MAMT1_U1_A1_KAAM
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PROGRAMA DESARROLLADOUnidad 1.Espacios vectoriales
Actividad 1. Propiedades de los números realesKarla Judith Andrew Méndez.AL12509552
Instrucciones: lee con atención cada enunciado y realiza la demostración de acuerdo a lo que se te pide.
1. Demuestra que todo conjunto no vacío de números reales, acotado inferiormente, tiene ínfimo en los reales.
A={a1 , a2….am }
B= {b1 ,b2…bm }
Y tenemos que: A<B
Y que: a1<a2<…am<b1<b2<…bm
El teorema del supremo nos dice que:
Para todo ε ≥0 Tal que infB B≤b<inf B+ε
Y
Para todo ε ≥0 Tal que supA-ε <a≤supA
Si como mencionamos
A<B y a1<a2<…am<b1<b2<…bm
Entonces:
infA≥ supB
2. Sean A y B dos conjuntos de números reales, no vacíos y B acotados. Demuestra que si el conjunto A está contenido en el conjunto B, entonces:
supA ≤ supB y infB ≤ infA
Si toda x en A≤ SupBEntonces:
supA≤supB
Y si también:
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Si toda x en A≥ infB
Entonces:
infV ≤infA
Por lo tato tenemos que A está contenido en B.
3. Demuestra que si x es cualquier número real mayor que cero, x > 0, entonces
existe N en los naturales tal, que: 1
N 3<x
Dadocualquier número x>0 , y y=1en los reales. Por el principio de
y = 1, por la propiedad arquimedeana, existe N tal que y = 1 < Nx, en consecuencia 1N
<x y si1N
> 1N3
tenemos por lotantoque1
N3<x
4. Demuestra que √3 no es un número racional.
Para la demostración suponemos que √3 es un número racional
Siendo p y q enteros y distintos de 0
√3=fracciónirreducible por lotanto tienen comomáximodivisor el 1Tenemos entonces que:
√3= pq
3= p2
q2→3q2=p2
Por lo que p2 es un número par entonces p también lo es. Es decir existe un número
entero c tal que: p=2c.
Ahora sustituimos en la igualdad de 1
3q2=p2=(3c)2=4c2→q2=(2c )2
Así que q también es un número par; por consiguiente, p y q son pares y tienen como divisor al 2, lo que contradice el hecho de que su máximo común divisor es 1. Por lo tanto
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√3 no es un número racional