MAGLEV: modelado y control básicos

8/19/2019 MAGLEV: modelado y control básicos

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DINÁMICA DE PROCESOS INDUSTRIALES, ELO-371 1

Tarea: Deslizador MagnéticoFelipe Andrés Gil Silva 201121019-0

Ricardo Andrés Hernández Vidal 201121035-2

Resumen—Modelado en detalle del sistema real deun deslizado magnético y su modelo linealizado, bajociertos parámetros seleccionados arbitrariamente. Dise ˜ node los controladores para cada uno de los subsistemas.Implementación y muestra de resultados de resultadosobtenidos en Simulink/MatLab.

Palabras claves— MAGLEV, LIM, linealizar

INTRODUCCI ÓN

En 1979 se implemento el primer tren de levitación

magnética (MAGLEV) de prueba, este causo un alto

interés, por la posibilidad teórica de generar un medio

de transporte que solo se ve afectado por la fricción

del aire. Hoy en dı́a la tecnologı́a ha madurado lo

suficiente para poder controlar los distintos sistemas

que involucran la levitación, suspensión y propulsión

de este, de manera que los trenes tipo MAGLEV se han

implementado en diversos paı́ses, preferidos por su alta

velocidad y su inmunidad ante condiciones climáticas.

En este documento se modelara en detalle un desliza-

dor magnético basado en el principio del MAGLEV,

especı́ficamente los sistemas de levitación y propul-sión. Estos se modelaran por separado, ya que son

subsistemas independientes.

El modelamiento de la levitación se lleva a cabo

realizando la 2da ley de newton de dicho subsistema,

en donde afectan solo la gravedad y la fuerza electro-

magnética inducida por el electroimán, desestimando

cualquier tipo de perturbación que cause volcamiento

del cuerpo. Además se ocupa la ley de kirchhoff

de voltajes, para modelar la corriente de actuación

teniendo como entrada el voltaje.

Para el caso del modelamiento de la propulsión se

analiza solo con la segunda ley de newton, en donde

las fuerzas involucradas, la fuerza inducida por el

motor linear de inducción (LIM) y el roce con el

aire, simplificando el sistema, de manera que se pueda

controlar la fuerza inducida por el LIM, teniendo como

entrada la corriente de estator en el eje coordenado q.

Una vez realizados los modelos se proceden a lineali-

zar, según la formula de Taylor.

Se finaliza diseñando los controladores, utilizando el

método de realimentación de estados, para cada uno

de los subsistemas. Se tiene en cuenta el buscar una

respuesta rápida, y a la vez robusta.

Finalmente se analiza el comportamiento del control

diseñado, ante la incorporación de errores de modeladodel 10 %.

DEFINICION DE VARIABLES Y CONSTANTES

Las variables a utilizar son las siguientes:

y: posición vertical del carro [m]i: corriente a través del electroimán [A]u: tensión aplicada al electroimán [V]L: inductancia del electroimán [H]iqs: corriente q a través del estator [A]vx: velocidad horizontal del carro [m/s]

ax: aceleración horizontal del cuerpo [m/s2

]Ψr: flujo rotor del LIM [W b]is: corriente estator del LIM [A]F p: fuerza de propulsión por LIM [N ]F r: fuerza de roce con el aire [N ]

Las constantes a utilizar son las siguientes:

Constantes conocidas:

g: gravedad terrestre 9.8[kg/s2]µ0: permeabilidad magnética del aire4π10−7[ W b

A·m]

ρ: densidad del aire 1.29[kg/m3]

Constantes usadas para simulación:

m: masa del carro 1[kg] p: pares de polos 2[−]N : número de vueltas del imán 100[−]ye: posición vertical de equilibrio del carro0.05[m]ve: velocidad horizontal de equilibrio del carro56[m/s]Ab: área de la base del carro 0.005[m]Af : área frontal del carro 0.0025[m]R: resistencia del imán a inducir 1[Ω]Lm: inductancia mutua del LIM 0.04[H ]Lr: inductancia del rotor del LIM 0.0424[H ]

Ψd

rnom: flujo d a través del rotor nominal del LIM0.8673[V m]

Nota: Durante el desarrollo de esta tarea el subı́ndice

“e” denotará que la variable se encuentra en el puntode equilibrio. Por ejemplo, ie es el valor de la corrientepor el electroimán en equilibrio.


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2 DINÁMICA DE PROCESOS INDUSTRIALES, ELO-371

I. MODELADO F ÍSICO

I-A. Levitaci´ on

La levitación del carro se realiza mediante imanes

permanentes contenidos en el mismo que propician

una fuerza electromágnetica F e repulsiva cuando sele aplica una tensión u. En la Figura 1 se muestrael modelo para una masa pequeña perteneciente al

carro. Dicho modelo se puede extender al carro entero

mediante superposición.

Figura 1. Esquema del modelado f ı́sico para la levitación deldeslizador magnético

En la Figura 1 se puede apreciar que el electroimán

está contenido en el carro. Además existen dos dinámi-

cas incluı́das: la conservación de momentum vertical

del carro y la ecuación del electroimán entre el voltaje

u y la corriente i. Para la primera, según la segundaLey de Newton, la ecuación dinámica que modela la

posición y se muestra en la siguiente ecuación

mÿ = F e − mg (1)

Donde la fuerza electromagnética es

F e = µ0N

2A

4 ·

i2

y2 (2)

Por simplicidad algebráica se puede definir C =µ0N

2A4

, y despejando la posición se tiene:

ÿ = C

m

i2

y2 − g (3)

Por otra parte, la ecuación dinámica del electroimán

es la siguiente

u = R · i + d(L · i)

dt = R · i +

dL

dt · i +

di

dt · L (4)

Donde L representa la inductancia equivalente delelectroimán, que depende de C y de la distancia delcarro y se puede modelar

L = 2C

y (5)

Sustituyendo la ecuación (5) en (4)

u = R · i + 2C

y · i̇ −

2C · i

y2 · ẏ (6)

Combinando las fórmulas (3) y (6) se tiene el

sistema de ecuaciones que modela la levitación.

levitacion :

ÿ = C

mi2y2 − g

i̇ = u2C

y − R2C y · i + i·ẏ

y

(7)

Ahora bien, con el fin de analizar el comportamiento

del sistema en lazo abierto, se usará el punto de

equilibrio como punto de partida del mismo. El punto

de equilibrio es

equilibrio :

mg = C

i2e

y2e

ue = R · ie(8)

Por ejemplo, si se define un punto de equilibrio de

ye = 0.05[m] (5 centı́metros de suspensión) se tiene

equilibrio :

ye = 0.05[m]

ie = ye ·

mg/C = 39.49[A];ue = R · ie = 39.49[V ]

(9)

A continuación se simula el sistema en lazo abierto,

contenido en el archivo Levitacion lazoabierto.slx, cu-

yos diagramas de bloques se muestran en las Figuras2, 3 y 4.

Figura 2. Diagrama Simulink para el subsistema corriente en lazoabierto.

Figura 3. Diagrama Simulink para el subsistema posición en lazoabierto.


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Figura 4. Diagrama Simulink para el sistema levitación completoen lazo abierto.

Note que el subsistema corriente no se puede simular

por separado, pues necesita de la entrada ẏ. Por lo quese estudiará el sistema completo en primer lugar. En

el punto de operación y sin perturbaciones, el sistema

se mantiene en equilibrio. Al introducir un escalón de

valor inicial 0 y valor final 50 %ue en t = 2[s] seobtienen las Figuras 5 y 6.

Figura 5. Corriente i ante una perturbación del punto de equilibrio

del 50 % del voltaje de equilibrio ue.

Figura 6. Posición vertical y ante una perturbación del punto deequilibrio del 50 % del voltaje de equilibrio ue.

Antes de los 2 segundos se puede notar que el

sistema es estable pues permanece en el punto de

equilibrio. Mientras que luego del escalón, la corriente

y la posición se vuelven inestables. Esto sucede con

cualquier tipo de perturbación, pues en lazo abierto el

sistema es inestable en cualquier punto fuera del punto

de equilibrio.

Adicionalmente, se calcula la respuesta del subsiste-

ma posición ante una perturbación de la corriente del

50 % con respecto al punto de equilibrio ie, la cualse muestra en la Figura 7. Se puede apreciar que el

subsistema es estable, lo cual se hace evidente en la

ecuación (3), pues se trata de un sistema con polos

conjugados con parte real cero, lo que se demostrará

en la linealización del sistema.

Figura 7. Posición vertical y ante una perturbación del punto deequilibrio del 50 % de la corriente de equilibrio ie.

I-B. Propulsi´ on

Para modelar la propulsión proporcionada por el

LIM, primero se debe entender como funciona este.

El LIM consiste en un motor de inducción como el de

la imagen 8 que es cortado por la mitad y estirado.

Figura 8. Esquema de un motor de inducción siendo cortado yestirado, LIM

El cuerpo a propulsar es el sı́mil lineal del rotor

del motor, en donde el torque generado por el motor

de inducción se transforma en la fuerza de propulsión.

Por definición el torque en el motor de inducción es el

dado en la ecuación (10).

T e = −3

2 p

LmLr

{Ψris} (10)

Con la finalidad de simplificar el motor de inducciónse trabaja en el eje coordenado dq. El eje coordenado

dq rota a la misma velocidad de Ψr, por ende las co-rrientes y flujos están sincronizados. En consecuencia

se reescribe T e y se obtiene la ecuación (11).

T e = 3

2 p

LmLr

Ψdrnomiqs = K T i

qs (11)

K T = 3

2 p

LmLr

Ψdrnom

Entonces la fuerza de propulsión proveniente del

LIM es:

F p = T e = K T iqs (12)


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Para determinar la velocidad en función de la co-

rriente, se analiza el diagrama de cuerpo libre del

sistema.

Figura 9. Diagrama de fuerzas horizontales sobre el cuerpo.

Al aplicar la 2da ley de newton se tiene que:

max = F p − F r (13)

La fuerza de roce con el aire se define como:

F r = 1

2ρAf v

2x = K vv

2x (14)

K v = 1

2ρAf

Reescribiendo la ecuación (13), a partir de las ecua-

ciones (12) y (14)

v̇x = K T

m iqs −

K vm

v2x (15)

Para analizar el modelo de propulsión en lazo abier-

to, se debe definir el punto de equilibrio. La derivada

del modelo se iguala a 0, lo que resulta

vxe =

K T K v

iqse

Se tiene un grado de libertad para definir la

corriente y velocidad en equilibrio, por lo que se

define arbitrariamente la velocidad de equilibrio,

vxe = 30[m/s], por lo tanto iqse = 0.5912.

A continuación, se realiza la simulación del sistema

propulsor en lazo abierto, (Propulsor lazoabierto.slx),

su diagrama de bloques se muestra en la figura 10

Figura 10. Diagrama Simulink para el sistema propulsor en lazoabierto.

Se obtiene la siguiente respuesta ante un un escalón

de valor inicial 0 y valor final 50 %iqse en t = 2[s]mostrada en la figura

Figura 11. Velocidad horizontal ante una perturbación del punto deequilibrio del 50 % de la corriente de equilibrio i

q

se.

Como se puede ver ante el escalón ocurrido en 2

segundos, el sistema de lazo abierto intenta seguirlo

pero es demasiado lento para considerar esta respuesta

como la deseada. Pese a que el lazo abierto es estable,

pero tarda mas de lo buscado en alcanzar la referenciaes por ello que mas adelante se vera la forma de

controlar realimentando la salida, con la finalidad de

obtener la referencia deseada en un intervalo de tiempo

más pequeño.

II. LINEALIZACI ÓN

II-A. Levitaci´ on

En primer lugar, se obtendrá el sistema en variables

de estado. Se definen las siguientes variables de estado.

V.E.

x1 = y

x2 = ẏx3 = i

De donde, usando el sistema de ecuaciones 7 es

posible obtener:

V.E

ẋ1 = x2

ẋ2 = C m

x23

x21

− g

ẋ3 = u2C x1 −

R2C x1x3 +

x3x2x1

Cuyo punto de equilibrio se muestra en las ecuacio-

nes (8). Ahora bien, la inductancia en el modelo fı́sico

es una variable en función de la corriente y la posición

vertical. Sin embargo, la ecuación de LVK del electro-

imán, puede ser analizada considerando el movimiento

en un rango pequeño alrededor del punto de equilibrio.

En ese instante, la inductancia del electroimán puede

ser aproximada mediante:

Le = 2C

ye

La ecuación (4) del electroimán queda ahora como

u = Ri + Ledi

dt (16)

Que como se puede observar, es lineal y correspondea la ecuación de un circuito RL con inductancia


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fija utilizando la corriente como variable de estado.

Reesscribiendo la ecuación 16 usando la transformada

de Laplace se tiene la función de transferencia entre el

voltaje y la corriente

Gi(s) = I (s)

U (s) =

1/L

s + R/L =

1/RLR

s + 1(17)

En el archivo Comparacion corrientes.slx se proce-

de a comparar el sistema linealizado con el sistema

f ́ısico para una perturbación del 50 %ue. El resultadose muestra en la Figura 12.

Figura 12. Comparación de las respuestas i del modelo (azul) y elmodelo linealizado (rojo).

En la Figura 12 se observa que el sistema linealizado

pierde la dinámica de la inductancia, sin embargo en

su valor medio coinciden.

Por otra parte, se linealizará el subsistema posición

usando serie de taylor truncada. De la ecuación (3) se

tiene

∆ÿ = 2C

m

ie

y2e

∆i − 2C

m

i2e

y3e

∆y (18)

Usando la transformada de Laplace y despejando la

variable de estado posición y se tiene

Gy(s) = Y (s)

I (s) =

2Ciemy2

e

s2 + 2Ci2e

my3e

(19)

Usando el diagrama situado en el archivo Compa-

racion posicion.slx se simula el modelo y el modelolinealizado.

Figura 13. Comparación de las respuestas y del modelo (azul) y elmodelo linealizado (rojo).

De la ecuación 19 se infiere que los polos del

subsistema posición son polos complejos conjugados

con parte real cero, lo que implica que el modo natural

es una sinusoidal con envolvente constante. De la

Figura 14 se puede apreciar que las respuestas del

modelo y del linealizado coinciden durante un par

de segundos y luego sufren un desfase y cambio de

frecuencias, pues luego vuelven a coincidir.

Usando las ecuaciones 16 y 18 se puede escribir el

sistema de levitación completo en variables de estado.

˙ x1x2x3

=

0 1 0

−2C m

i2e

y3e

0 2C m

iey2e

0 0 − RLe

x1x2

x3

+ 00

1Le

u

II-B. Propulsi´ on

Para este subsistema se define la siguiente variable

de estado y entrada.

V.E.

x4 = vx

Entrada

u4 = iqs

Linealizando la ecuación (15), entorno al punto de

equilibrio dado en el punto anterior

∆ v̇x = K T

m ∆iqs −

K vm

2vxe∆vx (20)

Aplicando la transformada de Laplace se obtiene la

función de transferencia.

Gv(s) = V (s)

I (s) =

K T m

s + 2vxeK vm

(21)

Del archivo Comparacion velocidad.slx se simula

el modelo y el modelo linealizado, con punto inicial

siendo el equilibro definido anteriormente, con un

escalón en el instante 2[s], de amplitud 50 % de lacorriente de equilibrio.


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Figura 14. Comparación de las respuestas vx del modelo (azul) yel modelo linealizado (rojo).

La diferencia ocurrida puede ser explicada por el

valor final al cual escala cada uno, la respuesta al

modelo, la velocidad en estado estacionario se obtiene

con la raı́z de la corriente escalado por el factor

K T /K v, en cambio para el modelo linealizado elestado estacionario escala de forma lineal.

Reemplazando por las variables de estado, en la

ecuación (36):

ẋ4 =

−2x4

K vm

x4 +

K T m

u4 (22)

III. CONTROL

Para controlar los subsistemas propuestos, se usará

la técnica de realimentación de estados.

III-A. Levitaci´ on

Lo que intesesa controlar finalmente es la posición

vertical del carro mediante la aplicación de un

voltaje controlado en el electroimán. Entendido esto,

se diseñará en primer lugar un controlador con

realimentación de estado para el subsistema posición

y posteriormente, como el subsistema corriente

está internamente relacionado con el de posición

y naturalmente tiene una dinámica más rápida, se

controlará de manera aún más rápida y tal que en el

ancho de banda de interés tenga ganancia unitaria.

III-A1. Subsistema posici´ on: Recordando la ecua-

ción 18 se tiene

∆ÿ = 2C

m

iey2e

∆i − 2C

m

i2ey3e

∆y (23)

Que corresponde a la dinámica vertical del carro.

Ahora bien, la ley de control por realimentación de

estados es

i = k p(y∗ − y) + kd ẏ (24)

Note que se realimentan ambos estados involucados

en la ecuación: y , ẏ. Reemplazando la ecuación 24 en23

ÿ = 2Cie

my2e(k p(y

∗ − y) + kd ẏ) − 2C

m

i2ey3e

y (25)

Agrupando variables, aplicando transformada de La-

place y obteniendo la función de transferencia desde

y∗ hasta y

H y(s) = Y (s)

Y ∗ (s) =

2Ciemy2

e

k p

s2 − kd2Ciemy2

e

s + 2Ciemy2

e

k p + 2Ci2

e

my3e

Que corresponde a una función de transferencia de

segundo orden. Para elegir los parámetros, basta con

comparar la última ecuación con un sistema de segundo

orden estandar, como sigue

2ξωn = −kd2Cie

my2e

ω2n = 2Ciek p

my2e+

2Ci2emy3e

De donde

kd = −ξωnmy

2e

Cie

k p = ω2nmy

2e

2Cie−

ieye

Ası́, basta con elegir el coeficiente de amortigua-

miento ξ = 0.7 para obtener un sistema amortiguadoy con mayor robutez y ancho de banda, y por otra

parte τ = (ωnξ )−1 = 0.2[s] de donde ωn = 7.14.

Los parámetros restantes son conocidos si se elige un

punto de equilibrio adecuado. Entonces, si se escoge el

mismo punto de equilibrio, ahora punto de operación,

de las ecuaciones 9 donde ye = 0.05 se tiene

kd = −20.1496

k p = −687.0612

Ahora bien, con estas ganancias la función de trans-

ferencia del lazo cerrado queda como:

H y(s) = −341

s2 + 10s + 51.02 (26)

De donde se puede apreciar que la ganancia a

contı́nua no es unitaria. Para lograr esto se hace una

prealimentación de la referencia, tal que la función

de transferencia sea unitaria a cont́ınua, de valor

K = (H y(0))−1 = −0.1496 quedando la función de

transferencia finalmente como

H y(s) = K H

y(s) = 51.02

s2 + 10s + 51.02 (27)

Que tiene ganancia unitaria a contı́nua. Por otraparte, las ganancias kd y k p y son bastante elevadas y


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es porque se está forzando un ξ = 0.7 lo que significauna ubicación de los polos complejos conjugados de

45◦ con respecto al origen del plano complejo, es decir,con estas ganancias se está forzando a tener polos con

parte real negativa (es decir estable) y de tal forma quela respuesta a escalón sea amortiguada.

Figura 15. Ubicación de los polos de lazo cerrado para el subsistemaposición controlado.

Dichos polos se mapean en el plano complejo en la

figura 15. Se puede observar que la ubicación de los

polos complejos conjugados es 5±5 j lo que corroboraξ = 0.7. Además tiene un overshoot de 4.6 %.

A continuación se simula el modelo real con el con-

trol implementado en el archivo Control posicion.slxy se compara con el sistema linealizado.

Figura 16. Diagrama de bloques correspondiente al control delsubsistema posición.

En la Figura 16 se puede apreciar el subsistema

posición de la Figura 3 pero esta vez contrlado por

las ganancias kd y k p además del sistema linealizadode la ecuación 27. En la Figura 31 se puede apreciar

la respuesta de ambos subsistemas ante una referencia

de y = 0.06[m] en 0.5[s] con condiciones iniciales elpunto de equilibrio.

Figura 17. Referencia (negro), respuesta del modelo no lineal (azul)y del modelo lineal (rojo) de la posición ante una referencia de0.06[m] en 0.5[s].

De la Figura 31 se puede apreciar que el modelo no

lineal ahora está controlado y su respuesta es parecida

a la del modelo lineal, salvo en el transiente donde

toma un overshoot de 7.2 %. Esto es debido a que elsistema no lineal tiene variables de estado al cuadrado,

por lo que responde más bruscamente ante variaciones

de estas variables. Adicionalmente, se grafican las

variables de Fuerza magnética aplicada al carro por

el electroimán y la velocidad vertical del carro.

Figura 18. Fuerza magnética aplicada al carro (arriba) y velocidadvertical del carro (abajo).

Note que la Fuerza magnética al momento de aplicar

la referencia sube bruscamente y luego decae lenta-

mente hasta igualar la fuerza gravitatoria. Mientras que

la velocidad aumenta en la forma de una parábola y

luego decae a cero. Esto f ́ısicamente coincide con lasimulación.

III-A2. Subsistema corriente: Por otra parte, recor-

dando la ecuación 16 del electroimán linealizada se

tiene

u = Ri + Ledi

dt = Ri +

2C

ye

di

dt

La ley de control por realimentación de estados es

u = ku(u∗ − kii)

Juntando ambas ecuaciones se tiene

u = ku(u∗ − kii) = Ri +

2C

ye

di

dt


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Aplicando transformada de Laplace a esta última

ecuación y despejando la función de transferencia

desde u∗ hasta i

H i(s) = I (s)U ∗(s)

= ku

2C ye

s + kiku + R

= ku/(kiku + R)

2C ye(kiku+R)

s + 1(28)

Que corresponde a una función de primer orden.

Ahora bien, al principio de esta sección se dijo que

el lazo del subsistema corriente debı́a ser de ganancia

unitaria y más rápido que el del subsistema posición.

Pues bien, la ganancia de H i(s) a contı́nua es:

H i(0) =

ku

kiku + R = 1→ ku = kiku + R (29)

Por otra parte la constante de tiempo del sistema en

lazo cerrado es:

τ i = 2C

ye(R + kiku)

De donde, usando la ecuación 29 se tiene

τ i = 2C

ye(R + kiku) =

2C

yeku(30)

Finalmente usando la ecuación 30 para despejar kuy 29 para despejar ki

ku = 2C

τ iye(31)

ki = 1 − R

ku(32)

Note que las ganancias del control dependen sólo

de la elección de τ i y del punto de equilibrio ye. Ası́,como se desea un control más rápido que el lazo de

posición, se decide hacer 10 veces más rápido para

que se encuentren desacoplados τ i = τ /10 = 0.02[s].

Manteniendo el punto de equilibrio ye, las gananciasquedan

ku = 0.0314 (33)

ki = −30.8310 (34)

A su vez la función de transferencia del lazo cerrado

es

H i(s) = 1

0.02s + 1 (35)

Que tiene ganancia unitaria a contı́nua y constante

de tiempo 10 veces más rápida que el subsistemaposición, como se queŕıa lograr. A continuación se

simulará el control del subsistema corriente median-

te el archivo Control corriente.slx cuyo diagrama de

bloques se muestra en la Figura 19.

Figura 19. Diagrama de bloques correspondiente al control delsubsistema corriente.

Recuerde que el subsistema corriente no puede si-

mularse por separado, pues requiere de los datos de yy de ẏ. Se muestran las respuestas de la corriente parauna referencia en la entrada u del 50 % en 0.5[s] delpunto de equilibrio en la Figura 20.

Figura 20. Referencia de voltaje (negro) respuesta del modelo nolineal (azul) y del modelo lineal (rojo) de la corriente ante unareferencia de voltaje de 50%ue en 0.5[s].

Note que la corriente del sistema no lineal intenta

seguir la referencia pero con actuaciones muy eleva-

das. Esto es debido a que el subsistema posición se

encuentra en lazo abierto y el subsistema corriente

utiliza los datos del subsistema posición para calcular

la corriente, inestabilizando el sistema completo. Ahora

bien, recuerde que el objetivo del control de este

subsistema es que tenga ganancia unitaria en el ancho

de banda de interés, es decir u = i. Pues bien,

se grafica el voltaje de entrada al electroimán y lacorriente de salida en la Figura 21.


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Figura 21. Respuesta de la corriente i (azul) ante entrada de voltajeu (rojo).

En la Figura 21 se observa que la corriente sigue

muy bien al voltaje, a pesar de estar la posición

en lazo abierto. Finalmente, note que el subsistema

corriente desacoplado de la posición corresponde

simplemente a un circuito RL, lo que se está haciendoentonces, es controlar este circuito, darle ganancia

unitaria a cont́ınua y acelerar su constante de tiempo

para desacoplar los lazos de control.

III-A3. Control del sistema levitaci´ on: Ahora se

implementa el control integrado de ambos subsiste-

mas para observar el desempeño del lazo de control

completo. La simulación se encuentra en el archivo

Levitacion control.slx y el diagrama de bloques co-

rrespondiente en la Figura 22.

Figura 22. Diagrama de bloques correspondiente al control delsistema Levitación.

Figura 23. Posición vertical del carro para el modelo no lineal (azul),modelo lineal (rojo) y referencia (negro) para el sistema completocontrolado.

En la Figura 23 se muestra la respuesta a escalón

del control. Se aplica un escalón, desde el puntode equilibrio, de valor 0.01[cm] en 0.5[s]. Se puede

apreciar que la respuesta del sistema lineal y no lineal

son muy parecidas, salvo en el peack donde el sistema

lineal alcanza altos valores.

Figura 24. Voltaje (rojo) y corriente (azul) aplicado al electroimánpara el sistema controlado.

Mientras que en la Figura 24 se aprecia que la ga-

nancia entre el voltaje y la corriente por el electroimán

es unitaria. Ası́, se está logrando controlar directamente

la corriente.

Figura 25. Fuerza magnética repulsiva (arriba) y velocidad carro(abajo) para el sistema controlado.

Observando las Figuras 25 y 18 es posible apreciar

que la Fuerza magnética con el sistema controlado

responde de manera más suave en comparación con

el sistema en lazo abierto.

Figura 26. Posición del modelo no lineal (azul) del modelo lineal(rojo) y referencia (negro).

Finalmente, en la Figura 26 es posible notar la

respuesta del modelo lineal y linealizado ante una

referencia de escalones de 1[cm] por sobre y pordebajo del punto de operación.


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III-B. Propulsi´ on

Finalmente, para la propulsión se debe recordar la

ecuación (36).

∆ v̇x = K T

m ∆iqs − K

v

m 2vxe∆vx (36)

Esta modela la dinámica horizontal del carro. Según

la ley de control por realimentación de estados, se tiene

que:

iqs = −K hvx + K rv∗

x

Reemplazando en la ecuación anterior:

v̇x = K T

m (−K hvx + K rv

∗

x) − K v

m 2vxevx (37)

Se procede a aplicar la transformada de Laplace, yobtener la función de transferencia.

H v(s) = vx(s)

v∗x(s) =

K rK T m

s + K hK T +2K vvxe

m

=

K rK T K h(K T +2K vvxe)

mK h(K T +2K vvxe)

s + 1 (38)

Se tiene una función de transferencia de primer

orden. Al igual que en los puntos anteriores se busca un

ganancia continua unitaria, además de un control que

responda mas rápido que el obtenido a lazo abierto.

Entonces se tiene que:

H v(0) = K rK T

K h(K T + 2K vvxe) = 1 (39)

Para asegurar un control rápido, se elige arbitraria-

mente una constante de tiempo igual a 1 segundo.

τ v = m

K h(K T + 2K vvxe) = 1 (40)

Entonces,

K h = m

(K T + 2K vvxe) = 0.39194

Por lo tanto, K r tiene que ser:

K r = K h(K T + 2K vvxe)

K T = 0.40739

Con las ganancias ya determinadas, la función de

transferencia de lazo cerrado resultante es

H v(s) = 1

s + 1 (41)

Se procede a implementar el sistema obtenidos y

simularlos por medio de Simulink. El nombre de la

simulación es Control velocidad.slx. El esquema delmodelado controlado resultante es el siguiente:

Figura 27. Diagrama de bloques correspondiente al control delsistema Propulsión.

Se estudia la respuesta ante un escalón en el instante

2 [s], que escala desde la velocidad de equilibrio a 1.5

veces la velocidad de equilibrio.

Figura 28. Referencia de velocidad (negro) respuesta del modelono lineal (azul) y del modelo lineal (rojo) de la velocidad ante unareferencia de velocidad de 50 %vxe en 2[s].

Como se puede ver la respuesta del modelo no lineal

no alcanza la referencia, es por ello que se decide

utilizar el controlador PID, incorporado en Simulink.

Aquı́ se puede modificar las ganancias del PID con la

finalidad de fijar nuevamente una constante de tiempo

de 1 segundo, por medio de la herramienta Autotune.

El diagrama resultante, contenido en el archivo Con-

trol velocidad mod.slx, es el siguiente:

Figura 29. Diagrama de bloques modificada correspondiente alcontrol del sistema Propulsión.

El PID tiene las siguientes ganancias:

K p = 0.857334

K i = 0.171147K d = −0.20192

(42)


11/12


Lo que entrega la siguiente respuesta ante la misma

referencia utilizada anteriormente.

Figura 30. Referencia de velocidad (negro) respuesta del modelono lineal (azul) y del modelo lineal (rojo) de la velocidad ante unareferencia de velocidad de 50%vxe en 2[s] controlando el modelolineal con un PID.

Lográndose ası́ llegar a referencia buscado, de tal

manera que sea rápido.

IV. ERRORES DE MODELADO Y LÍMITES DE

CONTROL

Se considera, para el cálculo instantáneo del error,

el error porcentual como sigue:

e(t) = X nolineal − X lineal

X nolineal(43)

Donde X nolineal es la respuesta del sistema no linealy X lineal es la respuesta del sistema linealizado.

IV-A. Levitaci´ on

Recuerde que el sistema completo en lazo abierto

es inestable fuera del punto de equilibrio, mientras

que el modelo lineal no. Es por esto que no tendrı́a

sentido medir el error en lazo abierto entre el sistema

completo y el modelo del mismo en el entorno del

punto de operación, pues al transcurrir el tiempo el

modelo no lineal no tendrı́a salida acotada haciendo el

error infinito. Además, el subsistema corriente utiliza

los valores del subsistema posición, y como en lazo

abierto hay inestabilidad, no se puede medir el error

de modelado del subsistema aislado en lazo abierto.

Dicho lo anterior se medirá en lazo abierto el

error del subsistema posición (pues es estable, polos

conjugados con parte real cero) y luego se medirá el

error del sistema completo pero en lazo cerrado.

Para el subsistema posición, desde el punto de

equilibrio se va aumentando la corriente (que es la

entrada de este subsistema. La respuesta de la posición

se muestra en al Figura ?? mientras que el errorporcentual se muestra en la Figura ??

Figura 31. Comparación de respuestas para aumento de corriente.

Figura 32. Erorr porcentual instantáneo de la posición.

Se puede apreciar en las imágenes que en t = 7[s]aproximadamente, el error porcentual supera el valor

0.1 correspondiente al 10 % de error. Por lo que elpunto donde se excede 10 % de error porcentual es

y = 0.12[m]

i = 94.8[A]

Para encontrar el lı́mite inferior, ahora desde el punto

de equilibrio se hace descender la corriente siendo el

punto el siguiente

y = 0.028[m]

i = 23.7[A]

Ahora bien, para el sistema levitación completo

controlado se tiene que, dado que el control es robusto,

hay error estacionario 0, independiente de la referencia

(aunque ésta no tenga sentido fı́sico). Lo que se podrı́a

hacer, es medir el error en el transiente. Pues bien,

en las Figuras 33 y ?? se muestran las respuestas

del sistema lineal no lineal y del error porcentualrespectivamente.


12/12


Figura 33. Comparación de respuestas para aumento de corrientesistema controlado.

Figura 34. Erorr porcentual instantáneo de la posición.

y = 0.11[m]i = 87[A]

Se puede apreciar que el error porcentual no supera

el 10 %. Además el punto encontrado coincide con elencontrado anteriormente en lazo abierto. De manera

similar, se encuentra el lı́mite inferior tal que las

respuestas no tengan un error mayor del 10 %:

y = 0.02[m]

i = 15.8[A]

Para el lı́mite inferior el control mejora de manera

considerable con respecto al lazo abierto. Reccuerde

que a medida se va descendiendo el sistema se hace

más inestable aún por la inductancia equivalente L =2C

z .

IV-B. Propulsi´ on

Al igual que en la Levitación, se propone calcular

el punto tal que el error entre el sistema lineal y nolineal no supere el 10 % en lazo cerrado.

Figura 35. Comparación de velocidades ante aumento de referenciasistema controlado.

Figura 36. Comparación de respuestas para aumento de corrientesistema controlado.

CONCLUSIONES

REFERENCIAS

MAGLEV: modelado y control básicos

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