MAMT_U1_ Asignacion 1

7/21/2019 MAMT_U1_ Asignacion 1

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nlisis matemtico 1nidad 1.Espacios vectoriales

Asignacin a cargo del facilitador Unidad 1.

1. Sea F={fF:R R } el espacio vectorial de todas las funciones reales de

variable real. Observa los siguientes subconjuntos deF

.A={fF:R R ;f(0 )=0}

B={fF:R R ; f(1 )=1}

C={fF:R R ; f(x )>0 x . f ,g F}

Cul (o cules) de los tres conjuntos son un subespacio vectorial de cul (ocules) no lo son!

Si deter"inas #ue uno de los conjuntos s$ es subespacio vectorial%de"u&stralo.

Si deter"inas #ue uno de los conjuntos no es espacio vectorial% indica #u&propiedad no satisface.

Dados F= {fF:R R }y R , F es un campo vectorial y cumple

a f y gF f+gF y satisface

1. f ,g F f +g=g+ f

2 . f , g , h F ( f+g )+h=f+ (g+h )=( f+h )+g

3.f F, unnico o Ff+o=f

4.fF ,unnico gFf+g=0 , g=f

! f F , a R , af F y satisface:

1. a , ! R , f F (a! ) f=a (!f)=! (af)

2. unnico1 R f F 1 f=f1=f

3. a , ! R , f F (a+! ) f=af+!f

4. a R, f ,g F ,a ( f+g )=af+ag

A= {fF:R R ; f(0 )=0 } esun su!espaciode F si :

a f y gA f+gA y satisface


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"enemos#ue f A :R R ; f(0)=0y gF:R R ; g (0 )=0 f+gF:R R

y (f+g) (0 )=f(0 )+g (0 )=0+0=0por lotanto f+g A

Co"o las i"genes de f estn en ' cada f() es un real aplican las propiedades de los reales

1. f , g A f +g=g+ f

dados fF:R R ;f(0)=0y gF:R R ; g (0 ) , por la propiedad conmutativadelosnmeros reales

f(x )+g (x )=g (x )+ f(x ) ( laimagende las funciones est$ enlos reales )

f(0)+g (0)=g (0 )+f(0)=0+0=0 por lo tanto f+g=g+ ff , gA

2 . f , g , h A ( f+g )+h=f+( g+h)=( f+h )+g

dados f A :R R ; f(0)=0y g A :R R ; g (0 ) , h A :R R ;h (0 )=0 susim$genesest$nenlosreales

!asados enla propiedad asociativa de los reales(f+g )+h=f+( g+h )=( f+h )+g

y como ( f(0 )+g (0 ) )+h (0)=(0+0)+0=0+0=0

( g (0 )+h (0 ))=0+(0+0 )=0+0=0y f(0 )+

( f(0)+h (0 ))+g (0 )=(0+0 )+0=0+0=0

%or lo tanto se tiene f , g , h A ( f+g )+h=f+ (g+h )=( f+h )+g

3. f A , un nico g Af+g=f

dados f A :R R ; f(0 )=0y g A :R R ; g (0 )=0, f+g=f sumandof a am!os ladosde laigualdad

(f+g )+ (f)=f+(f) de donde (f+( f))+g=0 finalmente0+g=0y g=0

demostremos #ue esnico , suponemos#ue existe h en Af+h= f h & g

se tiene f+h=f y f+g=f dedonde f+h=f+g ' h=g contradicelahip(teis de h& g


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por lo tanto g es un)co

c onlo cual f A, unnico g Af+g=f , g (x )=0 xR

4. f A , unnico g Af+g=0 , g=f

dados f A :R R ; f(0 )=0y g A :R R ; g (0 )=g (0 ),

f+g=0' g=f( inversoaditivo enlosreales )

demostremos #uees nico , suponemos #ue existe h en Af+h=0h& g

se tiene f+h=0y f+g=0de donde f+h=f+g 'h=g contradicela hip(teis deh & g

por lo tanto g es un)co y como f(0 )+g (0 )=0+0=0

y se concluye #ue f A , un nico g Af+g=0 , g=f , g (0)=0

Se cu"plen las propiedades para la su"a

!fA ,aR , afA :

Dados , f A :R R; f(0)=0y a Raf est$ en R (propiedadde cerradura paralos reales )

y como af(0 )=a (0 )=0 se tiene #ueaf A

1. a ,! R , f A (a! ) f=a (!f)=! (af)

Dados , f A :R R ; f(0 )=0y a , ! R (a! ) f R aplica la propiedad distri!utiva paralosreales

!f(0 )=a ( ! (0 ))=0,! ( af(0))=! ( a (0 ))=0(a! )f=a (!f)=! (af)y como (a! ) f(0 )=a! (0 )=0 , a

se cumple a, ! R ,f A(a! ) f=a (!f)=! (af)

2. unnico1 R f F 1 f=f1=f

Dados , f A :R R ; f(0 )=0y 1 R , setiene (1 ) f=f( neutro multiplicativo paralos reales )


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y como (1 )(f(0))=(1 ) (0 )=0 setiene #ue1 f A de donde unnico1 Rf A,1 f=f

3. a , ! R , f A (a+! ) f=af+!f

Dados , f A :R R ; f(0)=0y a ,! R , setiene a , ! , f R aplicala propiedad distri!utiva paralosreales

de donde (a+! ) f=af+!f y como (a+! )( f(0 ))=(a+! ) (0 )=a (0 )+! (0 )=0+0=0 setiene#ue

(a+! ) f A seconcluye #ue . a ,! R , f A(a+! ) f=af+!f

4.

a R, f ,g F ,a ( f+g )=af+ag

dados f A :R R ; f(0 )=0y g A :R R ; g (0 )=0ya R se tiene#uea ( f+g ) Raplicandola

propiedaddistri!utiva de los realesa ( f+g )=af+ag

y como a ( f(0 )+g (0 ))=a (0+0 )=a0+a0=0+0=0 setiene #ue , a (f+g ) A

se concluye a R, f ,g F ,a ( f+g )=af+ag

Se cu"plen las propiedades para el producto por un escalarDelo anterior se concluye #ue A={ fF:R R ; f(0 )=0}esun su!espaciode F

B={ fF:R R ; f(1 )=1 }:

a f y gB f+gB

"enemos#ue f A :R R ; f(1 )=1y gF:R R ; f(1 )=1 f+gF:R R

y (f+g ) (1 )=f(1 )+g (1 )=1+1=2por lotanto f+g B la su"a no eiste en *

Co"o las i"genes de f estn en ' cada f() es un real aplican las propiedades de los reales

1. f , g B f +g=g+f

dados fF:R R ;f(1 )=1y gF:R R ;, por la propiedad conmutativade los nmerosreales

f(x )+g (x )=g (x )+ f(x ) ( laimagende las funciones est$ enlos reales )


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f(1 )+g (1 )=g (1 )+ f(1 )=1+1=2&1 f+g=g+ f B secumple paratodos los

puntosdel dominio exceptoen x=1,no se cumple la propiedadconmutativa

2 . f , g ,hB (f+g )+h=f+( g+h )=(f+h )+g

dados f B :R R ; f(1 )=1y g B :R R ; g (1 )=1,h B :R R ; h (1 )=1 susim$genes est$nenlos reales

!asados enla propiedad asociativa delosreales(f+g )+h= f+( g+h )=( f+h )+g

y como ( f(1 )+g (1 ))+h (1 )=(1+1 )+1=2+1=3

(g (1 )+h (1))=(1+1 )+1=+2+1=3y f(1 )+

( f(1 )+h (1 ))+g (1 )=(1+1 )+1=2+1=1

%or lotanto se tiene f , g ,h A ( f+g )+h=f+ (g+h )=( f+h )+g pero ( f+g+h ) (1 )=3 B

+o se cu"ple la propiedad asociativa.

3.fA ,unnico gAf+g=f

dados f B :R R ;f(1 )=1y g B :R R ;g (1 )=1, f+g= f sumandof aam!osladosdelaigualdad

(f+g )+ (f)=f+(f) de donde (f+(f))+g=0 finalmente0+g=0y g (x )=0paratoda x R

por lo tanto no pdemos definir un neutro aditivo en B

c onlo cualfA ,unnico gAf+g=f ,no existeno se puede definir elneutro aditivo

4. f A , unnico g Af+g=0 , g=f

dados f B :R R ; f(1 )=1y g B :R R ; g (1 )=1, f+g=0' g=f(inversoaditivo en losreales)

demostremos #uees nico, suponemos #ue existe h en Af+h=0h& g

se tiene f+h=0y f+g=0de donde f+h=f+g 'h=g contradicela hip(teis deh & g

por lo tantoges un)co f(1 )+g (1 )=1+1=2locual contradiceelhechode #ue f(1 )+g (1 )=0


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y se concluye #ue f A , un nico g Af+g=0 , g=f , nose puede definir uninverso aditivo

!fB ,aR , afB :

Dados f B :R R ;f(1 )=1y a R se tiene#ue af est$en R (propiedad decerradura paralos reales )

y como af(1 )=a (1 )=a &1setiene #ue af B

+o se puede de,nir la "ultiplicacin por un escalar

1. a,! R, f B, ( a! ) f=a (!f)=! ( af)

Dados , f B :R R ; f(1 )=1y a , ! R (a! ) f R aplica la propiedaddistri!utiva paralos reales

!f(1 )=a (! (1))=a!&1,(a! )f=a (!f)=! (af)y como (a! ) f(1)=a! (1 )=a!&1 , a

! (af(1 ))=! (a (1 ))=a! &1por lotanto (a! ) f(1 ) B , ! ( af(1 )) B , ! (a (1 )) B

no secumple,no est$definida#ue a, ! R , f B ( a! ) f=a (!f)=! (af)

2.un nico1RfB ,1 f=f1=f

Dados , f B :R R;f(1 )=1y1 R , setiene (1 ) f=f(neutro multiplicativo paralos reales)

y como (1 )(f(1 ))=(1 ) (1 )=1 setiene#ue1 f A de donde unnico1 R f A ,1 f= f

3. a ,! R , f A (a+! ) f=af+!f

Dados , f B :R R ; f(1 )=1y a ,! R , se tiene a , ! , f R aplicala propiedad distri!utiva paralosreales

de donde (a+! ) f=af+!f y como (a+! )( f(1 ))=(a+! ) (1 )=a+!&1 se tiene#ue (a+! ) f B

se concluye#ue. a ,! R , f B (a+! ) f no est$ definida enB


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4. a R , f , g B , f (1 )=1,a (f+g )=af+ag

dados f B :R R ;f(1 )=1y g B :R R ;f(1 )=1y a R se tiene#ue a ( f+g ) Raplicandola

propiedaddistri!utiva de los realesa ( f+g )=af+ag

y como a ( f(1 )+g (1 ))=a (1+1 )=a+a=2a&1 setiene #ue ,a (f+g ) B y seconcluye

#ue a R , f , g F , a (f+g )=af+ag no est$ definida

Delo anterior se concluye#ue B= {fF:R R ; f(0 )=0 }noes unsu!espacio de F

No es un subespacio de F porque no es posible definir la suma ni sus cuatro propiedades, no existe un

elemento neutro para la suma en B, igualmente no es posible definir el producto por un escalar y solo secumple la propiedad del neutro multiplicativo.

C={fF:R R ; f(x )>0 x . f , g F }

"enemos #ue f A :R R ; f(x )>x , x y gF:R R ; g (x )>x f+gF:R R (f+g ) (x )>0 x

y (f+g ) (x )=f(x )+g (x )>0ya#ue sia>0y !>0a+!>0 a ,! R por lotanto f+g B

Co"o las i"genes de f estn en '- cada f() es un real positivo aplican las propiedades de

los reales

1. f , gC f+g=g+ f

dados f C :R R ;f(x )>0y g B :R R ;g (x )>0 , f y gR y aplica la propiedad

conmutativa delos nmerosreales , se tienef(x )+g (x )=g (x )+f(x )

f(x )+g (x )=g (x )+ f(x )>0porlo tanto (f(x )+g (x ))y (g (x )+ f(x )) B

Con lo cual f , gB , f+g=g+ f secumple la propiedad conmutativa

2 . f , g ,hC( f+g )+h=f+ (g+h )=( f+h )+g


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dados f C :R R ;f(x )>0 ; g C :R R ; g (x )>0 ; ,h C :R R ;h (x )>0 x

sus im$genes est$nenlosreales positivos y aplicanlas propiedades delos nmeros reales

!asados enla propiedad asociativa delosreales(f+g )+h= f+( g+h )=( f+h )+g

y como ( f(x )+g (x ))>0y h (x )>0 ( f(x )+g (x ))+h (x )>0,por lo tanto (f+g )+h C

(g (x )+h (x ))>0 , por lo tanto f+(g+h) C(g (x )+h (x ))>0, f(x )+

Conof(x )>0

Como ( f(x )+h (x ))>0 , g (x )>0, ( f(x )+h (x ))+g (x )>0,por lo tanto ( f+h )+g C

%or lotanto se tiene f , g ,h C(f+g )+h=f+(g+h )= (f+h )+g

3.fC ,unnico gCf+g= f

dados f C :R R ;f(x )>0y g C :R R ; g (x )>0, f+g= f sumandof aam!osladosdelaigualdad

(f+g )+ (f)=f+(f) de donde (f+(f))+g=0 finalmente0+g=0y g=0perog (x )>0 x

porlo cual no espsi!le definir unneuto aditivo , f C , unnico g Cf+g=f

porlo tanto C={ fF:R R ; f(x )>0x .f , gF} noesun su!espaciode F

4. f C ,unnicogCf+g=0 ,

dados f C :R R ; f(x )>0y g C :R R ; g (x )>x x ,

f+g=0' g=f( inversoaditivo enlosreales ) estoimplicar)a #ue g (x )0x .f , gF} noesun su!espaciode F

Se cu"plen las propiedades 1 % pero / no

! f C ,a R ,af C:


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Dados , f C :R R ; f(x )>0y a Raf est$ en R (propiedadde cerradura paralosreales )

pero si a0entonces af>0,dedonde setiene#ue afC

1. a, ! R, f C(a! ) f=a (!f)=! (af)

Dados , f A :R R ; f(x )>0y a , ! R (a! ) f R aplica la propiedad distri!utiva paralos reales

(a! )f=a (!f)=! (af) , pero si a>0y !0 setiene#ue 1 f C de donde unnico1 R f A ,1 f=f

3. a ,! R, f C( a+! ) f=af+!f

Dados , f C :R R ; f(x )>0y a ,! R , setiene a ,! , f R aplicala propiedad distri!utiva para los reales

de donde (a+! ) f=af+!f( a+! ) f>0' f>0y ( a+!)>0pero sia


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Delo anterior se concl u ye #ue C= {fF:R R ; f(0 )=0 }no esunsu!espacio de F

Considere"os el espacio de sucesiones Sc de n"eros reales #ue son

convergentes% con la "&trica2

d (xn, yn )=|xnyn|| n *}

3eter"ina la distancia entre las sucesiones2 {an }={2n1n }y {!n}={n+1n}

|xnyn|=|2n1

n

n+1n

|=|2n1 (n+1 )

n

|=|2n1n1

n

|=|n2

n

|=|1

2

n

|podemoscalcular el l)mite cuandon tiendea infinito y con ello o!tener el supremo

|12n|=limn + (12n )1 {|2n1n n+1n|}=limn +

de donde d ({2n1n },{n+1n})=1

Si generamos una tabla con los valores de n, an , bn y an -bn


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Se observa que xn tiende a 2 cuando n tiende a infinito, yn tiende a 1 cuando n tiende a infinito y se ve que la

distancia mxima entre ambas es 1 y se da cuando n1 o bien cuando n tiende a infinito por lo cual d1

!raficando los primeros 1" t#rminos de las sucesiones


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limn +

{an}={2n1n }=2

limn +

{!n}={n+1n}=1


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{an } n +{!n }=1lim

Si generamos con $%lfram alp&a las grficas como funciones.

'e lo anterior se concluye qued ({2n1n },{n+1n})=1

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