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LIBRO PARA EL MAESTRO

MATEMTICASSEXTO GRADO

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El Libro para el Maestro. Matemticas. Sexto grado fue elaborado en la Direccin Generalde Materiales y Mtodos Educativos de la Subsecretara de EducacinBsica y Normal de la Secretara de Educacin Pblica

Coordinador generalHugo Balbuena Corro

AutoresHugo Balbuena CorroMartha Dvila VegaFortino Escareo SoberanesMnica Schulmaister Lagos

ColaboradoresDavid Block SevillaMara de los ngeles Olivera BustamanteIrma Griselda Pasos OrellanaOlga Leticia Lpez EscuderoSilvia Garca PeaDiana Violeta Solares Pineda Luca Moreno Snchez

Coordinacin editorialElena Ortiz Hernn Pupareli

Cuidado de la edicinAlfredo Giles-DazHctor Veyna RodrguezLeopoldo Cervantes-Ortiz

Supervisin tcnicaAlejandro Portilla de Buen

DiseoJulin Romero Snchez

FormacinLeticia Dvila Acosta

PortadaDiseo: Comisin Nacional de Libros de Texto GratuitosIlustracin: Matemticas. Sexto grado, Mxico, SEP, 2003Alfarje de par y nudillo (siglo XVII)Artesonado en la techumbre del ex conventode San Francisco, Tlaxcala, siglo XVIIFotografa: Vicente Guijosa y Javier Hinojosa

Primera edicin, 2003Primera reimpresin, 2004 (ciclo escolar 2004-2005)

D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2003Argentina 28, Centro,06020, Mxico, D.F.

ISBN 970-741-005-1

Impreso en MxicoDISTRIBUCIN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

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Presentacin

Los libros de texto gratuitos, resultado de la reforma educativa instrumen-tada a partir de 1993, tienen como propsito que los nios mexicanos ad-quieran una formacin cultural ms slida y desarrollen su capacidad paraaprender permanentemente y con independencia. Para que esta finalidad secumpla, es indispensable que cada maestro lleve a la prctica las orienta-ciones del Plan y programas de estudio. Educacin bsica. Primaria, y utili-ce los materiales educativos en forma sistemtica, creativa y flexible.

Tradicionalmente la Secretara de Educacin Pblica ha distribuido loslibros para el maestro como un apoyo al trabajo profesional que se realizaen nuestras escuelas primarias.

El contenido de los Libros para el maestro de Matemticas, que se hanutilizado desde 1994, explicita el enfoque didctico para la enseanza, elestudio y el aprendizaje de las matemticas y proporciona recomendacio-nes generales para cada uno de los ejes temticos que se trabajan en laeducacin primaria.

Este nuevo Libro para el maestro. Matemticas. Sexto grado intenta apo-yar al maestro con sugerencias para la realizacin de las actividades plan-teadas en cada una de las lecciones. Es importante destacar que estas re-comendaciones no pretenden indicar a los profesores, de manera rgida einflexible, lo que tienen que hacer en cada clase o en el desarrollo del te-ma, antes bien, se han diseado tomando en consideracin la experienciay la creatividad del maestro y la existencia de diferentes estilos de trabajodocente.

El nuevo Libro para el maestro. Matemticas. Sexto grado, adems de serun recurso que permite un mejor aprovechamiento de las lecciones, se haconcebido tambin como un medio para estimular y orientar el dilogo en-tre los maestros sobre la actitud de los alumnos al resolver las lecciones,los resultados que obtuvieron, los procedimientos interesantes que surgie-ron, las diferentes estrategias didcticas utilizadas para ayudar a los alum-nos a avanzar en sus conocimientos o sobre el contenido mismo de cadaleccin. Igualmente, este libro ser un material de estudio bsico para lasactividades y cursos de actualizacin profesional.

Los planes y programas de estudio, los libros de texto gratuitos y otrosmateriales de apoyo destinados a los maestros y a los alumnos, se corrigeny mejoran sistemticamente, con base en los resultados obtenidos al utili-zarlos en la prctica. Es por ello que la Secretara de Educacin Pblica rei-tera la atenta invitacin hecha a los profesores de educacin primaria pa-ra que enven a esta dependencia sus opiniones y recomendaciones relati-vas al mejoramiento de los materiales educativos mencionados y en parti-cular del presente libro.

SECRETARA DE EDUCACIN PBLICA

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ndiceAspectos generales del enfoque didctico 7Organizacin general de los contenidos

de la educacin bsica. Primaria. 11Los contenidos matemticos de sexto grado 12Propsitos generales 13El libro de texto gratuito y el fichero

de actividades didcticas 14Recomendaciones de evaluacin 15

Juegos con nmeros 18Las lneas curvas cerradas 20El nmero , un nmero especial 22Dibujos grandes y chicos 24El dibujo de los terrenos 26Matemticas en la msica 28En qu lugar est el submarino? 30Listones para los moos 32El tablero de ajedrez 34La altura y el rea de las figuras 36Se cambian fichas por estampas 38Cuntas lenguas, cunta gente? 40El precio de la gasolina 42El juego disparejo 44Las figuras en el plano 46El recibo telefnico 48Las tendencias del grupo 50Tratos buenos y no tan buenos 52

El crucigrama 54Del milmetro al kilmetro 56Y la Rotonda, dnde est? 58Tacitas y tazones 60Grficas y salud 62El taller de collares 64El grosor de una hoja de papel 66Construccin de cuerpos geomtricos 68De volmenes y reas 70El grosor de una hoja de papel II 72El peso de un clavo 74Un juego con dados 76Consulta Infantil: voz de 4 millones 78Cul es la casa de Ismael? 80El peso de las sustancias 82Otras formas de medir 84Un candado muy seguro 86

BLOQUE 1LECCIONES 1-18


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Collares y pulseras 88Qu tan grande es una hectrea? 90Un paseo por la Ciudad de Mxico 92Mviles con fracciones 94La escuela de Berta y Ruti 96Los prismas y su volumen 98Los engranes 100Bebidas preparadas 102Las diagonales de las figuras 104El maratn de baile 106El rompecabezas 108Del maz a las tortillas 110A los conejos les gustan las lechugas 112Las pirmides 114Una revolucin que puso orden 116El transporte areo 118Informacin engaosa 120El mejor candidato 122

Los engranes y algo ms 124Cuntas veces ms grande es el rea? 126Los cuadrilteros y sus diagonales 128Basta geomtrico 130Divisiones que dan lo mismo 132La tienda de ropa 134Los prismas y sus reas 136Relativamente grande o chico 138El reglamento de trnsito 140Tapetes orientales 142Un juego razonado 144El litro y el gramo 146Grandes retos con nmeros pequeos 148De qu polgono se trata? 150En busca de informacin 152Los representantes de la escuela 154Grficas que engaan 156

Qu es lo que no cambia? 158Los trapecios 160Yo digo cunto mide 162El precio de las galletas 164Cmo se toma una decisin? 166Pesos pesados 168La unin de varios tringulos 170El precio de los quesos 172Un rompecabezas muy interesante 174Distancia, tiempo y velocidad 176Tu libro de Matemticas en cifras 178Especies en peligro de extincin 180Las otras medidas 182Artculos de oficina 184La altura y la base de los prismas 186Se puede predecir el futuro? 188Telfonos celulares 190




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7Aspectos generales del enfoque didctico

La formacin matemtica que le permita a cada miembro de la comu-nidad enfrentar y dar respuesta a determinados problemas de la vidamoderna depende, en gran parte, de los conocimientos adquiridos y delas habilidades y actitudes desarrolladas durante la educacin bsica.La experiencia que vivan los nios al estudiar matemticas en la es-cuela puede traer como consecuencias: el gusto o rechazo, la creati-vidad para buscar soluciones o la pasividad para escucharlas y tratarde reproducirlas, la bsqueda de argumentos para validar los resulta-dos o la supeditacin de stos al criterio del maestro.

La propuesta curricular que se deriva de la reforma de 1993, con-siste en llevar a las aulas actividades de estudio que despierten elinters de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar dife-rentes formas de solucionar los problemas y a formular argumentosque validen los resultados.

El conocimiento de reglas, algoritmos, frmulas y definiciones s-lo es importante en la medida en que los alumnos lo puedan usar, demanera flexible, para resolver problemas. De ah que su construccinamerite procesos de estudio ms o menos largos que van de lo infor-mal a lo convencional, en trminos de lenguaje, representaciones yprocedimientos. La actividad intelectual fundamental en estos pro-cesos se apoya ms en el razonamiento que en la memorizacin.

Esta propuesta se fundamenta en los avances logrados en el cam-po de la didctica de la matemtica, mediante los cuales se explica elpapel determinante que desempea el medio, entendido como la si-tuacin o situaciones problemticas que hacen necesario el uso de lasherramientas matemticas que se pretenden estudiar, as como losprocesos que siguen los alumnos para construir nuevos conocimien-tos y superar las dificultades que surjan en el proceso de aprendizaje.

A partir de esta propuesta, tanto los alumnos como el maestro seenfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintas frente alconocimiento matemtico y a ideas diferentes sobre lo que significaensear y aprender. No se trata de que el maestro busque las explica-ciones ms sencillas y amenas para que los alumnos puedan entender,sino de que analice y proponga problemas interesantes, debidamentearticulados, para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avan-cen en el uso de tcnicas y razonamientos cada vez ms eficaces.

Para ayudar a los maestros en esta tarea, hemos analizado cadauna de las lecciones del libro de texto gratuito Matemticas. Sextogrado, con el fin de resaltar los aspectos que pueden ayudar a reali-zar un estudio ms provechoso para los alumnos. Este anlisis com-plementa pero no sustituye el que debe hacer el maestro por cuen-

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8ta propia y que principia cuando resuelve la leccin previamente. Setrata, en general, de tener una idea clara sobre las actividades pro-puestas y, consecuentemente, demostrar mayor seguridad frente alos alumnos. De manera particular, hay que centrar la atencin en lossiguientes aspectos.

Los procedimientos posibles. Dado que los alumnos tratarn deresolver los problemas con sus propios recursos, es de esperar-se que surjan diferentes procedimientos, de manera que con-viene anticipar cules pueden ser stos y qu hacer para quelos alumnos puedan avanzar.

Los errores. Entre los procedimientos posibles puede haber al-gunos incorrectos que, en vez de evadirlos o sancionarlos, sedeben aclarar para que los alumnos puedan aprender de ellos.En muchos casos es posible que los propios alumnos se dencuenta de que han cometido un error y seguramente buscarnla manera de corregirlo, pero en otros tal vez sea necesario queel maestro plantee un contraejemplo, una nueva pregunta, oincluso que seale claramente el error.

Los aspectos centrales de la leccin. Una parte importante delanlisis de las lecciones consiste en tratar de encontrar el por-qu de las actividades propuestas a fin de saber dnde convie-ne detenerse para que los alumnos discutan o comenten lo quehan encontrado.

Seguramente el planteamiento de ayudar a los alumnos a estu-diar matemticas, apoyndose en actividades de estudio cuidadosa-mente diseadas, resultar extrao para muchos maestros compe-netrados con la idea de que su papel es ensear en el sentido detransmitir informacin. Sin embargo, vale la pena intentarlo, puesse produce un cambio radical en el ambiente del saln de clases; losalumnos piensan, comentan y discuten con inters y el maestro re-valora su trabajo docente. Para lograrlo hay que estar dispuesto aafrontar problemas como los siguientes:

a) La resistencia de los alumnos a buscar por su cuenta la manerade resolver los problemas que se les plantean. Aunque habrdesconcierto al principio, tanto de los alumnos como delmaestro, vale la pena insistir en que sean ellos quienes en-cuentren las soluciones. Pronto se empezar a notar un am-biente distinto en el saln de clases, los nios compartirn susideas, habr acuerdos y desacuerdos, se expresarn con liber-tad y no habr duda de que reflexionarn en torno al proble-ma que tratan de resolver.

b) La dificultad para leer y, por lo tanto, para comprender los enun-ciados de los problemas. Se trata de un problema muy comncuya solucin no corresponde nicamente a la asignatura de

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9Espaol. Muchas veces los alumnos obtienen resultados dife-rentes que no necesariamente son incorrectos, sino que co-rresponden a una interpretacin distinta del problema, de ma-nera que el maestro tendr que averiguar cmo interpretan losalumnos las indicaciones que reciben por escrito.

c) El desinters por trabajar en equipo. El trabajo en equipo es im-portante porque ofrece a los nios la posibilidad de expresarsus ideas y de enriquecerlas con las opiniones de los dems,porque desarrollan la actitud de colaboracin y la habilidad pa-ra argumentar, y porque de esta manera se facilita la puesta encomn de los procedimientos que encuentran. Sin embargo, laactitud para trabajar en equipo debe ser fomentada por elmaestro, insistiendo sobre todo en que cada integrante asumala responsabilidad de la tarea que se trata de resolver, no demanera individual, sino como equipo. Por ejemplo, si la tareaconsiste en resolver un problema, cualquier miembro debe es-tar en posibilidad de explicar el procedimiento que utilizaron.

d) La falta de apoyo de los padres de familia. La responsabilidadde que los alumnos logren aprendizajes de calidad es de cadaprofesor o profesora de grupo y de la escuela en su conjunto;sin embargo, no se puede negar que la ayuda de los padres esfundamental en el proceso de estudio puesto que puede darseen distintos niveles, en funcin de la disponibilidad de tiempoy el nivel de estudios que tengan. Habr padres que slo pue-dan estar al pendiente de que los nios cumplan adecuada-mente con las tareas para la casa y otros que puedan ayudar-los a reflexionar cuando tienen dudas. En cualquier caso, esnecesario que estn enterados sobre el tipo de trabajo que serealiza en el aula y de qu manera pueden apoyarlo.

e) La falta de tiempo para concluir las actividades. Muchos maes-tros comentan que si llevan a cabo el enfoque didctico en elque se propone que los nios resuelvan problemas con sus pro-pios medios, discutan y analicen los procedimientos y resultadosque encuentran, no les dar tiempo para concluir el programa.Con este argumento, algunos optan por regresar al esquematradicional en el que el maestro da la clase mientras los alum-nos escuchan aunque no comprendan. La sugerencia que hemosreiterado va en el sentido de que ms vale dedicar el tiemponecesario para que los alumnos adquieran conocimientos consignificado y desarrollen habilidades que les permitan resolverdiversos problemas y seguir aprendiendo, que ensear conoci-mientos que pronto sern olvidados por los alumnos. Si losalumnos comprenden los contenidos, los maestros no tendrnque repetir ao con ao las mismas explicaciones y esto se tra-duce en mayores niveles de logro educativo.

f) Espacios insuficientes para compartir experiencias. Al mismotiempo que los profesores asumen su responsabilidad de mane-

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ra individual, es necesario que la escuela en su conjunto asu-ma la de brindar una educacin de calidad a todos los nios.Esto significa que no basta con que el maestro o maestra desexto grado proponga a sus alumnos problemas interesantespara que reflexionen, sino que antes y despus de este gradotengan las mismas oportunidades de aprender significativa-mente. Para ello es necesario que los profesores compartanexperiencias, sean exitosas o no, que les permitan mejorar per-manentemente en su trabajo docente. Esto implica destinarperidicamente algn tiempo para el trabajo acadmico debi-damente planeado, establecer metas y estar pendientes de sucumplimiento a lo largo del ao escolar.

g) La relacin de las matemticas con otras asignaturas. No sepuede pasar por alto que los profesores de educacin primariatienen la responsabilidad de ayudar a sus alumnos a estudiartodas las asignaturas del plan de estudios y no slo Matemti-cas, aunque, ciertamente, sta es en muchos casos la queofrece mayor dificultad. La sugerencia general es tratar devincular, siempre que sea posible, los contenidos de diferentesasignaturas, y claramente los de Matemticas tienen muchospuntos en comn con los de Ciencias Naturales y Geografa,sobre todo en lo referente a la elaboracin e interpretacin degrficas, al uso de los nmeros y a la medicin. Algunas lec-ciones del libro de texto de Matemticas ya establecen estarelacin, por ejemplo, las lecciones 12, 23, 31, 37 y 62.

Para resolver este aspecto de manera adecuada es necesario quedurante la planificacin semanal se analicen las actividades pro-puestas para observar si hay aspectos comunes y vinculables. Ade-ms de ahorrar tiempo, lo ms importante es que los alumnos ten-gan una visin global de sus temas.

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Organizacin general de los contenidos de la educacin bsica.Primaria

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55leccin Cuntas veces ms grande es el rea?

De qu color son los tringulos semejantes al tringulo rojo?

Seala la respuesta correcta en cada uno de los ejercicios siguientes.

El factor de escala que permite pasar del tringulo rojo al tringulo morado es:

El factor de escala que permite pasar del tringulo rojo al tringulo amarillo es:

El factor de escala que permite pasar del tringulo verde al tringulo rojo es:

El factor de escala que permite pasar del tringulo azul al tringulo morado es:

Variacin del rea en polgonos semejantes

Con tu maestro y compaeros comenta la siguiente informacin.

Un polgono y su reproduccin a escala son semejantes,porque los ngulos correspondientes son iguales,

y las medidas de los lados se relacionan por un factor de escala.

1. Encuentra los tringulos que son semejantes al tringulo rojo. En cada uno deellos, anota la letra A en el ngulo que es igual al ngulo A del tringulo rojo. Haz lomismo con los ngulos B y C.

Para cada tringulo semejante al rojo, encuentra el factor de escala respecto altringulo rojo.

x 2 x x 3 no son semejantes12

x x 3 no son semejantes12x13

x 3 x 4 x 2 no son semejantes

A

BC

x 3 x 4 x 2 no son semejantes

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2. Considera los tringulos dibujados en la pgina anterior y completa el diagramasiguiente.

Cul es el factor de escala que permite pasar deltringulo rojo al tringulo azul?

Por cunto hay que multiplicar el rea del tringulorojo, para obtener el rea del tringulo azul?

3. Dos polgonos A y B son semejantes. El rea delpolgono A es 20 cm2. Adems, el factor de escala parapasar del polgono A al polgono B es 4. Cunto mide elrea del polgono B?

Tringulo Base Altura rea

Rojo 1 cm 1.5 cm 0.75 cm2

x 2 x 2 x 2


Azul 2 cm


Morado 6 cm 12 cm2

Los contenidos matemticos que se trabajan a lolargo del sexto grado de la educacin primaria es-tn organizados en seis ejes:

Los nmeros, sus relaciones y sus operaciones Medicin Geometra Procesos de cambio Tratamiento de la informacin La prediccin y el azar

En cada bloque de lecciones del libro de texto seestudian contenidos de los seis ejes temticos, conuna frecuencia que depende de la extensin de ca-da eje en el programa. Esto permite que todos losejes se estudien reiteradamente a lo largo del cur-so y que se puedan vincular unos contenidos conotros, tanto en lecciones diferentes como dentrode cada leccin, lo cual significa que, por ejemplo,aunque el contenido central de la leccin 55(Cuntas veces ms grande es el rea?) es lavariacin del rea en polgonos semejantes, al re-solverla los alumnos ponen en juego otros conoci-mientos relacionados con medicin, geometra yaritmtica.

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Los contenidos matemticos de sexto grado

Los alumnos que llegan al sexto grado ya han estudiado diferentesaspectos acerca de los nmeros naturales, fraccionarios y decima-les, de tal forma que se esperara que pudieran leerlos, escribirlos,compararlos e interpretarlos, adems de poder resolver problemasaditivos y multiplicativos mediante los procedimientos usuales pa-ra sumar, restar, multiplicar y dividir, con excepcin de la multipli-cacin y divisin en el caso de los nmeros fraccionarios y de la di-visin en el caso de los nmeros decimales. Por otra parte deberanconocer las caractersticas de tringulos, cuadrilteros, polgonos yprismas, as como diversas formas de calcular sus permetros y reas,mediante procedimientos convencionales que implican el uso de al-gunas frmulas, as como el uso de procedimientos informales paracalcular volmenes.

Tambin se espera que puedan utilizar el razonamiento propor-cional al resolver diversos problemas, entre los cuales destacan losde porcentajes, as como organizar e interpretar informacin me-diante el uso de diagramas y tablas.

En sexto grado se espera que los alumnos consoliden los procedi-mientos convencionales para problemas aditivos y multiplicativosincluyendo el algoritmo usual de la divisin con nmeros decimales.Que adquieran habilidad para resolver diversos problemas que impli-can el razonamiento proporcional, en particular los de porcentajes.Se pretende que consoliden la nocin de fraccin, al tener la posibi-lidad de resolver problemas que implican diferentes significados (co-ciente, razn, operador, parte-todo).

Con respecto a la geometra y a la medicin se profundiza en elconocimiento de las propiedades geomtricas de prismas y pirmides,en el clculo del rea total y del volumen de los prismas, as como en elpermetro del crculo. Tambin se incluye la representacin e interpre-tacin de informacin por medio de grficas y la resolucin de pro-blemas sencillos de conteo.

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Propsitos generales

De acuerdo con el enfoque actual para la enseanza y el aprendiza-je de las matemticas, se espera que las actividades propuestas en ellibro de texto Matemticas. Sexto grado y en el Fichero de activida-des didcticas correspondiente, representen para los alumnos retosinteresantes que les permitan:

Desarrollar habilidades para utilizar y entender el significadode los nmeros naturales, fracciones y nmeros decimales y susoperaciones.

Comprender y manejar las fracciones con diferentes significa-dos: medida, cociente y razn, y resolver problemas sencillosque impliquen las operaciones de adicin o sustraccin defracciones.

Resolver problemas que impliquen nmeros decimales en ope-raciones de suma, resta, multiplicacin (un nmero natural poruno decimal) y divisin (dos nmeros naturales entre s con co-ciente decimal y un nmero decimal entre uno natural).

Desarrollar habilidades en las que empleen diversas estrategiaspara estimar y hacer clculos mentales al resolver problemasque incluyan nmeros naturales, fraccionarios y decimales.

Desarrollar habilidades, destrezas y diferentes estrategias paramedir, calcular, comparar y estimar longitudes, reas, volme-nes, pesos, ngulos, tiempo y dinero, utilizando las unidadesconvencionales correspondientes.

Desarrollar habilidades para clasificar, comparar y relacionar fi-guras geomtricas, de acuerdo con la simetra, el paralelismo,la perpendicularidad y los ngulos, as como destrezas para laconstruccin de algunos cuerpos geomtricos, utilizando ins-trumentos como la escuadra, la regla, el transportador y elcomps.

Interpretar, construir y analizar tablas, as como construir gr-ficas relacionadas con problemas que impliquen variacin.

Desarrollar habilidades para recolectar, organizar, representar,interpretar y comunicar informacin de diversos fenmenos.

Interpretar algunos fenmenos relacionados con el azar; en-tender y utilizar adecuadamente los trminos que se relacionancon la prediccin de algn evento o fenmeno a partir de laelaboracin de tablas, grficas o diagramas de rbol.

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El libro de texto gratuito y elfichero de actividades didcticas

El libro de texto gratuito Matemticas. Sexto grado est formadopor 87 lecciones, de dos pginas cada una, distribuidas en cincobloques. Al principio de cada bloque se presenta un breve bosque-jo histrico sobre diferentes temas (los algoritmos, las fraccionesegipcias, la historia de , el problema de la divisin de la apuesta,un paseo por el infinito) que vale la pena leer y comentar con losalumnos, sin pretender que lo memoricen.

Debajo del ttulo de cada leccin se indica el contenido matem-tico central que los alumnos estudiarn al resolverla. Esta informa-cin est dirigida al maestro. Cada leccin puede contener una ohasta ocho actividades numeradas. En cada actividad se planteanpreguntas o diferentes problemas (sealados con una bala) relacio-nados con el primer problema planteado, con letras azules, en la ac-tividad 1.

En la mayora de las lecciones se presenta un nio de perfil jun-to con un texto, escrito con letras verdes, con el que se invita a losalumnos a discutir colectivamente las respuestas a las preguntasplanteadas, a confrontar los resultados y los procedimientos que uti-lizaron al resolver los problemas, y a comentar los textos escritoscon letras anaranjadas en donde se ofrece informacin para forma-lizar sus hallazgos.

Es importante que se promuevan en el grupo estas discusionesdentro de un ambiente de libertad, respeto y confianza, para que losalumnos aprendan a expresar sus ideas y a escuchar las de sus com-paeros, a buscar argumentos para defenderlas o para invalidaraquellas con las que no estn de acuerdo.

Este libro para el maestro vincula las actividades del Fichero. Ac-tividades didcticas. Matemticas. Sexto grado con las del libro detexto, atendiendo al contenido central que se trabaja en cada lec-cin. Dado que en algunos casos se recomiendan hasta tres fichas esimportante que el maestro las lea, para que, con base en su expe-riencia y en el conocimiento de sus alumnos, decida en qu momen-to (antes o despus de resolver la leccin) realizar todas o algunasde las actividades.

A veces, despus del nmero de la ficha que se sugiere aparecendos puntos y otros nmeros, por ejemplo: Ficha 32: 1, b y e. Estoquiere decir que en la actividad 1 de la ficha 32 hay varios proble-mas de los cuales se recomienda plantear el b y el e.

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Recomendaciones de evaluacin

La evaluacin es un aspecto inherente al proceso de estudio que, enla medida de su eficacia, permite mejorar la calidad de los tres fac-tores principales que intervienen en dicho proceso: los alumnos, lasactividades de estudio y el maestro.

Para que la evaluacin cumpla con la funcin de mejorar lo quese evala, es necesario concebirla como un proceso continuo en elque se recaba informacin mediante distintos medios y se utiliza pa-ra realizar las acciones pertinentes que ayuden a mejorar.

La evaluacin debe realizarse a partir del primer contacto del maes-tro con el grupo, observando lo que ocurre en el aula y registrandopuntualmente lo aprendido por los nios y lo que saben hacer, as co-mo las dificultades que deben superar. El proceso de evaluacin debedar al maestro la posibilidad de describir los rasgos ms importantesdel proceso de estudio y del aprendizaje que siguen los alumnos, entrminos de logros, metas y acciones para conseguirlo. Como puedeverse, la evaluacin adquiere un carcter mucho ms cualitativo y de-be ser compartida con los propios alumnos, con los padres de familiay con los dems maestros.

Observar sistemticamente y con atencin la participacion de losalumnos permite que el maestro conozca el grado de dominio que hanalcanzado en ciertos aspectos y las dificultades que enfrentan enotros. Tanto los errores como los aciertos sirven para entender cmopiensan los nios y, con esta base, puede elegirse la manera ms ade-cuada de ayudarlos. El maestro debe propiciar la reflexin sobre loserrores y aprovecharlos como fuente de aprendizaje, en vez de evitar-los o, peor an, considerarlos como una razn para imponer castigos.

La aplicacin de exmenes escritos individuales es una fuente mspara recabar informacin al cabo de ciertos periodos de estudio, perono puede ser la nica. Por un lado es necesario utilizar diferentes ti-pos de pruebas (opcin mltiple, preguntas de respuesta cerrada, pre-guntas de respuesta abierta, etctera) y, por otro, conviene contrastarla informacin que arrojan los resultados de las pruebas con la que seobtiene de los registros de observacin, de los cuadernos de trabajo ode otros instrumentos, tales como la lista de control o el anecdotario.Para mayor informacin sobre este aspecto se recomienda leer, de laBiblioteca para la Actualizacin del Maestro, el libro de Mara Anto-nia Casanova, La evaluacin educativa (SEP-CE-Muralla, 1998).

Una caracterstica importante de las pruebas es que respondanfielmente al propsito de averiguar si los nios han adquirido ciertosconocimientos o habilidades. Para efectos de la evaluacin continuadel proceso de estudio, el maestro de grupo es el nico que puede te-ner claro este propsito, dado que cada grupo de alumnos tiene ca-ractersticas particulares. Con base en lo anterior, es conveniente que

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cada maestro elabore las pruebas que aplicar y que trate de verifi-car si obtuvo la informacin que deseaba, pues en caso necesario de-be modificar las pruebas y aplicarlas nuevamente. Este material notiene por qu desecharse, pues puede constituir un apoyo importan-te para el proceso de evaluacin y puede utilizarse en otros cursos.

Independientemente de las ventajas que aporta la evaluacincontinua, el maestro tiene que asignar una calificacin en ciertosmomentos del ao escolar. Este aspecto normativo no debe interfe-rir en el proceso de evaluacin continua, al contrario, proporciona lainformacin necesaria para que la calificacin asignada se apegue loms posible al proceso formativo del alumno. As, la calificacin po-dr acompaarse con una breve descripcin de los aprendizajes lo-grados y los padres de familia sabrn no slo que sus hijos van muybien, regular o mal, sino cules son sus logros ms importantes y quaspectos necesitan reforzar para obtener un mejor desempeo.

A continuacin se presentan las competencias ms relevantes quedeben lograr los alumnos al concluir el sexto grado, tanto de cono-cimientos como de habilidades.

Conocimientos

Saber usar las cuatro operaciones bsicas con nmeros natura-les y, en casos sencillos, con nmeros decimales, as como lasuma y resta con fracciones comunes.

Saber usar el sistema de numeracin decimal para leer e inter-pretar cantidades enteras o decimales.

Conocer las caractersticas principales de tringulos, cuadril-teros, polgonos y prismas.

Saber usar las unidades del sistema mtrico decimal. Conocer el significado de los trminos ms comunes usados en

el tratamiento de la informacin y la probabilidad.

Habilidad de calcular

Realizar operaciones bsicas con una incgnita en el estadoinicial, final o intermedio.

Obtener mentalmente el resultado de las cuatro operaciones b-sicas con nmeros dgitos y, en casos muy sencillos, con nmerosdecimales, as como de sumas o restas con fracciones comunes.

Formular las operaciones necesarias para resolver un problema.

Habilidad de comunicar

Saber expresar oralmente sus ideas y describir la manera enque resolvieron los problemas.

Saber usar diagramas o tablas para organizar la informacincon que se resuelve un problema.

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Interpretar la informacin presentada en tablas o grficassencillas.

Saber expresar de diferentes maneras una cantidad, por ejem-plo, en porcentaje, fraccin o decimal.

Habilidad de generalizar

Identificar patrones de movimiento, de secuencias de figuras o desucesiones numricas con operadores aditivos o multiplicativos.

Calcular el trmino siguiente o uno no muy alejado en una su-cesin numrica.

Habilidad de imaginar

Identificar desarrollos planos que corresponden a prismas rectos. Identificar resultados de transformaciones sencillas mediante

rotaciones, traslaciones, doblado y recorte. Identificar la ubicacin espacial de varios objetos vistos desde

diferentes ngulos. Reproducir o identificar los trazos que corresponden a instruc-

ciones dadas.

Habilidad de inferir

Resolver problemas que implican la conversin de unidades demedida o el razonamiento proporcional.

Determinar patrones numricos con base en clculos aditivos. Resolver problemas aditivos o multiplicativos con diferente

ubicacin de la incgnita. Resolver problemas mediante el establecimiento y comparacin

de razones.

Habilidad de medir

Calcular permetros o reas de superficies regulares o irregula-res de lados rectos.

Calcular los volmenes o la capacidad de cuerpos con forma deprismas rectos.

Determinar la medida de un ngulo. Construir plantillas o figuras con medidas dadas.

Habilidad de estimar

Encontrar el resultado aproximado de operaciones, problemas ymedidas mediante el clculo mental o escrito.

Determinar la pertinencia del resultado de un problema, unaoperacin o una medida.

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L e c c i nL e c c i n

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1

Intenciones didcticas Sugerencias de organizacin

Sugerencias para las actividades

Juegos con nmeros

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Si la mayora del grupo manifiesta la actitudsealada en el inciso a), vale la pena detener laactividad y pedir que todos los alumnos tomen lasmismas tarjetas y formen el nmero que ms seacerque a 500000. Seguramente formarn distin-tos nmeros y habr uno ms cercano a 500 000.Escriba en el pizarrn todos los nmeros que for-men los equipos con las mismas tarjetas y, de ma-nera colectiva, pida que los ordenen de mayor amenor y determinen, con argumentos, qu nme-ro se aproxima ms a 500 000. Tal vez algunosalumnos utilicen la resta, la recta numrica o elclculo mental para saber qu nmero es. Despus,usted puede aclarar que con las mismas tarjetas sepueden formar distintos nmeros y que hay quebuscar el ms conveniente.

Pida que continen jugando. Pronto encon-trarn una estrategia que les permita ganar eneste juego. Lo importante es que en la confron-tacin los alumnos expliquen en qu consiste di-cha estrategia.

Aplicar los conocimientos construidos sobre el sis-tema de numeracin decimal al formar nmerosde hasta seis cifras, compararlos, ordenarlos y re-solver problemas. Propiciar que los alumnos lean yescriban nmeros de hasta 12 cifras aplicando lasreglas de base y posicin del sistema de numera-cin decimal.

Pida a los alumnos que de tarea recorten el mate-rial recortable 1 y 2 que aparece al final del libro.Organice al grupo en equipos de cuatro o cincoalumnos para realizar las actividades 1 y 3. Las ac-tividades 2, 4 y 5 conviene que las resuelvan demanera individual. Es recomendable hacer dosconfrontaciones, la que se seala en el libro y unams cuando la mayora de los alumnos termine deresolver la quinta actividad.

Al realizar esta actividad es importante que losalumnos comprendan las reglas del juego. Si notaque algn equipo no las ha comprendido, intgresey juegue con ellos. Una vez que todos los alumnossepan en qu consiste, d un tiempo razonable pa-ra que lo jueguen. Mientras tanto observe cmo lohacen y escuche con atencin lo que comentan. Es-to le permitir darse cuenta de si los alumnos ma-nejan el valor posicional del sistema de numeracindecimal y si tienen dificultades para leer, comparary ordenar los nmeros que formen.

Considere que a veces los alumnos tienen difi-cultades para ganar en el juego porque: a) acomo-dan las tarjetas en un solo intento y se conformancon el primer nmero que sale sin buscar otra ma-nera de acomodarlas para encontrar un nmeroque se aproxime ms al escrito en la tarjeta azul;b) descartan los nmeros mayores al escrito en latarjeta azul, con la idea de que los nmeros msprximos necesariamente deben ser menores alnmero escrito en la tarjeta.

Si advierte que algunos alumnos continan formando slo nmeros menores a 700 000,aunque puedan formar nmeros mayores ms prximos al deseado, aproveche la con-frontacin para que sus compaeros o usted les hagan notar que el nmero ms prxi-mo puede ser menor o mayor al dado. Por ejemplo: cunto le falta a 697 532 para llegara 700 000? Por cunto se pasa el 701 348 del 700 000?

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Ficha 1: 1 y 2Fichero de actividadesdidcticas Matemticas 6

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D un tiempo para que los equipos realicen el juego propuesto. Observe cmo forman losnmeros y en qu se fijan para determinar cul es el mayor. Es muy probable que, alexpresarlo oralmente, los alumnos formen nmeros que al escribirse con smbolos num-ricos tengan ms de seis cifras. Por ejemplo, con las tarjetas:

pueden formarse nmeros de hasta de 12 cifras como: ochocientos mil tres millones.Otro ejemplo: si a un alumno le salen las tarjetas tres, cuatro, nueve y ocho, el n-

mero mayor que puede formar es nueve. Es importante que los alumnos observen queesto se debe a que no se dispone de una tarjeta que indique un orden mayor al de lasunidades.

Es probable que los alumnos respondan de diferente manera las dos ltimas pre-guntas de esta actividad. Pida a quienes dieron respuestas diferentes que escriban enel pizarrn los nmeros que compararon y que expliquen cmo lo hicieron o en qu sefijaron para saber quin gan. Propicie que el resto del grupo verifique si el nmeroelegido es o no el mayor. Despus puede solicitar que cada equipo ordene de mayor amenor los nmeros que quedaron escritos en el pizarrn y confronte los resultados.

Vale la pena favorecer que los alumnos busquen argumentos que les permitan justi-ficar por qu piensan que el nmero que formaron con las tarjetas es mayor o me-nor que otro, ya que con ello se propicia la reflexin sobre el valor posicional de lascifras. Invtelos a usar los smbolos numricos para escribirlos y propicie que losalumnos discutan si estn bien o mal escritos. Si es necesario dibuje en el pizarrnuna tabla como la siguiente y explqueles cmo usarla para que logren escribir co-rrectamente nmeros de hasta 12 cifras. Por ejemplo, el nmero ochocientos mil mi-llones cuatrocientos tres se escribe:

3

4

Pida a los alumnos que guarden en un sobre el material recortable y en otras sesio-nes organice los mismos juegos para desarrollar su habilidad en la lectura y escritura denmeros de hasta 12 cifras. Tambin puede pedirles que jueguen en su casa con sus her-manos o sus paps usando la tabla anterior para verificar sus resultados.

Segundo periodo Primer periodo

Orden de los Orden de los Orden de los Orden de lasmillares de milln millones millares unidades

C D U C D U C D U C D U

8 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 3

millones mil ochocientos tres

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2Intenciones didcticas Sugerencias de organizacin


Resolver problemas que implican identificar y cal-cular el permetro de polgonos y figuras curvilneas.Establecer relaciones entre el radio, el dimetro y lacircunferencia.

Las lneas curvas cerradas

Observe cmo contestan la primera pregunta para apreciar si los alumnos saben o nocul es el permetro de las figuras que se presentan; si usan o no correctamente la re-gla al medir, y qu operaciones utilizan para calcular los permetros de los polgonos.Se espera que los alumnos no confundan el permetro con el rea y que sepan medir.

Si la mayora de los alumnos confunde el rea con el permetro o no saben medir,detenga la actividad y organice una discusin colectiva para que entre todos definan,con sus propias palabras, cul es el permetro de las figuras y para corregir la maneraen que deben usarse los instrumentos de medicin. Si slo unos cuantos alumnos ma-nifiestan estas dificultades, espere la confrontacin colectiva de resultados para quesus compaeros los corrijan.

Pida con anticipacin a cada alumno que lleve unpedazo de cartoncillo, comps, regla y tijeras, y us-ted provase de algunos pedazos de cordn (noelstico).

Conviene que los alumnos resuelvan individual-mente la primera actividad y en parejas las activi-dades 2 y 3. Adems de los momentos sealadosen el libro (con letras verdes) para comentar y con-frontar las respuestas de los alumnos, vale la penaconceder otro cuando la mayora termine de resol-ver la actividad 1.

Es probable que en el ltimo punto de esta ac-tividad algunos alumnos planteen que el perme-tro de las figuras limitadas por lneas curvas pue-de medirse con un objeto flexible (cordn), y queotros propongan que para calcularlo es necesarioencerrar esas figuras en un polgono. Por ejemplo:

1

Vale la pena pedir a los alumnos que usen los procedimientos que propusieron paracalcular el permetro de dichas figuras y que comparen sus resultados. Propicie una dis-cusin en la que consideren cul procedimiento permite acercarse ms al permetro deeste tipo de figuras.

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Fichero de actividadesdidcticas Matemticas 6

Es importante tomar en cuenta que al medir suele haber errores provocados por lascaractersticas propias del objeto que se mide, por la inexactitud de los instrumentosde medicin o por el punto de vista de quien mide.

Si entre los permetros calculados por los alumnos existen grandes diferencias, fa-vorezca la bsqueda de errores y pida al grupo que ayude a sus compaeros a corre-girlos. En algunos casos quiz no midieron correctamente y en otros tal vez se equivo-caron al operar.

Seguramente la mayora encontrar que la superficie en la que puede pastar el caba-llo es un crculo. Si algunos alumnos encuentran superficies con formas diferentes, nolos corrija, aproveche la confrontacin para que sus compaeros lo hagan. Despusplantee preguntas como: cunto mide la recta que va del centro del crculo a cualquierotro punto de la circunferencia? Si se traza una recta limitada por dos puntos de la cir-cunferencia, cunto medir la recta ms grande que se puede trazar? Por qu?

Despus pregunte al grupo si saben cmo se llama la lnea curva que limita al crcu-lo, la recta que va del centro del crculo a uno de los puntos de la circunferencia y laque pasa por el centro del crculo y une dos puntos de la circunferencia. Despus leajunto con los alumnos el texto escrito con color naranja para confirmar lo que ellos yasaben y formalizar esos conocimientos.

2

3

Ficha 32: 1a, b, c, d

Mientras los alumnos trazan los crculos sealados en la tabla, observe cmo lo hacen.Es probable que confundan el radio y el dimetro. Por ejemplo, para trazar el crculorojo, tal vez algunos alumnos abran su comps a 2 cm y otros lo abran a 1 cm, con loque obtendrn como resultado dos crculos rojos de diferente tamao. Si esto sucede,suspenda la actividad para aclarar, de manera colectiva, esta confusin.

Si es necesario, aydelos a darse cuenta de que para trazar un crculo con un di-metro determinado, la apertura del comps debe medir la mitad de esa medida, es de-cir, la medida del radio.

Al resolver la segunda parte de esta actividad, los alumnos podrn observar que lacircunferencia de cualquier crculo mide un poco ms del triple de la medida del di-metro. Descubrir esta relacin les permitir ms adelante comprender el valor delnmero .

Es importante destacar que el procedimiento de rodar un crculo sobre la recta nu-mrica permite hacer un clculo aproximado de la medida del permetro del crculo,es decir, de la medida de la circunferencia. Las diferencias entre los resultados (si noson muy grandes) pueden deberse a la manera en que recortaron el crculo (sobre lalnea curva, por fuera o por dentro de la lnea) o a la inexactitud de cada rodada so-bre la recta.

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El nmero , un nmero especial

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Comprender la relacin entre una circunferencia,su dimetro y el valor de . Observar que confor-me ms lados tenga un polgono regular inscritoen un crculo, su permetro se aproxima ms a lamedida de la circunferencia que lo contiene.

Con esta leccin contina el trabajo iniciado en laleccin 2 sobre el permetro del crculo. Antes deresolverla, pida a los alumnos que numeren loscrculos que construyeron como se indica en la ta-bla e invtelos a verificar si las medidas son co-rrectas. Si el mobiliario no permite a los alumnosextender la tira en donde trazaron la recta num-rica, sugiera que la peguen en el piso para resolveresta actividad. Observe cmo trabajan, pues estole permitir darse cuenta de si los alumnos mane-jan de manera adecuada los conceptos radio, di-metro, circunferencia y crculo y si comprenden laexpresin longitud de la circunferencia.

Si algunos alumnos confunden el manejo de es-tos conceptos, asegrese de aclararlos en la con-frontacin, que verifiquen que la medida del radioes la mitad de la medida del dimetro y seale quecon la longitud de la circunferencia tambin sealude al permetro del crculo.

Para contestar la primera pregunta es probableque algunos alumnos decidan rodar sobre la rec-ta algunos de los crculos que construyeron y queexpresen sus conclusiones de la siguiente mane-ra: el dimetro cabe 3 veces; 3 veces y un cachito,entre 3 y 4 veces o un poco ms de 3 veces. Otros,

quiz apoyndose en los resultados que obtuvie-ron en la leccin 2, respondern rpidamente deuna manera similar. Si sucede esto, vale la penapreguntar al grupo de qu manera pueden sabercon ms exactitud cuntas veces cabe el dime-tro de cualquier crculo en su circunferencia. Esprobable que entre los alumnos surja la idea dedividir la medida de la longitud de la circunferen-cia entre la medida del dimetro. Si esto ltimono sucede, pida que continen resolviendo la ac-tividad en parejas.

Para completar la tercera columna de la tablaprobablemente algunos alumnos usen un cordnpara obtener una longitud tan larga como la cir-cunferencia de cada crculo y despus midan esalongitud del cordn en su recta numrica o conuna regla convencional. Otros tal vez rueden di-rectamente los crculos sobre la recta numrica.Con ambos procedimientos es posible que, al me-dir la circunferencia del crculo 1, por ejemplo, losresultados oscilen entre 25 y 26 cm (25.3, 25.4,25.5, 25.6 cm, etctera) pero si obtienen medidasmenores que 25, o mayores que 26 cm, es necesa-rio pedir que rectifiquen la medida del dimetrodel crculo o la medida de la circunferencia, o bien

Antes de resolver la leccin, pida a los alumnosque lleven calculadora, regla, comps y tijeras.Pida tambin que tracen, en una tira de cartonci-llo de 5 cm de ancho, una recta numrica gradua-da en centmetros del 0 al 50 o al 60, y que traceny recorten los crculos con las medidas indicadasen la tabla.

Es conveniente pedir que resuelvan en parejasla actividad 1 y, de manera individual, las activida-des 3 y 4. Cuando terminen de resolver cada acti-vidad, organice una confrontacin de resultados.

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ambas, porque la diferencia entre la medida real yla calculada es muy grande.

En la confrontacin pida a los alumnos quetraten de explicar, con sus propias palabras, porqu existen diferencias entre las mediciones re-gistradas de un mismo crculo en la tercera co-lumna de la tabla.

Despus, invite a los alumnos a buscar regula-ridades en los resultados registrados en la terceracolumna. Probablemente observen que en todoslos casos el resultado es menor que 3.2 pero ma-

yor que 3.1, por ejemplo: 3.175, 3.144, 3.16, 3.154,3.158, etctera. Es importante pedir a los alumnosque traten de explicar el significado de los nme-ros implicados en las divisiones que realizaron conla calculadora. Por ejemplo, si efectuaron la divisin25.4 cm 8 cm = 3.175 cm, pregunte por el signi-ficado de cada una de las tres cantidades. Se tratade que identifiquen 25.4 cm como la medida de lacircunferencia, 8 cm como la medida del dimetroy 3.175 como las veces que cabe el dimetro en lacircunferencia, es decir, como el nmero .

2

3

Lea junto con los alumnos el texto escrito en color naranja. Pidaque comparen las semejanzas y las diferencias entre los resulta-dos que obtuvieron al dividir la longitud de la circunferencia en-tre la medida del dimetro de cada crculo y el resultado que ob-tuvieron los griegos.

Pida a los alumnos que resuelvan esta actividad con la calculadora. Despus invtelosa comparar las medidas de las circunferencias que obtuvieron al rodar los crculos so-bre la recta y al calcularla con el mtodo de los griegos ( dimetro) y a que tratende explicar las diferencias que observen. Probablemente se den cuenta de que, en ge-neral, los resultados coinciden en la medida entera y en el primer decimal (3.1) y queen los decimales subsiguientes hay diferencias. Ponga nfasis en que con ambos pro-cedimientos se obtienen las medidas aproximadas de las circunferencias pero que, conel mtodo de los griegos, el resultado se acerca ms a la medida real.

Mientras los alumnos resuelven esta actividad ob-serve cmo lo hacen y dibuje la tabla correspon-diente en el pizarrn. Para confrontar los resultadospida a algn alumno que anote en la tabla los re-sultados que obtuvo y pregunte si todos obtuvieronlo mismo. Nuevamente resalte que es natural queexistan ligeras variaciones en los resultados, pero silas diferencias son muy grandes, pdales que recti-fiquen las medidas de los polgonos y las operacio-nes. Es importante socializar y comentar las res-puestas que dieron en el ltimo punto. Finalmente

Fichas 8 y 32: 1b y e

pregunte: si trazamos dentro del crculo amarillo unpolgono de 24 lados, su permetro ser mayor omenor al del crculo? Por qu?

Si el tiempo lo permite lea junto con los alum-nos el esbozo histrico del nmero (pp. 82 y 83del libro de texto), donde se explica que averiguarcuntas veces cabe el dimetro de un crculo en lalongitud de la circunferencia (3.1416) fue un pro-blema que slo se resolvi despus de transcurri-dos muchos siglos.

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Dibujos grandes y chicos

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Identificar las propiedades de polgonos hechos aescala.

Es probable que algunos alumnos tengan dificultades para decidir si las afirmacionesson ciertas o falsas, dado que estn en proceso de construir la nocin de proporciona-lidad y de escala. Tambin puede ser que otros alumnos (los que han trabajado, desdecuarto grado, con las actividades de proporcionalidad planteadas en los ficheros y enlos libros de texto) recuerden que una figura es proporcional a otra cuando las medi-das aumentan o disminuyen proporcionalmente; es decir, si la medida de uno de los la-dos de la figura original aument, por ejemplo, al doble o se redujo a la mitad, todoslos lados de esa figura deben aumentar al doble o reducirse a la mitad.

Si los alumnos contestan equivocadamente no los corrija. En la confrontacin de lasiguiente actividad, anmelos a que comparen sus respuestas y busquen argumentosque les permitan reconsiderarlas y, si es necesario, corregirlas.

pretacin errnea porque una vez 3 es 3; dos veces3 son 6; 3 veces 3 son 9 y 4 veces 3 son 12. Es de-cir, cuatro veces ms grande significa que la medi-da original se cuadruplica.

Lo mismo sucede con las consignas que indicanreducir. Por ejemplo: los lados del trapecio debenser dos veces ms chicos significa que las medidasdel trapecio deben reducirse a la mitad porque 8.4 1 = 8.4; 8.4 2 = 4.2, y 4.2 cm es la mitadde 8.4 cm. Cercirese de que todos los alumnos in-terpreten adecuadamente las consignas.

En cuanto al trazado de las figuras, se espera quelos alumnos de este grado hayan desarrollado lashabilidades necesarias para usar adecuadamentelos instrumentos de geometra. Sin embargo, es

Con anticipacin pida a cada alumno escuadras,comps, transportador, cartoncillo, tijeras y coloresrojo y azul. Se sugiere que los alumnos resuelvanindividualmente la actividad 1, la 2 en parejas y la3 en equipos de cuatro integrantes. Como se indi-ca en el libro, organice una confrontacin de resul-tados al trmino de la actividad 2 y de la ltima.

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Considerando que en toda actividad de medicinsuele haber diferencias en los resultados por lainexactitud en la graduacin de los instrumentos opor pequeos errores de quien mide, se sugiere in-vitar a los alumnos a comparar las medidas queobtuvieron y, si hay diferencias, a que se pongande acuerdo para unificarlas antes de que tracen yrecorten las figuras.

Es importante considerar que las indicacionespara trazar los polgonos pueden ser mal interpreta-das. Por ejemplo, con la consigna: los lados del cua-drado deben ser cuatro veces ms grandes, es comnpensar que si cada lado del cuadrado original mide3 cm, en la ampliacin debern medir 15 cm por-que: 3 cm + 4 veces 3 = 15 cm. sta es una inter-

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Ficha 14Fichero de actividadesdidcticas Matemticas 6

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Es importante sealar que esta actividad permi-te a los alumnos comprobar, por s mismos, si las fi-guras que trazaron estn a escala de la original yaque, si estn bien, la forma y el tamao de varias fi-guras iguales coincidirn al superponerlas. Si unaes ms grande o ms chica que otra, vale la penabuscar el error para saber quin se equivoc.

Sin embargo, esta forma emprica de validarlos resultados refuerza una idea intuitiva que losalumnos suelen tener acerca de la construccin defiguras a escala: dos figuras estn a escala si tie-nen la misma forma. Si bien esto es cierto, debe-mos propiciar que los alumnos se den cuenta delas condiciones que hacen posible agrandar o re-ducir una imagen sin que se deforme, con el fin deque amplen la nocin de escala y descubran surelacin con la proporcionalidad.

Para lograrlo confronte las respuestas a las pre-guntas de la primera actividad. Invtelos a buscarargumentos que invaliden las aseveraciones queconsideren incorrectas. Si es necesario, sugiralesque utilicen las figuras que trazaron para apoyarsus argumentos. Finalmente destaque que las figu-ras hechas a escala deben cumplir con dos condi-ciones: las medidas de los lados correspondientesdeben aumentar o disminuir proporcionalmente y,en ambas, los ngulos deben ser iguales.

probable que algunos tengan dificultades. Si es as,recurdeles que pueden trazar lneas paralelas operpendiculares con las escuadras y verificar la me-dida de algunos ngulos. Si no recuerdan o no sa-ben cmo hacerlo, enseles.

Si la mayora del grupo no sabe cmo usar elcomps para trazar el tringulo equiltero, pida aalgn alumno que sabe cmo hacerlo que les ense-e a sus compaeros o, en ltimo caso, enselesusted mismo. En la leccin 38 del libro de quintogrado se trabaj este aspecto.

Para trazar el trapecio issceles y el romboidelos alumnos pueden seguir varios procedimientos.Uno de ellos aparece en la leccin 40 del libro dequinto; quienes han comprendido que la medidade los ngulos de una figura hecha a escala deotra no cambia podrn generar otros procedimien-tos. Por ejemplo, pueden trazar una de las bases ala medida solicitada, calcar los ngulos o medirloscon el transportador y trazar los lados inclinados conla longitud requerida.

Mientras hacen sus trazos, recorra los equipos.Pdales que identifiquen en el libro las figuras quetienen lados paralelos, perpendiculares, ngulosrectos, etctera. Invtelos a verificar, con sus es-cuadras, si las figuras que trazaron cumplen conesas propiedades.

Permita que sean los alumnos quienes determinen si las figuras trazadas por Marcelay Armando cumplen o no con las condiciones de escala sealadas. Pueden tomar me-didas y observar que, si bien el cuadrado es proporcional al original (porque sus medi-das aumentaron al doble y sus ngulos son rectos), est mal porque no cumple con laescala indicada. Observarn tambin que el trapecio no cumple con ninguna de las doscondiciones.

En la ltima parte de esta actividad es importante que los alumnos verifiquen si loscuadrilteros estn o no a escala del cuadrado rojo y del rectngulo azul. A simplevista pueden ver que en ambos casos cumplen con una de las dos condiciones (la me-dida de los ngulos), pero es ms difcil que adviertan que los lados aumentaron pro-porcionalmente. Si les cuesta trabajo descubrirlo puede pedir que dividan la medidade cada lado entre la de su correspondiente. Si en cada caso el cociente siempre es elmismo, las figuras estn a escala de las originales. As sabrn que todos los cuadra-dos son proporcionales al original.

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El dibujo de los terrenos

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Establecer las dimensiones reales de un dibujo apartir de la escala utilizada. Identificar la relacin(razn) entre las medidas de un dibujo hecho a es-cala y las medidas reales. Calcular reas.

Mientras los alumnos resuelvenesta actividad observe cmo mi-den y calculan las reas solicita-das. Es probable que obtengan di-ferentes resultados. Por ejemplo:

Si sucede esto, es necesario que los alumnos observen la importancia de medir las lon-gitudes con la mayor exactitud posible, ya que los "errores" en la medicin delongitudes, que pueden considerarse como poco importantes, aumentan considerable-mente cuando esas medidas se utilizan para calcular reas. Por ejemplo, las medidasdel dibujo del terreno y de lo que le corresponde a la carpintera, que se muestran enlas tablas de arriba, tienen en cada caso una diferencia de un milmetro, que se con-vierte en ms de 2 m2 en el caso del terreno y ms de 1 m2 en el caso de la car-pintera, porque segn la escala con la que se hizo el dibujo cada cm y cada cm2 equi-vale a 1 m o a 1 m2 de las medidas reales. Invite a los alumnos a reflexionar sobre culde las dos mediciones se aproxima ms a la medida real del terreno y por qu es tilhacer dibujos a escala. Pregunte, por ejemplo: qu pasara si quisiramos dibujar enpapel el terreno de don Esteban con las dimensiones reales?

Pida con anticipacin a los alumnos que llevencalculadora, escuadras, colores y medio pliego decartoncillo. Las actividades 1 y 2 conviene que lasresuelvan de manera individual y la actividad 3 enparejas. Confronte los resultados y procedimientoscuando la mayora de los alumnos termine de re-solver cada actividad.

Medidas del terreno

Largo Ancho Largo Ancho

15.9 cm 11.9 cm 16 cm 12 cm

A = 189.21 cm2 A = 192 cm2

Diferencia = 2.79 cm2

Carpintera Cocina Patio

Largo Ancho Largo Ancho Largo Ancho Largo Ancho Largo Ancho Largo Ancho

9.9 2 10 29.9 5.9 cm 10 cm 6 cm 4.9 cm 2 cm 5 cm 2 cm +0 +0

7.9 2 8 2

A = 58.41 cm2 A = 60 cm2 A = 9.8 cm2 A = 10 cm2 A = 35.6 cm2 A = 36 cm2

Diferencia = 1.59 cm2 Diferencia = 0.2 cm2 Diferencia = 0.4 cm2

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Ficha 37: 3Fichero de actividadesdidcticas Matemticas 6

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Antes de que los alumnos verifiquen las medidasdel dibujo realizado por Armando, pida que lo ob-serven y, sin medir, anticipen en dnde se equivo-c. Pregunte por qu piensan que las medidas deesos segmentos estn equivocadas. Se espera quelos alumnos puedan dar argumentos que justifi-quen sus respuestas. Por ejemplo: "Armando nohizo el dibujo a escala porque no respet la con-dicin de reducir todas las medidas a la mitad" o"Slo el largo de la carpintera y del patio se re-dujeron a la mitad, pero el ancho de la carpinte-ra y del patio, as como el largo y el ancho de lasala comedor, de la cocina y del bao, no se redu-jeron a la mitad". Despus pida que verifiquen suestimacin resolviendo la actividad sealada en laprimera bala de esta actividad.

Observe lo que hacen y, si es necesario, enfati-ce que las medidas registradas en la tabla debenpermitir que el dibujo realmente est a la escaladeterminada por Armando. Cuando termine la ma-yora de los alumnos, promueva un dilogo colec-

tivo con la intencin de que ellos mismos definan,con sus propias palabras, las condiciones que per-miten la reproduccin a escala de un dibujo.

Se espera que se den cuenta de que, para queun dibujo est a escala de otro, es necesario mul-tiplicar (si se desea agrandar) o dividir (si se deseareducir) por un mismo nmero todas las medidasdel dibujo original. En este caso las medidas deldibujo original (p. 18) entre 2.

Pida que verifiquen si todas las medidas sonproporcionales mediante el clculo de la constan-te de proporcionalidad, es decir, dividiendo la me-dida del dibujo a escala de la pgina 19 entre lamedida del dibujo original (p. 18). Si en todos loscasos el cociente es 0.5 (constante de proporcio-nalidad), la proporcin es correcta, pero si no esas, pida que verifiquen las medidas o las opera-ciones que realizaron para calcular cunto debamedir ese segmento en el dibujo reducido con laescala determinada por Armando.

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3

Lea con sus alumnos la consigna y, para constatar si todos entendieron lo que van ahacer, pregunte: si las medidas del dibujo van a ser dos veces ms grandes que el origi-nal, de qu tamao piensan que quede el dibujo? Pida a los alumnos que argumentenpara justificar sus respuestas. Si es necesario, aydeles a entender que dos veces msgrande que significa que el dibujo original aumentar al doble. Despus pdales querealicen esta actividad y que averigen cul es la constante de proporcionalidad.

Cierre la sesin pidiendo a los alumnos que expliquen lo que aprendieron con lasactividades realizadas en esta clase. Si es necesario, aydeles diciendo que aprendie-ron a hacer dibujos a escala, ampliando o reduciendo su tamao.

Pregunte por ejemplo: qu condiciones se deben cumplir para reproducir una figu-ra a escala? (las medidas de los lados correspondientes deben aumentar o disminuirproporcionalmente y, en ambas, los ngulos deben ser iguales). Si queremos agrandaruna figura, sin que se deforme y pierda sus propiedades geomtricas originales (parale-lismo, perpendicularidad, medida de los ngulos), qu debemos hacer? Si el primer di-bujo del terreno de don Esteban se hizo a escala 1 cm : 1 m (escrbalo en el pizarrn),qu escala se utiliz para trazar el dibujo de la actividad 3, con respecto al dibujo de laactividad 1? (2 cm : 1 cm). Y en el dibujo de la actividad 2, qu escala se utiliz, conrespecto al dibujo de la actividad 1? (1 cm : 0.5 cm o 1 cm : cm).12

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1



Matemticas en la msica

28

Comparar dos o ms fracciones cuyos denomina-dores son potencias de 2. Identificar fraccionesequivalentes. Resolver operaciones de suma y res-ta de fracciones.

Esta actividad es relativamente sencilla, pues una vez identificado el valor de la uni-dad (la nota redonda), se puede deducir el valor de las dems notas. Las preguntas quese plantean enseguida tienen la finalidad de que los alumnos reafirmen esos valores yestablezcan relaciones entre ellos. Aunque es probable que identifiquen rpidamentelas equivalencias de estas notas por tratarse de fracciones que ya dominan, puede ha-ber un paso intermedio antes de establecer el valor numrico de cada nota. Por ejem-plo, si interpretan literalmente que una blanca es igual a media redonda, que una ne-gra es igual a media blanca y que una corchea es igual a media negra, podran expre-sar lo anterior de la siguiente manera.

Si sucede esto, invtelos, mediante preguntas, a escribir el valor de cada nota usan-do una sola fraccin. Por ejemplo: cunto es de ?

Pida que resuelvan la actividad 1 de manera indi-vidual y las actividades 2 y 3 en equipos de cuatronios. Realice dos confrontaciones de resultados,una cuando la mayora de los equipos termine deresolver la actividad 2 y otra al trmino de la actividad 3.

En este caso se plantea que la duracin del comps es ; esto impone la condicinde que la suma de los valores de las notas que formen el comps sea equivalente a .As, en el primer problema, los alumnos se dan cuenta de las distintas formas en quepuede expresarse un medio sin recurrir al algoritmo de la suma de fracciones con dis-tinto denominador.

En la segunda bala, los alumnos deben identificar los compases cuya suma es dife-rente a . Esto implica varios clculos: por ejemplo, sumar el valor de todas las notasde cada comps apoyndose en la equivalencia. Aunque algunas de las sumas tienendistinto denominador, esto no representar demasiada dificultad ya que son fraccionesmuy familiares para los alumnos de sexto grado. No exija el uso del algoritmo. Permi-ta que los alumnos pongan en juego sus propios recursos.

12

12

212

12

34

12= de 1, = de y = de de .

12

12

12

12

12

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29

Por ejemplo, en la suma del primer comps ( + ), los alumnos pueden transfor-mar el medio en cuartos para trabajar con un mismo denominador: + = . Enel tercer comps tienen que averiguar si es equivalente a . Una forma de saberloes transformando en octavos, as sabrn que a este comps le falta un octavo. Lasuma del cuarto comps es + + + . En este caso, los alumnos pueden sumarpor separado los cuartos y los octavos, reduciendo la suma a + . Como = ,la suma es . Finalmente, en el quinto comps los denominadores son diferentes:

+ + . La nica posibilidad de saber si la suma de estas fracciones es igual a ,es transformar los medios y cuartos en octavos.

En esta actividad el tamao del comps que se propone es de . Esta condicin per-mite encontrar varias respuestas correctas. En el primer comps se da la unidad ( ),que equivale a cuatro cuartos. Los alumnos debern colocar una nota cuyo valor com-plete el comps a . Para ello pueden dibujar una nota negra ( ) o dos corcheas ( + = = ). En el segundo comps debern sumar el valor de las notas dadase intentar diversas combinaciones con cuartos u octavos para completar los .

Observe cmo completan el comps vaco: pueden repetir las notas que forman unode los compases anteriores, cambiarlas de orden, empezar con las notas de mayor valory complementar con las de menor valor o escribir notas al azar y despus ajustarlas.

Al resolver la primera bala, los alumnos podrn comprobar, numricamente, si las no-tas que dibujaron en cada uno de los compases anteriores suman . Para confrontarlos resultados, se recomienda dibujar una tabla en el pizarrn, como la que aparece en-seguida, donde se registran todas las formas diferentes que encontraron los alumnospara expresar . Promueva la revisin colectiva de estas diferentes formas de expresarun mismo nmero para que los alumnos verifiquen su equivalencia.

12

14

24

14

343

458

34

14

14

18

18

24

28

28

14

341

214

18

34

3

Fraccin Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 Equipo 5

=54

El ltimo problema, a diferencia de los anteriores, es totalmente abierto. Se tratade buscar las notas que formen compases de . Ayude a los alumnos a revisar algu-nos resultados colectivamente con el fin de advertir en qu medida lograron resolvereste problema.

54

54

14

18

18

28

14

54

54

54

98

Fichas 20 y 39: 1

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7

1



En qu lugar est el submarino?

30

Otorgue un tiempo razonable para que los alumnos localicen y marquen los puntos D,E y F. Cuando terminen, pida a un representante de uno de los equipos que pase consu libro y marque los puntos en el plano del pizarrn. Los dems revisan si estn deacuerdo con su compaero. Si hay diferencias, analizan quin tiene razn.

Al realizar esta actividad, probablemente algunos alumnos diganprimero las coordenadas Norte o Sur y despus Oriente o Poniente.Aclare que por convencin primero debe indicarse el Oriente o Po-niente y despus el Norte o Sur. Mencione tambin que se acostum-bra identificar los puntos en el plano con letras maysculas (A, B,C...). Si lo considera conveniente comente que a cada una de las cua-tro partes en que se divide el plano, a partir de las lneas roja y azul(ejes coordenados), se les llama cuadrantes y que se numeran en elsiguiente orden:

Interpretar y comunicar con un lenguaje prximoal convencional la ubicacin de puntos en el pla-no cartesiano.

D algunos minutos para que los alumnos identifiquen los puntos en el plano. Al ha-cerlo recordarn cmo han ubicado puntos en el plano en grados anteriores. Cuandoterminen confronte los resultados y resalte el orden en que se deben mencionar lascoordenadas (primero la de la derecha o izquierda y despus la de arriba o abajo). Esimportante tomar en cuenta que se recurre al uso de los puntos cardinales (Norte, Sur,Oriente y Poniente) para que los alumnos trabajen sobre los cuatro cuadrantes del pla-no sin utilizar los nmeros negativos, ya que stos se estudian en la secundaria.

Antes de iniciar la resolucin de esta leccin traceun plano cartesiano en el pizarrn con la finalidadde agilizar la confrontacin de los resultados de laactividad 1 y de la primera parte de la actividad 2.La actividad 1 puede trabajarse de manera individualy la actividad 2 como se indica en el libro. La segun-da parte de la actividad 2 no necesita confrontacinde resultados. La propia dinmica de la actividadpermite que los alumnos verifiquen si los pares denmeros que dieron fueron o no los correctos.

2

CuadranteII

CuadranteI

CuadranteIII

CuadranteIV

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Ficha 3: 1b, c y dFichero de actividadesdidcticas Matemticas 6

31

Identificar los cuadrantes ser de utilidad paralos alumnos cuando realicen el juego sobre el cualhablaremos a continuacin.

Para organizar el juego propuesto en la segun-da parte de la actividad 2, numere las parejas y p-dales que marquen en el plano cartesiano un pun-to para representar su submarino.

Despus, una pareja pasa al frente con su libroy las dems le hacen slo 10 preguntas para ave-riguar el lugar exacto en donde se ubica el sub-marino que dibujaron sus compaeros. Aclare quelas preguntas slo pueden responderse con un s oun no y que no es vlido hacer preguntas en lasque sea necesario decir algo ms que un s o unno. Para agilizar el juego anote en el pizarrn laspreguntas y las respuestas.

22

1. En la pgina siguiente est el dibujo de un plano. En el cruce de laslneas roja y azul est el centro del plano.

Pedro coloc su submarino en el punto: 4 poniente, 7 norte.Susana coloc su submarino en el punto: 5 poniente, 8 sur.Cecilia coloc su submarino en el punto: 4 oriente, 4 sur.

Cul es el submarino de Pedro? Cul el de Susana? y cul el de Cecilia?

2. Organzate con tu grupo en varios equipos de seis nios y depus realiza con ellosel siguiente juego, que se divide en dos partes.

Ejes de coordenadas cartesianas

En qu lugar est el submarino?7leccin

Primera parteCada equipo marca en un plano lossiguientes puntos.

D: 2 oriente; 3 norte

E: 2 poniente; 1 sur

F: 5 oriente; 6 norte

Por cada acierto el equipo gana unpunto. En el pizarrn se hace un regis-tro por equipos y puntos.

Segunda parteUn equipo marca con lpiz el punto donde se encuentra susubmarino, sin que los otros equipos lo vean. Los submarinosslo se pueden colocar en el cruce de dos lneas.

Para averiguar donde est el submarino, los otros equiposhacen cada uno, por turnos, una pregunta que se puedacontestar con un s o un no.

El equipo dueo del submarino anota en el pizarrn laspreguntas y las respuestas.

Al terminar la ronda de preguntas, los equipos dicen dndeest colocado el submarino, mencionando correctamente cun-tas unidades son en la direccin oriente o poniente y cuntasen la direccin norte o sur. Los que acierten ganan un punto ylos que no lo encuentren pierden un punto.

Toca el turno a otro equipo. Al terminar la clase, se determinaqu equipo o equipos obtuvieron ms puntos.

Al realizar este juego, es probable que la principal dificultad que enfrenten losalumnos sea plantear preguntas. Es probable que agoten las 10 oportunidades paraaveriguar en dnde est el submarino de sus compaeros haciendo preguntas como:est al oriente? Est al sur? Est en el 6 poniente? En el 5 sur? Cuando terminen,organice el anlisis de las preguntas y las respuestas para que los alumnos adviertanque deben elaborar preguntas que les permitan descartar, de una sola vez, el mayornmero de posibilidades. Por ejemplo: est en el tercer cuadrante? Si la respuesta ess pueden preguntar entonces: su primera coordenada est entre 0 y 4?, la segundacoordenada est entre 0 y 5?, etctera.

Si los alumnos agotaron sus 10 preguntas y no han averiguadodnde dibujaron sus compaeros el submarino, valore la situacin. Siel tipo de preguntas que estn haciendo permite averiguar las coor-denadas del submarino, permtales hacer otra ronda de preguntas. Sino es as, es mejor dar por terminada la sesin de preguntas e iniciarel anlisis para corregir errores y para advertir qu tipo de pregun-tas permite descartar un mayor nmero de posibilidades.

Al finalizar la ronda d un tiempo para que cada pareja analice lainformacin y para que anoten en un papelito su nmero de equipoy las coordenadas en donde creen que se encuentra el submarino.Cuando todos los equipos hayan entregado su papelito verificarncolectivamente cules parejas acertaron y cules no. Ganan 5 pun-tos los equipos que lograron ubicar el submarino.

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8

1



Listones para los moos

32

Establecer relaciones entre el dividendo, el divisory un cociente fraccionario al generar repartosequivalentes.

Los problemas planteados en esta leccin admitenuna sola respuesta correcta y procedimientos dife-rentes por lo que conviene resolverla en equipos decuatro. Permita el uso de la calculadora.

Adems de la confrontacin sealada al trminode la actividad 3, realice dos ms. Una al finalizarla actividad 4 y otra cuando se termine de resolverla ltima actividad.

Si nota que los alumnos tienen dificultades, pregnteles si piensan que para cada mo-o se usar ms o menos de un metro. Esto puede llevarlos a considerar, desde un prin-cipio, que a cada moo le corresponde 1 metro de listn y dividir el metro sobrante ensiete partes iguales concluyendo que el listn de cada moo mide 1 metro + del otrometro (procedimiento 1).

Otros alumnos pueden responder si razonan as: si dividimos 1 metro entre 7 mo-os, a cada moo le corresponde , si fueran 2 le corresponderan , y as sucesi-vamente hasta llegar a (procedimiento 2).

Es poco probable, pero puede suceder, que otros alumnos ya hayan advertido que ladivisin 8 7 puede tambin expresarse como y que el cociente de esta divisin esjustamente ocho sptimos (procedimiento 3). Si surge este procedimiento, invtelos acomprobar que al expresar la divisin x metros y moos de la siguiente manera seobtiene justamente la fraccin que indica la medida del listn que se us en cada moo.

Otros equipos quiz dividan 8 7 con la calculadora, como el resultado es un n-mero decimal peridico (1.1428571), podrn redondearlo y responder que a cada mo-o le corresponde 1.14 m o 1.143 m (procedimiento 4).

Al tratar de comprobar su respuesta es probable que los alumnos que respondieron1.14 m, 1.143 m o 1.1428571 m, multipliquen dicho nmero por 7 y se den cuenta deque el resultado se aproxima a 8 m, pero no es exacto. Los que respondieron o 1 ,tal vez sumen 7 veces estas fracciones y en el primer caso conviertan a metros, apo-yndose en la equivalencia = 1. Resalte que, en estas situaciones, las fracciones sonms tiles que los nmeros decimales porque con ellas podemos expresar con exacti-tud cualquier medida sin que haya sobrante.

Socialice las diferentes respuestas de los equipos y juntos verifiquen si son correc-tas y equivalentes. Haga notar que los tres primeros procedimientos permiten obtenerla medida exacta del listn que se utilizar en cada moo, pero que el tercero es el mseficaz porque lleva rpidamente al resultado. Proponga probar este procedimiento conotros repartos para verificar si funciona siempre.

87

17

567

278

7

87

87

17

77

17

xy

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Para resolver el primer problema de esta actividad los alumnos pueden utilizar los si-guientes procedimientos: Aproximndose sucesivamente. Por ejemplo, sumar varias veces hasta descubrir que

6 veces son , y que en hay 4 = 4 . Por lo tanto, se cortaron 6 tramosde de metro y sobr metro.

Calculando el nmero de cuartos que hay en 5 metros y dividiendo el resultado entre3. Por ejemplo: si un metro tiene 4 cuartos, 5 metros tienen , divido 20 cuartosentre 3 para saber cuntos grupos de puedo formar con . Obtengo 6 moos de

de metro y sobran de metro de listn.

En este problema hay tres formas de reconocer la equivalencia entre fracciones: a) me-diante repartos (x metros y moos); b) mediante el uso de nmeros fraccionarios queexpresan los resultados de los repartos ( ; ; ; , ....) y la bsqueda de equiva-lencias, y c) mediante la representacin de los nmeros fraccionarios en la recta nu-mrica. Asegrese de que los alumnos puedan expresar los resultados de esos repartoscomo fracciones ( y ) y representarlos en la recta numrica.

53

47

109

87

53

106


33

Tal vez los alumnos observen que la longitud del listn con el que se hicieron los mo-os A y B es la misma, ya que las fracciones y son equivalentes, porque al mul-tiplicar por 2 el numerador y el denominador de la fraccin se obtienen . Es decir:la cantidad de metros de listn y el nmero de moos aumentaron al doble. Otrosalumnos tal vez piensen todava que el moo B es ms grande que el A, porque elnumerador y el denominador de la fraccin son ms grandes que los de . En laconfrontacin organice una breve discusin solicitando que traten de demostrarquin tiene la razn. Si quienes la tienen no convencen a sus compaeros, suspendala discusin y contine. Las siguientes actividades llevarn a los alumnos a compren-der por qu y son equivalentes.

2

Quiz algunos alumnos necesiten representar grficamente los repartos para encon-trar los datos faltantes y otros se den cuenta rpidamente de que tanto la cantidadde metros como la cantidad de moos deben aumentar o disminuir proporcional-mente. Por ejemplo, si tomamos como punto de partida 3 m y 5 moos, en el segun-do caso (6 m y 10 moos) las dos cantidades aumentaron al doble. En cambio, en elpenltimo caso, la cantidad inicial de moos disminuy cinco veces (5 5 = 1), porlo tanto, la cantidad de metros tambin debe dividirse entre cinco (3 5 = ).

En la confrontacin, asegrese de que los alumnos sepan que en cada reparto de latabla se usaron de metro de listn en cada moo.

35

610 3

5610

610

35

35

610

Ficha 24

3

4

5

35

35

34

184

184

24

12

34

12

204

34

204

34

24

34

0 1 2106

53

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El tablero de ajedrez

34

1


Leer y escribir nmeros hasta millares de milln alconstruir una serie numrica. Encontrar regulari-dades en la serie al resolver problemas.

Cuando los alumnos terminen de leer los prrafossealados en el libro de Ciencias Naturales, plan-tee preguntas para asegurar que los comprendie-ron. Pida que verifiquen con la calculadora si lascantidades escritas en el tablero aumentan cadavez al doble.

Pida que resuelvan esta actividad y, sin copiarlos nmeros del libro de Ciencias Naturales, cal-culen los que van en los primeros cuatro renglo-nes del tablero. Observe cmo lo hacen; es proba-ble que calculen mentalmente los nmeros delprimer rengln y, para los otros renglones, sumendos veces el ltimo resultado o lo multipliquenpor 2. En la confrontacin destaque las ventajasde multiplicar por 2 en vez de sumar.

Tambin es probable que algunos tengan dificultades para leer losnmeros. Si esto sucede, dibuje en el pizarrn la siguiente tabla yaproveche la oportunidad para revisar conjuntamente cmo deben es-cribirse (con cifras) los nmeros solicitados y cmo deben leerse yescribirse nmeros un poco ms grandes. Por ejemplo, el nmero delpenltimo casillero del cuarto rengln del tablero es el siguiente:

Previamente pida a los alumnos que preparen elmaterial recortable nmero 3 y el material que uti-lizaron en la leccin 1. Organice al grupo en equi-pos de cuatro integrantes. Si bien cada alumnodeber resolver las actividades 1 y 4 de manera in-dividual, propicie que comparen y comenten los re-sultados con sus compaeros. Las actividades 2 y 3conviene que las resuelvan en equipo. Despus decada actividad confronte los resultados.

26

Lectura y escritura de nmeros naturales

El tablero de ajedrez9leccinEn la pgina 70 de tu libro deCiencias Naturales hay unaleyenda acerca de la invencindel juego de ajedrez. Lee los dosprimeros prrafos para querecuerdes de qu trata y despusresuelve la leccin.

1. Anota con cifras los siguientes nmeros en la casilla del tablero que les corresponde,de acuerdo con lo que dice la leyenda. Si necesitas, puedes usar tu calculadora.

Mil veinticuatroTreinta y dos mil setecientos sesenta y ochoDoscientos sesenta y dos mil, ciento cuarenta y cuatroDos millones, noventa y siete mil, ciento cincuenta y dosSesenta y siete millones, ciento ocho mil, ochocientos sesenta y cuatro

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Fichas 1: 4 y 19Fichero de actividadesdidcticas Matemticas 6

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Pdales que traten de ordenar los nmeros sin hacer cuentas escritas, sin usar la cal-culadora ni ver la serie que construyeron en la pgina 26. Observe cmo lo hacen. Es

nan en el mismo dgito (excepto el primero de la primera columna), que las cifras 2, 4,8, 6 se repiten en el mismo orden a lo largo de la serie y que estos dgitos correspon-den a la ltima cifra de los nmeros que van en cada casillero o que calculen aproxi-madamente el doble de los nmeros. Despus pida que analicen las estrategias que seles presentan enseguida. Tal vez identifiquen alguna que ellos utilizaron.

En la confrontacin socialice las diferentes estrategias utilizadas por los alumnos ypida que argumenten a favor o en contra de las estrategias propuestas en el libro.

4 orden 3er. orden 2 orden 1er. ordenMillares de millones Millones Millares Unidades

C. de D. de U. de C. de D. de U. de C. de D. de U. de Centenas Decenas Unidadesmillar millar millar milln milln milln millar millar millar (C) (D) (U)

de de demilln milln milln

1 1 7 3 7 4 1 8 2 4

Mil ciento setenta y tres millones setecientos cuarenta y un mil ochocientos veinticuatro

Agregue la siguiente regla: "Por cada nmero que acierten ganan un punto". Despusde jugar dos o tres rondas, pida que en equipo discutan los procedimientos que usa-ron y que los anoten en su cuaderno. Tal vez los alumnos observen que para saber culnmero va antes del seleccionado deben dividirlo entre dos y para saber cul le siguelo deben multiplicar por dos. Es probable que hayan advertido que, para saber culnmero va arriba del seleccionado, necesitan dividir ocho veces el nmero selec-cionado entre 2 o bien dividirlo entre 256, que es el resultado de 28 y que, para cal-cular el nmero de abajo, basta con multiplicarlo ocho veces por 2 o bien multiplicar-lo por 256.

Al final, uno de los equipos explica los procedimientos usados para resolver esteproblema. Si algn equipo lo hizo de manera diferente pida que explique sus proce-dimientos.

2

3

4

En diferentes ocasiones dedique 10 minutos para realizar esta acti-vidad usando dgitos diferentes. Puede hacerla ms compleja au-mentando el nmero de dgitos.

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probable que los alumnos se den cuenta de que los nmeros de cada columna termi-

Base Altura Operaciones rea

AB 4.2 cm 6.72 cm2

BC 3.2 cm 6.88 cm2

CA 2.8 cm 7 cm2



La altura y el rea de las figuras

36

1


Obtener las medidas necesarias para calcular elrea y el permetro de tringulos, rectngulos,rombos y romboides. Reconocer que pueden gene-rarse numerosos tringulos y romboides diferentescon la misma rea al mantener constante la medi-da de su base y altura.

Se espera que los alumnos de sexto grado sepanidentificar, por s solos, las medidas necesarias pa-ra calcular el permetro y el rea de los polgonosas como las alturas del tringulo rojo y de los quegeneren para calcular el rea del hexgono. Sialgunos tienen dificultad para ubicar las alturasenseles cmo hacerlo, pero si la mayora del gru-po no lo sabe organice una discusin colectiva pa-ra aclarar este aspecto. Si no se les ocurre qu ha-cer para calcular el rea del hexgono sugiera quelo descompongan en otras figuras conocidas. Porejemplo, en rectngulos y tringulos.

Para calcular el rea del tringulo rojo y del he-xgono los alumnos pueden usar datos diferentes,ya que la medida de la altura del tringulo vara,dependiendo del lado que se tome como base, porlo que sus resultados pueden tener diferencias m-nimas. Como muestra la siguiente tabla.

En la confrontacin comente el porqu de lasdiferencias, destacando el hecho de que el trin-gulo tiene tres alturas y que cualquiera de ellaspuede considerarse para calcular su rea.

Algo similar puede suceder con el hexgono. En laconfrontacin seale las diferentes formas en que losalumnos subdividieron la figura y las medidas queconsideraron para calcular el rea de cada parte.

Solicite con anticipacin a los alumnos que llevenhojas blancas, escuadras y calculadora. Algunos re-sultados de esta leccin pueden variar debido a losinstrumentos, por lo que conviene organizar equi-pos de cuatro integrantes para resolver los proble-mas utilizando la calculadora. Despus de resolverla actividad 1, pida que resuelvan las actividades 2y 5 y, por ltimo, las actividades 3, 4 y 6. Organiceuna confrontacin cuando la mayora de los equi-pos termine la actividad 1, otra cuando terminen deresolver la actividad 5, y una ms al finalizar la ac-tividad 6.

3.2 4.22

4.3 3.22

5 2.82

B

C

A

Tringulo rojo

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Ficha 40: 1, 2 y 3Fichero de actividadesdidcticas Matemticas 6

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Dado que los alumnos saben que el rea del rectngulo se calcula multiplicando la medida de la basepor la altura, es probable que, para resolver esta actividad, busquen dos nmeros que al multiplicarseden como resultado 36. Entre las respuestas es posible que se encuentren los siguientes rectngulos:

En la confrontacin tal vez algunos alumnos consideren que la r

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