MAESTRÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN

MAESTRÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN

Profesor: Oiner Gómez Baryolo, PhDCorreo: [email protected]

MENCIÓN EN INTELIGENCIA DE NEGOCIO

Módulo: Algoritmo y teoría

TEMA I: Algoritmos y problemas

Fundamentos Matemáticos

ANÁLISIS DE LAS DERIVADAS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Hemos dado como interpretación geométrica de la derivada, lapendiente de la recta tangente a una curva en un punto.Históricamente, una aplicación muy importante de la derivadaimplica el movimiento de un objeto viajando en línea recta. Estonos da una manera conveniente de interpretar la derivada comouna razón de cambio.


APLICACIONES PRÁCTICAS DE LAS DERIVADAS

Determinación de la velocidad promedio y la velocidad

a) Encontrar la velocidad promedio en el intervalo [10, 10.1].b) Encontrar la velocidad cuando t=10.




a)




b) La velocidad v en el tiempo t está dada por



Determinación de una razón de cambio

la razón de cambio es



Razón de cambio del precio con respecto a la cantidad

la razón de cambio de p con respecto a q es dp / dq



Razón de cambio de volumen



Razón de cambio de la matrícula

ANÁLISIS MARGINAL


El Cálculo Diferencial es el estudio de los cambios que ocurren en una

expresión matemática, cuando ocurren variaciones en otras cantidades

(variables independientes) de las cuales depende la cantidad original

(variable dependiente). Así por ejemplo:

- El cambio en el costo total de operación de una empresa, resulta de

cada unidad adicional producida.

- El cambio de la demanda de cierto producto que resulta de un

incremento de una unidad en el precio.

- El cambio del producto nacional bruto de un país por cada año que

pasa

La derivada tiene varias aplicaciones en la economía y la administración

en lo referente a las “tasas marginales“.

COSTO MARGINAL


Se define como costo marginal a la variación del costo total, ante el

aumento de una unidad producida, es decir el costo de producir una

unidad adicional.

El costo marginal es un concepto importante en la microeconomía, ya

que se utiliza para determinar la cantidad de producción de una empresa

y los precios de los productos.

Es claro que el costo marginal no es otra cosa que la derivada de lafunción del costo con respecto a la cantidad producida.

dx

dCNALCOSTOMARGI =

El costo marginal mide la tasa con la que el costo se incrementa con

respecto al incremento de la cantidad producida.

COSTO PROMEDIO MARGINAL


( )x

xCDIOCOSTOPROME =

( )xCdx

dLDIOMARGINACOSTOPROME =

Costo promedio o coste unitario, es el costo de producción por unidad

de producto. Se determina dividiendo el total de costos fijos y costosvariables para el número total de unidades producidas.

Mientras que el costo promedio marginal es igual a laderivada del costo promedio

INGRESO MARGINAL


Ingreso es el cambio que se realiza en el ingreso total por cada unidad adicional que es venda.

Sabemos que PXINGRESO *=

X= Número de unidades Vendidas

P= Precio unitario

Por lo tanto Idx

dMARGINALINGRESO =.

El ingreso marginal representan las entradas adicionalesde una empresa por artículo adicional vendido cuando

ocurre un incremento muy pequeño en el número de

artículos vendidos. Esto es, la tasa con que crece el

ingreso con respecto al volumen de ventas.

UTILIDAD MARGINAL


La Utilidad, desde el punto de vista contextual, se puede

decir que es la aptitud de un bien o servicio para satisfacer lanecesidad humana.

Desde el punto de vista económico( ) ( )xx CIUTILIDAD −=

Utilidad marginal, brinda el consumo de un bien adicional; en

términos matemáticos se puede decir que la Utilidad

Marginal, es la derivada parcial de la función de la Utilidad

con respecto a la cantidad consumida de un bien.

Udx

dMARGINALUTILIDAD =−

La utilidad marginal, representa la utilidad adicional porartículo, si la producción tiene un pequeño incremento.



FORMULAS

x = número de unidadesp = precio/demandaI(x) =ingresoU(x) = costoSiempre que se indique marginal será unaderivada

dx

xdCinalmCosto

)(arg =− P se puede encontrar como:

• Precio unitario• Ecuación de la demandaX se puede encontrar como:• Número de unidades• Volumen de producción• Tasa de producción• Nivel de producciónMaximizar la Utilidad• Segunda derivada• F’’(x) <0 (Max)• F’’(x) >0 (Min)• F’’(x)=0 (Inf)



Aplicaciones de la razón de cambio

La función de costo total de un fabricante, c=f(q), nos da el costo total c de

producir y comerciar q unidades de un producto. La razón de cambio de c con

respecto a q se llama costo marginal. Así,



Aplicaciones de la razón de cambio



Costo marginal

Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es:



Costo marginal

Calcule el costo promedio marginal para la función de costo:



Ingreso Marginal

El ingreso marginal indica la rapidez a la que el ingreso cambia con respecto a las

unidades vendidas. Lo interpretamos como el ingreso aproximado recibido al vender

una unidad adicional de producción.



Ingreso Marginal



Ingreso Marginal

Si la ecuación de la demanda del producto de un fabricante es:



Ingreso Marginal

Si la función de ingreso está dada por:

Determine el ingreso marginal cuando x = 300 si la ecuación dedemanda es: x =1000 - 100p



La ecuación de demanda de cierto artículo es



La función de ingreso está dada por



Una de las aplicaciones más importantes de la teoría de máximos

y mínimos es en las operaciones de empresas comerciales. Esto

ocurre por una razón simple, una empresa selecciona su estrategia

y nivel de operación en tal forma que maximice su utilidad. Así

pues, si la administración de la empresa sabe cómo depende la

utilidad de alguna variable que puede ajustarse, entonces elegirán

el valor de tal variable de modo que produzca la máxima utilidad

posible.



Consideremos el caso en que la variable a ajustar es el nivel deproducción x (el número de unidades del producto de la empresaelaboradas por semana o por mes). Si cada unidad se vende a unprecio p, el ingreso es R(x) = px. El costo de producir x artículosdepende de x y se denota por C(x), la función de costo. Se sigueque la utilidad es una función de x dada por



xp 001.05 −=

xC += 2000

.2500002.0

5

0002.05

002.05

001.05

)001.05(

2

undx

x

xI

xxI

xxI

==

=−

−=

−=

−=

•Para cierto artículo la ecuación de la demanda es ¿Determinar elvolumen de producción para maximizar el Ingreso? Si el costo de producir los artículosque se venden es ¿Calcularlas unidades para que la utilidad seamáxima y el valor de dicha utilidad?

I= xp


APLICACIONES PRÁCTICAS DE LAS DERIVADASPara determinar si este volumen de producción maximiza el ingreso determino la

segunda derivada, (si es mayor que cero tengo máximo, menor que cero mínimos y

si es igual a cero existe un punto de inflexión)

002.0

002.05

−=

−=

I

xISignifica que el volumen de producción maximiza el ingreso.

Para resolver la segunda pregunta: la tasa de producción o número de unidades que

debe producir la empresa para obtener la utilidad máxima, se realiza:

.2000002.0

4

04002.0

4002.0

20004001.0

2000001.05

)2000(001.05

2

2

2

undx

x

xU

xxU

xxxU

xxxU

CIU

==

=−−

−−=

−−−=

−−−=

+−−=

−=

imizaU

xU

max002.0

4002.0

−=

−−=

El valor de la Utilidad máxima:

𝑈2000 = 5000 2000 − 0,001(2000)2- 2000 – 2000𝑈2000 = $2000



( )244

232 xx

xxC +−+=

xI

xpI

5=

=

La función del costo de una fábrica es en dólares, donde el nivel

de producción está dado en miles de artículos semanales. Si cada artículo producido

se puede vender $5 cada uno. Determinar:

a) El Ingreso.

b) Volumen de producción para obtener una Utilidad máxima y el valor de la

Utilidad.

Resolviendo la pregunta a):

Resolviendo la pregunta b):

( )

( )

( )

( )( )

semunidx

x

xx

xx

xx

xx

xxU

xxxxU

CIU

x

x

x

/8

08

048

0324

0432

082

4

824

24425

2

2

2

2

32

=

=−

=+−

=−−

=−+

=−+

−+=

−+−−=

−=



( )

( )42

1

824

2

xU

xxU

x

x

−=

−+=

( ) 5.14

8

2

18 −=−=U

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) 7.24$

3.21161040

24

8

4

88285

max

max

32

max

=

−+−=

−+−−=

U

U

U

Remplazando el valor de las unidades en la segunda derivada:

Es un valor negativo, determina que las 8 unidades producen la utilidad

máxima.

El valor de la Utilidad máxima:



Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los

artículos que produce a un precio de $6 cada uno. El costo de

producir x artículos a la semana (en dólares) es:

¿Qué valor de x debemos seleccionar con objeto de maximizar

las utilidades?



Solución

El ingreso producido por la venta de x artículos a $6 cada

uno es R(x) = 6x dólares. Por consiguiente, la utilidad por

semana es

A fin de encontrar el valor máximo de P, buscamos los puntos

críticos en la forma usual y luego investigamos su naturaleza.

Derivando obtenemos



Solución



El costo de producir x artículos por semana es



Ejercicio: Una compañía obtiene una utilidad de $5 por cadaartículo de su producto que vende. Si gasta A dólares porsemana en publicidad, el número de artículos que vende porsemana está dado por:


EJERCICIOS

Las funciones de costo y de demanda de una empresa son C(x) = 5xy p = 25 - 2x, respectivamente.

a) Encuentre el nivel de producción que maximizará las utilidades de

la empresa.

¿Cuál es la máxima utilidad?

b) Si se impone un impuesto de t por cada unidad y la empresa lo

carga en su costo, encuentre el nivel de producción que maximiza las

utilidades de la empresa.

¿Cuál es la máxima utilidad?

c) Determine el impuesto por unidad t que debe imponerse para

obtener un máximo impuesto sobre la renta.


EJERCICIOS

6003.0 =+ xp

xC 2.12 +=, y la función del costo

determine:

•El nivel de producción que producirá la máxima utilidad.

•¿Cuál es la utilidad máxima?

•Una empresa determino que la fabricación y venta de los bienes que

produce está determinada por la ecuación de la demanda


EJERCICIOS

La ecuación de la demanda para un monopolista es y lafunción del costo promedio: donde x es el número deunidades y , se expresa en dólares por unidad.Determinar:a) El volumen de producción para maximizar la utilidad.b) El precio de las unidades en que ocurre la utilidad máxima.c) Calcular la Utilidad máxima.d) Si como medida reguladora el gobierno impone un impuesto de $22 por

unidad ¿Cuál es el nuevo precio para maximizar la utilidad?

xp 2400 −=

xxC

40042.0 ++=

p C


EJERCICIOS

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