Luis Narvaez Macarro - Real Academia Sevillana de CienciasInicio · 2021. 2. 1. · Primos a...
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Primos a nuestro alrededor Los n´ umeros primos Distribuci´ on de los n´ umeros primos Aplicaciones El universo de los n´ umeros primos Luis Narv´ aez Macarro Departamento de ´ Algebra & Instituto de Matem´ aticas (IMUS) Universidad de Sevilla Real Academia Sevillana de Ciencias 1 de marzo de 2016
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Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
El universo de los numeros primos
Luis Narvaez Macarro
Departamento de Algebra & Instituto de Matematicas (IMUS)Universidad de Sevilla
Real Academia Sevillana de Ciencias
1 de marzo de 2016
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
Invadidos por los numeros primos
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
Invadidos por los numeros primos
Tarjetas de credito,
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Invadidos por los numeros primos
Tarjetas de credito, Certificados digitales,
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Tarjetas de credito, Certificados digitales, Firma electronica,
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Tarjetas de credito, Certificados digitales, Firma electronica,Comunicaciones seguras,
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Tarjetas de credito, Certificados digitales, Firma electronica,Comunicaciones seguras, Pagos por internet, . . .
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Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
Con esta excusa voy a hablarles de los numeros
primos. . .
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¿Que son los numeros primos?
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¿Que son los numeros primos?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
¿Que son los numeros primos?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 391
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
¿Que son los numeros primos?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 391
Multiplos de 2 mayores que 2
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
¿Que son los numeros primos?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 391 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
Multiplos de 2 mayores que 2
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¿Que son los numeros primos?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 391 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
Multiplos de 3 mayores que 3
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¿Que son los numeros primos?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 391 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 386 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
Multiplos de 3 mayores que 3
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¿Que son los numeros primos?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 391 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 386 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
Multiplos de 5 mayores que 5
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¿Que son los numeros primos?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 391 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 386 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 3910 15 20 25 30 35
Multiplos de 5 mayores que 5
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¿Que son los numeros primos?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 391 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 386 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 3910 15 20 25 30 35
Numeros primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . .
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¿Que son los numeros primos?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 391 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 386 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 3910 15 20 25 30 35
Numeros primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . , 2305843009213693951, . . .
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El primer teorema de las Matematicas
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El primer teorema de las Matematicas
Euclides:
todo numero natural se descompone en producto denumeros primos de forma unica
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El primer teorema de las Matematicas
372
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El primer teorema de las Matematicas
372 2186
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El primer teorema de las Matematicas
372 2186 293
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El primer teorema de las Matematicas
372 2186 293 331
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El primer teorema de las Matematicas
372 2186 293 331 311
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El primer teorema de las Matematicas
372 2186 293 331 311
372 = 2× 2× 3× 31 = 22 × 3× 31
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El primer teorema de las Matematicas
372 2186 293 331 311
372 = 2× 2× 3× 31 = 22 × 3× 31
Si el numero que queremos factorizar es muy grande y sus factoresprimos son tambien muy grandes, el procedimiento resulta inviable
en la practica
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Un ejemplo para hacer boca
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Un ejemplo para hacer boca
8633
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Un ejemplo para hacer boca
8633 2 ¿divisible?
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Un ejemplo para hacer boca
8633 2 no divisible
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Un ejemplo para hacer boca
8633 3 ¿divisible?
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Un ejemplo para hacer boca
8633 3 no divisible
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Un ejemplo para hacer boca
8633 5 ¿divisible?
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Un ejemplo para hacer boca
8633 5 no divisible
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Un ejemplo para hacer boca
8633 ...
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Un ejemplo para hacer boca
8633 89 ¿divisible?
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Un ejemplo para hacer boca
8633 89 ¡divisible tras 44 pruebas!97
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Un ejemplo para hacer boca
8633 8997 2 ¿divisible?
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Un ejemplo para hacer boca
8633 8997 2 no divisible
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Un ejemplo para hacer boca
8633 8997 3 ¿divisible?
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Un ejemplo para hacer boca
8633 8997 3 no divisible
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Un ejemplo para hacer boca
8633 8997 ...
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Un ejemplo para hacer boca
8633 8997 9 ¿divisible?
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Un ejemplo para hacer boca
8633 8997 9 no divisible
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Un ejemplo para hacer boca
8633 8997 97 primo tras 5 pruebas1
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Un ejemplo para hacer boca
8633 = 89× 97
tras 49 pruebas de divisibilidad.
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Si los primos son muy grandes . . .
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Si los primos son muy grandes . . .
Escojamos dos numeros primos p y q y calculemos su producto
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Si los primos son muy grandes . . .
Escojamos dos numeros primos p y q y calculemos su producto
n = p × q
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Si los primos son muy grandes . . .
Escojamos dos numeros primos p y q y calculemos su producto
n = p × q
Si p y q tienen mas de 100 cifras decimales (!) (y por tanto n
tendrıa mas de 200 cifras)
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Si los primos son muy grandes . . .
Escojamos dos numeros primos p y q y calculemos su producto
n = p × q
Si p y q tienen mas de 100 cifras decimales (!) (y por tanto n
tendrıa mas de 200 cifras)
(y satisfacen algunas restricciones tecnicas adicionales)
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Si los primos son muy grandes . . .
Escojamos dos numeros primos p y q y calculemos su producto
n = p × q
Si p y q tienen mas de 100 cifras decimales (!) (y por tanto n
tendrıa mas de 200 cifras)
(y satisfacen algunas restricciones tecnicas adicionales)
ningun ordenador ni ningun procedimientoexistente en la actualidad sera capaz de
encontrar la factorizacion de n
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Tratemos de factorizar n. . .
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Tratemos de factorizar n. . .
n
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Tratemos de factorizar n. . .
n 2 ¿divisible?
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Tratemos de factorizar n. . .
n 2 no divisible
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Tratemos de factorizar n. . .
n 3 ¿divisible?
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Tratemos de factorizar n. . .
n 3 no divisible
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Tratemos de factorizar n. . .
n 5 ¿divisible?
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Tratemos de factorizar n. . .
n 5 no divisible
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Tratemos de factorizar n. . .
n ...
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Tratemos de factorizar n. . .
n 2305843009213693951 ¿divisible?
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Tratemos de factorizar n. . .
n 2305843009213693951 no divisible
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Tratemos de factorizar n. . .
n ...
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Tratemos de factorizar n. . .
n ...
Para descubrir el primer factor primo p habrıamos de realizar delorden de 10100 pruebas de divisibilidad.
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Tratemos de factorizar n. . .
n ...
Para descubrir el primer factor primo p habrıamos de realizar delorden de 10100 pruebas de divisibilidad. Si en cada una de ellasempleasemos 10−10 segundos (??),
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Tratemos de factorizar n. . .
n ...
Para descubrir el primer factor primo p habrıamos de realizar delorden de 10100 pruebas de divisibilidad. Si en cada una de ellasempleasemos 10−10 segundos (??), para encontrar p tardarıamos1090 segundos,
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Tratemos de factorizar n. . .
n ...
Para descubrir el primer factor primo p habrıamos de realizar delorden de 10100 pruebas de divisibilidad. Si en cada una de ellasempleasemos 10−10 segundos (??), para encontrar p tardarıamos1090 segundos,
¡que es muy superior a (la edad del universo)5¡
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Tratemos de factorizar n. . .
n ...
Para descubrir el primer factor primo p habrıamos de realizar delorden de 10100 pruebas de divisibilidad. Si en cada una de ellasempleasemos 10−10 segundos (??), para encontrar p tardarıamos1090 segundos,
¡que es muy superior a (la edad del universo)5¡
(13,800× 106 × 365× 24× 3,600 =13, 8 × 365 × 24× 36× 1011 = 43,520× 1013 < 1018)
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Hay infinitos numeros primos
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Hay infinitos numeros primos
A partir de 2, 3 formamos (2× 3) + 1 = 7, que es un nuevoprimo.
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Hay infinitos numeros primos
A partir de 2, 3 formamos (2× 3) + 1 = 7, que es un nuevoprimo.
A partir de 2, 3, 5 formamos (2× 3× 5) + 1 = 31, que es unnuevo primo.
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Hay infinitos numeros primos
A partir de 2, 3 formamos (2× 3) + 1 = 7, que es un nuevoprimo.
A partir de 2, 3, 5 formamos (2× 3× 5) + 1 = 31, que es unnuevo primo.
A partir de 2, 3, 5, 7 formamos (2× 3× 5× 7) + 1 = 211, quees un nuevo primo.
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Hay infinitos numeros primos
A partir de 2, 3 formamos (2× 3) + 1 = 7, que es un nuevoprimo.
A partir de 2, 3, 5 formamos (2× 3× 5) + 1 = 31, que es unnuevo primo.
A partir de 2, 3, 5, 7 formamos (2× 3× 5× 7) + 1 = 211, quees un nuevo primo.
Con 2, 3, 5, 7, 11 formamos (2× 3× 5× 7× 11) + 1 = 2311,que es un nuevo primo.
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Hay infinitos numeros primos
A partir de 2, 3 formamos (2× 3) + 1 = 7, que es un nuevoprimo.
A partir de 2, 3, 5 formamos (2× 3× 5) + 1 = 31, que es unnuevo primo.
A partir de 2, 3, 5, 7 formamos (2× 3× 5× 7) + 1 = 211, quees un nuevo primo.
Con 2, 3, 5, 7, 11 formamos (2× 3× 5× 7× 11) + 1 = 2311,que es un nuevo primo.
2, 3, 5, 7, 11, 13 (2× 3× 5× 7× 11 × 13) + 1 = 30031,que, aunque no es primo, su factorizacion 30031 = 59× 509nos da nuevos primos.
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Hay infinitos numeros primos
A partir de 2, 3 formamos (2× 3) + 1 = 7, que es un nuevoprimo.
A partir de 2, 3, 5 formamos (2× 3× 5) + 1 = 31, que es unnuevo primo.
A partir de 2, 3, 5, 7 formamos (2× 3× 5× 7) + 1 = 211, quees un nuevo primo.
Con 2, 3, 5, 7, 11 formamos (2× 3× 5× 7× 11) + 1 = 2311,que es un nuevo primo.
2, 3, 5, 7, 11, 13 (2× 3× 5× 7× 11 × 13) + 1 = 30031,que, aunque no es primo, su factorizacion 30031 = 59× 509nos da nuevos primos.
A partir de los primos p1, p2, . . . , pr formamos(p1 × p2 × · · · × pr ) + 1, que o bien es un nuevo primo, o biense factoriza en nuevos primos.
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Hay infinitos numeros primos
A partir de 2, 3 formamos (2× 3) + 1 = 7, que es un nuevoprimo.
A partir de 2, 3, 5 formamos (2× 3× 5) + 1 = 31, que es unnuevo primo.
A partir de 2, 3, 5, 7 formamos (2× 3× 5× 7) + 1 = 211, quees un nuevo primo.
Con 2, 3, 5, 7, 11 formamos (2× 3× 5× 7× 11) + 1 = 2311,que es un nuevo primo.
2, 3, 5, 7, 11, 13 (2× 3× 5× 7× 11 × 13) + 1 = 30031,que, aunque no es primo, su factorizacion 30031 = 59× 509nos da nuevos primos.
A partir de los primos p1, p2, . . . , pr formamos(p1 × p2 × · · · × pr ) + 1, que o bien es un nuevo primo, o biense factoriza en nuevos primos.
Siempre podemos encontrar nuevos primos y por tanto no seterminan nunca: Euclides (s. III AC).
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Hay pues infinitos numeros primos . . .
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Hay pues infinitos numeros primos . . .
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . , 2305843009213693951, . . .
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Hay pues infinitos numeros primos . . .
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . , 2305843009213693951, . . .
pero . . .
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Hay pues infinitos numeros primos . . .
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . , 2305843009213693951, . . .
pero . . .
¿como se distribuyen?¿como sabemos si un numero dado es primo o no?
¿como es el “universo” de los numeros primos?
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Algunos de los enigmas mas buscados de lasMatematicas de nuestros dıas (y de siempre) se
refieren a los numeros primos
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Lagunas
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Lagunas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
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Primos gemelos
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Primos gemelos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
2 3 53 75 11 1311 17 1917 23 29 3129 37
41 4341 47 53 59 6159 67 71 7371 79
83 89 97 101 103101 107 109107 113
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241
239
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599
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967 971 977 983 991 997
Hay 168 primos y 35 parejas de primos gemelos entre 1 y 1000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
1009 1013 1019 10211019 1031 10331031 1039
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Hay 135 primos y 26 parejas de primos gemelos entre 1001 y 2000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
2003 2011 2017 2027 20292027 2039
2053 2063 2069
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2963 2969 29712969 2999
Hay 127 primos y 20 parejas de primos gemelos entre 2001 y 3000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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3041 3049 3061 3067 3079
3083 3089 3109 3119
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3361
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3967 3989
Hay 120 primos y 21 parejas de primos gemelos entre 3001 y 4000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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4049 40514049 4057 4073 4079
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4177
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Hay 119 primos y 23 parejas de primos gemelos entre 4001 y 5000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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5521
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5881
5879
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5981 5987
Hay 114 primos y 17 parejas de primos gemelos entre 5001 y 6000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
6007 6011 6029 6037
6043 6047 6053 6067 6073 6079
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6961
6959
6967 6971 6977 6983 6991 6997
Hay 117 primos y 19 parejas de primos gemelos entre 6001 y 7000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
7001 7013 7019 7027 7039
7043 7057 7069 7079
7103 7109
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7561
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7927 7933 7937 7949 79517949
7963 7993
Hay 107 primos y 13 parejas de primos gemelos entre 7001 y 8000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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8887 8893
8923 8929 8933 8941 8951
8963 8969 89718969 8999
Hay 110 primos y 14 parejas de primos gemelos entre 8001 y 9000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
9001 9007 9011 90139011 9029
9041 90439041 9049 9059 9067
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9239
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9967 9973
Hay 112 primos y 15 parejas de primos gemelos entre 9001 y 10000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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Hay 106 primos y 16 parejas de primos gemelos entre 10001 y 11000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
11003 11027
11047 11057 1105911057 11069 1107111069
11083 11087 11093 11113 11117 1111911117
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11161
11159
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11969 1197111969 11981 11987
Hay 103 primos y 14 parejas de primos gemelos entre 11001 y 12000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
12007 12011 12037
12041 1204312041 12049 12071 1207312071
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12203 12211 12227 12239
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12239
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12841 12853
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12923 12941 12953 12959
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Hay 109 primos y 11 parejas de primos gemelos entre 12001 y 13000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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Hay 105 primos y 15 parejas de primos gemelos entre 13001 y 14000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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14969 14983
Hay 102 primos y 11 parejas de primos gemelos entre 14001 y 15000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
15013 15017 15031
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15359
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15971 1597315971 15991
Hay 108 primos y 12 parejas de primos gemelos entre 15001 y 16000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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16057 16061 1606316061 16067 1606916067 16073
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Hay 98 primos y 13 parejas de primos gemelos entre 16001 y 17000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
17011 17021 17027 1702917027 17033
17041 17047 17053 17077
17093 17099 17107 17117
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17971 17977 17981 17987 1798917987
Hay 104 primos y 18 parejas de primos gemelos entre 17001 y 18000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
18013
18041 1804318041 18047 1804918047 18059 1806118059 18077
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18121
18119
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18251 1825318251 18257 18269
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18773 18787 18793 18797
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18947 18959
18973 18979
Hay 94 primos y 12 parejas de primos gemelos entre 18001 y 19000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
19001 19009 19013 19031 19037
19051 19069 19073 19079
19081
19079
19087
19121 19139 1914119139 19157
19163 19181 1918319181
19207 19211 1921319211 19219 19231 19237
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19333
19373 19379 1938119379 19387 19391
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19531 19541 1954319541 19553 19559
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19603 19609
19661
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19727 19739 19751 1975319751 19759
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19801 19813 19819
19841 1984319841 19853 19861 19867
19889 1989119889 19913 19919
19927 19937 19949
19961 1996319961 19973 19979 19991 1999319991 19997
Hay 104 primos y 15 parejas de primos gemelos entre 19001 y 20000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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Hay 89 primos y 10 parejas de primos gemelos entre 90001 y 91000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
91009 91019 91033
91079
91081
91079
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Hay 85 primos y 10 parejas de primos gemelos entre 91001 y 92000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
92003 92009 92033
92041 92051 92077
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92987 92993
Hay 97 primos y 12 parejas de primos gemelos entre 92001 y 93000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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Hay 86 primos y 12 parejas de primos gemelos entre 93001 y 94000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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Hay 87 primos y 13 parejas de primos gemelos entre 94001 y 95000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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Hay 95 primos y 8 parejas de primos gemelos entre 95001 y 96000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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Hay 84 primos y 7 parejas de primos gemelos entre 96001 y 97000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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Hay 82 primos y 15 parejas de primos gemelos entre 97001 y 98000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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Hay 87 primos y 13 parejas de primos gemelos entre 98001 y 99000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
99013 99017 99023
99041 99053 99079
99083 99089 99103 99109 99119
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99961 99971 99989 9999199989
Hay 87 primos y 8 parejas de primos gemelos entre 99001 y 100000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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500041 500057 500069
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500977
Hay 79 primos y 8 parejas de primos gemelos entre 500001 y 501000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
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501967 501971 501997
Hay 74 primos y 5 parejas de primos gemelos entre 501001 y 502000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
502001 502013 502039
502043 502057 502063 502079
502081
502079
502087 502093
502121 502133 502141
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502409 502421 502429
502441 502451
502487 502499 502501502499 502507 502517
502543 502549 502553
502591 502597
502613 502631 502633502631
502643 502651 502669
502687 502699 502703 502717
502729
502769 502771502769 502781 502787
502807 502819 502829
502841 502847 502861
502883 502919
502921
502919
502937
502961 502973
Hay 67 primos y 6 parejas de primos gemelos entre 502001 y 503000
Primos a nuestro alrededor Los numeros primos Distribucion de los numeros primos Aplicaciones
503003 503017 503039
503053 503077
503123 503131 503137 503147 503159
503197
503207 503213 503227 503231 503233503231
503249 503267
503287 503297 503303 503317
503339 503351 503359
503369 503381 503383503381 503389
503407 503413 503423 503431
503441 503453
503483 503501
503543 503549 503551503549
503563 503593 503599
503609 503611503609 503621 503623503621
503647 503653 503663
503707 503717
503743 503753
503771 503777 503779503777 503791
503803 503819 503821503819 503827
503851 503857 503869 503879
503911
503927 503929503927 503939 503947 503959
503963 503969 503983 503989
Hay 76 primos y 8 parejas de primos gemelos entre 503001 y 504000
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504001 504011 504017
504047 504061 504073
504103
504121 504139 504143 504149 504151504149 504157
504181 504187 504197
504209 504221
504247 504269
504289 504299 504307 504311
504323 504337 504349 504353 504359
504377 504379504377 504389
504403
504457 504461 504473 504479
504521 504523504521 504527 504547
504563 504593 504599
504607 504617 504619504617 504631
504661 504667 504671 504677
504683
504727
504767 504787 504797 504799504797
504817 504821
504851 504853504851 504857 504871 504877
504893 504901
504929 504937 504943 504947 504953
504967 504983 504989 504991504989
Hay 76 primos y 7 parejas de primos gemelos entre 504001 y 505000
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Hay 432 primos y 49 parejas de gemelos entre 100001 y 105000
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Hay 397 primos y 44 parejas de gemelos entre 200001 y 205000
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Hay 412 primos y 44 parejas de gemelos entre 300001 y 305000
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Hay 368 primos y 39 parejas de gemelos entre 1000001 y 1005000
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Hay 316 primos y 26 parejas de gemelos entre 5000001 y 5005000
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Hay 305 primos y 29 parejas de gemelos entre 10000001 y 10005000
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Lagunas sin numeros primos
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Lagunas sin numeros primos
Existen “lagunas” sin numeros primos tan grandes como queramos.
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Lagunas sin numeros primos
Existen “lagunas” sin numeros primos tan grandes como queramos.
7 8 9 10 11
Esta es una laguna de longitud 3
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Lagunas sin numeros primos
Existen “lagunas” sin numeros primos tan grandes como queramos.
23 24 25 26 27 28 29
Esta es una laguna de longitud 5
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Lagunas sin numeros primos
Existen “lagunas” sin numeros primos tan grandes como queramos.
89 90 91 92 93 94 95 96 97
Esta es una laguna de longitud 7
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Lagunas sin numeros primos
Existen “lagunas” sin numeros primos tan grandes como queramos.
887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900 901 902 903 904 905 906 907
Esta es una laguna de longitud 19
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Lagunas sin numeros primos
Existen “lagunas” sin numeros primos tan grandes como queramos.
10000019 10000079
Esta es una laguna de longitud 59
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Lagunas sin numeros primos
Existen “lagunas” sin numeros primos tan grandes como queramos.
primo . . . (N + 1)! + 2
(N + 1)! + 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(N + 1)! + (N − 1)
(N + 1)! + N
(N + 1)! + (N + 1) . . . primo
Esta es una laguna de longitud como mınimo N
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Lagunas sin numeros primos
Existen “lagunas” sin numeros primos tan grandes como queramos.
Pero para encontrar una de longitud como mınimo 5000
primo . . . 5001! + 2
5001! + 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5001! + 4999
5001! + 5000
(N + 1)! + (N + 1) . . . primo
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Lagunas sin numeros primos
Existen “lagunas” sin numeros primos tan grandes como queramos.
Pero para encontrar una de longitud como mınimo 5000
primo . . . 5001! + 2
5001! + 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5001! + 4999
5001! + 5000
(N + 1)! + (N + 1) . . . primo
necesitamos llegar a 5001! = 5000 × 4999 × 4998 × · · · × 3× 2× 1,
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Lagunas sin numeros primos
Existen “lagunas” sin numeros primos tan grandes como queramos.
Pero para encontrar una de longitud como mınimo 5000
primo . . . 5001! + 2
5001! + 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5001! + 4999
5001! + 5000
(N + 1)! + (N + 1) . . . primo
necesitamos llegar a 5001! = 5000 × 4999 × 4998 × · · · × 3× 2× 1,
¡que es un numero con nada menos que 16330 cifras!
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¿Cuantos primos hay menores que un numero dado?
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¿Cuantos primos hay menores que un numero dado?
π(x) indica la cantidad de numeros primos ≤ x :
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¿Cuantos primos hay menores que un numero dado?
π(x) indica la cantidad de numeros primos ≤ x :
π(2) = 1, π(3) = π(4) = 2, π(5) = π(6) = 3, etc.
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¿Cuantos primos hay menores que un numero dado?
N π(N) Fecha
101 4102 25103 168104 1,229105 9,5921010 455,052,5111014 3,204,941,750,802 [LMO1985]1015 29,844,570,422,669 [LMO1985]1016 279,238,341,033,925 [LMO1985]1017 2,623,557,157,654,233 [DR1996]1018 24,739,954,287,740,860 [DR1996]1020 2,220,819,602,560,918,8401024 18,435,599,767,349,200,867,866 [BFJK2010-RH]1025 176,846,309,399,143,769,411,680 [BFJK2013]
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¿Cuantos primos hay menores que un numero dado?
Legendre (1798) conjetura:
π(x) ∼x
log x
(
o mejor ∼x
log x − 1
)
.
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¿Cuantos primos hay menores que un numero dado?
Legendre (1798) conjetura:
π(x) ∼x
log x
(
o mejor ∼x
log x − 1
)
.
Gauss (1849?) conjetura
π(x) ∼ Li(x) =
∫ x
2
dt
log t.
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¿Cuantos primos hay menores que un numero dado?
El “teorema de los numeros primos”: Hadamard, de la ValleePoussin (1896):
π(x) = Li(x) + O(
xe−a√log x
)
, a > 0.
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¿Cuantos primos hay menores que un numero dado?
El “teorema de los numeros primos”: Hadamard, de la ValleePoussin (1896):
π(x) = Li(x) + O(
xe−a√log x
)
, a > 0.
El error depende de la “Hipotesis de Riemann”.
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¿Cuantos primos hay menores que un numero dado?
El “teorema de los numeros primos”: Hadamard, de la ValleePoussin (1896):
π(x) = Li(x) + O(
xe−a√log x
)
, a > 0.
El error depende de la “Hipotesis de Riemann”.
Koch (1901): La Hipotesis de Riemann es equivalente a:
π(x) = Li(x) + O(
x12 log x
)
.
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¿Pero en que consiste la Hipotesis de Riemann?
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¿Pero en que consiste la Hipotesis de Riemann?
Euler:π2
6= 1 +
1
4+
1
9+
1
16+ · · ·
π4
90= 1 +
1
24+
1
34+
1
44+ · · ·
π6
945= 1 +
1
26+
1
36+
1
46+ · · ·
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¿Pero en que consiste la Hipotesis de Riemann?
Euler:π2
6= 1 +
1
4+
1
9+
1
16+ · · ·
π4
90= 1 +
1
24+
1
34+
1
44+ · · ·
π6
945= 1 +
1
26+
1
36+
1
46+ · · ·
de hecho, para cualquier numero par r = 2k :
(−1)k−1(2π)rBr
2(r !)= 1 +
1
2r+
1
3r+
1
4r+ · · ·
donde Br son los ”numeros de Bernoulli”.
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¿Pero en que consiste la Hipotesis de Riemann?
Seguimos con Euler:
1 +1
22+
1
32+
1
42+
1
52+
1
62+
1
72+
1
82· · · =
(
1−1
22
)−1
×
(
1−1
32
)−1
×
(
1−1
52
)−1
×
(
1−1
72
)−1
×
(
1−1
112
)−1
×
(
1−1
132
)−1
×
(
1−1
172
)−1
× · · ·
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¿Pero en que consiste la Hipotesis de Riemann?
Seguimos con Euler:
1 +1
22+
1
32+
1
42+
1
52+
1
62+
1
72+
1
82· · · =
(
1−1
22
)−1
×
(
1−1
32
)−1
×
(
1−1
52
)−1
×
(
1−1
72
)−1
×
(
1−1
112
)−1
×
(
1−1
132
)−1
×
(
1−1
172
)−1
× · · ·
∞∑
n=1
1
nr=
∏
p primo
(
1−1
pr
)−1
.
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¿Pero en que consiste la Hipotesis de Riemann?
Funcion ζ de Euler-Riemann:
ζ(s) =∞∑
n=1
1
ns, Re(s) > 1.
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¿Pero en que consiste la Hipotesis de Riemann?
Funcion ζ de Euler-Riemann:
ζ(s) =∞∑
n=1
1
ns, Re(s) > 1.
Riemann: ζ(s) se prolonga analıticamente a una funcionmeromorfa con un unico polo en s = 1 (la serie armonica).
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¿Pero en que consiste la Hipotesis de Riemann?
Funcion ζ de Euler-Riemann:
ζ(s) =∞∑
n=1
1
ns, Re(s) > 1.
Riemann: ζ(s) se prolonga analıticamente a una funcionmeromorfa con un unico polo en s = 1 (la serie armonica).
ζ(0) = 12 , ζ(−2) = ζ(−4) = ζ(−6) = · · · = 0 (los ceros
“triviales”).
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¿Pero en que consiste la Hipotesis de Riemann?
Funcion ζ de Euler-Riemann:
ζ(s) =∞∑
n=1
1
ns, Re(s) > 1.
Riemann: ζ(s) se prolonga analıticamente a una funcionmeromorfa con un unico polo en s = 1 (la serie armonica).
ζ(0) = 12 , ζ(−2) = ζ(−4) = ζ(−6) = · · · = 0 (los ceros
“triviales”).
El resto de los ceros de ζ(s) (los“no triviales”) estan en labanda crıtica 0 < Re(s) < 1.
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¿Pero en que consiste la Hipotesis de Riemann?
Funcion ζ de Euler-Riemann:
ζ(s) =∞∑
n=1
1
ns, Re(s) > 1.
Riemann: ζ(s) se prolonga analıticamente a una funcionmeromorfa con un unico polo en s = 1 (la serie armonica).
ζ(0) = 12 , ζ(−2) = ζ(−4) = ζ(−6) = · · · = 0 (los ceros
“triviales”).
El resto de los ceros de ζ(s) (los“no triviales”) estan en labanda crıtica 0 < Re(s) < 1.
Riemann conjeturo en 1859 que todos los ceros no triviales deζ(s) estan en la lınea crıtica Re(s) = 1
2 .
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¿Pero en que consiste la Hipotesis de Riemann?
De la conjetura de Riemann, conocida como Hipotesis deRiemann, depende en gran medida nuestro conocimientoacerca de la distribucion de los numeros primos . . .
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¿Pero en que consiste la Hipotesis de Riemann?
De la conjetura de Riemann, conocida como Hipotesis deRiemann, depende en gran medida nuestro conocimientoacerca de la distribucion de los numeros primos . . .
Hilbert considero la Hipotesis de Riemann como uno de losproblemas abiertos estrella dentro de su famosa lista deproblemas.
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¿Pero en que consiste la Hipotesis de Riemann?
De la conjetura de Riemann, conocida como Hipotesis deRiemann, depende en gran medida nuestro conocimientoacerca de la distribucion de los numeros primos . . .
Hilbert considero la Hipotesis de Riemann como uno de losproblemas abiertos estrella dentro de su famosa lista deproblemas.
La Hipotesis de Riemann es uno de los 7 “Problemas delMilenio” del Instituto Clay.
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Leonhard Euler
Basilea, 1707 – San Petersburgo, 1783
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Bernhard Riemann
Hanover, 1826 – Verbania, 1866
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El mayor primo “conocido”
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El mayor primo “conocido”
Una cosa es saber que hay infinitos primos y otra bien distintapoder mostrar primos tan grandes como queramos
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El mayor primo “conocido”
1 A dıa de hoy (desde el 7 de enero de 2016!) el primo masgrande conocido es:
274,207,281 − 1
(¡tiene 22.338.618 dıgitos! ¡para escribirlo harıa falta una tirade papel de mas de 77 Km de longitud! )
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El mayor primo “conocido”
1 A dıa de hoy (desde el 7 de enero de 2016!) el primo masgrande conocido es:
274,207,281 − 1
(¡tiene 22.338.618 dıgitos! ¡para escribirlo harıa falta una tirade papel de mas de 77 Km de longitud! )
2 La pareja mayor conocida de primos gemelos es a dıa de hoy(desde diciembre de 2011)
3,756,801,695,685 × 2666,669 ± 1
(¡con 200.700 dıgitos!)
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El mayor primo “conocido”
1 A dıa de hoy (desde el 7 de enero de 2016!) el primo masgrande conocido es:
274,207,281 − 1
(¡tiene 22.338.618 dıgitos! ¡para escribirlo harıa falta una tirade papel de mas de 77 Km de longitud! )
2 La pareja mayor conocida de primos gemelos es a dıa de hoy(desde diciembre de 2011)
3,756,801,695,685 × 2666,669 ± 1
(¡con 200.700 dıgitos!)
3 A dıa de hoy no sabemos si existen infinitasparejas de primos gemelos!!!
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Progresiones de numeros primos
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Progresiones de numeros primos
Una progresion de primos de longitud 3 y “espaciado” 2:
3, 5, 7
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Progresiones de numeros primos
Una progresion de primos de longitud 4 y “espaciado” 6:
61, 67, 73, 79
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Progresiones de numeros primos
Una progresion de primos de longitud 10 y “espaciado” 210:
199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089
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Progresiones de numeros primos
La progresion de primos consecutivos de longitud 6 mas pequenatiene “espaciado” 30:
121174811, 121174841, 121174871, 121174901, 121174931, 121174961
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Progresiones de numeros primos
Teorema: Existen progresiones de numeros primos delongitud tan grande como queramos con separacion entresus terminos constante (2004, Terence Tao (1975 - ) (medallaFields 2006), Ben Green (1977 -))
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Progresiones de numeros primos
Teorema: Existen progresiones de numeros primos delongitud tan grande como queramos con separacion entresus terminos constante (2004, Terence Tao (1975 - ) (medallaFields 2006), Ben Green (1977 -))
La demostracion no es constructiva.
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Terence Tao
Adelaida, 1975 –
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Acercandonos a la conjetura de los primos gemelos
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Acercandonos a la conjetura de los primos gemelos
Teorema (Y. Zhang, 2013): Existe un numeroN < 70× 106 para el que hay infinitas parejas de numerosprimos de la forma (p, p + N).
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Acercandonos a la conjetura de los primos gemelos
Teorema (Y. Zhang, 2013): Existe un numeroN < 70× 106 para el que hay infinitas parejas de numerosprimos de la forma (p, p + N).
El caso de los primos gemelos serıa N = 2.
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Acercandonos a la conjetura de los primos gemelos
Teorema (Y. Zhang, 2013): Existe un numeroN < 70× 106 para el que hay infinitas parejas de numerosprimos de la forma (p, p + N).
El caso de los primos gemelos serıa N = 2.
(J. Maynard, 2013) Mejora el resultado para algun N < 600.
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Acercandonos a la conjetura de los primos gemelos
Teorema (Y. Zhang, 2013): Existe un numeroN < 70× 106 para el que hay infinitas parejas de numerosprimos de la forma (p, p + N).
El caso de los primos gemelos serıa N = 2.
(J. Maynard, 2013) Mejora el resultado para algun N < 600.
(Polymath project 8, 2014) Mejora el resultado para algunN < 246.
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Yitang Zhang
Shanghai, 1955 –Courtesy of the John D. and Catherine T. MacArthur Foundation
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La Teorıa de Numeros en Sevilla
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La Teorıa de Numeros en Sevilla
La Teorıa de Numeros es una rama clasica de las Matematicasque la ha hecho y sigue haciendo evolucionar con desarrollosenormemente sofisticados.
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La Teorıa de Numeros en Sevilla
La Teorıa de Numeros es una rama clasica de las Matematicasque la ha hecho y sigue haciendo evolucionar con desarrollosenormemente sofisticados.
Las investigaciones punteras en este tema se concentran enlos centros academicos mas prestigiosos: Princeton, Paris,Harvard, Berkeley, MIT, MPI (Bonn), RIMS (Kyoto),Cambridge, Oxford, etc.
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La Teorıa de Numeros en Sevilla
La Teorıa de Numeros es una rama clasica de las Matematicasque la ha hecho y sigue haciendo evolucionar con desarrollosenormemente sofisticados.
Las investigaciones punteras en este tema se concentran enlos centros academicos mas prestigiosos: Princeton, Paris,Harvard, Berkeley, MIT, MPI (Bonn), RIMS (Kyoto),Cambridge, Oxford, etc.
y tambien en centros no academicos, como AgenciasNacionales de Seguridad, grandes companıas y otros.
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La Teorıa de Numeros en Sevilla
La Teorıa de Numeros es una rama clasica de las Matematicasque la ha hecho y sigue haciendo evolucionar con desarrollosenormemente sofisticados.
Las investigaciones punteras en este tema se concentran enlos centros academicos mas prestigiosos: Princeton, Paris,Harvard, Berkeley, MIT, MPI (Bonn), RIMS (Kyoto),Cambridge, Oxford, etc.
y tambien en centros no academicos, como AgenciasNacionales de Seguridad, grandes companıas y otros.
En la Universidad de Sevilla y en nuestra Academia tambienesta presente.
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Pero volvamos a nuestro alrededor. . .
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Pero volvamos a nuestro alrededor. . .
Ciertamente la curiosidad cientıfica siempre ha sido motor de laHumanidad, pero los numeros primos tienen aplicaciones practicasque estan presentes en nuestra vida cotidiana . . .
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Pero volvamos a nuestro alrededor. . .
Criptografıa: La seguridad de las tarjetas de credito o de lastransmisiones a traves de internet (certificados) se basan en unhecho matematico muy simple (RSA):
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Pero volvamos a nuestro alrededor. . .
Criptografıa: La seguridad de las tarjetas de credito o de lastransmisiones a traves de internet (certificados) se basan en unhecho matematico muy simple (RSA):
disponer de dos numeros primos p y q muy grandes (del orden de150 a 300 dıgitos) y multiplicarlos:
N = p × q
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Pero volvamos a nuestro alrededor. . .
Criptografıa: La seguridad de las tarjetas de credito o de lastransmisiones a traves de internet (certificados) se basan en unhecho matematico muy simple (RSA):
disponer de dos numeros primos p y q muy grandes (del orden de150 a 300 dıgitos) y multiplicarlos:
N = p × q
Resulta imposible en la practica encontrar p y q a partir de N.
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Sistema criptografico RSA
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Sistema criptografico RSA
RSA = Ronald R. Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman (1976)
(1947 -) (1952 -) (1945 -)
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Sistema criptografico RSA
Se trata de un procedimiento de encriptacion de mensajesbasado en la extrema complejidad de la factorizacion denumeros enteros.
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Sistema criptografico RSA
Se trata de un procedimiento de encriptacion de mensajesbasado en la extrema complejidad de la factorizacion denumeros enteros.
Se utiliza desde hace mas de 25 anos en:
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Sistema criptografico RSA
Se trata de un procedimiento de encriptacion de mensajesbasado en la extrema complejidad de la factorizacion denumeros enteros.
Se utiliza desde hace mas de 25 anos en: tarjetas bancarias,
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Sistema criptografico RSA
Se trata de un procedimiento de encriptacion de mensajesbasado en la extrema complejidad de la factorizacion denumeros enteros.
Se utiliza desde hace mas de 25 anos en: tarjetas bancarias,transmisiones seguras a traves de internet (https),
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Sistema criptografico RSA
Se trata de un procedimiento de encriptacion de mensajesbasado en la extrema complejidad de la factorizacion denumeros enteros.
Se utiliza desde hace mas de 25 anos en: tarjetas bancarias,transmisiones seguras a traves de internet (https), firmadigital (e.g. certificados para la declaracion de la renta), etc.
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Sistema criptografico RSA
Se trata de un procedimiento de encriptacion de mensajesbasado en la extrema complejidad de la factorizacion denumeros enteros.
Se utiliza desde hace mas de 25 anos en: tarjetas bancarias,transmisiones seguras a traves de internet (https), firmadigital (e.g. certificados para la declaracion de la renta), etc.
Cambio de esquema:
clave publica versus sistemas secretos
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¿Como funciona RSA?
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¿Como funciona RSA?
Dos personas, Ana y Guillermo, desean comunicarse de formasegura, sin que nadie pueda enterarse.
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¿Como funciona RSA?
Dos personas, Ana y Guillermo, desean comunicarse de formasegura, sin que nadie pueda enterarse.
Primer paso: Guillermo genera dos numeros primos p y q
como antes y calcula los productos
n = p × q, m = (p − 1)× (q − 1).
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¿Como funciona RSA?
Dos personas, Ana y Guillermo, desean comunicarse de formasegura, sin que nadie pueda enterarse.
Primer paso: Guillermo genera dos numeros primos p y q
como antes y calcula los productos
n = p × q, m = (p − 1)× (q − 1).
Segundo paso: Guillermo calcula dos numeros enteros d y e
tales que
d × e − 1 es multiplo de m (d × e ≡m 1) .
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¿Como funciona RSA?
Dos personas, Ana y Guillermo, desean comunicarse de formasegura, sin que nadie pueda enterarse.
Primer paso: Guillermo genera dos numeros primos p y q
como antes y calcula los productos
n = p × q, m = (p − 1)× (q − 1).
Segundo paso: Guillermo calcula dos numeros enteros d y e
tales que
d × e − 1 es multiplo de m (d × e ≡m 1) .
Tercer paso: Guillermo guarda en secreto p, q,m, d y hacepublicos n, e.
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Guillermo guarda en secreto p, q,m, d y hace publicos n, e
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Guillermo guarda en secreto p, q,m, d y hace publicos n, e
¿y ahora que?
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Guillermo guarda en secreto p, q,m, d y hace publicos n, e
Ana desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Guillermode manera que solo Guillermo pueda descifrarlo
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Guillermo guarda en secreto p, q,m, d y hace publicos n, e
Ana desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Guillermode manera que solo Guillermo pueda descifrarlo (debemostomar 0 ≤ M < n):
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Guillermo guarda en secreto p, q,m, d y hace publicos n, e
Ana desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Guillermode manera que solo Guillermo pueda descifrarlo (debemostomar 0 ≤ M < n): Ana calcula Me ,
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Guillermo guarda en secreto p, q,m, d y hace publicos n, e
Ana desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Guillermode manera que solo Guillermo pueda descifrarlo (debemostomar 0 ≤ M < n): Ana calcula Me , lo divide por n ycalcula su resto E
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Guillermo guarda en secreto p, q,m, d y hace publicos n, e
Ana desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Guillermode manera que solo Guillermo pueda descifrarlo (debemostomar 0 ≤ M < n): Ana calcula Me , lo divide por n ycalcula su resto E (n, e son publicos),
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Guillermo guarda en secreto p, q,m, d y hace publicos n, e
Ana desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Guillermode manera que solo Guillermo pueda descifrarlo (debemostomar 0 ≤ M < n): Ana calcula Me , lo divide por n y calculasu resto E (n, e son publicos), y se lo envıa a Guillermo
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Guillermo guarda en secreto p, q,m, d y hace publicos n, e
Ana desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Guillermode manera que solo Guillermo pueda descifrarlo (debemostomar 0 ≤ M < n): Ana calcula Me , lo divide por n y calculasu resto E (n, e son publicos), y se lo envıa a Guillermo
¿y como descifra Guillermo el numero E y recupera el numeroinicial M?
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Guillermo guarda en secreto p, q,m, d y hace publicos n, e
Ana desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Guillermode manera que solo Guillermo pueda descifrarlo (debemostomar 0 ≤ M < n): Ana calcula Me , lo divide por n y calculasu resto E (n, e son publicos), y se lo envıa a Guillermo
¿y como descifra Guillermo el numero E y recupera el numeroinicial M?
para eso estan las Matematicas
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Guillermo guarda en secreto p, q,m, d y hace publicos n, e
Ana desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Guillermode manera que solo Guillermo pueda descifrarlo (debemostomar 0 ≤ M < n): Ana calcula Me , lo divide por n y calculasu resto E (n, e son publicos), y se lo envıa a Guillermo
¿y como descifra Guillermo el numero E y recupera el numeroinicial M?
para eso estan las Matematicas
Guillermo calcula Ed
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Guillermo guarda en secreto p, q,m, d y hace publicos n, e
Ana desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Guillermode manera que solo Guillermo pueda descifrarlo (debemostomar 0 ≤ M < n): Ana calcula Me , lo divide por n y calculasu resto E (n, e son publicos), y se lo envıa a Guillermo
¿y como descifra Guillermo el numero E y recupera el numeroinicial M?
para eso estan las Matematicas
Guillermo calcula Ed (d es secreto, solo lo conoce Guillermo),
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Guillermo guarda en secreto p, q,m, d y hace publicos n, e
Ana desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Guillermode manera que solo Guillermo pueda descifrarlo (debemostomar 0 ≤ M < n): Ana calcula Me , lo divide por n y calculasu resto E (n, e son publicos), y se lo envıa a Guillermo
¿y como descifra Guillermo el numero E y recupera el numeroinicial M?
para eso estan las Matematicas
Guillermo calcula Ed (d es secreto, solo lo conoce Guillermo),lo divide por n y calcula su resto.
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Guillermo guarda en secreto p, q,m, d y hace publicos n, e
Ana desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Guillermode manera que solo Guillermo pueda descifrarlo (debemostomar 0 ≤ M < n): Ana calcula Me , lo divide por n y calculasu resto E (n, e son publicos), y se lo envıa a Guillermo
¿y como descifra Guillermo el numero E y recupera el numeroinicial M?
para eso estan las Matematicas
Guillermo calcula Ed (d es secreto, solo lo conoce Guillermo),lo divide por n y calcula su resto.
¡y ese resto es M!
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¿y por que es cierto todo esto?
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¿y por que es cierto todo esto?
Sabıamos que e × d − 1 era multiplo de m
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¿y por que es cierto todo esto?
Sabıamos que e × d − 1 era multiplo de m
e × d − 1 = km = k(p − 1)(q − 1).
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¿y por que es cierto todo esto?
Sabıamos que e × d − 1 era multiplo de m
e × d − 1 = km = k(p − 1)(q − 1).
Si M no es multiplo de p, el “pequeno teorema de Fermat”
nos dice que Mp−1 ≡p 1
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¿y por que es cierto todo esto?
Sabıamos que e × d − 1 era multiplo de m
e × d − 1 = km = k(p − 1)(q − 1).
Si M no es multiplo de p, el “pequeno teorema de Fermat”
nos dice que Mp−1 ≡p 1
y por tanto
Med = M1+k(p−1)(q−1)≡p M
(
Mp−1)k(q−1)
≡p M
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¿y por que es cierto todo esto?
Sabıamos que e × d − 1 era multiplo de m
e × d − 1 = km = k(p − 1)(q − 1).
Si M no es multiplo de p, el “pequeno teorema de Fermat”
nos dice que Mp−1 ≡p 1
y por tanto
Med = M1+k(p−1)(q−1)≡p M
(
Mp−1)k(q−1)
≡p M
Si M es multiplo de p, entonces M ≡p 0 y por tanto tambienMed ≡p 0 ≡p M
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¿y por que es cierto todo esto?
Sabıamos que e × d − 1 era multiplo de m
e × d − 1 = km = k(p − 1)(q − 1).
Si M no es multiplo de p, el “pequeno teorema de Fermat”
nos dice que Mp−1 ≡p 1
y por tanto
Med = M1+k(p−1)(q−1)≡p M
(
Mp−1)k(q−1)
≡p M
Si M es multiplo de p, entonces M ≡p 0 y por tanto tambienMed ≡p 0 ≡p M
Del mismo modo deducimos que Med ≡q M
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¿y por que es cierto todo esto?
Sabıamos que e × d − 1 era multiplo de m
e × d − 1 = km = k(p − 1)(q − 1).
Si M no es multiplo de p, el “pequeno teorema de Fermat”
nos dice que Mp−1 ≡p 1
y por tanto
Med = M1+k(p−1)(q−1)≡p M
(
Mp−1)k(q−1)
≡p M
Si M es multiplo de p, entonces M ≡p 0 y por tanto tambienMed ≡p 0 ≡p M
Del mismo modo deducimos que Med ≡q M
y como n = p × q, deducimos
Ed = Med≡n M.
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Firmas digitales
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Firmas digitales
Guillermo desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Anade manera que Ana pueda estar seguro de que el mensaje hasido enviado por Guillermo.
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Firmas digitales
Guillermo desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Anade manera que Ana pueda estar seguro de que el mensaje hasido enviado por Guillermo.
Primer paso: Guillermo desencripta M con su clave secreta, esdecir calcula Md y despues su resto F por la division por n.
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Firmas digitales
Guillermo desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Anade manera que Ana pueda estar seguro de que el mensaje hasido enviado por Guillermo.
Primer paso: Guillermo desencripta M con su clave secreta, esdecir calcula Md y despues su resto F por la division por n.
Segundo paso: Guillermo encripta M y F con la clave publicade Ana y obtiene M ′,F ′, y se los envıa a Ana.
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Firmas digitales
Guillermo desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Anade manera que Ana pueda estar seguro de que el mensaje hasido enviado por Guillermo.
Primer paso: Guillermo desencripta M con su clave secreta, esdecir calcula Md y despues su resto F por la division por n.
Segundo paso: Guillermo encripta M y F con la clave publicade Ana y obtiene M ′,F ′, y se los envıa a Ana.
¿como sabe Ana que el mensaje M ′,F ′ ha sido enviado porGuillermo?
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Firmas digitales
Guillermo desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Anade manera que Ana pueda estar seguro de que el mensaje hasido enviado por Guillermo.
Primer paso: Guillermo desencripta M con su clave secreta, esdecir calcula Md y despues su resto F por la division por n.
Segundo paso: Guillermo encripta M y F con la clave publicade Ana y obtiene M ′,F ′, y se los envıa a Ana.
¿como sabe Ana que el mensaje M ′,F ′ ha sido enviado porGuillermo?
Ana desencripta M ′,F ′ con su clave secreta y encuentra M,F ,
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Firmas digitales
Guillermo desea mandar un numero M (un “mensaje”) a Anade manera que Ana pueda estar seguro de que el mensaje hasido enviado por Guillermo.
Primer paso: Guillermo desencripta M con su clave secreta, esdecir calcula Md y despues su resto F por la division por n.
Segundo paso: Guillermo encripta M y F con la clave publicade Ana y obtiene M ′,F ′, y se los envıa a Ana.
¿como sabe Ana que el mensaje M ′,F ′ ha sido enviado porGuillermo?
Ana desencripta M ′,F ′ con su clave secreta y encuentra M,F ,
pero ademas encripta con la clave publica de Guillermo elmensaje F y si coincide con M entonces esta segura de que elmensaje ha sido enviado por Guillermo.
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Y como era de esperar, aquı no termina la historia. . .
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Y como era de esperar, aquı no termina la historia. . .
La matematica involucrada en RSA es muy elemental: la clavees el cambio de paradigma.
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Y como era de esperar, aquı no termina la historia. . .
La matematica involucrada en RSA es muy elemental: la clavees el cambio de paradigma.
Pero el funcionamiento practico de RSA depende de doscuestiones que hasta ahora no he mencionado:
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Y como era de esperar, aquı no termina la historia. . .
La matematica involucrada en RSA es muy elemental: la clavees el cambio de paradigma.
Pero el funcionamiento practico de RSA depende de doscuestiones que hasta ahora no he mencionado: la capacidad degenerar primos grandes con rapidez y en cantidad,
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Y como era de esperar, aquı no termina la historia. . .
La matematica involucrada en RSA es muy elemental: la clavees el cambio de paradigma.
Pero el funcionamiento practico de RSA depende de doscuestiones que hasta ahora no he mencionado: la capacidad degenerar primos grandes con rapidez y en cantidad, y que elproblema de la factorizacion en primos siga siendo unproblema intratable.
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Y como era de esperar, aquı no termina la historia. . .
La matematica involucrada en RSA es muy elemental: la clavees el cambio de paradigma.
Pero el funcionamiento practico de RSA depende de doscuestiones que hasta ahora no he mencionado: la capacidad degenerar primos grandes con rapidez y en cantidad, y que elproblema de la factorizacion en primos siga siendo unproblema intratable.
Para lo primero, se han producido grandes avances,
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Y como era de esperar, aquı no termina la historia. . .
La matematica involucrada en RSA es muy elemental: la clavees el cambio de paradigma.
Pero el funcionamiento practico de RSA depende de doscuestiones que hasta ahora no he mencionado: la capacidad degenerar primos grandes con rapidez y en cantidad, y que elproblema de la factorizacion en primos siga siendo unproblema intratable.
Para lo primero, se han producido grandes avances, porejemplo, en los “test de primalidad’, y valga como ilustracionel proyecto GIMPS, o el resultado de M. Agrawal, N. Kayaland N. Saxena (2004), en el que demostraron que hay unalgoritmo polinomial para determinar si un numero dado esprimo o no.
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Y como era de esperar, aquı no termina la historia. . .
La matematica involucrada en RSA es muy elemental: la clavees el cambio de paradigma.
Pero el funcionamiento practico de RSA depende de doscuestiones que hasta ahora no he mencionado: la capacidad degenerar primos grandes con rapidez y en cantidad, y que elproblema de la factorizacion en primos siga siendo unproblema intratable.
Para lo primero, se han producido grandes avances,
Para lo segundo, existen varias “amenazas”,
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Y como era de esperar, aquı no termina la historia. . .
La matematica involucrada en RSA es muy elemental: la clavees el cambio de paradigma.
Pero el funcionamiento practico de RSA depende de doscuestiones que hasta ahora no he mencionado: la capacidad degenerar primos grandes con rapidez y en cantidad, y que elproblema de la factorizacion en primos siga siendo unproblema intratable.
Para lo primero, se han producido grandes avances,
Para lo segundo, existen varias “amenazas”, como porejemplo, la computacion cuantica, que ofrecerıa teoricamenteun algoritmo polinomial para la descomposicion de numerosen sus factores primos.
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Y como era de esperar, aquı no termina la historia. . .
La matematica involucrada en RSA es muy elemental: la clavees el cambio de paradigma.
Pero el funcionamiento practico de RSA depende de doscuestiones que hasta ahora no he mencionado: la capacidad degenerar primos grandes con rapidez y en cantidad, y que elproblema de la factorizacion en primos siga siendo unproblema intratable.
Para lo primero, se han producido grandes avances,
Para lo segundo, existen varias “amenazas”,
Todo ello hace que los grandes problemas de siempre de lasMatematicas y de la Teorıa de Numeros se den la mano conlas cuestiones mas actuales de las aplicaciones a nuestras vidas
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Y como era de esperar, aquı no termina la historia. . .
La matematica involucrada en RSA es muy elemental: la clavees el cambio de paradigma.
Pero el funcionamiento practico de RSA depende de doscuestiones que hasta ahora no he mencionado: la capacidad degenerar primos grandes con rapidez y en cantidad, y que elproblema de la factorizacion en primos siga siendo unproblema intratable.
Para lo primero, se han producido grandes avances,
Para lo segundo, existen varias “amenazas”,
Los matematicos siguen trabajando para encontrar nuevossistemas criptograficos basados en conocimientos atesoradosdurante siglos: la teorıa de grupos, las curvas elıpticas, ellogaritmo discreto, etc.
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Y como era de esperar, aquı no termina la historia. . .
La matematica involucrada en RSA es muy elemental: la clavees el cambio de paradigma.
Pero el funcionamiento practico de RSA depende de doscuestiones que hasta ahora no he mencionado: la capacidad degenerar primos grandes con rapidez y en cantidad, y que elproblema de la factorizacion en primos siga siendo unproblema intratable.
Para lo primero, se han producido grandes avances,
Para lo segundo, existen varias “amenazas”,
Los matematicos siguen trabajando y sobre todo, encuentrannuevas fuerzas y motivaciones en la busqueda interminable del
UNIVERSO DE LOS NUMEROS PRIMOS.
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MUCHAS GRACIAS
