas de Acero por Flexión.‐ Franja del eje B, losa en franja de columna.‐

Sección Momento(Tn‐m) ρ As barras Nº s

M1‐2(‐) 0.93 0.0018 4.60 3 34.00

M1‐2(+) 2.92 0.0027 7.02 3 22.00

M2‐1(‐) 3.59 0.0034 8.71 3 18.00

M2‐3(‐) 3.33 0.0031 8.05 3 19.00

M2‐3(+) 1.79 0.0018 4.60 3 34.00

M3‐2(‐) 3.33 0.0031 8.05 3 19.00

0.0018

0.75 0.75 0.85 0.85210

42006000

6000 4200 0.016 Franja del eje B, losa en franja central.‐

Sección Momento(Tn‐m) ρ As barras Nº s

M1‐2(‐) 0.46 0.0018 4.60 3 34.00

M1‐2(+) 4.13 0.0039 10.08 3 15.00

M2‐1(‐) 5.08 0.0049 12.55 3 12.00

M2‐3(‐) 4.71 0.0045 11.58 3 13.00

M2‐3(+) 2.54 0.0024 6.08 3 26.00

M3‐2(‐) 4.71 0.0045 11.58 3 13.00

0.0018

0.75 0.75 0.85 0.85210

42006000

6000 4200 0.016

CONCRETO ARMADO II


Franja del eje B, viga.‐

Sección Momento(Tn‐m) ρ As barras

M1‐2(‐) 5.25 0.0024 3.25 2 Nº 5

M1‐2(+) 16.56 0.0066 8.83 3 Nº 6

M2‐1(‐) 20.34 0.0082 11.08 4 Nº 6

M2‐3(‐) 18.89 0.0076 10.20 4 Nº 6

M2‐3(+) 10.17 0.0039 5.24 2 Nº 6

M3‐2(‐) 18.89 0.0076 10.20 4 Nº 6

0.7 0.0024

0.75 0.75 0.85 0.85210

42006000

6000 4200 0.016 Revisión por Fuerza Cortante.‐ a.‐ Losa

El caso más desfavorable es el del tablero I en la dirección del claro corto

1.15 . . 6213.11 .

0.85 0.53 √210 100 11.365 7419.49 . Vu<Vcu OK. b. Viga del Eje B

23496.00 1.00

2 2.506.00 2.00

2 2.00

39345.75 .

39345.752 19672.88 .

0.85 0.53 √210 25 53.78 8777.39 .

10895.49 .

Por lo tanto, se requiere de estribos para absorber el cortante Vs=10895.49Kg.

Losas en Dos Direcciones-metodo Directo

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