Maestria en actuaria

Modelos de Tasa de Inters y Riesgo de DefaultMotivacin y Programa

Alexander Guarn Lpez

II Semestre 2015

Maestra en Actuara y FinanzasUniversidad Nacional de Colombia

Bogot, Colombia

Motivacin y Programa 1 / 59

Programa

1 Modelos para la tasa de inters (i.e. modelos deestructura a plazos ) y sus derivados

2 Una muy breve mirada a modelos de riesgo de default yderivados de crdito


Por qu estudiar modelos para la tasa de intersy sus derivados?

Por qu estudiar modelos de riesgo de default yderivados de crdito?

Por qu estudiar modelos de riesgo de default enun curso de modelos para la tasa de inters?


Modelos para la tasa de inters y sus derivados:Motivacin

El mercado de derivados de tasa de inters es el mercado de derivados ms grandedel mundo. El BIS estim para Junio de 2012 el valor nominal de contratos detasa de inters OTC en US$494 trillions, y para swaps OTCF sobre tasa de intersde US$342 trillions.

Este tipo de instrumentos son muy utilizados para cubrir la exposicin al riesgo ypara especular (e.g. CDS y CDOs).

Existen mltiples derivados Vanilla sobre la tasa de inters (Swap (fija xflotante), cap, floor, swaption, bond option, forward rate agreement)

La estructura a plazos de la tasa de inters es fuente potencial deinformacin sobre

choques macroeconmicos, y cambios en las expectativas de losagentes sobre la evolucin futura de los indicadores econmicos.


Riesgo de default y derivados de crdito: Motivacin

Los derivados de crdito son muy populares en el mercadoLa cantidad nominal de CDS en el mercado fue de $32 trillions en Junio de2011, despus de haber alcanzado un monto de $6 trillions en 2004 (BIS)

Este tipo de instrumentos son muy utilizados para cubrir la exposicin alriesgo y para especular (e.g. CDS y CDOs)

Los derivados de crdito

Contienen informacin implicita sobre el riesgo de default (e.g. CDS): Estoes muy importante para administradores de portafolio

Estimacin del riesgo de default puede ayudar al pricing de otros derivados(e.g. Defaultable bonds, CDS y ndices de crdito).


Riesgo de default y derivados de crdito: Motivacin

Riesgo de default, probabilidad de default y su dinmica pueden sermuy diferentes entre compaas y sectores econmicos

06 07 08 09 100

100

200

300

400

500

600

700

800

900

bps

1Y3Y5Y7Y10Y

(a) AMERICAN EXPRESS

06 07 08 09 100

20

40

60

80

100

120

bps

1Y3Y5Y7Y10Y

(b) COCA COLA


Temas principales, objetivo y metodologa


Temas principales del curso

Modelos para la tasa de inters:La curva de rendimientos, su estimacin y ajuste a los datosModelos afn, y estructura a plazos para uno y dos factores (Modelos clsicoscomo Vasicek, CIR y Exponential-Vasicek).Otros modelos (HJM y market models)Derivados sobre la tasa de inters.

Modelos de riesgo de default y derivados de crdito:Modelos en forma reducida.Derivados con un slo subyacente (e.g. Defaultable bonds y CDS).


Objetivo

Objetivo del curso:Proporcionar al estudiante un conjunto de herramientas tericas y prcticasen el desarrollo de modelos para la tasa de inters y el riesgo de default, ascomo la valoracin de derivados asociados a estos subyacentes.

Al final del semestre,el estudiante deber estar en la capacidad de identificar y solucionar algunosde los modelos estndar dentro de la literatura de estructura a plazos de latasa de inters y riesgo de default, as como utilizar estos modelos para lavaloracin de distintos derivados.


Metodologa

La clase est dividida en dos sesiones semanales.

En las clases se llevar a cabo tanto la presentacin terica de cadauno los temas, as como de ejemplos relevantes sobre los mismos.

La parte prctica del curso se desarrolla en Matlab. Se sugiere tener ladisponibilidad de un computador porttil para la clase.


El contenido en un mayor detalle....


Modelos de tasa de inters y la valoracin de susderivados....


Modelos de tasa de inters y la valoracin de sus derivados

Introduccin, definiciones y notacinTasa de inters, bonos cupn cero y con cupones, tasas spot y forward,duracin, convexidad, inmunizacin de portafolios, etc.Tasa de inters de corto plazo y la curva de rendimientos: estimacin yajuste a los datos. Valoracin bajo no arbitraje.Derivados sobre la tasa de inters (swaps, forward swaps, caps/floors,swaptions)

Estructura a plazos de la tasa de inters:Un slo factor

Modelos clsicos: Vasicek, Dothan, Cox-Ingersoll-Ross (CIR),Exponential-Vasicek y Hull-While; Modelos Afn.

Dos factoresModelos clsicos y modelo Gaussiano G2++

Otros modelos:Heath-Jarrow-Morton (HJM)Market Models (LFM y LSM)Volatility (CEV y stochastic volatility)


Curva cero cupn: Curva de rendimientos


Estructura a plazos de los factores de descuento


Estructura a Plazos de la Tasa de Inters

0506

0708

0910

1112

13

0

5

10

152

4

6

8

10

12

14

16

Trading DateMaturity (years)

Yie

lds

(%)


Diferentes aproximaciones de la curva de rendimientos

Modelos financieros

VAR

Modelos de factores Macro y factores latentes

Modelos Semi-estructurales

?

Modelos DSGE


Modelo de factores latentes y factores macroeconmicos

Representacin estado-espacio:

Latent-Factor Model

yt = A+Bf ft + tf t f

= f

f t1 f

+ ft .

Macro-Factor Model (Ang & Piazzesi(2003) yDiebold(2006))

ytmt

=

A0

+

BmI

mt +

t0

(mt m) = m (mt1 m) + mt


Ajuste de la curva de rendimientos con factores latentes

05 07 10 120.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12yi(1)

05 07 10 120.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14yi(5)

05 07 10 120.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15yi(10)


Factores latentes: Nivel y pendienteCada panel compara el factor latente con su medida emprica

Level Slope

05 06 07 08 09 10 11 122

3

4

5

6

Index

4

6

8

10

12

Perce

nt (%

)

Level Latent Factor(y(3) +y(24) + y(120))/3

05 06 07 08 09 10 11 120.4

0.3

0.2

0.1

0

Index

8

6

4

2

0

Perce

nt (%

)

Slope Latent Factory(3) y(120)


Modelos de tasa de inters de corto plazo (i.e. instantnea)


Estructura a plazos de la tasa de inters: Un slo factor -Proceso CIR

Considere

Un escenario donde el precio de un bono cupn cero es dado por

P (0, t) = E [D (0, t)] = Eexp

t0 rsds

donde la tasa de inters instantnea rtsigue un proceso CIR

drs = r (rrs) ds + rprsdW rs rt follows a CIR process.


Estructura a plazos de la tasa de inters: Un slo factor -Proceso EV

Considere


P (0, t) = E [D (0, t)] = Eexp

t0 rsds

donde la tasa de inters instantnea rtsigue un proceso EV

rs = expys , dys = ri (lnriys) ds + v rdW rs rt follows a EV process.


Estructura a plazos de la tasa de inters: Dos factores -Procesos CIR

Considere


P (0, t) = E [D (0, t)] = Eexp

t0 rsds

donde la tasa de inters instantnea rt es dada por dos factores que siguenprocesos CIR

rs =2X

i=1

xi,s , i = 1, 2, dxi,s = i (ixi,s) ds + ipxi,sdWi,s

i,j = E [dWi,s , dWj,s ] , i , j = 1, 2


Estructura a plazos de la tasa de inters: Dos factores -Procesos EV

Considere


P (0, t) = E [D (0, t)] = Eexp

t0 rsds

donde la tasa de inters instantnea rt es dada por dos factores que siguenprocesos EV

rs =2X

i=1

expyi,s , i = 1, 2, dyi,s = i (lniyi,s) ds + vidWi,s

i,j = E [dWi,s , dWj,s ] , i , j = 1, 2.


Problemas and Soluciones

1 Problemas:

Cmo calcular

P (0, t) = Eexp

t0 rsds

No hay una solucin en forma cerrada para el modelo EV.La solucin en forma cerrada para el modelo CIR multi-factor requiereque

i,j = E [dWi,s , dWj,s ] = 0, i , j = 1, . . . ,N

Solucin:Approximation by numerical methods


Solucin

1 Solucin analtica

2 Mtodos de simulacin Monte Carlo

3 Mtodos de diferencia finita


Mtodos de simulacin Monte Carlo


Mtodos de diferencia finita

Partial Dierential Equation+

Initial and Boundary Conditions


Experiments: Proceso CIR

Zero-coupon bond price:

Parameters:One-factor model: k1 = 0.2, 1 = 0.035, 1 = 0.10.Two-factor model: We further assume that k2 = 0.1, 2 = 0.015,2 = 0.05, and i,j = 0.

RBF interpolation: 200 centers and 200 time stepsOne-factor: Halton collocation in a spatial domain [0, 1].Two-factor: 4 groups of 50 points each under a uniform distributionover the spatial domain

FDM:One-factor: grid Nx1 Nt with Nx1 = 200 and Nt = 200.Two-factor: grid Nx1 Nx2 Nt with Nx1 = Nx2 = 200 and Nt = 200.


Zero-Coupon Bond Price: CIR Model

(c) One-Factor CIR Model (d) Two-Factor CIR Model


Zero-Coupon Bond Price: One-Factor CIR Model

(A) Analytical Solution

r10 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y

0.015 0.9833 0.9424 0.8960 0.8479 0.7764

0.020 0.9789 0.9319 0.8823 0.8326 0.7607

0.025 0.9744 0.9216 0.8688 0.8177 0.7454

0.030 0.9700 0.9113 0.8555 0.8030 0.7304

0.040 0.9613 0.8912 0.8296 0.7745 0.7012

(B) RBF Interpolation: Approximation Error

r10 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y

0.015 1.9E-07 3.1E-07 3.0E-07 2.4E-07 1.5E-07

0.020 1.6E-07 2.3E-07 2.0E-07 1.4E-07 7.2E-08

0.030 7.4E-08 5.1E-08 -1.6E-08 -5.6E-08 -6.9E-08

0.040 -2.8E-08 -1.5E-07 -2.3E-07 -2.4E-07 -2.0E-07


Zero-Coupon Bond Price: Two-Factor CIR Model

(A) Analytical Solution

r10 r20 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y

0.015 0.010 0.9733 0.9127 0.8481 0.7835 0.6912

0.020 0.012 0.9670 0.8980 0.8287 0.7619 0.6690

0.025 0.015 0.9599 0.8811 0.8065 0.7372 0.6435

0.030 0.018 0.9529 0.8646 0.7849 0.7132 0.6190

0.040 0.025 0.9380 0.8304 0.7406 0.6644 0.5692

(B) RBF Interpolation: Approximation Error

r10 r20 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y

0.015 0.010 6.1E-08 8.0E-07 3.6E-06 9.2E-06 2.1E-05

0.020 0.012 1.0E-07 2.1E-07 9.4E-07 3.2E-06 9.8E-06

0.030 0.018 5.7E-08 -3.7E-07 -1.8E-06 -3.7E-06 -5.0E-06

0.040 0.025 -9.7E-08 -8.3E-07 -3.4E-06 -7.8E-06 -1.5E-05


Zero-Coupon Bond Price: Approximation Accuracy - CIR

RBF Interpolation FDM

Maturity RMSE ME RMSE ME

1Y 4.2E-06 9.1E-06 5.2E-06 1.0E-05

3Y 4.5E-06 8.7E-06 3.1E-05 5.8E-05

5Y 3.2E-06 5.4E-06 5.8E-05 1.0E-04

7Y 2.1E-06 3.2E-06 7.8E-05 1.3E-04

10Y 1.1E-06 1.5E-06 9.4E-05 1.5E-04

(a) One-Factor CIR Model


Maturity RMSE ME RMSE ME

1Y 1.1E-05 2.8E-05 4.6E-05 3.2E-04

3Y 2.5E-05 1.9E-04 7.0E-05 2.8E-04

5Y 5.6E-05 4.4E-04 9.2E-05 3.0E-04

7Y 8.9E-05 6.9E-04 1.1E-04 4.2E-04

10Y 1.3E-04 9.4E-04 1.4E-04 5.4E-04

(b) Two-Factor CIR ModelMotivacin y Programa 34 / 59

Zero-Coupon Bond Price with Dierent Values for the Volatility - CIR


Experiments: Proceso EV

Survival Probability:

Parameters:One-factor model: 1 = 0.1, 1 = 0.02, 1 = 0.06.Two-factor model: We further assume that 2 = 0.2, 2 = 0.005,2 = 0.08, and i,j = 0.

RBF interpolation: 200 centers and 200 time stepsOne-factor: Halton collocation in a spatial domain [0, 1].Two-factor: 4 groups of 50 points each under a uniform distributionover the spatial domain

FDM:One-factor: grid Nx1 Nt with Nx1 = 200 and Nt = 200.Two-factor: grid Nx1 Nx2 Nt with Nx1 = Nx2 = 200 and Nt = 200.


Zero-Coupon Bond Price: EV Model

(e) One-Factor EV Model (f) Two-Factor EV Model


Zero-Coupon Bond Price: One-Factor EV Model

(A) RBF Interpolation: Approximated Solution

10 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y

0.003 0.9967 0.9883 0.9772 0.9634 0.9379

0.005 0.9947 0.9819 0.9665 0.9485 0.9173

0.010 0.9897 0.9675 0.9433 0.9178 0.8775

0.020 0.9802 0.9416 0.9046 0.8689 0.8180

(B) FDM: Approximation Error

10 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y

0.003 -2.1E-06 -7.3E-06 -1.3E-05 -1.9E-05 -2.7E-05

0.005 -3.3E-06 -1.1E-05 -1.8E-05 -2.4E-05 -3.1E-05

0.010 -1.1E-06 -4.0E-06 -7.1E-06 -9.6E-06 -1.2E-05

0.020 -1.1E-05 -2.6E-05 -3.4E-05 -3.7E-05 -3.8E-05


Zero-Coupon Bond Price: Two-Factor EV Model

(A) RBF Interpolation: Approximated Solution

10 20 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y

0.003 0.001 0.9955 0.9837 0.9682 0.9488 0.9134

0.005 0.003 0.9915 0.9719 0.9490 0.9232 0.8804

0.010 0.008 0.9822 0.9471 0.9120 0.8769 0.8247

0.020 0.012 0.9694 0.9144 0.8652 0.8202 0.7589

(B) FDM: Approximation Error

10 20 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y

0.003 0.001 1.8E-05 3.9E-05 -1.8E-04 -4.2E-04 -4.1E-04

0.005 0.003 -3.2E-06 -2.8E-05 -2.9E-05 6.1E-05 3.6E-04

0.010 0.008 -4.6E-05 -1.7E-04 -1.2E-04 -5.0E-05 5.3E-06

0.020 0.012 -2.6E-06 7.9E-05 1.9E-04 1.8E-04 -1.4E-04


Zero-Coupon Bond Price: Approximation Accuracy - EV

Maturity RMSE ME1Y 4.0E-05 7.8E-053Y 4.2E-05 6.6E-055Y 3.8E-05 5.4E-057Y 3.5E-05 4.6E-0510Y 3.3E-05 4.4E-05

(c) One-Factor Model

Maturity RMSE ME1Y 4.6E-04 6.0E-033Y 7.2E-04 8.9E-035Y 1.2E-03 1.6E-027Y 1.4E-03 1.9E-0210Y 1.4E-03 1.9E-02

(d) Two-Factor Model


Zero-Coupon Bond Price: Approximation Eciency Analysis - EV


Centers RMSE ME CPU Time Ny1 Nt RMSE ME CPU Time

50 1.4E-04 7.3E-04 0.02 50200 6.8E-04 1.4E-03 0.02

80 8.7E-06 2.5E-05 0.05 80200 2.6E-04 6.8E-04 0.02

300 2.8E-09 8.7E-09 0.67 300200 1.6E-05 2.4E-05 0.14

400 3.9E-10 1.2E-09 1.34 1000200 3.4E-06 5.4E-06 2.73

(e) One-Factor Model


Centers RMSE CPU Time Ny1 Ny2 Nt RMSE CPU Time

50 5.5E-03 0.06 5050200 8.8E-03 1.1580 2.7E-03 0.11 8080200 4.1E-03 2.65300 8.1E-04 0.95 300300200 4.5E-04 87.64400 2.4E-04 1.84 400400200 4.5E-04 214.86

(f) Two-Factor Model


Modelos afn

Los precios de los activos son una funcin de la tasa de inters de cortoplazo.

R(t,T ) = (t,T ) + (t,T )r(t)

Se cumple la relacin cuando el precio cupn zero es de la forma:

P (t,T ) = A(t,T ) expB(t,T )r(t)


Otros modelos

Modelo Heath-Jarrow-Morton (HJM)Modelamos la tasa forward f (t,T )

Market models:Modelamos la tasa forward LIBOR Fi (t)


Volatility: Local y Estocstica

CEV Model (Cox and Ross, 1976)

dS (t) = (r q) S (t) dt + S (t) 2 dW (t)

Heston Model (1993)

dS (t) = rS (t) dt +pV (t)S (t) dW 1 (t)

dV (t) = ( V (t)) dt + pV (t)dW 2 (t)

Corr [dW1 (t) , dW2 (t)] = %dt,


Modelos de riesgo de default y derivados decrdito ...


Riesgo de default y derivados de crdito

El riesgo de crdito y su relacin con la crisis financiera internacional

Modelos estructurales vs. modelos en forma reducida

Derivados de crdito con un slo activo subyacenteBonos cero cupn con defaultContratos CDS, CDS spreads y otros derivados

Derivados de crdito con mltiples activos subyacentes (Opcional)


Modelos Estructurales

Este tipo de modelos estn basados en el trabajo de Merton (1974),en el cual la vida de una firma est relacionada en forma directa a suhabilidad para pagar su deuda.

Suponga que una firma emite un bono para financiar sus actividades yque este bono tiene maturity al final del tiempo T .

Si la firma no es capaz de pagar al emisor del bono, entonces la firmase encontrar en una situacin de default.


Modelo de Merton


Modelos en Forma Reducida

Estos modelos asumen que el default es una variable aleatoria exgenaque puede saltar en cualquier momento del tiempo

Los modelos en forma reducida establecen un mapping desde laintensidad de default y los parametros del modelo hacia los Spreads atravs de un modelo de valoracin.

El problema principal es que ni la intensidad de default no es unavariable observable.


Intensidad de Default


Modelos en Forma Reducida

Procesos de Poisson y el Proceso Cox

Intensidad de Default:ConstanteDeterminsticaEstocstica

CIRExponential-Vasicek


Bonos Cero Cupn con Default


Credit Default Swap


Derivados de Crdito: Mltiples Activos Subyacentes

First to Default Basket

N-th to Default Basket

Collateralized Debt Obligations (CDO)

i-Traxx y CDX


First- and N-th to Default Basket


CDOs


Notas y Bibliografa


Evaluacin

4 Notas (Parcial o Taller). Cada nota 25%.


ReferenciasAndersen, L. & Piterbarg, V. (2010a). Interest rate modeling: Foundations and vanilla models., volume 1. Atlantic

Financial Press.Andersen, L. & Piterbarg, V. (2010b). Interest rate modeling: Term Structure Models, volume 2. Atlantic Financial

Press.Baxter, M. & Rennie, A. (1996). Financial Calculus An introduction to derivative pricing. Cambridge university

press.Bielecki, T., Brigo, D., & Patras, F. (2011). Credit risk frontiers: Subprime crisis, pricing and hedging, CVA, MBS,

ratings, and liquidity, volume 138. John Wiley & Sons.Bielecki, T. & Rutkowski, M. (2002). Credit risk: Modeling, valuation and hedging. Springer.Bluhm, C., Overbeck, L., & Wagner, C. (2003). An introduction to credit risk modeling. Chapman & Hall.Bomfim, A. (2005). Understanding credit derivates and related instruments. Elsevier.Brandimarte, P. (2003). Numerical methods in finance: a MATLAB-based introduction, volume 489. John Wiley

& Sons.Brigo, D. & Mercurio, F. (2006). Interest rate models theory and practice with smile, inflation and credit. Springer.Brigo, D., Pallavicini, A., & Torresetti, R. (2010). Credit models and the crisis: A journey into CDOs, copulas ,

correlations and dynamic models. John Wiley & Sons.Britten, M. (1998). Fixed Income and Interest Rate Derivative Analysis.Chalasani, P. & Jha, S. (1997). Stochasctic calculus and finance. Steven Shereve.Chaplin, G. (2005). Credit Derivatives, Risk Management, Trading and Investing. Chichester: John Wiley & Sons.Cherubini, U., Luciano, E., & Vecchiato, W. (2004). Copula Methods in Finance. Wiley Finance Series. Chichester:

John Wiley & Sons.Choudhry, M. (2004). Advanced fixed income analysis. Elsevier.Choudhry, M. (2010). Fixed-income securities and derivates handbook: Analysis and valuation. Bloomberg.Choudhry, M., Moskovic, D., & Wong, M. (2014). Fixed income markets: Management, trading and hedging. John

Wiley & Sons.Colin, A. (2005). Fixed income attribution. John Wiley & Sons.Cuthbertson, K. (1996). Quantitative financial economics. Stocks, bonds and foreign exchage. Jo.Due, D. & Singleton, K. (2003). Credit Risk: Pricing, measurment and management. Princeton University Press.Duy, D. (2006). Finite Dierence Methods in Financial Engineering: A Partial Dierential Equation Approach.

Chichester: John Wiley & Sons.Dupacova, J. & Stepan, J. (2003). Stochastic modeling in economics and finance. Kluwer Academic Publishers.Fabozzi, F. (2002). Interest rate, term structure, and valuation modeling. John Wiley & Sons.Fabozzi, F. (2007). Fixed Income Analysis. John Wiley & Sons.Fong, G. (2006). The credit market handbook:: Advanced modeling issues. John Wiley & Sons.Fusai, G. & Roncoroni, A. (2008). Implementing Models in Quantitative Finance: Methods and Cases. Berlin:

Springer.Geiger, F. (2011). The Yield Curve and Financial Risk Premia: Implications for Monetary Policy. Lecture Notes in

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