Polıgonos Elementos notaveis do triangulo Exercıcios

MA093 – Matematica basica 2Polıgonos - Elementos notaveis do triangulo

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Agosto de 2018

Polıgonos Elementos notaveis do triangulo Exercıcios

Topicos importantes

O objetivo dessa aula e investigar

1 Classificacao de polıgonos.

2 Elementos de polıgonoos.

3 Elementos notaveis de triangulos.

Polıgonos Elementos notaveis do triangulo Exercıcios

Polıgono

Definicao

Dada uma sequencia A1,A2, . . . ,An de n pontos distintos do plano,tal que tres pontos consecutivos nao sao colineares, denominamospolıgono a reuniao dos segmentos A1A2, A2A3, . . . ,AnA1.

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Elementos do polıgono

Elementos do polıgono

Vertices: A1,A2, . . . ,An

Arestas: A1A2, A2A3, . . . ,AnA1

Angulos: A1, A2, . . . , An

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Polıgono simples

Definicao

Um polıgono e simples se nenhum de seus lados intercepta outrolado.

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Regiao poligonal

Definicao

A reuniao de um polıgono com seu interior e chamada regiaopoligonal.

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Polıgono convexo

Definicao

Um polıgono e convexo se, tomando-se quaisquer dois pontos A eB de sua regiao poligonal, o segmento AB esta contido na regiaopoligonal.

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Polıgono equilatero e equiangulo

Definicoes

Um polıgono e

equilatero se todos os seus lados sao congruentes.

equiangulo se todos os seus angulos sao congruentes.

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Polıgono regular

Definicoes

Um polıgono e regular se e convexo, equilatero e equiangulo.

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Diagonal

Definicao

Chamamos de diagonal de um polıgono ao segmento cujasextremidades sao vertices nao consecutivos do polıgono.

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Diagonal

Teorema

Um polıgono com n lados tem n(n − 3)/2diagonais

Cada vertice tem (n − 3) vertices naovizinhos.

Somando todos os vertices, terıamosn(n − 3) diagonais.

Mas cada diagonal foi contada duasvezes (uma para cada vertice).

Logo, temos n(n − 3)/2 diagonais.

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Soma dos angulos internos

Teorema

A soma dos angulos internos de um polıgonoconvexo com n lados e igual a (n − 2) · 180◦.

As (n − 3) diagonais que partem de A1

formam (n − 2) triangulos.

A soma dos angulos internos do polıgonoe a soma dos angulos dos triangulos.

A soma dos angulos do triangulo e 180◦.

Logo, a soma desejada e (n − 2) · 180◦.

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Perımetro

Definicao

O perımetro de um polıgono simples e igual a soma das medidasde seus lados.

p = a + b + c + d + e + f + g .

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Baricentro

Teorema

As tres medianas de um triangulo se interceptam em ummesmo ponto, o Baricentro.

O baricentro divide cada mediana em duas partes, uma dasquais mede o dobro da outra.

AM ≡ BM AO = 2NO

BN ≡ CN BO = 2PO

AP ≡ CP CO = 2MO

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Incentro

Teorema

As tres bissetrizes de um triangulo se interceptam em ummesmo ponto, o Incentro.

O incentro esta a mesma distancia dos lados do triangulo.

CAO ≡ BAO

ABO ≡ CBO

ACO ≡ BCO

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Circuncentro

Teorema

As tres mediatrizes dos lados de um triangulo se interceptamem um mesmo ponto, o Circuncentro.

O circuncentro esta a mesma distancia dos vertices dotriangulo.

AM ≡ BM BN ≡ CN AP ≡ CP AO ≡ BO ≡ CO

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Ortocentro

Teorema

As retas suporte das tres alturas de um triangulo seinterceptam em um mesmo ponto, o Ortocentro.

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Exercıcio 1

Problema

Determine o valor de x na figura abaixo.

90◦

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Exercıcio 2

Problema

Sabendo que, na figura, o lado AB e paralelo a DE , determine ovalor de x .

120◦

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Exercıcio 3

Problema

Sabendo que o triangulo ABP e equilatero e que o pentagonoABCDE e regular, determine x .

x = 66◦

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Exercıcio 4

Problema

Para qual polıgono convexo a soma dos angulos internos fornece1080◦?

O octogono, que tem 8 lados.

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Exercıcio 5

Problema

Escreva uma equacao quadratica que nos permita determinar opolıgono que tem 54 diagonais. Encontre o numero de lados dopolıgono resolvendo essa equacao.

n2

2− 3n

2− 54 = 0

O polıgono tem 12 lados (dodecagono)

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Exercıcio 6

Problema

Determine o valor de x na figura abaixo.

35◦

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Exercıcio 7

Problema

Sendo G o baricentro do triangulo ABC , determine x , y e z .

x = 7, y = 12, z = 5

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Exercıcio 8

Problema

Seja O o ortocentro (ponto de intersecao das alturas) de umtriangulo isosceles de base AB. Sabendo que o angulo AOB mede110◦, determine os angulos internos do triangulo.

Dica: faca um desenho que represente o problema.

55◦, 55◦ e 70◦