Manual de Algebra Lineal 2009

Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso Página 1

Compilado por:

Lic. Esp. José Francisco Barros Troncoso

Santa Marta

2009


CONTENIDO

Base Conceptual

Aplicación del Algebra Lineal

Arreglo

Matrices

Tipos de Matrices

o Matrices Equidimensionales

o Matrices Iguales

o Matriz fila

o Matriz columna

o Matriz traspuesta

o Matriz simétrica

o Matriz antisimétrica

o Matriz nula

o Matriz diagonal

o Matriz escalar

o Matriz unidad o identidad

o Matriz Triangular

Suma y Diferencia de Matrices

o Tecnología

o Problemas de Aplicación.

Multiplicación de Matrices

Reducción de Gauss-Jordan

Inversa de una Matriz

o Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Dos

o Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Superior a Dos

Ecuaciones Matriciales

Aplicación de las Matrices

o Modelos de Entrada-Salida de Leontief

o Modelo Cerrado de Leontief.


ALGEBRA LINEAL

La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn

Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe تاب بر ك ج ال

لة قاب م que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y) (وال

balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática

de ecuaciones lineales y cuadráticas.

Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala)

بر ,"proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción ,(al-dejaber) (yebr) ج

operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados

(algebrista era el médico reparador de huesos).

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como

vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal,

espacios vectoriales, y transformaciones lineales.

Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las

matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de

operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William

Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y

de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre.

Ejemplo de Aplicación del Algebra Lineal

Una empresa puede recopilar y almacenar o analizar varios tipos de datos como parte

regular de sus procedimientos de registros. Es posible presentar los datos en forma

tabular. Por ejemplo un contratista de una construcción que construye diferentes

estilos de casa puede catalogar el número de unidades de ciertos materiales necesarios

para construir cada estilo de casa en una tabla de datos así:

De acuerdo a la información suministrada responda

Materiales Rancho Colonial Clásica

Madera 28 35 23

Tablas 34 19 25

Techado 12 25 27

http://es.wikipedia.org/wiki/Persia

http://es.wikipedia.org/wiki/Muhammad_ibn_Musa_al-Jwarizmi



http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_%C3%A1rabe

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Etimolog%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_%C3%A1rabe

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/1843

http://es.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton



http://es.wikipedia.org/wiki/Cuaterni%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/1844

http://es.wikipedia.org/wiki/Hermann_Grassmann


¿Cuál es el tipo de vivienda que más necesita material?

¿Cuál es el tipo de vivienda que más necesita madera?

¿Cuál es el material que más se gasta?

ARREGLO

Conjunto o agrupación de variables o cantidades de la misma estructura cuyas

posiciones se referencian por medio de sub-índices. Existen arreglos unidimensionales

denominados vectores, los bidimensionales llamados matrices y los multidimensionales.

El subíndice es un entero que indica la posición de un elemento del arreglo. El Rango es

el número de elementos del arreglo.

MATRICES

Es un arreglo rectangular de datos. Las matrices se clasifican en filas y columnas. En la

matriz A que representa el ejemplo del número de unidades de ciertos materiales

necesarios para construir cada estilo de casa, las filas corresponden a los tipos de

materiales y las columnas a los de vivienda.

A=

Una matriz A de m fila y n columnas se dice una matriz de mxn dicho número indica el

tamaño de la matriz y el número de elementos que esta contiene, se puede representar:

Cada elemento aij de A esta ubicado en la fila i columna j. Los sub-indices indican la

posición del elemento en la matriz. Una matriz de n filas y n columnas se dice una

matriz cuadrada de orden n.

Columna 1 Columna 2 Columna 3

28 35 23 Fila 1

34 19 25 Fila 2

12 25 27 Fila 3


Consideremos la matriz B de orden 4:

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

A31 A32 A33 A34

A41 A42 A43 A44

TIPOS DE MATRICES

Matrices Equidimensionales: Son las que tienen el mismo tamaño

Matrices Iguales: Son las que sus elementos correspondientes son iguales

Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden

1xn.

A = (a1, a2, a3, …, an)

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es

de orden mx1.

A =

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por

At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la

primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

a1

a2

a3

an

DIAGONAL

PRINCIPAL

DIAGONAL

SECUNDARIA

TRIANGULAR

SUPERIOR

TRIANGULAR

INFERIOR


De la definición se deduce que si A es de orden mxn, entonces At es de orden nxm.

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i,

j.

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij =

–aji " i, j.

Atendiendo a los elementos

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no

pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal

principal iguales a 1.

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que

están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de

dos tipos:


Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son

todos nulos. Es decir, aij =0 " i<j.

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son

todos nulos. Es decir, aij =0 "j<i.

SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de

la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para

poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Propiedades de la suma de matrices

1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)

2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)

3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A,

recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–

B)

Ejercicio.

Si A= B= C=

1 3 5

3 8 7

3 6 1

2 0 1

2 0 6

3 -2 -1


Hallar:

1. La traspuesta de A

2. A + B

3. C – B

4. A + C – B

5. Halle la matriz D tal que al sumarla con C obtenemos una matriz nula

6. Ejercicio encuentre w, x, y y z si:

a. 𝑥 4

4𝑦 𝑤 +

−4𝑥 2𝑧−3 −2𝑤

= 12 8𝑦 6

b. 2𝑥 −𝑦𝑧 3𝑤

+ 𝑥 3𝑦

2𝑧 −2𝑤 =

6 −8−3 1

Tecnología: En la página www.macstat.org encuentra el instalador y el manual de un

software MacStat 2.5 beta que permite realizar operaciones con matrices como; suma,

resta, multiplicación, obtención de determinantes, transpuestas, adjuntas e inversas.

Recomiendo dicha herramienta para verificar los resultados de los ejercicios que usted

indague por bibliografía o web-grafía.

http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/ejercicios.htm

Problemas de Aplicación.

1. Suponga que en un organismo del estado la información fluye

constantemente entre oficinas de acuerdo con el siguiente

diagrama

a . Construya la matriz A con los elementos

1 2

5

3 4

http://www.macstat.org/

http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/ejercicios.htm


1 Si el flujo de información fluye directamente de i a j

aij

0 Si el flujo de la información no fluye directamente de i a j

b. Construya una matriz B con los elementos

1 Si la información fluye de i a j a través de no más de un

intermediario, con i≠j

aij

0 En caso contrario

c. La persona de la oficina i tiene mayor poder de influencia si la

suma de los elemento de la fi la i en la matriz A+B es la mayor ¿cuál

es el número de la oficina de esta persona?

2. La administración trata de identificar a la persona más activa en

los esfuerzos laborales para la sindicalización. El siguiente

diagrama muestra como fluye la influencia de empleado hacia otro

entre los cuatro empleados más activos

a . Construya la matriz A con los elementos

1 Si i fluye directamente a j

aij

0 de otra manera

b. Construya una matriz B con los elementos

1 Si i fluye a j a través de no más de un 1 persona , con i≠j

aij

0 En caso contrario

1 2

3 4


c. La persona i es más activa en la inf luencia con otras si la suma de

los elementos de la fi la i de la matriz A +B es la más grande

¿quién es la persona más activa?

3. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres

terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la

terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en

la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la

terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en

la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1

hora de administración. La terminación L l leva 30 horas de taller y

1.2 horas de administración. La terminación S l leva 33 horas de

taller y 1.3 horas de administración.

a) Representar la información en dos matrices.

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de

administración empleadas para cada uno de los modelos.

4. Las calificaciones de matemáticas, de cuatro alumnos de 2º de Bachillerato, en

las tres evaluaciones del curso fueron las siguientes:

Para calcular la calificación final, el departamento de matemáticas ha establecido

los siguientes "pesos" para cada una de las evaluaciones: 1ª Ev: 25 %, 2ª Ev: 35

% y 3ª Ev: 40 %. Se pide:

a) La nota final de cada uno de los alumnos.

b) La media aritmética de las calificaciones de cada evaluación.

CALIFICACIONES

Alumnos 1ª Ev 2ª Ev 3ª Ev

Antonio 8 7 5

Jaime 4 6 5

Roberto 6 5 4

Santiago 7 6 8


5. Tres familias numerosas van a una heladería. La primera familia pidió 3 helados

de barquillo, un helado de vasito y 2 granizadas, la segunda familia consumió 1

helado de barquillo, 4 helados de vasito y una granizada y la tercera familia, 3

helados de barquillo, 2 helados de vasito y 2 granizadas.

a) Obtén una matriz A, 3 x 3, que exprese el número de helados de barquillo,

helados de vasito y granizadas que consume cada familia.

b) Si cada una de las tres familias ha gastado respectivamente: 13 €, 12€ y

15€, calcula el precio de un helado de barquillo, un helado de vasito y una

granizada.

Multiplicación de Matrices:

En el caso de la multiplicación de matrices, para que dicha operación pueda realizase, se

requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual al de filas de la

segunda matriz.

Graficamente

Si A y B son matrices el producto matricial A x B es posible si:

fA x cB x fB x cB = fA x cB

Si dicha condición se cumple, entonces se puede concebir que cada elemento de la

multiplicación sea resultado de aplicar de la siguiente fórmula:

donde A y B son las matrices a multiplicar, C es la matriz donde se guarda el resultado

y C[i,j] es un elemento de la matriz C. Nótese el uso del elemento k. El elemento k es un

entero que sirve como contador de las columnas en la matriz A y como contador de filas

en la matriz C. Para ilustrar un poco es el proceso, se tienen las siguientes matrices:

=


A B C

1 2 3 4 1 5 10 30 70 120

5 6 7 8 X 2 6 11 = 70 174 304

9 10 11 12 3 7 12 110 278 488

4 8 13

Si se desea obtener el elemento C[2,2] de la matriz C, se tienen que efectuar las

siguientes operaciones:

C[2,2] = A[2,1] * B[1,2] = 5 * 5

A[2,2] * B[2,2] = 6 * 6

A[2,3] * B[3,2] = 7 * 7

A[2,4] * B[4,2] = 8 * 8

Suma: 174


TALLER DE ALGEBRA LINEAL

1. Dadas las matrices:

Calcular: A + B; A - B; A x B; B x A; A t . (Traspuesta)

2. Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0 , s iendo:

3. Calcular la matriz inversa de:

4. Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

5. Resolver; en forma matricial, el sistema:


Ejercicios

Ejercicio

Determine si los valores dados de x, y y z son la solución para la ecuación matricial dada

sustituyendo los valores dados en la ecuación matricial y efectuando la multiplicación

matricial.

a. 1 0 11 1 00 1 1

𝑥𝑦𝑧 =

−10−3

b. 1 1 11 −1 11 −1 −1

𝑥𝑦𝑧 =

−204

c. 2 1 −13 −2 1−4 3 2

𝑥𝑦𝑧 =

−13

−11

d. 3 1 02 −2 11 1 2

𝑥𝑦𝑧 =

492

e. 1 1 24 0 12 1 1

𝑥𝑦𝑧 =

555

f. 1 0 23 1 01 2 1

𝑥𝑦𝑧 =

073


EVALUACIÓN

1. Suponga que la matriz A representa las ventas (en miles de millones de pesos) de una

compañía en el 2006 en varias ciudades y que la matriz B representa las ventas (en

miles de millones de pesos) para la misma compañía en el 2007 en las mismas

ciudades.

𝐴 = 𝐵𝑜𝑔𝑜𝑡á 𝑀𝑒𝑑𝑒𝑙𝑙í𝑛 𝐶𝑎𝑙𝑖

450 280 850400 350 150

𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑜𝑀𝑒𝑛𝑢𝑑𝑒𝑜

𝐵 𝐵𝑜𝑔𝑜𝑡á 𝑀𝑒𝑑𝑒𝑙𝑙í𝑛 𝐶𝑎𝑙𝑖

375 300 710410 300 200

𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑜𝑀𝑒𝑛𝑢𝑑𝑒𝑜

a) Escriba la matriz que representa el total de ventas por tipo y ciudad para ambos

años.

b) Escriba la matriz que representa el cambio en ventas por tipo y por ciudad de 2007 a

2006.

c) Determine cuales son las ciudades de mayor venta al por mayor y la de mayor venta

al menudeo

2. A partir de los datos de la siguiente tabla:

a. Elabore una matriz A que dé el valor (en millones de dólares) de las importaciones

de diversas agrupaciones de países en los años 1983-1985

b. Elabore una matriz B que dé el valor (en millones de dólares) de las exportaciones

de las mismas agrupaciones en los mismos años.

c. Encuentre la balanza comercial para cada agrupación de países en cada año

encontrando B – A

Importaciones

PAISES 83 84 85

Desarrollados 122 822 135 884 134 018

En vías de

desarrollo 72 342 74 421 72 673

Comunistas 5 085 7 214 7 091

Otros 289 369 365

Haga un análisis de la matriz resultante


Exportaciones

PAISES 83 84 85

Desarrollados 152 117 200 714 223 314

En vías de

desarrollo 102 266 119 790 116 161

Comunistas 3 604 5 221 5 801

Otros 1 1 0

3. Un vendedor de automóviles puede comprar automóviles puede comprar automóviles

medianos en 12% por debajo del precio de lista y también automóviles de lujo en 15%

por debajo de los precios de lista. La siguiente tabla muestra la lista de precios para

dos automóviles medianos y dos automóviles de lujo

Medianos 25 000 28 000

De lujo 36 000 42 000

Escriba estos datos en una matriz y multiplique a la izquierda por la matriz

0,88 0

0 0,85

¿Qué representa cada elemento de este producto matricial. Debe realizar y escribir

el proceso?

4. Suponga que el banco tiene tres fuentes principales de ingresos (préstamos

empresariales, préstamos para automóviles e hipotecas de casas) y que retira fondos

de esta fuente para capital de riesgo que se usa para crear fondos para nuevos

negocios. Suponga que el ingreso de estas fuentes por cada 3 años se da la siguiente

tabla y el banco utiliza 45% de su ingreso de los préstamos empresariales, 20% de su

ingreso de los préstamos para automóviles y 30% de su ingreso de las hipotecas de

casas para obtener sus fondos de capital de riesgo. Escriba un producto matricial

que dé el capital de riesgo disponible en cada uno de los tres años


𝐴ñ𝑜 𝐸𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑖𝑙𝑒𝑠 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑐𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠2001 63300 20024 518202002 48305 15817 637222003 55110 18621 64105

5. Una cuenta de gastos de un asociado de ventas para la primera semana de cierto

mes tiene los gastos diarios ( en dólares) que se muestran en la matriz A

𝐴 =

𝐶𝑜𝑚𝑖𝑑𝑎𝑠 𝐻𝑜𝑠𝑝𝑒𝑑𝑎𝑗𝑒 𝑉𝑖𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑂𝑡𝑟𝑜𝑠

22 40 100 5 𝐿𝑢𝑛𝑒𝑠20 40 20 0 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠28 70 45 0 𝑀𝑖𝑒𝑟𝑐𝑜𝑙𝑒𝑠15 70 20 10 𝐽𝑢𝑒𝑣𝑒𝑠20 0 100 5 𝑉𝑖𝑒𝑟𝑛𝑒𝑠

a) El asociado encuentra que el asociado de la segunda semana son 5% mayores (en

cada categoría) que en la primera semana. Encuentre la matriz de gastos de la

segunda semana.

b) Encuentre la matriz de gastos para la tercera semana si los gastos para esa

semana son 4% menores (en cada categoría) de lo que fue en la segunda semana.

Cada punto tiene un valor de 1.5 la presentación del examen tiene un valor del 0.5

Investigar. El uso de la función MMULT de Excel y haga una aplicación


EVALUACIÓN

El presupuesto anual de una compañía tiene los siguientes gastos, en miles de dólares,

en los departamentos seleccionados.

Rubro Departamento

Manufac

Oficina

Venta

Distrib

ución

Contab

ilidad

Adm

ón

Abastecimiento 0.7 8.5 10.2 1.1 5.6 3.6

Teléfono 0.5 0.2 6.1 1.3 0.2 1

Transporte 2.2 0.4 8.8 1.2 1.2 4.8

Salarios 251.8 63.4 81.6 35.2 54.3 144.2

Servicios 30 1 1 1 1 1

Materiales 788 0 0 0 0 0

1. ¿Cuáles fueron los departamentos de menor y mayor gasto? ¿Cuáles fueron los

rubros de menor y mayor gasto?

2. Encuentre la matriz presupuesto para los siguientes cambios “a lo largo de la

tabla” en el presupuesto: a) Un decremento de 5% b) Un incremento del 8%

3. Suponga que hay un incremento de 20% en fabricación, un aumento de 3% en

oficina, un incremento de 5% en ventas, un aumento de 20% en distribución, un

incremento de 5% en contabilidad y un decremento de 3% en administración.

Encuentre la nueva matriz de presupuesto multiplicando la matriz siguiente por la

matriz original.

97.000000

005.10000

002.1000

00005.100

000003.10

000002.1


TALLER

Dos departamentos de una empresa, Ay B necesitan diferentes cantidades de los

mismos productos. La siguiente tabla da las cantidades de los productos que los

departamentos necesitan

Acero Plástico Madera

Departamento A 30 20 10

Departamento B 20 10 20

Dos proveedores, Ace y Kink surten estos tres productos, con los precios unitarios

que se dan en la siguiente tabla

Ace Kink

Acero 3000 280

Plástico 150 100

Madera 150 200

a) Use la multiplicación de matrices para encontrar cuánto costarán estos pedidos

con los proveedores.

b) ¿A qué proveedor debe comprar cada departamento?

REDUCCIÓN DE GAUSS-JORDAN

Solución matricial de Sistemas de Ecuaciones

El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones

lineales (S.E.L.) en otro equivalente más sencillo de resolver (se puede resolver por

simple inspección). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema

que tiene exactamente las mismas soluciones.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales


Donde los ai, bi, ci y di para todo i=1,2 y 3 ε R (Coeficientes)

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices, primero escribimos los

coeficientes del sistema en la matriz ampliada.

Cada columna contiene los coeficientes de una de las variables, el proceso continua

aplicando cada una de los siguientes pasos:

1. Tener uno en la fila uno columna uno.

2. Usar la fila uno solo para tener ceros en las otras entradas de la columna uno

3. Usar la fila dos para tener uno en la fila dos columna dos

4. Usar la fila dos solo para tener ceros en las otras entradas de la columna dos.

5. Usar la fila tres para tener uno en la fila tres columna tres.

6. Usar la fila tres solo para tener ceros en las otras entradas de la columna tres

7. Repetir el proceso hasta obtener una ampliada [I|D], donde I es una matriz

identidad de n x n y D una matriz de n x 1. Si el sistema de ecuación es de orden

3, obtenemos

1 0 00 1 00 0 1

𝑑1𝑑2𝑑3

Donde d1, d2 y d3 Є R, se concluye que x = d1, y = d2 y z = d3. Para verificar los

resultados se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales, si se

obtiene una identidad los valores obtenidos son conjunto solución.

Si un Sistema de Ecuaciones tiene solución se dice compatible sino es incompatible.

Ejercicio. Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción de

Gauss-Jordan

1. 2. 3.

Matriz de los coeficientes

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3

𝑥 + 2𝑧 = 0

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3 3𝑥 + 𝑦 = 7

2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 3𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 8 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −6


4. 5. 6.

7. 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 5 8. 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2 9. 3𝑥 + 𝑦 = 4 4𝑥 + 𝑧 = 5 3𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = −2 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 9 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5 2𝑥 − 𝑧 = 2 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2

Problemas de Aplicación

1. Una aéreo línea tiene tres tipos de avión que transportan tres tipos de carga. En

la siguiente tabla se resume la carga aérea de cada tipo

Tipo de Avión

Unidades transportadas Pasajero Transporte Jumbo

Correo de primera clase 100 100 100

Pasajeros 150 20 350

Carga aérea 20 65 35

Suponga que en un día determinado, la compañía debe transportar 1100 unidades

de correo de primera clase, 460 unidades de carga aérea y 1930 pasajeros.

¿Cuánta carga aérea de cada tipo debe programar?

2. Un fabricante de sierras de mesa tiene tres modelos, Deluxe, Premium y

Ultimate, que se deben pintar ensamblar y empacar para su distribución. La tabla

da el número de horas requeridas en cada una de estas operaciones para cada

tipo de sierra de mesa. Si el fabricante tiene 96 horas disponibles para pintar,

156 horas para ensamblar y 37 para empacar, ¿cuántas sierras de cada tipo se

pueden producir al día?

_________________________________________________

Deluxe Premium Ultimate

___________________________________________________________

Pintura 1.6 2 2.4

Ensamble 2 3 4

Empaque 0.5 0.5 1

3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = −5 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 0

𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 3 𝑥 − 2𝑧 = 4 𝑦 − 𝑧 = 1

𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 2 2𝑥 2𝑧 = 1 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1


3. Una compañía tiene un pedido para entregar tres productos A, B y C. La tabla da

el volumen en pies cúbicos, el peso en libras y el costo del seguro en dólares para

una unidad de cada uno de los productos. Si el camión puede transportar 8 000

pies cúbicos, 12 400 libras y está asegurado por $52 600 ¿cuántas unidades de

cada producto se pueden transportar?

_________________________________________________________

PRODUCTOS

A B C.

Volumen unitario (pies cúbicos) 24 20 40

Peso unitario (libras) 40 30 60

Valor (dólares) 150 180 200

INVERSA DE UNA MATRIZ

Dos matrices A y B son inversas si A.B = I y B.A = I, se llaman inversas la una de la otra,

se denota A = B-1 o B = A-1

Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Dos

Si 𝐴 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴−1 =1

𝑎 ,𝑑−𝑏𝑐 𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

Donde a.d – b.c ≠ 0, si a.d – b.c = 0, entonces A-1 no existe

Ejercicios. Calcule la traspuesta de cada matriz

a. A = 3 14 2

b. B = −2 4−1 1

c. C = 3 6−1 −2

d. D = −2 3−1 4

Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Superior a Dos

Para encontrar la inversa de una matriz cuadrada de orden superior a dos se sigue el

siguiente procedimiento:

1. Forme una matriz ampliada [A|I], donde A es la matriz de n x n e I es la matriz

identidad de n x n.

2. Utilice el método de Gauss-Jordan para obtener una matriz ampliada [I|B], es

decir hasta que la matriz de la izquierda se transforme en una matriz identidad.

3. La matriz B de la derecha es la matriz inversa de A. Para verificar el producto

de A.B debe ser igual a I.


Taller

Tema: Inversa de una matriz de orden superior a 2

Ejercicio. Obtener la inversa de la matriz

Inicialmente se forma la matriz ampliada [A |I ] donde I es la matriz identidad es decir

Luego se aplica el método de reducción de Gauss-Jordan para obtener la matriz ampliada [ I | B]

La primera condición es tener 1 en la posición [1 , 1 ], como no se tiene la condición intercambiamos la filas 1 y 2, quedando

1 4 32 5 41 −3 −2

0 1 01 0 00 0 1

1 4 32 5 41 −3 −2

0 1 01 0 00 0 1

1 4 30 −3 −20 −7 −5

0 1 01 −2 00 −1 1

1 4 30 1 2/30 −7 −5

0 1 0

−1/3 2/3 00 −1 1

1 0 1/30 1 2/30 0 −1/3

4/3 −5/3 0−1/3 2/3 0−7/3 11/3 1

1 0 1/30 1 2/30 0 1

4/3 −5/3 0−1/3 2/3 0

7 −11 −3

1 0 00 1 00 0 1

−1 2 1−5 8 27 −11 −3

La matriz 𝐵 = −1 2 1−5 8 27 −11 −3

se supone es la inversa de A.

Actividad

1. Verifique los procesos del ejercicio anterior 2.

2. Obtenga la inversa de la matriz 𝐴 = 3 1 21 2 31 1 1

si existe

F1*-2+F2

F1*-1+F3

F2/-3

F3*-3

Para finalizar se verifica que A.B=I es decir 2 5 41 4 31 −3 −2

−1 2 1−5 8 27 −11 −3

= 1 0 00 1 00 0 1

𝐴 = 2 5 41 4 31 −3 −2

2 5 41 4 31 −3 −2

1 0 00 1 00 0 1

Tener 1 en la posición [2,2]

F2*-4+F1

F2*7+F3

Tener 0 en el resto de

posiciones de la columna 2



F3*-1/3+F1

F3*-2/3+F2



Tener 1 en la posición [3,3]

F3*-3


Ejercicio. Calcule la inversa de cada matriz:

1. 2 5 41 4 31 −3 −2

2. 1 2 41 1 35 2 4

3. 3 1 21 2 31 1 1

4. 1 2 3−1 5 6−1 3 3

5. 1 3 5−1 −1 21 5 1

6. 1 5 41 4 31 −3 −2

7. 2 1 13 0 11 1 1

ECUACIONES MATRICIALES

También se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales multiplicando ambos lados de la

ecuación por el inverso de la matriz de coeficientes.

De la misma manera que escribimos el sistema de tres ecuaciones como ecuación matricial de

la forma AX =B, podemos hacerlo de forma general. Si A es una matriz de n x n, B y X son

matrices de n x 1, entonces:

AX = B

Es una ecuación matricial.

Si existe la inversa de la matriz A, entonces podemos usar esa inversa para despejar la

matriz X en la ecuación matricial. El método de solución general es como sigue:

AX =B

Multiplicamos ambos lados de la igualdad por A-1,

A-1 (AX) = A-1 B

(A-1 A)X = A-1 B

IX = A-1 B

X = A-1 B

Por lo tanto las matrices inversas se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones.

Desafortunadamente este sistema funciona si solo si existe la inversa de la matriz de

coeficientes


Ejercicio. Use la matriz inversa para resolver cada sistema de ecuaciones

1. –x + z = 1 2. x + y + z = 3 3. 2x – y – 2z = 2

x + 4y – 3z = -3 2x + y + z = 4 3x – y + z = -3

x – 2y + z = 3 2x + 2y + z = 10 x + y – z = 7

4. 6 3 −81 0 −3

20 −12 2

𝑥𝑦𝑧 =

1−210

5. 3 −1 02 −1 1−1 1 −3

𝑥𝑦𝑧 =

119−8

6. 1 1 22 1 12 2 1

𝑥𝑦𝑧 =

87

10

APLICACIÓN DE LAS MATRICES

Modelos de Entrada-Salida de Leontief

El modelo desarrollado por Wassily Leontief, es una aplicación interesante de las matrices,

que fue útil para pronosticar los efectos en los cambios de precios o las variaciones de las

erogaciones gubernamentales sobre la economía.

Un modelo simplificado de la economía sería:

Salidas

Productos Bienes

Entradas Agrícolas Manufacturados Combustible

Productos Agrícolas 0.5 0.1 0.1

Bienes Manufacturados 0.2 0.5 0.3

Combustibles 0.1 0.3 0.4

A partir de esta tabla, podemos formar la matriz A, la cual se llama Matriz tecnológica o

Matriz de Leontief

0.5 0,1 0,1

A = 0,2 0,5 0,3

0,1 0,3 0,4


La matriz tecnológica no tiene toda la información. En particular, cada industria tiene una

producción bruta. Se puede presentar la matriz de producción bruta para la economía con

una matriz de columna

Donde x1 es la producción bruta de los productos agrícolas, x2 es la

producción bruta de bienes manufacturados y x3 es la producción bruta de combustibles.

La cantidad de las producciones brutas que en la economía usan varias industrias se

determina por medio de AX. Las unidades de producción bruta que no se utilizan en estas

industrias se denominan demandas finales o superávits y s pueden considerar que están

disponibles para los consumidores, el gobierno o la exportación. Si ponemos estos superávits

en una matriz columna D, entonces se puede representar el superávit con la ecuación

X – AX = D ó (I – A) X=D

Donde I es la matriz unidad o identidad. Esta ecuación matricial recibe el nombre de

Ecuación tecnológica para un modelo abierto de Leontief. Se llame modelo abierto porque

algunas mercancías de la economía están “abiertas” o disponibles para entidades ajenas a la

economía

Ejercicio. Si queremos tener un superávit de 85 unidades de producción agrícola, 65 de

productos fabricados y 0 unidades de combustible ¿cuáles deben ser las producciones

brutas?

Por datos

85

D = 65

0

Debemos resolver:

x1

A = X2

X3

1 0 0 0.5 0,1 0,1 X1 85

0 1 0 - 0,2 0,5 0,3 x X2 = 65

0 0 1 0,1 0,3 0,4 X3 0

1 0 0 0,5 0,1 0,1 0,5 -0,1 -0,1

I – A = 0 1 0 - 0,2 0,5 0,3 = -0,2 0,5 -0,3

0 0 1 0,1 0,3 0,4 -0,1 -0,3 0,6


Debemos resolver la ecuación matricial

La matriz ampliada es

Si se reduce utilizando el método de Gauss-Jordan, se obtiene

De modo que las producciones brutas de las industrias son

La ecuación tecnológica para el modelo de Leontief se puede resolver usando la inversa de

I – A, si esta existe. Es decir,

(I – A)X = D tiene solución X = (I – A) -1D

Problemas

1. Una economía primitiva con una industria maderera y una industria de energía tiene la

siguiente matriz tecnológica

Madera Energía

A = 0,1 0,2 Madera

0,2 0,4 Energía

Si se desean superávits de 30 unidades de madera y 70 unidades de energía, encuentre la

producción bruta de cada industria.

0,5 -0,1 -0,1 X1 85

-0,2 0,5 -0,3 X2 = 65

-0,1 -0,3 0,6 X3 0

0,5 -0,1 -0,1 85

-0,2 0,5 -0,3 65

-0,1 -0,3 0,6 0

1 0 0 300

0 1 0 400

0 0 1 250

Agricultura: X1 = 300

Manufactura: X2 = 400

Combustible: X3 = 250


2. Suponga que una economía tiene dos industrias, agricultura y minería, y la economía tiene

una matriz tecnológica

A M

0.4 0.2 Agricultura

A =

0.1 0.3 Minería

Si desean un superávit de 140 unidades agrícolas y 140 unidades de minerales,

encuentre la producción bruta de cada industria

3. Dada la matriz tecnológica A con industrias a, b, c

A= 1.2 0.5 0.30.2 0.1 0.10.2 0.2 0.1

𝑎𝑏𝑐

Halle la producción bruta de cada industria si se desea obtener la siguiente matriz de

superávits

D= 77

154231

4. La economía de una nación en vía de desarrollo tiene la siguiente matriz tecnológica

Agricultura Siderurgia Carbón

0,1 0,01 0,01 Agricultura

0,02 0,13 0,20 Siderurgia

0,05 0,18 0,05 Carbón

Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 2 350 toneladas

de productos agrícolas, 4552 toneladas de acero y 911 toneladas de carbón.

5. Una economía simple tiene una industria de calzado y una de ganadería con la matriz

tecnológica

C G

0.1 0.1 Calzado

A =

0.2 0.05 Ganadería


Se desean superávits de 850 unidades de calzado y 275 unidades de ganado.

Encuentre la producción bruta de cada industria.

6. La economía de una nación tiene la siguiente matriz tecnológica

Agricultura Industria Servicios

0,43 0,08 0,06 Agricultura

0,3 0,17 0,05 Industria

0,23 0,22 0,1 Servicio

Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 490 unidades de

productos agrícolas, 1 050 en la industria y 1 910 de servicios.

Modelo Cerrado de Leontief.

Si se desarrolla un modelo en el que todas las entradas y salidas se usan dentro de los

sistemas, entonces dicho modelo recibe el nombre de Modelo Cerrado de Leontief. En dicho

modelo, se debe incluir el trabajo (mano de obra). En este caso no hay superávits, de manera

que la matriz D=0. La ecuación para el modelo cerrado de Leontief está dada por:

(I – A)X = 0

donde 0 es una matriz de columnas 0.

Para los modelos cerrados, la ecuación tecnológica no tiene solución única, de modo que la

matriz (I –A) no existe y por tanto no es posible usarla para encontrar la solución.

Ejercicio.

1. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple

se determina por medio de la matriz A, encuentre las producciones brutas de la

industria

L NL T

0.4 0.3 0.4 Lucrativos

A = 0.2 0.4 0.2 No lucrativos

0.4 0.3 0.4 Trabajo


2. Se da la matriz parcialmente reducida para la producción bruta de cada industria

de un modelo cerrado de Leontief. Encuentre la producción bruta de cada industria

GE A T

3 -10 -7 Generación de Energía

0 20 -10 Agricultura

0 0 0 Trabajo


se determina mediante.

P M T

0.5 0.1 0.2 Productos

A = 0.1 0.3 0 Maquinarias

0.4 0.6 0.8 Trabajo

Encuentre las producciones brutas de la industria



G I T

0.4 0.1 0.3 Gobierno

A = 0.4 0.3 0.2 Industria

0.2 0.6 0.5 Trabajo




G I T

0.4 0.2 0.2 Gobierno

A = 0.2 0.3 0.3 Industria

0.4 0.5 0.5 Trabajo





E M T

0.2 0.1 0.1 Embarques

A = 0.6 0.5 0.1 Manufactura

0.2 0.4 0.8 Trabajo




M GE T

0.5 0.4 0.3 Manufactura

A = 0.4 0.5 0.3 Generación de Energía

0.1 0.1 0.4 Trabajo




G L NL T

0.3 0.2 0.1 0.05 Gobierno

A = 0.2 0.3 0.1 0.1 Lucrativas

0.2 0.1 0.2 0.1 No Lucrativas

0.3 0.4 0.6 0.75 Trabajo


9. Suponga que una economía consiste en los sectores de carbón electricidad y el

trabajo. El carbón para su producción necesita del 0% de carbón, 40% de

electricidad y 60% de la mano de obra. Para la electricidad se necesita 60% de

carbón, 10% de electricidad y 20% de la mano de obra. La mano de obra necesita

40% de carbón, 50% de electricidad y 20% de ella misma. Encuentre y explique la

producción bruta de cada industria.

Manual de Algebra Lineal 2009

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