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MA1003 Calculo IIITema 01: Superficies y funciones vectoriales de una variable real

Parte 01: Rectas y planos

Profesor Jesus Sanchez Guevara

U.C.R.

I Semestre 2020

Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T01P01 rectas y planos I Semestre 2020 1 / 11

En esta clase

1 Introduccion a MA1003.

2 Herramientas de algebra lineal.

3 Rectas y planos.

Introduccion a MA1003

¿De que se trata el curso de Calculo III?

o Se adaptan las tecnicas de tratamiento defunciones de una variable para trabajar enproblemas de varias variables.

Estructura del curso

El curso se divide en las siguientes partes:

1 Estudio de las regiones en el plano y elespacio.

2 Derivacion en varias variables yaplicaciones.

3 Integracion en varias variables.

4 Aplicaciones de integracion.


Definicion

1 Denotamos por R2 al conjunto

Rˆ R “ tpa, bq : a, b P Ru

2 Denotamos por R3 al conjunto

Rˆ Rˆ R “ tpa, b, cq : a, b, c P Ru

3 Denotamos por Rn al conjunto

Rˆ¨ ¨ ¨ˆR “ tpa1, . . . , anq : a1, . . . , an P Ru

Representacion grafica

o Graficar algunos puntos en R2 y R3

(1,2,3), (1,-2,3), (0,0,2)

Usar Geogebra.

Distancia

Dados A “ pa1, a2, a3q y B “ pb1, b2, b3q, ladistancia entre A y B es el numero real

dpA,Bq “b

pb1 ´ a1q2 ` pb2 ´ a2q

2 ` pb3 ´ a3q2

Ejemplo, esfera de R3

Determine los puntos P “ px , y , zq en R3 talesque dpO,Pq “ r , con r ą 0 y dondeO “ p0, 0, 0q (llamado origen).

dpO,Pq “ r ôb

px ´ 0q2 ` py ´ 0q2 ` pz ´ 0q2 “ r

ô x2 ` y2 ` z2 “ r2

Esta es la ecuacion de una esfera de radio rcentrada en el origeno Graficar en Geogebra

x*x+y*y+z*z=4, (0,0,2), (0,-2,0)


Definicion

Un vector (se escribe ~v) es un objeto con unadireccion y una longitud (escrita }~v}) y serepresenta por una flecha.En el sistema coordenado se puede representarpor una tripleta ~v “ pv1, v2, v3q, conv1, v2, v3 P R. Dando a entender que ~v esrepresentado por la flecha desde el origen alpunto pv1, v2, v3q.

o¿Cual es la diferencia entre un punto y unvector en R3?

Definicion

Dados dos puntos A “ pa1, a2, a3q yB “ pb1, b2, b3q, se llama vector derepresentacion del segmento de A a B, al vector~v “ pb1 ´ a1, b2 ´ a2, b3 ´ a3q. Tambien se

denota ~AB.

o En general ~AB ‰ ~BA

Operaciones con vectores

1 Multiplicacion de un vector ~v “ pv1, v2, v3q

por un escalar c P R:

c~v “ pcv1, cv2, cv3q

2 Suma de vectores, si ~v “ pv1, v2, v3q y~w “ pw1,w2,w3q, entonces

~v ` ~w “ pv1 ` w1, v2 ` w2, v3 ` w3q

o Representacion grafica de ambas operaciones.o Ver diagonales ~A` ~B, ~A´ ~B deparalelogramo determinado por ~A y ~B

Vectores canonicos

1 ~e1 “ i “ p1, 0, 0q

2 ~e2 “ j “ p0, 1, 0q

3 ~e3 “ k “ p0, 0, 1q

o Todo vector ~v “ pv1, v2, v3q se puedeexpresar como una unica combinacion lineal delos vectores canonicos ~v “ v1 i ` v2 j ` v3k.Notar que v1 i ` v2 j es una proyeccion sobre elplano XY .


Norma de un vector

La norma o magnitud de un vector~v “ pv1, v2, v3q es

}~v} “b

v21 ` v2

2 ` v23

Un vector ~u se dice unitario si }~u} “ 1.

Algunas propiedades:

1 }c~v} “ |c|}~v}.

2 Si }~v} ‰ 0, entonces ~u “ ~v}~v}

es unitario.

o Explicar la formula de la norma comogeneralizacion del teorema de Pitagoras.

Definicion

Dos vectores ~v y ~w se dicen paralelos si existec P R tal que ~v “ c ~w .

o ~v y ~v}~v}

son paralelos.

o Representar graficamente vectores paralelos.

Definicion

Si ~v “ pv1, v2, v3q y ~w “ pw1,w2,w3q, suproducto punto es el numero real

~v ¨ ~w “ v1w1 ` v2w2 ` v3w3

Teorema

~v ¨ ~w “ }~v}}~w} cospθq, donde 0 ď θ ď π.

o Verificacion: Si ~v “ ~w se cumple laafirmacion:

~v ¨ ~w “}~v}}~w} cosp0q

“}~v}2 “ v21 ` v2

2 ` v23

En general, se hace el triangulo con lados ~v y ~wy se aplica la ley de cosenos.

}~v ´ ~w}2 “ }~v}2 ` }~2}2 ´ 2}~v}}~w} cospθq

Desarrollando

}~v ´ ~w}2 “ p~v ´ ~wqp~v ´ ~wq

“ ~v~v ´ 2~v ~w ` ~w ~w


Propiedades

1 ~v ¨ ~v “ }~v}2.

2 ~v ¨ ~w “ ~w ¨ ~v .

3 ~v ¨ p~w ` ~uq “ ~v ¨ ~w ` ~v ¨ ~u.

4 pc~vq ¨ ~w “ ~v ¨ pc ~wq “ cp~v ¨ ~wq.

Aplicaciones del producto punto:

Definicion

El angulo entre dos vectores no nulos ~v y ~w esel unico numero real θ entre 0 y π tal que:

cospθq “~v ¨ ~w

}~v}}~w}

Ejemplo

Considere el triangulo de vertices P1 “ p1, 0, 0q,P2 “ p0, 2, 0q y P3 “ p0, 0, 3q. ¿Cual es el valordel angulo en P1? Hacer en pizarra.

Observacion

1 ~v ¨ ~w ą 0 implica θ ă π{2.

2 ~v ¨ ~w “ 0 implica θ “ π{2.

3 ~v ¨ ~w ă 0 implica θ ą π{2.

o Una aplicacion del producto punto: detectarortogonalidad.

Ejemplo

¿Que representa la ecuacion x ` 2y ` 3z “ 0?

o Explicar y hacer en Geogebra

x+2y+3z=0


o Tambien el producto punto se usa paracalcular las componentes de un vector.

Propiedad

Si ~u es un vector unitario entonces

~A ¨ ~u “ }~A} cospθq

es la componente de ~A a lo largo de ~u. Hacerdibujo.

1 ~A ¨ i es la componente a lo largo de i .

2 Pendulo: hacer el diagrama. ~F peso delpendulo, recta tangente y normal.Componente de ~F a lo largo de la rectatangente causa el movimiento.Componente de ~F a lo largo de la rectanormal causa la tension de la cuerda.

Determinantes

1 (R2) Si ~v “ pv1, v2q y ~w “ pw1,w2q

vectores del plano, entonces

detp~v , ~wq “ det

ˆ

v1 w1

v2 w2

˙

“ v1w2 ´ w1v2

Interpretacion: ˘ area del paralelogramodeterminado por los vectores.

2 (R3)Si ~u “ pu1, u2, u3q, ~v “ pv1, v2, v3q y~w “ pw1,w2,w3q vectores del espacio,entonces

detp~u, ~v , ~wq “ det

¨

˝

u1 v1 w1

u2 v2 w2

u3 v3 w3

˛

‚

“ u1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

v2 w2

v3 w3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

´ v1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

u2 w2

u3 w3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

` w1

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

u2 v2

u3 v3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Interpretacion: ˘ volumen delparalelepıpedo determinado por losvectores.


Producto cruz

Si ~A “ pa1, a2, a3q y ~B “ pb1, b2, b3q vectoresdel espacio, entonces

~Aˆ ~B “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˆˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a2 a3

b2 b3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

,´

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a1 a3

b1 b3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

,

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a1 a2

b1 b2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

˙

Propiedades

1 }~Aˆ ~B} “ area del paralelogramo

determinado por ~A y ~B.

2 ~Aˆ ~B es normal al plano que contiene a ~Ay ~B.

3 p~Aˆ ~Bq ¨ ~A “ 0.

4 p~Aˆ ~Bq ¨ ~B “ 0.

5 ~Aˆ ~B “ ´~B ˆ ~A.

6 ~Aˆ ~A “ ~0.

7 La direccion de ~Aˆ ~B se conoce con laregla de la mano derecha.

Ejemplo

Con la regla de la mano derecha determinar

1 i ˆ j .

2 i ˆ k.

3 j ˆ k.

Propiedad

Volumen de paralelepıpedo determinado por ~A,~B y ~C :

V “ detp~A, ~B, ~Cq “ ~A ¨ p~B ˆ ~Cq

Verificacion:

V “Base ¨ Altura

“}~B ˆ ~C} ¨ Altura

(Altura = componente de ~A sobre normal plano

“ ~A ¨ ~u “ ~A ¨ p~B ˆ ~Cq{}~B ˆ ~C})

ñV “ ~A ¨ p~B ˆ ~Cq


Ecuacion normal de un plano

P “ px , y , zq esta en el plano π que pasa por

P0 “ px0, y0, z0q y tiene normal ~N “ pa, b, cq si

y solo si ~N ¨ p ~P0Pq “ 0. Lo cual se desarrolla en:

ax ` by ` cz “ d

Donde d “ ~N ¨ ~P0 “ ax0 ` by0 ` cz0. A estetipo de ecuacion se le llama ecuacion normal.

Ejemplo

Halle la ecuacion normal del plano que pasa porlos puntos A “ p1, 0, 0q, B “ p0, 1, 0q yC “ p0, 0, 1q.

o Graficar en Geogebra.

Grafique

1 6x ` 3y “ 6

2 6x “ 6

Rectas

P “ px , y , zq esta en la recta L que pasa por lospuntos P0 “ px0, y0, z0q y P1 “ px1, y1, z1q si y

solo si P “ P0 ` t ~P0P1, donde t P R.

La ecuacion vectorial de una recta se puedereescribir como:

1 Ecuaciones parametricas:

$

&

%

x “ x0 ` tpx1 ´ x0q

y “ y0 ` tpy1 ´ y0q

z “ z0 ` tpz1 ´ z0q

Donde t es un parametro en R.

2 Ecuaciones simetricas:

x ´ x0

a“

y ´ y0

b“

z ´ z0

c

Donde ~v “ pa, b, cq puede ser cualquiervector director de la recta.


Ejemplo

Considere los planos:

1 π1 :

-2x+3y+7z=-2

2 π2 :

x+2y-3z=-5

Responda las preguntas:

1 ¿Se intersecan? ¿Como saberlorapidamente? R/ Sus normales no deben

de ser paralelas, i.e. ~N1 ˆ ~N2 ‰ 0.

2 ¿Que forma esta interseccion? Graficarlo

3 Encuentra las ecuaciones parametricas dela recta que forman. Hacerlo de dosformas, resolviendo el sistema y luego, conla direccion ~N1 ˆ ~N2.

1 Punto de π1: P0 “ p0,´3, 1q.

2 ~N1 ˆ ~N2 “ p´2, 3, 7q ˆ p1, 2,´3q “p´23, 1,´7q

Para completar las propiedades:

1 Capıtulo 5: Jesus Sanchez. Algebra linealfundamental. Editorial UCR. 2020.

2 Anexo 4: Miguel Walker. Calculo en variasvariables.


F I N


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