M6 - 3era. Unidad Correccion 17-02-2015 .docx

8/17/2019 M6 - 3era. Unidad Correccion 17-02-2015 .docx

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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

CENTRO UNIVERSITARIO DE ORIENTE

FACULTAD DE INGENIERIA

MATEMATICA INTERMEDIA III

Tercera Unidad

Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

Ecuaciones hoo!"neas

Se dice que es hoo!"nea una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden de la

forma:

an ( x ) d

n y

d xn+an−1 ( x )

dn−1

y

d xn−1 +…+a1 ( x )

dy

dx+a0 ( x ) y=0

#rincipio de superposici$n

Teorea %&'&() *ue se encuen+ran en la p,!ina '(' del li-ro de Ecuaciones

diferenciales con .alores en la fron+era) Dennis G& /ill 0 Michael R& Cullen)

s"p+ia edici$n) CENGAGE Learnin! Edi+ores) S&A& IS1N '23452678262876'

Ing. Manuel Eduardo Álvarez Ruiz Página 1 de 39


2/53

Soluci$n !eneral de una ED hoo!"nea

Teorea %&'&9) *ue se encuen+ran en la p,!ina '(% del li-ro de Ecuaciones



Ecuaciones no hoo!"neas

Se dice que es no es hoo!"nea una ecuación diferencial lineal de n-ésimo

orden de la forma donde g ( x ) ≠0 :

an ( x ) d

n y

d xn+an−1 ( x )

dn−1

y

d xn−1 +…+a1 ( x )

dy

dx+a0 ( x ) y=g( x)

Soluci$n !eneral de una ED no hoo!"nea

Teorea %&'&:) *ue se encuen+ran en la p,!ina '(: del li-ro de Ecuaciones





3/53

#rincipio de superposici$n

Teorea %&'&5) *ue se encuen+ran en la p,!ina '(5 del li-ro de Ecuacionesdiferenciales con .alores en la fron+era) Dennis G& /ill 0 Michael R& Cullen)


Reducci$n de orden

Si se tiene una ED lineal de la forma:

a2 ( x ) y' ' +a1 ( x ) y

' +a0 ( x ) y=0

Con una solución y1 en el intervalo I , la solución a esta ED es

y=C 1 y1+C 2 y2 .

Donde y2= y1( x)∫ e−∫ P ( x ) dx

dx( y1 ( x ) )

2

E;ercicios %&() *ue se encuen+ran en la p,!ina '8( del li-ro de Ecuaciones





4/53

'& y' ' −4 y ' +4 y=0 ; y 1=e

2 x

Solución:

• La ED está en su forma estándar por tanto:

P ( x )=−4

• Sustituir en y

2= y

1( x)∫ e

−∫ P ( x ) dx dx

( y1 ( x ) )2 :

y2=e2 x∫ e

−∫(−4)dx dx

( e2 x )2 y2=e

2 x∫ e∫ 4dx dx

(e2 x )2

y2=e2 x

∫e4 x

dx

(e2 x )2 y2=e2 x∫ e

4 x

dxe4 x y2=e2 x∫ dx

y2= xe2 x

• Por tanto la solución a la ED es:

y=C 1 e2 x+C 2 xe

2 x

(& y' ' +2 y ' + y=0 ; y 1= xe− x

Solución:

• La ED está en su forma estándar por tanto:

P ( x )=2

• Sustituir en y

2= y

1( x)∫ e

−∫ P ( x ) dx dx

( y1 ( x ) )2 :

y2= xe− x∫ e

−∫(2 )dx dx

( xe− x )2 y2= xe

− x∫ e−∫2dx dx

x2 e−2 x



5/53

y2= xe− x∫ e

−2 xdx

x2

e−2 x y2= xe

− x∫ x−2 dx

y2= xe− x (− x−1 ) y2=−e

− x


y=C 1 xe− x+C 2e

− x

:& y' ' −25 y=0 ; y1=e

5 x

Solución:

• La ED está en su forma estándar, P ( x )=0 a que el coeficiente de

y' =0 .

• Sustituir en y2= y1( x)∫

e−∫ P ( x ) dx dx

( y1 ( x ) )2 :

y2=e5 x∫ e

−∫0dx dx

( e5 x )2 y2=e

5 x∫ dx( e5 x )2

y2=e5 x∫ e−10 x dx

• !esolviendo ∫e−10 x

dx :

∫e−10 x u=−10 x ; du=−10dx ∫−110

eu

−110

eu

−110

e−10 x

•

Entonces:

y2=e5 x∫ dx

( e5 x )2 y2=e

5 x (−110

e−10 x) y2=

−110

e−5 x


y=C 1 e5 x+C 2e

−5 x



6/53

4& x2 y

' ' −7 x y ' +16 y=0 ; y1= x4

Solución:

• Pasar la ED a su forma estándar:

y' ' −

7 y'

x +

16 y

x2 =0

P ( x )=−7 x

• Sustituir en y

2= y

1( x)∫ e

−∫ P ( x ) dx dx

( y1 ( x ) )2 :

y2= x4∫ e

−∫ (−7 x

)dxdx

( x4 )2 y2= x

4∫ e7∫ 1

xdx

dx

x8

e7ln ¿ x∨¿dx

x8

y2= x4∫ ¿

eln ¿ x7∨¿ dx

x8

y2= x4∫ ¿

y2= x4∫ x

7

x8

y2= x4

∫ 1 x

¿ x∨¿

y2= x4ln ¿


¿ x∨¿ y=C

1 x

4+C 2 x

4ln¿

'2& x2 y

' ' +2 x y ' −6 y=0 ; y1= x2

Solución:




7/53

y' ' +

2 y'

x −

6 y

x2 =0

P ( x )=2

x



( y1 ( x ) )2 :

y2= x2∫ e

−∫(2 x)dx

dx

( x2 )2 y2= x

2∫ e−2∫( 1

x) dx

dx

x4

e−2ln¿ x∨¿dx

x4

y2= x2∫¿

y2= x2

∫e ln

| x−2|dx

x4 y2= x

2

∫ x−2

dx

x4

y2= x2∫ x−6 dx

y2= x2(−15 x−5) y2=−15 x

−3


y=C 1 x2+C 2 x−3

''& x y' ' + y ' =0 ; y1=ln∨ x∨¿

Solución:


y' ' +

y'

x

+ y

x

=0

P ( x )=1

x



8/53

• Sustituir en y

2= y

1( x)∫ e

−∫ P ( x ) dx dx

( y1 ( x ) )2 :

ln∨ x∨¿¿¿2¿¿

e−∫( 1

x)dx

dx¿

y2=ln∨ x∨∫¿

ln∨ x∨¿¿¿2¿¿

e−ln ¿ x∨¿dx

¿¿

y2=ln∨ x∨∫¿

ln∨ x∨¿¿¿2¿¿

eln ¿ x−1∨¿dx

¿¿

y2=ln∨ x∨∫¿

ln∨ x∨¿¿¿2¿¿

eln¿ x−1∨¿dx

¿¿

y2=ln∨ x∨∫¿

y2=ln| x|∫

x−1

dx

(ln| x|)2

• !esolviendo ∫ x

−1dx

(ln| x|)2 :

∫ x−1

dx

(ln| x|)2 u=ln| x| du= x

−1dx ∫

du

(u )2

−u−1

−( ln| x|)−1

•

Por tanto:

y2=−ln| x|(ln| x|)−1

y2=−1


y=C 1ln| x|+C

2



9/53

'(& 4 x2

y' ' + y=0 < y1= x

1

2 ln∨ x∨¿

Solución:


y' ' +

y

4 x2=0

P ( x )=0 "a que el coeficiente de y' =0 .



( y1 ( x ) )2 :

x1

2 ln∨ x∨¿¿¿2¿¿

e−∫ 0dx dx¿

y2= x1

2ln∨ x∨∫¿

y2= x1

2 ln| x|∫ dx x ( ln| x|)2

y2= x12 ln| x|∫ dx

x ( ln| x|)2

• !esolviendo∫ dx

x ( ln| x|)2 :

∫ x−1

dx

(ln| x|)2 u=ln| x| du= x

−1dx ∫

du

(u )2

−u−1

−( ln| x|)−1

• Por tanto:



10/53

y2=− x1

2 ln| x|(ln| x|)−1 y2=− x1

2


y=C 1 x

1

2

ln| x|+C 2 x

1

2

Ecuaciones lineales hoo!"neas con coeficien+es cons+an+es

Estas ED se pueden representar de la si#uiente forma:

an ( x ) yn+a n−1 ( x ) y

n−1+…+a2 ( x ) y'' +a1 ( x ) y

' +a0 ( x ) y=0

Donde an , an−1 , … , a2 ,a1, a0 son constantes reales con an ≠0 .

$na solución a esta ED es y=erx

.

E%emplo:

De la ED: an ( x ) yn+an−1 ( x ) y

n−1+…+a2 ( x ) y'' +a1 ( x ) y

' +a0 ( x ) y=0

Derivar la solución y=erx

las veces que sea necesaria:

Sustituir en la ED:

an ( x ) (rn

erx )+an−1 ( x ) (r

n−1e

rx )+…+a2 ( x ) (r2

erx )+a1 ( x ) (ℜ

rx)+a0 ( x ) (erx )=0

Sacar como factor com&n erx

erx (an ( x ) r

n+an−1 ( x ) rn−1+…+a2 ( x ) r

2+a1 ( x ) r+a0 ( x ) )=0

an ( x )rn+an−1 ( x ) rn−1+…+a2 ( x )r2+a1 ( x )r+a0 ( x)=0

'Esta ecuación será llamada Ecuaci$n Au=iliar (

De la ecuación au)iliar se sacan las ra*ces ' r ( tra+a%ando al#e+raicamente para

lue#o encontrar la solución de la ED.



11/53

Soluci$n !eneral de la ED

Caso '3

Ra>ces reales dis+in+as

Si las ra*ces r1 ,r 2, … , rn de la ecuación au)iliar son reales distintas, entonces:

y ( x )=C 1 er 1 x+C 2 e

r2 x+…+C n er n x

Es una solución #eneral de la ED.

Caso (3

Ra>ces repe+idas3

Si la ecuación au)iliar tiene una ra* repetida r de multiplicidad k , entonces

parte de la solución #eneral de la ecuación diferencial correspondiente a r es

de la forma:

(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x

k −1)erx

Caso 83Ra>ces cople;as o ia!inarias3

Si la ecuación au)iliar tiene ra*ces ima#inarias r=∝± βi , entonces la parte

correspondiente de la solución #eneral de la ecuación es:

e∝ x(C 1cos βx+C 2 sin βx )

E;ercicios %&8) *ue se encuen+ran en la p,!ina '87 del li-ro de Ecuaciones



'& 4 y' ' + y ' =0

Solución:



12/53

• Se usa la ecuación au)iliar:

4 m2+m=0

• Se encuentran sus ra*ces:

4 m2+m=0 m(4 m+1)=0

m1=0 ; m2=−14

• Caso : !a*ces reales distintas, por tanto la solución a la ED es:

y ( x )=C 1 e0 ( x )+C 2e

−14

( x ) y ( x )=C

1+C

2e−14

( x )

(& y' ' −36 y=0

Solución:


m2−36=0

• Encontrar sus ra*ces:

m

2

−36=0

m

2

=36

m1,2=±

√ 36

m1=6 ; m2=−6


y ( x )=C 1 e6 x+C 2 e

−6 x

8& y' ' − y ' −6 y=0

Solución:


m2−m−6=0

• Encontrar sus ra*ces usando la fórmula cuadrática:



13/53

m1,2=−b± √ b2−4ac

2a −(−1)±√ (−1 )

2−4 (1)(−6)

2(1)

1±√ 1+242

1±5

2

m1=(1+5 )2 =3; m2=

(1−5 )2 =−2


y ( x )=C 1 e3 x+C 2 e

−2 x

%& y

' ' −3 y ' +2 y=0

Solución:


m2−3m+2=0


m2−3m+2=0 (m−2 ) (m−1 )=0

m1=2 ; m2=1


y ( x )=C 1 e2 x+C 2 e

x

9& y' ' +8 y ' +16 y=0

Solución:


m2+8m+16=0


m2+8m+16=0 (m+4 ) (m+4 )=0



14/53

m1=−4 ; m2=−4

• Caso : !a*ces repetidas, por tanto la solución a la ED es:

(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x

k −1)erx (C 1+C 2 x )e−4 x

y ( x )=(C 1+C 2 x )e−4 x

:& y' ' −10 y ' +25 y=0

Solución:


m2

−10m+25=0


m2−10m+25=0 (m−5 ) (m−5 )=0

m1=5 ; m2=5


(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x

k −1)erx (C 1+C 2 x )e5 x

y ( x )=(C 1+C 2 x )e5 x

5& 12 y' ' −5 y ' −2 y=0

Solución:


12m2

−5m−2=0




15/53

m1,2=−b± √ b2−4ac

2a −(−5)±√ (−5 )

2−4 (12)(−2)

2(12)

5±√ 25+9624

5±√ 25+96

24 5±11

24

m1=

5+1124

=2

3; m2=

5−1124

=−14


y ( x )=C 1 e2

3 x

+C 2 e−14

x

7& y' ' +4 y ' − y=0

Solución:


m2+4m−1=0


m1,2=−b± √ b2−4ac

2a −(4)±√ (4 )

2−4(1)(−1)

2(1)

−4±√ 16+42

−4±√ 16+42

−4±√ 20

2 −2±√ 5

m1=−2+√ 5 ; m2=−2−√ 5


y ( x )=C 1 e(−2+√ 5) x+C 2 e

(−2+√ 5) x



16/53

4& y' ' +9 y=0

Solución:


m2+9=0


m2+9=0 m

2=−9 m=± 3 i ;∝=0 ; β=3

• Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto la solución a la ED es:

e∝ x(C 1cos βx+C 2 sin βx ) e

(0 ) x(C 1cos√ 3 x+C 2sin√ 3 x)

y ( x )=C

1

cos3 x+C 2

sin3 x

'2& 3 y' ' + y=0

Solución:


3m2+1=0


3m2+1=0 3m

2=−1 m2=

−13

m2=±√13 i ;

∝=0 ; β=√ 13 • Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto la solución a la ED es:

e∝ x

(C 1cos βx+C 2 sin βx ) e (0

) x(C 1 cos

√1

3 x+C 2sin √1

3 x)

y ( x )=C 1 cos√13 x+C 2sin√ 13 x



17/53

'9& y' ' ' −4 y ' ' −5 y ' =0

Solución:


m3−4 m2−5m=0


m3−4 m2−5m=0 m ( m

2−4m−5 )=0

m ( (m+1 ) (m−5 ) )=0

m1=0 ; m2=−1; m3=5 ;


y ( x )=C 1 e(0) x+C 2e

(−1) x+C 3 e(5) x

y ( x )=C 1+C 2e− x+C 3e

5 x

'5& y' ' ' −5 y ' ' +3 y ' +9 y=0

Solución:• Se usa la ecuación au)iliar:

m3−5m2+3m+9=0

• Encontrar sus ra*ces usando división sintética:

m3−5m2+3m+9=0

P=¿ Coeficiente del término con maor e)ponente,

Q=¿ Coeficiente del término con menor e)ponente

Posi+les ceros: ± (multiplos de P ) ± (multiplosdeQ )±( multiplos de Pmultiplos deQ )



18/53

Posi+les ceros: ±1,±3,±9,± 1

3 , ±

1

9

• División sintética:

• Por tanto:

(m+1 ) ( m2−6m+9)=0 (m+1 ) ( (m−3 ) ( m−3 ) )=0

m1=−1; m2=3 ; m3=3 ;

• Caso : !a*ces reales distintas, por tanto parte de la solución a la ED es:

C 1 e− x

• Caso : !a*ces repetidas, por tanto parte de la solución a la ED es:

(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x

k −1)erx (C 2+C 3 x )e3 x

• Por tanto la solución de la ED es:

y ( x )=C 1 e− x+(C 2+C 3 x)e

3 x

('& y' ' ' +3 y '' +3 y ' + y=0

Solución:


m3+3m2+3m+1=0


m3+3m2+3m+1=0

P=¿ Coeficiente del término con maor e)ponente,

Q=¿ Coeficiente del término con menor e)ponente



19/53

Posi+les ceros: ± (multiplos de P ) ± (multiplosdeQ )±( multiplos de Pmultiplos deQ )

Posi+les ceros: ±1

• División sintética:

• Por tanto:

(m+1 ) ( m2+2m+1)=0 (m+1 ) ( (m+1 ) (m+1 ) )=0

m1=−1; m2=−1; m3=−1;


(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x

k −1)erx

y ( x )=(C 1+C 2 x+C 3 x2)e− x

#ro-leas Cap>+ulo 8) *ue se encuen+ran en la p,!ina '52 del li-ro deEcuaciones diferenciales para in!enier>a ? ciencias) @unus A& en!el 0

Billia & #al III) priera edici$n) McGRAB6ILLINTERAMERICANA

EDITORES S&A& IS1N 4576:256'96247469

86'82

a y' ' +5 y ' +4 y=0

Solución:


m2+5m+4=0


m2+5m+4=0 (m+4 ) (m+1 )=0



20/53

m1=−4 ; m2=−1


y ( x )=C 1 e−4 x+C 2e

− x

- y' ' +6 y ' +9 y=0

Solución:


m2+6m+9=0


m2+6m+9=0 (m+3 ) (m+3 )=0

m1=−3; m2=−3


(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x

k −1)erx y ( x )=(C 1+C 2 x )e−3 x

c y' ' + y ' +3 y=0

Solución:


m2+m+3=0


m1,2=

−b± √ b2−4ac2a

−(1)±√ (1 )2−4(1)(3)

2(1)

−1±√ 1−122

−1±√ −11

2

−1±√ 11i

2 ∝=

−12

; β=√ 112



21/53



(−12 ) x(C 1cos √ 11

2 x+C 2sin

√ 112

x)

e−12 x (C

1cos √ 11

2 x+C

2sin √ 11

2 x )

86'8(

a y' ' +10 y ' +25 y=0

Solución:


m

2

+10

m+25

=0


m2+10m+25=0 (m+5 ) ( m+5 )=0

m1=−5; m2=−5


(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x

k −1)erx (C 1+C 2 x )e−5 x

y ( x )=(C 1+C 2 x )e−5 x

- y' ' +5 y ' +25 y=0

Solución:


m2

+5m+25=0




22/53

m1,2=−b± √ b2−4ac

2a −(5)±√ (5 )

2−4 (1)(25)

2(1)

−5±√ 25−1002

−5± √ −752

−1±5√ 3 i2

∝=−12

; β=5√ 32



(−12 ) x(C 1cos 5 √ 32

x+C 2sin 5√ 32

x )

e−12

x

(C 1cos

5 √ 32

x+C 2sin

5√ 32

x)

c y' ' +10 y ' −25 y=0

Solución:


m2+10m−25=0


m1,2=−b± √ b2−4ac

2a −(10)±√ (10 )2−4 (1)(−25)

2(1)

−10±√ 100+1002

−10±√ 200

2 −10±10√ 2

2 −5±5√ 2

m1=−5+5√ 2 ; m2=−5−5√ 2


y ( x )=C 1 e(−5+5√ 2) x+C

2e(−5−5√ 2 ) x



23/53

M"+odo de superposici$n3

Para resolver una ecuación lineal no 0omo#énea de la forma:

an ( x ) yn+an−1 ( x ) y

n−1+…+a2 ( x ) y' ' +a1 ( x ) y

' +a0 ( x ) y=g( x)

Donde g( x)≠0 1 se de+e 0acer dos cosas:

• encontrar la función complementaria yc

• encontrar al#una solución particular y p de la ecuación no

0omo#énea g( x) .

Siendo la solución #eneral de la ecuación lineal no 0omo#énea: y= yc+ y p . La

función complementaria yc es la solución #eneral de la ED 0omo#énea

asociada de la ED, es decir:

an ( x ) yn+a n−1 ( x ) y

n−1+…+a2 ( x ) y'' +a1 ( x ) y

' +a0 ( x ) y=0

El método no es aplica+le a ecuaciones cuando

g ( x )=ln x , g ( x )=1

x ,g ( x )=tan x ,

g ( x )=sin−1 x

Caso I

2in#una función de la solución particular supuesta es una solución de la ecuación

diferencial 0omo#énea asociada.

En la ta+la 3. se muestran al#unos e%emplos espec*ficos de g( x) , %unto con la

forma correspondiente de la solución particular. Por supuesto, se da por sentado

que nin#una función de la solución particular supuesta y p se duplica por una

función en la función complementaria yc .



24/53

Ta-la %&') *ue se encuen+ran en la p,!ina '%% del li-ro de Ecuaciones


s"+ia edici$n) CENGAGE Learnin! edi+ores) S&A& IS1N '23452678262876'

Re!la de fora para el caso I3 La forma y p es una com+inación lineal de

las funciones linealmente independientes que se #eneran dediante derivadas

sucesivas de g( x) .

Caso II

$na función en la solución particular supuesta tam+ién es una solución de la

ecuación diferencial 0omo#énea asociada.

Re!la de fora para el caso II3 Si al#una y p , contiene términos que

duplican los términos de yc , entonces esa y p , se de+e multiplicar por xn

,

donde n es el entero positivo más peque4o que elimina esa duplicación.

E;ercicios %&%) *ue se encuen+ran en la p,!ina '%7 del li-ro de Ecuaciones



'& y' ' +3 y ' +2 y=6

Solución:



25/53

( Encontrar la función complementaria yc :

y' ' +3 y ' +2 y=0


m2+3m+2=0


m2+3m+2=0 (m+1 ) (m+2 )=0

m1=−1; m2=−2

• Caso : !a*ces reales distintas, por tanto nuestra función complementaria

yc es:

yc=C 1e− x+C 2e

−2 x

( Encontrar la función particular y p :

g ( x )=6

• 'Consultar ta+la 3.( Por ser una &nica constante y p es:

y p= A

• Derivar las veces que sea necesaria la función y p sustituirla en la ED:

y p' =0 1 y p

' ' =0 ;

y' ' +3 y ' +2 y=6 (0 )+3 (0 )+2 ( A )=6 A=

6

2=3

•Por tanto

y p

=3

y p=3

/( Solución #eneral de la ED:

y= yc+ y p y=C 1 e− x+C 2 e

−2 x+3



26/53

8& y' ' −10 y ' +25 y=30 x+3

Solución:


y' ' −10 y ' +25 y=0


m2−10m+25=0


m2−10m+25=0

(m−5 ) (m−5 )=0

m1=5 ; m2=5

• Caso : !a*ces repetidas, por tanto la función complementaria yc es:

(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x

k −1)erx (C 1+C 2 x )e5 x

yc=(C 1+C 2 x)e5 x


g ( x )=30 x+3

• 'Consultar ta+la 3.( y p es:

y p= Ax+


y p' = A 1 y p

' ' =0 ;

y' ' −10 y ' +25 y=30 x+3

(0)−10( A)+25 ( Ax+)=30 x+3



27/53

−10 A+25 Ax+25 =30 x+3

• Encontrar los valores de A :

25 Ax=30 x

25 A=30

A=

30

25=

6

5

−10 A+25 =3 −10 (6

5)+25=3 25=3+10( 65 )

=15

25=

3

5

• Por tanto y p=5

6 x+

3

5

y p=6

5 x+

3

5


y= yc+ y p y=(C 1+C 2 x )e5 x+

6

5 x+

3

5

9&1

4 y

' ' + y ' + y= x2−2 x

Solución:

• 5orma estándar:

x

4(¿¿ 2−2 x)

4 ( 14 y ' ' + y ' + y )=¿ y

' ' +4 y ' +4 y=4 x2−8 x


y' ' +4 y ' +4 y=0




28/53

m2+4m+4=0


m2+4m+4=0 (m+2 ) (m+2 )=0

m1=−2; m2=−2

• Caso : !a*ces repetidas, por tanto la función complementaria yc es:

(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x

k −1)erx (C 1+C 2 x )e−2 x

yc=(C 1+C 2 x)e−2 x

( Encontrar la función particular y p

:

g ( x )=4 x2−8 x

• 'Consultar ta+la 3.( y p es:

y p= A x2+x+C


y p' =2 Ax+ 1 y p'' =2 A ;

y' ' +4 y ' +4 y=4 x2−8 x

(2 A )+4 (2 Ax+ )+4 ( A x2+x+C )=4 x2−8 x

2 A+8 Ax+4 +4 A x2+4 x+4C =4 x2−8 x

• Encontrar los valores de A , C :

4 A x2=4 x2 A=1

8 Ax+4 x=−8 x 8(1)+4 =−8 4 =−16

=−4



29/53

2 A+4 +4C =0 2(1)+4 (−4)+4 C =0 4C =14

C =14

4 =

7

2

• Por tanto nuestra y p= x2−4 x+ 72

y p= x2−4 x+

7

2


y= yc+ y p y=(C 1+C 2 x ) e−2 x+ x2−4 x+

7

2

:& y' ' −8 y ' +20 y=100 x2−26 x e x

Solución:


y' ' −8 y ' +20 y=0


m2−8m+20=0


m1,2=−b± √ b2−4ac

2a −(−8)±√ (−8 )

2−4(1)(20)

2(1)

8±√ 64−802

8±√ −162

8±4 i

2 4±2 i

∝=4 ; β=2



(4 ) x (C 1cos2 x+C 2 sin2 x )

e4 x(C 1 cos2 x+C 2sin2 x)



30/53


g ( x )=100 x2−26 x e x

•

'Consultar ta+la 3.(

y p es:

y p=( A x2+x+C )+( !x+ " ) e x


y p' =(2 Ax+ )+ ! e x+ ( !x+ " ) e x 1

y p' ' = (2 A )+2 ! e x+( !x+ " ) e x ;

y' '

−8 y'

+20 y=100 x2

−26 x e x

((2 A )+2 ! e x+( !x+ " )e x)−8 ((2 Ax+ )+ ! e x+( !x+ " )e x)+20(( A x2+x+C )+ ( !x

2 A+2 ! e x+ !x e x+ " e x−16 Ax−8−8 ! e x−8 !x e x−8 " e x+20 A x2+20x+20

2 A+13 !x e x−16 Ax−8 −6 ! e x+20 A x2+20x+20C +13 " e x=100 x2−26 x e x

• Encontrar el valor de A , , C , ! y "

20 A x2=100 x2 20 A=100 A=5

−16 Ax+20x=0 −16 (5 )+20 =0 20=80

=80

20=4

2 A−8 +20C =0 2(5)−8(4)+20C =0

−22+20C =0 C =22

20=

11

10

13 !x e x=−26 x e x 13 !=−26 !=

−2613

=−2



31/53

−6 ! e x+13 " e x=0 −6 (−2)+13 "=0 13 "=−12

"=−1213

• Por tanto y p=(5 x

2+4 x+ 1110 )+(−2 x−

12

13 )e x

y p=(5 x2+4 x+ 1110 )+(−2 x−1213 )e x /( Solución #eneral de la ED:

y= yc+ y p

y=e4 x (C 1 cos2 x+C 2sin2 x )+(5 x

2+4 x+ 1110 )+(−2 x−

12

13 )e x

5& y' ' +3 y=−48 x2 e3 x

Solución:


y' ' +3 y=0


m2+3=0


m2+3=0 m=±√ −3 m=±√ 3 i

∝

=0 ; β=√ 3



(0 ) x(C 1cos√ 3 x+C 2sin√ 3 x)

yc=C 1cos √ 3 x+C 2 sin√ 3 x



32/53

( Encontrar nuestra función particular y p :

g ( x )=−48 x2 e3 x

•

'Consultar ta+la 3.(

y p es:

y p=( A x2+x+C ) e3 x

• Derivar las veces que sea necesaria la función y p la sustituir en la ED:

y p' =( A x2+x+C )( 3e3 x )+ (2 Ax+ ) e3 x 1

y p' ' = ( A x2+x+C ) (9e3 x )+(2 Ax+ ) (3e3 x )+(2 A ) e3 x+ (2 Ax+ )3e3 x ;

y' ' +3 y=−48 x2 e3 x

(( A x2+x+C ) (9e3 x )+(2 Ax+ ) (3e3 x )+ (2 A )e3 x+(2 Ax+ )3e3 x )+3(( A x2+x+C ) e

9 A x2

e3 x+9x e3 x+9C e3 x+6 Ax e3 x+3 e3 x+2 A e3 x+6 Ax e3 x+3 e3 x+3 A x2e3 x+

12 A x2

e3 x

+12x e3 x

+12C e3 x

+12 Ax e3 x

+6 e3 x

+2 A e3 x

=−48 x2

e3 x

• Encontrar los valores de A , C :

12 A x2

e3 x=−48 x2 e3 x A=

−4812

=−4

12x e3 x+8 Ax e3 x=0 12+12(−4 )=0 12=48

=4

12C e3 x+6 e3 x+2 A e3 x=0 12C +6(4)+2(−4 )=0

12C =16 C =16

12=

4

3



33/53

• Por tanto y p=(−4 x2+4 x+ 43 )e3 x

y p=(−4 x2+4 x+ 43 )e3 x


y= yc+ y p y=C 1cos √ 3 x+C 2 sin√ 3 x+(−4 x2+4 x+ 43 )e3 x

4& y' ' − y ' =−3

Solución:

( Encontrar nuestra función complementaria yc :

y'' − y ' =0

6 Se usa la ecuación au)iliar:

m2−m=0

6Encontramos sus ra*ces:

m2−m=0 m (m−1 )=0

m1=0 ; m2=1

6Caso : !a*ces reales distintas, por tanto nuestra función complementaria yc es:

yc=C 1e(0 ) x+C

2e

x

yc=C 1+C 2 e x


g ( x )=−3

6'Consultar ta+la 3.( Por ser una &nica constante nuestra y p es:



34/53

y p= A 'En este caso 0a duplicidad con C 1 de yc por tanto la multiplicamos con

x (

y p= Ax

6Derivamos las veces que sea necesaria la función y p la sustituimos en nuestra ED:

y p' = A 1 y p

'' =0 ;

y'' − y ' =−3 (0 )− ( A )=−3 A=3

6Por tanto nuestra y p=3 x

y p=3 x


y= yc+ y p y=C 1+C 2 e x+3 x

''& y' ' − y ' +

1

4 y=3+e

x

2

Solución:


y'' − y ' +

1

4 y=0


m2−m+

1

4=0

6Encontramos sus ra*ces usando la fórmula cuadrática:



35/53

m1,2=−b±√ b2−4ac

2a −(−1)± √ (−1 )

2−4 (1)(1 /4)

2(1) 1±√ 1−1

2

1±√ 1−12

m1=1

2; m2=

1

2

6Caso : !a*ces repetidas, por tanto nuestra función complementaria yc es:

(C 1+C 2 x+C 1 x2+…+C k x

k −1)erx (C 1+C 2 x )e1

2 x

yc=(C 1+C 2 x)e1

2 x


g ( x )=3+e x

2

6'Consultar ta+la 3.( 2uestra y p es:

y p= A+ e x2 '7cá 0a duplicidad e

x2 con C 1 e

12

x

de yc por tanto lo multiplicamos

por x (.

y p= A+x e x

2 '7cá 0a duplicidad x e x

2 con C 2 x e

1

2 x

de yc por tanto lo

multiplicamos por x (.

y p= A+ x2

e x

2


y p' =2 x e

x

2+ x2(1

2 e

x

2) 1



36/53

y p' ' =2 e

x

2+2x e x

2 ( 12 )+2x e x

2 (1

2)+ x2e

x

2 ( 14 );

y p'' =2 e

x

2+2 x e x

2+1

4 x

2e

x

2 ;

y'' − y ' +

1

4 y=3+e

x

2

(2 e x

2+2 x e x

2+1

4 x

2e

x

2 )−(2x e x

2+ x2(12 e x

2))+ 14 ( A+ x2 e x

2)=3+e x

2

2 e x

2+1

4 A=3+e

x

2

6Encontramos los valores de A :

1

4 A=3 A=12

2 e x

2=e x

2 2=1 =1

2

6Por tanto nuestra y p=12+1

2 x2

e

x

2

y p=12+1

2 x

2e

x

2


y= yc+ y p y=(C 1+C 2 x ) e1

2 x

+12+1

2

x2

e x

2

'(& y' ' −16 y=2e4 x

Solución:



37/53


y'' −16 y=0


m2−16=0


m2−16=0 m

2=16 m=± √ 16

m1=4 ; m2=−4

6Caso : !a*ces reales distintas, por tanto nuestra función complementaria yc es:

yc=C 1e4 x+C 2 e

−4 x


g ( x )=2e4 x


y p= A e4 x

'8a duplicidad A e

4 x

conC 1 e

4 x

de yc

por tanto lo multiplicamos por )(.

y p= A xe4 x


y p' =4 Ax e4 x+ A e4 x 1

y p'' =16 Ax e4 x+4 A e4 x+4 A e4 x ;

y p'' =16 Ax e4 x+8 A e4 x ;

y'' −16 y=2e4 x 16 Ax e

4 x+8 A e4 x−16 A xe4 x=2e4 x 8 A e4 x=2e4 x

6Encontramos el valor de A :



38/53

8 A e4 x=2e4 x 8 A=2 A=

2

8=

1

4

6Por tanto nuestra y p=1

4 xe4 x

y p=1

4 xe

4 x


y= yc+ y p y=C 1 e4 x+C 2 e

−4 x+1

4 xe

4 x

'8& y' ' +4 y=3 sen2 x

Solución:


y'' +4 y=0


m2+4=0


m2+4=0 m

2=−4 m=±√ −4=±2 i

∝=0 1 β=2

6Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto la solución a la ED es:

e∝

x(C 1cos βx+C 2 sin βx ) e (0 ) x(C 1cos2 x+C 2sin2 x)

yc=C 1cos2 x+C 2 sin 2 x




39/53

g ( x )=3 sen2 x


y p= Acos2 x+sen2 x '8a duplicidad con

yc por tanto lo multiplicamos por x (

y p= Axcos2 x+xsen2 x


y p' =−2 Ax sen2 x+ Acos 2 x+2x cos2 x+sen2 x 1

y p'' =−4 Ax cos2 x−2 A sen2 x−2 A sen2 x−4 x sen2 x+2cos2 x+2cos2 x ;

y '' +4 y=3 sen2 x

−4 Ax cos2 x−2 A sen2 x−2 A sen2 x−4 x sen2 x+2 cos2 x+2 cos2 x+4 Ax cos2 x+4 x sen2 x

−4 Asen 2 x+4 cos2 x=3 sen2 x

6Encontramos el valor de A :

−4 Asen 2 x=3 sen2 x −4 A=3 A=−34

4 cos2 x=0 =0

6Por tanto nuestra y p=−34

xcos 2 x

y p=−34

xcos 2 x


y= yc+ y p y=C 1cos2 x+C 2 sin2 x−3

4 x cos2 x



40/53

'9& y' ' + y=2 x senx

Solución:


y'' + y=0


m2+1=0


m2+1=0 m

2=−1 m=±√ −1=±1 i

∝=0 1 β=1

6Caso /: !a*ces comple%as o ima#inarias, por tanto la solución a la ED es:


(0 ) x(C 1cos x+C 2 sin x )

yc=C 1cos x+C 2sin x


g ( x )=2 x senx


y p=( Ax+ ) cos x+(Cx+ ! ) sen x '8a duplicidad con yc por tanto multiplicamos por x

(.

y p=( A x2+x )cos x+(C x2+ !x ) sen x

6Derivamos las veces que sea necesaria la función y

p la sustituimos en nuestra ED:

y p' =(2 Ax+ ) cos x−sen x ( A x2+x )+(2Cx+ ! ) sen x+cos x (C x2+ !x) 1

y p'' = (2 A )cos x−senx (2 Ax+ )−senx (2 Ax+ )−cos x ( A x2+x )



41/53

+(2C ) sen x+cos x (2Cx+ ! )+cos x (2Cx+ ! )−sen x (C x2+ !x);

y' ' + y=2 x sen x

(2 A )cos x−sen x (2 Ax+ )−sen x (2 Ax+ )−cos x ( A x2+x )+(2C ) sen x+cos x (2Cx+ ! )+cos x (2Cx

2 Acos x−2 Ax sen x−senx−2 Ax sen x−senx− A x2 cos x−xcos x+2Csenx+2Cx cos x+ ! co

2 A cos x−4 Ax sen x−2senx+2C sen x+4Cxcos x+2 ! cos x=2 x senx

6Encontramos el valor de A , C ! :

4

Cxcos

x=0

4

C =0

C =0

−4 Axsen x=2 x sen x −4 A=2 A=−24 =

−12

2 A cos x+2 ! cos x=0 2(−12 )+2 !=0 2 !=1 !=

1

2

−2 senx+2C sen x=0 −2 +2(0)=0 =0

6Por tanto nuestra y p=(−12

x2

)cos x+(

12

x

)sen x

y p=(−12 x2)cos x+(12 x )sen x /( Solución #eneral de la ED:

y= yc+ y p x+¿(−12 x2)cos x+(

1

2 x)sen x

y=C 1cos

x+C 2

sen¿

M"+odo de .ariaci$n de par,e+ros

Si se tiene una ED de se#undo orden de la forma:



42/53

a2 ( x ) y' ' +a1 ( x ) y

' +a0 ( x ) y=g( x )

donde g( x) no se puede resolver por el método de superposición, se escri+e la

ED en su forma estándar:

y'' + P ( x ) y ' +Q ( x ) y=# ( x)

La solución #eneral de la ED es

y= yc+ y p

donde y p es:

y p=u1 ( x ) y1 ( x)+u2 ( x ) y2( x )

u1' =

$ 1

$ =

− y2 # ( x )$

u2' =

$ 2

$ =

− y1 # ( x )$

Donde$ =| y1 y2 y1' y2' | , $ 1=|

0 y2

# ( x ) y2' | , $ =| y1 0 y1' # ( x )| .

E;ercicios %&:) *ue se encuen+ran en la p,!ina ':' del li-ro de Ecuaciones



'& y' ' + y=sec x

Solución:


y'' + y=0


m2+1=0




44/53

u1

' =$

1

$ u1

' =−tan x

1 =−tan x

u1=∫u1' u1=∫(−tan x)dx u1=ln (cos x)

u2' =

$ 2

$ u2

' =1

1=1

u2=∫u2' u2=∫dx u2= x

6Entonces:

y p=u1 ( x ) y1 ( x)+u2 ( x ) y2( x )

y p=ln

(cos

x )(cos

x )+ x (sen x )


y= yc+ y p y=C 1cos x+C 2sin x+cos x ln (cos x )+ x sen x

(& y' ' + y=tan x

Solución:


y'' + y=0


m2+1=0


m2

+1=0 m2

=−1 m=± i

∝=0 , β=1




45/53




( Encontrar nuestra función particular y p

:

# ( x )= tan x , y1=cos x , y2=senx





$ 1=| 0 y2# ( x ) y2' | $ 1=| 0 senxtan x cos x|=0−senx (tan x )=−sen x tan x 68allamos el 9ronsiano $ 2 :


$ 2=| y1 0 y1' # ( x )| $ 2=| cos x 0−sen x tan x|=cos x tan x−0=sen x

6Encontramos nuestras funciones u1 u2 :

u1

' =$ 1

$ u1

' =−sen x (tan x )

1 =−sen x ( tan x )

u1=∫u1'

u1=∫−sen x (tan x ) dx

6;nte#rando ∫−sen x (tan x ) dx :



46/53

∫−sen x (tan x ) dx ∫−se n2 xcos x

dx ∫−(1−cos2 x )

cos x

∫ −1cos x

+∫cos x

−∫ sec x+∫cos x=−ln|sec x+ tan x|+sen x

6Por tanto:

u1=−ln|secx+ tan x|+sen x

u2' =

$ 2

$ u2

' =sen x

1 =sen x

u2=∫u2'

u2=∫ sen xdx=−cos x

6Entonces:

y p=u1 ( x ) y1 ( x)+u2 ( x ) y2( x )

y p=(−ln|sec x+ tan x|+senx ) (cos x )+(−cos x) sen x


y= yc+ y

p

y=C 1cos x+C 2sin x+(−ln|secx+ tan x|+sen x ) (cos x )+(−cos x)sen x

8& y' ' + y=senx


y

''

+ y=0


m2+1=0




47/53

m2+1=0 m

2=−1 m=± i

∝=0 , β=1






# ( x )=senx , y1=cos x , y2=senx





$ 1=| 0 y2# ( x ) y2' | $ =| 0 sen xsen x cos x|=0−sen x ( sen x )=−sen2 x 68allamos el 9ronsiano $ 2 :


$ 2=| y1 0 y1' # ( x )| $ =| cos x 0−sen x sen x|=cos x (sen x )−0=cos x (sen x)

6Encontramos nuestras funciones u1 u2 :

u1

' =$ 1

$ u1

' =−se n2 x

1 =−se n2 x



48/53

u1=∫u1' u1=∫(−se n

2 x )dx

6!esolviendo ∫(−se n2 x)dx :

se n2 x=1−cos2 x2 −∫(

1−cos2 x2 )

dx=−12

x+ 14

sen2 x

6Por tanto:

u1=−12

x+1

4 sen2 x

u2' =

$ 2

$ u2

' =cos x (sen x)

1 =cos x sen x

u2=∫u2' u2=∫cos x sen x dx

6!esolviendo ∫cos x sen x dx :

u=senx,du=cosx dx ∫u du=1

2 u

2=1

2se n

2 x

6Por tanto:

u2=1

2 se n2

x

6Entonces:

y p=u1 ( x ) y1 ( x)+u2 ( x ) y2( x )

y p=(−12 x+ 14 sen 2 x)cos x+ 12 se n2 x(sen x )

y p=(−12 x+

1

4 sen 2 x)cos x+

1

2 se n3

x


y= yc+ y p y=C 1cos x+C 2sin x+(−12 x+1

4 sen2 x)cos x+12 se n3 x



49/53

%& y' ' + y=sec% tan%

Solución:


y'' + y=0


m2+1=0


m2+1=0 m

2=−1 m=± i

∝=0 , β=1


e∝%(C 1cos β%+C 2 %) e

(0 )%(C 1cos %+C 2 sin%)

y

c

=C 1cos%+C 2 sin%


# (% )=sec% tan % , y1=cos% , y2=sen%



$ =

| y

1 y

2

y1'

y2'

| $ =|

cos % sen %

−sen% cos%|=cos

2

%−(−se n2

% )=1

68allamos el 9ronsiano $ 1 :




50/53

$ 1=| 0 y2# ( % ) y2' | $ 1=| 0 sen%sec% tan % cos%|=0−sen% sec % tan %=−tan2%



$ 2=| y1 0 y1' # ( % )| $ 2=| cos% 0−sen % sec % tan %|=cos%sec% tan%−0=tan% 6Encontramos nuestras funciones u1 u2 :

u1

' =$ 1

$ u1

' =−tan2 %

1 =−tan2 %

u1=∫u1' u1=∫−tan

2% d%

6;nte#rando ∫−tan2

% d% :

∫−tan2% d% −∫ ( sec2 %−1 ) d%=−tan %+%

6Por tanto:

u1=−tan%+%

u2' =

$ 2

$ u2

' =tan%

1 =tan %

u2=∫u2'

¿cos%∨¿u2=∫ tan% d%=−ln ¿

6Entonces:

y p=u1 (% ) y 1 (% )+u2 (% ) y 2(%)

¿cos %∨¿ sen% y p=(−tan%+% ) (cos% )−ln¿




51/53

y= yc+ y p ¿cos%∨¿ sen%

y=C 1cos%+C 2 sin%+(−tan%+% ) (cos% )−ln ¿

9& y

' '

+ y=co s2

Solución:


y'' + y=0


m2+1=0


m2+1=0 m

2=−1 m=± i

∝=0 , β=1



(0 ) x(C 1cos x+C

2sin x )



# ( x )=cos2 x , y1=cos x , y2=sen x







52/53

$ 1=| 0 y2# ( x ) y2' | $ 1=| 0 sen xcos2 x cos x|=0−sen x (cos2 x )=−sen x (cos2 x )



$ 2=| y1 0 y1' # ( x )| $ 2=| cos x 0

−sen x cos2 x|=cos3 x−0=cos3 x 6Encontramos nuestras funciones u1 u2 :

u1' =

$ 1

$ u1

' =−sen x (cos2 x )

1 =−sen x (cos2 x)

u1=∫u1' u1=∫−sen x (cos2 x ) dx

6;nte#rando ∫−sen x (cos2 x ) dx :

u=cos x , du=−sen x dx ∫u2

du=1

3 u

3=1

3cos

3 x

6Por tanto:

u1=13cos

3 x

u2' =

$ 2

$ u2

' =cos

3 x

1 =cos3 x

u2=∫u2' u2=∫cos

3 x dx

6;nte#rando ∫cos3 x dx :

∫cos3 x dx ∫cos2 x (cos x )dx ∫ (1−se n

2 x )cos x dx

∫ (cos x−cos x se n2 x ) dx=sen x−1

3 se n

3 x

6Por tanto:



53/53

u2=sen x−1

3 se n

3 x

6Entonces:

y p=u1 ( x ) y1 ( x)+u2 ( x ) y2( x )

y p=1

3cos

3 x (cos x )+(sen x−

1

3 se n

3 x)sen x


y= yc+ y p y=C 1cos x+C 2sin x+1

3cos

4 x+se n2 x−

1

3 se n

4 x

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