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Luis María Lleras, su traducción de los Éléments de Géométrie de Legendre y su correspondencia con Hermite

Víctor Albis G. Clara Helena Sánchez B. Universidad Nacional de Colombia, Bogotá

Resumen

Luis María Lleras (1842-1885) fue un destacado ingeniero-matemático colombiano del siglo XIX. Estudió en el Colegio Militar donde obtuvo una buena formación matemática. Dedicó su vida esencialmente a la docencia en matemáticas tanto en colegios como en universidades, por ejemplo el Colegio de San Bartolomé y la Universidad Nacional. Desafortunadamente murió muy joven en la batalla de la Humareda en 1885. En este trabajo haremos un esbozo biográfico de Lleras, una reseña de su traducción de los Éléments de Géométrie de A. M. Legendre (publicados en Bogotá en 1866) y su contacto con Charles Hermitte a través de su tío el médico y botánico José Jerónimo Triana (1828-1890), quien desarrolló buena parte de su actividad científica en Francia, en donde se hizo amigo de miembros de la élite científica francesa de la época.

Palabras claves: historia de la matemática en Colombia, Luis María Lleras, Geometría de Legendre, Charles Hermite

Abstract

Luis María Lleras (1842-1885) was a prominent Colombian engineer of the 19th century. He studied at the Colegio Militar where he earned a good mathematical training. Essentially dedicated his life to teaching mathematics in schools and universities, such as the Colegio de San Bartolomé and the National University. Unfortunately he died very young in the battle of the La Humareda in 1885. In this work we will do a Lleras biographical sketch, a review of his translation of the Éléments of Géompetrie of A. M. Legendre (published in Bogotá in 1866) and his contact with Charles Hermitte through his uncle, the medical and botanical José Jerónimo Triana (1828-1890), who developed much of his research in France, in where he became friends with members of the French scientific elite of the time.

Key words: History of Mathematics in Colombia, Luis María Lleras, Legendre´s Geoemetry, Charles Hermite

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Éléments de Géométrie de A. M. Legendre

Adrien Marie Legendre (1752-1833) fue uno de los matemáticos más ilustres de la época de la Revolución Francesa al lado de Lagrange, Laplace, Monge, Condorcet y Carnot. A pesar de que Legendre (1752-1833) fue más un analista que un geómetra se propuso como un intento pedagógico reorganizar y simplificar los Elementos de Euclides. El texto fue ampliamente usado en Francia donde tuvo múltiples ediciones, la primera en 1794 y la última en 1823. En cada una de las ediciones publicó, como complemento, sus intentos de demostración del quinto postulado de Euclides, obviamente todas deficientes pues usaba implícitamente un axioma tan cuestionable como el de Euclides. Las soluciones fueron recogidas posteriormente (1833) en una memoria de la Academia de Ciencias de Francia: Refléxions sur différentes manières de démontrer la théorie de parallèles ou le théorème sur la somme des trois angles du triangle.

El libro se inscribe dentro del espíritu de construcción de la República Francesa luego de su Revolución, el de “eliminar los prejuicios, que mantuvieron al pueblo en la ignorancia, por diseminar el saber científico de la manera más amplia”1. No solamente se cerraron todas las escuelas y universidades dominadas por el clero sino que el Parlamento decidió fortalecer la educación pública y para ello abrió un concurso de elaboración de textos elementales. D´Alambert había propuesto en su Enciclopedia que esos libros didácticos no debían restringirse a las enseñanzas básicas sino que también debían contener algo del conocimiento reciente. El creía que el progreso científico y el progreso pedagógico podían converger para que todo conocimiento científico pudiera ser comprensible de manera intelectualmente honesta2. Los libros servirían para llenar en parte la falta de profesores adecuados. El concurso tuvo algunas dificultades y apenas en enero de 1794 lo aprobó. El jurado para la matemática estaba compuesto por Lagrange, Monge y Vandermonde. A pesar de que en la época en Francia primaba el enfoque analítico sobre el sintético en la matemática, Legendre se decidió por este último enfatizando la importancia del rigor en la demostración en matemáticas. El libro fue un Best – Seller del siglo XIX. Así lo califica García Azcárate (xxx), por su enorme influencia no solo en Francia de la cual hubo 12 ediciones, de 1794 a 1823, y luego las ediciones de Marie-Alphonso Blanchet (1813-18?) que alteraron el espíritu original del libro como señalaremos un poco más adelante.

La Geometría de Legendre seguía el espíritu de d´Alambert. En su Notas, en cada edición, se encuentran sus intentos por demostrar el quinto postulado de Euclides. La obra inicialmente tenía 280 páginas y pasó a tener 431 al incluir en una segunda parte un tratado de Trigonometría. Se conocen 15 ediciones de la obra original de Legendre, la última de 1862, 29 años después de su muerte), lo anterior es lo que permite afirmar que la publicación

1 Schubring, G., A origem da geometria de Legendre e o seu impacto internacional, en: Adrien-Marie Legendre, Elementos de Geometria. Reedição da primeira tradução brasileira de 1809, Luis Carlos Guimarães (org.) Rio de Janeiro: Editora LIMC, 2009, 353-384. 2 Schubring, 2009, 1.

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de esta obra fue un buen negocio editorial. Negocio que le permitió a Legendre y a su familia mantener una vida digna y seguir ayudando, pagando su pensión a los alumnos más desfavorecidos de la Escuela Politécnica, (García Azcárate, 361-362).

La librería de Firmín Didot (1764 –1836) que publicaba los manuales de Legendre, en vista de su éxito, después de su muerte decidió editar una edición simplificada de sus Elementos la cual encargó a M. A. Blanchet (1854, 1862). Lo primero que se sacrificó fueron las Notas con lo cual se perdieron para los lectores sus reflexiones sobre el quinto postulado. Schubring (s. f.) considera que el libro fue seriamente alterado por Blanchet. Un aspecto a resaltar es que Blanchet introduce elementos del análisis como lo es el concepto de límite, totalmente ajeno a los conceptos de geometría de Legendre.

De Blanchet (1813-18?) solo se sabe que fue alumno de la Escuela Politécnica. Sus notas aparecen después de las letras NB y en una letra de menor tamaño. Rápidamente el libro fue traducido a varios idiomas, la primera al italiano y publicada en 1802 en Pisa, la segunda fue al español en 1807 y la tercera al portugués en 1809. En Schubring (s. f. 8) y (2003) se encuentran detalles de la diseminación de la obra en el siglo XIX en países como Rusia (1819), Inglaterra (1822), Alemania (1822) o el Imperio Otomano (1836).

La influencia de este libro fue también muy importante en Iberoamérica y los Estados Unidos. Existen varias traducciones al inglés, dos traducciones al español y dos al portugués de las cuales nos enteramos por un llamado que hizo

Albis en 1977 en Historia Mathematica, para saber de otras traducciones diferentes de las del colombiano Luis María Lleras. A ellas nos referiremos más adelante. Ninguna contiene las notas complementarias con sus demostraciones del 5° postulado como veremos más adelante. Como la estructura de la traducción colombiana es bastante fiel en los aspectos del texto, al estilo Blanchet, para la enseñanza en colegios y universidades, nos restringiremos a la descripción de esta, con los comentarios del caso.

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La geometría de Legendre en América

Poco después de la Guerra de Independencia, Nació la Academia de Artes y Ciencias de los Estados Unidos de América (1780). Sus fundadores tuvieron la intensión de “Darle el aire de Francia más que el de Inglaterra y seguir a la Academia Real de Francia más que a la Royal Society” (Simons, 1931). Sobre la Geometría de Legendre, este autor afirma que este texto suplantó completamente a Euclides en USA a partir de la primera traducción en 1819 hecha por John Farrar (1779-1853) profesor de la Universidad de Harvard3. La segunda traducción al inglés fue editada por David Brewster en Edimburgo en 1822. Tiene notas y adiciones y un capítulo introductorio sobre la teoría de las proporciones. No menciona al traductor, el escocés Thomas Carlyle (1795-1881) a quien se la compró el editor por 50 libras. Tuvo 33 ediciones.

En la Iberoamérica del siglo XIX el interés en los Éléments condujo a varias traducciones vernáculas. De ellas conocemos además de la colombiana la existencia de:

• una venezolana (1879) revisada por José Muñoz Tébar • dos brasileñas: ¾ una muy temprana de Manoel Ferreira de Araujo Guimarães (1809) y ¾ la otra de B. Alves Carneiro (1886).

• una española hecha por Antonio Gilleman o Gilman (1807) cuya influencia en Iberoamérica no hemos podido determinar.

La traducción venezolana de Jesús Muñoz Tebar (Caracas, 1847 – 1909)4

Jesús Muñoz Tébar Estudió en el Colegio Vargas de Caracas y se graduó en la Academia Militar de Matemáticas en 1866 con el grado de Teniente de Ingenieros. Se destacó como ingeniero, militar y político por sus labores como ministro de Obras Públicas en cinco ocasiones durante el gobierno de Antonio Guzmán Blanco y por su pensamiento político progresista para la época. En dos oportunidades fue el rector de la Universidad Central de Venezuela y de esta casa de estudios recibe el doctorado en Ciencias Filosóficas.

3 Elements of Geometry by A. M. Legendre . Translated from the French for the use of the students of the University of Cambridge, New England, by John Farrar, Cambridge N. E., Editor: Hilliard and Metcalf, 1819 (la primera edición tiene 208 páginas y la segunda 224 páginas) 4 Imagen tomada de Historia de la Ingeniería en Venezuela, Eduardo Arcila Farías, 1961.

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La traducción venezolana de 1879 es de la décima quinta edición de la Geometría de Legendre, que según García Ascárate (2004) fue publicada en 1862. Tiene 147 páginas. A continuación se encuentra la traducción de la Trigonometría con fecha 1880. Al final contiene 14 cuadros, 13 con 286 gráficas para la geometría y uno con 18 gráficas para la trigonometría. Edición muy cuidada, en el margen izquierdo se anota la figura correspondiente. Al comparar con la traducción colombiana resaltamos que se hizo de una de las ediciones originales de Legendre mientras que la colombiana está basada en una versión de Blanchet como se anotó. La traducción venezolana no tiene problemas propuestos. Las traducciones brasileras Una de las primeras traducciones de la Geometría de Legendre fue al portugués. En 1808 fue trasladada la sede del Reino de Portugal al Brasil. Uno de los principales propósitos del gobierno fue el de instaurar cursos de enseñanza superior en el país. Se comisionó al Capitán del Cuerpo de Ingenieros Manoel Ferreira de Araujo y “Lente” de Matemáticas en la real Academia de Guardamarinas para hacerla. Ferreira de Araujo Guimaraes tradujo la 12 edición de 18175, que contiene también el tratado de Trigonometría. Hizo una traducción libre de ambas partes, fue bastante fiel a la geometría pero hizo varios ajustes a la trigonometría. La traducción fue realizada por la Imprenta Regia en 1809. La traducción fue

5 Elementos de Geometria. Traduzido do Francês e dedicado a o príncipe regente e nosso senhor. Por Manoel Ferreira de Araújo Guimaraes. Rio de Janeiro: Na Impressão Régia, 1809.

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motivo de la tesis de doctorado de Trentin (2014) en donde se encuentran más detalles para el lector interesado. Sobre la segunda traducción “Elementos de geometria, por A.-M. Legendre, com as Addiçoes e modificaçoes de M.- A. Blanchet, traduzidos sobre a 25a edição, por Alves Carneiro. 2a edição...B.L. Garnier, 1886”, 320 páginas, no hemos podido obtener información alguna. La traducción española

La traducción española hecha por el ingeniero Antonio Gilmán está hecha a partir de la 4ª edición de Legendre de 1802 e incorpora la Nota al pie referida al resultado de Gauss de 1801. En esta traducción no aparece la segunda parte de la Trigonometría que publicó Gilmán por separado. Este autor mantuvo la traducción al día, en sucesivas ediciones, procurando seguir los cambios realizados en las ediciones francesas. En 1827 se publica la última traducción de la duodécima y última edición de Legendre en la cual Gilmán enfatiza en la presentación la importancia del texto de Legendre en Europa lo que lo motiva a traducir al castellano esa última edición. (Véase: García Azcárate, 2004, 366) En 2012 se república el texto por la Ulan Press (360 páginas) dado su interés histórico.

La traducción colombiana

Luis María Lleras Triana: esbozo biográfico

Luis María Lleras (1842-1885) fue un destacado ingeniero-matemático colombiano del siglo XIX, hijo del político y educador Lorenzo María Lleras (1811-1868) y doña Clotilde Triana, hermana del ilustre médico y botánico José Jerónimo Triana (1828-1890), cónsul de Colombia en París. Estudió en el Colegio Militar fundado en 1847 bajo el modelo de la Escuela Politécnica de París. El Colegio aunque tuvo amplia repercusión en el desarrollo de la matemática y la ingeniería colombianas tuvo una vida muy corta, apenas 7 años, ya que

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fue clausurado en 18546. Por ello Lleras recibió su título de idoneidad como ingeniero por la Ley 9 de 1866. Fue profesor en varios colegios y universidades, entre ellos el Colegio de San Bartolomé y la Escuela de Ingeniería de la Universidad Nacional, fundada en 1867, donde tuvo a su cargo cursos de matemáticas, particularmente de geometría euclidiana, geometría descriptiva y astronomía. Fue director del Observatorio Astronómico en 1873. En 1868 fue rector del Colegio Nacional de Vélez y fundó una biblioteca pública, anexa a este colegio. En 1883 fue director del periódico La Industria, destinado principalmente a defender las empresas privadas que eran muy combatidas en la prensa del país.

Gran amigo del gramático y filólogo colombiano Rufino José Cuervo (1844-1911) autor del Diccionario de Construcción y Régimen de la Lengua Castellana, mantuvo permanente correspondencia con él y su hermano. Se conserva su correspondencia en el Instituto Caro y Cuervo.

Liberal radical, como su padre, participó en varias batallas. A finales de 1884 estalló la revolución en contra el gobierno de Rafael Nuñez. El expresidente Aquileo Parra le encomendó una delicada misión política ante el Presidente del Estado Soberano de Boyacá, que era el general Pedro José Sarmiento, cuñado de Lleras. Llegó a Tunja el 23 de diciembre y se incorporó al ejército liberal comandado por Sarmiento. En Gámbita dirigió las fortificaciones y en el Jacual construyó una serie de trincheras. Hizo toda la campaña de la Costa Atlántica. Después de esta campaña remontó el río Magdalena, bajo las órdenes del general Camargo, y atacó al enemigo en el sitio de la Humareda, cerca de la población de El Banco. Allí al saber de la noticia de la muerte del General Sarmiento desembarcó e

inmediatamente fue herido a bayoneta, por la espalada, por un discípulo, a quien había dado enseñanza gratuita, que era teniente entonces y que más tarde alcanzó las estrellas de General.7

Se casó con Rosario Codazzi, hija del Coronel Agustín Codazzi (1793-1859) y tuvo ocho hijos que dejó huérfanos y en muy precarias condiciones; a su muerte llevaba seis meses sin saber de su familia. El escritor Fernando Vallejo dedica su novela titulada El Cuervo Blanco8 a la vida y obra de Rufino José Cuervo y su hermano, amigos muy cercanos de Lleras; en la novela y con su famoso estilo irreverente se refiere a este episodio calificando a Lleras de gran irresponsable con palabras

que no puedo reproducir en este escrito9. Uno de los hijos de Lleras, Eduardo, y Marila Lleras Franco, su sobrina, fueron los padres de Francisco (Paco) Lleras, ingeniero y profesor del 6 Sánchez Clara Helena, Los ingeniero-matemáticos colombianos del siglo xix y comienzos del siglo xx, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, 2007, pp.9-19. 7 Andrés Soriano Lleras en http://lleras.net/luislleras.htm termina su relato sobre la muerte de Lleras diciendo “Más piadoso nos parece no mencionar su nombre”. 8 Fernando Vallejo, El cuervo blanco, Alfaguara, 2012. 9 Cuenta Vallejo (2012, 111) que poco antes de su muerte había recibido una invitación de los hermanos Cuervo para visitarlos en París. Lleras no aceptó la invitación y en carta del 11 de junio de 1885 escribió “… cuando uno toma las armas no puede volver la espalda a amigos, enemigos y hermanos, sin cometer la más baja de las acciones, sin ser un cobarde y un miserable”.

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Departamento de Matemáticas, colega muy apreciado que nos heredó algunos libros, como la traducción de Lleras de la Geometría de Legendre (1866), pero muy especialmente una carpeta en la cual encontramos valiosos documentos, uno de ellos una carta de su tío Triana con la solución de Charles Hermite (1822-1901) a un ejercicio de geometría, que no sabemos dónde lo encontró: la construcción del máximo triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. Igualmente tenemos el documento original de Hermite, el cual fue incluido en un libro de Geodesia dentro de un piano enviado desde París por Triana al padre de Lleras.

Como mencionamos Lleras fue alumno del Colegio Militar con fuerte influencia de la Escuela Politécnica de París. Lino de Pombo uno de sus fundadores y el director académico del Colegio había sido alumno de la Academia de Alcalá de Henares y de la Escuela de Puentes y Calzadas de Francia. Por ello no es de sorprenderse que el texto de Legendre haya sido utilizado en el Colegio, y la versión simplificada de Blanchet la escogida como texto para ser impartido en colegios y universidades en Bogotá.

La traducción sigue muy de cerca la décima edición de 1849 con las adiciones de M.A. Blanchet. El texto está compuesto por ocho capítulos (llamados libros) cada uno tiene definiciones y proposiciones: estas son de dos tipos: los problemas, como era usual en los griegos, plantean construcciones y los teoremas que se refieren a propiedades de los objetos estudiados. A partir del cuarto libro se plantean problemas por resolver.

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Sin ningún tipo de introducción el texto comienza en el libro I con 25 definiciones de conceptos básicos de la geometría como son los de volumen, superficie, línea y punto, para continuar con las definiciones de las figuras básicas de la geometría plana, por ejemplo las definiciones de polígono, cuadrado, rectángulo, rombo, etc. Además da unas explicaciones de los términos lógicos como son los de axioma, teorema, problema, lema, corolario e hipótesis. Desde la primera proposición ya se nota la diferencia en el espíritu de la obra comparándola con los Elementos de Euclides pues se refiere al trazado de perpendiculares. Tiene además varios apéndices. El libro segundo tiene como título Del círculo y la medida de ángulos. Contiene 10 definiciones, 23 proposiciones y 18 problemas. El tercero De la medida de polígonos y sus semejanzas contiene 5 definiciones, 38 proposiciones y 17 problemas. El cuarto De los polígonos regulares y la medida del círculo contiene sólo una definición (de polígono regular), 17 proposiciones y 44 problemas. En este libro en la Proposición XVI encontramos un método para hallar un valor aproximado de π. Sin embargo como no fueron traducidas las Notas originales de Legendre no nos llegó la Nota IV en la cual Legendre reproduce la demostración de Lambert de la irracionalidad de π publicada en 1761 en la Memorias de la Academia de Berlín, ni su demostración inédita de que π2 también lo es siguiendo el método de Lambert. El libro IV contiene además unas definiciones adicionales, en la p. 80, que merecen mencionarse para resaltar sus diferencias con Euclides.

1. Se llama cantidad variable una cantidad que toma sucesivamente diferentes estados de magnitud.

2. Se llama límite una magnitud fija a la cual puede aproximarse una cantidad variable tanto como se quiera pero sin llegar jamás a ella.

3. La aritmética y la geometría presentan numerosos ejemplos de cantidades variables, y de límites hacia los cuales tienden sus variables.

Como ejemplos demuestra que el límite del ángulo de un polígono regular es 2π. Y luego que la longitud de la circunferencia es el límite hacia el cual tiende el perímetro de un polígono inscrito cuyo número de la dos crece indefinidamente (p.81). El libro quinto, Del plano y la línea recta considerados en el espacio, tiene 4 definiciones, 38 proposiciones y no hay problemas propuestos. El libro VI De los poliedros contiene 15 definiciones y 30 proposiciones; el VII De la esfera contiene 4 definiciones y 27 proposiciones; el VIII De los cuerpos redondos contiene 5 definiciones y 16 proposiciones.

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En seguida de este libro bajo el título Geometría del espacio encontramos 20 teoremas por resolver y luego 18 problemas bajo el título Lugares Geométricos y Problemas. Al final del libro se encuentran, como era usual en la época, las figuras concernientes de cada uno de los libros. Apéndices de la traducción

1. Apéndice al libro tercero. Teoría de las transversales. 2. Apéndice al libro octavo. Sin título, sin embargo se refiere a ciertos problemas de

máximos y mínimos de algunas figuras planas. 3. Apéndice a los libros sexto y sétimo. De los poliedros regulares. En la proposición 1

hace la demostración de que no puede haber sino cinco poliedros regulares y en seguida los construye.

4. Termina con una fe de erratas y las planchas de las figuras necesarias para cada uno de los teoremas desarrollados.

Otra obra conexa con la traducción de Lleras es la Solución de las cuestiones enunciadas y no resueltas en los Elementos de Geometría de Legendre, publicada en 1879 en la Imprenta de Medardo Rivas. No conocemos este trabajo, pero una parte fue publicada en los Anales de la Universidad, No. 92, 1880, pp.209-220, 294-301. Esta revista dejó de publicarse y, el trabajo continuó publicándose en los Anales de Instrucción Pública, 1881, Vol.II, pp.327-331. Allí se encuentra la solución a los 30 teoremas por demostrar que aparecen como ejercicios en el libro cuarto.

Charles Hermite y sus conexiones con Lleras Francisco Lleras Lleras (1918-1985) fue un ingeniero y profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional en Bogotá. Parte de su archivo privado reposa en manos de la profesora C. H. Sánchez, y contiene cartas y otros documentos de Luis M. Lleras su abuelo. Este era sobrino de José Jerónimo Triana (1828-1890), botánico y médico bogotano, quien desarrolló buena parte de su actividad científica en Francia, en donde se hizo amigo de miembros de la élite científica francesa de la época. En un carta a su tío (la cual no hemos aún localizado en el Archivo Triana de la Universidad Nacional de Colombia, archivo donado por la Academia Colombiana de Ciencias), L. M. Lleras le pide que busque entre sus amigos a alguien que le ayude a resolver un problema de geometría elemental. Triana se dirige a Charles Hermite, quien generosamente le escribe dos soluciones, una geométrica y otra algebraica. Estas soluciones conforman el manuscrito que hemos mencionado, y reseñamos a continuación. La carta de José Jerónimo Triana a su sobrino En la siguiente transcripción de las partes pertinentes hemos respetado la ortografía original. Paris, 30 de mayo de 1864 Mi querido Luis

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He tenido mucho gusto en recibir su cartica de 8 de marzo pasado. No me parece que U. tiene por que temer el sacarme de juicio con las cartas que usted me escribiese aunque en realidad fueran llenas de tonterías. Ellas me darían, en todo caso, noticias de U.U. y esto bastaría para que yo las leyese con placer. Con todo, si a lo agradable se une lo útil, tanto mejor. Bajo esta respuesta, me complacería sabiendo que cada vez que U. me escribe puedo serle útil en algo. Me he apresurado, pues, a cumplir con cada una de sus recomendaciones. A continuación hallará U. la solución del problema que U.me incluía. Esta solución ha sido dada por M. Hermite miembro del Instituto quien se ha puesto al disposición de U. para resolver todas las dudas que se le ocurran, y me dice que si U. quiere puede dirijirse directamente a él, le hará las indicaciones con mucho gusto. He comprado ya un ejemplar de Teodicea (sic. Creemos que se trata de un libro de Geodicea) por el autor qu eusted me indica, y lo enviaré entre el piano que voi a espedir en estos días para su papá. Aunque llegue con un poco de retardo prefiero enviarlo por esa vía por que la considero segura10. Mercedes y los muchachos siguen mui bien y le mandan (¿envían?) sus expresiones y U. creame siempre su affmo tío. J. Triana. He copiado la solución del problema en seguida, pero entre la jeodesia enviaré el original, por si acaso la copia no es exacta. El manuscrito de Hermite: el problema y sus soluciones

10 Todo indica que Triana cree que en su época era más seguro que un piano llegase a Bogotá desde París que una carta.

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La traducción de la carta Por M. Hermite, miembro del Instituto

Triángulo isósceles máximo inscrito en un círculo

Solución

Sea ABC el triángulo máximo demandado, yo digo que los tres lados son iguales.

Supongamos, en efecto, [que] AB y AC por ejemplo, son diferentes. Al elevar una perpendicular sobre el punto medio de BC, que se encuentra en A´ con la circunferencia, el triángulo isósceles A´BC será más grande que el triángulo ABC, pues de las alturas bajadas desde los extremos A y A´ sobre la base común BC, la última es la más grande.

De donde resulta que el triángulo más grande que uno pueda inscribir en un círculo es el triángulo equilátero.

Aquí otra solución [que] puede servir de ejercicio del cálculo algebraico.

Sea R el radio de un círculo dado, A, B. C, los ángulos del triángulo buscado tiene como se sabe;

2𝑅𝑅 =𝑎𝑎

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐴𝐴=

𝑏𝑏𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐵𝐵

=𝑐𝑐

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐶𝐶

Y que la superficie del triángulo que haremos máximo se expresa por 12𝑏𝑏𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐴𝐴 o también

por medio de las relaciones precedentes por: 2R2 sinA sinB sinC. Pero este triángulo es isósceles debido al enunciado, de suerte que hay que suponer que por ejemplo que B=C, y en consecuencia debido al teorema relativo a la suma de ángulo A+2B = 180°. De donde resulta que la superficie que se expresa en fracciones de B es tal que

2R2sin(180o−2B) sin2B = 2R2 sin 2B sin2B

lo que hace depender el problema de la geometría a una cuestión de álgebra: Determinar el máximo de la función 2sin 2x sin2 x (reemplazando B por x). Como se tiene

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2 sin2x sin2 x = sin 2x(1−cos 2x) = sin2x – 1/2(sin 4x )

Al igualar a cero la derivada.

cos 2x = cos4x y por consiguiente designando por k un entero : [se tiene que]

4x = 2x+ 2kπ o: 4x = 2kπ − 2x .

Una discusión fácil prueba que el máximo buscado está dado por x = π/3.

De otra manera haciendo sen x= y la expresión 2 sin 2x sin2 x, se convierte en 4𝑦𝑦3�1 − 𝑦𝑦2 cuya derivada igualada a cero es

3𝑦𝑦2�1 − 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦4

�1−𝑦𝑦2 = 0 y suprimiendo el factor y2:

3(1 − y2) –y2 = 0 y 𝑦𝑦 = �34

de donde etc.

Bibliografía ALBIS, Víctor S., Latin-American translations of Legendre’s “Éléments de Géométrie”. Historia Mathematica 4 (1977). ALBIS, Víctor S., Vicisitudes del postulado euclídeo en Colombia. Rev. Acad. Colomb. Ci. Ex. Fi. Nat. 21 (80)(1997), 281–293. BATEMAN, Alfredo, Cuatro sabios bogotanos. Boletín de Historia y Antigüedades 4(5) (1968), 648–650. DÍAZ-PIEDRAHITA, Santiago, José Triana, su vida, su obra y su época. Colección Enrique Pérez Arbeláez, No. 5. Academia Colombiana de Ciencias Exactas, F´ısicas y Naturales: Bogot´a, 1991. GARCÍA AZCÁRATE, Ana María, Un Best-Seller del siglo XIX; los Elementos de Geometría de Legendre. Actas del VII Congreso de la Sociedad Española de Historia de las Ciencias y de las Técnicas, 2004. LEGENDRE A. M. Elementos de geometría. Con adiciones i modificaciones por M. A.Blanchet. Traduzidos de la 25a edição de Paris por B. Alves Carneiro, 2a edição. Garnier: Rio de Janeiro, 1886. LEGENDRE A. M. Elementos de geometría. Con adiciones i modificaciones por M.A. Blanchet. Traducidos de la 10a edición de París por Luis M. Lleras. Imprenta de Gaitán: Bogotá, 1866. LEGENDRE A. M. Elementos de geometria. Con Notas. Traducidos de la 15ª Traducción revisada por el Dr. Jesús Muñoz Tébar–Ingeniero. Alfred Rothe, Editor: Caracas, 1879. LEGENDRE, A. M. Elementos de Geometria, Impressão Regia, Rio de Janeiro, 1809.

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