LÓGICA DE PRIMER ÓRDEN. SEMÁNTICA.

LA SEMÁNTICALa sintaxis de LPO nos permite decidir cuándo una fórmula pertenece al lenguaje o, lo que es lo

mismo, cuándo es una fórmula bien formada.La semántica, por otra parte, establece cuáles son los significados que se asignan a los distintos

símbolos de un lenguaje de primer orden y, correlativamente, qué significan las fórmulas que construimos con ellos. Resumiendo: la semántica establece cuál es el significado de cualquier expresión que podamos construir para un lenguaje de primer orden.1

LA INTERPRETACIÓN EN LPOUna expresión de LPO sólo tiene sentido si la asociamos con un conjunto de objetos o entidades,

que serán referentes de algunos de los símbolos que se utilizan. Y la verdad o falsedad de cualquier expresión, que constituye el núcleo del significado para la lógica, es relativa al conjunto que se estipule.2 Al conjunto sobre el cual evaluamos el valor de verdad de cualquier expresión lo denominamos universo de discurso.3 Es de capital importancia establecer cuál es el universo de discurso, dado que una misma expresión puede ser verdadera para un determinado conjunto y falsa para otro.

Denominaremos interpretación a la estipulación de los modos en que cada símbolo adquiere su significación con respecto al universo de discurso. Por lo tanto, es obvio que cualquier interpretación debe comenzar estableciendo cuál será dicho universo. Si decimos “Ninguna ciudad tiene como lengua oficial al portugués”, será verdadero si el universo considerado es el de las ciudades de argentina; pero será falso si consideramos un universo más amplio, como ser el conjunto de las ciudades latinoamericanas. Si se nos pregunta acerca de la verdad o falsedad de una determinada expresión siempre debemos preguntar, antes, sobre qué conjunto de entidades la evaluaremos.

INTERPRETACIÓN DE UNA CONSTANTE.Si el lenguaje que estamos considerando tiene constantes, cada una de ellas debe tener como

referencia un único objeto del universo de discurso (U). También hemos de suponer, para los fines de este curso, que cada objeto de U posee al menos una constante que lo nombra.4 Por lo tanto, para dar una interpretación debemos especificar, también, cuál es el objeto de U que designa cada constante que introduzcamos en LPO. Y el significado de una constante es un señalado objeto dentro de U.

Para decir que la interpretación de una constante a es el Objeto_1 (perteneciente a U), utilizamos la siguiente notación:

I(a) = Objeto_1.

SUSTITUCIÓN.La operación de sustitución es el resultado de remplazar, en una fórmula bien formada, todas las

ocurrencias libres de una determinada variable por un mismo símbolo de constante (que pertenezca a LPO). A continuación introducimos la notación respectiva:

Sea una FBF cualquiera, por ejemplo α, que tiene a v como variable libre; sea, además, una constante cualquiera c. Designamos con:

α[v, c]

a la operación de sustituir todas las ocurrencias libres de v en α por ejemplares de la constante c.Ejemplos:

1 La semántica es la ciencia que se ocupa de los significados. En nuestro caso nos interesan los lenguajes formales, y en particular los lenguajes de primer orden.2 Esta característica se conoce como perspectiva extensional del significado.3 El universo de discurso no puede ser el conjunto vacío (tiene que contener cuando menos un objeto).4 Decimos, en términos técnicos, que la función de interpretación que asigna constantes a objetos es sobreyectiva, pero no inyectiva. (Cada elemento del conjunto de partida tiene como imagen un único elemento del conjunto de llegada; pero un objeto de U puede tener asociada más de una constante, siempre que tenga al menos una). En consecuencia, tampoco es biyectiva. Otras técnicas más sofisticadas de LPO permiten operar con universos de discursos que incluyen objetos no designados por ninguna constante (semántica con asignaciones).

1) Px [x, c] = Pc2) (Px.Rxy) [x, c] = Pc.Rcy3) (xPx.Rxy) [x, c] = xPx.Rcy[Nótese que en (3) la primera ocurrencia de x no está libre]

SATISFACCIÓNPara designar a una fórmula bien formada cualquiera, que tiene cómo única variable libre a v 5

utilizamos la siguiente notación:

α(v)

Si operamos la sustitución sobre esta última fórmula, reemplazando la variable v por la constante c, nos quedará un enunciado. En símbolos:

α(v) [v, c] = α(c)

Si el enunciado α(c) resultante es verdadero, decimos que el objeto designado por la constante c satisface a la fórmula α(v).

En general, decimos que un objeto satisface una fórmula cuando la constante que lo designa produce una expresión verdadera al efectuar la operación de sustitución sobre la fórmula en cuestión (siempre que sólo tengamos una variable libre, y se sustituyan uniformemente sus ocurrencias libres por la mencionada constante).

Ejemplo:Supongamos que nuestro universo de discurso está constituido por los habitantes de un hogar

(incluidas las mascotas): los padres Berta (b) y Raúl (r); la hija Daniela (d); y los perros Fido (f) y Tom (t).

Sean, además, las fórmulas: Px: x es un perro.Mx: x es una mujer.

Podemos considerar los siguientes enunciados:

Px [x, b] = Pb, que es falso. Mx[x, b] = Mb, que es verdadero.Px [x, r] = Pr, que es falso. Mx[x, r] = Mr, que es falso.Px [x, d] = Pd, que es falso. Mx[x, d] = Md, que es verdadero.Px [x, f] = Pf, que es verdadero. Mx[x, f] = Mf, que es falso.Px [x, t] = Pt, que es verdadero. Mx[x, t] = Mt, que es falso.

De acuerdo con esto los objetos Fido y Tom satisfacen la fórmula Px (satisfacen el predicado P), ya que al reemplazar la variable x por las constantes f y t, el resultado es un enunciado verdadero. Por las mismas razones los objetos (las personas) Berta y Daniela satisfacen la fórmula Mx (satisfacen el predicado M).

INTERPRETACIÓN DE UN PREDICADO.La interpretación de un predicado es un subconjunto de U.6 Dado un predicado P utilizamos la

notación “I(P)” para hacer referencia a la interpretación del predicado P. Si un objeto pertenece a la interpretación de un predicado entonces lo satisface.

Sobre el ejemplo anterior tendríamos:

1) U = {Berta, Raúl, Daniela, Fido, Tom}2) I(P) = {Fido, Tom}3) I(M) = {Berta, Daniela}

Donde U es el universo de discurso, y tanto I(P) como I(M) son subconjuntos de U, siendo el primero la interpretación del predicado P, y el segundo la de M.

5 Por lo tanto la fórmula será una fórmula abierta.6 La interpretación de un predicado puede ser el conjunto vacío; a diferencia del universo de discurso.

INTERPRETACIÓN DE UN RELATORLa interpretación de un relator n-ario es un subconjunto del producto cartesiano Un. Si el relator

es binario será un conjunto de pares. Si es un relator ternario será un conjunto de triplas. Y cuando sea un relator n-ario la interpretación consistirá en un conjunto de n-uplas.

Ejemplo 1:Sumemos a nuestro ejemplo anterior el relator

Txy: x es el tutor de y.Dado que nuestro relator es binario su interpretación será el siguiente conjunto de pares:

I(T) = {<Berta, Daniela>, <Raúl, Daniela>}

Ejemplo 2:Tomemos como universo la siguiente línea recta:

α β γ δ─┼───┼───────┼──────┼──

U = {α, β, γ, δ} (Universo de discurso: puntos destacados de la recta).

Sobre ese universo podemos introducir el relator:Exyz: x está entre y y z.

Y las constantes: I(a)=α , I(b)=β, I(g)=γ, I(d)=δ Dado que E es un relator ternario su interpretación será el siguiente conjunto de triplas:

I(E) = {<β, α, γ>, <β, α, δ>, < γ, α, δ>, < γ, β, δ>}

La primera tripla tiene como componentes a β, que está entre α y γ; pero también está entre α y δ (segunda tripla); y así para cada punto que se encuentra entre otros dos. Cada tripla es un elemento del subconjunto U3.

La expresión “Ebag”7 es verdadera, dado que:

<I(b), I(a), I(g)> I(E) puesto que <I(b), I(a), I(g)> = <β, α, γ>

INTERPRETACIÓN DE UN ENUNCIADOLa interpretación de un enunciado no serán ya objetos de U. Todo enunciado construido en LPO

tendrá como interpretación un 1 cuando sea verdadero relativamente a U; o un 0 cuando sea falso relativamente a U. En cualquier caso, la verdad o falsedad de un enunciado dependerá de la interpretación dada a los elementos que lo componen.8

VERDAD EN LPOVERDAD PARA LA IDENTIDAD

Un enunciado de identidad es verdadero siempre que el signo de identidad esté flanqueado por dos constantes que designen el mismo objeto. Por ejemplo:

Si I(a)=Objeto_1 y I(b)=Objeto_1, entonces I(a=b)=1.

El enunciado “a=b” es verdadero en virtud de que las constantes a y b son dos nombres distintos (en LPO) para el mismo objeto (Objeto_1, que pertenece a U).

Siendo c1 y c2 dos constantes cualesquiera de LPO:

7 Cuya traducción al español es: “El punto β está entre los puntos α y γ”8 Este hecho general de los lenguajes se denomina principio de composicionalidad del significado.

RESUMENUna interpretación para LPO:a) Fija un universo de discurso U, no vacío.b) Asigna a cada predicado un subconjunto de U.c) Asigna a cada relator n-ario un subconjunto del producto cartesiano Un.d) Asigna a cada constante un único objeto de U.

VERDAD PARA LOS RELATORES (predicaciones).Un enunciado formado por un predicado P y una constante c es verdadero si, y sólo si,9 el objeto

designado por c pertenece al subconjunto de U que especifica la interpretación de P. En símbolos:

Un enunciado formado por un relator n-ario Rn, y por las constantes c1,...,cn será verdadero cuando la n-upla formada por los objetos que designan esas constantes pertenezca a la interpretación del relator Rn. En símbolos:

Ejemplo 1:De acuerdo con el diccionario introducido más arriba, el enunciado “Pf” es verdadero puesto que

I(f)I(P). Es decir, dado que el objeto designado por la constante f, el perro Fido, pertenece al subconjunto que determina la interpretación del predicado P.Ejemplo 2:

Ya hemos dicho más arriba que el enunciado “Ebag” es verdadero puesto que la tripla de objetos correspondiente a la interpretación de las constantes que lo componen: <I(b), I(a), I(g)>, o lo que es lo mismo <β, α, γ>, pertenece a I(E).

VERDAD PARA CUANTIFICADORESCuando en una fórmula determinada todas las ocurrencias de variables están ligadas por algún

cuantificador, la fórmula en cuestión será un enunciado.Sea una fórmula cuantificada vα o vα, donde v es la única variable libre de α. Un ejemplo de

sustitución es el resultado de quitar el cuantificador, y operar la sustitución de la variable libre por una constante cualquiera del lenguaje.

Retomando un ejemplo anterior, teníamos el predicado Px que significaba “x es un perro”. Las fórmulas que obteníamos operando la sustitución: Pb, Pr, Pd, Pf, Pt, son todos ejemplos de sustitución de la fórmula abierta Px. Como se vio entonces, los tres primeros ejemplos de sustitución eran falsos, y los dos últimos verdaderos (respecto del universo ya estipulado).

Para saber si un enunciado que consiste en una fórmula cuantificada es verdadero deberemos saber qué es lo que ocurre con sus casos (o ejemplos) de sustitución.

VERDAD DEL CUANTIFICADOR UNIVERSALSi un enunciado consiste en una fórmula cuya única variable libre está ligada por un

cuantificador universal, entonces será verdadera sólo en el caso de que todos sus ejemplos de sustitución sean verdaderos. Al operar la sustitución de la variable libre por cada una de las constantes del lenguaje en cuestión el resultado debe ser un enunciado verdadero. En símbolos:

Ejemplo 1:Sea U={Berta, Daniela, Raquel}; I(b)=Berta, I(d)=Daniela, I(r)=Raquel; y el predicado Mx: x es una mujer.

9 En adelante “sii” abreviará “si, y sólo si”.

I(c1=c2) = 1 si, y sólo si, I(c1) = I(c2).

I(Pc)=1 sii I(c) I(P)

I(Rnc1,..., cn)=1 sii <I(c1), ..., I(cn)>I(Rn)

Para un lenguaje L y una interpretación I; si es una fórmula cuya única variable libre es v:

I(v)=1 sii [v, c]=1 para toda constante c de L.

El enunciado xMx es verdadero, dado que sus ejemplos de sustitución Mb, Md y Mr, son todos ellos verdaderos.

Ejemplo 2:Cambiemos U={Berta, Daniela, Raquel, Pedro}; y agreguemos I(p)=Pedro. El enunciado xMx es, de acuerdo con las modificaciones, falso. Puesto que sus ejemplos de

sustitución Mb, Md y Mr, son verdaderos; pero hay un caso de sustitución: Mp que produce un enunciado falso.

Para establecer, entonces, que una formula cuantificada universalmente es falsa, es suficiente con encontrar un caso de sustitución para el cual la fórmula no sea verdadera.

VERDAD DEL CUANTIFICADOR EXISTENCIALSi un enunciado consiste en una fórmula cuya única variable libre está ligada por un

cuantificador existencial, entonces será verdadera sólo en el caso de que al menos un ejemplo de sustitución sea verdadero. Al operar la sustitución de la variable libre por alguna de las constantes del lenguaje en cuestión debemos obtener un enunciado verdadero. En símbolos:

Una formula cuantificada existencialmente es falsa si no podemos encontrar ningún caso de sustitución para el cual la fórmula sea verdadera.

Ejemplo:Sea el predicado Hx: x es un hombre.En el universo introducido en el último ejemplo 1, la fórmula xHx será falsa, puesto que no

habrán ejemplos de sustitución verdaderos para la fórmula Hx.En el universo introducido en el ejemplo 2 la fórmula xHx será verdadera, puesto que Hp es un

enunciado verdadero.

OBSERVACIONES:Sea una fórmula cuya única variable libre es v.

1) De un caso de sustitución que produce un enunciado falso podemos deducir la falsedad de la fórmula cuantificada universalmente. En símbolos.

I([v, c])=0: I(v)=0.2) De un caso de sustitución que produce un enunciado verdadero podemos deducir la verdad de la

fórmula cuantificada existencialmente. En símbolos.I([v, c])=1: I(v)=1.

VERDAD PARA ENUNCIADOS COMPUESTOS CON CONECTIVASLos enunciados compuestos utilizando conectivas veritativo-funcionales mantienen las

condiciones de verdad que ya han sido establecidas con anterioridad, y que se resumen en el siguiente cuadro:

Para un lenguaje L y una interpretación I; si es una fórmula cuya única variable libre es v:

I(v)=1 sii [v, c]=1 para al menos una constante c de L.

Si y son enunciados:

Negaciones.I()=1 sii I()=0Conjunciones.I( . )=1 sii I()=1 y I()=1Disyunciones:I( )=0 sii I()=0 y I()=0Condicionales.I( )=0 sii I()=1 y I()=0Bicondicionales.I( )=0 sii I() ≠ I()

Bajo una interpretación cualquiera, y conociendo las condiciones de verdad que hemos comentado hasta aquí, podemos establecer la verdad o falsedad de todo enunciado dentro de LPO.

PARENTESCOS ENTRE CUANTIFICADORES Y CONECTIVAS.Si tenemos una fórmula (v) (que sólo tiene como variable libre a v), y nuestro lenguaje de

primer orden está provisto de las constantes c1, c2,..., cn, entonces se cumple que:

v(v) es equivalente a: (c1) . (c2) . ... .(cn).

v(v) es equivalente a: (c1)(c2) ... (cn).

Por ejemplo, para un lenguaje que tiene los predicados P, Q, y las constantes a, b, c y d tendremos, entre otras, las siguientes equivalencias:

1) xPx es equivalente a: Pa.Pb.Pc.Pd.2) x(PxQx) es equivalente a: (PaQa).(PbQb).(PcQc).(PdQd).3) xPx es equivalente a: PaPbPcPd.4) x(PxQx) es equivalente a: (PaQa)(PbQb)(PcQc)(PdQd).

Decimos, para resumir, que una fórmula cuantificada universalmente es equivalente a la conjunción de sus ejemplos de sustitución; mientras que una cuantificada existencialmente es equivalente a la disyunción de sus ejemplos de sustitución.

Maximiliano PAESANI.Lógica -UNSa