Luis Radford Bruno D'Amore Semiótica, Cultura y Pensamiento ...

Editores Invitados:Editores Invitados:

Luis RadfordLuis RadfordBruno D’AmoreBruno D’Amore

Semiótica, Cultura y Pensamiento MatemáticoSemiótica, Cultura y Pensamiento MatemáticoSemiotics, Culture and Mathematical ThinkingSemiotics, Culture and Mathematical ThinkingSémiotique, Culture et Pensée MathématiqueSémiotique, Culture et Pensée Mathématique

Número EspecialNúmero Especial

Núm

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Núm

ero E

spec

ial, 2

006

Publicación Oficial de Investigación delComité Latinoamericano de Matemática Educativa

Número Especial, 2006

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa

Editores Invitados:

Luis RadfordBruno D’Amore

Semiótica, Cultura y Pensamiento MatemáticoSemiotics, Culture, and Mathematical ThinkingSémiotique, Culture et Pensée Mathématique

DIRECCIÓN EDITORIAL

Rosa María Farfán([email protected])

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN, México

Luis Carlos ArboledaUniversidad del Valle, Colombia

Michèle ArtigueUniversité Paris 7, Francia

Luis CampistrousInstituto Central de Ciencias Pedagógicas, Cuba

Ricardo CantoralCinvestav – IPN, México

Fernando CajasUniversidad de San Carlos, Guatemala

Francisco CorderoCinvestav -IPN, México

Bruno D’ AmoreUniversità di Bologna, Italia

Ed DubinskyGeorgia State University, EUA

Enrique GalindoIndiana University, EUA

Ismenia GuzmánUniversidad Católica de Valparaíso, Chile

Carlos ImazCinvestav – IPN, México

Delia LernerUniversidad Nacional de Buenos Aires,

Argentina

Luis MontejanoUniversidad Nacional Autónoma de México,

México

León OlivéUniversidad Nacional Autónoma de México,

México

Luis RicoUniversidad de Granada, España

Luis RadfordUniversité Laurentienne, Canadá

Anna SierpinskaConcordia University, Canadá

COMITÉ DE REDACCIÓN

Juan Antonio AlanísITESM, México

Leonora DíazUniversidad Metropolitana de Ciencias de la

Educación, Chile

Crisólogo DoloresUniversidad Autónoma de Guerrero, México

Evangelina DíazUniversidad Nacional, Heredia, Costa Rica

Javier LezamaCicata – IPN, México

Gustavo MartínezUniversidad Autónoma de Guerrero, México

Martín SocasUniversidad de La Laguna, España

Marta ValdemorosCinvestav – IPN, México

Eréndira ValdezUniversidad Pedagógica Nacional, México

Coordinación técnica: María Guadalupe Cabañas, Mario Sánchez, Martha Maldonado, Iván Javier Maldonado, AbrahamEspinosa y José Canché

Diseño editorial: Patricia Sánchez

Portada: «Opus 1» de Oscar Reutersvärd en 1934. Reproducida con permiso de los herederos del artista.

Clame. Consejo Directivo: Presidente: Gustavo Martínez ([email protected]) – México; Secretario: Germán Beitía([email protected]) – Panamá; Tesorero: Joaquín Padovani ([email protected]) – Puerto Rico; Vocal Norteamérica: GiselaMontiel ([email protected]) - México; Vocal Caribe: Juan Raúl Delgado ([email protected]) – Cuba; VocalSudamérica: Cecilia Crespo ([email protected]) – Argentina.Derechos Reservados © Clame A.C., ISSN 1665-2436. Edición CLAME-México, R.F.C. CMM 040505 IC7. Impreso en México

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. Publicación oficial de investigación del Comité Latinoamericano de MatemáticaEducativa. Se publica en los meses de marzo, julio y noviembre. Número especial, 2006. Tiraje 2000 ejemplares. Para cualquier contribución omayor información, favor de dirigirse a la dirección electrónica: [email protected], o consulte la página http://www.clame.org.mx. Relime estádisponible en los siguientes índices: Conacyt – Índice de Revistas Mexicanas de Investigación Científica y Tecnológica:http://www.conacyt.mx/dac/revistas/revistas_catalogo2004.html; Índice de Revistas Latinoamericanas en Ciencia (Periódica): http://www.dgbiblio.unam.mx/periodica.html; SistemaRegional de Información en Línea para Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal (Latindex): http://www.latindex.unam.mx;Índice de Revistas de Educación Superior e Investigación Educativa (Iresie): http://www.unam.mx/cesu/iresie/; Red de Revistas Científicas deAmérica Latina y el Caribe (Red ALyC): http://www.redalyc.com/; EBSCO Information Services: http://www.ebsco.com/home/; IBZ – InternationalBibliography of Periodical Literature in the Humanities and Social Sciences: http://www.gale.com/; ZDM – Zentralblatt für Didaktik der Mathematik:http://www.fizkarlsruhe.de/fiz/publications/zdm/zdmp1.html; Dialnet: http://dialnet.unirioja.es/ ;Informe Académico: www.galeiberoamerica.com

Número Especial:Semiótica, Cultura y Pensamiento Matemático

COMITÉ CIENTÍFICO

Editores Invitados:Luis Radford

Bruno D’Amore

Editorial 6

Introducción. Semiótica y Educación Matemática 7

Luis Radford

Proof and Explanation from a Semiotical Point of View 23

Michael Otte

Quelle sémiotique pour l’analyse de l’activité et des productions 45mathématiques?

Raymond Duval

Socioepistemología y representación: algunos ejemplos 83

Ricardo Cantoral, Rosa-María Farfán, Javier Lezama y GustavoMartínez-Sierra

Elementos de una teoría cultural de la objetivación 103

Luis Radford

Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta 131

Juan D. Godino , Vicenç Font y Miguel R. Wilhelmi

Semiotic Objectifications of the Compensation Strategy: En Route to 157the Reification of Integers

Andreas Koukkoufis y Julian Williams

Objetos, significados, representaciones semióticas y sentido 177

Bruno D’Amore

Contenido

Are registers of representations and problem solving processes on 197functions compartmentalized in students’ thinking?

Athanasios Gagatsis, Iliada Elia y Nikos Mousoulides

Learning Mathematics: Increasing the Value of Initial Mathematical 225Wealth

Adalira Sáenz-Ludlow

Everyday and Mathematical Language 100 Years After the Publication 247of “On Denoting” by Bertrand Russell

Giorgio T. Bagni

Semiosis as a Multimodal Process 267

Ferdinando Arzarello

Conclusiones y perspectivas de investigación futura 301

Bruno D’Amore

Sugerencias y guía para la preparación de artículos 307

Editorial

Con gran placer presentamos nuestro primer número especial de Relimeque versa sobre una temática de actualidad e importancia para lainvestigación en matemática educativa: “Semiótica, Cultura y

Pensamiento Matemático”. Esta iniciativa ha sido posible gracias al grado deconsolidación actual de nuestra revista y a la participación entusiasta y profesionalde nuestros colegas Luis Radford y Bruno D’Amore quienes son nuestros editoresinvitados para este numero especial y a quienes les agradecemos suconocimiento, tiempo y trabajo para el logro de la empresa.

Todas las colaboraciones de este numero siguieron el proceso de revisión yarbitraje estricto usual en Relime y se presentan escritos en castellano, inglés yfrancés como un reflejo de la pluralidad y contribución de las diversas escuelasde pensamiento hacia la temática que convoca a los diversos especialistas dereconocimiento internacionall. Esta experiencia sin duda enriquecerá a nuestracomunidad, por lo que esperamos continuar con la edición de números especialesde Relime. Para que eso sea posible, invitamos a nuestros colegas a enviar suspropuestas.

Reiteramos las consideraciones de origen que guían la política editorial deRelime: nuestro objetivo es el de promover y fomentar la escritura de artículosde investigación de alta calidad en nuestra disciplina, como un paso necesariopara la construcción de la escuela latinoamericana de matemática educativa.Como siempre, expresamos nuestro reconocimiento a quienes nos acompañanen esta empresa: lectores, autores, árbitros y equipo técnico. A todos los colegasque cultivan nuestra disciplina les extendemos nuestra cordial invitación paraque remitan sus colaboraciones a Relime.

Rosa María FarfánDirectora de Relime

Introducción

Semiótica y Educación Matemática

Luis Radford 1

El creciente interés suscitado por la semiótica en el campo de la educación matemáticaen los últimos años se debe nos parece a razones de diferente índole.

Por un lado, ha habido una toma de conciencia progresiva del hecho de que, dada lageneralidad de los objetos matemáticos, la actividad matemática es, esencialmente,una actividad simbólica (D’Amore, 2001; Duval, 1998; Godino y Batanero, 1999; Otte,2003; Radford, 2004; Steinbring, 2005).

Por otro lado, el interés que suscitó en los años 1990 la comprensión de la comunicaciónen el salón de clase puso en evidencia la importancia que tiene, tanto para el investigadorcomo para el maestro, comprender la naturaleza del discurso matemático (Cobb, Yackel,y McClain, 2000; Steinbring, Bartolini Bussi, y Sierpinska, 1998). La semiótica, con suarsenal de métodos y conceptos, aparece como teoría apropiada para intentar dar cuentade la complejidad discursiva.

Otra razón parece ser el uso cada vez mayor de artefactos tecnológicos en la enseñanzay aprendizaje de las matemáticas (Arzarello, 2004; Borba y Villareal, 2006; Guzmán yKieran, 2002; Kaput y Hegedus, 2004; Kieran y Saldanha, 2005). La semiótica, de nuevo,parece ofrecer conceptos capaces de ayudar al didáctico en su tarea de entender elpapel cognitivo que desempeñan los artefactos.

Mencionemos, por último, el hecho de que los artefactos y los signos son portadores deconvenciones y formas culturales de significación que hacen a la semiótica un campomuy bien situado para entender las relaciones entre los signos a través de los cualespiensan los individuos y el contexto cultural (Radford, en prensa-1).

La semiótica se presenta con un amplio y ambicioso espectro de aplicaciones. Esto nodebe, sin embargo, dar la impresión de que la semiótica es una teoría nueva, unificadapor una serie de principios comunes. Hay, por lo menos, tres tradiciones semióticasclaramente diferenciadas. (1) La tradición Saussureana, iniciada por el suizo Ferdinandde Saussure (1857-1913) en una serie de cursos dictados entre 1907 y 1911, tradiciónque emplea el término semiología; (2) la tradición Peirceana, iniciada por elestadounidense Charles Sanders Peirce (1839-1914) quien acuñó el término semiótica;(3); la Vygotskiana, iniciada por el psicólogo ruso Lev S. Vygotski (1896-1934). Cadauna de esas tradiciones emergió y fue desarrollada dentro de problemáticas precisas ydiferentes.

7Relime, Número Especial, pp. 7-21

1 École des sciences de l’éducation. Université Laurentienne, Ontario, Canada.

Relime

La tradición Saussureana

El problema principal para Saussure era elde la comprensión de la lengua, que éldistinguía del lenguaje y de la palabra, unadistinción que reposa en la oposición entrelo social y lo subjetivo. Para Saussure, lapalabra es de orden subjetivo, mientras quela lengua es de orden social. “La lengua”,decía Saussure, “es un sistema de signosque expresan ideas, comparable a laescritura, al alfabeto de los sordomudos, alos ritos simbólicos, a las formas decortesía, a las señales militares, etc. etc.”(Saussure, 1995, p. 33)2. Para Saussure,la lengua no solamente se asemeja a esossistemas de signos, sino que es el másimportante de ellos. Fue en este contextoque Saussure propuso una nueva ciencia,que englobaría la lingüística y cuyo objetivosería el estudio general de los signos:

Podemos concebir, pues, unaciencia que estudie la vida de lossignos en el seno de la vida social;ésta sería parte de la psicologíasocial y, por consiguiente, de lapsicología general; la llamaremossemiología (del griego semeîon,“signo”). Ella nos enseñará en quéconsisten los signos (y) cuáles sonlas leyes que los rigen. (Saussure,–op. cit. p. 33; énfasis en el original).

Para Saussure, los signos no son simplesmarcas que representan cosas en elmundo. Esta idea, dice Saussure, reduceel papel de los signos a una meranomenclatura. El signo, Saussure sugiere,es la unión indisociable de dos elementosde naturaleza psíquica: el concepto(signifié, significado) y la imagen acústica

Excepto en los casos de obras mencionadas en español, en la lista de referencias, las traducciones al español son

nuestras.

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asociada (signifiant, significante). Ellingüista suizo nos invita a imaginar aalguien que nos habla en una lenguadesconocida: “Cuando escuchamos unalengua desconocida, estamos en laimposibi l idad de decir cómo lossonidos que siguen deben seranalizados” (op. cit. p. 145). Lo queaparece ante nosotros es una cadenade sonidos sin significados. “Perocuando sabemos qué sentido y quépapel hay que atribuir a cada parte dela cadena, entonces vemos esaspartes desprenderse de las otras y esacinta (auditiva) amorfa dividirse enfragmentos” o signos con pleno sentido(op. cit. p. 145).

Como lo sugiere este ejemplo, lossignos significan en la medida en queson miembros de un sistema. Esto es,el signo tiene significado cuando estárelacionado con otros signos. Esgracias a este sistema que el signo essigno. Saussure ofrece la analogía conel juego de ajedrez. El caballo, porejemplo, no representa nada, en tantoque pieza material: “En su materialidadpura, fuera de su casilla y de las otrascondiciones del juego, el caballo norepresenta nada para el jugador” (op.cit. p. 153). Esta pieza material no seconvierte en elemento real y concreto,sino hasta cuando reviste el valor quele otorgan las reglas del juego. Lomismo ocurre con los signos.

En la aproximación estructuralista deSaussure, la manera de significar de lossignos reposa en su oposicióndiferencial. Esta idea fue continuada,entre otros, por (Hjelmslev, 1969) yluego por (Eco, 1976).

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Introducción. Semiótica y Educación Matemática

La tradición Peirceana

Charles Sanders Peirce, matemáticodedicado a la lógica, concibió la semióticacomo la “doctrina formal de los signos”. Laorientación de su pragmaticismo (diferentede simple practicalismo como algunos lohan interpretado) no fue la investigaciónde cómo los signos significan en el senode la vida social, como fue el caso deSaussure, sino la manera en que unindividuo genérico utiliza signos paraformar nuevas ideas y nuevos conceptospara alcanzar la verdad. Su teoría depragmaticismo (es decir, la lógica deabducción) es la base de su semiótica. Poresa razón, la semiótica Peirceana semueve cerca de las esferas de la lógica,sin reducirse solamente a ésta.

En tanto que buen discípulo de Kant, Peircehabía notado, contra las ideas de losracionalistas de la antigüedad y del sigloXVII, que el pensamiento humano nopuede ser comprendido a la luz de la teoríade la inferencia o de la lógica formal. ComoKant, Peirce se propuso modificar lascategorías aristotélicas y abandonó, comolo haría Piaget unos años más tarde, elapriorismo Kantiano. Para ello, Peirceadoptó una postura ontológica alineadacon el Realismo escolástico, y elaboró unafenomenología en la cual la manera deconocer pasa por tres experienciasdistintas (Firstness, Secondness andThirdness).

Peirce definió el signo como algo que, paraalguien, toma lugar de otra cosa (el objetodel signo), no en todos los aspectos de estacosa, sino solamente de acuerdo con ciertaforma o capacidad (ver CP 2.2283). En

efecto, según Peirce, el objeto(Secondness) del signo es aprehendidosegún cierta cualidad (Firstnees) demanera tal que un nuevo signo esproducido: el intepretant (interpretante)(Thirdness). Siguiendo el mismo proceso,este interpretante puede convertirse enobjeto de otro nuevo signo y asíindefinidamente (ver CP 1.339).

Este proceso que va de signo en signo osemiosis ilimitada, como la llaman Eco yotros peirceanos, constituye la esencia delpensamiento, pues como dice Peirce enotras partes, “todo pensamiento es unsigno” (CP 1.538, 2.253, 5.314, 5.470). Elproblema es, pues, para Peirce, encontrarel método “correcto” para pensar:

si podemos encontrar el método parapensar y si podemos seguirlo elmétodo correcto de transformaciónde signos entonces la verdad puedeser ni más ni menos que el últimoresultado al cual el método delseguimiento de signos nos conduciríaultimadamente” (Peirce, CP 5.553).

El éxito de la empresa de Peirce reposa,sin embargo, en la adopción de doshipótesis fundamentales, cuyo preciopuede parecer muy elevado: primero, lahipótesis de una adecuación entre elmundo real y el mundo de las ideas, estoes entre ordo rerum y ordo idearum;segundo, la confianza en el razonamientocientífico como modelo metodológico deraciocinio (Radford, 2006).

Respecto a la primera hipótesis,señalemos, brevemente, que Peircesupone que, desde el punto de vistaontológico, la naturaleza es gobernada por

Siguiendo la tradición, en adelante indicaremos los Collected Papers de Peirce (1931-1958) con las siglas CP. El

número 2.228 significa el libro 2, entrada 228. En general, CP a.b significa los Collected Papers, libro a, entrada b).

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Relime

leyes. Además, desde el punto de vistaepistemológico, Peirce supone que estanaturaleza es inteligible.

Respecto a la segunda hipótesis, lamencionada adecuación entre ordo rerumy ordo idearum, sostenida por el extremorealismo escolástico Peirceano (ver Parker,1994, p. 67), es suplementada por una idearacionalista de verdad. El resultado es quela actividad cognitiva del individuoencuentra un aliado incondicional en lanaturaleza. Los signos de la naturaleza yel pensamiento humano caminan juntos,tomados de la mano. Es por eso que Peircepuede decir con confianza que “El soloinmediato propósito del pensamiento esvolver las cosas inteligibles” (CP 1.405). Esgracias a esta idea racionalista de verdadque funciona como idea reguladora que,según Peirce, podemos estar seguroscontra la opinión de Kant y elconstructivismo al que el éste dio origende que en nuestras disquisiciones noestamos corriendo detrás de fantasmas,objetos nominales o simples invencionessubjetivas o ideas “viables” como ha dichoGlaserfeld (1995): al contrario, el “correcto”uso de signos, regulados por esa verdadtrascendental que se expresa en los signosde la naturaleza y que nos revela el métodocientífico, asegura el final feliz de lasemiosis ilimitada (Nesher, 1997; Radford,en prensa-2).

No obstante el precio a pagar por lashipótesis anteriores, la semiótica de Peirceofrece ricas topologías de signos quepueden ser muy útiles en la comprensiónde fenómenos didácticos (Otte, en prensa;Presmeg, 2005; Sáenz-Ludlow, 2003,2004, 2006). Una de las vías actualmenteexploradas dentro de la tradición peirceanaes la del razonamiento diagramático

(Dörfler, 2005; Hoffmann, 2002, 2005;Stjernfelt, 2000).

La tradición Vygotskiana 4

La semiótica Vygostkiana fue elaboradacomo respuesta al problema del estudio delpensamiento y de su desarrollo. Amparadoen la corriente Marxista de su época,Vygotski propuso una teoría del desarrollocognitivo en la cual los conceptos de labory de herramientas desempeñan un papelprimordial. En una conferencia dictada en1930 en la Academia de la educacióncomunista, Vygotski llamó la atenciónsobre el hecho de que el comportamientohumano está inmerso en una serie dedispositivos artificiales (artefactos). Una delas novedades de la teoría vygotskiana fuela de mostrar que en vez de ser simplesayudas, estos dispositivos alteran el cursodel desarrollo natural de los procesospsíquicos. Dichos dispositivos seconvierten en instrumentos psicológicos ysirven de base a la aparición de lasfunciones psíquicas superiores, funcionesque distinguen el reino humano del reinoanimal. Refiriéndose a los instrumentospsicológicos, dice Vygotski:

Los instrumentos psicológicos soncreaciones artificiales;estructuralmente son dispositivossociales y no orgánicos o individuales;están dirigidos al dominio de losprocesos propios o ajenos, lo mismoque la técnica lo está al dominio delos procesos de la naturaleza.(Vygotski, 1991, p. 65)

Para Vygotski y la escuela histórico-culturalde psicología, el problema del desarrollointelectual es planteado como problema

La transliteración del nombre de Vygotski se escribe diferentemente, según el idioma empleado. En inglés la traducción

es Vygotsky.

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cultural. De acuerdo con la “ley genéticade desarrollo cultural” que proponeVygotski,

En el desarrollo cultural del niño,toda función aparece dos veces:primero, a nivel social, y más tarde,a nivel individual; primero entrepersonas (interpsicológicamente), ydespués, en el interior del propioniño (intrapsicológicamente). Estopuede aplicarse igualmente a laatención voluntaria, a la memorialógica y a la formación deconceptos. Todas las funcionessuperiores se originan comorelaciones entre seres humanos.(Vygotski, 1988, p. 94; cursivas enel original).

El signo desempeña una funciónmediadora entre el individuo y su contexto,y permite, además, ese pasaje entre lointerpsicológico y lo intrapsicológico queasegura la reconstrucción interna de laacción, esto es, de su internalización.Vygotski da como ejemplo la aparición delgesto:

Al principio, este ademán no es másque un intento fallido de alcanzar algo,un movimiento dirigido hacia ciertoobjeto que designa la actividadfutura… Cuando acude la madre enayuda del pequeño y se da cuenta deque su movimiento está indicandoalgo más, la situación cambiaradicalmente. El hecho de señalar seconvierte en un gesto para losdemás… Únicamente más tarde,cuando el niño es capaz de relacionarsu fallido movimiento de agarrar conla situación objetiva como un todo,comienza a interpretar dichomovimiento como acto de señalar…Como consecuencia de este cambio,el movimiento mismo queda

simplificado, y lo que de él resulta esla forma de señalar que llamamosgesto. (Vygotski, 1988, pp. 92-93)

La descripción que hace Vygotski de laaparición del gesto indicativo pone enevidencia el papel de lo social en lagénesis de la significación. El gesto estáprimero dirigido hacia alguien (planointersubjectivo) y se convierte en gestopara sí mismo (plano intrasubjetivo)solamente más tarde, en ese proceso deinternalización que es mediado por elcuerpo mismo. Más tarde, la actividadgestual se vuelve más compleja con laaparición de otras formas indicativas,como las lingüísticas (por ejemplo con lasexpresiones “aquí” “allí”, etc.) en las queel signo se mueve en una capa designificación auditiva o escrita, dando lugara una deixis compleja (ver Bühler, 1979;Radford, 2002).

A pesar de una orientación literaria,mostrada, sobre todo, en los primerostrabajos, como La psicología del arte(Vygotsky, 1971), publicado inicialmenteen 1925, Vygotski, como Peirce, adoptóuna ontología realista y, como éste, vio enla ciencia y la tecnología la forma porexcelencia de alcance del conocimiento.No obstante esto, la idea del signo comoobjeto cognitivo, inspirado de la idea deherramienta laboral, es, sin duda, una ideainteresante. Con ella, Vygotski rompió elesquema tradicional del idealismo y delracionalismo. El signo no es simplementepieza diferencial de un sistema deestructuras (Saussure) ni mero medio depensamiento y de formación de ideas(Peirce), sino, sobre todo, medio detransformación de las funciones psíquicasdel individuo.

La analogía del signo como herramientatiene, sin embargo, sus limitaciones. Así,van der Veer y Valsiner han sugerido que

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dicha concepción del signo da a lapsicología de Vygotski un aspectodemasiado técnico y la convierte en unaespecie de “psicotecnología” (van der Veery Valsiner, 1991, p. 221). Vygotski parecehaberse dado cuenta de esta limitación. Enuna serie de notas tomadas por A. N.Leontiev durante un seminario internollevado a cabo en 1933 al que participaron,como de costumbre, los colaboradorescercanos de Vygotski y algunos psicólogosjóvenes que trabajaban bajo su dirección,seminario en el que Vygotski expuso ciertastesis sobre el problema de la conciencia,leemos:

En los primeros trabajos ignorábamosque el significado es propio del signo(...) Partíamos del principio de laconstancia del significado (…) Siantes nuestra tarea era mostrar locomún entre el “nudo” y la memorialógica, ahora consiste en mostrar ladiferencia que existe entre ellos. (cf.Vygotski, 1991, p. 121).

En las notas tomadas en la misma reunióndurante la reacción de Vygotski al reportepreparado por otro de sus colaboradores,A. R. Luria, leemos: “Para nosotros loprincipal es (ahora) el movimiento delsentido.” (cf. Vygotski, 1991, p. 125).

Es claro, pues, que al final de su vida,Vygotski vio la necesidad de continuar lareflexión sobre los signos del lado de lasignificación. Vygotski vio en el estudio delos significados verbales la pauta paraampliar dicho problema. Más tarde,Leontiev sugirió que la evolución de los

significados (verbales y otros) debe servista no solamente a la luz de la interacciónhumana, sino bajo el prisma de lasrelaciones siempre en movimiento de losindividuos y de la naturaleza, bajo laemergencia y desarrollo del trabajo y delas relaciones sociales (van der Veer,1996, p. 259), ideas que desembocaronel su Teoría de la Actividad (Leontiev,1993).

Entre los trabajos de investigaciónconducidos dentro del paradigmavygotskiano, se pueden mencionar los deBartolini Bussi y Mariotti (1999), BartoliniBussi y Maschietto (2006), Berger (2005),Boero, Pedemonte y Robotti (1997).

Piaget y la semiótica

En sus trabajos sobre el papel del símboloen el desarrollo cognitivo, Piaget introdujoel concepto de función semiótica, tratandode dar respuesta a la pregunta siguiente:¿es posible que el pensamiento sea unresultado del lenguaje? 5.

Para Piaget, que solía plantear laspreguntas en términos lógicos, el lenguajeera una condición necesaria, pero nosuficiente del pensamiento. Un tantoirritado por la posición del positivismo dela primera parte del siglo XX, que reducíatodo al lenguaje, Piaget sostuvo que: “Ellenguaje puede constituir una condiciónnecesaria de la terminación de lasoperaciones lógico-matemáticas sin ser,sin embargo, una condición suficiente desu formación.” (Piaget, 1978 p. 130). Para

La vigencia contemporánea de la pregunta de Piaget aparece claramente en una crónica periodística reciente sobre

el trabajo antropológico realizado sobre los Pirahã, una pequeña tribu brasileña con un lenguaje sin cláusulas subordinadas.

Una de las preguntas que los lingüistas se están haciendo es si es posible tener pensamientos para los cuales no hay

palabras en la lengua (ver Bredow, 2006). Estoy en deuda con Heinz Steinbring por llamar mi atención sobre este

artículo.

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Piaget, era importante resolver el problemagenético que consiste en saber si las raícesde las operaciones lógico-matemáticas seencuentran en el campo mismo dellenguaje o, si por el contrario, sonanteriores a éste. La pregunta fundamentalera saber “si la formación del pensamientoestá relacionada con la adquisición dellenguaje como tal o con la funciónsimbólica en general” (op. cit., p. 131). Enresumen, según Piaget, había queinvestigar

si la transmisión verbal es suficientepara constituir en el espíritu del niñoestructuras operatorias o si estatransmisión es eficaz solamente acondición de ser asimilada graciasa estructuras de naturaleza másprofunda (coordinación deacciones), no transmitidas por ellenguaje. (Piaget, op. cit. p. 131)

Dentro de esta problemática, uno de losresultados más relevantes alcanzados porPiaget fue la puesta en evidencia de unainteligencia práctica previa a la aparicióndel lenguaje en el niño. “Conviene insistir”,decía Piaget, aludiendo a los resultadosexperimentales de la escuela de Ginebra,“en el hecho de que las operaciones, encuanto resultado de la interiorización de lasacciones y de sus coordinaciones,permanecen durante mucho tiemporelativamente independientes dellenguaje.” (op. cit. p. 134). En su libroEpistemología Genética, Piaget regresasobre el mismo problema y arguye que

El lenguaje no es ciertamente elmedio exclusivo de representación.Éste es solamente un aspecto de lafunción muy general que Head hallamado la función simbólica. Yoprefiero utilizar el término lingüístico:función semiótica. Esta funciónconsiste en la habilidad de

representar algo a través de unsigno o un símbolo o cualquierobjeto (Piaget 1970, p. 45)

En su libro “La formation du symbole chezl’enfant” [La formación del símbolo en elniño] Piaget sostuvo que el símbolo resultade un esquematismo no simbólico. Alprincipio del libro Piaget dice: “Vamos aintentar mostrar cómo la [emergencia del]símbolo es preparada por el esquematismono simbólico” (Piaget 1968, p. 8), esto es,un esquematismo armado de significantessensorimotores “índices” o “señales”, a loscuales hace falta todavía la independenciarespecto al objeto significado.

Según Piaget, la función semióticaempieza precisamente cuando hay unadiferenciación entre significado ysignificante, diferenciación que provee alsignificado (signifié) con una permanenciaespacio-temporal y abre la posibilidad deque un mismo significante pueda referir avarios significados. Para Piaget, la funciónsemiótica incluye la imitación diferida, eljuego simbólico, la imagen mental, losgestos y el lenguaje natural (Piaget en:Piattelli-Palmarini, 1982, p. 58).

La semiótica Piagetiana, que se enmarcadentro de la tradición Saussureanamencionada anteriormente, reposa en laidea de una continuidad entre lossignificantes sensorimotores y laemergencia de los primeros símbolos enlos niños. En otras palabras, la semióticaPiagetiana se apoya en un postuladosegún el cual la inteligencia sensorimotrizse prolonga, a través del signo, enrepresentación conceptual (Piaget 1968,pp. 68-69).

La solución que propuso Piaget al acertijodel desarrollo de la inteligencia fue, comoen el caso de Peirce, un intento serio deesquivar el apriorismo Kantiano. En el

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fondo, la solución Piagetiana es unatematización sofisticada del compromisoque hace la filosofía del Siglo de las Lucesentre el racionalismo y el empirismo. Piagetretoma la posición epistemológica que Kantotorga al individuo en el acto delconocimiento y la lleva a sus máximasconclusiones. En lugar de contentarse conla deducción Kantiana de las categoríasescolásticas, deducción que limitaba alindividuo a un uso racionalista de la facultadde entendimiento, Piaget propuso unproceso genético que se eleva de losensual a lo conceptual a través del efectode una razón que se reconstruye,pacientemente, en cada individuo,independiente de su ubicación histórica ygeográfica. La razón renace y sereconstruye en el curso de la actividad delindividuo y llega, inevitablemente, atraídacomo el metal por el imán, a ese puntoculminante que es la Razón Occidental. Endefinitiva, la epistemología genética dePiaget es una de las expresiones másmodernas de la sensibilidad intelectualheredada del Siglo de las Luces.

Semiótica y Educación

Los trabajos incluidos en este númeroespecial de la Revista Latinoamericana deMatemática Educativa prolongan el interéspor la semiótica mostrado previamente ennuestro campo de investigación por otroscolegas. Varios han sido, en efecto, loseducadores y los psicólogos queempezaron a mostrar o sugerir hace variosaños el potencial de la semiótica en lasreflexiones didácticas. Así, la importanciade los signos matemáticos fue puesta enevidencia por Freudenthal al final de losaños 1960 (Freudenthal, 1968). En los años1980, Filloy y Rojano (1984) mostraron elpotencial del análisis semiótico en lacomprensión del desarrollo del lenguajealgebraico. Más tarde, Laborde, Puig y

Nunes (1996), entre otros, discutieronciertos aspectos ligados al lenguaje.Siguiendo otro camino, Jean-Blaise Grize,un colaborador de Piaget, había tambiénllamado la atención sobre los problemasdel lenguaje en el pensamiento lógico(Grize, 1996).

Los trabajos que constituyen este númeroespecial han sido agrupados en doscategorías. En la primera, el lectorencontrará artículos de corte teórico.

En el primer artículo, Michael Otte abordael tema de la demostración matemática yargumenta que es inútil buscar el sentidode los objetos matemáticos en una especiede estrato fundamental conceptual.Tomando una actitud anti-mentalista, quees compartida por varios autores delpresente número, Otte argumenta que esinútil seguir creyendo que el significado(meaning) de las cosas yace en nuestrascabezas y que es igualmente inútil seguirpensando que el saber (knowledge) es unaespecie de experiencia mental. Siguiendociertas ideas de Peirce, Otte sugiere queno hay separación entre idea y símbolo.Explicar, Otte sostiene, es exhibir elsentido de alguna cosa a través de signosy sentido vistos como procesos.

Raymond Duval discute el problema de laheterogeneidad semiótica, heterogeneidaden que subyace una de las dificultadesmayores del aprendizaje de lasmatemáticas, esto es, pasar de un tipo derepresentación a otro. Duval arguye queel análisis de las produccionesmatemáticas exige herramientas deanálisis semiótico complejas y adaptadasa los procesos cognitivos movilizados entoda actividad matemática y enuncia trespreguntas cruciales, las cuales sondiscutidas en el texto: una sobre lapertinencia de la distinción entresignificante y significado (que nos recuerda

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la distinción introducida por Saussure), otraen torno a la clasificación de los signos, y,finalmente, otra referente a la comparaciónentre un análisis funcional y un análisisestructural de los signos.

En el tercer artículo, Cantoral ycolaboradores presentan ciertos elementosde la socioepistemología, una teoría quepretende ubicar la actividad matemáticaen el contexto de la práctica social. Elconcepto de práctica social hace referenciaa aquello que viene a normar la actividadmatemática. En su artículo, los autoresestudian algunas actividades como medir,predecir, modelar y convenir, y muestran,haciendo referencia a la historia de lasmatemáticas, escenarios sociales clavesde construcción social del conocimientomatemático.

En el cuarto artículo, Radford presentaciertos elementos de una teoría cultural dela objetivación, una teoría de la enseñanzay el aprendizaje de las matemáticas quese inspira de escuelas antropológicas ehistórico-culturales del conocimiento.Dicha teoría se apoya en unaepistemología y una ontología noracionalistas que dan lugar, por un lado, auna concepción antropológica delpensamiento y, por el otro, a unaconcepción esencialmente social delaprendizaje. De acuerdo con la teoría, loque caracteriza al pensamiento no essolamente su naturaleza semióticamentemediatizada, sino sobre todo su modo deser en tanto que praxis reflexiva.

En el quinto artículo, un artículo detransición entre los artículos de corteteórico y los de corte aplicado, Godino ycolaboradores presentan una aplicacióndel enfoque ontosemiótico al análisis detextos. Los autores buscan ilustrar latécnica de análisis de textos matemáticospropuesta por el enfoque ontosemiótico de

la cognición matemática e identificarcriterios de idoneidad de unidadesdidácticas (en particular la idoneidadepistémica y la cognitiva) para el estudiode las estructuras aditivas en la educaciónprimaria.

En el sexto artículo, Koukkoufis y Williamsaplican ciertos conceptos de la teoría dela objetivación para estudiar la manera enque jóvenes alumnos generalizan, en elaprendizaje de la aritmética, ciertasrelaciones numéricas. Los autoresexaminan en detalle el papel quedesempeña el ábaco como artefacto demediación y efectúan un análisis fino delpapel del lenguaje y los gestos enprocesos de reificación (en el sentido deSfard, 1994), procesos que preparan elcamino a conceptualizaciones numéricasclaves en las operaciones con númerosenteros.

En el séptimo artículo, D’Amore discute elproblema de la ontología y conocimientode los objetos matemáticos, centrándoseen particular en el problema de larepresentación del objeto y su sentido. Enla primera parte, D’Amore sintetiza algunasinvestigaciones recientes en torno alproblema de la ontología y elconocimiento; en la segunda parte, el autoranaliza un ejemplo concreto para poner enevidencia las dificultades de cambio desentido cuando cambia la representacióndel objeto.

En el octavo articulo, Gagatsis ycolaboradores presentan el fruto de variostrabajos de investigación sobre elproblema de cambios de representaciónde objetos relacionados con el conceptode función. El artículo torna alrededor delproblema de la compartimentación dediferentes registros de representación, asícomo de las dificultades que,generalmente, encuentran los alumnos

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para utilizar representaciones adecuadasen contextos de resolución de problemas.Los autores sugieren pistas que puedenayudar a resolver el problema de lacompartimentación.

En el noveno articulo, inspirándose de lasemiótica de Peirce, Adalira Sáenz-Ludlowsugiere la existencia de una relacióntriangular entre interpretación, objetivación,y generalización. Luego de argumentarcómo el discurso matemático es un mediopotente en la objetivación semiótica, laautora discute la manera en que el discursomatemático en el salón de clase media elaumento del valor de lo que ella llama “lariqueza matemática del alumno”. En laultima parte, Sáenz-Ludlow discute cómomaestros, con diferentes perspectivasteóricas, influyen en la dirección deldiscurso matemático en el salón de clasey, en consecuencia, en el crecimiento dela riqueza matemática de sus estudiantes.

En el décimo artículo, Giorgio Bagniexamina cómo alumnos de 15 a 16 añostratan de dar sentido a una frase inspiradade un ejemplo célebre introducido porRussell, y de un aserto expresado enlenguaje matemático. Luego de discutir enla primera parte del artículo las posicionestomadas por matemáticos, filósofos yepistemólogos, como Frege, Russell,Quine y Brandom respecto al problema dela referencia y el significado, Bagni ofreceun análisis de datos experimentales quese aparta de los conceptos clásicos derealidad y de racionalidad, y propone unareflexion en la que la idea de práctica de lajustificación es vista en el interior de unacomunidad comunicativa, al estilo de J.Habermas.

En el onceavo artículo, FerdinandoArzarello presenta una discusión delparadigma multimodal y encarnado(embodied) que ha emergido en los últimos

años dentro del marco de investigacionesrealizadas en el campo de lapsicolingüística y la neurociencia. Luegode analizar los gestos desde unaperspectiva semiótica, Arzarello introducela noción de semiotic bundle, el cual esejemplificado a través de un estudio decasos.

Este número especial de la RevistaLatinoamericana de Matemática Educativase encuentra en la línea de esfuerzoshechos por otros colegas en intentarmostrar a la comunidad de educadoresmatemáticos las posibilidades (y laslimitaciones) de las aproximacionessemióticas. Este número continúa, demanera más modesta, cierto, lasdiscusiones sobre la representación (Hitt,2002; Janvier, 1987), la semiótica y laeducación (Anderson, Sáenz-Ludlow,Zellweger, y Cifarelli, 2003), el númeroespecial Representations and thepsychology of mathematics education delJournal of Mathematical Behavior (1998,Vol. 17(1) y 17(2)), editado por GeraldGoldin y Claude Janvier, el libro Activityand sign (2005) editado por MichaelHoffmann, Johannes Lenhard and FalkSeeger, asi como el reciente númeroespecial Semiotic perspectives onepistemology and teaching and learning ofmathematics de la revista EducationalStudies in Mathematics, (2006, vol. 61(1-2)), editado por Adalira Sáenz-Ludlow yNorma Presmeg.

Este número especial de la RevistaLatinoamericana de Matemática Educativaha sido posible gracias a la colaboraciónde muchas personas. Queremosagradecer en particular a su editora, RosaMaría Farfán. Queremos igualmenteagradecer a José Guzmán Hernández(Centro de Investigación y de EstudiosAvanzados [Cinvestav], México), HeatherEmpey (McGill University, Canadá),

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Chantal Chivot (Laurentian University,Canadá) por su ayuda en la preparaciónde los textos.

También agradecemos al Social Sciences

and Humanities Research Council ofCanada / Le Conseil de recherches ensciences humaines du Canada (SSHRC/CRSH) por la subvencion que hizo posibleen parte esta publicación.

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Luis RadfordÉcole des sciences de l’éducationUniversité LaurentienneCanada

E-mail: [email protected]

Relime 22

RESUMEN

Una distinción entre pruebas que prueban y pruebas que explican es parte invariable delas discusiones recientes en epistemología y en educación matemática. Esta distinciónse remonta a la época de los matemáticos que, como Bolzano o Dedekind, intentaronrestablecer a las matemáticas puras como una ciencia puramente conceptual y analítica.Estas tentativas reclamaron, en particular, una eliminación completa de los aspectosintuitivos o perceptivos de la actividad matemática, sosteniendo que se debe distinguirde forma rigurosa entre el concepto y sus representaciones. Utilizando una aproximaciónsemiótica que refuta una separación entre idea y símbolo, sostenemos que lasmatemáticas no tienen explicaciones en un sentido fundamental. Explicar es algo asícomo exhibir el sentido de alguna cosa. Los matemáticos no tienen, sin embargo, comovamos aquí a intentar demostrarlo, sentido preciso, ni en el sentido intra-teóricoestructural, ni en comparación con la objetividad intuitiva. Los signos y el sentido sonprocesos, como vamos a sostenerlo inspirándonos de Peirce.

PALABRAS CLAVE: Peirce, Bolzano, Semiosis, Prueba, Explicación.

University of Bielefeld, Germany.

We saw that the exchange of commodities implies contradictory and mutually exclusive conditions. The differentiation

of commodities into commodities and money does not sweep away these inconsistencies, but develops a modus vivendi,

a form in which they can exist side by side. This is generally the way in which real contradictions are reconciled. For

instance, it is a contradiction to depict one body as constantly falling towards another, and as, at the same time, constantly

flying away from it. The ellipse is a form of motion which, while allowing this contradiction to go on, at the same time

reconciles it. Karl Marx (1906), Capital, vol I. chapter 3.

Proof and Explanation from a

Semiotical Point of View

Michael Otte 1

Man sah, dass der Austauschprozess der Waren widersprechende und einanderausschliessende Beziehungen beinhaltet. Die Entwicklung der Ware hebt dieseWidersprüche nicht auf, schafft aber die Form, worin sie sich bewegen können. Dies istüberhaupt die Methode, wodurch sich wirkliche Widersprüche lösen. Es ist z.B. einWiderspruch, dass ein Körper beständig in einen anderen fällt und ebenso beständig vonihm wegflieht. Die Ellipse ist eine der Bewegungsformen, worin dieser Widerspruch sichebensosehr verwirklicht als löst. K. Marx, Das Kapital, Band I, p.118f 2

ABSTRACT

A distinction between proofs that prove and proofs that explain has over and again playedan important role within recent discussions in epistemology and mathematics education.The distinction goes back to scholars who, like Bolzano or Dedekind, have tried to

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Fecha de recepción: Enero de 2006/ Fecha de aceptación: Mayo de 2006

Relime, Número Especial, 2006, pp. 23-43.

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Relime

reestablish pure mathematics as a purely conceptual and analytical science. Theseendeavors did in particular argue in favor of a complete elimination of intuitive or perceptualaspects from mathematical activity, arguing that one has to rigorously distinguish betweena concept and its representations. Using a semiotical approach which negates such aseparation between idea and symbol, we shall argue that mathematics has no explanationsin a foundational sense. To explain amounts to exhibiting the meaning of something.Mathematics has, however, as we shall try to show, no definite meanings, neither in thestructural intra-theoretical sense nor with respect to intuitive objectivity. Signs andmeanings are processes, as we shall argue along with Peirce.

KEY WORDS: Peirce, Bolzano, Semiosis, Proof, Explanation.

RESUMO

Uma distinção entre provas que demonstram e provas que explicam é parte invariáveldas discussões recentes na epistemologia e em educação matemática. Esta distinçãose remonta à época dos matemáticos que, como Bolzano o Dedekind, tentaram divisãoda matemática pura como uma ciência puramente conceptual e analítica. Estas tentativasreclamaram, em particular, uma eliminação completa de os aspectos intuitivos ouperceptivos da atividade matemática, sustentando que se deve distinguir de formarigorosa entre o conceito e suas representações. Utilizando uma aproximação semióticaque refuta uma separação entre idéia e símbolo, sustentamos que a matemática nãotem explicações em um sentido fundamental. Explicar é algo assim como exibir o sentidode alguma coisa. Os matemáticos não têm, contudo, como vamos aqui a intentardemonstrar, sentido preciso, nem o sentido intra-teórico estrutural, nem comparaçãocom a objetividade intuitiva. Os signos e o sentido são processos, como vamos a sustentarinspirados em Peirce.

PALAVRAS CHAVES: Peirce, Bolzano, Semiótica, Prova, Explicação.

RÉSUMÉ

Une distinction entre preuves qui prouvent et preuves qui expliquent est une partieinvariable des discussions récentes en épistémologie et en éducation mathématique.Cette distinction remonte à l’époque des mathématiciens qui, comme Bolzano ouDedekind, ont tenté de rétablir les mathématiques pures comme une science purementconceptuelle et analytique. Ces tentatives ont réclamé en particulier une éliminationcomplète des aspects intuitifs ou perceptuels de l’activité mathématique en soutenantqu’on doit distinguer de façon rigoureuse entre le concept et ses représentations. Enutilisant une approche sémiotique qui réfute une telle séparation entre idée et symbole,nous allons soutenir que les mathématiques n’ont pas d’explications dans un sensfondamental. Expliquer revient à exhiber le sens de quelque chose. Les mathématiques

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Proof and Explanation from a Semiotical Point of View

Introduction

Before we can address the issue of proofand explanation we have to get rid oftraditional Bewusstseinsphilosophie(philosophy of consciousness), that is,popularly speaking, the belief that“meanings are in the head” and knowledgeis some sort of mental experience. AfterKant epistemology began to ramify andvarious new philosophies of mathematicsarose in which meaning, rather than mindplayed the central role. But the view thatthere exists an epistemologically autarkicor self-sufficient epistemic subject, whichserves itself from external sensations andinternal experiences or representations(Vorstellungen) to thereby constitute trueknowledge, is a myth and should also beabandoned.

In Part I of this paper we try to providesome pertinent arguments to this end,based on Peirce’s semiotics.“Consciousness is used to denote the Ithink, the unity of thought; but the unity ofthought is nothing but the unity ofsymbolization” (Peirce CP 7.585). Part IItreats the questions of proof andexplanation with respect to the ideas ofBolzano on the one hand and Peirce onthe other. Part III presents some examplesand tries to make a connection with currentdebates about the issue in mathematicaleducation and cognitive psychology.

I.To try to understand cognition andknowledge as semiotic processes webegin by conceiving of cognition as theresult of a dialectical contradiction

between cognitive subject and objectivereality. We feel or perceive something, butcannot turn it into cognition without asymbol and it thus remains as a mere non-categorized sensation or intuition. Or,differently: somebody might understandthe logic of an argument without seeinghow it applies in a particular situation andthus does not really follow it. It is futile andfruitless, for example, to expect that theobject of investigation would finally revealitself to us in plain clearness such thatknowing would then amount to reading offits relevant properties.

The symbol is to mediate betweenconscious feeling and objective reactionand should provide this interaction with acertain form or representation. This is theonly manner in which we can know, that is,by constructing a relevant representation ofsome kind. “A representation is thatcharacter of a thing by virtue of which, forthe production of a certain mental effect, itmay stand in place of another thing. Thething having this character I term arepresentamen, the mental effect, orthought, its interpretant, the thing for whichit stands, its object.” (Peirce, CP 1.564).In contrast to the traditional dyadic models,Peirce defines a sign as a triad. And thisimplies that a sign does not stand for itsobject in all respects, “but in reference toa sort of idea, which I have sometimescalled the ground of the representamen.‘Idea’ is here to be understood in a sort ofPlatonic sense, very familiar in everydaytalk” (Peirce, CP 2.228 and 4.536)).

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n’ont pas cependant, comme nous allons tenter de le montrer, de sens précis, ni dans lesens intra-théorique structurel, ni par rapport à l’objectivité intuitive. Signes et sens sontdes processus, comme nous allons soutenir en nous inspirant de Peirce.

MOTS CLÉS: Peirce, Bolzano, Sémiosis, Preuve, Explication.

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This implies that the sign is consciouslyrecognized by the cognitive subject andfor that purpose the subject has to createanother sign, which becomes aninterpretation of the first interpretant. AsRoman Jakobson, characterizing Peirce‘sthinking, once said:

“One of the most felicitous, brilliant ideaswhich general linguistics and semioticsgained from the American thinker is hisdefinition of meanings as the translationof one sign into another system of signs(4.127)” (Jakobson 1985, 251).

The flow of meaning thus expresses thecontradiction and it evolves by a recursiveinteraction between the objects (referents)and interpretants (senses) of signs.Objects and interpretants of signs are ingeneral signs themselves. We arguedelsewhere (Otte, 2003) in great detail that(mathematical) meaning has twocomponents, one of which refers toobjects, and which is called the extensionalcomponent of meaning; the other relatingto the interpretant of the sign and which itis suitable to call the intensional orcoherence component. The mostimportant consequence, to be applied inthe following paragraphs, consists in the factthat there never is a definite meaning; neitherin the structural or intensional sense nor withrespect to the extensions of theoreticalterms. A pragmatic perspective on thingsthus seems to always recommend itself.

All reasoning is an interpretation of signsof some kind. And the interpretation of asign is nothing but the construction of anew sign. As was said above, a merefeeling or consciousness, without arepresentation, is no interpretation and aninterpretation or reformulation of a text,which does not carry on the ideas and doesnot generalize, is futile also. All cognitionproceeds by means of the construction of

an adequate representation and thisconstruction provides nothing but thecontradiction between subject and objectwith a form. “It is a contradiction that a bodywill permanently fall into another and atthe same time will flee away from it. Theellipse is a form of development by whichthis contradiction is as much realized as itis resolved” (K. Marx, see above).

A symbol mediates between subjectivespontaneity and objective reaction and istermed a Third, by Peirce.

The object of knowledge, being nothing buta representation—something which Kanthad dubiously called an intuition—therefore is also not something given “out”there, it is not a Kantian “thing in itself,”but is established by the relation betweensubject and reality. It makes itself feltequally by the objectivity of this interactionprocess as well as through its breakingdowns.

Mathematical ontology, for example, isconstituted by a practice of mathematicalreasoning and application, not the otherway around. A mathematical object, suchas number or function, does not existindependently of the totality of its possiblerepresentations, but must not be confusedwith any particular representation, either.We have on a different occasionexpressed these facts in terms of aprinciple of complementarity (Otte, 2003).To see how a semiotic perspective mighthelp to better grasp that complementarityone should remind oneself of the followingcharacteristics of mathematics;

- Mathematics, on the one hand, has nomore concrete objects of its own thanpainting; it is therefore not possible to domathematics by simply considering certainkinds of objects, either constructed orgiven, abstracting what seems essential

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about them. According to the Cantorianclaim that consistency is sufficient formathematical existence, there is so muchtruth that it is consistency which makes asign potentially meaningful.Consciousness “is sometimes used tosignify the (Kantian) I think, or unity inthought; but unity is nothing but consistency,or the recognition of it. Consistencybelongs to every sign, so far as it is a sign;therefore every sign, since it signifiesprimarily that it is a sign, signifies its ownconsistency” (Peirce, CP 5.313-15).

- On the other hand, mathematics is not amere logical language, nor is it ananalytical science from concepts, that is,definitions. Mathematics includes indexicalrepresentations and observationalactivities. “The best thinking, especially onmathematical subjects, is done byexperimenting in the imagination upon adiagram or other scheme,” says Peirce(Peirce, NEM I, 122).

Thus the idea of a sign might help us tobetter understand that these differentcharacterizations of mathematics are notas distinct as it might have appeared atfirst sight, but rather they representcomplementary aspects of mathematicalthinking, because signs are always usedreferentially as well as attributively. Thisis but another expression of the interactionbetween object and interpretant of thesign, as indicated above.

The semiotic approach to cognition andepistemology distinguishes itself from thephilosophy of consciousness (asdeveloped by Kant, for example) by itsradical break with the assumptions andprerequisites of reasoning characterizingthe latter. “All our thinking,” says Peirce,“is performed upon signs … External signsanswer any purpose, and there is no needat all of considering what passes in one’s

mind” (Peirce, NEM I, 122). Thinkingoccurs in signs and representations, ratherthan by means of imaginations orintuitions, which are to be looked for withinour heads. This does not mean thatconscious recognition and intuitive activityare dispensable. It only means that theyhave to be taken as means andinstruments of cognitive activity, rather thanas its foundations (Otte, 2005, 16f).

Insisting, when for example trying tointerpret a text, on the question “what didthe author really mean” has no more meritsto it than the idea that the reader, and notthe author, is the sole source of meaning.“Not even the author can reproduce hisoriginal meaning because nothing canbring back his original meaningexperience” (Hirsch, 1967, 16; and incontrast: Fish 1980, 359f). Andcorrespondingly, not any arbitraryreformulation of a text is an admissibleinterpretation. Neither the author nor thereader is the unique source of meaningbecause meaning is but the sign processitself. The reality of a text is itsdevelopment, the meaning of a propositionlies in its consequences and the essenceof a thing is the essence or meaning of arepresentation of that thing, and so forth.The semiotic approach fosters a geneticperspective on knowledge. Knowledge isessentially a process, a learning processor a process of growth and generalization,expressed in terms of a permanenttransformation of one representation intoanother one.

Imagining cognition as a contradictionbetween subject and object implies theconviction that neither subject nor objectcan dominate or even determine the otherpart of this relationship. We do not find finaland definite descriptions of things andmostly we do not even know what weknow. We apply it, we represent it, but we

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cannot say or express it, nor describe whatwe are doing. “What can be shown cannotbe said,” Wittgenstein famously affirmed.The spirit of creative activity thus is moreor less the following.

Everything that we have formulated orconstructed is just done and is there in theplain light of day. It means nothing per se,it is just there. Everything we achieve, wesimply achieve. It neither needs nordeserves an interpretation or commentary,because it is, as we perceive it, real. Thecommentary would add nothing to thething created and given. The given is justthe given. What we have made, we havemade. It has no general symbolicsignificance nor can it be undone. Anaction is an action, a work of art is just awork of art, a theory is just a theory. It mustbe grasped as a form sui generis, andrecreated in its own terms, before we caninquire into its possible meanings orapplications. Any creative achievementremains imperfect as long as questionsabout its meaning dominate whenconsidering it. In artistic drawing what weachieve is a line, and the line does all thework, and if it fails to do so no philosophicalcommentary will rescue or repair a badwork of art. In literature or philosophy, it isthe word or the sentence, in mathematicsthe new concept or the diagram, whichcarry the entire weight, etc. etc. Mastery,Paul Valery, says, presupposes that “onehas the habit of thinking and combiningdirectly from the means, of imagining awork only within the limits of the means athand, and never approaching a work froma topic or an imagined effect that is notlinked to the means” (Valery, 40).

Everything just is and thus means itself:P=P! This principle of identity lies at theheart of art and likewise at that of logic orexact science and it is obviously directedagainst any idea of cognition as a mental

feeling or inner experience. P just meansP! No commentary and no psychologicalexperience or philosophical considerationshall be able to add anything to the matter.

A monotonous and perfect repetitionwould, however, destroy any creativity aswell. Any line in an artistic drawing is, infact, a continuum of lines; it fulfills itsdestination to represent something, at thevery same time indicating an indeterminateset of possible modifications and furtherdevelopments.

The creative process thus operates on theinterplay of variation and repetition. A theoryor a work of art, being an interpretation, isalso a process, namely the process ofcreating an interpretant of the representationgiven and so on. At this very moment weare developing the anti-thesis, that is,pointing to the fact that a work of art or atheory are not mere existents, but are signs,which have a meaning. And an interpretationof that meaning is nothing but anotherrepresentation. The sign is thus a thing aswell as a process, namely the process ofestablishing a relationship between objectand interpretant. It is a flow ofmeaningfulness. Peirce, in fact, definessemiosis as the action or process of a sign.“By ‘semiosis’ I mean”, Peirce writes, “anaction, or influence, which is, or involves, acooperation of three subjects, such as a sign,its object, and its interpretant, this tri-relativeinfluence not being in any way resolvableinto actions between pairs” (Peirce, CP5.484).

Evolutionary realism therefore means the co-evolution of reality and knowledge, that is,the evolution of symbolism. It is the symbolin movement.

II.Let us now try and spell out the problemto which we should like to apply oursemiotic view of mathematical activity. This

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is in fact the problem of mathematicalexplanation.

There has been, for some time now, awidespread debate about mathematicalexplanation and rigorous proof inmathematics education as well as in thephilosophy of mathematics (for anoverview see Mancosu, 2000 and 2001;Hanna, 2000). In this discussion, adistinction between proofs that proveagainst proofs that explain has over andagain played an important part. GilaHanna, for example, presents the distinctionin psychological terms, but later on describesexplaining in this way: “I prefer to use theterm explain only when the proof reveals andmakes use of the mathematical ideas whichmotivate it. Following Steiner (1978), I willsay that a proof explains when it shows what‘characteristic property’ entails the theoremit purports to prove” (Hanna 1989, 47).

Hanna and Steiner, speaking about the“characteristic property” that entails the“theorem it purports to prove,” seem tofollow Bolzano respectively as well asAristotle in their ideas about mathematics.The “characteristic property” seemssomething like an essential cause in theAristotelian sense. Steiner’s view “exploitsthe idea that to explain the behavior of anentity, one deduces the behavior from theessence or nature of the entity” (Steiner1978, 143). Steiner, believing that allmathematical truths are necessary and arethus valid in “all possible worlds,” prefersto use the term “characterizing properties,”rather than the term “essence.” But hemakes very clear his belief thatmathematical proofs are exclusive likecalculations or numerical determinations,picking out “one from a family” (147),rather than being general proof schemesor general forms of argumentation anddemonstration. This view appears to bederived from an Aristotelian model of

science and mathematics and it stands inextreme contrast to modern axiomaticalmathematics in the sense of Hilbert orEmmy Noether, for example.

The proofs of modern mathematics are notglued to the particularities of individualpropositions and it is generality ofperspective and fertility of method thatrender them explanatory, because it is thiswhich opens up new possibilities formathematics. A proof is first of all a signor representation and, as such, is ageneral already. It is the objectivity ofgeneral relationships what matters. Evenif one were concerned with the subjectiveor educational aspects of the matter andtherefore interested in the intuitive insightsof a proof, this would primarily imply, aswe have indicated in Part I, the search fornew applications or representations of thebasic ideas.

The distinction Steiner and others havedrawn between proofs that explain andproofs that merely prove or verify makessense only with respect to an Aristotelianmodel of science, as it is exemplified, forinstance, by Euclid’s Elements ofgeometry. This Aristotelian model hasbeen described by E. Beth (1968) andmore recently by de Jong (2003). AnAristotelian science, according to thesedescriptions, is comprised of a system offundamental concepts such that any otherconcept is composed and is definable interms of these fundamental concepts; italso contains a system of fundamentalpropositions such that all otherpropositions are grounded in and areprovable from these fundamentalpropositions. And the fundamentalconcepts or propositions stand in closecontinuity with everyday thinking.Explanation in such a context meansreduction to the concrete foundations ofgeneral experience, rather than constructing

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new theoretical contexts and searching fornew applications.

Bolzano, in fact, referring to Aristotle, seemsto have been the first modern authorpleading for demonstrations «that show theobjective connection and serve not justsubjective conviction.» His monumental“Wissenschaftslehre” (doctrine of science;1836/1929) was conceived of as a generalscience or logic in the service ofenlightenment and was organized like adidactical treatise. This work contains adistinction between proofs that merely prove,being intended to create conviction orcertainty, and others, which “derive the truthto be demonstrated from its objectivegrounds. Proofs of this kind could be calledjustifications (Begruendungen) in differenceto the others which merely aim at conviction(Gewissheit)” (Bolzano, Wissenschaftslehre,vol. IV, p.525, 261). In an annotation to thisparagraph Bolzano mentions that the originof the distinction goes back to Aristotle andthe Scholastics, who have, however,attributed an exaggerated importance to itby affirming that only justifications producegenuine knowledge, but that it had fallen intoneglect in more recent times.

On grounds of this distinction between proofsthat are merely certain and others which aregenuine justifications, Bolzano criticizedGauss’ proof of the fundamental theorem ofalgebra of 1799, for example, becauseGauss had on that occasion employedgeometrical considerations to prove analgebraic theorem. Bolzano did not, as isoften claimed (Volkert 1986), doubt thevalidity of Gauss‘ arguments and he did notquestion the certainty of our geometricalknowledge, but criticized the “impurity” ofGauss proof.

It is this spirit that led to the so-called rigourmovement and to the program ofarithmetization of mathematics and

Bolzano has in fact been one of thespiritual fathers of this program.Mathematics was to be established as ananalytical science from definitions, andnumbers were considered to be the mostimportant means of mathematicalanalysis.

One important effect of this program wasthe separation between pure and appliedmathematics and the reconstruction ofpure mathematics on completely logical,or rather, conceptual terms. Continuousmathematics, like geometry, for example,was considered applied mathematics. Allintuitions and objects were to be replacedby definitions and mathematical proof,becoming the central concern ofmathematicians, should be performed asa kind of linguistic activity. Although theconceptions of logic involved variedconsiderably, mathematical explanationsin the end amounted to nothing butrigorous deduction from first principles andbasic concepts.

One of Bolzano’s most importantmathematical achievements was the proofof the existence of the least upper boundof a bounded set of real numbers and,based on this, a completely analyticalproof of the intermediate value theoremfor continuous real functions. Both resultswere published in 1817 in Bolzano‘s “Reinanalytischer Beweis des Lehrsatzes, dasszwischen zwei Werten, die einentgegengesetztes Resultat gewähren,wenigstens eine reelle Wurzel derGleichung liege.” Bolzano‘s proof of theintermediate value theorem survivesnearly unchanged in today’s calculustextbooks, although one aspect haschanged fundamentally since Dedekind.Bolzano had based his proof on theArchimedean axiom, which says that givenany two real numbers A and B, there willalways be a natural number n such that

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nA supersedes B. He had, however, takenthis axiom to be an obvious truth, ratherthan a postulate. It was Dedekind only, whorealized that nothing of such a kind couldbe proved or assumed as obvious. AsDedekind states it with respect to his owndefinition of continuity:

“The assumption of this property is nothingelse than an axiom by which we attributecontinuity to the line, by which we thinkcontinuity into the line. If space has realexistence at all it is not necessary for it tobe continuous” (Dedekind 1912, p.3, mytranslation).

The filling-up of gaps in the rationalnumbers through the creation of new point-individuals is the key idea underlyingDedekind’s construction of the domain ofreal numbers. Bolzano, in contrast, thoughtit obvious that these points, as exemplifiedby the incommensurability of certain linesegments, for example, existed objectively.Charles Sanders Peirce’s view of thecontinuum is, in a sense, intermediatebetween that of Dedekind and Bolzano. Heheld that the cohesiveness of thecontinuum rules out the possibility of itbeing a mere collection of discreteindividuals, or points, in the usual sense.“A continuum is precisely that every partof which has parts, in the same sense”(Peirce, W2, 256). The continuumrepresents the reality of the possibledetermination of points, rather than be anactual set of points; but this possibility isobjective, such that, differently fromDedekind, space could not be discrete,according to Peirce.

If one looks at the various proofs of theintermediate value theorem one might beinclined to ask: why not take this theoremitself as the essential continuity postulate?It seems as clear and obvious as any ofthe other candidates, the existence of the

limit of a bounded monotonous sequence,the Heine-Borel theorem, the existence ofa point of intersection of a nestedsequence of closed intervals of rationalnumbers with lengths tending to zero, etc.etc.

Mainly pragmatic reasons are responsiblefor the choice of axioms, reasons that arerelated to the development ofmathematical knowledge and theconstruction of theories. But what aboutthe problem of explanation then? Toexplain amounts to exhibiting the meaningof something. Mathematics has, however,no definite meanings, neither in thestructural intra-theoretical sense nor withrespect to intuitive objectivity. Signs andmeanings are processes, as we haveargued in paragraph I.

Resnik and Kushner do not consider theproof of the intermediate value theoremas explanatory in the sense of Steiner’scharacterization. They write:

“We find it hard to see how someone couldunderstand this proof and yet ask why thetheorem is true (or what makes it true).The proof not only demonstrates how eachelement of the theorem is necessary to thevalidity of the proof but also what role eachfeature of the function and the interval playin making the theorem true. Moreover, itis easy to see that the theorem fails to holdif we drop any of its conditions” (Resnik/Kushner 1987, 149).

Rigorous proofs in this sense do not admit“why”-questions any more than merecalculations do and it is hard to see howthey could be explanatory at all.Considering the question of how to choosethe relevant mathematical model mightperhaps change the situation. But thereader should remind herself that the term“explanation” had, for Bolzano, an

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objective meaning, rather than apsychological one. And this objectivism ledto his error with respect to the foundationsof the real numbers and his ignorance ofthe fact that mathematics contains onlyhypthetico-conditional statements, ratherthan categorical ones. This, however,means that the foundations ofmathematical claims lie, so to speak, “inthe future”, in the use and application ofthe mathematical propositions. Amathematical proof must thereforegeneralize in order to be explanatory. Aswe have seen, however, with respect toBolzano and Steiner or Hanna, there is astrong foundational tendency involved intheir ideas of explanatory proofs. It is veryessential to Bolzano, for example, thatthere exist a hierarchy of truths inthemselves independent from ourknowledge or representation.

Cauchy had, at about the same time asBolzano, given a geometric argument forthe intermediate value theorem, beingmore concerned with certainty andconviction than with objective foundation(Cauchy 1821, 43f). Bolzano did considerproofs, like those by Gauss or Cauchy, assufficiently obvious and convincing, butobjected that they did not show the realfundamentals and thus were not truejus t i f i ca t ions , bu t ra ther meresubjective confirmations (subjektiveGewissmachungen) . I t i s c lear,Bolzano writes, “that it is an intolerableoffense against correct method to derivetruths of pure (or general) mathematics(i.e. arithmetic, algebra analysis) fromconsiderations that belong to a merelyapplied or special part, namely geometry.… For in fact, if one considers that theproofs of the science should not merelybe convincing arguments, but ratherjustifications, i.e. presentations of theobjective reason for the truth concerned,then it is self-evident that the strictly

scientific proof, or the objective reason ofa truth which holds equally for allquantities, whether in space or not, cannotpossibly lie in a truth which holds merelyfor quantities which are in space. On thisview it may on the contrary be seen thatsuch a geometrical proof is really circular.For while the geometrical truth to whichwe refer here is extremely evident, andtherefore needs no proof in the sense ofconfirmation, it nonetheless needsjustification” (Bolzano after the translationby Russ 1980, 160).

The term “justification” refers to theLeibnizian idea that every concept can bedecomposed into “atoms.” Unprovable orbasic propositions must, according toBolzano, be among those whose subjectsand predicates are completely simpleconcepts in the sense of Leibniz. Bolzanobelieved, for example, that different casesof one and the same issue should beformulated in terms of differentpropositions, like in Euclidean geometry.The law of cosine, for instance, in thecases of the acute- respectively obtuse-angled triangles signifies two differentcases requiring different arguments.“Euclid was right in formulating twodifferent propositions here,” writesBolzano (Bolzano 1810/1926, 61).

Bolzano not only emphasized thenecessity of “homogeneity” betweenmethod and object but he also conceivedof concepts in themselves, propositions inthemselves and representations(Vorstellungen) in themselves,independent of our thinking about them.This is sometimes emphasized by sayingthat Bolzano was the first to realize that“the proper prolegomena to any futuremetaphysics was the study of what we sayand its laws and that consequently theprima philosophia was not metaphysics orontology but semantics” (Bar-Hillel, 1967,

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337f). Thus Bolzano‘s objective semanticsand the Platonic and hierarchicallystructured universe of objective meaningsis essential to his whole conception ofexplanation.

There are close parallels between Peirceand Bolzano and they are due to the factthat both their philosophies resemble thatof Leibniz very strongly indeed. Both did,however, modify classical ontologism,concentrating on how mathematicianscreate and communicate as well as on thesemantics of mathematical affirmations orcommunications. Both also considermathematics as the science of possibilityor of the possible states of affairs and bothunderstand that proofs do not existindependently from mathematical theories,but are parts of theories.

Finally, both Bolzano and Peirce wereconcerned with elaborating alternatives tothe philosophy of consciousness, asexemplified by Kant’s Critique and hisnotion of a priori intuition in particular;however, Bolzano denied the evolutionaryperspective, saying that Kant hadconfounded mathematics as such with theway in which humans develop mathematics,whereas Peirce, in contrast, sought toprovide evolutionism with an objective basis.The continuity of space and time isobjective, rather than subjective, as Kantand Leibniz had believed.

The essential difference between Bolzanoand Peirce lies in the way how possibilityis conceived. Bolzano thinks about thisquestion in terms of the difference betweenthe actual and the possible. This meansthat something like the set of allpossibilities exists a priori, waiting topossibly be actualized. For Peirce, incontrast, reality is an evolutionary processrealizing and producing objectivepossibilities as well as their conditions.

Peirce over and again stressed that wehave to explain not only phenomena butalso the laws that govern them (PeirceW4, 551f, see also Peirce, CP 1.175).Peirce, unlike Bolzano, did not considermathematics to be an analytical sciencefrom definitions. Reality is continuous andthus cannot be described or determined.This may even be interpreted on the levelof mathematics. Peirce in contrast toBolzano seems well aware of the fact thatthere may exist various models of thenumber line.

The main feature of mathematicalreasoning lies therefore in its perceptualcharacter and consists in the fact that all“deep” symbolic meanings must havebeen eliminated, in the same sense wehave described creative activity in Part Iabove. A proof must enlarge ourknowledge and all ampliative or syntheticreasoning is perceptual and inductive, oras Peirce sometimes calls it, “abductive.”This does not contradict the fact thatmathematical reasoning is necessary,because “no necessary conclusion is anymore apodictic than inductive reasoningbecomes from the moment whenexperimentation can be multiplied adlibitum at no more costs than a summonsbefore the imagination” (Peirce, CP4.531). Hence, it amounts to the same tosay that mathematics “busies itself indrawing necessary conclusions,” and tosay that it occupies itself with ideal orhypothetical states of things (Peirce, CP3.558).

Mathematical proofs in the sense of Peircedo not contain explanations. They consistof apodictic judgments, showing clearlythat something is necessarily the case,rather than explaining why that somethingis the case. They are examples of“knowledge that,” rather than “knowledgewhy” in the sense of the Aristotelian

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distinction between proofs of the fact (hoti)and proofs of the reasoned fact (dioti). “Thephilosophers are fond of boasting of the pureconceptual character of their reasoning. Themore conceptual it is the nearer itapproaches to verbiage” (Peirce, CP 5.147-489). This would sound Kantian, were it notfor the reference to the importance of signs.

Already from the fact that a proof is a signand a sign is determined by its object andcombined with the requirement thatmathematical proofs are necessary andthus apodictic, it follows that a proof isessentially an icon and that its object isnothing but the form of that icon. Peirceaffirms that mathematical reasoningproceeds by means of the construction ofall kinds of diagrams and by experimentingwith them and observing what happens.“Since a diagram .... is in the main an Iconof the forms of relations in the constitutionof its Object, the appropriateness of it forthe representation of necessary inferenceis easily seen” (Peirce, CP 4.531).

Peirce took Leibniz’s theory of a continuumof representations from quite unconsciousand quasi imperceptible representations tothose most coercive to consciousness andsubsequently based his whole semioticepistemology on it. A realistic view mustsee reality above and beyond all laws,ideas and explanations as somethingoffering the possibility of understanding.Peirce’s metaphor for such a view of realityis the continuum. Reality is commonlyidentified with the totality of existing objectsand facts. Sometimes, in a flush ofenlightened insight, relations or laws areadded to the furniture of reality. But thisdoes not help much. The set of all laws, orpossibilities of things, is a no less anantinomical conception than the notion ofthe set of all sets, which lies at the bottomof Russell’s paradox. In a digital or discreteworld, with only 1 and 0, or perfectly right

and wrong, there would be no growth ofknowledge and therefore no knowledgeat al l . Synechism is above al l “aregulative principle of logic prescribingwhat sort of hypothesis is fit to beentertained and explained” (Peirce, CP6.173). Or, stated somewhat differently,only a continuous reality makes analysisand inductive generalization possible.According to Peirce relations are not tobe reduced to determinate relata, but arerelated to cont inua. This was asimportant to the geometrical illustrationsof the classical incommensurabil ityproofs as i t was important to thefoundations of the calculus. Leibniz hadalready emphasized theseepistemological insights, but hadremained bound to a substance ontologyin the Aristotelian sense.

What pr imari ly character izesmathematics is the peculiarity of itsgeneralizations by means of the formingof fertile hypotheses. A “hypothesissubstitutes, for a complicated tangle ofpredicates attached to one subject, asingle conception” (Peirce, W3 337).Such hypotheses are created by aninductive process which Peirce calledabduction or abductive inference, addingthat “abductive inference shades intoperceptual judgment without any sharpline of demarcation between them”(Peirce, CP 5.181). Abductive reasoninginvolves an element of intuition and“intuition is the regarding of the abstractin a concrete form, by the realistichypostatization of relations; that is theone sole method of valuable thought”(Peirce, CP 1.383). This real ist ichypostatization occurs by means of theconstruction and experimentation with allkinds of diagrams. From the abductivesuggest ion, which synthesizes amultitude of predicates, «deduction candraw a prediction» (Peirce, CP 5.171).

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Thus the meaning and foundations of apiece of mathematical knowledge, atheory, for instance, are to be seen in theintended applications and newly createdpossibil it ies. Icons or images areparticularly well suited to make graspableand conceivable the possible and potentialrather than the actual and factual. It shouldalso be mentioned in this context thatpsychology and psychotherapy haveknown for some time that icons or imagesare particularly well suited to strengtheningwhat could be called “sense of possibility”and which seems indispensable to aperson’s mental health (see theproceedings of the 35th InternationalCongress on Psychoanalysis in SanFrancisco, 1995). Confining a person—astudent, for example—to a certaincharacterization of herself/himself wouldmutilate her/his personality. Mathematicalexplanation must therefore enlarge andwiden the perspective of the addressee ofthe explanation and the real is generallyto be conceived of as process andevolution.

III.It is rather common nowadays tocontrast subjective insight and explanationwith objective foundation and conviction(Hersh, 1993). Indeed, Hanna’s quest forinsight and understanding seemscompletely psychological and has nothingto do with objective concerns. Bolzano, incontrast, maintaining a strong anti-psychologistic attitude, conceives ofexplanation in purely objective or logicalterms and in reference to a world oftruths in themselves, independent of anyactual insight. When in the course of the19th/20th centur ies the humanit ies(Geisteswissenschaften) weredeveloped by W. Dilthey (1833-1911) andothers, it became common to contrastunderstanding and interpretation, as thebasis of the humanities, with scientific andmathematical explanation. This distinction

resulted later on in the notion of the “twocultures” (Snow). Snow’s basic thesis wasthat the breakdown of communicationbetween the sciences and the humanities(the «two cultures» of the title) was a majorhindrance to solving the world’s problems(see C.P. Snow, 1993)

How can both sides come together? Webelieve that these two different views canbe reconciled from a genetical perspectiveand that for this the semiotic view and theidea of mathematics as mathematizationare essential. The notion of interpretationshould be transformed as outlined in PartI of this paper and scientists andmathematicians should refrain from themetaphysical realism and logicalobjectivism that tends to identify reality withour knowledge of it, thus confusing objectand sign.

A mathematical proof is a type, a type ofrepresentation, rather than a token-construction. One has to grasp theintegrated whole of it, not merely follow theargument or the calculation. Or rather, onehas little choice here, as one will hardly beable to memorize a complex proceedingand repeat its application without analysisand generalization.

Still this does not commit us to Platonism,as an idea is not completely to bedissociated from its possible applicationsand the applications might affect ourconviction about what is essential or basic.And to understand the logic of anargument, one must not only follow itsconsequences in the abstract, but mustalso see how it applies in a particularsituation. Resnik and Kushner found ithard, as they wrote, to see how someonecould understand the proof of theintermediate value theorem “and yet askwhy the theorem is true (or what makes ittrue).” They are right. This kind of

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insistence on more and more new why-questions seems to happen when oneseparates knowledge from i tsdevelopment and application. But themeaning resides in the applications.

In formal mathematics, facts areexplained by means of proofs and thenit has to be proved that the proof iscorrect and so on ad infinitum. Everyproof is faced with the prerequisite ofproving that the proof be correct. And theproof of the correctness of the proofagain meets the same requirement andthe proof of the correctness of thecorrectness of the proof also … etc. Thisdilemma is nicely described by LewisCarroll’s version of Zenon‘s paradox(Carroll, 1905; see also: Peirce, CP2.27).

As a rational being one cannot actcontrary to one’s own insights and thereis no insight without an application.Lewis Carroll ’s version of the racebetween Achilles and the Tortoise shows,albeit unintentionally, that one cannotreally have knowledge or an insight andkeep from applying it. There is nocomplete analysis without activity andapplication. Mathematics is just asconstructive as it is analytical. Hence, itis difficult to believe that mathematics ismeant “to explain,” in the usualreductionistic understanding of the term.

In a reader on the philosophy of sciencewe are told: “We can explain the lengthof the shadow by reference to the heightof the flagpole, and not vice versa”(Newton-Smith 2000, 129). It seemsnatural to ask, upon perceiving ashadow, whence it comes from. Nobody,however, would consider the shadow tobe the cause of the flagpole. But whatabout mathematics? Let us begin withKant.

A “new light,” says Kant, must have flashedon the mind of people like Thales, whenthey perceived that the relation betweenthe length of a flagpole and the length ofits shadow enables one to calculate theheight of the pyramid, given the lengthof its shadow. “For he found that it wasnot sufficient to meditate on the figureas it lay before his eyes,… and thusendeavor to get at knowledge of itsproperties, but that it was necessary toproduce these properties, as it were, bya positive a priori construction” (Kant,Critique of Pure Reason, Preface to theSecond Edition 1787). And indeed, thef lagpole as such has no posi t iverelationship whatsoever to the pyramid.

Now one might say that mathematics isnot concerned with flagpoles, pyramidsand the like. But such talk does not helpvery much, given that we havewitnessed, since Descartes‘arithmetization of geometry, a gradualdestruct ion of the pre-establ ishedharmony between method and object ofmathematical inquiry that Bolzanowanted to maintain (Boutroux 1920,193f). The history of mathematics mustbe seen as the history ofmathematizat ion, including themathematization of mathematics itself(Lenhard y Otte, 2005). Therefore,mathematics is characterized first of allby the manner in which it generalizes.Mathematicians as a rule do not seethings this way. They are either Platonistsor Intuitionists and they dislike the semioticapproach to mathematics (Hermann Weylis a noticeable exception to this: see:Werke, vol. IV, p. 334).

G. Cantor (Cantor 1966, 83), for example,believed that applied mathematics mustdeal with real explanations or foundationsof things and thus must be based on soundmetaphysics, whereas pure mathematics

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is defined by its “freedom” to formconcepts as one pleases (given that theydo not result in logical contradictions).Kant, on the other hand, being confinedto an epistemology of consciousness,found it necessary to employ the ideathat mathematical concepts and relationsmust be “constructed in intuition.” Andpeople like Poincare or Brouwer followedhim in this conviction. This, however,imposes severe l imitat ions on theconception of mathematics, because itintroduces an absolute dist inct ionbetween concepts and intuitions andbetween analytical and syntheticalknowledge.

Peirce considered these distinctions asrelat ive and hence his bel ief thatabduction, as the source of mathematicalgeneralization, on the one hand, andempirical perception, on the other hand,are not as different as it may appear. Insemiotics, to explain means to represent.And a representation is just a perceptioncast into a certain form. In this context,Peirce develops the not ion of theperceptual judgment as an unconsciousinference. There is no sharp demarcationbetween mathematical and perceptualjudgments respectively. When making aperceptual judgment we simply cannotreally distinguish between what comesfrom the outside world and what stemsfrom our own interpretation. “On its side,the perceptive judgment is the result ofa process, although of a process notsufficiently conscious to be controlled, or,to state it more truly, not controllable andtherefore not fully conscious. If we wereto subject this subconscious process tological analysis … this analysis would beprecisely analogous to that which the

sophism of Achilles and the Tortoiseapplies to the chase of the Tortoise byAchilles, and it would fail to represent thereal process for the same reason”(Peirce, CP 5.181).

Within a perceptual judgment, theperception of generals (or ideal objects)and of part icular data seemsinseparable, or, stated differently, theprocesses of creation and of applicationof symbol ic representat ions areinseparable. Analysis and interpretationinteract. The relativity of the distinctionbetween our inner and outer world couldthus be interpreted as demanding itsconceptualization in interactive terms,like the concept of representation. Oncemore we have to conclude that a proofthat is supposed to explain mustgeneralize.

Let us consider a concrete example,given by Boulignand (1933), whichconcerns three different proofs of theTheorem of Pythagoras. The proofs ofthe Pythagorean Theorem are commonlyconsidered to be divided into three maintypes: proofs by shearing, which dependon theorems that the areas ofparallelograms (or triangles) on equalbases with equal heights are equal,proofs by simi lar i ty and proofs bydissect ion, which depend on theobservation that the acute angles of aright triangle are complementary. Amongthese proofs the proofs by similarity playa special role because they indicate theirembeddedness into the theoreticalstructure of axiomatized Euclideangeometry. The Pythagorean Theorem isequivalent to the Parallel Postulate, afterall.

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The following diagrams representexamples of these three types of proofs.

1.

2.

3.

The first proves, the second explains andthe third is called intuitive but notexplanatory by Boulignand.

The first proof proceeds in the traditionalmanner that we have become accustomedto in school: Since the angles BAC andBAG are right it follows … Consider nowthe triangles ABD and FBC … Since thetriangles are congruent it follows that ….etc.etc.…

The second proof requires a relationalunderstanding of the notion of “area,”rather than an empiricist one. The area ofa figure is defined then as the relation ofthat figure to the unit square Q(1). We haveQ(x)=x2 Q(1). Therefore the areas of similarplane figures are to each other as thesquares of their corresponding sides. Sincewe have ADC+ADB=ABC, the generalizedtheorem of Pythagoras follows.

The third proof simply requires someplaying around with plane figures like in ageometrical puzzle and observing certainconcrete relationships of equality anddifference.

The interesting distinction seems to be thatbetween 2) and 3), whereas the distinctionbetween 1) and 2) is familiar and in someway refers to the well-known distinctionbetween the analytic and synthetic, orbetween corollarial and theorematicreasoning. Corollarial reasoning relies onlyon that which is enunciated in the premisesin a rather straightforward manner. If,however, a proof is possible only byreference to other things not mentioned inthe original statement and to be introducedby conceptual construction andgeneralization, such a proof is theorematic.

The first idea that comes to mind withrespect to the contrast between 2) and 3)is that it must be something modern,

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because it has to do with relational thinkingand with the opposition betweentheoretical thought and commonknowledge, or between the exact sciencesand the humanities (Dilthey). We havetalked about this difference already andone should remember the fact thatEuclidean axiomatics and modernaxiomatics in the sense of Hilbert arerepresenting this difference (Otte 2003,204). What is more important still: inmodern axiomatic theory mathematicalobjects or facts are the objects and factsof a theory and proofs only make sensewithin the context of a theory? In traditionalEuclidean geometry all this is different. Theobjects are given by unaided intuition,independently of any theory, and the proofsdo not refer to an explicit and fixedtheoretical context as their base, but referto everyday rationality in the sense ofAristotelian demonstrative science.

Now, the second proof is modern in thedescribed sense, whereas the other twomore or less breathe in the spirit ofAristotelian science and traditional thinkingin terms of substances and their essentialproperties.

When classifying the second proof asexplanatory, we employ a dynamicconception of knowledge and explanation,as it has been described in semiotic termsabove. The proof indicates the possibilityof many relationships and thus makes usfeel the systemic and theoretical characterof knowledge. The other two proofs arefoundationalist, assuming a fixedhierarchical organization of knowledgebased on unaided intuition and everydayexperience.

Intuition seems forceful, but neither anabsolute insight or intuition nor adeterminate hierarchy of levels ofknowledge actually exist. This is very often

misunderstood. For example, the well-known Gestalt psychologist MaxWertheimer (1880-1943) comments on thepresentation and solution of Zeno’sparadoxes by means of a geometric seriesthat is current in present day mathematics.He himself comments on the current proofof the convergence of that series, which isaccomplished by multiplying the series bya and subtracting afterwards. Set S = 1 +a = a2 + ... Then S - aS = 1 or S = 1/(1 - a).

Wertheimer wri tes: “ I t is correct lyderived, proved, and elegant in itsbrevity. A way to get real insight into thematter, sensibly to derive the formula isnot nearly so easy; it involves difficultsteps and many more. While compelledto agree to the correctness of the aboveproceeding, there are many who feeldissatisfied, tricked. The multiplication of(1 + a + a2 + a3 + ...) by a together with thesubtraction of one series from the other,gives the result ; i t does not giveunderstanding of how the continuingseries approaches this value in itsgrowth.” (Wertheimer, 1945)

Wertheimer wants an intui t ivedemonstration. Intuition is essentially theseeing of the essence of a thought orobject as a form or object itself. Thingsdo not have, however, a unique anddemonstrable essence, as we haveargued before. The essence ofsomething cannot be anything but theessence of a representation of that thingand therefore the diagrammatic proofwhich Wertheimer does not accept assatisfactory, could be called an intuitiveproof, exactly like proof number 3 of thetheorem of Pythagoras above. Only, inthe present case, the intuition is directedtowards the diagrammatic representationitself and to its form. It is also moreadvanced, because it contains somegeneral methodological message.

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Relime

If we could establish a direct authentic and“natural” relationship to the object ofknowledge then this relationship wouldalso exist in a mechanical form; it wouldbe a relation between reactive systemsrather than cognitive ones and thus wouldbe just a singular event without generalmeaning. The idea of sign marks thedifference at this point as it introduces ageneral element. Our intuitions serve tocreate expressive and illuminatingrepresentations. And in this way we learn toact within the world around us. To understandmeans exactly to create a representation, asthe very example that Wertheimer hascriticized shows. We therefore have torenounce searching for definite meaningsand absolute foundations of knowledge.

This we can learn from the fact that all ourthinking is by means of signs.

Classified in terms of Peirce’s categories, thethird or intuitive proof represents Firstness,

the first Secondness and the second, orexplanatory in our sense, Thirdness.Thirdness is, as Peirce says, a synonymof representation and evolution and thusof continuity (CP 6.202). But Thirdnesspresupposes Firstness and Secondness,or stated semiot ical ly, symbol icrepresentation depends on iconic andindexical elements. Thus a proof may bea symbol, but mathematical reasoning is,as was said, diagrammatic and as suchis based mainly on iconic signs withindexical elements as parts of the icon.As Peirce adds: “Firstness, or chance,and Secondness, or brute reaction, areother elements, without theindependence of which Thirdness wouldnot have anything upon which to operate”(CP 6.202). What primarily characterizesmathematics is the peculiarity of itsgeneralizations and this is a symbolicprocess operat ing by means ofhypostatic abstractions (Otte 2003,218f).

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Proof and Explanation from a Semiotical Point of View 43

Michael OtteUniversity of BielefeldGermany


Relime44

Fecha de recepción: Febrero de 2006/ Fecha de aceptación: Abril de 2006

Université du Littoral Côte d’Opale(ULCO), France.

Quelle sémiotique pour l’analyse de

l’activité et des productions

mathématiques?

Raymond Duval 1

RESUMEN

Tanto en la enseñanza como en sus prácticas más avanzadas, las matemáticas son eldominio donde todas las formas de representación semiótica pueden ser utilizadas. Elloplantea el problema siguiente: ¿las diferentes teorías semióticas permiten analizar lautilización de imágenes, del lenguaje y de los símbolos en matemáticas? Para comprenderlos elementos del problema, se debe no solamente observar cómo estas teoríasdistinguen las relaciones que constituyen y diferencian los signos, sino también considerarlas exigencias matemáticas que demanda el recurso de las diferentes formas derepresentación semiótica. Su comparación muestra una diferencia considerable entrelas herramientas de análisis semiótico existentes y la complejidad semiótica de todaslas producciones matemáticas. Limitándose al caso de la representación de los números,se puede poner en evidencia que estas herramientas no permiten analizar laheterogeneidad semiótica de los diferentes sistemas utilizados. Ahora bien, estaheterogeneidad semiótica provoca una de las dificultades mayores del aprendizaje delas matemáticas: pasar de un tipo de representación a otro. El análisis de las produccionesmatemáticas exige herramientas de análisis semiótico más complejas y mejor adaptadasa los procesos cognitivos movilizados en toda actividad matemática. Para poder realizaresta investigación, tres preguntas son cruciales: una sobre la pertinencia de la distinciónentre significante y significado, otra en torno a la clasificación de los signos, y, finalmente,otra referente a la comparación entre un análisis funcional y un análisis estructural delos signos.

PALABRAS CLAVE: Condensación, designación, imagen, figura geométrica,relaciones constitutivas de signos, representaciones semióticas y no semióticas,sistema semiótico, transformación de representaciones.

ABSTRACT

Mathematics, whether in its teaching or in its more advanced practices, is a domainwhere all the forms of semiotic representation can be used. This entails the followingproblem: do different semiotic theories allow for the analysis of the use of images, languageand symbols in mathematics? To grasp the givens of the problem, we not only have to

45Relime, Número Especial, 2006, pp. 45-81.

1

Relime

see how these theories make the distinction between the relations that constitute anddifferentiate signs, but we also have to consider the mathematical demands whichnecessitate that we make recourse to different kinds of semiotic representation. Theircomparison reveals a considerable gap between existing semiotic tools and the semioticcomplexity found in all mathematical production. Limiting ourselves to the case of therepresentation of numbers, we can highlight the fact that these tools do not allow us toanalyze the semiotic heterogeneity of the different systems used. Moreover, this semioticheterogeneity brings up one the major difficulties in the learning of mathematics: goingfrom one type of representation to another. The analysis of mathematical productionsdemands semiotic tools of analysis that are more complex and better adapted to thecognitive practices mobilized in all mathematical activity. In order to undertake thisresearch, three questions seem to be crucial: that of the pertinence of the distinctionbetween signifier and signified, that of the classification of signs, and that of the connectionbetween the functional analysis and the structural analysis of signs.

KEY WORDS: Condensation, designation, image, geometrical figure, constitutiverelations of signs, semiotic and non semiotic representations, semiotic system,transformation of representations.

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RESUMO

Tanto no ensino como nas práticas mais avançadas a matemática é o domínio ondetodas as formas de representação semiótica podem ser utilizadas. Coloca-se o problemaseguinte: As diferentes teorias semióticas permitem analisar a utilização de imagens, dalinguagem e dos símbolos em matemática? Para compreender os elementos do problema,se deve não somente observar como estas teorias distinguem as relações que constitueme diferenciam os signos, mas também considerar as exigências matemáticas quedemanda o recurso das diferentes formas de representação semiótica. Sua comparaçãomostra uma diferença considerável entre as ferramentas de análise semiótico existentese a complexidade semiótica de todas as produções matemáticas. Limitando ao caso darepresentação dos números, se pode colocar em evidência que estas ferramentas nãopermitem analisar a heterogeneidade semiótica dos diferentes sistemas utilizados. Assim,esta heterogeneidade semiótica provoca uma das dificuldades maiores da aprendizagemdas matemáticas: passar de um tipo de representação a outra. A análise das produçõesmatemáticas exige ferramentas de análise semiótico mais complexas e melhor adaptadasaos processos cognitivos, mobilizados em toda atividade matemática. Para poder realizaresta investigação, três perguntas são cruciais: uma sobre a pertinência da distinçãoentre significante e significado, outra em torno da classificação dos signos, e, finalmente,outra referente a comparação entre uma análise funcional e uma análise estrutural dossignos.

PALAVRAS CHAVES: Condensação, designação, imagem, figura geométrica,relações constitutivas de signos, representações semióticas e não semióticas,sistema semiótico, transformação de representações.

Quelle sémiotique pour l’analyse de l’activité et des productionsmathématiques? 47

L’attention portée au rôle des signes dansla pensée mathématique est à la foisancienne et récente. Elle est ancienne sil’on considère la création multiforme d’unsymbolisme mathématique qui aaccompagné le développement del’algèbre, de l’analyse et de la logique ditemathématique. Mais elle est très récentesi l’on considère les recherches sur lesproblèmes d’apprentissage qui, dans uncadre piagétien et constructiviste, ontprivilégié une problématique d’acquisitionde concepts.

Des raisons très différentes ont contribuéà la découverte de l’importance desreprésentations sémiotiques pour

comprendre la complexité desapprentissages en mathématiques. Il y a,bien sûr, l’introduction de l’algèbre. Il y aaussi l’analyse des productions des jeunesélèves dans le cadre des activités qui leursont proposées en classe. Il y a euégalement l’influence, tardive, de lapensée de Vygotski qui avait souligné,contre les explications de Piaget,l’importance du langage à travers ses troismodalités d’expression, intérieure, orale etécrite, dans le développement de lapensée de l’enfant. Mais la découverte del’importance et de la variété desreprésentations sémiotiques dans lesactivités mathématiques et pourl’apprentissage soulève un problème

RÉSUMÉ

Aussi bien dans l’enseignement que dans ses pratiques les plus avancées, lesmathématiques sont le domaine où toutes les formes de représentation sémiotiquepeuvent être utilisées. Cela pose le problème suivant : les différentes théories sémiotiquespermettent-elles d’analyser l’utilisation des images, du langage et des symboles enmathématiques ? Pour saisir les données du problème, il faut non seulement regardercomment ces théories distinguent les relations qui constituent et différencient les signes,mais il faut aussi considérer les exigences mathématiques qui commandent le recoursaux différentes formes de représentation sémiotique. Leur comparaison montre un écartconsidérable entre les outils d’analyse sémiotique existants et la complexité sémiotiquede toutes les productions mathématiques. En se limitant au cas de la représentation desnombres, on peut mettre en évidence que ces outils ne permettent pas d’analyserl’hétérogénéité sémiotique des différents systèmes utilisés. Or cette hétérogénéitésémiotique soulève l’une des difficultés majeures de l’apprentissage des mathématiques :passer d’un type de représentation à un autre. L’analyse des productions mathématiquesexige des outils d’analyse sémiotique plus complexes et mieux adaptés aux processuscognitifs mobilisés dans toute activité mathématique. Pour conduire cette recherchetrois questions semblent cruciales : celle de la pertinence de la distinction entre signifiantet signifié, celle de la classification des signes, et celle du rapport entre une analysefonctionnelle et une analyse structurale des signes.

MOTS CLÉS: Condensation, désignation, image, figure géométrique, relationsconstitutives des signes, représentations sémiotique et non sémiotique, systèmesémiotique, transformation de représentation.

Relime 48

considérable et souvent peu discuté :comment les décrire, comment lesanalyser et comment les situer par rapportaux démarches mathématiques ?

Le problème, en effet, n’est pas d’analyserla variété des représentations sémiotiquesen fonction des concepts et desconnaissances mathématiques qu’ellespermettent d’exprimer, de traduire, decontextualiser, etc. Cela conduit, en fait, àles dissoudre dans une analyse faite entermes de « savoirs » relatifs à descontenus mathématiques particuliers. Leproblème est d’abord de savoir déterminerce que sont des « signes », ce qu’ilsévoquent ou représentent et comment ilsle font, quelles fonctions ils remplissent oune remplissent pas dans une démarche deconnaissance. Certes, ces questionssemblent avoir trouvé une réponse clairedans les différentes théories sémiotiquesqui ont été élaborées depuis les Stoïcienset, plus particulièrement, avec Peirce,Saussure, et aussi Frege. Mais cetteapparente clarté s’évanouit vite si oncompare ces différentes théories entreelles et, surtout, si on considère la variétéconsidérable et hétérogène desreprésentations sémiotiques utilisées enmathématiques et dans l’enseignementdes mathématiques. Les quelques« concepts » et classifications élaborésdans les théories sémiotiques et auxquelsbeaucoup de travaux didactiques seréfèrent, apparaissent alors insuffisants etparfois non pertinents pour analyserl’activité mathématique et ses productions.Et c’est là que surgit la question suivante :quelle sémiotique pour analyser l’activitéet les productions mathématiques ?

Cette question est essentielle à un tripletitre. Tout d’abord, il s’agit de disposer d’unoutil d’analyse suffisamment adapté etdiscriminant pour étudier l ’activitémathématique et ses productions : celles

des experts, celles des enseignants et cellesdes élèves y compris ceux de l’enseignementprimaire. Car toutes les productionsmathématiques mettent en jeu desreprésentations sémiotiques. Or, les typesde représentations que l’on trouve chez lesuns ne sont pas ceux qui sont privilégiés parles autres. Peut-on les considérer comme àpeu près équivalents ou interchangeablestant du point de vue de leur fonctionnementsémiotique que du point de vuemathématique? En d’autres termes, peut-onou non passer facilement d’un type à unautre, ou au contraire ce passage de l’un àl’autre ne cache-t-il pas une rupture? Ensuite,il y a le problème du rôle des signes et desreprésentations sémiotiques dans lefonctionnement de la pensée. On peutl’aborder de manière très générale sans seréférer à aucun domaine particulier deconnaissance, c’est-à-dire à la manièrespécifique dont on a accès aux objets deconnaissance dans chaque disciplinescientifique. Mais on peut aussi l’aborder enprenant en compte les exigences propres audéveloppement de la connaissancemathématique. Dans ce cas, il faut tenircompte de la situation épistémologiqueparticulière des mathématiques par rapportaux autres domaines de connaissance. Lesreprésentations sémiotiques jouent-elle lemême rôle en mathématiques qu’enbotanique, qu’en géologie, qu’en géographie,qu’en astronomie, etc.? Enfin, cela concerneles variables cognitives à prendre en comptedans les apprentissages. Peut-on considérerque certains types de représentation facilitentl’entrée dans les démarches mathématiquesou, au contraire, en brouillent la visibilité ?Les changements de type de représentationconstituent-ils une variable didactiquecruciale ou au contraire une variablesecondaire ?

Le propos de cet article n’est pas deprésenter ici une autre approchesémiotique pour analyser l’activité et les


productions mathématiques, approche quenous avons développée dans d’autrestravaux (Duval 1995a, 1996, 2003, 2005,2006a, 2006b). Notre propos est de poserla question de la pertinence et des moyensd’une analyse sémiotique de l’activitémathématique et des problèmesd’apprentissage en mathématiques. Cettequestion exige que l’on commence paranalyser les différentes théoriessémiotiques dont on a importé endidactique les distinctions et les concepts,sans s’être vraiment interrogé sur leursfondements, sur leur portée réelle ainsi quesur les critères opératoires qu’elles offrentou n’offrent pas. Le résultat auquel nousespérons conduire le lecteur est qu’il voitpourquoi il faut se poser cette question. Sion ne s’est pas posé cette question,l’utilisation d’une théorie sémiotique, quellequ’elle soit, ne peut avoir de sens.

Nous commencerons donc par présenterles données du problème sémiotique,telles qu’elles ressortent des différentesthéories sémiotiques existantes. Nousverrons que les différentes théories ontconduit à expliciter cinq relationsfondamentales pour caractériser les signeset les représentations sémiotiques, mêmesi aucune ne prend en compte toutes lesrelations. Mais ce n’est là qu’une partie desdonnées pour la question dont nousvoulons montrer la nécessité et la priorité.Il nous faut aussi examiner les exigencesmathématiques concernant l’utilisation dessignes. Nous verrons alors que lesreprésentations sémiotiques ne sontmobilisées et développées que dans lamesure où elles peuvent être transforméesen d’autres représentations sémiotiques.Ce sont ces transformations possibles quisont importantes et non pas les relationsfondamentales explicitées dans lesdifférentes théories sémiotiques. Pourillustrer cela, nous prendrons l’exemple dela représentation des nombres. Nous

aurions pu aussi prendre un exemple engéométrie (Duval, 2005) ou un problèmedans lequel on ne peut pas distinguer sion est dans un cadre géométrique ounumérique (Duval, 2006b). L’intérêt de lareprésentation des nombres est que cetexemple permet de comparer plusieurstypes de représentation, dont celui dereprésentations «concrètes», ouiconiques, de marques unités que l’onutilise comme des pseudo objets et qui nefonctionnement pas du tout comme dessignes. Dans une troisième partie, nousverrons, en gardant le même exemple,comment le passage d’un type dereprésentation à un autre implique un sautsémiotique non seulement dans lefonctionnement de la relation de référencemais surtout dans le type d’opérationdiscursive à effectuer. La dernière partienous permettra de montrer comment laquestion, thème de cet article, se traduitet se diffracte en plusieurs questionscruciales. Nous en retiendrons trois. Ladistinction entre signifiant et signifié, est-elle pertinente en mathématiques ? Laclassification des représentations, se fait-elle en fonction des relationsfondamentales caractéristiques des signesou en fonction des systèmes producteursde représentations ? L’analyse desproductions peut-elle être entièrementsubordonnée à la fonction remplie dans uncontexte ?

I. LES DONNÉES DU PROBLÉMESÉMIOTIQUE

Les définitions des signes qui ont étéproposées dans les différentes théoriessémiotiques, mettent toutes en avant lafonction cognitive d’évocation, ou deremplacement, qu’un élément remplit àl’égard d’un autre élément, ces deuxéléments étant implicitement considéréscomme n’ayant pas le même statut

Relime 50

épistémologique. De ce point de vue, il n’y a pas de différence entre la définition dessignes et celle des représentations qui ne sont pas des signes, comme les imagesproduites sur une surface plane réfléchissante ou par un système optique.

Fonction cognitive:évoquer ou remplacer

(1)

(2)Exigence épistémologique:ne jamais prende l’un pour

l’autre

QUELQUE CHOSED’AUTRE

aliud aliquid (Augustin)something else (Peirce)

QUELQUE CHOSE

REPRÉSENTATION(S)NON sémiotique(s)

SIGNE (S)

Représentation

Les trois définitions suivantes en sont uneparfaite formulation :

— Le signe est une chose qui, outre la formeperçue par les sens, fait venir à partird’elle la pensée de quelque chosed’autre .... (Signum est enim res, praeterspeciem quam ingerit sensibus, aliudaliquid ex se faciens in cogitationemvenire). (Augustin 1997, p. 136 )

— Un signe ou représentamen estquelque chose qui tient lieu pourquelqu’un de quelque chose d’un certainpoint de vue ou realtivement à unecompétence (A sign, or representamen,is something which stands tosomebody for something in somerespect or capacity ). (Peirce 1978, p.121(2.228)).

— Les « représentations » sont« l’évocation d‘objets absents » (Piaget1968a, p.305 ; 1968b, p. 8).

Malgré une apparente évidence, toutes cesdéfinitions sont à la fois inutilisables etincomplètes. Elles sont tout d’abordincomplètes parce qu’elles laissent implicitel’exigence épistémologique fondamentale qui

Figure 1. Les deux éléments constitutifs caractérisant les signes et toutes les représentations

conduit à ne pas confondre unereprésentation avec ce qu’elle représente(Platon République, 509e-510b). Car, sansle respect de cette exigence, il n’y a plus designe ou de représentation. Le respect decette exigence peut sembler trivial ouimmédiat lorsqu’il s’agit de chosesmatérielles, comme, par exemple une chaise.On ne confondra jamais la chaise en boissur laquelle on peut s’asseoir et laphotographie de cette chaise ou encore undessin de cette chaise. Cela ne l’est plus pourles représentations sémiotiques utilisées enmathématiques, comme, par exemple lesmultiples représentations possibles desnombres, car on ne peut pas accéder à cesobjets mathématiques sans mobiliser desreprésentations sémiotiques (Duval 2006b).Mais, surtout, cette définition est inutilisablecar la fonction cognitive consistant à« évoquer » ou à « se tenir lieu de quelquechose » ne précise pas comment cettefonction cognitive peut être remplie.Autrement dit, cette définition, qui caractériseles signes par leur seule fonction, ne dit riende la relation qui, structuralement, permet àquelque chose d’évoquer quelque autrechose.


C’est pourquoi les différentes théories dusigne et de la représentation qui ont étédéveloppées ont été conduites à expliciterplusieurs relations fondamentales constitutivesdes signes ou des représentations. Nous enretiendrons cinq et il semble qu’il ne puisse pasen exister d’autres.

1. Une relation de « ressemblance »

La relation de ressemblance, à travers lesnotions de « copie » ou d’« image » (eikon) quilui sont associées, a été dégagée par Platon(République 476c, 509e, 510e). Peirce en a faitl’une des trois catégories des représentations :« Une icône est un represenamen dont laqualité représentative est la priméité durepresentamen...par conséquent n’importequelle chose peut être un substitut de n’importequelle chose à laquelle elle ressemble » (Peirce1978 p.14 7 (2.276) ; voir aussi 2.247).Cependant, ce qui permet de définir uneressemblance entre le contenu d’unereprésentation et ce dont ce contenu est lareprésentation reste flou comme Quine (1977)l’avait signalé. Comment déterminer s’il y a« ressemblance» ou non entre une

représentation et ce qu’elle est censéereprésenter, sans passer par un ensembled’opérations qui coûtent plus de temps que leseul fait de reconnaître quelque chose commeune image ?

Bresson a proposé un critère qui s’avère êtreun outil précieux à la fois pour décider si unereprésentation est, ou n’est pas « iconique » etpour pouvoir distinguer les différents typesd’images. La ressemblance se caractérise par« la conservation entre les éléments dureprésentant des relations de voisinage existantentre les éléments du représenté » ( Bresson1987, p. 940). Autrement dit, la ressemblancene se fonde pas sur la reproduction de formesmais sur la conservation de relationstopologiques des éléments qui composentl’ensemble d’une figure. Ainsi, dans l’exempleci-dessous, les éléments des deux premiersdessins sont homogènes (que des carrés oudes ronds !) et leur forme ne ressemble pasaux différentes parties du visage humain. Cesont leurs relations de voisinage qui les fontinterpréter comme des yeux, un nez, etc.Présentées simultanément à de jeunes enfants,ces formes sont généralement vues comme« un robot » et un « bonhomme ».

Figure 2. Deux images schématisées et une image figurative.

La comparaison du troisième dessin avec lesdeux premiers montre l’intérêt de la définitionde Bresson. Elle permet de voir ce qui fait ladifférence entre une image figurative (à droite),qui est une «copie » plus ou moins fidèle d’unvisage, et une image schématisée ou abstraite(à gauche) mais qui ressemble encore à unvisage. Dans l’image figurative, les élémentssont différents et ont chacun une ressemblancede contour avec une partie du visage. Une

image devient schématique lorsque tous leséléments composant l’image deviennenthomogènes et perdent donc tout caractèred’iconicité (Duval 2003, p. 39-40).

Regardons maintenant ces figures qui suivent.En quoi se distinguent-elles des premiersdessins ci-dessus ? Peut-on les considérercomme relevant de la même catégorie que lesimages ci-dessus ?

Relime 52

I Ia Ib II iiI Figure 3. Quatre ou cinq figures géométriques ?

On peut noter une première différence.Une figure géométrique ne se dessine pasà main levée mais se construit à l’aided’instruments, tandis qu’un dessin ne seconstruit pas mais se compose à mainlevée. Mais, d’un point de vue sémiotique,cette différence a peu d’importance. Laquestion suivante demeure : une foisconstruite ou dessinée, une figuregéométrique s’analyse-t-elle en termes deressemblance avec ce qu’ellereprésente ?

2. Une relation de « référence »

Cette relation, que Frege (1971) appelaitla Bedeutung (dénotation) des signes oude leur combinaison en une expression,exclut toute possibilité de ressemblanceentre les signes et ce dont ils sont lessignes. Elle concerne surtout deux typesde signes très différents : les symboles etles mots. La relation de référence d’unsigne ou d’une combinaison de signesà un objet résulte d’une opérationdiscursive de désignation . C’est decette manière que les lettres en algèbre,les mots, ou les constructionssyntagmatiques de mots dans un énoncé,réfèrent à un objet. Cette opération peutparaître simple lorsqu’il s’agit de lettres oude symboles, puisque généralement onles associe à quelque chose qui est visiblegraphiquement : les sommets ou les pointsd’intersection sur une figure géométrique,ou un ensemble de nombres que l’on se

donne : « Soit x... ». Dans ce type desituation on parle le plus souvent de« notation mathématique » (Freudenthal,2002).

L’opération de désignation est beaucoupplus complexe dès qu’elle se fait par desmots. Un mot, seul, ne désigne jamaisun objet, sauf si on lui assigne un statutde nom propre. La désignation d’un objetpar un nom commun exige toujours unequantification. Autrement dit, la désignationlinguistique se fait par la combinaison d’unnom commun et d’un déterminant. Mais,comme aucun lexique ne comporte jamaisautant de mots que d’objets à désigner, laconstruction syntagmatique doit articulerplusieurs noms en une seule expression :« le point d’intersection des hauteurs d’untriangle ... ». Russell considérait ce type deconstruction syntagmatique, comme une« description ». Il est caractéristique dulangage mathématique (Duval, 1995a). Eton le retrouve dans tous les énoncés dedéfinition ou de théorème ainsi que dansles énoncés des problèmes ! Cetteopération de désignation, qui crée laréférence à un objet, est soumise à unecondition d’unicité pour qu’il n’y ait pasd’ambiguïté dans la communication surl’objet qui est ainsi désigné (Ducrot, 1972).En mathématiques, les expressions quiintroduisent une notation articulent en faitdeux opérations discursives dedésignation : l’une littérale et l’autrelinguistique : « l’écriture a/b) désigne (lequotient de a par b ». ( Deledicq 1979, p.


48 ), ou encore « Soit A le pointd’intersection des hauteurs d’un triangle ».

3. Deux relations caractérisées entermes de causalité

Il s’agit ici d’une relation totalement différentedes deux précédentes. Ici la relation peut êtreprise de deux manières différentes : soit cequi fonctionne comme signe est un effet dece qu’il évoque, soit, au contraire, il agitcomme cause ou comme déclencheur d’uneaction.

3.1 La relation effet cause

Elle caractérise les phénomènes naturels quiinduisent la recherche de leur cause ou deleur origine : des reflets, des traces, desvestiges, des symptômes, des indices...Peirce a pris l’exemple de l’observation d’unefumée. On pourrait ici faire appel àl’abondante littérature qui, de Plotin àDerrida, a cherché, dans ce type de relation,le caractère premier et fondateur des signes.La trace est devenue la métaphoresémiotique de ce type de relation.

3.2 La relation cause effet

Elle ne concerne plus des phénomènesnaturels mais ce qu’on considère commeun signal. Ainsi les feux aux carrefours sontdes signaux qui doivent déclencher, demanière réflexe, une action de la part desconducteurs. Plus généralement, toutetransmission d’informations à l’intérieurd’un système physique ou organiquedépend de codes et de signaux.

4 . Une relation d’oppositionalternative ouvrant un choix d’emploi

Ici, les termes de cette relation ne sont plusentre un élément qui remplirait une fonction

d’évocation et un autre qui serait ce quiest évoqué; ils sont entre au moins deuxéléments qui s’opposent comme deuxsignes possibles pour évoquer ou pourdésigner quelque chose d’autre.Autrement dit, il n’y a pas de signes isolésqui fonctionneraient par eux-mêmes,comme une notation, mais il y a d’embléeun système de plusieurs signes. Cetterelation a été mise en évidence parSaussure (1915) :

La langue est un système dont tous lestermes sont solidaires et où la valeurde l’un ne résulte que de la présencesimultanée des autres..... Entre eux iln’y a qu’opposition. Tout lemécanisme du langage repose surdes oppositions de ce genre et sur lesdifférences phoniques et conceptuellesqu’elles impliquent. Ce qu’il y a d’idéeou de matière phonique dans un signeimporte moins que ce qu’il y a autourde lui dans les autres signes. (Saussure1973, p. 159, 166 )

Autrement dit, il n’y a pas de signes endehors du système où des élémentsprennent valeur de signe. Cette théorie aconduit aux méthodes d’analysestructurale des langues à basephonologique (Martinet, 1966) et de toutesles formes de discours produits(Benveniste, 1974). En dehors deslangues, les systèmes de numération deposition en fonction d’une base n sont uneparfaite illustration de ce qu’est unsystème sémiotique, selon la définitionstructurale et non pas purementfonctionnelle de Saussure. En effet, cessystèmes de numération sont, selonl’expression de Freudenthal (2002), un«compromis entre le système linguistiqueet celui de l’abaque ». Pour bien le mettreen évidence, il suffit de comparer les deuxtypes suivants de représentation desnombres.

→

→

Relime 54

Des MARQUES UNITÉS tenantlieu chacune d’un objet

Aucune valeur de position mais desarrangements configuraux possibles

|

| |

| | |

| | | | | | | | | |

ou ( | | | | | | | | | | )

Un SYSTÈME SÉMIOTIQUE

Principe positionnel de l’abaque: la valeur dépend dela colonne où se trouve la marque

Base «10» : lexique fondé surneuf valeurs d’opposition

pour chaque terme1

2

3

10

Base «2» : lexiqueréduit à une seule

valeur d’opposition1

10

11

100

Nous sommes ici en présence de deuxgenres radicalement différents dereprésentation. L’un consiste en desmarques unités qui sont indépendantes lesune des autres et qui ne peuvent êtreassemblées que sous forme d’unecollection. L’autre est un systèmesémiotique dans lequel les chiffres,analogues aux termes d’un lexique,dépendent les uns des autres selon deuxprincipes de composition.

— un principe organisationnel de positionqui permet de combinersystématiquement les chiffres entre euxpour écrire de nouveaux nombres.Chaque chiffre a ainsi une valeur deposition qui correspond à une élévation,à une puissance. Ce principe détermineun algorithme de calcul pour lesopérations arithmétiques.

— un principe de choix lexical quicorrespond à la base n. Cette basedétermine le nombre d’oppositionsalternatives pour le choix des signesnumériques.

A la différence des marques unités(colonne de gauche) qui sont constituées

Figure 4. Hétérogénéité sémiotique de deux types de représentation des nombres.

par leur seule trace matérielle, la réalitésignifiante des chiffes est déterminée parleur seule valeur d’opposition alternative àd’autres chiffres, et non pas par leur tracematérielle. En ce sens, il ne peut pas y avoirde lexique ne comportant qu’un seulterme : « 1 » ne fonctionne comme signed’un nombre que par son opposition soit à« 0 » dans le système binaire, soit à neufautres signes dans le système décimal,dont évidemment « 0 ». Par conséquent« 1 » ne représente le nombre UN, commela marque unité « l », que par sonopposition à « 0 », et sous la conditionqu’il occupe la première position en partantde la gauche.

Ces deux types de représentation desnombres sont hétérogènes. De l’une àl’autre, il y a un saut sémiotique et cognitif.Lorsque nous comparerons ces deux typesde représentations sous le point de vue desopérations qu’elles permettent, nousverrons que les marques unitésfonctionnent comme des pseudo objetsmanipulables concrètement et non pascomme des signes opératoires (infra 2.1).L’apparition du symbole « 0 », irréductible àtoute représentation concrète, c’est-à-dire


non représentable par des marques unités,traduit déjà la rupture qui se produit quandon passe d’un type de représentation àl’autre.

5. Quel est l’autre terme de cesrelations fondamentales ?

Ces relations fondamentales sont autant demodes différents par lesquels «quelquechose », appelé « signe» ou« représentation », peut remplir la fonctioncognitive d’évocation de « quelque chosed’autre » (Figure 1). Quel peut être cet autreterme que les définitions purementfonctionnelles désignent comme aliud aliquidou something else et qui, d’un point de vueépistémologique ne doit jamais être confonduavec son signe ou sa représentation ?

C’est cet « autre chose » du signe ou de lareprésentation qui est important. C’estpourquoi il a été considéré comme «l’étantvéritable » (Platon), comme la res, commela « chose elle-même», c’est-à-dire commel’objet de connaissance. La notion d’objet estcelle qui s’est imposée dans toutes lesanalyses philosophiques etphénoménologiques de la connaissancecomme la notion fondamentale (Duval 1998,p.167-168, 196). L’objet peut être soit unechose matérielle, accessible perceptivementcomme une chaise, comme les plantes dansune forêt ou comme le soleil que l’onreconnaît être « le même » qui se lèvechaque matin, soit une réalité idéaleaccessible uniquement par des démarchesde pensée mobilisant justement des signes,comme par exemple les nombres. Ainsi lesreprésentations « III », « 3 », « 39/13 », ouencore une configuration triangulaire depoints, renvoient au même nombre commeà un même objet. On ne parle jamais dunombre « trois » comme d’un concept et dunombre « quatre » comme d’un autreconcept. En mathématiques, on travaille

avec les nombres et non pas avec lenombre, c’est-à-dire avec une définition dunombre, celle donnée par exemple parPeano, ou celles qui ont été discutées lorsdu débat entre Poincaré et Russell. De cepoint de vue, l’ouvrage de Piaget sur Lagenèse du nombre chez l’enfant (1941) aintroduit des glissements terminologiquesqui ont été néfastes pour la réflexiondidactique concernant les processus de lapensée.

Un objet, réalité matérielle ou idéalité, peutêtre le terme de plusieurs relationssémiotiques fondamentales. Ainsi, unechaise peut être à la fois le terme d’unerelation de ressemblance dans unephotographie, d’une relation de référencedans un énoncé descriptif, et d’une relationd’effet à cause, s’il reste une trace de cettechaise, sur un sol meuble par exemple. Celapermet de composer des juxtapositionsparadoxales comme nous le verrons plusloin. Au contraire, à la différence d’une chosematérielle, une réalité idéale ne peut pas êtrele terme d’une relation de ressemblance.

Cependant, il y a des situations où les signesne tiennent pas à la place des objets qu’ilsévoquent, mais remplacent d’autres signes.C’est le cas, par exemple, des codesalphabétiques qui commutent l’émissionorale d’un discours en une suite visuelle decaractères, ou encore des lettres en algèbre,les lettres remplaçant une liste de valeursnumériques possibles. Dans le premier cas,les codes apparaissent comme unmarquage formel de signes, les marquesformelles appelant un décodage pourretrouver la réalité des signes, c’est-à-direl’une ou l’autre des cinq relationsfondamentales. Aristote, qui avait déjàremarqué cette situation, en avait conclu àune plus grande distance de l’écriture parrapport à la pensée que celle de la parole àla pensée (De l’interprétation, 16a 1-10). Lesecond cas est différent. Il répond à une

Relime 56

fonction d’abréviation et d’économiecognitive et soulève la question du caractère« aveugle » d’un symbolisme qui ne remplitplus la fonction d’évocation d’un objet (infra,2.13 et 4.3). Mais ces deux cas peuvent doncêtre ramenés à l’opposition entre signe etobjet, conformément à l’exigenceépistémologique sans laquelle la définitionpurement fonctionnelle des signesdeviendrait non pertinente. Rappelonsd’ailleurs que Peirce recourt lui aussi à cettenotion d’objet pour caractériser des différentstypes de representamen, c’est-à-dire troisdes cinq relations fondamentalesconstitutives des signes.

6. Qu’en est-il de la distinction entresignifiant et signifié ?

Cette distinction est évidemment ladistinction familière. Mais elle est aussi celledont l’emploi dans la littérature didactiqueest complètement équivoque.

Soit elle correspond à la distinction entrel’élément qui remplit une fonction d’évocationet cet autre chose qu’il évoque. Dans ce cas,la distinction est redondante par rapport auxdéfinitions classiques du signe (Figure 1) :« signifiant » est alors synonyme de signeet « signifié » synonyme de l’objet évoqué !Soit elle porte sur ce qui serait la structureinterne de l’élément qui remplit la fonctioncognitive d’évocation. Dans ce cas, la portéede cette distinction se limite aux langueshumaines qui remplissent une fonction decommunication orale, c’est-à-dire auxsystèmes linguistiques à basephonologique .

En effet, toute l’économie des langueshumaines, qui remplissent une fonction decommunication orale, repose sur ce queMartinet a appelé la « double articulation ».D’une part, il y a une première articulationde la parole en unités de sens (phrases,

mots, monèmes). D’autre part, les unités desens minimales (les monèmes) sont leproduit d’une articulation de plusieurs unitésphoniques (les phonèmes), ces deuxarticulations étant entièrement indépendantesl’une de l’autre :

« Si nous devions faire correspondre àchaque unité significative minima uneproduction vocale spécifique etinanalysable, il nous faudrait en distinguerdes milliers, ce qui serait incompatible avecles latitudes articulatoires et la sensibilitéauditive de l’être humain. Grâce à laseconde articulation, les langues peuventse contenter de quelques dizaines deproductions phoniques distinctes que l’oncombine pour obtenir la forme vocale desunités de première articulation» (Martinet1966, p. 19).

Les langues humaines se distinguent dulangage des animaux par cette doublearticulation.

Nous verrons plus loin (4.1) que cettedistinction n’a pas de sens pour les signespurement visuels, notamment pour lesnotations mathématiques.

7. Conclusion : le problème de l’analyseet du rôle des signes dans l’activité

cognitive.

Ce rapide panorama de la diversité desrelations constitutives de la « signifiance »des signes (Benveniste 1974, p .45, 51)permet de faire les trois observationssuivantes.

Tout d’abord, personne ne confondra lafonction cognitive d’évocation ou desubstitut d’autre chose avec les relationsde ressemblance, de référence, de causalitéou d’opposition alternative entre deuxéléments. Ce sont ces relations structurales


qui permettent qu’un élément remplisse lafonction d’« évocation ». Seule la relationcause effet, caractéristique du signal, neremplit pas cette fonction, mais une fonctiond’instruction ou de commande, comme onpeut le voir dans le fonctionnement de tousles systèmes automatisés ou non conscients.

Dans une approche sémiotique, on ne peutpas faire appel aux phénomènesd’association (Russell, 1969). Car celaconcerne un autre problème, celui del’apprentissage des signes et plusparticulièrement de celui d’une langue. Or,pour expliquer cet apprentissage le recoursau processus d’association relève d’unethéorie plus que discutable et démentie parles observations (Boysson-Bardies 1999).Nous verrons plus loin que ce qu’on appelleassociation relève en fait d’une opérationdiscursive de dénomination complexe.

Aucune théorie sémiotique existante nepermet de prendre en compte toutes cesrelations, mais chacune tend à en privilégierune ou deux. Autrement dit, aucune théoriene couvre la diversité et la complexité desphénomènes sémiotiques.

Maintenant la question n’est pas seulementde savoir quelles sont les relations les pluspertinentes pour analyser les activités et lesproductions mathématiques, elle est surtoutde savoir si les relations que l’on estimepertinentes sont suffisantes.

II. ÉXIGENCE ET PRATIQUEMATHÉMATIQUES CONCERNANT LES

SIGNES : LES POSSIBILITÉS DETRANSFORMATION DES

REPRÉSENTATIONS.

En mathématiques, une représentationn’est intéressante que dans la mesure oùelle peut se transformer en une autrereprésentation. Un signe n’est intéressant

que s’il peut être substitué à d’autres signespour effectuer des opérations (Condillac,1982). Ce ne sont donc pas lesreprésentations qui sont importantes, maisles transformations des représentations.Cette exigence a commandé ledéveloppement d’un symbolisme spécifiqueaux mathématiques, avec la représentationdes nombres, avec l’algèbre, avecl’analyse... Elle traduit le fait que la fonctionprimordiale des signes et desreprésentations, en mathématiques, n’est nila communication, ni « l’évocation d’objetsabsents », mais le traitement d’informations,c’est-à-dire la transformation intrinsèque deleurs représentations en d’autresreprésentations pour produire de nouvellesinformations ou de nouvellesconnaissances.

Ce serait cependant une erreur que de limitercette exigence au symbolismemathématique et donc au calcul. Cetteexigence mathématique concerne aussil’utilisation de tous les types de signesculturellement communs, comme leslangues naturelles ou les représentationsfigurales, lesquelles donnent, en géométriepar exemple, des possibilités purementvisuelles de transformation. L’originalité etla puissance de la pensée mathématiqueviennent de ce qu’elles jouent sur la variétédes registres sémiotiques et sur lespossibilités spécifiques de transformation quisont propres à chaque système. Pourillustrer cela, nous allons prendre deuxexemples : la variété sémiotique de lareprésentation des nombres et lesreprésentations figurales en géométrie.

2.1 Quel rapport entre les signes et lesopérations dans la représentation des

nombres et/ou des grandeurs ?

Nous avons analysé plus haut lesdifférences entre deux types dereprésentation des nombres (Figure 3).

→

Relime 58

Nous pouvons compléter cette comparaison en y ajoutant deux autre types dereprésentation : l’écriture littérale et algébrique, et les dessins schématisés d’objets(Belmas 2003) que l’on trouve dans les productions de jeunes enfants, ou dans cellesd’étudiants plus âgés (Hitt 2003), pour résoudre des problèmes de dénombrement.

Figure 5. Possibilités de transformations, ou de calcul en fonction du type de représentation.

TYPESDE

REPRÉSENTATIONDES

NOMBRES

OPÉRATIONSpossibles de

TRANSFORMATIONSdes

représentations

Les principesd’organisationsuivent les loisd’organisation

perceptive

I. Des dessinsschématisantdes d’objets

conservant lescorrespondances

topologiques(voitures, rouesd’un véhicule..)

Accentuer oueffacer l’iconicité

(ressemblanceavec l’objet

représenté) parajout ou

suppression detracés

Pas de principesd’organisationpour l’emploides marques

II.Des marques-

unitésformellement

indiscernablespouvant êtreagrégées encollections

( traits,points ...)

Support pourdes

manipulationslibres :

- comptage-regroupementsou séparation

en paquets- dispositionselon des

configurationspolygonales

Des principes d’organisation déterminentl’EMPLOI des signes et leurs

COMBINAISONS en unités de sens(expressions)

III. Des systèmesd’écriture de

positiondécomposant un

nombre selon unepuissance n et

exigeant n signes

algorithmes decalcul

fondés sur leprincipe : un

changement deposition

correspond à uneélévation à la

puissance

IV. Notationsalgébriques

articulant deuxtypes de symboles :

- variablesconventionnelles

pour unedésignationfonctionnelle- symboles

d’opérations et derelations

Substitutionsd’expressions

symboliquesfondées surdes règles

syntaxiques propresà chaque opération

- invarianceréférentielle dansles substitutions

Si on regarde ces quatre types dereprésentations sémiotiques enfonction des relations fondamentales,les types I et II peuvent être considéréscomme iconiques puisqu’ils ressemblentsoit aux objets représentés soit à descollections de jetons, de cailloux. Les typesIII et IV doivent être considérés commesymboliques bien qu’ils ne relèvent pas dela même relation fondamentale : III estdéterminé par une relation d’oppositionalternative (supra 1.4) et IV est déterminé

par une relation de référence (supra 1.3).Mais une telle analyse ne nous conduit pasloin et elle n’apporte pas grand chose. Enrevanche, tout change si on regarde cesquatre types de représentations desnombres en fonction des opérations detransformations qu’ils permettent (ligne2 du tableau). On voit alors qu’il fautdistinguer trois classes de représentations.Elles sont séparées par un trait doubleentre les colonnes. Chacune de ces troisclasses de représentation donne


respectivement lieu à trois typesd’opérations radicalement différentes : desmanipulations concrètes libres, desalgorithmes de calcul, des opérationsdiscursives de désignation et desubstitution salva veritate.

2.1.1 Représentations n’étant qu’unsimple support externe pour des

manipulations libres

Les opérations que l’on peut effectuer avecles représentations de type I ou II (Figure 5)sont totalement extérieures à cesreprésentations : on peut les compter en lespointant du doigt, les regrouper par paquets,ou les disposer sur deux rangées parallèlespour les mettre en correspondance, etc. Cesont ces opérations que Piaget apresqu’exclusivement considérées dans sonétude sur La genèse du nombre (1941).Dans les épreuves piagétiennes, les jetonssont le strict équivalent des marques unités.Celles-ci sont un simple support, matériel ougraphique, pour des opérations. Ellesfonctionnent plus comme des pseudo objetsque comme des signes. Les opérationseffectuées sur ce matériel n’entraînent àproprement parler aucune transformation deces représentations. Se pose alors laquestion de savoir s’il est utile de représenterles opérations faites et comment lesreprésenter.

Les marques auxquelles on recourtgénéralement dépendent entièrement duchoix de celui qui les utilise. Ainsi on peutjouer uniquement sur la disposition spatialedes marques unités (les séparer en paquetspuis les regrouper) comme l’a fait parexemple Wittgenstein (1983, p.143), ou bienles entourer comme dans les diagrammesde Venn. On peut également utiliser des traitsplus longs pour matérialiser des paquets, etc.De toute manière elles viennent se surajouteraux marques unités et elles ne sont que desindices des opérations faites.

Dans la pratique, les représentations detype I et II ne sont jamais employées sansque l’on recourt à un deuxième type dereprésentation sémiotique pour justementexpliciter ou pour effectuer les opérations :soit par exemple, une explication verbalequi, évidemment, s’oublie très vite, soitl’utilisation d’une écriture numérique quivient en quelque sorte représenter lesopérations (infra Figure 11).

Les dessins schématisant des objetsprésentent des caractéristiques qui lesrapprochent de ces marques unités. A ladifférence des marques unités, i lsprésentent l’inconvénient majeur de ne paspouvoir être répétés à loisir comme lesmarques unités. Cela devient vite tropcoûteux.

2.1.2. Représentation ou signesconstitués par un principe d’organisationinterne qui détermine des algorithmes de

calcul

Les écritures numériques (III, Figure 5) nepeuvent pas être considérées comme unsimple support pour des opérations decalcul. L’effectuation des opérations est icientièrement subordonnée aux possibilitéset aux contraintes des principesd’organisation du système numériqueutilisé. Pour l’écriture des nombres, lesalgorithmes des différentes opérationsarithmétiques dépendent à la fois duprincipe de position et de la base. Parexemple, les valeurs de position permettentun déplacement à droite ou à gauche,correspondant à une élévation ou à unediminution de la puissance de la base, et,pour chaque position, un dépassement despossibilités de choix offertes par la baseconduit à un déplacement à gauche avecreport. Ce système est évidementextensible avec l’adjonction d’unséparateur (virgule ou point), et cetteextension permet de calculer avec d’autres

Relime 60

nombres que les nombres entiers. Pour lesmêmes opérations sur les mêmes nombres,les algorithmes changent si, au lieu d’uneécriture décimale, on adopte une écriturefractionnaire.

2.1.3 Représentations ou signes ouvrant àl’intégration des calculs dans des

opÉrations DISCURSIVES : l’algèbre.

L’écriture littérale (IV, Figure 5) crée unenouvelle rupture sémiotique avec lesprécédentes représentations des nombreset elle ouvre la voie à de nouvellesopérations. Cette rupture apparaît sur deuxpoints. Tout d’abord, une différenciation entrela sémantique des signes (l’interprétation deslettres) et leur syntaxe (les règlesdéterminant l’ordre des opérations et leurportée sur les symboles associés dansl’expression) devient nécessaire. Avec cettedifférenciation, l’interprétation des lettres nedépend plus directement des choix offertspar un système sémiotique (supra 1.4) maisd’une opération discursive de désignation(supra 1.2). Ensuite, il y a la possibilité deconstruire des unités syntagmatiques parl’organisation de plusieurs signes autour d’unsymbole dominant (un symbole d’égalité oud’inégalité). Cette possibilité conduit à desopérations de substitution d’expressions oude transfert d’expressions salva veritate,c’est-à-dire salva suppositione. C’est ce quifait l’originalité du calcul algébrique.

Pour illustrer cette rupture, nous nouslimiterons à la seule émergence des lettresen rappelant comment, avec Viète etDescartes, elle s’est inscrite dans laconstitution de l’écriture algébrique (Serfati,1987).

L’émergence des lettres comme symbolesalgébriques a longtemps été réduite à ladésignation d’une quantité inconnue, laquellefut appelée res ou cosa pour faciliter larésolution d’un problème. On en retrouve

d’ailleurs la trace dans l’explication queLacroix donnait des signes algébriques :« ...la détermination du nombre inconnu parle moyen des nombres donnés » (Lacroix1820, p. 1). Cependant, c’est avec lasubstitution de lettres à des motsdésignant différents types de grandeursque les lettres comme signes se sontvéritablement constituées. Ainsi, pour necombiner dans le calcul que des grandeurshomogènes, Viète a classé les grandeursselon deux critères : le critère géométriquedes genres (planus, solidus..) et le critèrenumérique d’un produit scalaire (quadratus,cubus..). Et pour pouvoir définirsystématiquement et brièvement les règlesde composition des opérations selon lanature des grandeurs, Viète a abrégé pardes lettres les mots qui désignaient lesdifférents types de grandeur. Cettesubstitution systématique de lettres à desmots référant déjà à des types de grandeurconduit, chez Descartes, à l’écritured’équations et à la notation des puissances,lesquelles ont ouvert la voie à la notion depolynôme (Serfati, 1987). Et cela s’est faiten fonction d’une exigence cognitived’économie que Descartes a formulée dansla règle XVI des Regulae. Il faut condenseren un seul signe tout ce qui intervient dansla résolution d’un problème, c’est-à-dire toutce que Viète avait bien pris soin de séparerpour les calculs : les quantités connues ouinconnues (res) et les deux genres degrandeur, géométrique (solidus) ou scalaire(cubus).

L’autonomie sémiotique des signes qui s’estainsi imposée en algèbre s’est donc faite auprix d’une réduction-condensation desdifférents types d’objets représentés. End’autres termes, l’autonomie sémiotique dessignes en algèbre s’est faite au prix d’uneneutralisation de leur fonction cognitived’évocation (supra Figure 1) et, par la suite,de toutes les relations fondamentales. Seulimporte ce que Husserl a appelé leur


« signifié opératoire », c’est-à-dire les règlesd’emploi (règles de priorité, desubstitution...). On comprend alors laquestion du sens des signes algébriques queLeibniz soulève dans un texte de 1684, doncpeu après la constitution de l’écriturealgébrique moderne : «... cette pensée là,j’ai coutume de l’appeler aveugle ou encoresymbolique... ; c’est celle dont nous usonsen algèbre et en arithmétique.. » (Leibniz1972, p. 152-153).

2.2 Peut-il y avoir des transformationsfigurales purement visuelles ?

Il semble plus difficile d’associer desreprésentations figurales, que ce soit des« images », des schématisations ou desfigures géométriques, à des opérations.Bresson (1987) soulignait qu’une figurereprésente un état et que la représentationd’une transformation exige la représentationde deux états, l’un initial et l’autre final. Cesont les différences entre deux figures qui

« Deux rôles au moins, peuvent être attribués aux figures en géométrie : d’une part, elles illustrent les situations

étudiées, d’autre part elles servent de support à l’intuition au cours de la recherche en faisant apparaître sur un objet

visible des relations ou des hypothèses de relations qui ne sont pas clairement évidentes dans un énoncé verbal »

(Bessot 1983, p.35). La distinction entre dessin et figure reprend cette opposition entre ce qui est visuel, donc particulier,

et l’ensemble des propriétés qui le sous-tendent et qui en font un dessin parmi d’autres.

2

peuvent évoquer un mouvement, une actionou une opération. Et en ce qui concerne lagéométrie, les opérations sont généralementassociées à des propriétés qui ne peuventêtre mobilisées qu’en fonction d’hypothèses.Par conséquent, le contenu visuel d’unefigure géométrique ne remplirait que l’unedes fonctions suivantes : soit une fonctiond’illustration pour faciliter la compréhensiond’un énoncé soit un support pour desopérations commandées par leraisonnement et non pas par le contenuvisuel de la représentation2.

Cependant, et contrairement à cette opinioncommune, il est important de remarquer queles représentations figurales suggèrentou induisent des opérations qui sontinternes au contenu visuel de lareprésentation. Nous nous limiterons ici àun exemple très simple. Le dessin d’unquadrilatère concave induit plusieurstransformations visuelles possibles, commeon peut le voir ci-dessous :

C. Complémentation

figurative ou iconique

A. Deux complémentations

successives

B. Partage symétrique

Figure 6. Trois transformations visuelles possibles d’une forme polygonale concave

Relime 62

La transformation A se fait parcomplémentation. Cette transformation résulteautomatiquement des lois d’organisationperceptive qui conduisent à voir les formesconcaves dans leur enveloppe convexe.Ainsi un quadrilatère concave estspontanément transformable en unassemblage de trois triangles. Cettetransformation ne doit pas être confondueavec une règle essentielle pour lespropriétés affines d’une figure: joindre tousles points singuliers (sommets) d’une forme,règle dont la mise en œuvre visuelle n’estjamais évidente comme on peut le vérifieravec les quadrilatères convexes, surtout s’ils’agit de faire apparaître les droites qui sontles supports des segments tracés (Duval &Godin, 2005). La transformation B résultede la reconnaissance d’une organisationsymétrique.

On remarquera que ces deux types detransformation ne dépendent ni d’uneinterprétation fondée sur une ressemblancepartielle ou complète avec quelque chosed’autre, ni d’une interprétation en termesd’objets représentés. Le recours à des

propriétés mathématiques sert seulement àles justifier.

Il n’en va pas de même avec la transformationC. Elle se fait en fonction d’une ressemblancedu contenu avec un objet extérieur del’environnement : une flèche, une lance, laforme concave du quadrilatère étant ici miseen rapport avec celle d’une partie de la formetypique d’une lance. La transformation C se faitévidemment sur la base de connaissances.

Ce sont des transformations de type A ou Bqui constituent l’enrichissement intuitif desfigures en géométrie. Elles sontindépendantes de toute analyse des figuresen termes de propriétés . Elles dépendentd’abord de facteurs propres à lavisualisation. Il n’est peut-être pas inutilede rappeler ici que la géométrie fait appel àau moins deux types de représentationhétérogène et que chaque type dereprésentation y fonctionne indépendammentl’un de l’autre. Sinon pourquoi mobilisersimultanément deux représentationshétérogènes ?

Registre de la visualisation :un jeu de réorganisations

visuelles selon la forme ou selonle nombre de dimension desunités figurales reconnues

ARTICULATIONpar le codage dessommets avec des

lettres

Quels éléments desénoncés permettent

un ancrage dans lavisualisation ?

Quelle fonction rem-plit la figure par

rapport à l’énoncé et àla résolution du

problème :—illustration ?—heuristique ?

— objet support pourdes mesures ?

Registre du discours :mise en œuvre d’énoncés de

propriétés et de dérivation déductivedes énoncés

Enoncé du problème :

A’C’ et AC sont parallèlesA’B’ et AB sont parallèlesB’C’ e BC sont parallèles

Prouver que A est le milieu de B’C’

ABED et BCED sontdes parallélogrammes.

le théorème des milieux

Figure de départ

Figure 7. Analyse sémiotique des représentations géométriques (Duval 2005, p. 29)


L’un des points décisifs de l’enseignement dela géométrie porte sur la prise en compte desfacteurs qui favorisent l’entrée des élèves dansle jeu cognitif complexe de toutes lestransformations des représentations figurales(Duval 1995b, 2005).

2.3 Transformations sémiotiques etdémarches de pensée

Les théories du signe reposent, implicitementou explicitement, sur l’idée que les signesremplissent d’abord une fonction decommunication et qu’elles fournissentsecondairement une représentation d’appuipar rapport à la pensée et à ses démarches.Cette idée est d’ailleurs reprise dansbeaucoup d’études sur le rôle et l’usage dessignes en mathématiques (Kaput 1987). Or,c’est cette idée qu’il faut remettre en causesi l’on veut analyser et comprendre le rôledes signes en mathématiques. Enmathématiques, les signes ne remplissentpas d’abord et essentiellement une fonctionde communication mais une fonction detraitement. Condillac (1982) semble être lepremier dans l’histoire à avoir mis l’accentsur cette fonction fondamentale des signes.Et les mathématiques sont le domaine deconnaissances où l’on utilise le spectre leplus étendu et le plus hétérogène dereprésentations sémiotiques. Mais, commenous avons pu le voir avec les deuxexemples précédents, cela se fait toujours

en fonction des opérations de transformationque chaque type de représentation rendpossible. Et là, nous devons distinguer deuxgrands types d’opérations :

— celles qui sont externes aux élémentsutilisés, les représentations étant alors despseudo objets que l’on peut manipulerlibrement, et ce sont seulement le résultatd’une opération déjà faite qui peut êtremarqué. Ici on peut séparer et opposer lesreprésentations et les actions (« perceptivo-gestuelles » selon l’expression de G.Vergnaud), comme cela se fait dans lathéorie piagétienne.

— celles qui sont intrinsèques etspécifiques au système de représentationsémiotique, comme avec les écrituresnumériques de position, l’écriture algébriqueet ou les représentations figurales engéométrie. Ici on ne peut plus opposer lesreprésentations et les opérations. Car il y ades opérations sémiotiques et il y a desopérations qui ne sont possibles quesémiotiquement. Et toutes les opérations etles transformations mathématiques sont dece type. Les démarches de penséemobilisent toujours un type issu desmultiples types possibles de représentationsémiotique. En mathématiques, elles enmobilisent plusieurs à la fois, même si unseul occupe le devant de la scène.

On peut résumer cela dans le tableau suivant :

Figure 8. Les différents types de transformations sémiotiques.

Transformation d’une représentation en une autre du même genre par des OPÉRATIONS

Externes aux signes prisisolément

Marques unités

Opérations de reconfiguration portant surdes formes ou sur des positions

Spatialcontinu

Figures engéométrie

discret

Système numériquede position

Opérations discursives dans unelangue naturelle ou formelle

Sémantique(référence àdes objets)

Syntaxique Formationd’expression et

d’énoncésEcriture algébrique

(ouverte à l’intégration dequantificateurs)

Dépendant de principes d’organisation d’un système sémiotique

Relime 64

Lorsque les transformations sont externesaux signes utilisés, c’est-à-dire lorsque cesderniers ne remplissent qu’une fonction desupport, elles peuvent être réaliséesmatériellement d’une manière équivalenteà une transformation symbolique. Enrevanche, si certaines transformationssémiotiques peuvent être reproduitesmatériellement, elles deviennentcependant très vite impossibles à réaliser,non seulement pour des raisons de coûtmais surtout parce qu’elles ne sont pasconcevables en dehors de lareprésentation symbolique qui les permet.On peut d’ailleurs remarquer qu’il n’y asouvent aucune congruence entre laréalisation matérielle d’une opération et saréalisation symbolique. C’est l’une desdifficultés, dans la représentation desnombres, lors du passage des marquesunités au système décimal. Et c’est aussil’une des difficultés en géométrie oùl’articulation des énoncés avec les figuresexige la déconstruction dimensionnelle desformes visuelles reconnues (Duval, 2005).

De la représentation iconique ou matérielledes petits nombres à leur représentationsystématique dans une écriture décimale,binaire, etc., le saut sémiotique et cognitifà faire est considérable. Mais ce n’est làqu’un exemple parmi d’autres de ce quiconstitue l’obstacle spécifique àl’apprentissage des mathématiques :passer d’un type de représentationsémiotique à un autre.

III. LE PASSAGE D’UN TYPE DEREPRÉSENTATIONS SÈMIOTIQUES A

UN AUTRE : PROBLÈME CLÉ DEL’APPRENTISSAGE.

Le phénomène le plus importantconcernant les représentations est qu’il n’ya pas une seule représentation pour unobjet, comme pourrait le laisser croire la

définition fonctionnelle (Figure 1), mais unetrès grande diversité de représentationspossibles pour un même objet. On connaîtla célèbre photo intitulée « une et troischaises ». Celle-ci juxtapose, dans unmême montage, une chaise, une photo decette chaise et la description verbale decette chaise. Mais un autre montage auraitpu tout aussi bien permettre de faire unephoto « une et cinq chaises » en ajoutantdes schémas ou un plan de montage dela chaise à partir de morceaux livrés enkit. En réalité, i l y a autant dereprésentations possibles d’un objet qu’ily a de systèmes différents producteurs dereprésentations (Duval, 2006b). Et celavaut aussi bien pour les représentationsnon sémiotiques que pour lesreprésentations sémiotiques. Le problèmecognitif que pose cette diversité dereprésentations possibles est celui de lareconnaissance du même something else(ou aliud aliquid ), c’est-à-dire du mêmeobjet, dans les contenus différents dechacune de ses multiples représentationspossibles.

Ce problème est crucial pourl’apprentissage des mathématiques dontla situation épistémologique est totalementdifférente de celle des autres disciplines.En effet, dans les autres domaines deconnaissance, les objets et lesphénomènes étudiés sont accessiblesperceptivement ou à l’aide d’instruments(microscope, télescope, etc..) quiaugmentent soit le champ de la perceptionsoit les capacités de détection (les sondesspatiales pour cartographier la planèteMars). On peut alors ancrer chaque typede représentation dans une expérienceperceptive directe ou instrumentalementmédiatisée. Cela n’est pas possible pourles mathématiques. Car les objetsmathématiques ne sont pas accessiblesperceptivement et, en mathématiques,l’attention se porte toujours sur tous les cas


possibles et non pas seulement sur ceuxqui sont réellement observés ouobservables. L’accès aux objetsmathématiques passe nécessairement pardes représentations sémiotiques,rudimentaires ou complexes. C’est danscette situation épistémologique trèsparticulière que le problème cognitif dela diversité des représentationssémiotiques devient crucial .

Rappelons tout d’abord l’un desphénomènes les plus caractéristiques del’activité mathématique : la mobilisation,simultanée ou successive, de plusieurstypes de représentations sémiotiques y estconstante. D’une part, toute activitémathématique exige que l’on puisse passerd’un type de signe et de représentation àun autre type, c’est-à-dire que l’on puisseconvertir la représentation d’un objet enune autre représentation du même objetdans un autre système sémiotique, afin dese donner d’autres moyens de traitementou de contrôle. D’autre part, la pratique del’enseignement des mathématiques tend àjuxtaposer des représentationssémiotiques différentes comme si celadevait rendre l’accès aux objetsmathématiques plus facile. Il suffit d’ouvrirn’importe quel manuel à n’importe quellepage pour le constater. Et le recours àl’informatique permet de développer cettestratégie.

Or, tout cela présuppose que les élèvespuissent comprendre ce passage d’un typede représentation à un autre, et surtoutcomprendre comment il se fait. Car, commentreconnaître que deux représentations, dontles contenus sont différents , puissent être

deux représentations du même objet, si onn’a pas la possibil ité d’avoir uneexpérience de cet objet en dehors de cesdeux représentations? On peut se référerà une autre troisième représentationsupposée plus familière. Mais, c’estsimplement déplacer le problème. Là, setrouve le seuil de compréhension quebeaucoup d’élèves ne franchissent pas.

Il ne s’agit pas, ici, de présenter lesméthodes d’observation et les résultats quimettent en évidence la relation entre leséchecs pour passer d’un type dereprésentation à un autre et les difficultésrencontrées par les élèves enmathématiques (Duval 1996, 2006a).L’intérêt d’une approche sémiotique estplus théorique. Il est d’analyser commentfonctionne chacun des systèmessémiotiques utilisés en mathématiques etd’expliciter le saut cognitif considérableque le passage de l’un à l’autre exige. Celaest important pour comprendre lacomplexité des apprentissages. Car, quelsque soient les contenus et les objectifsvisés, l’enseignement des mathématiquesimplique nécessairement l’introduction denouveaux types de représentation et ilexige que les élèves puissent passerspontanément de l’un à l’autre.

Pour illustrer les sauts existant entre dessystèmes de représentation hétérogène,sauts qui sont au cœur des tâchesmathématiques demandées aux élèves,nous pouvons garder l’exemple desdifférents types de représentation desnombres (Figure 5). Ce qui est demandéaux élèves peut alors se traduire dans lestrois séries de flèches suivantes :

Relime 66

Figure 9. Ruptures sémiotiques dans la représentation des nombres et/ou des grandeurs.

3.1 Des dessins schématisant desobjets matériels jusqu’à l’écriture

algébrique : un ordre d’introductionprogressif aveugle aux ruptures ?

Les passages représentés par les flèches(1) (2) et (3) dans le tableau ci-dessus sontsouvent considérés comme un ordre, aussibien génétique qu’historique, d’apparition.C’est un tel ordre que l’enseignement suitde la Maternelle jusqu’au début du Collège.Or, c’est évidemment le passage (3) quiretient le plus l’attention en raison du passagede l’arithmétique à l’algèbre, tandis que lepassage (2), celui de marques unitésmanipulables comme des objets matériels àun système d’écriture de position, n’est pasconsidéré comme un saut sémiotiqueimportant parce qu’il s’agirait toujours desmêmes objets, les nombres entiers !Pourtant, ce changement de représentationaffecte le sens des opérations3, car il introduitdes algorithmes d’opérations qui n’ont plus

Il y a deux types d’interprétation des signes mathématiques qu’il est capital de ne pas confondre. L’un est interne aux

démarches mathématiques et l’autre concerne l’application d’opérations ou de modèles mathématiques à des situations

de la réalité physique, économique ou quotidienne, dont il faut sélectionner des données (Duval, 2003). En ce sens, il y a

une sémantique mathématique et une sémantique commune, celle correspondant à la pratique commune du langage et

à la culture d’un milieu ou d’une société. Pour pouvoir justifier les mathématiques, l’enseignement tend à rabattre la

sémantique mathématique sur la sémantique commune ! Cela se révèle catastrophique pour l’analyse des problèmes

d’apprentissage. Car nous sommes là devant deux types de problèmes très différents.

3

rien de commun avec des manipulationslibres sur des marques unités. Et il marquecomme une première ligne d’arrêt, souventmasquée par une fausse familiarité avecl’usage culturel du système décimal dansl’apprentissage des mathématiques.

Voici deux exemples de difficultés classiqueset récurrentes auxquelles l’apprentissage seheurte. Ceux-ci soulignent la complexitésémiotique, irréductible et trop souvent sous-estimée, de la représentation décimale desnombres.

Le premier exemple est emprunté à uneenquête d’évaluation nationale sur lesdécimaux chez des adultes et porte surdes situations de la vie courante (Leclère,2000 ) :

« Les adultes que nous avons observés ontentendu ou retenu : «multiplier par 10, c’estrajouter un zéro! »

TYPES DEREPRÉSENTATION

DESNOMBRES

Passages d’untype à un autre

Etcoordination

cognitive

I. Des dessinsschématisantdes d’objets

(1)

Pas de principesd’organisation pour

l’emploi des marques

II. Des marquesunités formellement

indiscernables

(2)

?

Des principes d’organisationdéterminent l’EMPLOI des

signes et leurs COMBINAISONSen unités de sens (expressions)

III. Des systèmesd’écriture de

position

(3)

(5)(5bis)

?

IV. Notationsalgèbriques

(4)

?


— 10 forets à 25,99 F cela fait combien ?

— Combien exactement ?

— Combien ?

— à peu près 300 balles!

— Je vais faire l’opération

— 250, 99 ! peut-être plus !

sait faire 25 x 10 et 30 x 10 maisne voit pas

25,9 proche de 26

(et donc ne fait pas 26 x 10)

Figure 10. Exemple d’incompréhension typique du système de la représentation décimale desnombres

Avant de résulter d’une incompréhensiondes nombres décimaux, cet exemplemontre une incompréhension du systèmede représentation des nombres. En effet,ce qui a été retenu par ces adultes reflèteune double déficience : d’une part, le nonaccès au principe d’organisation del’écriture, dont la règle retenue n’est qu’unedescription partielle et, d’autre part, la nonarticulation de l’écriture numérique avecl’énonciation orale des nombres, utiliséepar ailleurs sans erreur pour estimer lesordres de grandeur des prix familiers !

Le deuxième exemple montre que lerecours à un type de représentation plus

familier ne constitue pas nécessairementune aide pour entrer dans un autresystème. Car cela soulève deuxquestions. La première est celle de lacongruence entre les deux types dereprésentations. La seconde est celle desavoir si on peut articuler, par exemple,une représentation concrète ou iconiqueet une représentation symbolique. Dansle cadre de l ’apprent issage de lamultiplication, le problème suivant a étéprésenté : Madame Dubois a acheté 5tablettes de chocolat à 7 francs l’une.Combien a-t-elle dépensé ?». Les troistypes de réponses ont été observées(Brissiaud 1995 ,15).

Figure 11. Quelle articulation entre deux types de représentation ?

7f. 7f. 7f. 7f. 7f.

7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35

Elle a dépensé 35 F.

5

2

Elle a dépensé 7 Francs

Sébastien Mélanie Cécile

7 x 5 = 35

Elle a dépensé 35 F.

Relime 68

Les deux premières productions utilisentsimultanément des dessins schématisantdes objets et l’écriture décimale desnombres. Or, le recours à lareprésentation iconique d’une quantitéconduit à des productions différenteschez Sébastien et chez Mélanie.

Chez Sébast ien, la représentat ioniconique d’une quantité est mise encorrespondance avec les prix unités. Or,il est important de voir que ce type dereprésentation iconique impose quasinécessairement l’opération additive !Chez Mélanie, la représentation iconiqued’une quantité induit une opération deregroupement des images schématiséesde tablettes et cette opération estmarquée par un encerclement (2.1.1).Cela conduit à une impasse sémiotiquecar aucune correspondance pertinentene peut plus alors être établie avecl’écriture numérique des nombres.

Ces deux exemples montrent que lepassage d’une représentation iconiquedes nombres par des marques unités àla représentat ion par un systèmed’écriture de position constitue peut-êtreun saut analogue à celui del’apprentissage de la lecture. Et pour lesdifficultés qui apparaissent à travers cesexemples, on pourrait ici presque parlerde dif f icul tés d’alphabétisat ionnumérique . En revanche, les difficultésd’entrée dans l’algèbre sont d’une touteautre nature : elles concernent la maîtrised’un langage, à commencer par lesopérations discursives de désignation(Duval, 2002). Or, chacun sait que, dansle langage, ce ne sont pas les mots quiimportent mais les énoncés et, sous-jacentes aux énoncés, les opérationsdiscursives qui en construisent le sens(Duval,1995a).

3.2 De l’écriture algébrique auxdessins et aux marques unités : quelle

fonction et pour qui ?

La deuxième série de flèches (les flèchesinverses (4), (5), (5bis) de la Figure 9)correspond aux productions individuellesque l’on peut observer chez des étudiantsou dans des manuels. Celle-ci marque unretour vers des représentations pseudoconcrètes qui sont à la fois manipulableset qui correspondent à de petites quantitésque l’on peut « voir ». Ce retour peutrépondre à des besoins très différents.

Ce peut être pour des besoins de bricolage,lors d’une phase de recherche d’unproblème, ou pour des besoins devérification (Hitt, 2003). Ce peut-être aussipour un besoin de preuve. AinsiWittgenstein lui-même, voulant soulignercontre Russell la nécessité d’une synopsisdans un processus de preuvemathématique, n’hésite pas à dessiner:

||||||||||||||||||||||||||| ||||||||||||||||Puis il commente :

« Cette figure est-elle une preuve que 27+ 16 = 43 parce qu’on arrive à «27» encomptant les traits du côté gauche et à«16» quand on compte ceux du côtédroit , et à «43» quand on compte lasérie entière ?... A quoi tient l’étrange ici -quand on appelle la figure preuve de cetteproposition ? Eh bien à la façon dont ilfaut reproduire ou reconnaître cettepreuve : en ce qu’elle n’a pas de formevisuelle caractéristique... » (1983, p. 143).

Quel que soit le besoin ou la fonctionparticulière qui commande l’utilisation deces représentations qu’on peut manipulercomme des pseudo objets, cette utilisationmanifeste toujours le besoin de s’éloigner


de l’abstraction sémiotique, « aveugle »selon Leibniz, pour revenir aux chosesmêmes, ou du moins à ce qui aiderait àles apercevoir.

Cependant, il faut être ici extrêmementprudent dans l’ interprétation desutil isations faites de ce type dereprésentation. Outre la polyvalencefonctionnelle de leur utilisation, on peut sedemander si le recours à ce type dereprésentation correspond aux mêmesdémarches cognitives chez un expert etchez un élève du primaire. En d’autrestermes, le recours à ces représentationsrelève-t-il de la même compréhension chezcelui qui peut à loisir passer d’un type dereprésentation à un autre et chez celui quine peut travailler qu’avec desreprésentations pseudo concrètes ? Cettequestion est celle de la coordination entreles différents types de représentations et,donc, celle de la capacité des individus àpasser d’un type de représentation à unautre. Elle est marquée par la troisièmesérie de flèches sur la figure 9 ci-dessus.

3.3 Les difficultés intrinsèques à lacoordination des registres de

représentation et les passages d’untype de représentation à un autre.

C’est la situation épistémologique trèsparticulière des mathématiques qui rendle passage d’un type de représentation àun autre si difficile et si insaisissable pourles apprenants. En effet, enmathématiques comme dans les autresdomaines de connaissances l’exigenceépistémologique de ne jamais confondreles représentations avec les objetsreprésentés demeure (Figure 1). Mais,comment ne pas confondre lesreprésentations sémiotiques avec lesobjets représentés, lorsque ces objets nepeuvent pas être atteints en dehors de cesreprésentations?

Une chose en tout cas est certaine : lacapacité à passer d’un type dereprésentation sémiotique à un autre et lareconnaissance d’un même objetreprésenté dans deux représentations dontles contenus sont différents sont les deuxfaces d’un même processus cognitif. Deuxréactions interprétatives manifestent ceprocessus cognitif et sont d’ailleursnécessaires pour conduire une activitémathématique ou résoudre desproblèmes :

— reconnaître un même objet représentéà travers deux représentations dont lescontenus sont sans rapports entre eux,parce qu’elles dépendent de systèmesdifférents. Il s’agit ici d’unereconnaissance identifiante quipermet, par exemple pour uneprocédure de dénombrement, de jouersur au moins deux registres différents :les représentations figurales etl’établissement de suites numériques.

— reconnaître deux objets différents, àtravers deux représentations, dont lescontenus paraissent semblables, parcequ’elles relèvent du même système dereprésentation et que, d’unereprésentation à l’autre, la variation decontenu est faible. Il s’agit ici d’unereconnaissance discriminante quiconduit, par exemple, à la variation del’écriture algébrique d’une fonction linéairequand on varie la position d’une droite surun plan organisé selon des coordonnéescartésiennes, et inversement ! Mais onpourrait également prendre l’exemple desénoncés de problèmes additifs, de misesen équations, et plus généralement tousles énoncés verbaux d’application desavoirs mathématiques à des situationsnon mathématiques.

Un individu ne devient capable de ces deuxréactions que lorsqu’il a commencé à

Relime 70

développer des coordinations entre lesdifférents systèmes de représentations.

Or, il ne suffit pas que l’enseignement aitfait suivre aux élèves le parcours marquépar les flèches (1), (2), (3) dans la Figure 9et que l’on voit les élèves effectuer desretours du type (4) ou (5), pour que de tellescoordinations cognitives se soientdéveloppées et que les élèves aient acquisde réelles capacités de conversion (Duval,2006 b). Le problème qui se pose dansl’enseignement des mathématiques n’estpas de savoir de quel type dereprésentations, sémiotiques ou nonsémiotiques, seraient les productionsspontanées des élèves, ou encore quelserait le meilleur type de représentationpour les élèves, mais pourquoi les élèvesont tant de mal à passer d’un type dereprésentation sémiotique à un autre etcomment leur faire acquérir cettecapacité. Car un élève incapable de cespassages se trouve très vite durablementbloqué dans sa compréhension et sescapacités de recherche et de contrôle, pourles activités mathématiques qu’on peut luiproposer.

IV. QUELLE SÉMIOTIQUE POUR LESMATHÉMATIQUES ET POUR

L’ANALYSE DES PROBLÈMES QUESOULÈVE LEUR APPRENTISSAGE ?

Il pourrait paraître provoquant d’affirmerque la sémiotique comme science dessignes reste encore à fonder et que lesdifférentes théories des signes souffrentdes limitations du champ particulier dessignes qu’elles ont étudiés : la logique etl’interprétation adaptative des phénomènesobservés dans l’environnement avecPierce, la linguistique avec Saussure ou

encore les phénomènes de codage et detransmission d’informations avecJakobson, etc. Ces théories ont eu aumoins l’intérêt de définir cinq relationsfondamentales pour analyser ce qu’onconsidère comme eikon et non comme lecorps dont on voit le reflet (Platon,République 509e), comme signum et nonpas comme la res (Augustin, 1997), commerepresentamen et non pas simplementcomme l’objet dont il tient lieu (Peirce,1978). En réalité, chacune de ces relations,ou parfois leur composition, caractérise untype particulier de signes : image réfléchieou image imitée, signe logique oualgébrique, signe linguistique, trace, indiceou signal. La question est de savoir si toutcela constitue un apport utile et pertinentpour l ’analyse des signes enmathématiques et du rôle qu’ils jouent dansle fonctionnement de la pensée. Pourcerner cette question avec plusprécision, nous allons examiner troisquestions.

4.1 Comment situer la distinctionsignifiant-signifié par rapport à la

relation signe-objet ?

La distinction signifiant-signifié est souventprésentée comme une analyse de lastructure interne des signes. Un signeserait constitué de deux éléments : sonaspect matériel qui le rend perceptible etson aspect immatériel qui serait sasignification. Cette distinction ne doitévidemment pas être confondue avec lafonction cognitive d’évocation d’un objetabsent dont le signe tient lieu (Figure 1).Les stoïciens ont été les premiers à avoirexplicitement bien séparé les deux aspectsde la « signifiance » des signes: lasignification et la dénotation.


λεκτον

sηµαινοµενον l'entité manifestée par le signe matériel

t υγχανον la chose réelle, physique(immatériel )

σηµαινον {sonore)

Signification

Dénotation

la parole dite Figure 12. Schéma de l’analyse stoïcienne de la signifiance des signes

On peut tout de suite faire trois remarques :

— La distinction entre signifiant et signifiéne vaut que pour les signeslinguistiques, c’est-à-dire pour leslangues dont l’emploi est d’abord oralpour remplir une fonction sociale decommunication. Cela veut dire que ladistinction entre signifiant et signifiéne s’applique pas aux symbolesmathématiques ni d’ailleurs auxsignes purement graphiques, c’est-à-dire purement visuels. Car lessignes purement graphiques, à ladifférence des signes linguistiques,lesquels sont d’abord oraux avant d’êtrecodés graphiquement, ne relèvent pasd’une double articulation (supra I.6). Ilsrelèvent uniquement d’une relation deréférence qui lie un caractère à un objet,constituant ainsi ce caractère en signe.Or, cette relation de référence est établiepar une opération de désignation (supra1.2) et elle peut d’ailleurs répondre à desfonctions très différentes selon lecontexte particulier de la démarche oùcette opération de désignation esteffectuée. Il n’y a pas de signifiantalgébrique, mais seulement desnotations qui sont des signes par leurseule référence instituée à un objet

(Freudenthal 2002 ; Weyl 1994).

— La distinction signifiant-signifié nepermet pas de définir la nature dessignes comme Saussure (1973) l’amontré. On ne peut donc pas considérerle signifiant et le signifié comme deuxconstituants qui auraient chacun uneidentité ou une réalité par eux-mêmes.Les signifiants (phoniques) comme lessignifiés lexicaux ne sont déterminésque par des différences respectivementà d’autres signifiants phoniques et àd’autres signifiés à l’intérieur d’unelangue (supra 1.4). Ce n’est pas lesignifiant qui signifie mais le signe danssa totalité indivisible.

— Les signes, à la différence dessignaux ou des représentations nonsémiotiques, relèvent toujours d’unemploi intentionnel . Cela veut direqu’il ne faut pas confondre les imagesproduites intentionnellement, commepar exemple les dessins, et les imagesproduites automatiquement par le seulusage d’un appareil ou par le jeu deslois physiques (celles par exemple dela réflexion). Cela veut dire aussi que,parmi les cinq relations fondamentalespermettant de caractériser des signes,

Relime 72

la relation d’opposition alternative (1.4)et la relation de référence (1.2) sont lesrelations les plus appropriées à unemploi intentionnel. Cela estparticulièrement net pour la relation deréférence qui s’inscrit toujours dans uneopération discursive de désignation d’unobjet (individu, classe, relation, etc.).

Il apparaît donc qu’on ne peut pas mettresur le même plan la distinction signifiant-signifié, laquelle relève de la doublearticulation spécifique aux langues, et larelation signe-objet, laquelle relève d’uneopération discursive de désignation ou dedéfinition. Ce qu’on a présenté comme letriangle sémiotique (Eco 1990, p.31-33) estune illusion néfaste pour la compréhensionde ce qu’est un signe et de la manière dontil peut évoquer ou «tenir lieu». On ne peutpas fermer le schéma illustrant les deuxaspects, ou plus exactement les deuxniveaux de la signifiance des signes (Figure12) : le niveau du système sémiotiqueconstitutif d’un type de signes (par exempleune langue naturelle ou formelle) et leniveau du discours produit ou du traitementeffectué à l’aide de ce système sémiotique.

Il faut donc s’interroger sur la pertinencedu recours à la distinction signifiant-signifiéque l’on trouve dans beaucoup de travauxde didactique des mathématiques, danslesquels d’ailleurs le terme « signifié »devient vite synonyme de « concept » et leterme « signifiant » synonyme de « signe» ! Cette distinction induit un glissementd’idées qui conduit à des conclusionserronées : de l’immatérialité du signifié, onglisse à son caractère non sémiotique et,par la suite, à la nécessité de doubler lesreprésentations sémiotiques par desreprésentations mentales pures. Comme sila pensée était indépendante de tout lectonou de tout langage !

4.2 Comment distinguer, dans lavariété des signes, différents types oucatégories de signes : en fonction des

relations fondamentales ou enfonction des systèmes producteurs de

signes et de représentations ?

C’est certainement l’apport de Peirce qued’avoir mis cette question au centre del’étude des signes. Et c’est lui qui a proposéla première classification systématique dessignes. En fait, cette question de laclassification recouvre deux problèmesqu’il est important de ne pas confondre. Ily a tout d’abord celui du corpus de signeset de représentations, c’est-à-dire lechamp d’observation à partir duquel onétablit la classification. Il y a ensuite leproblème des critères ou des principes quel’on retient pour établir la classification.

4.2.1 Quelle diversité de signes et dereprésentations sert de base à l’étude

des signes et des représentations?

Il faudrait ici produire un corpusd’exemples. Nous ne pouvons iciqu’évoquer la variété des signes et desreprésentations que l’on met sous les mots« image » et « symbole », ce qui rendl’emploi de ces termes problématique ouéquivoque.

Ainsi le mot « image » peut recouvrir nonseulement des dessins schématisés oudes « copies » (Figure 2) mais égalementdes reflets dans un miroir ou encore lesproductions du rêve, les souvenirs visuels.C’est sur la base de ce type d’images quePlaton a élaboré son analyse de lareprésentation. Le développementtechnologique est venu élargir encore cettegamme avec les photos argentiques et lesphotos numériques. Quoi de commun entretous ces types d’images ?


Le mot « symbole » est employéégalement pour une variété considérablede signes : les notations mathématiques,les sigles, et même des fragments del’objet représenté. Peut-on aussi l’utiliserpour caractériser les mots de la langue ?L’opposition « antithétique », soulignéepar Benveniste (1974), entre l’approchede Peirce et celle de Saussure, vient dece que le premier avait cherché à prendreen compte la diversité des signes, aurisque de perdre la spécificité des languesnaturelles, et que le second s’était aucontraire limité à la langue en en faisantle système sémiotique par excellence,c’est-à-dire celui dont les autres pouvaientêtre dérivés. Mais qu’y a-t-il de communentre les mots d’une langue et lesnotations mathématiques ?

Si maintenant nous regardons lesmathématiques, nous sommes devant unesituation encore plus complexe, car lesmathématiques utilisent une gamme trèsétendue de signes et de représentations.

Il y a, d’une part, tous les types de signesprogressivement créés pour le calculnumérique et algébrique, mais il y aégalement les figures en géométrie, quipeuvent ressembler à des dessinsschématisés, mais qui ne le sont pas, et ily a aussi tous les graphes et enfin la languenaturelle qu’il ne faut pas oublier. Car lalangue naturelle continue de jouer un rôleessentiel en mathématiques: sans elle, ilne pourrait pas y avoir d’énoncés, c’est-à-dire de définitions, de théorèmes ou mêmed’énoncés de problème.

4.2.2 Selon quels critères distinguer etclasser la variété des signes et des

représentations ?

Pour classer la variété des signes, Peircea pris comme critères deux des cinqrelations fondamentales que nous avonsdistinguées plus haut : la relation deressemblance (1.1) et la relationcause effet (1.3.1 ). Avec ces deuxrelations, i l a établi la partit iontrichotomique suivante :

Contenu du

representamen

ICONES SYMBOLES INDICES

OUI NON

Objet

représenté

Effet

observéCause

RESSEMBLANCE CAUSALIT É

OUI

Figure 13. Partition trichotomique des signes selon Peirce

On remarquera qu’il n’y a pas de rapport entre les deux relations retenues par Peirce.En effet, dans la première relation, les signes et les représentations sont caractériséscomme étant des representamen à partir de leur seul contenu. Dans la seconde relation,les signes et les représentations sont considérés comme étant le résultat, ou l’effet duphénomène ou de l’objet qu’ils évoquent. Ce peut être un effet direct comme la fumée.Mais ce pourrait être aussi bien un effet indirect médiatisé par un système physique (un

→

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appareil photo) ou neurophysiologique (lamémoire visuelle). De toute manière, laclassification de Peirce se limite àjuxtaposer ces deux relations hétérogènes.

Pour notre propos, la principale questionn’est cependant pas là. Elle est de savoirsi cette trichotomie est suffisammentdiscriminante pour être utilisée dansl’analyse des productions mathématiques.Par exemple, le recours à la notion d’icône,fondée sur la relation de ressemblance,permet-elle de distinguer les différencesentre les figures schématisées qui peuventévoluer vers des marques unités (Figure2, 4 et 5), les figures figuratives (Figure 2)et les représentations visuelles de lagéométrie (Figures 3, 6 et 7) ? Le recoursà la notion de symbole, permet-il dediscriminer entre les systèmes d’écrituredes nombres, les symboles algébriques oulogiques, et les mots d’une langue (Figure4, 5 et 12) ? D’une manière plus générale,cette partition trichotomique permet-elle deprendre en compte les signes quidépendent d’un système producteur, c’est-à-dire de principes d’organisation générantdes règles de formation et une syntaxe4, etles marques qui sont des supports pour desopérations libres ou encore qui sontseulement la trace d’une opération faite ?Cette question n’a rien de général et devague. Peut-on, par exemple, appliquer lacatégorie d’indice pour désigner le recoursà des lettres marquant une opérationdiscursive de désignation et répondant àune fonction d’abréviation (Radford,1998) ?

La tentative de la classification des signespermet donc de formuler un problèmethéorique fondamental pour la sémiotique :

4 Rappelons que le principe de position de l’abaque génère une règle de composition des signes qui permet de désigner

systématiques et sans confusion n’importe quel nombre entier, la seule limitation étant celle du coût temporel et spatial.

En ce sens le principe de position de l’abaque génère un ébauche de syntaxe.

les relations fondamentales pour l’analysedes signes, peuvent-elles être des critèrespertinents et discriminants pour établir uneclassification des signes utilisable enmathématiques ? Il semble qu’aucunethéorie sémiotique cohérente ne soitsusceptible d’articuler ensemble lesdifférentes relations fondamentales qui ontété mises en évidence de Platon àSaussure. Il semble en outre, que cesrelations ne permettent pas de prendre encompte ce qui est pourtant essentiel pourl’activité et la pensée mathématiques : latransformation des représentations (supra II).

En réalité, si l’on veut classer les signes, ilfaut partir d’un tout autre point de vue : celuides systèmes qui produisent lesreprésentations. La variété desreprésentations vient de la diversité dessystèmes producteurs de représentations,ainsi que nous l’avons déjà suggéré plushaut à propos de la photo intitulée « une etn chaises ». Car il y a autant de types dereprésentations possibles qu’il existe desystèmes différents pour les produire. Cesont donc moins les représentations qu’ils’agit de classer que les systèmespermettant de les produire (Duval, 1999).Ces systèmes peuvent être :

— de nature physique (reflets,photographies) ou neurophysiologique(images oniriques, souvenirs visuels...) :dans ce cas, la relation est une relationde causalité et le mode de production nedépend pas de l’intention du sujet maisdes propriétés du système qui produit lareprésentation. En retenant la relation effetobservé cause, Peirce s’en est tenuaux seuls systèmes physiques commesystèmes producteurs de représentation.

→


— de nature sémiotique : dans ce cas, larelation est une relation de référence etla production est une productionintentionnelle, c’est-à-dire opérant deschoix dans la production desreprésentations qui impliquent uneélaboration combinant des unités desens. Il est surprenant que l’on ait peuou pas du tout prêté attention au fait queles systèmes sémiotiques sont aussides systèmes producteurs dereprésentation. Cela est pourtantfrappant en mathématique, ne serait-cequ’avec les systèmes de numération !Mais, c’est aussi frappant avec leslangues naturelles. L’oublier, c’estoublier toute la création littéraire etpoétique.

En ce qui concerne les mathématiques, cesont évidemment les systèmessémiotiques qui sont intéressants, et nonpas les systèmes de nature physique ouorganique. On peut alors classer lessystèmes sémiotiques en prenant encompte deux aspects : d’une part, selonqu’ils permettent, ou non, des traitementsalgorithmiques et, d’autre part, selon qu’ilssont multifonctionnels ou monofonctionnels.Nous obtenons ainsi quatre grandesclasses de registres de représentationutilisées en mathématiques (Duval 2003 ;2006a p.110). Elles permettent, enparticulier, de voir que la géométriemobilise au moins deux types totalementdifférents de représentations. Cetteclassification permet de mettre enévidence les deux grands types detransformations des représentations, c’est-à-dire les conversions et les traitementsqui font la dynamique de toute activitémathématique (Figures 7 et 9) ainsi queles variables cognitives qui jouent dansl’apprentissage des mathématiques.

4.3 L’analyse des signes et dessystèmes sémiotiques, peut-elle être

entièrement subordonnée à lafonction remplie par les signes dans

un contexte déterminé ?

Cette question touche le problème desrapports entre une analyse fonctionnelledes signes et une analyse structurale. Ilfaut reconnaître que, dans la plupart destravaux, hormis ceux qui prennent encompte l’apport de Saussure, l’analysedes signes est faite en leur assignant uneou plusieurs fonctions, sans que ni uneanalyse structurale du fonctionnementpropre à chaque type de représentationni une étude systématique de leursfonctions possibles (Duval, 1999) n’aientréellement été faites. Ainsi, pour lalangue naturelle, c’est la fonction decommunication qui est immédiatementretenue. Mais, lorsqu’ i l s ’agi t desnotat ions algébriques, on fai tévidemment appel à d’autres fonctions :

— abréger, faire court, non seulement poursoulager la mémoire mais égalementpour appréhender le plus grand nombrede signes (et donc d’objets) dans unseul acte de pensée. En d’autrestermes, i l s’agit de transformerl’appréhension successive d’uneséquence en une appréhensionsimultanée. Cette fonctiond’économie cognitive, qui a étéexplicitée pour la première fois parDescartes, tient essentiellement comptedes limitations des capacités del’intuition et de la mémoire (supra 2.1.3).Mais, cette fonction d’économiecognitive ne peut réellement être miseen œuvre que dans une productionécrite des signes, et non pas dans laparole.

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— pouvoir effectuer des substitutions designes entre eux. C’est la fonctionmathématique de traitement que lessignes doivent remplir pour permettred’effectuer des calculs. Et la puissancede calcul dépend évidemment dusystème sémiotique utilisé.

Il y a bien d’autres fonctions que nousn’allons pas prendre en compte ici. Celasuffit pour soulever les deux problèmessuivants en nous limitant aux seulesfonction de communication et detraitement.

4.3.1 Un même système sémiotiquepeut-il remplir des fonctions

hétérogènes ?

Le langage, c’est-à-dire l’expression dansun langue naturelle, répond prioritairementà une fonction sociale de communication.C’est à ce titre que l’on oppose souventles mathématiques et le langage.Cependant, la langue naturelle est aussiutilisée, par exemple en géométrie, poureffectuer des démarches mathématiquesqui vont permettre de remplir une fonctionde preuve : pour définir, pour énoncer desthéorèmes, pour déduire. Ce changementde fonction dans l’utilisation de la langueentraîne un changement, souvent nonremarqué, dans les opérations discursivesqui vont être privilégiées (Duval, 1995a).La difficulté de l’utilisation de la languenaturelle en mathématiques tient au faitqu’un changement de fonction dans sonutilisation entraîne un autre type defonctionnement du discours. Et, le plussouvent, ce changement de fonction nepeut se faire qu’en passant d’une modalitéd’expression orale à une modalitéd’expression écrite. Car la pratique oralede la langue ne permet pas de remplir lesmêmes fonctions que sa pratique écrite(Duval 2000, 2001). C’est là une sourceprofonde, et souvent niée, d’équivoques

dans l’enseignement des mathématiquesentre les enseignants et leurs élèves(Duval, 2003).

On pourrait faire des remarques analoguesà propos des fonctions très différentes quel’on fait remplir aux figures géométriques(Duval, 2005).

Au contraire, les systèmes que nous avonsappelés « monofonctionnels », comme lessystèmes de numération ou le symbolismemathématique constitutif des langagesformels, ne permettent de remplir qu’uneseule fonction, celle de traitement.

4.3.2 Quel est le degré de liberté del’interprétant dans la signification des

signes ?

Ce qui est le plus souvent cité, et retenu,de la définition des signes proposée parPeirce est la relation des signes à uninterprétant : « Un signe ou representamenest quelque chose qui tient lieu pourquelqu’un de quelque chose ». Cetterelation, que nous n’avons pas retenueparmi les relations fondamentales, est, eneffet, très générale et son utilisation dansl’analyse des productions requiert que l’onprenne en compte deux facteursimportants.

Le premier facteur est le type dereprésentation. Nous avons vu, parexemple, qu’il y avait deux grands types dereprésentation des nombres (Figure 4 etFigure 5). Lorsque la représentationdépend d’un système de numération,comme, par exemple, le système décimal,l’interprétant n’a aucun degré de liberté. Enrevanche, s’il s’agit de marques unités,l’interprétant dispose de tous les degrés deliberté qu’il souhaite puisque lesreprésentations lui servent seulement desupport externe pour des manipulationslibres.


Le deuxième facteur est la situation del’interprétant : est-il lui-même en situationde production, comme dans un travail derecherche, ou est-il en situation deréception, comme dans l’écoute ou lalecture d’une explication ? Dans lapremière situation, la relation del’interprétant aux signes varie selon qu’ilproduit les représentations pour lui-même,c’est-à-dire pour explorer, pour contrôler,pour mieux prendre conscience ou, aucontraire, selon qu’il produit lesreprésentations pour les autres, c’est-à-dire pour communiquer. Dans la premièresituation, c’est la fonction que l’interprétantassigne aux signes qu’il produit lui-mêmequi détermine leur critère d’interprétation.Dans la seconde situation, l’interprétant n’aque le contexte global de la communicationqui lui sert alors d’appui pour comprendre.C’est dans cette situation particulière qu’uneapproche pragmatique des signes devientplus essentielle qu’une approchesémantique ou syntaxique. Historiquement,l’intérêt de la relation à l’interprétant qui estmentionnée dans la définition de Peirce estd’avoir ouvert une approche pragmatiquedans l’analyse des productions sémiotiques.Mais, une telle approche peut-elle être miseau centre d’une analyse sémiotique del’activité et des productions mathématiques ?

CONCLUSION

L’analyse de signes se fait toujours parrapport au type d’activité pour lequel laproduction et la transformation dereprésentations sémiotiques s’avèrentnécessaires. Pour ne pas se trouver tropretreintes dans leur champ de validité etd’application, les théories du signe ontdonc cherché à s’appuyer sur les formesd’activités les plus communes et, donc lesplus générales : la communication,l’interprétation adaptative des phénomènesde l’environnement, ou, en psychologie, la

dualité de ces modes de la représentationque sont l’image et le langage, et plusrécemment les transmissions del’information avec leur traitementnumérique. Mais toutes ces théoriesrestent en deçà de la complexité et de lavariété des représentations sémiotiquesqui sont mobilisables dans l’activité et lesproductions mathématiques.

L’originalité de l’activité mathématique parrapport à tous les autres types d’activitéest double. D’une part, ce sont lesmathématiques qui utilisent le spectre leplus étendu de représentationssémiotiques et elles ont même contribué àl’enrichir. Mais, elles le font toujours avecla même exigence : utiliser les possibilitésde transformation que chaque type designes ou de représentation peut offrir demanière spécifique. Et cela, pour desraisons heuristiques, pour des raisons desimplification ou d’économie, pour desbesoins de contrôle, pour augmenter lapuissance de traitement, etc. D’autre part,les objets de connaissances mathématiquessont indépendants des représentationsutilisées pour y accéder ou pour les utiliser.Ce qui rend tel ou tel type de représentationsémiotique, localement ou momentanémentnécessaire, c’est la fonction que ce type dereprésentation permet de remplir : fonctionheuristique, fonction de contrôle, fonction detraitement. La variété des types de signesmobilisés dans les productionsmathématiques reflète la variété desdémarches de pensée à accomplir dans uneactivité mathématique. C’est pourquoi unesémiotique prenant en compte la variété desreprésentations sémiotiques mobilisées enmathématiques reste peut-être encore àfaire ! Mais, pourquoi alors une approchesémiotique ?

Nous touchons là au paradoxe cognitif desmathématiques. Les objets deconnaissances mathématiques ne sont

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accessibles que par le moyen dereprésentations sémiotiques, mais ils nepeuvent jamais être confondus avec lesreprésentations sémiotiques qui permettentde les atteindre et de les utiliser. Commentalors reconnaître les mêmes objets dans lavariété de leurs représentations possibles ?C’est évidemment ce paradoxe qui est aucœur des difficultés que les élèvesrencontrent dans l’apprentissage desmathématiques, paradoxe qui n’existe pasdans les autres domaines de connaissance.

En outre, il faut rappeler que l’enseignementdes mathématiques ne se limite pas àintroduire des concepts selon uneprogression planifiée dans un curriculum. Ilintroduit aussi de nouveaux systèmes dereprésentations sémiotiques, en mêmetemps qu’il introduit une autre mode defonctionnement cognitif dans les systèmesculturellement communs des images et dulangage. L’analyse des différentes tâchesimpliquées dans les activités proposées aux

élèves et dans la résolution de problèmesne peut pas faire l’impasse sur la variété desreprésentations sémiotiques à mobiliser. Leparadoxe cognitif des mathématiques ne peutêtre résolu par les élèves que par unecoordination de tous les registres dereprésentation mobilisables dans l’activitémathématique. Les passages d’un registreà un autre, qui sont ce qu’il y a de plus difficile,ne deviennent possibles pour les élèvesqu’avec le développement d’une tellecoordination.

Ne prendre en compte dans l’enseignementni ce paradoxe cognitif ni la complexitécognitive d’une mobilisation simultanée ousuccessive de types de signes hétérogènes,qui est pourtant inhérente à l’activitémathématique, c’est prendre le risqued’égarer la plupart des élèves dans ce qu’onpourrait appeler, en prolongement desréflexions de Leibniz sur «ce qui embarrassenotre raison», le troisième « labyrinthe », celuides représentations sémiotiques.

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Raymond DuvalUniversité du Littoral Côte d’Opale(ULCO)France


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Fecha de recepción: Marzo de 2006/ Fecha de aceptación: Mayo de 2006.

Centro de Investigación en Matemática Educativa (Cimate). Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de

Guerrero (en receso sabático 2005 – 2006). Departamento de Matemática Educativa – Cinvestav, IPN.

Área de Educación Superior. Departamento de Matemática Educativa – Cinvestav, IPN.

Programa de Matemática Educativa del Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del IPN.

Cimate. Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de Guerrero.

Socioepistemología y representación:

algunos ejemplos

Ricardo Cantoral 1

Rosa-María Farfán 2

Javier Lezama 3

Gustavo Martínez-Sierra 4

RESUMEN

Este artículo discute, en distintos planos y con el empleo de diversos ejemplos, un papelpara la noción de práctica social en la construcción de conocimiento matemático y decómo se articula con procesos de representación. Particularmente, estudiamos algunasactividades como medir, predecir, modelar y convenir, como escenarios de construcciónsocial de conocimiento matemático.

PALABRAS CLAVE : Socioepistemología, práctica social, representación.

ABSTRACT

In this article we discuss, at different levels and through several examples, one role thatthe notion of social practice can play in the construction of mathematical knowledge andits articulation with processes of representation. Particularly, we study some activitiessuch as measuring, predicting, modeling and agreeing as scenarios of social constructionof mathematical knowledge.

KEY WORDS: Socioepistemology, social practice, representation.

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RESUMO

Este artigo discute, em distintos planos e com o emprego de diversos exemplos, um papelpara a noção de prática social na construção do conhecimento matemático e de como searticula com os processos de representação. Particularmente, estudamos algumas atividadescomo medir, predizer, modelar e ajustar, como cenários de construção social de conhecimentomatemático.

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Introducción

En un sentido amplio, digamos quetradicional, la teoría del conocimiento haconsiderado a la Representación comouna imagen, una idea, una noción o másampliamente, un pensamiento expresado,formado al nivel mental y que estápresente de modo consciente. En estesentido la representación precisa deaquello que habrá de ser re-presentado –es decir, vuelto a presentar–, requiere portanto de un Objeto con existencia previacuya captación intelectual reproduzcamentalmente a través de traer al presentelas situaciones vividas, o de anticipareventos por venir que condensen laexperiencia adquirida. Bajo ese enfoque,la actividad semiótica no puede crear alobjeto, pues sólo lo re-presenta, es por elloque algunos autores han señalado críticasa su sustento epistemológico. Radford,(2004), por ejemplo, citando a Peirce,decía que el signo no crea al objeto: aquéles solamente afectado por éste. En pocaspalabras, en las diferentes escuelas depensamiento que adoptan una perspectivatrascendental respecto a los objetosmatemáticos (que sea el caso delidealismo o del realismo), los signosconstituyen el puente de acceso a esos

objetos conceptuales vistos como situadosmás allá de las peripecias de la acciónhumana y la cultura. Para Radford, es laactividad humana la que produce al objeto.El signo y la forma en que éste es usado(esto es, su sintaxis) –forma necesariamentecultural en tanto que inmersa en SistemasSemióticos Culturales de significación– sonconsiderados como constitutivos del objetoconceptual: éstos objetivan al objeto. (op.Cit., p. 14).

El enfoque socioepistemológico compartela tesis, de la semiótica cultural, queconfiere a la actividad humana la funciónde producción del objeto, aunque el énfasissocioepistemológico no está puesto ni enel objeto preexistente o construido, ni ensu representación producida o innata; sinomás bien se interesa por modelar el papelde la práctica social en la producción deconocimiento a fin de diseñar situacionespara la intervención didáctica. Claramente,ello exige de un posicionamiento sobre elsentido que adquiere la expresión prácticasocial, en este enfoque.

Se asume como tesis fundamental queexiste una profunda diferencia entre “la

PALAVRAS CHAVE: Socioepistemologia, prática social, representação.

RÉSUMÉ

Dans cet article nous discutons, sur des plans différents et à travers l’utilisation de plusieursexemples, d’un rôle que la notion de pratique sociale peut jouer dans la construction dusavoir mathématique et de son articulation avec des processus de représentation. Enparticulier, nous étudions quelques activités comme mesurer, prédire, modeler et conveniren tant que scénarios de construction social du savoir mathématique.

MOTS CLÉS : Socioépistémologie, pratique sociale, représentation.


realidad del objeto” –la llamada realidadimplicada– y “la realidad descrita” queproducen los seres humanos en su accióndeliberada para construir su “realidadexplicada”. La socioepistemología hatratado el problema de la representaciónde un modo singular, pues no buscadiscurrir teóricamente sobre la acción derepresentar al objeto mediante artefactos,herramientas o signos, sino que se ubica“a ras” de las prácticas y de la forma enque éstas son normadas por prácticassociales.

En primer término, es importante que sedistinga la noción de práctica en un sentidollano, de aquella que usamos en esteenfoque. La práctica social la entendemoscomo normativa de la actividad, más quecomo actividad humana reflexiva oreflexión sobre la práctica; o aun como seseñala en (Radford, 2004), como“interiorización reflexiva de prácticassociales históricamente constituidas”. Ahíradica una de las principales distincionesteóricas del enfoque socioepistemológico:“la práctica social no es lo que hace en síel individuo o el grupo, sino aquello queles hace hacer lo que hacen” (Covián,2005). De este modo, se pretende explicarlos procesos de construcción, adquisicióny difusión del saber matemático con baseen prácticas sociales. En susinvestigaciones, los socioepistemólogosreportan más bien caracterizaciones delejercicio de las prácticas que anteceden ala producción o construcción de conceptosy al desarrollo del saber.

Según este encuadre teórico, es precisomodificar el foco: “pasar de los objetos alas prácticas”. Los enfoquesreificacionistas centrados en objetos,buscan explicar el proceso mediante elcual se llega a la construcción del objeto yminimizan el papel que desempeña latriada: “herramientas, contextos y

prácticas”. El cambio de centraciónproducirá un deslizamiento de orden mayorhacia explicaciones sistémicas, holísticas,complejas y transdisciplinarias, en virtudde que la acción cognitiva no busca laapropiación de objetos a través de suspartes, sino que asume que éstos noexisten objetiva y previamente, “ahíafuera”, previos a la experiencia, sino que–más bien– los objetos son “creados” enel ejercicio de prácticas normadas (tesiscompartida con la semiótica cultural). Enconsecuencia, se cuestiona la idea de quela cognición se reduzca a la acción derecobrar el entorno inmediato mediante unproceso de representación, para asumirque la cognición sea así entendida comola capacidad de “hacer emerger” elsignificado a partir de realimentacionessucesivas entre el humano y su medioambiente próximo, tanto físico comocultural, a partir de una interacción“dialéctica” entre protagonistas. Estainteracción, socialmente normada, da a lapráctica, inevitablemente, una connotaciónde práctica social. El conocimientoentonces, como se ha señalado en (Varelaet al., 1997) depende de las experienciasvividas que, a su vez, modifica las propiaspercepciones y creencias.

1. La socioepistemología

Debemos señalar que la aproximaciónsocioepistemológica a la investigación enmatemática educativa busca construir unaexplicación sistémica de los fenómenosdidácticos en el campo de las matemáticas,no sólo discute el asunto de la semiosis oel de la cognición de manera aislada, sinoque busca intervenir en el sistema didácticoen un sentido amplio, al tratar a losfenómenos de producción, adquisición y dedifusión del conocimiento matemáticodesde una perspectiva múltiple, queincorpore al estudio de la epistemología del

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conocimiento, su dimensión sociocultural,los procesos cognitivos asociados y losmecanismos de institucionalización vía laenseñanza (Cantoral & Farfán, 2003).

En este enfoque se pone énfasis el hechode que las aproximaciones epistemológicastradicionales, han asumido que elconocimiento es el resultado de laadaptación de las explicaciones teóricas conlas evidencias empíricas, ignorando, enalgún sentido, el papel que los escenarioshistóricos, culturales e institucionalesdesempeñan en la actividad humana. Lasocioepistemología, por su parte, se planteael examen del conocimiento matemático,social, histórica y culturalmente situado,problematizándolo a la luz de lascircunstancias de su construcción y difusión(Cantoral & Farfán, 2004).

La aproximación socioepistemológica a lainvestigación en matemática educativa seocupa entonces, específicamente, delproblema que plantea la construcciónsocial del conocimiento matemático y desu difusión institucional. Dado que esteconocimiento adquiere el estatus de sabersólo hasta que se haya constituidosocialmente, en ámbitos no escolares, sudifusión hacia y desde el sistema deenseñanza le obliga a una serie demodificaciones que afectan directamentesu estructura y su funcionamiento, demanera que afectan también a lasrelaciones que se establecen entre losestudiantes y su profesor. Bajo esteenfoque se han producido una grancantidad de investigaciones empíricas y delas cuales citamos algunas (Alanís et al,2000; Arrieta, 2003; Cantoral, 1990, 1999;Cantoral & Farfán, 1998; Cordero, 2001;Covián, 2005; Lezama, 2003; López, 2005;Martínez – Sierra, 2003; Montiel, 2005).

En su intento por difundir estos saberes,la socioepistemología sostiene que se

forman discursos que facil itan larepresentación en matemáticasalcanzando consensos entre los actoressociales. Nombramos a estos discursoscon el término genérico de discursomatemático escolar (Cantoral, 1990).Debemos aclarar que la estructuración dedichos discursos no se reduce a laorganización de los contenidos temáticos,ni a su función declarativa en el aula (eldiscurso escolar), sino que se extiende untanto más allá, al llegar al establecimientode bases de comunicación para laformación de consensos y la construcciónde significados compartidos; en estesentido se trata más bien de una unidadcultural en el sentido de Minguer (2004).

Para mostrar lo anterior, consideremos elsiguiente hecho. El tratamiento didácticode las distintas clases de funciones através de sus representaciones gráficasenfrenta dificultades serias al momento deevaluar los logros al nivel de lacomprensión por parte de los estudiantes.Si bien la mera clasificación visual de susrepresentaciones puede ser un elementode partida para distinguirlas en unaexplicación didáctica, habrá que explorarmás profundamente aquellos elementosque les permitan aproximarse a lanaturaleza de las distintas clases defunciones. Al poner en escena unasituación didáctica relativa al tratamientode la función 2x entre estudiantes debachillerato (15 – 17 años), a fin de que seapropiaran del concepto de funciónexponencial, se favoreció el empleo decriterios geométricos: localizar puntos enel plano, identificar regularidades paratransitar de la figura a sus propiedades.Para inducirles a construir, basados en lacoordinación de elementos geométricos ygráficos, una curva a partir de un atributoanalítico. Se propició también la inducciónde lo local a lo global, partiendo decasos particulares se les solicitaba que


argumentasen sobre la posibilidad delocalizar otros puntos más y de ahí, secuestionaba sobre la naturaleza específicade la función 2x.

Presentamos a cont inuación dosfragmentos realizados por equipos deestudiantes, para dotar de ciertaevidencia empír ica nuestrasafirmaciones. La secuencia propusoactividades para la localización depuntos en el plano que formasen partede la gráfica de la función 2x. Como sepuede observar en la Figura 1, losestudiantes ponen de manifiesto quetienen una imagen de la representacióngráfica de la función creciente con trazocontinuo. También se puede observarque la localización de los puntos sobrela gráfica (como pares ordenados) nocorresponde a la escala que se planteaen los ejes.

El haberles solicitado la obtención dedeterminados puntos sobre la gráfica,permitió que se iniciara una discusiónsobre el significado de “elevar a unapotencia”. En la figura se observa que leasocian, a la expresión 2x distintosvalores a la x lo que les lleva a explorarel significado de elevar a potencia paradistintas clases de números. (Potenciaentera, 3; potencia racional, ; y aun elcaso de una potencia irracional, þ. Anteesto úl t imo los estudiantes norepresentan nada).

El ubicar puntos específ icos parapotencias, enteras y racionales,problematiza entre los estudiantes elcarácter creciente de la función y sutrazo continuo, hay en el dibujo unapregunta tácita ¿cómo se eleva a lapotencia þ?

12

Figura 1

En la siguiente figura, de nueva cuenta, losestudiantes tienen una idea de la función2x mediante una representación gráfica,creciente y con trazo continuo,bosquejándola de manera general ypermitiéndonos ver que no reparan anteel caso de que la variable x tome el valorde cero o sea incluso negativa. Encontraste, observamos junto a ese trazo,la localización de los segmentos de valor21/4, 21/2, 21, etc., que fueron obtenidos através de la aplicación del algoritmogeométrico de la media geométrica en lasemicircunferencia. Podemos interpretar elempleo de dicho algoritmo, como unejercicio de medición, ya que es construidoa partir de la definición de una determinadaunidad de medida. En el caso del gráficode la izquierda las ordenadas tienen unsignificado concreto, explícito para losestudiantes: son segmentos de longitud21/4, 21/2, 21, etc. Este ejercicio de medirpermite comparar a los segmentos y conellos aproximarse a una idea específica de

Relime

crecimiento, ya no es arbitrario como en elgráfico siguiente, sino que sigue un patrónsusceptible de comparación y descripcióndetallada.

Figura 2

La representación gráfica, aun respetandolas escalas y dibujándola con granexactitud, no garantiza una comprensiónde la trama interna de la misma, es hastaque se agrega una acción, una prácticaconcreta, proveniente del cúmulo deexperiencias de los alumnos durante suvida, la de medir segmentos, lo que lespermite en principio entender la naturaleza

(P + PQ)m

n = Pm

n +mn

Pm

n Q +mn

m− n2n

Pm

nQ2 +mn

m− n2n

m− 2n3n

Pm

nQ3 + etc.

88

del crecimiento de la función 2x. Larepresentación no existe como tal hastaque algunas prácticas cotidianas comomedir, comparar, observar son llevadas acabo, son ejercidas. En este sentido, laaproximación socioepistemológica pone suénfasis en el papel de las prácticas socialesen la construcción del conocimiento. Restaaun discutir a mayor profundidad cuál esla práctica social que subyace al empleo ya la necesidad de la medición; sinembargo, dado que no es asunto de esteescrito puede consultarse (Lezama, 2003).

Una explicación más amplia sobre el papelque desempeñan las prácticas, tanto lasde referencia como las sociales, en laconstrucción de conocimiento, puedeobtenerse de los siguientes ejemplos.Cada uno de ellos obedece acircunstancias específicas y no haremosde ellos un estudio a profundidad.

2. La predicción, el binomio deNewton y la serie de Taylor

¿Por qué Newton representó por vezprimera a su binomio como (P + PQ)m/n yno, como es usual hoy día a (a + b)n? Lasexpresiones aunque matemáticamente

equivalentes, son distintas conceptualmente.

Una lectura ingenua de tales expresiones nos haría creer que se trata sólo de un asuntode la notación propia de la época; en nuestra opinión, ello no es así. Se trata de unaverdadera concepción alternativa del binomio, que se apoya en una epistemologíasensiblemente diferente de la que hoy enseñamos en clase. De hecho, obedece a unprograma emergente, alternativo en el campo de la ciencia y la filosofía, con el que se

(a + b)n = an + nan−1b+n(n−1)

2!an −2b2 +

n(n−1)(n − 2)3!

an− 3b3 + ...


buscaba modelar, anticipar, predecirfenómenos naturales con respaldomatemático. Un amplio programa dematematización de los fenómenossusceptibles de modelar con una fructíferametáfora del flujo del agua, metáfora quese aplicaría por igual a la evolución de muydiversas magnitudes.

La idea básica a la que nos referimosconsiste en la asunción de que con lapredicción de los fenómenos de flujocontinuo en la naturaleza, era posibleanunciar, anticipar, su estado ulterior. Puesconociendo ciertos valores iniciales de unsistema en evolución, sabríamos la formaen la que éste progresa. Centremos laatención en la cinemática de una partículaque se desplaza rectilíneamente; situaciónen la que se precisa de una predicción delargo alcance en ámbitos de variacióncontinua. Desde nuestro punto de vista,la predicción se construye socialmente apartir de las vivencias y experienciascotidianas de los individuos y de los grupossociales. Pues en ciertas situacionesnecesitamos conocer el valor que tomaráuna magnitud B con el paso del tiempo.Sabemos, por ejemplo, que B depende asu vez de otra magnitud P que fluyeincesantemente. Necesitamos saberentonces el valor que tomará B antes deque transcurra el tiempo, antes de que Ptransite del estado uno al estado dos. Perodada nuestra imposibilidad de adelantarel tiempo a voluntad debemos predecir. Ental caso, no disponemos de razones paracreer que en este caso, el verdadero valorde B esté distante de las expectativas quenos generan los valores de B y de P en unmomento dado, de la forma en la que P yB cambian, de la forma en la que cambiansus cambios, y así sucesivamente. Elbinomio de Newton (Newton, 1669), sepresenta como una entidad que emergeprogresivamente del sistema de prácticassocialmente compartidas ligadas a la

resolución de una clase de situaciones queprecisan de la predicción. De modo que siP evoluciona de cierta manera, la preguntacentral consiste en saber cómo será B(P)si conocemos el inicio de P, el cambio quesufre P, el cambio del cambio de P,etcétera. El binomio fue entonces, unarespuesta a la pregunta y una organizaciónde las prácticas sociales.

El caso de mayor interés se presenta,naturalmente, cuando no se dispone enforma explícita de la relación entre B y P.En ese caso, habrá que hacer emergerprogresivamente una nueva noción, unanoción que permita de algún modo lageneración de la solución óptima a unaclase de situaciones propias de lapredicción. Para el lo habrá queconsiderar tanto la diversidad decontextos en los que puede suceder lavariación, como la var iedad defenómenos estudiados con estrategiassimilares. En su momento, este programanewtoniano de investigación llevó alsurgimiento de una progresiva cadena deelaboraciones teóricas, cada vez másabstractas, que culmina, por así decirlocon el programa lagrangiano dondehabrá de emerger la noción de funciónanalítica. Los detalles de este estudiopueden consultarse en (Cantoral, 1990,2001).

Ejemplifiquemos esta situación en uncaso simple. Supongamos que tenemoslos valores iniciales (en el tiempo t = 0),tanto de la posición s(0) = s

0, como de la

velocidad v(0) = v0, y la aceleración

a(0) = a0 de una partícula que se desplaza

sobre una recta. Para cualquier instanteposterior t la posición s(t), la velocidadv(t) y la aceleración a(t) estarándadas mediante el instrumento parapredecir, a saber, la serie de Taylor,f(x) = f(0) + f ’ (0)x + f ’’ (0)x2 /2! + ... La seriedeviene en:

Relime 90

s(t) = s(0) + s’(0)t + s’’ (0)t2 /2! + ...v(t) = v(0) + v’(0)t + v’’ (0)t2 /2! + ...a(t) = a(0) + a’(0)t + a’’ (0)t2 /2! + ...

En notación usual:

s(t) = s0 + v

0t + at2

v(t) = v0 + at

a(t) = a

En este ejemplo, es el tratamiento de lapredicción de fenómenos de movimiento,lo que da lugar a un sucesivo proceso dematematización de una gran cantidad denociones y procesos matemáticos.Estrictamente hablando, no se buscórepresentar un objeto, ni construirlo a partirde su representación. Se intenta, segúnla visión de la ciencia del periodo,simplemente predecir el cambio. En estesentido, la predicción en tanto que no esun objeto matemático, tiene que entrar enla problemática teórica no como noción, orepresentación, sino como práctica social.Para la socioepistemología el foco delanálisis estará puesto no en el binomio ensí, en tanto signo o artefacto que mediatizala actividad, sino en la búsqueda de lapredicción como práctica social.

Veamos un segundo ejemplo en el cual, adiferencia del anterior, el fenómeno mismoque será tratado, el fenómeno natural queintentan describir con el método predictivo,estaba aun poco claro para losinterlocutores. El calor como noción, noemerge aun con la claridad requerida.¿Qué se representa entonces?

3. Teoría analítica del calor

El ejemplo de la propagación del calorresulta útil para mostrar de qué manera,antes que el objeto y su representación,está la praxis, y con ésta la significacióncultural. La propagación del calor resulta

un asunto desafiante, pues no trata de unobjeto matemático como tal, sino de uncontexto en que habrían de ejercer ciertasprácticas los científicos e ingenieros de unaépoca y de una circunstancia específica. Fueuna cuestión a la que tanto la MecánicaRacional como el Análisis Matemático delsiglo XVIII no dieron respuesta cabal, y deello da cuenta la histórica controversiasuscitada a raíz de la cuerda vibrante. Al ladode este desarrollo, encontramos elsurgimiento de la ingeniería matemáticasobre la práctica tradicional y el papelsustantivo que una institución de educaciónsuperior, la École Polytechnique, tuvo parasu posterior consolidación. Así pues, elasunto matemático que estaremosejemplificando, el del estudio de laconvergencia de series infinitas, se inscribeen el ambiente fenomenológico de laconducción del calor, en estrecha relacióncon la práctica de la ingeniería, dio a luz,gracias a la conjunción de, por supuesto,innumerables variables, de entre las cualesdestacamos como antecedentes al cálculoalgebraico y al surgimiento de la ingenieríaen el siglo XVIII. Es decir, una práctica socialque normaba el quehacer de los científicosy tecnólogos de la época: Predecir elcomportamiento de lo que fluye, fuese elcalor, el movimiento o los flujos eléctricos,la intención última de este programarenovador era el de mostrar el papel delsaber como la pieza clave de la vida futurade esa sociedad. Es importante ubicar queesto se da en el marco de laprofesionalización de una práctica dereferencia, la práctica de la ingeniería y porende en el seno de la comunidad politécnica.La cuestión entonces no se redujo a conocerun objeto matemático, sino el mostrar quela práctica de la ingeniería podría sercientífica. La función normativa de la prácticasocial haría su aparición en forma dediscurso matemático y enseguida, casi almismo tiempo, como una forma dediscurso matemático escolar.

12


El surgimiento del concepto deconvergencia, que data del siglo XIX seda en un ambiente fenomenológico desingular relevancia para la IngenieríaMatemática; la propagación del calor endonde la variación está presente y laecuación en la que tal variación sesignifica:

En los inicios del desarrollo de lahumanidad, cuando las diversasexperiencias se examinan por vez primera,se recurre de entrada a la intuición reinantedel fenómeno, ya sea de lo calórico parael caso que nos ocupa, del ímpetu o deléter, en otros. De este modo, es con localórico que se realiza mejor laconducción, o con el ímpetu que se da elmovimiento. Se precisó de una revolucióndel conocimiento científico para agruparen una unidad fundamental alconocimiento y la manera de percibirlo.

Con la obra de Biot (1774 - 1802) laexperiencia se dirige hacia la medida y elcálculo, y se desecha la explicación delfenómeno mediante la noción de calórico,valiéndose de las indicacionessuministradas por termómetros, y seobtiene así la primera ecuación diferencialque rige al fenómeno. Sin embargo, loscoeficientes constantes no fueronanalizados, no se distinguió entre lo quees propio del cuerpo específico, de aquelloque persiste independientemente de él. Enespecial, los parámetros deconductibilidad, de densidad, de calorespecífico, permanecen en un únicocoeficiente empírico. La tarea constructivaculmina con la Théorie Analytique de laChaleur (1822) de Fourier, en donde seanaliza el problema de la propagación delcalor en los sólidos, que consiste endescribir el comportamiento del fenómeno

de propagación, buscando aquello establey permanente, que se conserva inalterablecon el fluir del tiempo. Esto es, la ecuaciónque gobierna el comportamiento delsistema.

Como Fourier llega finalmente a la ecuacióndiferencial de Biot, que ha recibido la sanciónde la experiencia, se puede decir que elmétodo de Fourier ha logrado la construcciónmatemática completa del fenómeno. Depaso, se rompen o, mejor aún, se niegan,los conceptos fundamentales del análisismatemático del siglo XVIII, como: el defunción, el papel del álgebra, el continuo real,así como la interpretación física de lassoluciones, y se inicia el estudio de laconvergencia de series infinitas, pilarfundamental del Análisis Matemáticomoderno. Salta a la vista la importanciasingular de la obra de Fourier, tanto para laingeniería como para el análisis matemáticomismo. De suerte tal, que determinar elestado estacionario del sistema conduce,necesariamente, a un estudio de laconvergencia de una serie trigonométricainfinita. La búsqueda de la predicción y lapredicción como práctica, antecede alproceso de significación y de representaciónde objetos. Es decir, son las prácticas y nosus representaciones las que forman enprimera instancia al saber matemático.

En este ejemplo, ¿qué objeto matemáticose representa?, no hay objetopreestablecido, ni preexistente, estos sonconstruidos por los actores con elejercicio de sus prácticas y normados porsu búsqueda de la predicción. Se pasadel oficio a la profesión gracias al logrode la función normativa de la prácticasocial.

A fin de mostrar el problema particularcon el que Fourier inicia este estudio,entresacamos algunas notas de supublicación original:

dvdt

=KCD

d2vdx2 +

d2vdy2 +

d2vdz2

Relime 92

Suponemos que una masa sólidahomogénea está contenida entredos planos verticales B y Cparalelos e infinitos, y que se hadividido en dos partes por unplano A perpendicular a los otrosdos (ver figura); consideraremoslas temperaturas de la masa BACcomprendida entre los tresplanos inf initos A, B, C. Sesupone que la otra parte B’AC’del sólido infinito es una fuenteconstante de calor, es decir, quetodos esos puntos permanecencon temperatura 1, la cual nopuede llegar a ser jamás menorni mayor. En cuanto a los dossól idos laterales, unocomprendido entre el plano C yel plano A prolongado y el otroentre el plano B y el Aprolongado, todos los puntos deambos tienen una temperaturaconstante 0, y una causa exteriorlos conserva siempre a la mismatemperatura; en f in, lasmoléculas del sól idocomprendido entre A, B y Ctienen la temperatura inicial 0. Elcalor pasará sucesivamente dela fuente A al sólido BAC; él sepropagará en el sentido de lalongitud inf inita y, al mismotiempo, se desviará hacia lasmasas fr ías B y C, quienesabsorberán una gran cantidad.Las temperaturas del sólido BACse elevarán más y más; peroellas no podrán pasar ni aunalcanzar un máximo detemperatura, que es diferentepara los distintos puntos de lamasa. Tratamos de conocer elestado final y constante al cualse aproxima el estado variable.

Temperatura constante igual a 1

Así, el problema consiste endeterminar las temperaturaspermanentes de un sólidorectangular infinito comprendidoentre dos masas de hielo B y C yuna masa de agua hirviendo A; laconsideración de los problemassimples y primordiales es uno delos medios más seguros para eldescubrimiento de leyes defenómenos naturales, y nosotrosvemos, por la historia de lasciencias, que todas las teorías sehan formado siguiendo estemétodo. (Fourier, 1822; traducciónlibre al español por los autores )

Para el caso particular propuesto, laecuación general se reduce a

pues se omite tanto la coordenada z comosu correspondiente derivada parcial (elgrosor se considera infinitesimal). Dadoque se trata de determinar el estadoestacionario, independiente del tiempo (esdecir, constante respecto del tiempo),deberá tenerse que:

∂v

∂t=

KCD

∂2v

∂x2 +∂2v

∂y2


.

Así que la ecuación por resolver es:

.

Si una función satisface la ecuación,deberá cumplir con las siguientescondiciones:

i) Anularse cuando se sustituye o

en lugar de y, cualquiera que sea, por otrolado, el valor de x.

ii) Ser igual a la unidad si se supone x=0y si se le atribuye a y un valor cualquiera

comprendido entre y .5

Es necesario añadir que esta función debellegar a ser extremadamente pequeñacuando se da a x un valor muy grande, yaque todo el calor surge de una sola fuenteA, condiciones que hoy nombramos defrontera. Fourier encuentra la solución porun método de separación de variables,considerando que la temperatura v se puedeexpresar como el producto de una funciónde x por una función de y, v = F(x) f(y),obteniéndose:

v = a e-x cos y + b e-3x cos 3y + c e-5x cos 5y +...(b)

…en este punto Fourier hace notar: “... No

Esto es debido a que la longitud del lado finito BAC es þ. Nótese que, en el trabajo de Fourier, la abscisa la denota por y,

mientras que a la ordenada por x (ver figura).

La consideración de los valores de una función en un intervalo es nueva; recuérdese que en el siglo XVIII eso carecía de

significado.

Pero, a diferencia de Bernoulli que presenta argumentos físicos para la demostración del problema, aquí Fourier nos

muestra que la solución matemática es coherente con la situación física, pero la demostración se inserta en la matemática

misma, sin alusión a argumentos que no pertenecen a ella. Así, se inicia la separación entre la física y las Matemáticas, que

desde la antigüedad caminaban estrechamente ligadas una de la otra.

5

6

7

∂v∂t

= 0

∂2v∂x2 +

∂2v∂y2 = 0

−π2

+π2

−π2

≤ ≤π2

−π2

+π2

−π2

+π2

se puede inferir nada para los valores quetomaría la función si se pone en lugar deuna cantidad que no esté comprendida

entre y ...” 6

Así, (b) se convierte en

1 = a cos y +b cos 3y + c cos 5y + d cos 7y +...

para y ; ahora sólo resta

calcular la infinidad de coeficientesa,b,c,d,... . A nuestros ojos, la solución yaestá dada (salvo por dicho cálculo); paraFourier, en cambio, es necesario justificarla solución físicamente7 antes de realizartal cálculo y añade:

Supongamos que la temperatura fija dela base A, en lugar de ser igual a launidad para todos los puntos, sea tantomenor entre más alejado esté el punto0 de la recta A, y que sea proporcionalal coseno de esta distancia; seconocerá fácilmente, en ese caso, lanaturaleza de la superficie curva cuyaordenada vertical expresa latemperatura u, o f(x,y). Si se corta estasuperficie por el origen con un planoperpendicular al eje de las x, la curvaque determina la sección tendrá porecuación

v = a cos y ;

los valores de los coeficientes serán lossiguientes

a = a, b = 0, c = 0, d = 0,

Relime 94

y así sucesivamente, y la ecuación dela superficie curva será

v = ae-x cos y.

Si se corta esa superficieperpendicularmente al eje de las y, setendrá una logarítmica cuya convexidades devuelta hacia el eje; si se le cortaperpendicularmente al eje x, se tendráuna curva trigonométrica que tiene suconvexidad hacia el eje. Se sigue de ahí

que la función tiene siempre

un valor positivo, y que el de es

∂2v∂x2

∂2v∂y2

siempre negativo. Ahora bien (art. 1 3),la cantidad de calor que una moléculaadquiere, de acuerdo con su lugar entreotras dos en el sentido de las x, es

proporcional al valor de ; por∂2v∂x2

tanto, se tiene que la moléculaintermedia recibe, de la que precede enel sentido de las x, más calor del queella le comunica a la que le sigue. Pero,si se considera esta misma moléculacomo colocada entre otras dos en elsentido de las y, siendo negativa la

función , se ve que la molécula∂ 2v∂y2

intermedia comunica a la que le siguemás calor que lo que recibe de laprecedente. Se llega así, que elexcedente de calor que ella adquiereen el sentido de las x se compensaexactamente con lo que pierde en elsentido de las y, como lo expresa laecuación

Se sabe así la ruta que sigue el calorque sale de la fuente A. Él se propagaen el sentido de las x, y al mismo tiempose descompone en dos partes, una sedirige hacia uno de los ejes, mientrasque la otra parte continúa alejándosedel origen para descomponerse comola anterior, y así sucesivamente hastael infinito. La superficie que

∂2v∂x2 +

∂2v∂y2 = 0

consideramos es engendrada por lacurva trigonométrica que responde a labase A, y se mueve perpendicularmenteal eje de las x, siguiendo este eje,mientras que cada una de susordenadas decrece al infinito,proporcionalmente a las potenciassucesivas de una misma fracción.

Se obtendrán consecuencias análogas silas temperaturas fijas de la base A fueranexpresadas por el término b cos 3y, o unode los términos siguientes c cos 5y...; yse puede, después de esto, formarseuna idea exacta del movimiento delcalor en el caso general; ya que se verá,por lo que sigue, que ese movimientose descompone siempre en unamultitud de movimientos elementales,en donde cada uno se comporta comosi fuese solo. (Fourier, 1822; traducciónlibre al español por los autores )

En el episodio anterior, tanto Fourier comoBiot y los ingenieros egresados de laPolytechnique, están interesados enanticipar el comportamiento de la naturaleza,en modelarla, su búsqueda no podríaentonces ser reducida a la acción derepresentar un objeto preexistente, unanoción, un concepto o un procedimiento, sinodebe ampliarse al nivel de la práctica: ¿cómoserá posible confundir en este caso, al objetocon su representación?, ¿tiene, en estecontexto, sentido tal pregunta?

Para finalizar este artículo, mostramos cómolas prácticas sociales a las que nos hemosreferido, no están exclusivamente ligadas ala actividad inmediata. Desarrollamos unejemplo relativo al proceso de convenir enmatemáticas.

4. El proceso de convenciónmatemática

La acepción que util izamos paraconvención, es la de “aquello que es


2, 3, 4, 5, 6,4, 8, 16, 32, 64,

conveniente para algún fin específico”;entonces una convención matemática esuna conveniencia para las matemáticas.El análisis socioepistemológico de losexponentes no naturales muestra lapresencia de una manera común, entre lossiglos XIV y XVIII,para posibilitar laconstrucción de cuerpos unificados ycoherentes de conocimiento matemático, esdecir para la integración sistémica deconocimientos. Designamos sintéticamentea este proceso de construcción deconocimiento con la expresión convenciónmatemática. Las formas de estemecanismo pueden ser varias: unadefinición, un axioma, una interpretación,o una restricción. La elección depende delos objetivos teóricos. Convenir enmatemáticas, puede entenderse comoproceso de búsqueda de consensos alseno de una comunidad que se norma porla práctica social relativa a dar unidad ycoherencia a un conjunto deconocimientos (Martínez – Sierra, 2005).Por su naturaleza esta práctica seencuentra en el plano de la teorización.Este proceso de síntesis, conlleva elsurgimiento de propiedades emergentesno previstas por los conocimientosanteriores. Las convenciones matemáticasserían una parte de tales propiedadesemergentes.

En el plano de la historia de las ideas, almenos dos tipos de formulacionesemergen para significar a los exponentes

no naturales. El primer tipo deformulaciones fue hecho en el contexto delo algebraico y el segundo en el ámbito dela formulación de coherencia entre loalgebraico y lo gráfico. En el contextoalgebraico, la noción de exponente nonatural surge de la intención de preservarla relación entre las progresionesaritmética y geométrica, a fin de unificarun algoritmo para la multiplicación demonomios. En el contexto algebraico–gráfico, la construcción de significadosemerge como organizador de las fórmulasde cuadraturas de ciertas curvas.

En el marco de las formulacionesalgebraicas, los convencionalismos tienenpor finalidad el incluir nuevos objetosalgebraicos a la estructura operativaconformada por los diferentes caracterescósicos 8.

Primera formulación algebraica. Encuanto a la multiplicación, la regla de Aurel(1552) se basa en el comportamientoespecial de las sucesiones: la relaciónentre la progresión aritmética y progresióngeométrica (relación PA–PG) 9. Con estemarco de referencia se determinan losconvencionalismos para incluir al númeroen la estructura operativa del conjunto{ x, x2, x3, x4, x5,...}, que en la notación deMarco Aurel (1552) corresponde alconjunto . Deesta manera el número 5 es representadocomo 5 y es multiplicado con los demás

En el lenguaje moderno se puede identificar estos caracteres cósicos con la segunda potencia, la tercera potencia…

de la incógnita.

Es decir, si se coloca la progresión aritmética que representa el número de multiplicaciones de la base y la progresión

geométrica que representa las potencias, se tiene que la adición (resta) en la parte superior (la serie aritmética) corresponde

a la multiplicación (división) de la serie de abajo (geométrica):

A la relación expresada en el enunciado anterior la abreviaremos, en lo sucesivo, como la relación entre la progresión

aritmética y geométrica (relación PA-PG).

8

9

ϕ,x,ξ,ζ,ξξ,β,ξζ,bβ,ξξξ,ζζ ,...{ }

ϕ

Relime 96

a través de una nueva tabla de caracterescósicos que tienen la misma regla operativareferente a la relación entre la progresiónaritmética y geométrica. Lo anterior estáexpresada en los siguientes términos: “Ycuando tu querras multiplicar vna dignidad,grado, o carácter con otro, mira lo que estaencima de cada uno y junta lo simplemente,y aquello que verna, mira encima de qualcarácter estara: tal diras que procede detal multiplicacion” (Op. Cit.). Así al utilizarla Tabla 1 se pueden hacer, por ejemplo,las multiplicaciones contenidas la Tabla 2.

ϕ x ξ ζ ξξ β ξζ bβ ξξξ ζζ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tabla 1. Caracteres cósicos de Aurel y la relaciónPA-PG

Notación de Aurel

8ξ2χ

23β4ϕ

16ζ 92β

13ξξ2ξξ

50ϕ6ξ

26ξξξ 300ξ

----- -----

----- -----

Tabla 2. Multiplicaciones en la notación de Aurel

En el marco de esta primera formulaciónalgebraica los cocientes del tipo x5/x7, esdecir, donde el grado del dividendo esmenor que el del divisor, no son incluidoscomo caracteres cósicos; ya que sóloconsidera para la división el caso en queel dividendo y el divisor son monomios,distinguiéndose dos posibilidades: 1) el

grado del dividendo es menor que el deldivisor y 2) el grado del dividendo es mayorque el del divisor. En la primera posibilidadtal partición no se podrá partir y quedarácomo quebrado; en la segunda, la reglade Aurel coincide con la actual(am/an=am-n con m>n).

Segunda formulación algebraica, seencuentra en un contexto donde elprogreso en la operatividad con losnúmeros negativos y el cero hace posiblela inclusión de los cocientes 1/x, 1/x2,....entre los caracteres cósicos y suoperatividad. La formulación surge dehaber admitido la operatividad decantidades negativas para despuésenmarcarlas en la estructura algorítmicade la relación entre las progresionesaritmética y geométrica. En La triparty enla Science des Nombres, Chuquet, (1880/1484) construyó una noción de exponentecero y negativo (al parecer no utilizóexponentes fraccionarios). Explica quecada número puede considerarse comocantidad estricta, y así para indicarlo, sepuede añadir un cero en la parte superiordel número, como por ejemplo, 120, 130

para indicar 12 o 13. Pero cada númeropuede considerarse como número primerode una cantidad continua, también dichonúmero lineal, indicando así: 121, 131... obien número superficial cuadrado: 122, 132

... y así, sucesivamente, hasta el orden quese quiera (120 quiere decir doce; 121 indica12x; 122 significa 12x2,...).”

Es importante señalar que el superíndicecero que util iza Chuquet significa“ausencia de variable”. En este sentidoopta por abandonar las distintasnomenclaturas para designar el orden delas raíces, así como el de las potenciasde la incógnita, para exponer una formade denominación unificadora, que facilitelas operaciones entre estas entidades.


El contexto de la formulación está relacionada con las soluciones negativas que resultan de la resolución formal de

ecuaciones lineales. Es por ello que al parecer uno de los objetivos de la aceptación de los exponentes negativos era dar

legitimidad a los números negativos y su operatividad, pues eran usados para la operatividad consistente con los monomios.

Por ejemplo es bien conocida la forma en que Galileo estableció su ley de caída de los cuerpos a través de entender

el área determinada por una gráfica velocidad-tiempo como la distancia recorrida por el cuerpo.

En términos modernos la noción de razón característica se apoya en que

Así se opera como sigue10, Chuquet utiliza.71.ñ. para denotar 7/x.

Formulaciones algebraicas–gráficasAl parecer los convencionalismosalgebraicos descritos, fueron marginalesa la sintaxis algebraica o al estudio de lacosa; dado que carecía de sentido fueradel contexto algebraico. Podemos decirque la aceptación de las potenciasmayores a tres fue posible gracias a laintroducción de la representacióncartesiana de las variables. En el marcode las formulaciones algebraicas–gráficas,los convencionalismos tienen por finalidaddotar de coherencia a ambos elementos,lo algebraico y lo gráfico.

Primera formulación algebraico–gráfica . Hacia finales del XVI se sabía quelas curvas y = kxn (n = 1, 2, 3, 4,…), llamadasde índice n, tenían una propiedad llamada“razón característica”. Este conocimiento,según Bos (1975), era propio de la épocadel cálculo de áreas determinadas pordistintas curvas, tanto mecánicas comoalgebraicas, y al significado que se asociaa las áreas en contextos de variación11.Tomando como ejemplo la curva y = x2 sedecía que ésta tiene razón característicaigual a 1/3; ya que si tomamos un punto Carbitrario de la curva (Figura 1) el área deAECBA guarda una proporción de 1:3respecto del área del rectángulo ABCD,es decir, el área de AECBA es la mitaddel área AECDA . En general, se sabía deque la razón característica de la curva de

10

11

12 (a > 0) xndx0

a

∫

:a

n+1 = 1:(n +1)

índice n es 1/(n +1) para todos los enterospositivos n .12

Figura 1. Razón Característica de la curva y = x2

En sus investigaciones acerca de lacuadratura de las curvas, Wallis utilizó loanterior para convenir que el índice de

debe ser igual a 1/2 a fin deunificar la noción de razón característicacon la noción de índice. Lo mismo puedeverse para ,cuya razón característicadebe ser 3/4=1/(1+1/3) por lo que su índiceserá 1/3. A continuación Wallis afirma(según Confrey & Dennis, 2000) que elíndice apropiado de debe ser p/q yque su razón característica es 1/(1+p/q);pero al no tener manera de verificardirectamente la razón característica detales índices, por ejemplo de ,retoma el principio de interpolación el cualafirma que cuando se puede discernir unpatrón de cualquier tipo en una sucesión deejemplos, uno tiene el derecho de aplicar esepatrón para cualesquiera valoresintermedios. En el caso que interesa, él hacela siguiente tabla de razones característicasconocidas (R(i/j ) denota la razóncaracterística, desconocida, de índice i/j):

y = x2

y = x3

y = x pq

y = x 23

Relime 98

q/b123456789

01=1/11=2/21=3/31=4/41=5/51=6/61=7/71=8/81=9/9

21/32/4

R(2/3)2/3=4/6R(2/5)3/4=6/8R(2/7)

4/5=8/10R(2/9)

31/4

R(3/2)1/2=3/6R(3/4)R(3/5)2/3=6/9R(3/7)R(3/8)

3/4=9/12

41/5

1/3=2/6R(4/3)1/2=4/8R(4/5)R(2/3)R(4/7)

2/3=8/12R(4/9)

51/6

R(5/2)R(5/3)R(5/4)

1/2=5/10R(5/6)R(5/7)R(5/8)R(5/9)

61/7

1/4=2/81/3=3/9R(3/2)R(6/5)

1/2=6/12R(6/7)R(3/4)R(2/3)

71/8

R(7/2)R(7/3)R(7/4)R(7/5)R(7/6)

1/2=7/14R(7/8)R(7/9)

Al aplicar el principio de interpolaciónsobre la fila 5 se puede conjeturar, porejemplo, que R(3,5)=5/8 y sobre la columna3 que R(3,5)=5/8. Razonamientosemejante se puede hacer sobre la fila 10para establecer que R(3,5)=10/16 y sobrela columna 6 que R(3,5)=10/16.

Wallis también interpreta a los númerosnegativos como índices13. Define el índicede 1/x como –1, el índice de 1/x2 como –2,etc. A continuación él intenta darcoherencia a estos índices y a la nociónde razón característica. En el caso de lacurva y = 1/x la razón característica debe

ser 14. Aceptó este cociente1

−1+1=

10

= ∞

Deseamos aclarar que a través de la literatura consultada no fue posible determinar claramente los motivos que tuvo

Wallis para dar tales definiciones; pero es de suponer que fueron tomadas de las convenciones de los exponentes que

ya se trabajaban en esa época en el contexto algebraico (Martínez, 2003).

Lo que hoy se entiende por fracciones, en la época de Wallis se concebía como proporcionalidad por lo que 1 es 0

(nada) como es a 1.

13

14

∞

E

A B

C

F

E

A B

C

F

D

como razonable debido a que el área bajola curva 1/x diverge; el cual, al parecer, eraun hecho conocido en la época. Lo anterior

puede ser interpretado como que laproporción entre el área de ABCEFA (Figura2) y el área del rectángulo ABCD es de 1:0.Cuando la curva es y=1/x2 la razóncaracterística debe ser 1/(-2+1)=1/-1. Aquí,la concepción de Wallis sobre la razón difierede la aritmética moderna de númerosnegativos. Él no utiliza la igualdad 1/-1 = -1,más bien él construye una coherencia entrediversas representaciones; que es enesencia una convención matemática.Debido a que el área sombreada bajo lacurva y=1/x2 es más grande que el área bajola curva 1/x, concluye que la razón 1/-1 esmayor que infinito (ratio plusquam infinita).Continúa concluyendo que 1/-2 es inclusomás grande. Esto explica el plural en el títulode su tratado Arithmetica Infinitorum, de lacual, la traducción más adecuada sería LaAritmética de los Infinitos.

Figura 2. Razón Característica de la curva y = 1/x


Lo anterior nos motiva a enfocar nuestraatención en los procesos de integraciónsistémica de un conjunto deconocimientos. Teóricamente, desde unprincipio, esta búsqueda de integración,que es una búsqueda de relaciones,puede tener dos salidas: 1) La rupturaocasionada por dejar a un lado unsignificado por otro que eventualmente esconstruido para la tarea de integración; esdecir, cambiar la centración de significadoy 2) La continuidad al conservar unsignificado en la tarea de integración.Entonces, la convención matemáticapuede ser interpretada como unapropiedad emergente para establecer unarelación de continuidad o de ruptura designificados.

En nuestros ejemplos respecto a lasformulaciones de Wallis, la búsqueda decoherencia entre la noción de índice y derazón característica (en donde la razón/proporción posee significados específicosque difiere de considerarla como número)provoca dos convencionalismos: el índicede como 1/2 y diversos tipos deinfinito representados por 1/0, 1/-1, 1/-2,etc. Esto señala el carácter conveniente yrelativo de la convención matemáticarespecto a la integración de las nocionesde índice y razón característica y lasrepresentaciones algebraicas y gráficas.Hoy en día la convención de considerar alas proporciones 1/0, 1/-1, 1/-2 comodiversos tipos de infinitos no es coherentecon la interpretación numérica de lasproporciones como números.

De este modo, la convención, o labúsqueda de consensos, al igual que enlos ejemplos descritos anteriormente,adquiere una dimensión socialfundamental que no podría ser captada sil imitáramos nuestra mirada a laconstrucción de objetos o a surepresentación, pues aspectos como

y = x2

creencias, ideología y matemáticasestarían excluidos al momento de teorizarsobre la construcción de conocimientomatemático.

Reflexiones finales

Con los ejemplos mostramos el papel dealguna práctica: medir al construir lafunción “2x”, predecir en el caso de lacinemática y las funciones analíticas,modelar bajo fenomenologías deingeniería y, finalmente, convenir en elcaso de los exponentes no naturales. Losejemplos muestran la diversidad desituaciones que habrían de considerarsellevando la mirada hacia lasocioepistemología.

Este artículo ha querido mostrar cómoopera el enfoque socioepistemológico alcentrar su atención en prácticas más queen objetos. Su centración en las prácticasarroja una luz distinta de aquella queproduce la centración en objetos, procesoso mediadores. El artículo mostró, medianteejemplos, el papel que juega la prácticasocial en la construcción del conocimientomatemático y de cómo se articula con losprocesos de representación.

Este artículo si bien pretende posicionar ala Socioepistemología a través deejemplos, busca sobre todo discurrir sobreel papel de la noción de práctica social enla formación de conocimiento. No seabordan las relaciones decomplementariedad o contraposición decara a otros enfoques teóricos, aunquebien sabemos que existen relaciones conla Semiótica Cultural de Radford, o con elenfoque Ontosemiótico de Díaz–Godino,o aun con la Teoría Antropológica de laDidáctica de Chevallard y colaboradores,o con la Etnomatemática de D’Ambrosio ycolaboradores, pero más bien quisimos

Relime 100

aportar un elemento adicional, unaparticular interpretación de la noción depráctica social que juzgamos prometedorapara la investigación en matemáticaeducativa. En el futuro inmediato, el

enfoque socioepistemológico estaráintentando construir elementos dearticulación entre los enfoques señaladosanteriormente, aunque esa sea otrahistoria…

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Relime102

Ricardo CantoralDepartamento de Matemática EducativaCINVESTAVMéxico


Rosa María FarfánDepartamento de Matemática EducativaCINVESTAVMéxico


Gustavo Martínez-SierraCimate de la UAGMéxico


Javier LezamaPrograma de Matemática EducativaCICATA del IPNMéxico


Elementos de una teoría cultural

de la objetivación 1

Luis Radford 2

RESUMEN

En este artículo se presentan los lineamientos generales de una teoría cultural de laobjetivación –una teoría de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas que seinspira de escuelas antropológicas e histórico-culturales del conocimiento. Dicha teoríase apoya en una epistemología y una ontología no racionalistas que dan lugar, por unlado, a una concepción antropológica del pensamiento y, por el otro, a una concepciónesencialmente social del aprendizaje. De acuerdo con la teoría, lo que caracteriza alpensamiento no es solamente su naturaleza semióticamente mediatizada sino sobretodo su modo de ser en tanto que praxis reflexiva. El aprendizaje de las matemáticas estematizado como la adquisición comunitaria de una forma de reflexión del mundo guiadapor modos epistémico-culturales históricamente formados.

PALABRAS CLAVE : Objetivación, pensamiento matemático, semiótica,sentido, significado, significación cultural, signos.

ABSTRACT

In this article, we present the general bases for a cultural theory of objectification. Thetheory in question deals with the teaching and learning of mathematics and takes itsinspiration from some anthropological and historico-cultural schools of knowledge. Thistheory relies on a non-rationalist epistemology and ontology which give rise, on the onehand, to an anthropological conception of thought, and on the other, to an essentiallysocial conception of learning. According to the theory of objectification, thought is notonly characterized by its semiotically mediated nature but more importantly by way of itsexistence as a reflexive praxis. The learning of mathematics is thematized as theacquisition, by the community, of a form of reflection on the world guided by epistemic-cultural modes which have been historically formed.

KEY WORDS: Objectification, mathematical thinking, semiotics, meaning,signification, cultural signification, signs.

103

Fecha de recepción: Febrero de 2006/ Fecha de aceptación: Abril de 2006

An English translation of this article is available at: http://laurentian.ca/educ/lradford/PUBLIC.HTML. Este artículo es

resultado de un programa de investigación subvencionado por The Social Sciences and Humanities Research Council of

Canada / Le Conseil de recherches en sciences humaines du Canada (SSHRC/CRSH).

Université Laurentienne, Ontario, Canada.

1


2

Relime

RESUMO

Este artigo apresenta as linhas gerais de uma teoria cultural da objetivação uma teoriada ensino e a aprendizagem das matemáticas que se inspira de escolas antropológicase histórico-culturais do conhecimento. Tal teoria se apóia em uma epistemologia e umaontologia não racionalistas que dão lugar, por um lado, a uma concepção antropológicado pensamento e, por outro, a uma concepção essencialmente social da aprendizagem.De acordo com a teoria, o que caracteriza o pensamento não é somente sua naturezasemióticamente mediatizada, mas sobre todo seu modo de ser como praxis reflexiva. Aaprendizagem das matemáticas é tematizado como a aquisição comunitária de umaforma de reflexão do mundo guiada por modos epistémico-culturais historicamenteformados.

PALAVRAS CHAVES: Objetivação, pensamento matemático, semiótica, sentido,significado, significação cultural, signos.

RÉSUMÉ

Dans cet article, on présente les bases générales d’une théorie culturelle de l’objectivation.Il s’agit d’une théorie de l’enseignement et de l’apprentissage des mathématiques quis’inspire de certaines écoles anthropologiques et historico-culturelles du savoir. Cettethéorie s’appuie sur une épistémologie et une ontologie non rationalistes qui donnentlieu, d’une part, à une conception anthropologique de la pensée et, d’autre part, à uneconception essentiellement sociale de l’apprentissage. Selon la théorie de l’objectivation,ce qui caractérise la pensée n’est pas seulement sa nature sémiotiquement médiatiséemais surtout son mode d’être en tant que praxis réflexive. L’apprentissage desmathématiques est thématisé comme étant l’acquisition communautaire d’une forme dereflexion du monde guidée par des modes épistémo-culturels historiquement formés.

MOTS CLÉS: Objectivation, pensée mathématique, sémiotique, sens ,signification, signification culturelle, signes.

Introducción

Incluso para los empiristas, todoaprendizaje supone la actividad delpensamiento. El pensamiento aparece comoel sustrato del aprendizaje, aquello a travésdel cual se establece la relación entre el sery el mundo. Curiosamente, a pesar de suimportancia, y aun si se habla del

pensamiento numérico, geométrico, etc.,el pensamiento como concepto en sí noforma parte de las teorías didácticasactuales. Sin duda, una de las razonestiene que ver con la idea popular de que elpensamiento es inobservable. Como afirmael fundador del Constructivismo Radical,

104

Elementos de una teoría cultural de la objetivación

Entre las actividades humanas másintrigantes que no pueden serobservadas, está pensar (thinking)o reflexionar. A veces puedeninferirse los pensamientos o lasreflexiones … pero el proceso realdel pensamiento queda invisible asícomo los conceptos que éste usa yel material crudo del cual estácompuesto. (von Glasersfeld, 1995,p. 77)

Esta idea de la inobservabilidad delpensamiento es parte de la influencia dela filosofía racionalista y su concepto delser. Así,

El ser cartesiano habita un mundoen el que la actividad material esimposible, pues el pensamiento esconcebido como una relación entreel ser y las entidades mentales, lasideas, que no son objetos posiblesde actividad material. (Bakhurst,1988, p. 35)

A estos dos elementos –el sujeto y el objeto–que une el pensamiento, las teorías delaprendizaje añaden otro elemento: elprofesor, que viene a completar el famosotriángulo didáctico. A menudo, sin embargo,el profesor es revestido de un papel menor:literalmente el de facilitador delaprendizaje. En las medida en que lasteorías didácticas conceptualizan alindividuo como sujeto auto-regulado y autoequilibrante, desarraigado de su contextosocio-cultural, capaz de reflexionar comocientífico que explora los alrededores enbusca de fenómenos que confirmen laviabilidad de su saber, en la medida en queel individuo es visto –como lo apunta Martiny sus colaboradores– en tanto que individuoque parece llevar de alguna manera en su

propio interior las condiciones de sucrecimiento, un ser que solamente necesitaun entorno facilitador para alcanzar, através de la experiencia personal, su plenasocializacion y potencial intelectual3, elprofesor aparece, contra la abrumadoraevidencia de la constatación cotidiana,como simple catalizador del encuentroentre el alumno y el objeto del saber.

La teoría de la objetivación que seesbozará aquí parte de presupuestosdiferentes. En oposición a las corrientesracionalistas e idealistas, ésta aboga poruna concepción no mentalista delpensamiento y por una idea de aprendizajetematizado como adquisición comunitariade formas de reflexión del mundo guiadaspor modos epistémico-culturaleshistóricamente formados.

En las dos primeras partes del artículo sediscuten las bases epistemológicas yontológicas que dan sustento a la teoría,así como el concepto de pensamiento ysu significado antropológico. En las dosúltimas partes se aborda el problema de laenseñanza-aprendizaje, en particular a laluz del concepto fundamental de sala declase como comunidad de aprendizaje.

1. Una concepción no mentalista delpensamiento

En una clase de primer grado de primaria,los alumnos debían resolver un problemasobre una secuencia numérica. La maestraintrodujo el problema a través de unahistoria en la cual una ardilla, al final delverano, lleva cada día dos nueces a sunuevo nido en preparación al invierno quese acerca. En una parte del problema losalumnos debían encontrar el número de

3 Martin (2004), Martin, Sugarman y Thompson (2003).

105

Relime

nueces almacenadas por la ardilla en sunido al final del décimo día, sabiendo quecuando la ardilla encuentra el nido habíaya 8 nueces y que la ardilla no come nuecesde su provisión de invierno. Cristina, unade las alumnas, empezó a contar de dosen dos: diez, doce, catorce, dieciséis.Como notó que no había pensado en elnúmero del día, decidió empezar el conteo.Sin embargo, hacer las dos cosas al mismotiempo resultó una tarea muy difícil.Dirigiéndose a Miguel, su compañero deequipo, Cristina dijo: “¡vamos a hacerlojuntos!” Mientras que el resto de la clasecontinuaba su trabajo en pequeñosgrupos, Cristina y Miguel fueron al frentedel pizarrón y utilizando una regla largade madera, Cristina empezó a contar dedos en dos, mientras que Miguel contabalos días en voz alta. En la figura 1,Cuando Miguel dice “nueve”, Cristinaseñala con una regla de madera elnúmero 26 sobre una recta numéricacolocada arriba del pizarrón, que es elnúmero de nueces acumuladas hasta eldía 9. En la figura 2, Miguel, que continuócontando los días, dice “diez”, mientrasque Cristina desplaza la regla hacia laderecha y señala el número 28, que esla respuesta a la pregunta.

Figura 1. Miguel dice 9 y Cristina señala elnúmero 26.

Figura 2. Miguel dice 10 y Cristina señala elnúmero 28.

Es usual que por pensamiento se entiendauna especie de vida interior, una serie deprocesos mentales sobre ideas que lleva acabo un individuo. De acuerdo con estaconcepción, a partir de los datos dados porla maestra, Cristina y Miguel, habríanrecuperado de su memoria la informaciónpertinente para producir una representaciónmental del problema. Con la ayuda de estarepresentación, el pensamiento de Cristinay Miguel se hubiese movido a lo largo de losestados de un espacio-problema,procesando informaciones codificadasquizás bajo la forma de representacionesproposicionales, a través de reglas lógicas ode inferencia.

Esta concepción del pensamiento, como“actividad mental” (de Vega, 1986, p. 439),proviene de la interpretación de la filosofíagriega por parte de San Agustín a fines delsiglo IV, interpretación que operó, enparticular, una transformación del significadoinicial del término griego eidos. Mientras queHomero, entre otros, utilizaba el términoeidos en el sentido de algo externo, no mental-“lo que uno mira”, por ejemplo la figura, laforma, la apariencia4- para San Agustín eidosse refiere a algo que está dentro delindividuo5. Influenciados por esta

Por ejemplo, en la traducción al inglés del Libro VIII, líneas 229-30, de la Ilíada, Homero dice: “ Argives, shame on you

cowardly creatures, brave in semblance [eidos] only”. (Homer, ca. 800 A.-C.). Estoy en deuda con Eva Firla por su ayuda

en la etimología del término eidos.

Una discusión sobre la manera en que ocurre esta transformación en la concepción del pensamiento en las matemáticas

renacentistas se encuentra en Radford (2004).

4

5

106


transformación, los racionalistas del sigloXVII, como Descartes y Leibniz considerabanque las matemáticas pueden practicarsehasta con los ojos cerrados, pues la menteno necesita el concurso de los sentidos nide la experiencia para alcanzar las verdadesmatemáticas: los principios que necesitamospara entender los objetos o para percibir suspropiedades, las leyes eternas de la razón,son “principios internos”, es decir que estánen nuestro interior (Leibniz, 1966, pp. 34-37).

Antropólogos como Geertz han puesto enevidencia las limitaciones de la concepciónde las ideas como “cosas en la mente” y delpensamiento como proceso exclusivamenteintracerebral:

La idea comúnmente aceptada segúnla cual el funcionamiento mental esun proceso intracerebral que puedeser sólo asistido o amplificado ensegundo término por los variosdispositivos artificiales que dichoproceso ha permitido al hombre crear,resulta estar completamenteequivocada. Al contrario, siendoimposible una definición adaptativa,completamente específica de losprocesos neuronales en términos deparámetros intrínsicos, el cerebrohumano es completamentedependiente de recursos culturalespara su propia operación; y esosrecursos no son, en consecuencia,[objetos] añadidos a la actividadmental sino constituyentes de ésta.(Geertz, 1973, p. 76)

La teoría de la objetivación parte de unaposición no mentalista del pensamiento yde la actividad mental. Dicha teoría sugiereque el pensamiento es una praxis cogitans,esto es una práctica social (Wartofsky,

1979). De manera más precisa, elpensamiento es considerado una reflexiónmediatizada del mundo de acuerdo con laforma o modo de la actividad de losindividuos.

En el resto de esta sección serán discutidoslos diferentes aspectos de esta definición.

1.1 Mediación semiótica

El carácter mediatizado del pensamientose refiere al papel, en el sentido deVygotsky (1981a), que desempeñan losartefactos (objetos, instrumentos, sistemasde signos, etc.) en la realización de lapráctica social. Los artefactos no sonmeras ayudas al pensamiento (como loplantea la psicología cognitiva) ni simplesamplificadores, sino partes constitutivas yconsustanciales de éste6. Se piensa con ya través de los artefactos culturales, demanera que hay una región externa que,parafraseando a Voloshinov (1973),llamaremos el territorio del artefacto. Es eneste territorio donde la subjetividad y laobjetividad cultural se imbricanmutuamente y en el que el pensamientoencuentra su espacio de acción y la mentese extiende más allá de la piel (Wertsch,1991).

De acuerdo con la teoría de la objetivación,el pensamiento de Cristina y Miguel no es,pues, algo que transcurre solamente en elplano cerebral de los alumnos. Elpensamiento también ocurre en el planosocial, en el territorio del artefacto. La reglade madera, la recta numérica, los signosmatemáticos sobre la hoja que sostieneMiguel mientras lee detrás de Cristina, sonartefactos que mediatizan y materializan elpensamiento. Esos artefactos son parteintegral del pensamiento.

6 Una crítica a la concepción de artefactos como amplificadores se encuentra en Cole (1980).

107

Relime

1.2 La naturaleza reflexiva delpensamiento

La naturaleza reflexiva del pensamientosignifica que el pensamiento del individuono es simple asimilación de una realidadexterna (como proponen las escuelasempiristas y conductistas), ni tampococonstrucción ex nihilo (como proponenciertas escuelas constructivistas). Elpensamiento es una re-flexión, es decir, unmovimiento dialéctico entre una realidadconstituida histórica y culturalmente y unindividuo que la refracta (y la modifica) segúnlas interpretaciones y sentidos subjetivospropios.

En el ejemplo anterior, el pensamiento delos alumnos se desarrolla a lo largo de unacompleja coordinación de actividadperceptual y de acciones semióticamentemediatizadas según la interpretación y lossentidos subjetivos de los alumnos (porejemplo, reinterpretar el problema sobre unarecta numérica, contar de dos en dos, etc.).Al mismo tiempo, el problema sobre el cuallos alumnos reflexionan es parte de unarealidad históricamente constituida.Problemas sobre secuencias de números(progresiones aritméticas) se encuentran enla matemática babilónica y fueron teorizadosluego por los pitagóricos y las diferentesescuelas numerológicas griegas (Robbins,1921). No sólo dicha realidad no se presentade manera directa o inmediata, comopensaban los empiristas, sino que tampocopuede ser reconstruida a través de la solaexperiencia personal, pues

Ninguna experiencia personal, porrica que sea, puede llegar a pensarde manera lógica, abstracta omatemática, e individualmenteestablecer un sistema de ideas. Para

hacer esto se requeriría no una vida,sino de miles. (Leontiev, 1968, p. 18)

Uno de los papeles de la cultura (sobre elcual vamos a detenernos en la siguientesección) es sugerir a los alumnos formas depercibir la realidad y sus fenómenos, formasde apuntar (viser), como diría Merleau-Ponty(1945), o formas de intuición, como diríaHusserl (1931).

En resumen, dicho de manera más general,la re-flexividad del pensamiento consiste enque, desde el punto de vista filogenético, losindividuos dan lugar al pensamiento y a losobjetos que éste crea. Pero al mismo tiempo,desde el punto de vista ontogenético, en elacto de pensar, un individuo concretocualquiera es subsumido por su realidadcultural y la historia del pensamiento humano,las cuales orientan su propio pensamiento.“El ser social”, dice Eagleton, “origina elpensamiento, pero al mismo tiempo esabarcado por éste”7.

1.3 La dimensión antropológica delpensamiento

En la sección precedente se dijo que elpensamiento es considerado como una re-flexión mediatizada del mundo de acuerdocon la forma o modo de la actividad de losindividuos. ¿Qué significa que la re-flexiónque constituye el pensamiento se realice deacuerdo con la forma o modo de la actividadde los individuos? Esto significa que lamanera en que llegamos a pensar y conocerlos objetos del saber está enmarcada porsignificados culturales que van más allá delcontenido mismo de la actividad en cuyointerior ocurre el acto de pensar. Estossignificados culturales actúan como enlacesmediadores entre la conciencia individual yla realidad cultural objetiva, y se constituyen

7 Eagleton (1997,p.12).

108


Leontiev no teorizó la dimensión de la superestructura simbólica que estamos poniendo en evidencia aquí y que es,

sin embargo, fundamental para entender el pensamiento en su dimensión antropológica. En la prolongación de la Teoría

de la Actividad de Leontiev, hecha por Engeström (1987), dicha superestructura no fue tampoco tomada en cuenta.

8

en prerrequisito y condición de la actividadindividual mental (Ilyenkov, 1977, p. 95).Dichos significados culturales orientan laactividad y le dan cierta forma. Es por esoque pensar no es algo que simplemente nosponemos a hacer, de forma más o menosantojadiza, en el transcurso del cual derepente encontramos una buena idea. Si bienes cierto que la actividad práctica sensual,mediatizada por los artefactos, entra en losprocesos del pensamiento, en su propiocontenido, la manera en que esto ocurre estásujeta a los significados culturales en los quese sostiene la actividad.

He aquí un ejemplo. La diferencia entre elpensamiento del escriba babilónico y el delgeómetra griego no se reduce únicamente alos tipos de problemas de los que cada unode ellos se ocupó, ni en los artefactosutilizados para pensar matemáticamente, nial hecho de que el primero reflexionaba enun contexto ligado con la administraciónpolítica y económica, mientras que elsegundo lo hacia dentro de un contextoaristocrático-filosófico. La diferencia entre el

pensamiento matemático babilónico y elgriego tiene que ver con el hecho de que laforma de las actividades que enmarcaronesos pensamientos está igualmentesubtendida por una superestructurasimbólica que, a pesar de su importancia,no ha sido tomada en cuenta en lasteorizaciones contemporáneas sobre elconcepto de actividad8. Estasuperestructura simbólica, que en otrostrabajos hemos llamado SistemasSemióticos de Significación Cultural(Radford 2003a), incluyen significadosculturales tales como concepciones entorno a los objetos matemáticos (sunaturaleza, su modo de existencia, surelación con el mundo concreto, etc.) ypatrones sociales de producción designificados. El pensamiento del escribababilónico está enmarcado por unpragmatismo realista en el que cobranvigencia los objetos matemáticos“rectángulo”, “cuadrado”, etc., objetos queel geómetra griego del tiempo de Euclidesconcibe en término de formas platónicas oabstracciones aristotélicas (ver Figura 3).

Figura 3. Las flechas muestranla interacción entre losSistemas Semióticos deSignificación Cultural con laactividad y el territorio delartefacto. Dicha interaccióngeneral los modos de laactividad y del saber, modosque, en un movimientodialéctico, vienen a su vez aalimentar a los vértices deltriángulo.

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Relime

En interacción con las actividades (susobjetivos, acciones, distribución del trabajo,etc.) y con la tecnología de la mediaciónsemiótica (el territorio del artefacto), losSistemas Semióticos de SignificaciónCultural dan lugar, por un lado, a formas omodos de actividad y, por otro lado, amodos específicos del saber o epistemes(Foucault, 1966). Mientras que la primerainteracción da lugar a maneras particularesen que las actividades son realizadas enun momento histórico, la segundainteracción da lugar a modos de saberespecíficos que permiten una identificaciónde los problemas o situaciones“interesantes” y demarcan los métodos,argumentos, evidencias, etc. que seránconsideradas válidas en la reflexión que selleva a cabo sobre los problemas ysituaciones en una cultura dada9.

El triangulo mostrado en la figura 3 ilustrala complejidad de la actividad y lanaturaleza diversa de la misma.

La diversidad cultural en las formas de laactividad humana explica, en nuestraperspectiva, la diversidad de formas quetoma el pensamiento matemático, y que lahistoria nos muestra. En vez de ver esasformas históricas como versiones“primitivas” o estados “imperfectos” de unpensamiento que marcha hacia la formaacabada que presenta el pensamientomatemático actual (etnocentrismo), ladimensión antropológica de la teoría de laobjetivación considera esas formas comopropias de las actividades humanas que laenmarcan y renuncia así a privilegiar laracionalidad occidental como laracionalidad par excellence.

De allí que no es solamente la acción del sujeto que constituye el esquema del concepto (Piaget) o su sello o

emblema (Kant) sino sobre todo el significado de la acción en tanto que momento de la actividad socio-cultural misma

(Radford, 2005).

9

Como Spengler (1948, p. 68 y p. 70)sugería hace muchos años, lasmatemáticas de una cultura no son sino elestilo de la forma con que el hombrepercibe su mundo exterior y que, contrarioa la idea común, la “esencia” de éstas noes culturalmente invariable. Esprecisamente la diversidad cultural la queexplica la existencia de universos denúmeros tan diferentes como irreduciblesunos a otros (ibid. p. 68).

La manera en que el escriba babilónico, elgeómetra griego y el abaquista Renacentistallegan a pensar y a conocer los objetos delsaber, la manera en que plantean susproblemas y los considera resueltos, estáenmarcada por el modo mismo de laactividad y la episteme culturalcorrespondiente (Radford, 1997, 2003a,2003b).

2. Las bases epistemológicas yontológicas de la Teoría de la

objetivación

Cualquier teoría didáctica debe en unmomento u otro (a menos de confinarsevoluntariamente a una especie de posicióningenua) clarificar su posición ontológicay epistemológica. La posición ontológicaconsiste en precisar el sentido en que lateoría aborda la cuestión de la naturalezade los objetos conceptuales (en nuestrocaso, la naturaleza de los objetosmatemáticos, su forma de existencia, etc.).La posición epistemológica consiste enprecisar la manera en que, según la teoría,esos objetos pueden (o no) llegar a serconocidos.

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Las teorías didácticas contemporáneasque parten de una aplicación de lasmatemáticas abrazan a menudo, aun si noes mencionado explícitamente, unaontología realista, y plantean el problemaepistemológico en términos deabstracciones. Claro, la situación no es tansimple, como el propio Kant lo reconoció.

Para el realismo, que en un sentidoimportante es la versión platonista de laracionalidad instrumental (Weber, 1992)que emerge en el renacimiento, laexistencia de los objetos matemáticosantecede y es independiente de laactividad de los individuos. Al igual que elplatonista, el realista considera que losobjetos matemáticos son independientesdel tiempo y la cultura. La diferencia es que,mientras los objetos platónicos no semezclan con el mundo de los mortales, losobjetos del realista gobiernan nuestromundo. Según la ontología realista, estoexplica el milagro de la aplicabilidad de lasmatemáticas a nuestro mundo fenomenal(Colyvan, 2001). Naturalmente, para lograresto, el realismo hace un acto de fe queconsiste en creer que el ascenso de laabstracción hacia los objetos es ciertamenteposible. La fe que Platón ponía en el discursosocial razonado (logos) y que Descartesponía en la cogitación consigo mismo, elrealismo la pone en el experimento científico.

La posición ontológica y epistemológica dela teoría de la objetivación se aparta de laontología platonista y realista, y suconcepción de los objetos matemáticoscomo objetos eternos, anteriores a laactividad de los individuos. Al alejarse de laontología idealista, la teoría se aleja de laidea de que los objetos son productos deuna mente que opera replegada sobre símisma o según las leyes de la lógica(ontología racionalista). La teoría de laobjetivación sugiere que los objetosmatemáticos son generados históricamente

en el curso de la actividad matemática delos individuos. De manera más precisa, losobjetos matemáticos son patrones fijos deactividad reflexiva (en el sentido explicadoanteriormente) incrustados en el mundo encambio constante de la práctica socialmediatizada por los artefactos.

El objeto círculo, por ejemplo, es un patrónfijo de actividad cuyos orígenes resultan node la contemplación intelectual de los objetosredondos que los primeros individuosencontraron en su entorno, sino de laactividad sensual que llevó a dichosindividuos a notar o a darse cuenta de ella:

Los hombres pudieron ver el Solredondo solamente porqueredondearon barro con sus manos.Con sus manos dieron forma a lapiedra, pulieron sus bordes, le dieronaspecto plano. (Mikhailov, 1980, p.199)

Esa experiencia sensual laboral queda fijadaen el lenguaje, el cual encarna así lossignificados originales, de manera que

el significado de la palabra “borde”,“plano”, “línea” no viene de unaabstracción de los aspectosgenerales de las cosas en el procesode contemplación (Mikhailov, ibid.)

sino de la actividad laboral que se pierde enlos orígenes de la humanidad. Lejos deentregarse de lleno a nuestros sentidos,nuestra relación con la naturaleza y el mundoestá filtrada por categorías conceptuales ysignificados culturales que hacen que

El hombre moderno puedacontemplar la naturaleza solamentea través del prisma de todas lashabilidades sociales de trabajo quehan sido acumuladas por suspredecesores. (Mikhailov, ibid.)

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Terminemos esta sección con unaobservación general sobre la evolución delos objetos matemáticos que seránecesaria para nuestra discusión sobre elaprendizaje. En el curso del tiempo, laactividad laboral va dejando su sello en susproductos conceptuales (Leontiev, 1993, p.100). Como todo objeto matemático, elconcepto de círculo, en tanto que reflexióndel mundo en la forma de la actividad delos individuos, ha sido expresado de otrasformas a lo largo de la historia. Por ejemplo,a través de una palabra, un dibujo, unafórmula, una tabla numérica. Cada una deesas expresiones ofrece un significadodiferente, que se amarra a los anteriores yviene a constituir como diría Husserl capasnoéticas del objeto. Como es la actividadde los individuos la que forma la raíz genéticadel objeto conceptual, el objeto posee unadimensión expresiva variada que va más alláde un simple contenido conceptual“científico”. Esta dimensión expresivaencierra igualmente aspectos racionales,estéticos y funcionales de su cultura.

3. Aprendizaje como objetivacióncultural del saber

3.1 Dos fuentes de elaboración designificados

En las secciones anteriores hemos visto que,desde el punto de vista filogenético, laactividad humana es generadora de losobjetos conceptuales, los cuales setransforman a raíz de cambios en lasactividades mismas. Desde el punto de vistaontogenético, el problema central es explicar

cómo se realiza la adquisición del saberdepositado en la cultura: este es un problemafundamental de la didáctica de lasmatemáticas en particular y del aprendizajeen general.

Las teorías clásicas de la didáctica de lasmatemáticas plantean el problema entérminos de una construcción o re-construcción del saber cultural por parte delalumno10. La idea de construcción del sabertiene su origen en la epistemología elaboradapor Kant en el siglo XVIII. Para Kant, elindividuo no es solamente un pensadorensimismado cuya actividad mental, si esbien realizada, lo llevará a las verdadesmatemáticas como sostenían losracionalistas (Descartes, Leibniz, etc.);tampoco es un individuo pasivo que recibelas informaciones sensoriales para formarideas, como proponían los empiristas (Hume,Locke, etc.). Para Kant el pensador es unser en acción: el individuo es el artesano desu propio pensamiento (esta idea kantianaes analizada en Radford, 2005). En realidadKant expresa de manera coherente yexplícita el cambio epistemomólogico que sevenía formando paulatinamente desde laaparición de la manufactura y la emergenciadel capitalismo en el Renacimiento y queArendt (1958) resume de la manerasiguiente: la era moderna es marcada porun desplazamiento en la concepción de loque significa saber; el problema central delconocimiento yace en un desplazamientoque va del qué (el objeto del saber) al cómo(el proceso), de suerte que, a diferencia delhombre del medioevo, el hombre modernopuede entender solamente aquello que élmismo ha hecho.

10 Naturalmente, hay matices diferentes, según la concepción que la teoría se hace del sujeto que aprende (esto es, del

alumno). Partiendo de una posición extrema, el constructivismo radical va más lejos que todas las formas de constructivismo.

Brousseau (2004) resume las dificultades a las que se enfrenta dicha teoría afirmando que “En didactique, le constructivisme

radical, est une absurdité”, y adopta un constructivismo piagetiano más moderado que, inevitablemente, lleva la teoría de

situaciones a una serie de paradojas.

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Para la teoría de la objetivación, elaprendizaje no consiste en construír oreconstruír un conocimiento. Se trata dedotar de sentido a los objetos conceptualesque encuentra el alumno en su cultura. Laadquisición del saber es un proceso deelaboración activa de significados. Es loque llamaremos más adelante un procesode objetivación. Por el momento, nosinteresa discutir dos fuentes importantesde elaboración de significados quesubtienden la adquisición del saber.

El saber depositado en los artefactos

Una de las fuentes de adquisición del saberresulta de nuestro contacto con el mundomaterial, el mundo de artefactos culturalesde nuestro entorno (objetos, instrumentos,etc.) y en el que se encuentra depositadala sabiduría histórica de la actividadcognitiva de las generaciones pasadas. Sibien es cierto que ciertos animales llegana utilizar artefactos, para el animal elartefacto no llega a adquirir unasignificación durable. El palo de maderaque el chimpancé utiliza para alcanzar unafruta pierde su significado luego que laacción ha sido ejecutada (Köhler, 1951).Es por eso que los animales no conservanartefactos. Además –y este es un elementofundamental de la cognición humana– alcontrario de los animales, el ser humanoes afectado profundamente por el artefacto:al contacto con éste, el ser humanoreestructura sus movimientos (Baudrillard,1968) y forma capacidades motrices eintelectuales nuevas, como la anticipación,la memoria, la percepción (Vygotsky yLuria, 1994).

El mundo de artefactos aparece, pues,como una fuente importante en el proceso

de aprendizaje, pero no es el único. Losobjetos no pueden hacer clara lainteligencia histórica encarnada en ellos.Para esto se requiere de su uso enactividades y del contacto con otraspersonas que saben “leer” esa inteligenciay ayudarnos a adquirirla. El lenguajesimbólico-algebraico quedaría reducido aun conjunto de jeroglíficos. La inteligenciade la que es portador dicho lenguajequedaría sin ser notada sin la actividadsocial realizada en la escuela. Es en estadimensión social que constituye para lateoría de la objetivación la segunda fuenteesencial del aprendizaje11.

La interacción social

Aunque la importancia de la dimensiónsocial ha sido subrayada por una infinidadde estudios recientes sobre la interacciónen el salón de clases, hay diferenciassutiles en cuanto a su aporte cognitivo(Cobb y Yackel,1996; Sierpinska, 1996;Steinbring, Bartolini Bussi y Sierpinska,1998;). A menudo, la interacción es vistacomo negociación de significados o comosimple ambiente que ofrece los estímulosde adaptación que requiere el desarrollocognitivo del alumno. El problema es queel individuo en general y el alumno enparticular no encuentran en la sociedad yen el salón de clases solamente unaespecie de muro con el que se topan y sefrotan para adaptarse; no se tratasolamente de condiciones “externas” a lasque el sujeto debe acomodar su actividad.El punto crucial es que las actividades, losmedios materiales que las mediatizan y susobjetivos están impregnados de valorescientíficos, estéticos, éticos, etc. quevienen a recubrir las acciones que realizanlos individuos y la reflexión que estas

La escuela histórico-cultural de Vygotsky ha expresado este punto de manera contundente. Ver por ejemplo Leontiev,

1993, pp. 58-59; 1968, pp. 27-29; Vygotsky, 1981b.

11

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acciones exigen. Tal como fue discutido enla primera parte de este artículo, las accionesque los individuos realizan están sumergidasen modos culturales de actividad. Es por esoque el salón de clases no puede verse comoun espacio cerrado, replegado en sí mismo,en el cual se negocian las normas del saber,pues esas normas tienen toda una historiacultural y como tal pre-existen a la interacciónque ocurre en el salón de clases. Tampocopuede verse como una especie de ambientebiológico en el que el individuo opera segúnsus mecanismos invariables de adaptacióngeneral.

En la perspectiva que estamos sugiriendo,la interacción desempeña un papel diferente.En lugar de desempañar una funciónmeramente de adaptación, de catalizadorao facilitadora, en la perspectiva teórica queestamos esbozando la interacción esconsustancial del aprendizaje.

Vemos, pues, que hay dos elementos quedesempeñan un papel básico en laadquisición del saber que son el mundomaterial y la dimensión social. La asignaciónde significados que reposa sobre esasdimensiones tiene una importanciapsicológica profunda en la medida en quees, a la vez, toma de conciencia de conceptosculturales y proceso de formación de lascapacidades específicas del individuo. Es poreso que, dentro de nuestra perspectiva,aprender no es simplemente apropiarse dealgo o asimilar algo, sino que es el procesomismo en que se forman nuestrascapacidades humanas.

3.2 La actividad de aprendizaje

Un elemento central en el concepto deactividad es el objetivo de la misma (Leontiev,1993). El objetivo puede ser, por ejemplo, quelos alumnos elaboren una fórmula algebraicaen el contexto de una generalizaciónaritmética, que aprendan un método

algebraico de resolución de problemas, queaprendan a demostrar proposicionesgeométricas, etc.. Aunque el objetivo es claropara el profesor, en general éste no lo espara los alumnos. Si el objetivo fuese claropar estos últimos, no habría nada poraprender.

Dentro del proyecto didáctico de la clase,para que dicho objetivo se pueda realizar, elprofesor propone a los alumnos una seriede problemas matemáticos. Resolver esosproblemas se convierte en fines que guíanlas acciones de los alumnos. Estosproblemas -cargados desde el principio conun contenido cultural y conceptual- formantrayectorias potenciales para alcanzar elobjetivo.

Debemos subrayar que, desde la perspectivade la teoría de la objetivación, hacermatemáticas no se reduce a resolverproblemas. Sin quitarle méritos al problemaen la formación del conocimiento (ver porejemplo Bachelard, 1986), para nosotros laresolución de problemas no es el fin sino unmedio para alcanzar ese tipo de praxiscogitans o reflexión cultural que llamamospensamiento matemático. De manera, pues,que detrás del objetivo de la lección, yaceun objetivo mayor y más importante, elobjetivo general de la enseñanza y elaprendizaje de las matemáticas, que es laelaboración por parte del alumno de unareflexión definida como relación común yactiva con su realidad histórico-cultural.

En otras palabras, aprender matemáticas noes simplemente aprender a hacermatemáticas (resolver problemas) sinoaprender a ser en matemáticas. La diferenciaentre hacer y ser es inmensa y, comoveremos más adelante, tiene consecuenciasimportantes no solamente en el diseño delas actividades sino en la organización mismade la clase y el papel que allí juegan alumnosy profesores.

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3.3 La objetivación del saber

En forma sucinta, el objetivo mayor de laenseñanza de las matemáticas es que elalumno aprenda a reflexionar de acuerdo conciertas formas culturales de pensamientohistóricamente constituidas que la distinguende otras formas de reflexión (por ejemplo detipo literario o musical) en la medida en queen la reflexión matemática, la relación delindividuo con el mundo enfatiza ideas entorno a la forma, el número, la medida, eltiempo, el espacio, etc. Es este énfasis el quedistingue el pensamiento matemático deotras formas de pensamiento.

Para conseguir ese objetivo, debemosrecurrir a la práctica, por la sencilla razón deque no disponemos de un lenguaje quepueda enunciar y capturar en el enunciado(en el sentido clásico del término, es decir,como conjunto articulado de sonidos vocales)el pensamiento matemático. No hay, enefecto, una formulación lingüística posible delpensamiento matemático de cuya lectura -por atenta que sea- pueda resultar lacomprensión de éste. El pensamiento, ya lohemos dicho (Radford, 2003b), está más alládel discurso: es una praxis cogitans, algo quese aprende haciendo.

La teoría de la objetivación no ve, sinembargo, dicho aprendizaje como simpleimitación o participación conforme a unapráctica ya establecida, sino como la fusiónentre una subjetividad que busca percibir eselingüísticamente inarticulable modo dereflexionar y este último que no puede sinomostrarse a través de la acción.

Sin duda, hay una relación estrecha entre elpensamiento matemático y sus objetos enel sentido en que estos objetos no puedenser percibidos sino a través de unpensamiento, el cual, a su vez, en elmomento de su constitución ontogenética,debe apuntar hacia uno o más de esos

objetos. ¿Pero cómo es esto posible? Paraconstituirse, el pensamiento parece suponerla existencia del objeto. Por otro lado, elobjeto no puede llegar a ser sin elpensamiento (entendido como praxiscogitans) que lo produce.

El misterio de esta relación se disuelve siregresamos a lo dicho en la primera partede este artículo. El objeto matemáticoconcebido como patrón o patrones fijosde actividad reflexiva incrustados en elmundo constantemente en cambio de lapráctica social no podrá ser percibido,sino es a través de la actividad reflexivamisma.

De allí que para llegar a conocer los objetosy productos del desarrollo cultural es“necesario realizar en torno a los mismosdeterminada actividad, es decir, unaactividad que produzca los rasgosesenciales de aquélla, encarnada,‘acumulada’ en dichos objetos.” (Leontiev,1968, p. 21)

La enseñanza consiste en poner y manteneren movimiento actividades contextuales,situadas en el espacio y el tiempo, que seencaminan hacia un patrón fijo de actividadreflexiva incrustada en la cultura.

Ese movimiento, que podría expresarsecomo el movimiento del proceso al objeto(Sfard, 1991; Gray y Tall, 1994), posee trescaracterísticas esenciales. Primero, el objetono es un objeto monolítico u homogéneo.Es un objeto compuesto de laderas degeneralidad (Radford, en prensa-1).Segundo, desde el punto de vistaepistemológico, dichas laderas serán máso menos generales de acuerdo con lascaracterísticas de los significados culturalesdel patrón fijo de actividad en cuestión (porejemplo, el movimiento kinestésico queforma el círculo; la fórmula simbólica que loexpresa como conjunto de puntos a igual

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distancia de su centro, etc.). Tercero, desdeel punto de vista cognitivo, dichas laderas degeneralidad son notadas de maneraprogresiva por el alumno. El “¡Aha!” que seconvirtió tan popular en parte gracias a lateoría de la Gestalt es a lo sumo cierto entanto que punto final de un largo proceso detoma de conciencia.

El aprendizaje consiste en aprender a notaro percibir esas laderas de generalidad. Comoel aprendizaje es re-flexión, aprender suponeun proceso dialéctico entre sujeto y objetomediatizado por la cultura, un proceso en elque, a través de su acción (sensorial ointelectual) el sujeto nota o toma concienciadel objeto.

La objetivación es, precisamente, eseproceso social de toma de concienciaprogresiva del eidos homérico, esto es, dealgo frente a nosotros una figura, una formaalgo cuya generalidad notamos gradualmente,al mismo tiempo que la dotamos de sentido.Es ese notar que se desvela en el gesto quecuenta o que señala, notar que se descubreen la intención que se plasma en el signo oen el movimiento kinestésico que mediatizael artefacto en el curso de la actividad prácticasensorial, algo susceptible de convertirse enacción reproducible, cuyo significado apuntahacia ese patrón eidético fijo de accionesincrustadas en la cultura que es el objetomismo12.

4. El salón de clases como comunidadde aprendizaje

4.1 Ser-con-otros

El salón de clases es el espacio social en

donde el alumno elabora esa reflexióndefinida como relación común y activa consu realidad histórico-cultural13. Es aquí endonde ocurre el encuentro del sujeto y elobjeto del saber. La objetivación que permitedicho encuentro no es un proceso individual,sino social. La sociabilidad del proceso,empero, no debe ser entendida como simpleinteracción de negocios, una especie dejuego entre adversarios capitalistas en el quecada uno invierte bienes con la esperanzade terminar con más. La sociabilidad significaaquí el proceso de formación de laconciencia, que Leontiev caracterizaba comoco-sapiencia, es decir, saber en común osaber-con-otros.

Naturalmente, estas ideas implican unareconceptualización del alumno y su papelen el acto de aprendizaje. En la medida enque las teorías contemporáneas de ladidáctica de las matemáticas se amparan delconcepto de individuo formulado por Kant yotros filósofos del Siglo de las Luces, laeducación se justifica en tanto que éstaasegura la formación de un sujeto autónomo(entendida en el sentido de ser capaz dehacer algo por sí mismo, sin ayuda de losdemás). La autonomía es, en efecto, un temacentral de la educación moderna que haservido de fundamento a las teorizacionesdel socioconstructivismo (ver, por ejemplo,Yackel and Cobb, 1996) y de la teoría desituaciones (Brousseau, 1986; Brousseau yGibel, 2005, p. 22). El racionalismo que pesasobre este concepto de autonomía viene desu alianza con otro concepto clave kantiano:el de la libertad. No puede haber autonomíasin libertad, y la libertad significa el usoconveniente de la Razón según sus propiosprincipios, pues “no vemos los principios sinoa través de la razón” (Kant, 1980, p. 119).

Ver Radford, 2002, 2003c, 2004.

El término elaborar debe ser entendido en su sentido etimológico medieval, como –labMrtus (de ex-labMrre), es decir

de labor o trabajo sensual conjunto.

12

13

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Como el Siglo de las Luces no se planteóla posibilidad de una multiplicidad derazones, sino que postuló la razónoccidental como la razón, la convivenciaen comunidad implica el respeto a un deberque, en el fondo, no es sino unamanifestación de esa razón universal, cuyoepitome son las matemáticas. Es esasupuesta universalidad de la razón la quelleva a Kant a fusionar las dimensionesética, política y epistemológica, y a afirmarque “hacer algo por deber es obedecer ala razón.” (Kant, 1980, p. 129).

Para la teoría de la objetivación, elfuncionamiento del salón de clases y elpapel del profesor no se limitan a buscarel logro de la autonomía. Más importantees aprender a vivir en la comunidad quees el salón de clases (en un sentidoamplio), aprender a estar con otros, abrirsea la comprensión de otras voces y otrasconciencias, en pocas palabras, a ser-con-otros (Radford, en prensa-2).

Como “lo social es irreducible a losindividuos, por muy numerosos que éstossean” (Todorov, 1984, p. 19), la sociabilidaddel salón de clases significa una unión através de vínculos y relaciones que sonprerrequisitos de esa reflexión que hemosmencionado anteriormente, definida comorelación común y activa que elabora elalumno con su realidad histórico-cultural.Esa sociabilidad no solamente deja suhuella en el contenido conceptualperseguido, sino que es consustancial deéste.

La naturaleza intrínsicamente social delsaber y del pensamiento matemático nosha llevado, pues, a concebir la sala de clasecomo una comunidad de aprendizaje, cuyofuncionamiento está orientado a laobjetivación del saber. Sus miembrostrabajan de forma que:

• la comunidad permite la realizaciónpersonal de cada individuo;

• cada miembro de la comunidad tienesu lugar;

• cada miembro es respetado;

• cada miembro respeta los otros y losvalores de su comunidad;

• la comunidad es flexible en las ideasy sus formas de expresión;

• la comunidad abre espacio a lasubversión a fin de asegurar:

– la modification,

–el cambio

–y su transformación

Ser miembro de la comunidad no es algoque va de sí. Para ser miembro, losalumnos son alentados a:

• compartir los objetivos de lacomunidad;

• implicarse en las acciones del salónde clases;

• comunicar con los otros.

Queremos insistir en que los lineamientosanteriores no son simplemente códigos deconducta, sino, al contrario, son índices deformas de ser en matemáticas (y porconsiguiente de saber matemáticas) en elsentido más estricto del término.

Para resumir las ideas anteriores,subrayemos el hecho de que, para la teoríade la objetivación, la autonomía no essuficiente para dar cuenta de la forma deser en matemáticas. El alumno queresuelve con éxito problemas, pero que esincapaz de explicarse o de entender ointeresarse en las soluciones de los otroso de ayudar a los otros a comprender lasuya está apenas a medio camino de lo

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que entendemos por éxito en matemáticas.Es por eso que el profesor dispone de unaserie de acciones de inclusión. Estasacciones son concebidas de manera queel alumno que resuelve correctamenteproblemas matemáticos sin poder atendera la dimensión interpersonal de lacomunidad gane poco a poco su espacioen la misma14. La idea de autonomía comoser autosuficiente es remplazada por laidea de ser-con-otros. En vez de concebirla clase como espacio de negociaciónpersonal de significados o como medio queenfrenta al alumno, la clase colabora ycoopera con el alumno para que éste seconvierta en parte de la comunidad.

4.2 Tres fases de la actividad del salónde clases

El trabajo en pequeños grupos

Para implementar la comunidad deaprendizaje, el profesor favorece el trabajoen pequeños grupos, los cuales pueden,en el curso de la lección de matemáticasintercambiar ideas con otros grupos. Deesa cuenta, la ingeniería didáctica(Artigue, 1988) no se limita al diseño delos problemas matemáticos sino incluyeuna gest ión del salón de clasesoperacional con los principios comunitariosmencionados anteriormente.

En cada pequeño grupo, los alumnos seapoyan mutuamente para alcanzar lasolución de los problemas que se les hadado. Los alumnos y el profesor estánconscientes de que hay diferenciasindividuales que llevan a formas diferentesde participación. Incluso participaciones

Ver nuestro libro, Communication et apprentissage (Radford y Demers, 2004).14

que parecen “menos profundas” (como lasparticipaciones periféricas, en el sentidode Lave y Wenger, 1991) sonbienvenidas, a condición de que elalumno en cuestión esté-con-su-grupo,esto es, que el alumno por ejemplo estéatento a lo que el grupo está discutiendo,solicite explicaciones que le permitanseguir la discusión y las acciones,colabore con su grupo, etc.

El profesor debe proponer tareas yproblemas que conlleven a la objetivacióndel saber. Ciertas condiciones deben sercumplidas. Por ejemplo, para manteneruna ref lexión sostenida entre losmiembros del grupo, con el profesor yluego con otros grupos, los problemasdeben ser suficientemente complejospara favorecer la aparición de diversasformas de abordar el problema yengendrar así la discusión.

En nuestro modelo, el profesor circula entrelos grupos y discute con los alumnos.Aunque en general el profesor deja a losalumnos discutir entre ellos sin intervenirinnecesariamente, éste va intervenir enmomentos en que, por ejemplo, cree quela discusión se ha estancado o que losalumnos no han ido suficientemente lejoscomo se esperaba.

Para ilustrar estos principios, veamos unextracto de una lección sobre lainterpretación del movimiento en unaclase de décimo grado (15-16 años). Lalección incluía un artefacto que mide ladistancia a un objeto a través de la emisión-recepción de ondas (Calculador BasedRanger o CBR; ver figura 4).

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Figure 4. El Calculator Based Ranger® (a laizquierda) es un artefacto concebido paraestudiar los objetos en movimiento: a través dela emisión de ondas, el CBR recoge datos desu distancia al objeto en cuestión. Al conectarsea una calculadora gráfica (por ejemplo, TI-83+®,mostrada a la derecha), es posible obtenergráficas espacio-tiempo, velocidad-tiempo, etc.

Los alumnos habían empezado a utilizarel CBR en noveno grado. El enunciado deuno de los problemas dado a los alumnosfue el siguiente:

Dos alumnos, Pierre et Marthe, secolocan a una distancia de un metroy empiezan a caminar en línea recta.Marthe, que está detrás de Pierre,lleva una calculadora conectada a unCBR. El gráfico obtenido se encuentrareproducido abajo. Describan cómoPierre y Marthe han podido hacer paraobtener ese gráfico.

t

d

A

B C

D

En el problema que seguía en el diseñode la actividad, los alumnos debíanverificar su hipótesis, efectuando lamarcha en uno de los corredores de laescuela.

Como de costumbre, los alumnostrabajaron en pequeños grupos de 3. Enlos problemas anteriores, los alumnoshabían sido confrontados con situacionesde movimiento en las que uno de los dos,el CBR o el objeto, quedaban fijos. Eneste caso, los dos están en movimiento.Como esperábamos, las dificultadesconceptuales fueron importantes. Engeneral, los alumnos transformaban elenunciado del problema en uno que podíanresolver: los alumnos suponían que Martheno se mueve. Esto queda ilustrado a travésde la discusión que tuvieron Samuel, Carlay Jenny de la cual reproducimos acontinuación algunas partes:

1.Samuel: Ok, Pierre se mueve despaciode « A » a « B » … Se detuvo algunossegundos (ver figura 5, foto 1), luegocorrió a D (figura 5, foto 2).

2.Carla: Ah, Sí! caminó, se detuvo, corrió.

3.Jenny: Mm-hmm.

4.Samuel: Espera, espera un segundo…[Pierre] regresó verdaderamenterápido.

5.Carla: Es cierto. Empezó despaciodespués (inaudible) luego se detuvo,luego corrió.

6.Samuel: Sí, hacia atrás.

7.Jenny: (dirigiéndose a Carla) Sí, haciaatrás, porque [el segmento] baja(haciendo un gesto hacia abajo con lamano; ver figura 5, foto 3).

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Foto 1: …Se detuvo algunossegundos …(línea 1).

Foto 2: … luego corrió a D (línea 1).

Foto 3: porque [el segmento] baja.

Figura 5. Fotos 1 a 3.

Nuestro interés aquí no es entrar en unanálisis de errores, sino de mostrarelementos del proceso social deobjetivación del saber. Conviene notar, aese respecto, que no consideramos laintervención de Carla en la línea 2 comosimple réplica o imitación de la preposiciónenunciada por Samuel en la línea 1. Desde

la perspectiva de la objetivación, Carla seapropia la interpretación del fenómeno quele es ofrecida por Samuel. La apropiaciónpasa por una verbalización que Carlareformula en términos más breves (porejemplo, no hay alusión a las letras A, B.etc.). La preposición de Samuel y elmovimiento gestual hechos con la plumasobre el gráfico son para Carla la materiaprima a partir de la cual ella alcanza a veralgo que antes no veía.

Si Samuel ofrece a Carla acceso a unaprimera interpretación del problema (porrudimentaria que ésta sea), a su vez, lareformulación de Carla permite a Samueldarse cuenta de que hay algo importanteque ha quedado sin atenderse: que, paradar cuenta de la diferencia de inclinacionesde los segmentos, en la historia delproblema Pierre ha debido regresar“verdaderamente rápido” (línea 4). Carlareformula de nuevo la idea y, en la línea 6,Samuel insiste en que Pierre nosolamente ha debido correr más rápido,sino en cierta dirección (“hacia atrás”).En la línea 7, haciendo un gesto con lamano (ver Figura 5, foto 3), Jennypropone una razón.

Los alumnos continúan discutiendo por unbuen momento. La interpretación obtenidano convence a Carla y a Jenny, pues éstaasume que Marthe no camina.

La discusión continúa entre ellos:

8.Jenny: No … heuu… ¡(los dos) tienenque caminar!

9.Samuel: Si ella hiciera eso [es decir,caminara] exactamente a la mismadistancia [de Pierre] … como si ellahiciera esto (ver el gesto en la figura6), sería una línea plana [es decirhorizontal] (…) por lo tanto ¡ella debequedarse quieta y él debe moverse!

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10.Jenny: ¡Pero eso [el enunciado delproblema] dice que los dos caminan!(…)

11.Samuel: (después de un momento desilencio) Talvez ella camina, pero élcamina un poco más rápido que ella.

Figura 6. Para simular el caso en que Pierrey Marthe caminan,Samuel desplaza en formacontinua las manos de derecha a izquierda,

dejándolas a la misma distancia.

En este momento, la descripción delmovimiento deja de ser la descripciónrespecto a un punto fijo y alcanza ladescripción del movimiento relativo. Através de ese intercambio, los alumnosconsiguen acercarse un poco más a laforma cultural de reflexión vehiculado porla actividad. Será necesaria la expresióncorporal con el CBR y simbólica delmovimiento (a través de la experiencia

física en el corredor de la escuela y luegoel cálculo de las ecuaciones de lossegmentos) para que los alumnosalcancen una objetivación mayor.

Intercambio entre pequeños grupos

Las ref lexiones producidas por lospequeños grupos son, a menudo, objetode intercambio. Un grupo puedeintercambiar sus soluciones con otrogrupo con el fin de entender otros puntosde vista y mejorar los propios. La figura7 muestra el encuentro de dos grupos dealumnos sobre el problema de Pierre yMarthe. Los grupos llegaron a un puntoen que un acuerdo era imposible. Marc ysu grupo planteaban la explicación entérminos de cambios de velocidad. Porel contrario, Dona y su grupo afirmabanque la velocidad de Pierre con relación aMarthe es constante. Ante laimposibi l idad de poder l legar a unconsenso, los alumnos optaron porllamar a la profesora. En la figura 7, Marc(a la izquierda) explica su razonamientoa la profesora (de píe, detrás de losalumnos):

1.Marc: ¿Y si los dos comienzan a lamisma velocidad, luego él empieza acorrer más rápido? (Marc apoya suargumento con un gesto de manos)

2.Profesora: ¿Tú supones que elmuchacho [Pierre] camina cada vezmás rápido?

3.Dona: (oponiéndose a la idea) ¡Lavelocidad es constante! (…)¡No haycurvas! Eso quiere decir que él [Pierre]camina la misma distancia porsegundo.

121

Relime

Figura 7. Arriba, la discusión entrelos Grupos. Abajo, Marc explica la

solución de su grupo a la profesora,que aparece en la foto de píe, entre

Marc y Dona.

La profesora sugiere a los alumnos pensaren la situación de dos móviles que viajan a80 k/h y 100 k/h. Marc se da cuenta de queel aumento de distancia no significanecesariamente un aumento de velocidad.La profesora se cerciora de que los otrosalumnos del grupo de Marc hayan entendidola diferencia (dice, por ejemplo: “tú, Edgar¿qué piensas ahora?”) y aprovecha lascircunstancias para hacer reflexionar a losalumnos sobre el efecto en las gráficas quetendría un movimiento de velocidad queaumenta, como Marc proponía en la línea 1.

En este caso, los alumnos notan lasdiferencias entre los argumentos einterpretaciones. Sin embargo, muchasveces los alumnos no se dan cuenta de quelos argumentos presentados son diferenteso tienden a minimizar las diferencias. Unade las dificultades en la adquisición deformas de reflexión matemática es el de

notar las diferencias entre los argumentos.Naturalmente, tanto en un caso como en elotro, el profesor desempeña un papel crucial.En los dos casos, el profesor entra en la zonade desarrollo próximo del grupo. Lo que esmás importante es que el profesor no entraa esa zona de manera neutra, sino con unproyecto conceptual preciso.

Discusiones generales

La discusión general es otra manera deintercambiar ideas y discutirlas. Es otromomento que posee el profesor para lanzarla discusión en puntos que requieren mayorprofundidad de acuerdo con los estándarescurriculares. Por ejemplo, durante ladiscusión general del problema de Pierre yMarte, la profesora aprovecha para subrayaralgo sobre lo cual no todos los grupos habíanrecapacitado, a saber que la posición delsegmento BC no significa necesariamenteque Pierre y Marthe están detenidos ni quela posición del segmento CD significanecesariamente que Pierre camina en ladirección de Marthe. En la figura 8, dosalumnos ejecutan la marcha frente a toda laclase, mientras Susan, la tercera alumna deese grupo (no visible en la foto), explica atoda la clase:

1.Susan : Hem, la persona que estabaenfrente caminaba más rápido que la queestaba atrás, eso lograba una distanciamayor entre el CBR y el punto objetivo.Luego … hem… en seguida B y C ennuestro diagrama [Pierre y Marthe]caminaban a la misma velocidad, portanto había la misma distancia entre ellos.Luego, … ¿tú?

2.Profesora :Sí, ¡continua!

3.Susan: luego … hem … al final, lapersona que estaba atrás camina másrápido para acercarse a la persona queestaba adelante (ver figura 8).

122


Figura 8. El alumno que camina atrás se

acerca al otro alumno

Síntesis

Algunas teorías de la didáctica de lasmatemáticas han excluido intencionalmentelos aspectos psicológicos del aprendizaje yse han ocupado de las situacionesmatemáticas que pueden favorecer laemergencia de razonamientos matemáticosprecisos. Tal es el caso de la teoría desituaciones. Por el contrario, otras teorías sehan detenido en los mecanismos denegociación de significados en el aula y lamanera en que esa negociación explica laconstrucción de representaciones que sehace el alumno del mundo. Tal es el casodel socio-constructivismo. La deudaintelectual que tiene la teoría de laobjetivación con esas teorías es inmensa,y nuestras referencias a ellas no deben servistas negativamente. Dichas teoríasaparecen sustentadas por principiosfundamentales y operacionales claros queles confieren una solidez impecable. Sinembargo, la teoría de la objetivación partede otros principios. Por un lado, ésta partede la idea de que la dimensión psicológicadebe ser objeto de estudio de la didácticade las matemáticas. Por otro lado, sugiereque los significados que circulan en el aula

no pueden ser confinados a la dimensióninteractiva que ocurre en el aula misma,sino que tienen que ser conceptualizadosen el contexto de su dimensión histórico-cultural.

De esa cuenta, la teoría de la objetivaciónpropone una didáctica anclada enprincipios en los que el aprendizaje es vistoen tanto que actividad social (praxiscogitans) arraigada en una tradicióncultural que la antecede. Sus principiosfundamentales se articulan alrededor decinco conceptos relacionados entre sí.

El primero es un concepto de ordenpsicológico: el concepto de pensamiento,elaborado en términos no mentalistas.Hemos propuesto que el pensamiento essobre todo una forma de re-flexión activasobre el mundo, mediatizada porartefactos, el cuerpo (a través de lapercepción, gestos, movimientos, etc.), ellenguaje, los signos, etc. Este concepto dere-flexión difiere del concepto idealista yracionalista en el que la reflexión “no esotra cosa que una atención a aquello queya está en nosotros” (Leibniz, 1966, p. 36),y que la psicología cognitivacontemporánea llama a menudo meta-cognición. Para la teoría de la objetivación,la re-flexión es un movimiento dialécticoentre una realidad constituida histórica yculturalmente y un individuo que la refracta(y la modifica) según las interpretacionesy sentidos subjetivos propios. Dichaconcepción se inscribe en una

forma peculiar de cognición en laque el acto del conocimiento alteralo que busca. Al tratar deentenderme yo mismo y micondición, no puedo nuncaquedarme idéntico a mí mismo,pues el yo que estaba entendiendoal igual que el yo entendido sonahora diferentes de lo que eran

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Relime

antes. Y si quisiera entender todoesto, todo este proceso sería denuevo puesto en marcha (…) Comoeste saber también mueve a la gentea cambiar sus condiciones demanera práctica, éste se vuelve unaespecie de fuerza política y social,una parte de la situación materialexaminada y no mera reflexion[contemplativa] sobre algo.(Eagleton, 1997, p. 4)

El segundo concepto de la teoría es deorden socio-cultural. Es el concepto deaprendizaje. El aprendizaje es visto comola actividad a través de la cual los individuosentran en relación no solamente con elmundo de los objetos culturales (planosujeto-objeto) sino con otros individuos(plano sujeto-sujeto o plano de lainteracción) y adquieren, en el seguimientocomún del objetivo y en el uso social designos y artefactos, la experiencia humana(Leontiev, 1993).

Este concepto socio-cultural se imbricainmediatamente con otro –el tercerconcepto de la teoría– de naturalezaepistemológica. Como toda actividad, elaprendizaje está enmarcado por sistemassemióticos de significación cultural que“naturalizan” las formas de cuestionamientoy de investigación del mundo. Aristóteleshubiese probablemente incitado a nuestrosalumnos a plantear y a estudiar el problemade Pierre y Marthe en términos diferentes,dado que dentro del marco aristotélico dereferencia, no son el tiempo y el espaciolos que describen al movimiento sino, alcontrario, el tiempo es un derivado delmovimiento15. Nuestros alumnos

“We take cognizance of time, when we have defined the movement by defining the before and after; and only then we

say that time has been (has elapsed) when we perceive the before and after in the movement…for, when we think

[noesomen] that the extremities are other than the middle, and the soul pronounces the present/instants [nun] to be two,

the one before, the other after, it is only then that we say that this is time” (Physics IV, 11, 219a 22-25; 26-29).

15

pertenecen a una cultura en donde lamedida del tiempo se ha vueltoomnipresente, midiendo no sólo elmovimiento sino la labor humana, elcrecimiento del dinero (tazas de interés),etc., una cultura en donde

La temporalidad de la experiencia–esta noción del tiempo como elmarco dentro del cual las formas devida se encuentran inmersas yllevan su existencia– es lacaracterística del mundo moderno.(Bender y Wellbery, 1991, p.1)

Los conceptos anteriores permitenreformular, en términos generales, elaprendizaje de las matemáticas como laadquisición comunitaria de una forma dereflexión del mundo guiada por modosepistémico-culturales históricamenteformados.

Ahora bien, como el aprendizaje essiempre acerca de algo, los conceptosanteriores vienen a ser completados porun cuarto concepto de naturalezaontológica –el de objetos matemáticos, quehemos definido como patrones fijos deactividad reflexiva incrustados en el mundoconstantemente en cambio de la prácticasocial mediatizada por los artefactos.

Para volver operacional la teoría en suvertiente ontogenética, fue necesariointroducir un quinto concepto de naturalezasemiótico-cognitiva –el de objetivación otoma de conciencia subjetiva del objetocultural. En este contexto, y a la luz de losconceptos fundamentales anteriores, elaprendizaje se define como proceso social

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de objetivación de esos patrones externosde acción fijos en la cultura.

Desde el punto de vista metodológico,nuestro concepto no mentalista niracionalista del pensamiento nos conducea prestar atención a los medios semióticosde objetivación que utiliza el alumno en unesfuerzo que es, a la vez, elaboración designificados y toma de conciencia de losobjetos conceptuales. Las fotos que hemosincluido no tienen como fin “embellecer eltexto” sino, precisamente, mostrar algunosde esos medios semióticos de objetivación,como los gestos, el lenguaje, los símbolos.Gestos, lenguaje, símbolos, se conviertenasí en constituyentes mismos del actocognitivo que posiciona el objetoconceptual no dentro de la cabeza sino enel plano social. Los cortos ejemplos del

Ejemplos detallados pueden encontrarse en Radford, 2000, 2003c; Radford, Bardini y Sabena, 2005; Sabena, Radford

y Bardini, 2005.

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Finalmente, nuestra posición teóricarespecto al aprendizaje conlleva a unreplanteamiento del concepto del individuoque aprende. Como lo hemosmencionado, el concepto de individuo dela era moderna que aparece con laemergencia del capitalismo en los siglosXV y XVI, está fundamentado en elconcepto de autonomía y de libertad. Lateoría de la objetivación parte de otro puntoy ofrece un concepto diferente: el individuoes individuo en tanto que es ser-con-otros.

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Luis RadfordUniversité LaurentienneCanada


Relime130

131

Análisis ontosemiótico de una lección

sobre la suma y la resta

Juan D. Godino 1

Vicenç Font 2

Miguel R. Wilhelmi 3

RESUMEN

En este trabajo aplicamos algunas nociones del enfoque ontosemiótico de la cognicióne instrucción matemática al análisis de una lección sobre la suma y la resta de un librode 5º grado de educación primaria del estado español. La finalidad es doble: (1) ilustrarla técnica de análisis de textos matemáticos propuesta por el enfoque ontosemiótico dela cognición matemática y (2) identificar criterios de idoneidad de unidades didácticaspara el estudio de las estructuras aditivas en educación primaria. Los resultados obtenidospueden ser de utilidad para la formación de profesores de matemáticas.

PALABRAS CLAVE: Idoneidad didáctica, conflictos semióticos, análisis textosmatemáticos, formación profesores.

ABSTRACT

In this paper, we apply some theoretical notions of the onto-semiotic approach tomathematical cognition and instruction to analyse a lesson on addition and subtractiontaken from a Spanish textbook directed to the fifth grade in primary education. Our aimsare: (1) to illustrate a technique for analysing mathematics textbooks based on the onto-semiotic approach, and (2) to identify suitability criteria for developing didactical units tostudy the additive structures in primary education. The results obtained might be usefulin the training of prospective mathematics teachers.

KEY WORDS: Didactical aptitude, semiotic conflicts, analysis of mathematicaltexts, teachers training.

Fecha de recepción: Enero de 2006/ Fecha de aceptación: Mayo de 2006

Universidad de Granada.

Universidad de Barcelona.

Universidad Pública de Navarra.

Relime Número, Especial, 2006, pp. 131-155.

1

2

3

RESUMO

Neste trabalho aplicamos algumas noções do enfoque ontosemiótico da cognição einstrução matemática al análise de uma lição sobre a soma e a divisão de um livro do

Relime

ensino fundamental do estado espanhol. A finalidade é dupla: (1) ilustrar a técnica deanálise de textos matemáticos proposta pelo enfoque ontosemiótico da cogniçãomatemática e (2) identificar critérios de idoneidade de unidades didáticas para o estudodas estruturas aditivas na educação fundamental. Os resultados obtidos podem ser deutilidade para a formação de professores de matemáticas.

PALAVRAS CHAVE: Idoneidade didática, conflitos semióticos, análise textosmatemáticos, formação professores.

RÉSUMÉ

Dans cet article nous appliquons quelques notions théoriques de l’approche onto-sémiotique à la cognition et à l’instruction mathématique pour analyser une leçon surl’addition et la soustraction tirée d’un manuel scolaire espagnol de la cinquième année.Nos objectifs sont : (1) d’illustrer une technique pour analyser des textes scolaires baséesur l’approche onto-sémiotique; et (2) d’identifier des critères souhaitables pour ledéveloppement d’unités didactiques pour l’étude des structures additives dans l’éducationprimaire. Les résultats obtenus pourraient être utiles dans la formation des futursenseignants en mathématiques.

MOTS CLÉS: Aptitude didactique, conflits sémiotiques, analyse textesmathématiques, formation des enseignants.

132

1. Introducción

Como afirman Hiebert, Morris y Glass(2003), un problema persistente eneducación matemática es cómo diseñarprogramas de formación que influyansobre la naturaleza y calidad de la prácticade los profesores. La ausencia de efectossignificativos de los programas deformación de profesores en dicha prácticase puede explicar, en parte, “por la faltade un conocimiento base ampliamentecompartido sobre la enseñanza y laformación de profesores” (p. 201). El saberdidáctico que progresivamente vaproduciendo la investigación en educaciónmatemática queda reflejado en diversasfuentes dispersas y heterogéneas(revistas, monografías de investigación,etc.), pero de manera más accesible a losprofesores se refleja en los libros de textoescolares. Los libros de texto escolares

constituyen la fuente inmediata donde seacumula la experiencia práctica de losprofesores y, en cierta medida, losresultados de la investigación. Enconsecuencia, el análisis crítico de lostextos escolares, la evaluación de supertinencia, idoneidad, adecuación, etc.debe ser un componente importante en losprogramas de formación de profesores dematemáticas.

La preparación de programas deformación puede ser más efectivacentrándola en ayudar a los estudiantesa que adquieran las herramientas quenecesitarán para aprender a enseñar,en lugar de competencias acabadassobre una enseñanza efectiva. (Hiebert,Morris y Glass, 2003, p. 202)

Pensamos que entre estas herramientas


deben figurar los criterios para analizar lapropia práctica docente y las lecciones delos textos escolares como fuente próximapara el diseño de unidades didácticas.

Dado que el uso de las leccionespropuestas en los libros de texto (o en unformato virtual multimedia) es una decisiónimportante, ya que en gran medidacondiciona el proceso de estudio del tema,los profesores deben tener conocimientosbásicos que les permitan evaluar lascaracterísticas de las lecciones paraseleccionar (o elaborar) las másadecuadas y adaptarlas al nivel educativocorrespondiente. Consideramosimportante introducir en la formación(inicial y continua) de profesores dematemáticas criterios para valorar laidoneidad de los procesos de estudiomatemático, tanto si son basados en el usode libros de texto, como si se trata deprocesos apoyados en el uso de materialesy documentos de trabajo elaborados porel propio profesor.

En este artículo vamos a utilizar algunasherramientas del “enfoque ontosemióticode la cognición e instrucción matemática”(EOS) desarrollado por Godino ycolaboradores (Godino y Batanero, 1994;Godino, 2002; Godino, Batanero y Roa,2005; Contreras, Font, Luque y Ordóñez,2005; Font y Ramos, 2005; Godino,Contreras y Font, en prensa; etc.) paravalorar la idoneidad de un textomatemático escolar. En este marco teóricose postula que la idoneidad global de unproceso de enseñanza-aprendizaje sedebe valorar teniendo en cuenta los cincocriterios siguientes (Godino, Contreras yFont, en prensa):

Idoneidad epistémica se refiere algrado de representatividad de lossignificados institucionalesimplementados (o pretendidos),respecto de un significado dereferencia4. Por ejemplo, laenseñanza de la adición en laeducación primaria actual puedelimitarse al aprendizaje de rutinas yejercicios de aplicación de algoritmos(baja idoneidad), o tener en cuentalos diferentes tipos de situacionesaditivas e incluir la justificación de losalgoritmos (alta idoneidad).

Idoneidad cognitiva expresa el gradode proximidad de los significadosimplementados respecto de aquéllosque son personales iniciales de losestudiantes o, de maneraequivalente, la medida en que el“material de aprendizaje” esté en lazona de desarrollo potencial(Vygotsky, 1934) de los alumnos yalumnas.

Un proceso de enseñanza-aprendizaje con un alto grado deidoneidad cognitiva sería, en elestudio las operaciones aritméticascon números de tres o más cifras, queel profesor realizara una evaluacióninicial para saber si los alumnosdominan los números de uno y doscifras y, en caso de no ser así,comenzara el proceso de instruccióntrabajando dichos números.

Idoneidad semiótica. Un conflictosemiótico es cualquier disparidad odiscordancia entre los significadosatribuidos a una expresión por dos

Chevallard (1991) considera que todo proceso de enseñanza-aprendizaje comporta la transposición del saber: Saber

sabio Saber a enseñar Saber enseñado. La noción de idoneidad epistémica puede ser reinterpretada en términos

transpositivos de la siguiente forma: grado de representatividad del saber enseñado respecto del saber a enseñar.

4

→ →

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sujetos (personas o instituciones) eninteracción comunicativa. Unproceso de enseñanza-aprendizajees idóneo desde el punto de vistasemiótico si las configuraciones ytrayectorias didácticas (Godino,Contreras y Font, en prensa)permiten, por una parte, resolverconflictos semióticos potenciales(que se puedan detectar a priori), ypor otra parte permitan resolver losconflictos que se producen duranteel proceso de instrucción (mediantela negociación de significados). Porejemplo, un proceso de estudiorealizado de acuerdo con unasecuencia de situaciones de acción,formulación, validación einstitucionalización (Brousseau,1997) tiene potencialmente mayoridoneidad semiótica que un procesomagistral que no tenga en cuenta lasdificultades de los estudiantes.

Idoneidad mediacional, grado dedisponibilidad y adecuación de losrecursos materiales y temporalesnecesarios para el desarrollo delproceso de enseñanza-aprendizaje.Si el profesor y los alumnos tuvierana su disposición medios informáticospertinentes al estudio del tema encuestión (Cabri-géomètre, p.e., parala geometría plana), el proceso deestudio que se apoye en estosrecursos tendría mayor idoneidadmediacional que otro tradicionalbasado exclusivamente en la pizarra,lápiz y papel. Asimismo, un ejemplode un proceso de enseñanza-aprendizaje con un alto grado deidoneidad mediacional con relacióna los medios temporales sería unaclase magistral, donde el profesorreproduce de manera íntegra y sininteracción con los estudiantes elsignificado pretendido.

Idoneidad emocional, grado deimplicación (interés, motivación, …)del alumnado en el proceso deestudio. La idoneidad emocional estárelacionada tanto con factores quedependen de la institución como deaquéllos que dependen básicamentedel alumno y de su historia escolarprevia. Por ejemplo, tendránidoneidad emocional alta losprocesos basados en el uso desituaciones-problemas que sean deinterés para los estudiantes.

Como se puede deducir de los ejemplospropuestos, la idoneidad de una dimensiónno garantiza la idoneidad global delproceso de enseñanza-aprendizaje. Estasidoneidades deben ser integradasteniendo en cuenta las interacciones entrelas mismas, lo cual requiere hablar de laidoneidad didáctica como criterio sistémicode adecuación y pertinencia respecto delproyecto educativo global (Godino,Wilhelmi y Bencomo, 2005).

En la siguiente sección presentamosbrevemente algunos de los constructos delEOS que nos permitirán fundamentar loscriterios de análisis y valoración de unalección de un libro de texto. Estos criteriosserán aplicados al análisis de una lecciónsobre la suma y la resta de un libro de textopara 5º grado de educación primaria(Ferrero y cols., 1999).

2. Herramientas teóricas delenfoque ontosemiótico

Para poder valorar la idoneidad epistémicade un proceso de instrucción realmenteimplementado, o bien de un proceso deinstrucción planificado en un libro de texto,es necesario establecer un “significado dereferencia” que sirva de comparación. Este


significado de referencia se interpreta enel EOS en términos de sistemas deprácticas (operativas y discursivas)compartidas en el seno de una instituciónpara la resolución de una cierta clase desituaciones-problemas.

Para la realización y evaluación decualquier práctica es necesario activar unconglomerado formado por algunos (otodos) de los siguientes elementos:lenguaje, situaciones, reglas (conceptos,proposiciones, procedimientos) yargumentos. A este conglomerado deobjetos se le llama configuración. Estasconfiguraciones pueden ser cognitivas(conglomerado de objetos personales) oepistémicas (conglomerado de objetosinstitucionales) según que se considerela práctica desde la perspectiva personalo institucional. A su vez, estasconfiguraciones son emergentes de lasprácticas realizadas para resolver uncampo de problemas.

Los objetos matemáticos que intervienenen las prácticas matemáticas y losemergentes de las mismas, según el juegode lenguaje en que participan(Wittgenstein, 1953) pueden serconsiderados desde las siguientesdimensiones duales: personal-institucional,elemental-sistémico, expresión-contenido,ostensivo-no ostensivo y extensivo-intensivo (Godino, 2002).

Personal-institucional: si los sistemasde prácticas son compartidos en elseno de una institución, los objetosemergentes se consideran “objetosinstitucionales”, mientras que si estossistemas son específicos de unapersona se consideran como “objetospersonales” (Godino y Batanero, 1994).

Ostensivo-no ostensivo.Los objetosinstitucionales y personales se pueden

considerar como objetos no-ostensivos. Ahora bien, cualquiera deestos objetos se usa en las prácticaspúblicas por medio de sus ostensivosasociados (notaciones, símbolos,gráficos, …). Se entiende por ostensivocualquier objeto que es público y que,por tanto, se puede mostrar a otro. Estaclasificación entre ostensivo y noostensivo es relativa al juego delenguaje en que participan. El motivoes que un objeto ostensivo puede sertambién pensado, imaginado por unsujeto o estar implícito en el discursomatemático (por ejemplo, el signo demultiplicar en la notación algebraica).

Extensivo-intensivo: un objeto queinterviene en un juego de lenguajecomo un caso particular (un ejemploconcreto, la función y = 2x + 1) y unaclase más general o abstracta (p.e., lafamilia de funciones y = mx + n).

Elemental-sistémico: en algunascircunstancias los objetos matemáticosparticipan como entidades unitarias(que se suponen son conocidaspreviamente), mientras que otrasintervienen como sistemas que sedeben descomponer para su estudio.En el estudio de la adición ysustracción, en los últimos niveles deeducación primaria, el sistema denumeración decimal (decenas,centenas,…) se considera como algoconocido y en consecuencia comoentidades elementales. Estos mismosobjetos, en el primer curso, tienen queser considerados de manera sistémicapara su aprendizaje.

Expresión-contenido: antecedente yconsecuente de cualquier funciónsemiótica.

La actividad matemática y los procesos

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de construcción y uso de los objetosmatemáticos se caracterizan por seresencialmente relacionales. Losdistintos objetos no se deben concebircomo entidades aisladas, sino puestosen relación unos con otros. Ladistinción entre expresión y contenidonos permite tener en cuenta el carácteresencialmente relacional de laactividad matemática. La relación seestablece por medio de funcionessemióticas, entendidas como unarelación entre un antecedente(expresión, significante) y unconsecuente (contenido, significado)establecida por un sujeto (persona oinstitución) de acuerdo con un ciertocriterio o código de correspondencia.

Estas facetas se presentan agrupadas enparejas que se complementan de maneradual y dialéctica. Se consideran comoatributos aplicables a los distintos objetosprimarios y secundarios, dando lugar a

distintas “versiones” de dichos objetos. EnGodino, Batanero y Roa (2005) sedescriben los seis tipos de entidadesprimarias y los cinco tipos de dualidadescognitivas mediante ejemplos relativos auna investigación en el campo delrazonamiento combinatorio.

En la Figura 1 se representan lasdiferentes nociones teóricas que se handescrito sucintamente. En el EOS laactividad matemática ocupa el lugarcentral y se modeliza en términos desistema de prácticas operativas ydiscursivas. De estas prácticas emergenlos distintos tipos de objetos matemáticos,que están relacionados entre sí formandoconfiguraciones. Por último, los objetosque intervienen en las prácticasmatemáticas y los emergentes de lasmismas, según el juego de lenguaje enque participan, pueden ser consideradosdesde las cinco facetas o dimensionesduales.

Figura 1. Herramientas teóricas del EOS


Por último, dentro del “enfoqueontosemiótico” se están introduciendonuevas herramientas teóricas quepermiten abordar el estudio de losfenómenos de instrucción matemática.Godino, Contreras y Font (en prensa)proponen, como unidad primaria deanálisis didáctico, la configuracióndidáctica, constituida por las interaccionesprofesor-alumno a propósito de una tareamatemática y usando unos recursosmateriales específicos. El proceso deinstrucción sobre un contenido o temamatemático se desarrolla en un tiempodado mediante una secuencia deconfiguraciones didácticas, cada una delas cuales incorpora una determinadaconfiguración epistémica.

3. Configuraciones epistémicasasociadas con las situacionesaditivas. Reconstrucción del

significado de referencia

Para poder valorar la idoneidad epistémicade un proceso de instrucción realmenteimplementado (significado implementado)o bien de un proceso de instrucciónplanificado en un libro de texto (significadopretendido) es necesario establecer elsignificado de referencia que sirva decomparación. En esta sección describimosde manera sintética los principaleselementos del significado de referenciapara las estructuras aditivas, agrupandodichos elementos en los seis tipos deentidades que propone el EOS: lenguaje,situaciones, acciones, conceptos,propiedades y argumentos y losorganizaremos en configuracionesepistémicas.

El primer tipo de configuración epistémicaque consideraremos son las “formales”. Endichas configuraciones se usa el método

axiomático, es decir, se eligen ciertosenunciados de la teoría como axiomas yse exige que todos los demás seanprobados a partir de ellos.

3.1 Configuraciones formales

Las entidades matemáticas que se ponenen juego en las situaciones aditivascontextualizadas son analizadas demanera formal o estructural en el marcointerno de las matemáticas. Para ello, losnúmeros dejan de ser considerados comomedios de expresión de cantidades demagnitudes (números de personas ocosas, papel que cumplen en unasituación, etc.) y son interpretados biencomo elementos de una estructuracaracterizada según la teoría de conjuntos,bien según los axiomas de Peano. En estecontexto de formalización matemática seplantean preguntas tales como:

- ¿Cómo se debería definir la adición,a partir de los axiomas de Peano?

- ¿Cómo se debería definir la adición,cuando los números naturales sondefinidos como los cardinales de losconjuntos finitos?

- ¿Qué tipo de estructura algebraicatiene el conjunto N de los númerosnaturales dotado de la ley decomposición interna de adición?

- ¿Es la sustracción una ley decomposición interna? ¿Quépropiedades cumple?

La respuesta a estas preguntas requierede la elaboración de recursos lingüísticosespecíficos, técnicas operatorias(recursión, operaciones conjuntistas),conceptos (definiciones conjuntistas deadición y sustracción; definicionesrecursivas; definición algebraica de

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sustracción), propiedades (estructura desemigrupo de N) y argumentaciones(deductivas), en definitiva unaconfiguración epistémica con rasgos ocaracterísticas específicas, adaptadas a lageneralidad y rigor del trabajo matemático.Estos tipos de configuraciones formales noson las que nos pueden resultar útiles paradeterminar la idoneidad epistémica de unproceso de instrucción planificado para unainstitución escolar de enseñanza primaria.Para este tipo de institución necesitamos unaconfiguración, que llamaremos intuitiva (ocontextualizada), que presuponga una ciertaconcepción empírica de las matemáticas. Esdecir, una concepción que considere que lasmatemáticas son (o se pueden enseñarcomo) generalizaciones y formalizaciones dela experiencia; una concepción de lasmatemáticas que suponga que, al aprendermatemáticas, recurrimos a nuestro bagajede experiencias sobre el comportamiento delos objetos materiales.

3.2. Configuración empírica

Las operaciones aritméticas de la adición yde la sustracción se construyen inicialmentecomo medio de evitar los recuentos ensituaciones que incluyen distintascolecciones parcialmente cuantificadas. Lassituaciones concretas o contextualizadasponen en juego un proceso de modelizaciónque produce, como etapa intermedia, unasituación aditiva formal; esto es, unasituación en la que se requiere realizar unasuma o una resta, cuyo resultado debe serinterpretado según el contexto inicial. Elaprendizaje de la suma y la resta implica,

La clasificación de los problemas aditivos contextualizados ha sido objeto de numerosas investigaciones, ya que

cada tipo comporta subconfiguraciones puntuales específicas que deben ser tenidas en cuenta en los procesos de

enseñanza-aprendizaje. Verschaffel y De Corte (1996) presentan una síntesis de estas investigaciones y mencionan los

tres tipos básicos de problemas aditivos: cambio, combinación y comparación.

En la Figura 7 mostramos otro ejemplo de configuración puntual correspondiente a una página del libro que analizamos

en las secciones 4 y 5 donde explicitamos dichas relaciones.

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por tanto, el dominio de las situacionesformales y de los algoritmos de sumar yrestar.

La resolución de los problemas aditivos poneen funcionamiento diversos recursosoperatorios, lingüísticos, conceptuales,proposicionales y argumentativos que debenser dominados progresivamente para lograrcompetencia en dicha resolución. La Figura2 resume los principales elementos ocomponentes de la configuración epistémicaempírica formada por el sistema de objetosy relaciones implicadas en la solución delos problemas aditivos5 en el nivel deeducación primaria (significadoinstitucional de referencia). Por razones deespacio, los componentes de laconfiguración se muestran de maneratabular. Sin embargo, hay que tener encuenta que dichos elementos estánrelacionados entre sí6.

El lenguaje (verbal, gráfico, simbólico)describe las situaciones-problemas;representa a las entidades conceptuales,proposicionales (adición, sustracción,sumandos, commutativa, asociativa, …) yprocedimentales (algoritmos). Lasnotaciones, disposiciones tabulares,diagramas, etc., sirven de herramientas parala realización de los algoritmos y laelaboración de argumentos justificativos. Lasdefiniciones y proposiciones relacionan losconceptos entre sí y hacen posible eldesarrollo de algoritmos de cálculo eficaces.Los argumentos justifican las propiedadesy permiten la realización de lasoperaciones.


LENGUAJE

Verbal- Juntar, añadir, sacar, suma, resta, “cuánto falta”, más menos, adición, sustracción, sustraendo, minuendo, diferencia, paréntesis, operación, propiedad conmutativa, propiedad asociativa, etc.Gráfico- Dibujos en los que se presentan situaciones contextualizadas de adición y sustracción (se representan con objetos los cardinales de los dos conjuntos y en algunos casos también el cardinal del resultado)- En la recta numérica se representan sumas y restas- Etc.Simbólico: +, – , 24 + 30, 45 – 23, a + b, a – b, a – b = c, “(” , “)” …

SITUACIONES

- Problemas contextualizados en los que: se añade, hay que seguir contando, se saca, se cuenta hacia atrás , se pide “cuánto falta” , se compara, etc.- Problemas descontextualizados de sumas y resta

CONCEPTOS

Previos

- Sistema de numeración decimal- Suma y resta

Emergentes-Adición; Sustracción; Sumandos- Sustraendo; Minuendo; Diferencia- Sumas y restas equivalentes

PROCEDIMIENTOS

- Descontextualización del enunciado del problema;- Contextualización de enunciados descontextualizados- Aplicar los algoritmos de la suma y de la resta- Comprobación de los resultados de una resta- Cálculo mental de sumas y restas- Utilización de las propiedades conmutativa y asociativa para realizar las operaciones más fácilmente-Cálculo de sumas y resta con calculadora.- Resolución de problemas de sumas y restas- Etc.

PROPIEDADES

- La suma es una operación interna (la resta no)- Elemento neutro- Conmutativa (suma)- Asociativa (suma)- El total de una suma siempre es mayor que los sumandos (si estos son diferentes de cero)- (a + c) – (b + c) = a – b- La diferencia siempre es menor que el minuendo (si el sustraendo es diferente de cero)- Relación entre diferencia, sustraendo y minuendo:S – M = D; S = D + M; S – D =M

ARGUMENTOS- Comprobación de las propiedades en casos particulares (casi siempre extra matemáticos)- Justificación de las propiedades, utilizando elementos genéricos- Justificación de los algoritmos a partir de las características del Sistema de Numeración Decimal

Figura 2. Configuración epistémica “empírica” de la adición y de la sustracción

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Se trata de una configuración epistémicaen la que los conceptos y las propiedadesque se introducen se intentan justificar porsu acuerdo con una realidad extramatemática. Este intento topa con unadificultad que se convierte en el origen deimportantes conflictos semióticos, que noes otra que el carácter convencional dealgunas reglas matemáticas. Nopretendemos entrar aquí en la discusiónde si todas las reglas en matemáticas sonconvencionales, puesto que no se puedenjustificar por su acuerdo con la experiencia;nos limitamos a señalar que, incluso en elsupuesto de que la mayoría de las reglasmatemáticas se pudieran justificar por suacuerdo con situaciones extramatemáticas, hay ciertas reglas, como porejemplo, la prioridad de las operaciones,que indiscutiblemente son convencionalesy que, por tanto, difícilmente se puedenjustificar con base en su acuerdo consituaciones extra matemáticas.

4. Análisis global de la lección

El análisis ontosemiótico de una lección debeabordarse primero desde una perspectivaglobal que identifique su objetivo y estructuraen configuraciones didácticas, para pasardespués, en un segundo nivel, a un estudiodetallado de cada una de ellas (en estetrabajo nos centraremos, sobre todo, en lasconfiguraciones epistémicas asociadas y enlos conflictos semióticos potenciales). Estesegundo análisis lo haremos en la sección5, centrándonos sobre todo en las funcionessemióticas (dualidad expresión-contenido)que relacionan objetos que pueden serextensivos o intensivos (dualidad extensivo-intensivo).

A continuación comenzamos el análisisglobal de la lección de Ferrero y cols.(1999)7. La lección sobre la suma y la restaincluida en este libro de texto escolar seinterpreta en el EOS como el significadopretendido en clases de 5º grado deeducación primaria (alumnos españoles de10 años de edad).

El estudio comienza recordando el usoconcreto de la suma y la resta:

Sumamos cuando reunimos o juntamosvarias cantidades en una sola. Restamoscuando separamos, quitamos una parte deotra o hallamos la diferencia entre doscantidades. (p. 18)

Sigue con la presentación de una situaciónintroductoria general donde se presentauna escena de clase con grupos de niñosjugando diversos juegos mediante loscuales consiguen puntos. Se planteanproblemas cuya solución requiere realizaruna suma o una resta. El tipo de situación-problema que se presenta al inicio de launidad tiene un objetivo que se puededescribir del siguiente modo: ¿Cómodiscriminar las situaciones de suma y restay cómo resolverlas? Esta pregunta generalque guía el desarrollo de la lección sedescompone en sub-preguntas que sonabordadas en las distintas secciones en quese estructura. La Figura 3 muestra laestructura global de la lección, centrando laatención en la secuencia de configuracionesligadas a los tipos de problemas planteados(figuras hexagonales); una de dichasconfiguraciones (config. 1) será analizada enla sección 5.1., teniendo en cuenta losinstrumentos teóricos introducidos por elEOS.

El libro de texto de Ferrero y cols. (1999) es un ejemplar prototípico de los que en la actualidad se utilizan en el

sistema educativo español (actualizados en euros como unidad monetaria) y, por lo tanto, el estudio que realizamos no

sólo representa un modelo para el análisis de otros libros de texto, sino que determina una “pauta genérica” para la

valoración de libros de texto del mismo grado y contexto.

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Figura 3. Estructura global de la lección

Las seis primeras secciones (sobre lasque centraremos el anál is isontosemiótico) tienen una estructurasimilar:

-Planteamiento de una situación-problema.

-Un apartado titulado “Observa”, dondese describe la solución del problema,se presentan las definiciones y seexplican las técnicas.

-Una colección de 4 o 5 ejercicios yaplicaciones.

Las seis primeras secciones se titulan:(1) La suma. Signif icados, (2) Laspropiedades de la suma, (3) La resta.Significados, (4) Relaciones entre lostérminos de la resta, (5) Restasequivalentes y (6) Sumas y restascombinadas. Uso del paréntesis. En ellasse desarrolla el tema y los algoritmos queaparecen son con lápiz y papel. En lasección siguiente, cuyo título es (7)Conoce tu calculadora, se introducen dostécnicas alternativas a los algoritmos con

lápiz y papel: el cálculo estimado y elcálculo con calculadora. En la siguientesección, cuyo título es (8) Recuerda, losautores presentan a los alumnos aquelloque es esencial recordar de lo que se haestudiado anteriormente. A continuaciónse propone una sección deautoevaluación, cuyo título es (9) ¿Te lohas aprendido? En la sección siguiente,cuyo título es (10) Cálculo mental, seintroduce otra técnica alternativa a losalgoritmos con lápiz y papel: el cálculomental exacto. A continuación, en lasección titulada (11) Arco iris se proponeun problema cuyo contexto es “la comprade comida para el hogar” en la quetambién se introducen los valores deigualdad entre el hombre y la mujer a lahora de participar en las tareas delcuidado de la casa. Como sección finalse propone una sección de consolidaciónde conocimientos, cuyo título es (12)Resolución de problemas en la queademás se introduce la estrategiaheurística “descomposición del problemaen partes”.

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5. Análisis ontosemiótico deconfiguraciones parciales

En esta sección vamos a realizar un análisisdetallado de la primera configuracióndidáctica dedicada al estudio de la suma.

Figura 4. Problema introductorio

B. La explicación de la solución del problema que sirve como sistematización de lossignificados de la suma y del algoritmo de sumar en columna (Figura 5).

C. También incluyen cuatro actividades de ejercitación y aplicación (Figura 6).

5.1. Sección 1: La suma. Significados

Los autores de la lección han organizadoun proceso de estudio puntual paraexplicar los significados de la adición,incluyendo los siguientes apartados:

Figura 5. Explicación del problema introductorio

Figura 6. Ejercicios y aplicaciones

A.Un problema introductorio (Figura 4).


La Figura 7 describe la configuración epistémica asociada a esta sección.

Realizamos a continuación un análisisdetallado del texto, mostrando losconflictos semióticos que se puedenpresentar para los lectores potenciales.Dividimos el fragmento del texto en trespartes correspondientes al enunciado delproblema introductorio (A), la explicaciónde los significados y el algoritmo de sumar(B), y el enunciado de 4 ejercicios (C).

PARTE A: Situación introductoria

En esta parte se propone el enunciado deun problema, el cual se acompaña con undibujo que no tiene ninguna relación conel texto. El objetivo de este problemacontextualizado es que sirva de ejemplopara definir el concepto de “suma” y“recordar” el algoritmo de la suma (ambosconceptos se suponen conocidos decursos anteriores). Los autores suponen

Figura 7. Configuración epistémica de la “La suma. Significados”

que las consideraciones hechas sobre elejemplo particular son suficientes para quelos alumnos comprendan (o recuerden) elconcepto de “suma” y su “algoritmo”. Esteejemplo es utilizado implícitamente por losautores como un “elemento genérico” delos problemas que se resuelven mediantesumas, ya que implícitamente se suponeque lo que se dice para este caso particulares válido para todos los problemas que seresuelven “sumando”. Dicho de otramanera, el objetivo de este problema noes su resolución, sino activar la dualidadextensivo-intensivo en los párrafosposteriores.

Sin embargo, no parece que este problemasea un buen representante del tipo deproblemas aditivos que se pretendeabordar. La situación se describe demanera incompleta y ficticia. No se dice el

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nivel educativo a que corresponden losnuevos alumnos, por lo que se tiene unaprimera operación de unión de dosconjuntos de elementos disjuntos (niños deinfantil y de primaria), y después otraoperación de unión de elementos de otroconjunto cuya naturaleza no distingue elnivel escolar de los niños. Parece que lainformación del nivel escolar a quecorresponden los niños introduce unadistinción innecesaria que puede confundira los alumnos. Otro elemento contextualque influye en la solución está el hecho deque no se informa sobre los alumnos delcurso anterior que no continúan en elcentro; de hecho, una respuesta razonablepara el problema puede ser: No se puedesaber.

Lo dicho no tiene que suponernecesariamente un “fracaso generalizadoen la realización de la tarea”. Es muyposible que los alumnos acepten elenunciado y realicen la suma requerida,pero por razones de “contrato didáctico” ypor la observación de la palabra clave“total” que previamente habrán asociado asumar los números que intervienen. Entodo caso, la realización exitosa de la tareapor la mayor parte de la clase no esatribuible al problema, sino a reglaspreviamente establecidas y conocimientosculturales aceptados en la institución.

PARTE B: Observa

Se comienza diciendo que para hallar elnúmero total de alumnos y alumnas serealiza una suma. A continuación, se definequé es sumar:sumar es reunir, juntar,añadir, aumentar, incrementar, … . Ahorabien, se trata de una definición incompletaya que no se dice que la suma es el“número de elementos” (cardinal) delconjunto unión (dados dos conjuntosdisjuntos). Si el alumno se guía sólo poresta definición puede considerar como

situaciones de “suma” muchas que no loson. Por ejemplo, “reunir” mis regalos conmis libros (cuando algún libro es unregalo); “juntar” dos bolas de plastilina dacomo resultado una bola de plastilina(¿1 + 1 =1?); al “juntar” todos los númerosde teléfono de mis amigos, en el mejor delos casos, obtengo una agenda, pero deninguna manera una “suma”; …

De hecho, al tratarse de verbos de accióntransitivos que se aplican sobre loselementos de dos o más conjuntos elreconocimiento de las situaciones en lasque es pertinente sumar no estará exentode dificultades dada la generalidad de lasacciones que se mencionan comoequivalentes a sumar, las cuales ademásno agotan todas las posibilidades ycircunstancias de uso. Asimismo, no seespecifica de manera explícita o implícitala necesidad de que los conjuntos debenser disjuntos.

El conflicto semiótico que se podríaproducir es que los alumnos identificasencomo situaciones de suma algunas que nolo son. Ahora bien, es de suponer quedicho conflicto no se va a producir dadoslos conocimientos previos de los alumnossobre la adición de números naturales (hayque recordar que esta unidad estápensada para alumnos de 10 años).

En el EOS se considera que cadadefinición se debe entender como unadefinición-regla que, de entrada, no pareceque indique que haya algo que sea precisohacer. A partir de las definiciones-reglaspodemos atribuir valores veritativos(verdadero y falso) a ciertas proposiciones.Ahora bien, de una definición-reglatambién se puede deducir una reglapráctica que nos da instrucciones para“realizar una práctica”. Esta práctica sepuede dar en diferentes situaciones, porlo que se puede afirmar que una definición

Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta

genera un conjunto de prácticas. A su vez,otra definición equivalente generará otrosubconjunto de prácticas. Por tanto, si ladefinición de suma fuese completa yespecificara que la suma es el cardinal dela unión, de ella se podría deducir unapráctica para hallar la suma (por ejemplocontar el número de elementos delconjunto unión) y a partir de la necesidadde buscar un método más ágil para hallardicho cardinal aparecerían otras técnicas(tabla de sumas elementales, cálculomental, algoritmo escrito, uso de lacalculadora, etc.).

La situación que presenta el libro es que,por una parte, da una definición incompletade la cual no se puede deducir una reglapara calcular la suma y, por otra parte, acontinuación pasa a explicar el algoritmode la suma (con dos registros diferentes:enunciado y simbólico). El registro verbales deliberadamente incompleto, ya quesupone que el algoritmo es conocido porlos alumnos. El registro simbólico no es elalgoritmo habitual, sino que es un pre-algoritmo que se suele usar como pasoprevio al algoritmo habitual para facilitar sucomprensión. Es al final de este algoritmocuando la suma se identifica con el “total”(es decir, implícitamente como el cardinaldel conjunto unión). Puesto que los autoresconsideran conocido este pre-algoritmo, esel lector quien tiene que interpretar eldiagrama tabular y sagital de la izquierda.La descripción del algoritmo contienediversos convenios que el lector debieraconocer previamente, ya que no se aportainformación al respecto. Las letras C, D, Ucolocadas encima de los datos significanCentenas, Decenas y Unidades y evocanlas reglas del sistema de numeracióndecimal. Los números escritos comosuperíndices y las flechas inclinadasresumen el algoritmo de sumar con“llevadas” de cifras de un orden alsiguiente. El esquema incluye tres

definiciones implícitas: sumandos (cadauno de los tres números que se suman),suma (resultado de la adición), total (quesignifica lo mismo que suma). Se evita, enesta parte del texto, distinguir entre laadición como operación aritmética y lasuma como resultado de la adición.

Diagrama lineal

Se supone que el lector está familiarizadocon los convenios de representación delos números en la recta numérica: elecciónde un origen y de un segmento que se usacomo unidad de medida; lo que permiteasignar a cada número natural unsegmento de recta que será su medida conel segmento tomado como unidad (o unadistancia desde el origen). En este caso,como los números son grandes no sepuede mostrar la unidad por lo que sepierde el carácter discreto de los conjuntosrepresentados (aunque hay que resaltarque, en este caso, el dibujante haprocurado que las longitudes de lossegmentos mantengan aproximadamentela misma proporción entre ellas que lossumandos). El diagrama lineal se incluyeaquí como medio de explicación de laoperación de sumar tres sumandos. Ladefinición de suma que se da de maneraimplícita se basa en el recuento: sumar ay b es “seguir contando b a partir de a”.Se pone así en juego un significado parcialde suma distinto del dado anteriormente,basado en el cardinal de un conjunto.

La técnica de sumar sugerida por eldiagrama lineal es difícil de poner enpráctica, en el sentido de que no se puedeaplicar efectivamente cuando los númerosson grandes. La faceta dual ostensivo-noostensivo es aceptada implícitamentecomo transparente, no problemática. Sepresupone que el diagrama lineal(ostensivo), como recurso didáctico, esuna expresión gráfica de la adición que

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transmite “de forma automática” elsignificado de la adición (no ostensivo)basado en la aplicación sistemática (y porsupuesto, implíc i ta) de la funciónsiguiente que se introduce en laaxiomática de Peano.

La parte B concluye con una explicaciónque pretende dar a entender que “sumares una operación que a partir de ciertosnúmeros (sumandos) obt iene otronúmero (suma)” para ello introduce lostérminos valor y parte (¿Por qué usaraquí una terminología de procedenciaeconómica?):

“En una suma se conoce el valor decada parte y se calcula el total” (p.19).

En esta sección el alumno se encuentracon una gran complejidad semiótica, yaque en media página se le presentanmezcladas diferentes interpretaciones dela “suma”: como una acción (reunir,juntar, etc.), como el cardinal del conjuntounión, como “seguir contando” y comooperación. Además, aparecen diferentesregistros: verbal, simbólico y gráfico. Estagran complejidad semiótica podría ser lacausa potencial de numerosos conflictossemiót icos que, en la mayoría dealumnos, no se producen gracias a susconocimientos previos sobre la suma. Elprofesor que use este libro como apoyode sus clases debe ser consciente de losconflictos semióticos potenciales quehemos descrito.

PARTE C (Ejercicios)

En el primer problema se proponen hacercuatro sumas de cuatro sumandos denúmeros hasta de 5 cifras. Se tratan desumas descontextualizadas que, comoprincipal novedad respecto del ejemploresuelto, se presentan dispuestos en fila.

Parece que el elevado número de cifrasde los sumandos tienen por objetivoconseguir que los alumnos los disponganen columnas y apliquen el algoritmo dela suma que se ha recordadoanteriormente.

En el segundo, se espera que losalumnos realicen el planteamiento yresolución de un enunciado de problemaa partir de sumandos expresados en undiagrama lineal. El objetivo es que losalumnos apliquen la dualidad extensivo-intensivo y confeccionen el enunciado deun problema cuya descontextualizaciónse corresponda con el diagrama lineal.

El tercero es un problemacontextual izado de sumar con tressumandos sin que se indique ningunapalabra clave alusiva a las “acciones desumar”. Incluso, admite como respuestacorrecta repetir los datos de visitantes encada día, o decir que no se puede saberya que no se dicen los visitantes de losotros días en los que se podía visitar laexposición.

El cuarto es un problema concreto de dossumandos. Tampoco se incluye términosalusivos a las acciones de sumar. Lainferencia de hacer una suma se derivade un conocimiento práct ico de lasituación. Es de destacar que mientrasel enunciado hace referencia a un sololibro en el dibujo aparecen dos libros.

5.2. Algunos conflictos semióticosidentificados en las secciones 2-6

Sección 2: Las propiedades de la suma

El problema introductorio (Figura 8)pretende motivar las propiedadesconmutativa y asociativa de la suma.

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En primer lugar, la Figura 8 presenta unconflicto semiótico entre los códigos detransmisión: en el marco gráfico, el númerode fichas es 30 (11 fichas en cada caja y 8sobre la mesa); en el marco semántico, elnúmero de fichas es 580 (24 y 36 en lascajas, respectivamente, y 520 sobre lamesa). Se supone, por lo tanto,transparente el código de comunicaciónque identifica el “número en una tarjeta”con el “número de fichas”. ¿Por qué nointerpretar que en la caja “24” hay 11fichas?, máxime cuando sobre la mesa hayclaramente menos fichas que en las cajasy, en todo caso, no parece admisible quehaya 520 fichas. De esta forma, la tareaprecisa de aclaraciones del tipo “el número24 representa el número de fichas que hayen la caja de la izquierda”.

En segundo lugar, la primera pregunta,“¿cuántas fichas hay en las dos cajas?”,impide que los alumnos se planteen por símismos las distintas posibilidades derealizar la suma de los tres sumandos ycomprobar que el resultado es el mismo.Una manera de conseguir este propósitosería suprimir la primera pregunta yplantear directamente “¿cuántas fichashay en total?” De esta manera la situaciónqueda más abierta a la exploración personaldel lector. Asimismo, habrá que tener encuenta que muchos potenciales lectoresdarían por finalizada la actividad, obtenidauna respuesta. Una opción es planificar unasesión de interacción en aula, que conlleveresponder a preguntas del tipo:

Figura 8. Situación introductoria. Propiedades de la suma

-¿Cambia el resultado, si cambias elorden en que se hacen las sumas delos números?

-¿Ocurre igual si los números defichas en cada caja y sobre la mesason diferentes?

-¿Da igual que sumemos primero lasfichas de las cajas y luego las de lamesa o, por ejemplo, primero las deuna caja con las de la mesa ydespués las de la otra caja?

En el apartado “Observa” que sigue alenunciado se ve con claridad que elobjetivo del problema no es que losalumnos descubran por si mismo lapropiedad asociativa. La primera preguntaestá pensada para poder explicar con elejemplo de las dos cajas la propiedadconmutativa y la segunda para explicar laasociativa. En efecto, en la sección“Observa” (Figura 9) se presenta lasolución del problema y los enunciadosgenerales de las propiedades conmutativay asociativa. Nos parece unageneralización prematura, basada en lacomprobación de un solo ejemplo. Por otraparte, bajo el epígrafe “Propiedadasociativa” se da, en realidad, elenunciado de una técnica de cálculo parasumar tres números: “Para sumar tresnúmeros, sumamos dos cualesquiera deellos y el resultado se suma con el tercero”.De esta forma, se confunde el enunciadode una técnica, con el de una propiedad.

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Además, la técnica de cálculo es enmuchos casos interpretada como: si secambia el orden en que hacemos lassumas el resultado no varía, donde la voz“orden” es polisémica: por un lado, “elorden en que se suman tres sumandosdados en una lista” (primero a más b y elresultado sumarlo a c o bien sumar primerob y c y al resultado agregarle a), por otrolado, “el orden en que se colocan lossumando dados, que supone unageneralización de la propiedad conmutativaa tres números” (a+b+c = a+c+b =b+a+c = b+c+a = c+a+b = c+b+a ).

Sección 3: La resta. Significados

La presentación de la resta (Figura 10) se hacede manera similar a la de la suma. Primero sepresenta un problema contextualizado en el quese pide cuánto falta para llegar a 9.450 puntossi tenemos 6.750. Contrariamente al caso dela suma, el problema escogido sí se puedeconsiderar un buen representante de losproblemas de resta.

Figura 9. Propiedades de la suma

Figura 10. La resta. Significados

Se comienza diciendo que para hallar elnúmero de puntos que falta se realiza unaresta. A continuación se define qué es restar:restar es quitar, separar, disminuir, comparar,etc. Ahora bien, como en el caso de la suma,se trata también de una definición incompletaya que no se dice, por ejemplo, que la restaes el número de elementos que quedan enel conjunto después de quitar algunos. Si elalumno se guía sólo por esta definiciónpuede considerar como situaciones de“resta” muchas que no lo son. Al igual queen el caso de la suma de esta definición deresta no se puede inferir una regla pararealizar la resta.

La situación que presenta el libro es que, poruna parte, da una definición incompleta dela cual no se puede deducir una regla paracalcular la resta y, por otra parte, acontinuación pasa a explicar el algoritmo dela resta (con dos registros diferentes:enunciado y simbólico). El registro verbal esdeliberadamente incompleto, ya que suponeque el algoritmo es conocido por los alumnos.El registro simbólico que se presentadescribe el pre-algoritmo previo al algoritmode restar “tomando prestado”, que no es elque habitualmente se enseñan en España(que suele ser el algoritmo de “restarllevándose”). Puesto que los autoresconsideran conocido este pre-algoritmo, esel lector quien tiene que interpretar eldiagrama tabular de la izquierda. Ladescripción del algoritmo contiene diversosconvenios que el lector debiera conocerpreviamente, ya que no se aportainformación al respecto. El esquema incluyetres definiciones implícitas: minuendo,sustraendo y diferencia. Se evita, en estaparte del texto, distinguir explícitamente entrela resta como operación aritmética y la restacomo resultado de la sustracción(diferencia).

Es de resaltar la alta “densidad semiótica”del esquema de sustracción presentado.


A diferencia del caso de la suma, seintroducen abreviaturas lingüísticas paralas palabras minuendo (M), sustraendo (S)y diferencia (D) (la letra D también significaaquí decena, lo que produce un nuevofenómeno de polisemia), que son referidasmediante flechas a los númeroscorrespondientes a la sustracción delproblema propuesto. Estas abreviaturasnotacionales serán usadas en el siguienteapartado para enunciar, de manerageneral, las relaciones entre los tresnúmeros que definen una sustracción. Elalgoritmo de restar “tomando prestado” sesupone conocido y, por ello, sólo se describetachando las cifras correspondientes delminuendo y anotando encima del mismo lanueva cifra con los incrementos de unidadescorrespondientes. Hay que resaltar que losautores seguramente han tenido en cuenta,aunque sea sólo de manera implícita, lacomplejidad semiótica del algoritmo de“restar llevándose” ya que han optado, encursos anteriores, por explicar un algoritmode menor complejidad semiótica: elalgoritmo de restar “tomando prestado”.

Se incluye también un diagrama lineal quepone en juego un significado parcial deresta distinto del dado anteriormente.Ahora la resta se entiende en términos de“sumando desconocido”: 6.795 + (?) =9.450. Se concluye con una explicaciónque pretende dar a entender que “restares una operación que a partir de ciertosnúmeros (total y parte) obtiene otro número(otra parte)”, pero se deja a cargo delalumno la identificación de “total” con“minuendo”, de “parte” con “sustraendo” yde “otra parte” con “diferencia”.

En esta sección el alumno se encuentracon una gran complejidad semiótica, yaque en media página se le presentanmezcladas diferentes interpretaciones dela “resta”: como una acción (quitar,

comparar, etc.), como “sumandodesconocido” y como operación.Además, aparecen diferentes registros:verbal, simbólico y gráfico. Esta grancomplejidad semiótica podría ser lacausa potencial de numerosos conflictossemiót icos que, en la mayoría dealumnos, no se producen, al igual queen el caso de la suma, gracias a susconocimientos previos sobre la resta. Porotra parte, es de destacar que no se daa la resta el significado parcial de “contarhacia atrás”.

Sección 4: Relaciones entre los términosde la resta

Esta sección comienza con el siguienteproblema introductorio:

“Para pagar la carpeta, Jaime entregómil pesetas y le devolvieron 165 pesetas(en un dibujo se indica que la carpetacuesta 835 pta). Comprueba si soncorrectas las vueltas” (Ferrero y cols,1999, p. 22).

Puesto que se trata de relacionar la sumay la resta sería más conveniente formularla pregunta de manera más abierta.

Una consigna alternativa podría ser: ¿Decuántas maneras dist intas podríascomprobar si la vuelta (es decir, el dinerodevuelto) es correcta?”

A continuación, en el apartado “Observa”(Figura 11) se explican tres manerasalternativas de resolver el problema.Cada una de ellas se simboliza medianteuna expresión algebraica en forma deigualdad. De la segunda igualdad sederiva una técnica para comprobar si laresta está bien hecha: “Para comprobarsi una resta está bien hecha se suma elsustraendo con la di ferencia y elresultado debe ser el minuendo”. (p. 22)

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165→ D

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Figura 11. La prueba de la resta

En este apartado también se observa unacomplejidad semiótica importante, ya quelos autores dejan a cargo de los alumnosla aplicación de las funciones semióticasque relacionan extensivos con intensivos(faceta extensivo-intensivo). Esperan quesean los alumnos quienes conviertan enintensivos los símbolos M, S y D.Consideran que la flecha será interpretadapor los alumnos como el paso de un valora una variable:

Y también esperan que sean los alumnosquienes establezcan la relación entre lastres igualdades obtenidas, ya que losautores evitan entrar en la explicación depropiedades de las expresionesalgebraicas (por ejemplo, que sumando elmismo término a cada miembro de laigualdad ésta se mantiene, o bien que untérmino de uno de los miembros de laigualdad pasa al otro miembro con el signocambiado). Ahora bien, sólo si el alumnorelaciona M–S= D con S+D=M se puedeentender que de la segunda igualdad sederiva una técnica general para comprobarel resultado de una resta (primeraigualdad).

Esta sección del libro de texto terminacon cinco ejercicios. En el primero, seproponen seis restas (por ejemplo,2.500–865 =1.635) y se pide a los alumnosque comprueben si los resultados soncorrectos. En el segundo, se les presentan9 igualdades en las que falta uno de lostres números (el minuendo, el sustraendo

1.000→ M 835→ S

o bien la diferencia) y se les pide que hallenel término que falta. En el tercero, se lespresenta una resta descontextualizada yse les pregunta que confeccionen unenunciado que se resuelva mediante dicharesta. En el cuarto y quinto, se lespresentan dos de los tres términos por sunombre (el minuendo, el sustraendo o bienla diferencia) sin que en ellos aparezca lapalabra resta o bien el signo de restar y seles pide que hallen el término que falta.

Sección 5: Restas equivalentes

Esta configuración se genera para estudiaruna propiedad de la sustracción:

“En una resta, la diferencia no varíacuando se suma o se resta un mismonúmero al minuendo y al sustraendo”.(p. 23)

Para llegar a esta propiedad se comienzacon un problema contextualizado sobre ladiferencia de precio entre dos gafas(primero sin funda y después con funda).A continuación, en el apartado “Observa”(Figura 12) se explica la solución delproblema. También se simbolizan mediantelos símbolos M, S y D, aunque en este casolas letras intervienen como antecedentesy los números como consecuentes.Además, las letras M, S y D sólo se utilizanpara el cálculo de la diferencia “sin funda”.Si en el apartado anterior los alumnostenían que ir del extensivo al intensivo, eneste caso tienen que seguir el caminoinverso, tienen que ir del intensivo (M, S y D)al extensivo (los números correspondientes).Los autores consideran que la flecha seráinterpretada por los alumnos como laasignación de valores a las variables M, Sy D:

Por otra parte, la flecha se utiliza tambiénpara expresar la suma de un mismonúmero al minuendo y al sustraendo. Siantes la flecha relacionaba intensivos con


extensivos, ahora relaciona extensivoscon extensivos. También hay que destacarque el signo + se usa como operador(+1.000) y que el resultado se generalizano sólo a la suma (el ejemplo utilizado) sinotambién a la resta (el caso másproblemático)

Figura 12. Restas equivalentes

Podemos observar que para obtener unresultado general: (M ± A) – (S ± A) = M–S,los autores comienzan con un caso general(sugerido por las letras, M, S y D) paradespués hacer intervenir un caso particular:(12.700 + 1.000) – (9.500 + 1.000) =12.700 – 9.500 para concluir finalmente unresultado general que expresan medianteun enunciado: “En una resta, la diferenciano varía cuando se suma o se resta unmismo número al minuendo y alsustraendo” (p. 23). Se observa que losautores han tenido muy presente lacomplejidad semiótica asociada y hanbuscado (1) una explicación que la reduzcaconsiderablemente y (2) una formulaciónde la propiedad que permita obviar el usode paréntesis y el doble uso del signomenos (como símbolo de la resta y comosímbolo del “opuesto de un número”). Apesar de ello, en este apartado tambiénse observa una complejidad semióticaimportante, ya que los autores vuelven adejar a cargo de los alumnos la aplicaciónde las funciones semióticas que relacionanextensivos con intensivos (facetaextensivo-intensivo).

Esta sección del libro de texto termina contres ejercicios. En el primero, se proponendos casos en los que se suma el mismo

número al minuendo y al sustraendo y doscasos en los que se resta el mismo númeroy se les pide que comprueben que elresultado no varía. En los otros dosproblemas se les proponen dossituaciones contextualizadas en las quehan de aplicar la propiedad explicadaanteriormente.

Sección 6: Sumas y restas combinadas.Uso del paréntesis

La situación contextualizadora propuestapara motivar el uso de los paréntesis en larealización de las operaciones se puederesolver mediante la realización de dosrestas sucesivas:

“En el quiosco había 3.000 periódicos.Por la mañana se vendieron 1.948 y porla tarde, 896. ¿Cuántos periódicosquedaron sin vender? (p. 24)

La solución presentada (Figura 13) pareceforzada, ya que no se pide como pasointermedio hallar la cantidad de periódicosvendidos. ¿Por qué no operar sin usar losparéntesis, primero 3.000 – 1.948 ydespués al resultado restarle 896?

Figura 13. Uso de paréntesis

En este apartado, podemos observar unconflicto semiótico potencial ya que elalumno puede entender, implícitamente,que se hace lo mismo que en los otrosapartados, es decir, que a partir de unejemplo particular se obtiene un resultadogeneral. Sin embargo, lo que se estáhaciendo es introducir una convención:

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“el paréntesis indica la operación quetenemos que hacer en primer lugar” (p.24). Además, esta convención,implícitamente, puede entrar encontradicción con lo que se ha dicho alexplicar anteriormente la propiedadasociativa. Según dicha propiedad, si seha de efectuar, por ejemplo, (30 + 50) +25, no es necesario sumar primero 30 con50, puesto que, si se quiere se puedesumar primero 50 con 25.

6. Consideraciones finales

Con relación a la idoneidad epistémica dela lección analizada, nuestra conclusión esque su grado de idoneidad esmoderadamente elevado, si tomamoscomo referencia la configuración empíricadescrita en el apartado 3.2.

En cambio, la idoneidad semiótica esbastante más discutible. Basándonos,sobre todo en dos de las cinco facetasduales (expresión-contenido y extensivo-intensivo), hemos mostrado una variedadde conflictos semióticos potenciales,algunos de los cuales se pueden resolvermediante ciertos cambios en las tareas yen las explicaciones proporcionadas. Dehecho, la identificación de conflictossemióticos lleva consigo, en algunasocasiones, la posibilidad de establecercondiciones de control de posiblesprocesos de estudio con relación a losobjetos matemáticos que se ponen enfuncionamiento en la lección.

Sin embargo, ciertos conflictos semióticosidentificados tienen difícil solución (si nosatenemos a los conocimientos didáctico-matemáticos actuales). Un tipo de estosconflictos semióticos son aquellosoriginados por configuraciones didácticasque presuponen que las matemáticas son(o se pueden enseñar como)

generalizaciones de la experienciaempírica. En este tipo de configuracioneslos conceptos y las propiedades seintentan justificar por su acuerdo con unarealidad extra matemática. Este intentotopa con una dificultad que se convierteen el origen de importantes conflictossemióticos, que no es otra que el carácterconvencional de algunas reglasmatemáticas. Este tipo de conflictos hanaparecido en la lección en el momento deintroducir la regla “el paréntesis indica laoperación que tenemos que hacer enprimer lugar” a partir de una justificaciónbasada en su acuerdo con situacionesextra matemáticas. Para solucionar estetipo de conflictos semióticos es necesarioque los autores de los textos seanconscientes de las limitaciones que tienela concepción que considera que “lasmatemáticas son (o se pueden enseñarcomo) generalizaciones de la experienciaempírica”.

Otro tipo de conflictos semióticospotenciales de difícil solución son losrelacionados con el intento de soslayarciertas características del razonamientoalgebraico. Los autores, por una parte,pretenden el inicio de una reflexión sobrela estructura algebraica de los conjuntosy operaciones con números; tal es el casode los enunciados generales de laspropiedades conmutativa, asociativa, o dela relación entre el minuendo, elsustraendo y la diferencia. Por otra parte,conscientes de la complejidad semióticaque ello representa intentan soslayarciertas características del razonamientoalgebraico, en especial la consideraciónde que los símbolos no estáncondicionados por la situación queinicialmente representaban y que, portanto, son objetos sobre los cuales sepueden realizar acciones. En la lecciónanalizada, los símbolos substituyen anúmeros y su función es representarlos,


los símbolos representan objetos, accionessobre objetos o relaciones entre objetos,pero ellos mismos no se consideran objetossobre los cuales se pueden realizaracciones. Este tipo de conflictos semióticoshan aparecido en la lección en el momentode introducir la relación entre los términosde una resta.

Un problema didáctico de mayor alcance,relacionado con el criterio de idoneidad“mediacional” expuesto en la introducción,se pone de manifiesto cuando relacionamoslas situaciones introductorias de las distintasconfiguraciones y las prácticas operativas ydiscursivas asociadas. Se supone que talessituaciones deben permitir lacontextualización de los conocimientospretendidos y crear las condiciones para laexploración personal de los alumnos. Sinembargo, el texto presenta inmediatamentela solución y las generalizacionespretendidas, lo que convierte de hecho alproceso de estudio en una presentaciónmagistral. Se trata de un problema relativoa la gestión del tiempo didáctico(cronogénesis) y a la gestión de lasresponsabilidades del profesor y de losalumnos en el proceso de aprendizaje(topogénesis) (Chevallard, 1991).

Para terminar, queremos resaltar que elanálisis de textos se revela como un

componente importante del análisis didácticode los procesos de enseñanza y aprendizajede las matemáticas. Con frecuencia, lostextos y documentos de estudio asumen unaparte sustancial de la dirección del procesode enseñanza y aprendizaje. Es cierto queen los niveles de educación primaria elalumno no afronta solo el estudio de loscontenidos curriculares, usando el libro demanera personal y autónoma. El profesordesempeña un papel de mediador entre ellibro y el alumno. Pero un libro de textoescolar que tenga una baja idoneidadepistémica y semiótica implicará una mayorcarga para el profesor y menor autonomíapara los alumnos.

La metodología de análisis descrita puedeser una herramienta útil para la preparaciónde profesores. El diseño y desarrollo deunidades didáctica debe tener en cuenta lasexperiencias e investigaciones previasrealizadas, las cuales se concretanhabitualmente en las lecciones elaboradaspor equipos de expertos. Una pregunta clavepara el profesor es: ¿cómo puedo adaptar ami contexto y circunstancias la unidaddidáctica que me ofrece este libro de texto yen la medida de lo posible optimizarla? Pararesponder esta pregunta es necesarioadoptar unos criterios de mejora oidoneidad de un proceso de estudiomatemático.

Reconocimiento:

Trabajo realizado en el marco del proyecto MCYT – FEDER: SEJ2004-00789, Ministeriode Ciencia y Tecnología, Plan Nacional de Investigación Científica, Desarrollo eInnovación Tecnológica. Madrid.

Referencias

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Juan D. GodinoDepartamento de Didáctica de la MatemáticaUniversidad de GranadaEspaña


Vicenç FontDepartament de Didáctica de les Ciències Experimentals i la MatemàticaUniversitat de BarcelonaEspaña


Miguel R. WilhelmiDepartamento de Matemáticas e InformáticaUniversidad Pública de NavarraEspaña


Luis Radford Bruno D'Amore Semiótica, Cultura y Pensamiento ...

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