MANEJO DE FUNCIONES Y SU CAMBIO PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS · solución de problemas...

Reforma Académica 2003 9

Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica

MANEJO DE FUNCIONES Y SU CAMBIO PARA LA SOLUCIÓN DE

PROBLEMAS

Al finalizar la unidad el alumno resolverá problemas prácticos usando

las funciones y su cambio



Resultados de Aprendizaje

1.1 Calcular la rapidez de cambio de diferentes cantidades para la solución de problemas prácticos. 4 h

1.2 Usar los diferentes tipos de funciones para la solución de problemas prácticos. 8 h

2.1 Calcular la derivada para la solución de problemas prácticos y

para determinar propiedades de las funciones. 15 h

2.2 Graficar una función con la información obtenida de la primera y la segunda derivada. 15 h

3.1 Calcular el cambio acumulado 15 h 3.2 Usar integrales en la solución de problemas. 15 h

Módulo

1. Manejo de las funciones y su cambio para la solución de problemas.

12 h

2. Manejo del Cálculo Diferencial, para la solución de problemas.

30 h

3. Manejo del Cálculo Integral, para la solución de problemas.

30 h

Matemáticas IV: Introducción al

Cálculo Diferencial e Integral



SUMARIO 1.1. Calcular la rapidez de cambio de

diferentes cantidades para la solución de problemas prácticos 1.1.1. Cambio 1.1.2. Funciones

• Tipos de funciones 1.2. Usar los diferentes tipos de funciones

para la solución de problemas prácticos 1.2.1. Funciones trascendentes

• Función exponencial • Función logarítmica • Ecuaciones logarítmicas • Sumas de funciones • Funciones compuestas • Funciones periódicas

RESULTADOS DE APRENDIZAJE 1.1 Calcular la rapidez de cambio de diferentes cantidades para la solución de problemas prácticos. 1.2 Usar los diferentes tipos de funciones para la solución de problemas prácticos.

1.1.1. CAMBIO Todo lo que nos rodea cambia, el peso de las personas, las calificaciones, la temperatura, el número de personas que habitan una ciudad, la tasa de interés que ofrece el banco, el precio de un producto en el mercado, el número de partículas suspendidas en el aire, la velocidad de un automóvil; vivimos en un mundo cambiante, algunas cosas cambian más rápido que otras. El cálculo nos ayuda a medir el cambio y la rapidez del mismo.

Ejemplo 1.1 El peso de un bebé en un año casi se triplica sin embargo, al registrar el cambio mensual, nos percatamos que el aumento de peso no es el mismo cada mes, al principio el aumento de peso es mayor que al final del año, observa la tabla 1.1 y su gráfica correspondiente. Tabla 1.1 Peso del niño mexicano

Edad Peso (kg)

Al nacer 3.1

1 mes 4

2 meses 5

3 meses 5.7

4 meses 6.3

5 meses 7

6 meses 7.4

7 meses 7.8

8 meses 8.2

9 meses 8.4

10 meses 8.7

11 meses 8.9

12 meses 9.2 Fuente: Dr. Scope. Derechos Reservados http://www.tusalud.com.mx/140401.htm Noviembre 2004 Gráfica 1



Peso del niño mexicano

0123456789

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Mes

Kg

Durante los primero cuatro meses de vida el niño aumentó 3.2 kg, del cuarto mes al año subió una cantidad similar, 2.9 kg. Aunque ambas cifras están cercanas a los tres kilogramos, en un caso el cambio ocurrió en cuatro meses y el otro en ocho, veamos como se calcula la rapidez del cambio. Par medir el cambio en el peso del niño, se mide restando el valor (final) menos el valor (inicial) del peso: Cambio en el peso del nacimiento a los primeros cuatro meses: 6.3 – 3.1 = 3.2 kg. Cambio en el peso entre los 4 y 12 meses 9.2 – 6.3 = 2.9 Kg. Sin embargo si queremos medir el cambio promedio en el peso tendremos que tomar en cuenta también el número de meses transcurridos, es decir el cambio en el peso con relación al tiempo transcurrido. Rapidez de cambio promedio en el peso entre el nacimiento y los 4 primeros meses de vida:

edadlaenCambio peso elenCambio

= 04 −3.1 - 6.3

=

43.2

= 0.8 kg/mes

Rapidez de cambio promedio en el peso entre 4 y 12 meses:

412 −6.3 -9.2

= 4

2.9 =0.36 kg/mes

El niño en promedio aumenta de peso, durante los primeros cuatro meses de vida, 0.8 kg por mes; y entre los 4 y 12 meses aumenta 0.36 kg por mes. Considera que y es el peso del niño, y que ∆y denota el cambio en el valor de y, de igual manera ∆t indica el cambio en el valor del tiempo t.

Cambio en una variable y entre el tiempo a y b

Valor de la variable en el tiempo b

Valor de la variable en el tiempo a

= - = ∆y

Rapidez de cambio Promedio de una variable y entre el tiempo a y b

Cambio en la variable y Cambio en el tiempo

∆y ∆t = =

Ejemplo 1.2 El indicador de atención que brinda la Secretaría de Educación Pública (SEP) en el nivel preescolar se determina dividiendo el número de alumnos de 4 y 5 años matriculados entre la Población total de 4 y 5 años en el mismo año. En la Tabla 1.2 se encuentra el indicador de atención para los ciclos 1990/1991 a 2000/2001.



Tabla 1.2 Porcentaje de la población de 4 y 5 años de edad que es atendida en educación preescolar durante el ciclo escolar

t Ciclo escolar Atención

1 1990/ 1991 55.6 2 1991/ 1992 56.0

3 1992/ 1993 54.5 4 1993/ 1994 58.0 5 1994/ 1995 61.0 6 1995/ 1996 62.4 7 1996/ 1997 64.1 8 1997/ 1998 64.8 9 1998/ 1999 65.3 10 1999/ 2000 66.1 11 2000/ 2001 67.1 12 2001/ 2002 67.9 13 2002/ 2003 72.4

Fuente: Sistemas para el análisis de la estadística educativa SEP http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_1418_sistemas_de_indicado Noviembre 2004 Podemos observar que el cambio en el indicador, en ese período, es: ∆y = 72-4 - 55.6 =12.4 puntos porcentuales La rapidez de cambio promedio:

tyΔΔ

=113

6.554.72−−

=12

4.12= 1.03

La atención educativa en ese nivel ha aumentado en promedio casi un 1 % cada año

Las cifras de los últimos cuatro ciclos escolares señalan que ha sido mayor el cambio ha sido casi el doble en ese periodo:

tyΔΔ

=1013

1.664.72−−

= 2.1

En la gráfica 1.2 se puede apreciar que la rapidez del cambio en la atención ha sido variable. Gráfica1.2

Atención a la población de 4 a 5 años en preescolar

0.010.020.030.040.050.060.070.080.0

0 5 10 15

Ciclos escolares 1990/1991 a 2002/2003

% A

tenc

ión

1.1.2. FUNCIONES Una función es un tipo especial de relación de entrada y salida, o de insumo y producto, que nos permite expresar cómo una cantidad (la salida) depende de otra cantidad (la entrada), por ejemplo, si tienes $1000 y lo depositas en el Banco a una tasa de interés simple, del 7% anual, el dinero que obtendrás (Interés – salida) dependerá del tiempo que mantengas el dinero depositado. Para expresar esta dependencia se dice que ‘I es función de t’, Ejemplo 1.3



La relación entre el Interés simple y el tiempo se expresa mediante la siguiente fórmula: I = 1000(.07)t en donde I está en pesos y t en años. Si t = ½ año entonces I =1000(.07) (1/2) = $35...... Si t = 2 años entonces I =1000(.07)(2) = $140 De esta manera si tenemos una entrada de 1/ 2 año la salida será de 35 pesos. Se puede pensar que la fórmula define una regla: multiplica t por 1000(.07). La regla asigna a cada número de entrada t un número de salida I. Esta regla es un ejemplo de una función.

A una variable que representa números de entrada para una función se le denomina variable independiente. Una variable que

representa números de salida se le llama variable dependiente pues su valor depende del valor de la variable independiente. Así, el Interés (I) es una variable dependiente de la variable independiente tiempo (t), y entonces se dice I es función de t. Otra forma de denotar a la función es la siguiente: I = f(t) En el Ejemplo 1.3, de la función de interés simple, el domino consiste en los posibles valores de entrada, esto es los valores de t, entonces el dominio son los números reales positivos, y el contradominio o rango será también los números reales positivos. Ejemplo 1.4 Veamos otro ejemplo, la fórmula p= 100/q describe la relación entre el precio por unidad, p de cierto producto, y el número de unidades q de ese producto, que los consumidores comprarán, demandarán, a ese precio. A esta ecuación se le denomina ecuación de demanda. Si q es un número de entrada, entonces a cada valor de q se le asigna exactamente un número de salida p. por ejemplo:

20 → 100/20 = 5.

Si la cantidad que se demanda es 20, el precio será de 5. Entonces el precio es función de la cantidad que se demanda, p=f(q)=100/q. Aquí , q es la variable independiente y p es la dependiente, dado que q no puede ser 0 y no puede ser negativa por ser la cantidad de producto que se demanda, entonces el

Una función es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número de salida. El conjunto de todos los números de entrada se le llama dominio de la función, mientras que al conjunto de todos los números resultantes de salida se le conoce como contradominio, imagen, o rango de la función

Entrada x Salida f(x)

Función

f



dominio está constituido por todos los valores de q tales que q> 0. El contradominio o rango de la función también está formado por los números reales. Las funciones se pueden representar por medio de fórmulas, tablas, gráficas o a través de palabras. Enseguida se presenta un ejemplo de otro tipo de gráfica de los datos del ejemplo 1. Gráfica 1.4

0123456789

10

kg

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

mes

Peso del niño mexicano

Rapidez de cambio promedio de las funciones. Sea y = f(t), una función en la que y es función de t, entonces el cambio en y entre t=a y t=b será: ∆y = f(b) - f(a) A su vez, la rapidez de cambio promedio entre t=a y t=b se denota como:

=ty

ΔΔ

a-bab )f( - )f(

Ejemplo 1.5 Con la fórmula de la función de interés simple I = 1000(.07)t determinar: a) la rapidez de cambio promedio entre t=4 y t=10.

=ΔΔtI

4- 10 4)I( - I(10)

= 4

280 - 700

4420

= 70

a) la rapidez de cambio promedio entre t=8 y t=10.

=ΔΔtI

8- 10 8)I( - I(10)

= 2

560 - 700

2140

= 70

Ejemplo 1.6 Si nuestro interés es indagar sobre la producción de trigo en grano, podemos consultar una página en Internet para obtener los datos, y con una calculadora determinar la rapidez de cambio promedio en el primer quinquenio, en el segundo quinquenio y en los 10 años. En la Figura 1.6 se muestra la página consultada, y en la tabla 1.6 las estadísticas de producción de 1994 a 2003

Figura 1.6



Figura 1.6

Tabla 1.6 a) la rapidez de cambio promedio entre t=1994 y t=1998.

=ΔΔ

tP

1994-1998)1994P(- P(1998) =

44150.9- 3235.1

4915.8- = -228.9 Miles de toneladas

En este caso la rapidez de cambio promedio es negativa, lo que nos indica un descenso en la producción. Entre 1994 y 1998, hubo un descenso promedio anual en la producción de trigo de casi 229 mil toneladas.

b) la rapidez de cambio promedio entre t=1999 y t=2003.

=ΔΔ

tP

1999-2003 )1999P(- P(2003) =

44150.9- 3235.1


c) la rapidez de cambio promedio entre t=1994 y t=2003.



=ΔΔ

tP

1994-2003P(1994)- P(2003) =

44150.9- 3235.1


En todo el periodo analizado, la rapidez promedio de cambio anual en la producción de trigo es de -156.5 mil toneladas. En la gráfica 1.6, podemos advertir que es una curva decreciente y que hay una mayor inclinación de la curva en el primer periodo que en el segundo Gráfica 1.6

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004

• Tipos de funciones Funciones Lineales Existen diferentes tipos de funciones, las que se usan con más frecuencias son las funciones lineales. Estas funciones se

caracterizan porque tienen una rapidez de cambio constante-. Ejemplo 1.7 La función que representa los ingresos de una persona por la venta de lámparas, es r= 40q, en donde r es el ingreso, 40 es el precio de cada lámpara y q es el número de lámparas que se venden, se dice que r es función de q, r=f(q), En la siguiente tabla se presentan los montos de ingreso para diferentes cantidades vendidas. Tabla1.7 Valores de r=f(q)

Ventas q

Ingreso R

Q r =f(q) 0 0 1 40 2 80 3 120 4 160 5 200

Su gráfica es la siguiente: Gráfica 1.7

0

100

200

300

400

500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

f(q)=40q La gráfica 1.7 de la función muestra que se trata de una línea recta, todas las



funciones lineales se representan mediante líneas rectas. Calculemos el promedio de la rapidez de cambio:

=qr

ΔΔ

1-2f(1) - f(2) =

140 - 80 = 40

=qr

ΔΔ

2 - 5f(2) - f(5) =

380-200 = 40

Podemos corroborar que la rapidez de cambio promedio en el ingreso r es 40 y además es constante, no importa que valores de q se utilicen, la razón de cambio es la misma:

En las funciones lineales, a la razón de cambio se le denomina pendiente. En la función anterior se le interpreta como el incremento en el ingreso por cada lámpara adicional vendida. Pendiente.=

vendidas cantidades las en cambioingreso el en cambio

Pendiente = 40 Observa también que r aumenta conforme aumenta q, se dice que r es una función creciente Ejemplo 1.8. Veamos otro ejemplo, la función que representa los costos totales de producir bolsas para dama es : c= 2000 + 100v, en donde 2000 representa los costos fijos y 100 el costo en el que se incurre por cada bolsa que se fabrica. Costo total = Costo Fijo +Costo Variable*Número de unidades producidas

En la siguiente tabla se calculan algunos valores que puede asumir la función: Tabla 1.8

Costo total

Producción

c c =f(v)

0 2000 1 2100 2 2200 3 2300 4 2400 5 2500 6 2600 7 2700 8 2800

El promedio de la rapidez de cambio es:

=vc

ΔΔ

1-2f(1) - f(2) =

12100-2200 = 100

=qr

ΔΔ

2-6f(2) - f(6) =

42200-2600 = 100

Gráfica 1.8

0500

100015002000250030003500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c= f(v)= 2000 + 100v



Observa que en este caso la gráfica no pasa por el punto (0,0) En términos generales se puede decir que: La forma de una función lineal se representa por: y = f(x) = b + mx En donde: m es la pendiente o la rapidez de cambio de y con respecto a x b es la ordenada al origen. La ordenada al origen es el valor de y cuando x es igual a cero; también se le conoce como la intersección de la línea con el eje de las ordenadas. En el ejemplo 1.7, respecto a los ingresos por la venta de lámparas, r= 40q, la ordenada al origen es cero, si q=0, entonces no hay ingresos y r=0. La gráfica pasa por el origen. En el ejemplo 1.8, la ordenada al origen es b=2000 y la pendiente es m=100, aún cuando no se fabriquen bolsas, v=2000., hay un costo fijo de instalaciones, renta, etc, por ello la línea parte del punto (0,2000), y por cada bolsa que se produce se tiene un costo de 100, esto nos lo indica la pendiente. Determinación de la función lineal a partir de dos puntos conocidos. Si se conocen dos puntos por los que pasa la función es posible calcular el promedio de su rapidez de cambio (pendiente) y determinar la forma de la función.

Si ( x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos de una función lineal, la pendiente de misma es:

m =12

1 2

x-xf(x )() xf−

= 12

1 2

x-xy y− =

Si (x,y) es cualquier punto de la recta, entonces la pendiente sería:

m = 1

1

x-xy y− =

Despejando se identifica la función: y – y1 = m (x- x1) o bien

y- y1 = (12

1 2

x-xy y− )(x – x1)

Ejemplo 1.9 Una agencia de turismo sabe que cuando el precio de un viaje de excursión es de $100, entonces 30 personas comprarán boletos; cuando el precio es de $150, sólo se venderán 10 boletos. Para determinar la función de demanda, inicialmente se calcula la pendiente con los dos puntos que se conocen. Sea ( x1, y1) = (30,100) y (x2, y2)=( 10,150)

Pendiente.= demandada cantidad la en cambio

precio el en cambio

m = 12

1 2

x-xy y− =

30-10100-150 =

20-50 = -

25

utilizando el primer punto y la pendiente: (y - 100) = m (x – 30)



(y - 100) = - 25 (x –30)

(y – 100) = - 25 x +

2150

y= - 25 x +

2150 +100

y= - 25 x +

2350

Observa que la ordenada al origen es 175 y la pendiente es negativa, entonces la gráfica es decreciente, los valores de y disminuyen conforme aumentan los valores de x. Gráfica 1.9

0

50

100

150

200

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

y= -

25 x +

2350

Cuando se conoce la pendiente m y un punto (xo,yo) se puede escribir la ecuación de la recta de la siguiente manera: y- yo =m (x – xo) a esta forma se le conoce como ecuación punto - pendiente Ejemplo 1.10 Considera que g es una función lineal que tiene pendiente 2 y g(3)=6, entonces la ecuación de la función se obtiene de la siguiente manera:

La función tiene m=2 y pasa por (3,6) Sustituyendo en la fórmula de punto pendiente:

y- yo =m (x – xo) y - 6 = 2 (x-3) y – 6 =2x -6 y= 2x -6 +6 y=2x Cuando en los mismos ejes se trazan las gráficas de las funciones de oferta y demanda, se identifica el punto de equilibrio en donde se estabiliza el mercado, ese puntos e encuentra en donde se intersectan las funciones Ejemplo 1.11 Considera las siguientes funciones como oferta y demanda:

2y + 3x=10 Oferta x= 4y – 6 Demanda

al trazar las gráficas encontramos que el punto en donde se intersectan, (2,2) es el punto de equilibrio. Gráfica 1.11

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

En la gráfica anterior se puede apreciar que la función de oferta es creciente y la de demanda es decreciente



Una función f es creciente si los valores f(x) aumentan conforme x aumenta. Una función f es decreciente si los valores de f(x) decrecen conforme x aumenta. A continuación se presentan funciones lineales que se utilizan frecuentemente:

• La función de costos de producción de una compañía es:

Costo total = Costo fijo + Costo variable Los costos fijos se refieren a la maquinaria, instalaciones, y otros que se tienen que cubrir aún y cuando no haya producción. En cambio los costos variables corresponden a materiales e insumos que se requieren para la fabricación de cada uno de los productos. Si la función de costos es lineal, entonces: C(q)= mq + b En donde los costos fijos corresponden a la ordenada al origen, b, y los costos variables por unidad están representados por la pendiente m

• La función de ingreso, I(q), representa el monto total recibido por vender una cantidad, q de un producto.

Ingreso = Precio x Cantidad I= pxq

• Otra fórmula importante utilizada en economía es la de Utilidad:

Utilidad= Ingreso – costo = I – C

Se considera que una empresa se encuentra en el punto de equilibrio, cuando la utilidad es cero y el ingreso es igual al costo. Concepto de proporcionalidad En las funciones es frecuente encontrar una relación de proporcionalidad, se dice que una cantidad es proporcional a otra cuando existe una constante k tal que y= kx , así en el ejemplo 1.7, ingreso por la venta lámparas, el ingreso es directamente proporcional al número de bolsas vendidas r=40q, en donde 40 es la constante de proporcionalidad Otro ejemplo sería la fórmula para determinar el área, A, de un círculo, A=f(r)=πr2, el área es proporcional al cuadrado del radio r. El concepto de proporcionalidad se utiliza para definir las funciones potencia: Se dice que una función Q(x) es una función de potencia de x si Q (x) es proporcional a una potencia constante de x. Q(x) = kxp en donde k es la constante de proporcionalidad y p es la potencia La función de ingreso r = f(q) =40q es una función potencia, en donde k=40 y p=1. El área del círculo, A=f(r)=πr2 , también es una función potencia, en este caso k= π y p=2.



Las potencias pueden ser: enteras o fraccionarias. Una potencias entera positiva sería: x2 , z3, t10 , como ejemplos de potencias negativas tenemos x-3, , t-5, y como potencias fraccionarias serían y=x ½, y = x-1/3. También existe la potencia cero y=x0 . A continuación en las gráficas 1.12a a 1.12d se presentan ejemplos de funciones potencia: Gráfica 1.12a

Gráfica 1.12b

Gráfica 1.12c

Gráfica 1.12d

Ejemplos clásicos de funciones potencia son los siguientes: • La Ley de Hooke establece que cuando

un resorte se estira (o se comprime) más allá de su longitud natural, la fuerza restauradora elástica ejercida por el resorte es directamente proporcional a la magnitud del alargamiento (o acortamiento) x :

F(x) = kx k es la constante de

proporcionalidad x magnitud del alargamiento (acortamiento)



• La distancia y que recorre un cuerpo en caída libre es una función del tiempo t :

y = -21 g t2

y es directamente proporcional a t2

la constante de proporcionalidad es -21 g

• El período de un péndulo, T, es la

cantidad de tiempo necesaria para que el péndulo realice una oscilación completa. Para oscilaciones pequeñas, el periodo, T, es aproximadamente proporcional a la raíz cuadrada de l, la longitud del péndulo, así:

T= k l

en esta fórmula T es directamente proporcional a l

• El peso w de un objeto es inversamente

proporcional al cuadrado de su distancia r, desde el centro de la tierra, así, para alguna constante k el peso es:

w = 2r

k

de esta manera w es inversamente proporcional a r2

• El pulso o ritmo cardiaco p de un animal

cuya masa es m está dado por: P = km -1/4

de esta manera, un animal de gran tamaño como es el elefante tendrá un pulso lento

RESULTADOS DE APRENDIZAJE 1.2. Usar los diferentes tipos de funciones

para la solución de problemas prácticos

1.2.2. FUNCIONES

TRASCENDENTES • Función Exponencial Otra función que muy importante en las matemáticas por sus aplicaciones es la función exponencial: A la función definida por : f(x) = ax

en donde a >0, a ≠ 1 y el exponente x es cualquier número real, se le denomina función exponencial con base a Un caso especial es cuando la base es el número irracional e, su gráfica se presenta con el número 1.13 Gráfica 1.13



Ejemplo 1.12 La fórmula de interés compuesto es un ejemplo de función exponencial, considera que inviertes $10,000 en el banco, durante tres años, con una tasa de interés del 7% anual, al final de cada año, el interés se reinvierte y se agrega al capital inicial, generando lo que podría llamarse ‘interés sobre el interés’, en este ejemplo, el interés se capitaliza anualmente. Al final del primer año se tendría el capital original ($10,000) más el interés generado por éste (1000*.07) 10,000 + 1000*.07 = 10,000(1+.07) = 10,000(1.07) Para el siguiente año se reinvierte el interés obtenido, y entonces el capital inicial del segundo año sería 10,000(1.07), se le denomina capital compuesto, sobre el cual se generaría el interés del 7%. 10,000(1.07) + 10,000(1.07)(.07)= 10,000(1.07)(1+.07)= 10,000(1.07)2 En forma similar en el tercer año: 10,000(1.07)2 +10,000(1.07)2(.07)= 10,000(1.07)2(1+.07)= 10,000(1.07)3 10,000(1.225043) = $12,250.43 El capital se incrementa 7% cada año. Si generalizamos la fórmula y consideramos que se invierte un capital P0, a una tasa del 7% compuesto anualmente, entonces el monto compuesto S al final de t años sería: P=P0 (1 +. 07)t = P (1.07) t

Tenemos una función exponencial con base a = 1.07, la base es constante pero observa que el exponente, t, es variable, a diferencia de la función potencia, en la que la base es variable y el exponente constante. Se dice que P es una función exponencial de t con base a si : P=P0 a

t Donde: P0 es la cantidad inicial (cuando t=0) a es e factor por el cual P cambia cuando t aumenta en uno. Si a>1 se tiene un crecimiento exponencial; si 0<a< 1 se tiene un decrecimiento exponencial El dominio de las funciones exponenciales son todos los números reales, y el contradominio son los números reales positivos. En la tabla 1.12 se presenta un comparativo de los valores que toman tres diferentes funciones potencia, todas tienen valores positivos, sin embargo en la tercera columna cuando a =1/2 la función es decreciente.

Tabla 1.12

t 2 t 3 t (1/2)t -3 1/8 1/27 8 -2 1/4 1/9 4 -1 1/2 1/3 2 0 1 1 1 1 2 3 1/2 2 4 9 1/4 3 8 27 1/8



Gráfica 1.14

Cuando a>1 la razón de cambio crece en la medida que aumenta el valor de t: con los valores de la segunda columna en la tabla se puede apreciar:

(-1)- (0)0 f(-1) - )f( =

1-0 1/20 −

=21

(0)- (1)0 )f( -f(1) =

0-112 −

=1

(1)- (2)f(1) - f(2) =

1-22−4

=2

(2)- (3)f(2) - f(3) =

2-348 −

=4

Una característica que permite reconocer a una función exponencial es el que la razón (cociente) de los valores de la función es igual para valores de t igualmente espaciados. Veamos un ejemplo con los mismos valores de la segunda columna de la tabla anterior: Para

= f(0)

1 )f(12

=2

= f(1)

2 )f(=

24

2

= f(2)

3 )f(=

48

2

Existe un caso especial de la función exponencial cuando la base es el número irracional e, cuyo valor aproximado es 2.71828, y en donde a=ek P= P0 a

t =Po (ek)t =Po e

kt Si a>0 entonces k es positiva, si 0<a< 1 entonces k es negativa. Si se trata de una función decreciente se puede utilizar la forma:

Q= Q0 at =Qo (e

-k)t =Qo e-kt= kteoQ

Q es una función decreciente conforme avanza t Una función creciente exponencial se puede escribir de las siguientes formas: P= P0 a

t P=Po ekt

y una función decreciente exponencial de la siguiente manera: Q= Q0 b

t Q = Qo e-kt

en donde Po y Q0 son las cantidades

iniciales, a>1 y 0<b<1 Se dice que P y Q crecen o decrecen con una rapidez continua de k Ejemplo 1.13



En la página web del Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática, www.inegi.gob.mx, podemos consultar la

población de México por Entidad Federativa, en la Cd. de Aguascalientes, en el año 2000, la población ascendía 944,245 habitantes.

Figura 1.13a

En otra sección de la misma página, encontramos las tasas de crecimiento de la población de Aguascalientes, de 1990 a 1995: de 1995 a 2000 y de 1990 a 2000. INEGI señala que las tasas se calcularon con un modelo exponencial. Si

consideramos que se mantiene el mismo ritmo de crecimiento que el observado entre 1995 a 2000, esto es una tasa media anual del 2.1%, calculemos la población que se podría esperar en el año 2010:

Figura 1.13b



La fórmula sería: P = 944285e.021t Como la población inicial corresponde al año 2000 entonces t = 10 para llegar al 2010 P = 944285e.021(10)

= 944285e0.21 = 944285*1.2337 = 1164943.69

Así la población estimada para Aguascalientes en el año 2010, sería de 1,164,944 habitantes. Ejemplo 1.14 En el ejemplo 1.12, se utiliza la fórmula de interés compuesto, en donde se considera que el interés se capitaliza anualmente a una tasa de interés r, en un período de tiempo t, y la cantidad inicialmente depositada es Po P= Po (1+r)t

Si el interés se capitaliza de una manera continua, entonces la fórmula sería la siguiente: P= Po e

kt

Si se depositan 10000 con una tasa del 7% anual capitalizable de manera continua, se obtendrían: P=10000*e.07*3

=10000(1.23367806)=$12,336.78 Ejemplo 1.15 La función que modela la desintegración del ozono Q es exponencial, la tasa continua de disminución del ozono es 0.25% anual por año, y se formula de la siguiente manera: Q = Qo e

-kt en donde k es la rapidez con la que disminuye el ozono Q = Qo e

-.0025tt Si deseamos calcular en cuanto tiempo Qo disminuirá a la mitad, es decir cuándo

Q=2

Q0 entonces la ecuación se plantea

de la siguiente manera:



=2

Q0 Qo e

-.0025tt

Despejando Qo

=2 1 e-.0025t

Aplicando logaritmo natural a ambos lados de la ecuación:

ln =2 1 ln e-.0025t

como la función logaritmo natural es la función inversa de la exponencial: -0.69314718=-.0025t despejando t t = 277 años En 277 años habrá disminuido la mitad del ozono. Ejemplo 1.16 Un ejemplo de una función exponencial decreciente sería el que se refiere a la presencia de elementos radiactivos respecto al tiempo, estos elementos decrecen respecto al tiempo, la función que modela este comportamiento es la exponencial: N= No e-λt en donde No es la cantidad del elemento en el momento 0, es la cantidad inicial, y λ es la constante de decrecimiento. Si deseamos calcular el tiempo necesario para que la presencia del elemento se reduzca a la mitad se aplica la siguiente ecuación:

Sea t=T el tiempo necesario para que

N=2

oN

Entonces 2

oN = No e-λt

De la ecuación anterior se despeja t , se le conoce también como vida media del elemento radiactivo • Función logarítmica La función logarítmica tiene una relación directa con la función exponencial, y se define de la siguiente manera: La función logarítmica, base b, en donde b>0 y b ≠ 1, se denota como logbx , se define como la potencia a la que se eleva b para obtener x : logbx = c si bc = x

El dominio de la función son los números reales positivos, y el contradominio son todos los reales Por ejemplo el logaritmo de 9, base 3, se denota como log3 9 es igual a 2 porque 32 = 9 Veamos otros ejemplos:

Forma logarítmica

Forma exponencial

log2 16= 4 24 =16

log5 125=3 53 =125

log10 1000=3 103 =1000

log25 5=1/2 251/2 =5



log2 81 =-3 2-3 =

81

Una clase particular de las funciones logarítmicas se constituye cuando la base del logaritmo es el número e, entonces se le denomina función logarítmica natural. El logaritmo natural de x, se denota como lnx, es la potencia de e necesaria para obtener x : lnx = c si ec = x Ejemplo 1.17 ln 5=1.60943791 se puede corroborar con una calculadora que e1.60943791 es aproximadamente igual a 5. Como la función logarítmica invierte la acción de la función exponencial, se dice que la función logarítmica es la inversa de su correspondiente función exponencial, y de la misma manera la función exponencial es la inversa de su correspondiente función logarítmica. Así ln e5 = 5 porque 5 es la potencia necesaria para obtener e5

ln(1/e) = -1 porque -1 es la potencia necesaria para obtener e-1 eln2 =2 lo podemos corroborar una calculadora. Gráfica 1.16

• Ecuaciones logarítmicas Por sus propiedades, las funciones logarítmicas son muy útiles para despejar exponentes y resolver ecuaciones. Recordemos las propiedades del logaritmo natural:

• ln(ab)= lna + lnb

• ln( ba

) = lna – lnb • ln ap = p lna • ln ex = x • elnx = x • ln 1 = 0.

Ejemplo 1.18 Con base en las propiedades anteriores podemos resolver el siguiente problema:



¿En cuánto tiempo se esperaría que la población de Aguascalientes llegue a 1200000 habitantes, si continúa con la misma rapidez de crecimiento? La ecuación del crecimiento exponencial de la población de Aguascalientes es: P = 944285e.021(t) En donde 944285 es la población inicial en el año 2000, cuando t=0, y la tasa de crecimiento es 2.1%, se desea conocer para qué valor de t el valor de P será 1200000. 1200000 = 944285e.021(t)

Despejando: 1.27080278= e.021(t) Aplicando logaritmo natural a ambos lados de la ecuación: ln(1.27080278)= ln(e.021(t)) 0.23964881 =.021t t =11.4 años se esperaría que para el año 2011 la población sea de 1,200,000. Ejemplo 1.19 Si se invierten $10,000. en el banco a una tasa del 7%, ¿en cuánto tiempo se duplicaría la cantidad inicial, si se considera que la tasa se capitaliza anualmente y cuánto tiempo si la tasa se capitaliza de manera continua? La fórmula de capitalización anual es P=P0 (1 + r)t

Entonces P=10000(1.07)t

Para obtener el doble de la cantidad inicial 20000=10000(1.07)t 2=(1.07)t

aplicando logaritmo natural y sus propiedades ln2=tln(1.07)

t =07.1ln2ln

t=0677.6931.

=10.24 años

En 10.2 años se duplicaría la cantidad inicialmente invertida a una tasa del 7% capitalizable anualmente Por otro lado, si la capitalización es continua entonces la fórmula sería: P=10000*e.07*t 20000 =10000*e.07*t 2= e.07t

aplicando logaritmos y despejando ln2=ln e.07t ln2=.21t

t = 07.

2ln

t=9.9 años En 9.9 años se duplicaría la cantidad invertida a una tasa del 7% capitalizable de manera continua. • Sumas de funciones Se crean funciones a partir de la combinación de funciones, se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir.



Así: La suma de la función f y g se define como: f + g =f(x) + g(x) Por ejemplo sea f + g =f(x) + g(x) Sea f(x) =5x+4 y g(x) = x -1 Entonces: f + g =f(x) + g(x)= (5x+4) +( x -1) = 6x +3 Sea f(x) =2x2 y g(x) = 3x +3 Entonces: f + g =f(x) + g(x)= 2x2 + (3x +3) = 2x2 + 3x +3 La suma de funciones potencia genera polinomios: y= p(x)= anxn + an-1xn-1 + ....+a1x1 + a0 n es un entero positivo y se le llama grado del polinomio • Funciones compuestas Otra forma de combinar funciones es a través de la composición, se le conoce como ‘función de función‘ y se le define de la siguiente manera: La composición de f y g, se simboliza f○g, y se obtiene de la siguiente manera:

(f○g)(x) = f(g(x))

La composición de g y f, se denota como g○f , y se obtiene de la siguiente manera:

(g○f)(x)=g(f(x)) Primero se realizan las acciones que indica la función que se encuentra al interior, y después se ejecutan los pasos que señala la función exterior por ejemplo: Sea f(x) = x2 y g(x) = x +2 para obtener la composición de funciones (f○g)(x)=f(g(x)) se desarrollan las acciones en el siguiente orden: Primero se considera la función interior que indica agregar 2 a x , g(x) = x+2 Enseguida, esta función g(x), se coloca como entrada de f, la función exterior, que indica elevar al cuadrado, en este caso sería elevar al cuadrado a g(x), así: f(g(x))= f(x+2) = (x+2)2 Veamos otro ejemplo: Sea f(x) = 3x - x y g(x) = 2x + 1 encontrar f(g(x)): f(g(x))= f(2x + 1) = 3(2x + 1) - 12x + = 6x+3- 12x + Consideremos ahora g(f(x)) Ahora la función interior es la f g(f(x))=g(3x - x ) =2(3x - x ) +1



Existe otra manera de representar la composición de funciones: y= u3 en donde u =(t-4) entonces y=(t-4)3 • Funciones periódicas Las funciones que tienen gráficas que se parecen a una onda, en el sentido de que oscilan hacia arriba y hacia abajo, y que repiten sus valores a intervalos regulares, se les llama funciones periódicas. Las gráficas de estas funciones se repiten, por lo que al conocer un ciclo de ellas, es posible conocerla toda. Cuando la función es periódica en el tiempo se definen se dice que:

- La amplitud es la mitad de la diferencia entre sus valores máximo y mínimo

- El período es el tiempo necesario

para que la función ejecute un ciclo completo

Las funciones seno y coseno son periódicas, se utilizan combinaciones de ellas para generar gráficas periódicas. Gráfica 1.17

Las funciones y= A sen(Bt) + C y y=Acos(Bt) +C son periódicas con

Amplitud = │A│, Periodo=¦¦ B

π2

Desplazamiento vertical=C



Ejemplo 1.20 En la tabla 1.14 se presentan los precios mensuales promedio, del año 2000 a 2004, de la gruesa de Gladiola, en la Cd. de México. El precio cambia según la época del año, podemos apreciar que los valores máximos se presentan alrededor de los meses de diciembre y enero y los valores mínimos durante junio y julio.. El comportamiento del precio se modela con funciones periódicas, en la gráfica 1.18, se presentan los valores de los precios de enero del 2000 a Noviembre de 2004

Tabla 1.14

Año Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

2000 200 235 198 212 219 152 156 162 240 229 187 278

2001 290 205 270 242 230 190 104 128 141 241 326 301

2002 240 250 246 191 255 220 212 196 210 240 246 330

2003 324 251 333 268 232 189 171 199 222 269 267 329

2004 312 328 295 273 263 181 191 214 253 282 270 FUENTE: Mercados agrícolas nacionales / http://www.secofi-sniim.gob.mx/ Noviembre 2004

Gráfica 1.18



Precio de la gruesa de Gladiola

0

50

100

150

200

250

300

350

0 12 24 36 48 60 72

2000 - 2004

$

Realización del ejercicio Competencia científica teórica. Usar funciones en problemas de economía. Competencia analítica.

Calcular la rapidez de cambio promedio de una cantidad. Competencia lógica. Interpretar la rapidez de cambio. 1.- Determina, con la información contenida en la tabla 1.6, cuál de los granos básicos presenta una mayor rapidez de cambio promedio entre 1994 y 2003. Grafica e interpreta los resultados. Competencia científica teórica. Usar funciones en problemas de economía. Competencia analítica. Construir gráficas para la solución de problemas. 2.-Determina la ecuación de oferta de la producción de zapatos, suponiendo que es una función lineal, si el fabricante esta dispuesto a colocar en el mercado 50 docenas de pares de zapatos si el precio es

de $350 y 35 docenas de pares zapatos si el precio es de $300. Grafica Competencia analítica. Elaborar tablas para la solución de problemas. Construir gráficas para la solución de problemas. Competencia científica teórica. Usar funciones en problemas de economía. Competencia emprendedora. Modelar problemas usando funciones.. 3.- Supón que el valor de un equipo disminuye el 10% anual con respecto a su precio original que es $50,000, determina la ecuación que represente el valor del equipo después de t años, considera que 0<t<10. Elabora una tabla y grafica. Competencia científica teórica. Usar funciones en problemas de economía. Competencia analítica. Calcular cantidades usando funciones. 4.- Determina el precio y cantidad de equilibrio si la función de oferta de un



producto es: 2100

3+= qp y la ecuación de

demanda es: p= 12100

7+− q

Competencia científica teórica Usar funciones en problemas de física. Competencia emprendedora Modelar problemas usando funciones. 5.-El período de un péndulo, T, es proporcional a la raíz cuadrada de su longitud, l. Si un péndulo mide 81 centímetros, y el período es de 2.25 segundos. Encuentra la constante de proporcionalidad Competencia de información. Consultar información bibliográfica y en páginas Web de Internet. Competencia emprendedora. Modelar problemas usando funciones. 6. Investiga en la web, en la página del INEGI, la tasas de crecimiento de la población de Veracruz , entre 1990 a 2000, utiliza un modelo de función exponencial para estimar la población en el año 2010. Competencia ambiental. Proponer soluciones a problemas ambientales usando funciones. Competencia científica teórica. Usar funciones en problemas de física. Competencia científica teórica Modelar problemas usando funciones. 7.- Una sustancia radiactiva decrece según con N=10e-0.41t , en donde N es el número de miligramos presentes después de t horas. Determina: a) la cantidad inicial de

la sustancia, b) la cantidad después de10 horas y c) el número de horas que deben transcurrir para que sólo quede 1 miligramo Competencia científica teórica. 8.- Si f(x) = 3x2 +6 y g(x) = 4 -2x determina a) f(g(2)) b) g(f(2)) Competencia científica teórica.

9. Si f(t) = t2 +3t +1 y g(t)= 1

2−t

determina (f ○g)(t) y (g ○f) (t)



PRÁCTICAS Y LISTAS DE COTEJO

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje

1

Práctica número 1 Nombre de la práctica

Cálculo del interés compuesto y continuo

Propósito de la práctica

Al finalizar la práctica el alumno aplicará las funciones que modelan al interés compuesto y continuo.

Escenario Aula Duración 2 h

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel

• Calculadora



Procedimiento

Realizar la práctica con responsabilidad, limpieza, seguridad y trabajo en equipo. • Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.

1. Lee con cuidado lo siguiente:

Introducción En ésta práctica se van presentar las funciones que modelan al interés compuesto y continuo Si tiene una cantidad, puede decidir invertirla para ganar interés; el interés se puede pagar de varias formas; por ejemplo, una vez al año o varias veces al año. Si el interés se paga con más frecuencia que una vez al año y los intereses no se retiran, hay un beneficio para el inversionista puesto que el interés gana intereses. Este efecto se llama capitalización. Los bancos ofrecen cuentas que difieren tanto en tasas de interés como en métodos de capitalización. Algunos ofrecen intereses compuestos anualmente; otros, trimestralmente y otros diariamente. Otros capitalizan en forma continua.

Funciones que representan al interés compuesto y continuo Supongamos que $P0 es la cantidad depositada en una cuenta que paga una tasa de interés anual de r y P es el saldo de la cuenta después de t años. Entonces, Si el interés se capitaliza anualmente P = P0(1+r)t Si el interés se capitaliza continuamente P = P0e

rt P0 es la cantidad inicial, es decir el valor de P cuando t = 0

2. Elaborar reunidos por equipos los siguientes ejercicios de acuerdo a las instrucciones del PSA, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.

a. Si deposita $10,000 en una cuenta que gana interés a una tasa del 18% anual capitalizado continuamente, ¿cuánto dinero hay en la cuenta después de cinco años?

b. Se invierten $1000 en una cuenta que paga interés a razón del 5.5% por año. ¿cuánto dinero hay en la cuenta después de 8 años si el interés se capitaliza a) anualmente? b) continuamente?

c. Si deposita $20,000 en una cuenta que gana interés a una tasa de interés anual del 5% capitalizado anualmente, ¿cuánto tiempo tarda para que el saldo de la cuenta llegue a los $15,000?

d. Se invierten $5000 en una cuenta que paga interés el 8% de interés anual. ¿cuánto tiempo tarda el dinero en duplicarse si el interés se capitaliza a) anualmente? b)



Procedimiento continuamente?



Procedimiento

e. Invierte $12,000 en una cuenta que paga el 8% de interés por año, capitalizado continuamente ¿cuánto tiempo tardará el saldo en llegar a los $20,000?

3. Elaborar en cartulinas las soluciones de los ejercicios. Cada equipo nombrará un relator que expondrá al grupo los resultados de sus trabajos, resolviendo preguntas o dudas de sus compañeros.

4. Cada equipo nombrará un relator que expondrá al grupo los resultados de sus trabajos, resolviendo preguntas o dudas de sus compañeros.

5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma.

Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje.



LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 1: Cálculo del interés compuesto y continuo

Portafolios de evidencias

Fecha: ______________ Nombre del alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrolló Sí No No

aplica Realizó la práctica con responsabilidad, limpieza, seguridad y trabajo en equipo

• Aplicó las medidas de seguridad e higiene • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los

documentos de trabajo

1. Leyó con atención la teoría 2. Resolvió los ejercicios en equipo 3. Elaboró cartulinas con las soluciones de los ejercicios 4. Explicó el ejercicio correspondiente al grupo 5. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe

incluir las conclusiones de la misma

Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas

Observaciones:

PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación:



DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje

1

Práctica número 2 Nombre de la práctica

Modelación matemática de la alteración de la capa de ozono por los clorofluorcarbonados

Propósito de la práctica

Al finalizar la práctica el alumno modelará matemáticamente la alteración de la capa de ozono por los clorofluorcarbonados.

Escenario Aula Duración 2 h

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel

• Calculadora



Procedimiento

Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.

1. Lee con cuidado lo siguiente:

Destrucción de la capa de ozono El ozono lo podemos encontrar de dos maneras:

• El ozono formado en la atmósfera (desde la superficie de la tierra hasta 15 kilómetros de altura), es muy nocivo para los seres vivos, pues además de ser un contaminante, participa en el efecto invernadero. En este caso es un contaminante que es llamado secundario porque no se emite directamente a la atmósfera, sino que se forma en el aire cuando los hidrocarburos y los óxidos de nitrógeno reaccionan bajo la luz del sol generalmente en los días tibios y soleados con temperaturas que oscilen entre los 24° y 32°C. En los últimos años los niveles de ozono han aumentado considerablemente.

• Por otro lado, forma parte de las capas superiores de la atmósfera (lo encontramos en la estratosfera unos 25 kilómetros de altura) y funciona como un compuesto vital, ya que ayuda a filtrar los rayos ultravioleta provenientes del sol y evita que el 90% de la radiación solar ultravioleta atraviese la atmósfera y cause algún daño en las cosechas o en las células de los organismos vivos, ya que puede provocar cáncer en la piel.

Los principales causantes de la alteración de la capa de ozono son los clorofluorcarbonados (CFC). ¿Cómo destruyen los CFCs al ozono?

• Cuando el Sol se descompone los CFCs, se libera el cloro. Este es nocivo para el ozono, que es un gas con tres átomos de oxigeno. El cloro se "roba" uno de estos tres átomos de oxigeno, convirtiendo el ozono en oxigeno normal, y lo que es peor, cada átomo de cloro puede hacer esto 100.000 veces.

• Se calcula que una molécula de monóxido de cloro (CIO) puede destruir millones de moléculas de ozono. Si a esto le agregamos que los clorofluorcarbonados (CFC) son moléculas muy estables, las cuales duran casi 20 años como tales en la atmósfera, entonces todavía en el futuro, infinidad de moléculas de la capa de ozono serán destruidas



Procedimiento

Efectos de la pérdida de ozono. El aumento de radiación ultravioleta causado por la disminución de la capa de ozono produce en las personas cáncer de la piel, quemaduras de sol, cataratas en los ojos y disminución del sistema inmunológico. El aumento de radiación ultravioleta también daña a los animales terrestres y acuáticos y a las plantas. Puede reducir la vida silvestre, las cosechas y los organismos marinos. Desafío ambiental: Protégete del sol en las horas cercanas al mediodía, prefiere estar a la sombra o utiliza lociones protectoras contra el sol, sombrero, ropa que cubra los brazos y las piernas y anteojos para sol. Efecto de invernadero Es uno de los fenómenos más conocidos y comentados, debido a sus graves efectos posibles. Es causado por el aumento en la concentración de los gases de invernadero: el dióxido de carbono (CO2), los clorofluorcarbonados (CFC), el metano (CH4), el óxido de nitrógeno (N2O) y el ozono de la troposfera. La radiación solar pasa a través de ellos, pero atrapan y conservan el calor de la radiación infrarroja reflejada por la superficie del suelo, aumentando así la temperatura de la atmósfera baja

2. Analizar en grupo la lectura anterior. 3. Resolver en grupo el siguiente problema:

La liberación de clorofluorcarbonados (CFC) que se emplean en acondicionadores de aire y en menor medida, en atomizadores de uso domestico (atomizadores para el pelo, crema de afeitar, etc.) destruye la capa de ozono de la alta atmósfera. En la actualidad, la cantidad de ozono, Q, se está desintegrando exponencialmente a una rapidez continua de 0.25% por año. ¿Cuál es la vida media del ozono? En otras palabras, a esta rapidez, ¿cuánto tardará para que la mitad del ozono desaparezca?

4. En grupo elaborarán conclusiones. 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las

conclusiones de la misma.



Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje.



LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 2: Modelación matemática de la alteración de la capa de ozono por los

clorofluorcarbonados

Portafolios de evidencias

Fecha: ______________ Nombre del alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño. Desarrolló Sí No No

aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica

• Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los

documentos de trabajo

1. Leyó con atención la teoría 2. Analizó en grupo la destrucción de la capa de ozono 3. Resolvió en grupo el problema 4. Participó en la elaboración de conclusiones del problema 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que debe

incluir las conclusiones de la misma

Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas

Observaciones:

PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación:



RESUMEN

Todo lo que nos rodea cambia, el peso de las personas, las calificaciones, la temperatura, el número de personas que habitan una ciudad, la tasa de interés que ofrece el banco, el precio de un producto en el mercado, el número de partículas suspendidas en el aire, la velocidad de un automóvil; vivimos en un mundo cambiante, algunas cosas cambian más rápido que otras. El cálculo nos ayuda a medir el cambio y la rapidez del mismo. La rapidez de cambio promedio de una variable y entre el tiempo a y b, es el cambio de la variable y entre el cambio en el tiempo, y se denota como:

ty

ΔΔ

Una función es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número de salida. El conjunto de

todos los números de entrada se le llama dominio de la función, mientras que al conjunto de todos los números resultantes de salida se le conoce como contradominio, imagen, o rango de la función. La rapidez de cambio promedio de una función entre t=a y t=b se denota como:

=ty

ΔΔ

a-bab )f( - )f(

Existen diferentes tipos de funciones, las que se usan con más frecuencias son las funciones lineales. Estas funciones se caracterizan porque tienen una rapidez de cambio constante-. Otras tipo de funciones son las funciones potencias, las trascendentes, Entre las trascendentes una de las más importantes es la función ex

denominada función exponencial

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