Manual de Aprendizaje Matemáticas I y II Ciclo de ...
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EDUCACION INTEGRAL Página 1 Colegio Mixto Preuniversitario Bilingüe Intercultural Manual de Aprendizaje Matemáticas I y II Ciclo de Educación básica TZOLOK CHI NAJ XYANQ Primer año, Ciclo de Educación básica por Madurez Ixcán, Quiché, 2016
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EDUCACION INTEGRAL Página 1
Colegio Mixto Preuniversitario Bilingüe Intercultural
Manual de Aprendizaje Matemáticas I y II
Ciclo de Educación básica
TZOLOK CHI NAJ XYANQ
Primer año, Ciclo de Educación básica por Madurez
Ixcán, Quiché, 2016
Colegio Mixto Preuniversitario Bilingüe Intercultural
MANUAL PARA MATEMATICA
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Representante Legal
Mauricio Yat Luc
Director Técnico Administrativo
Mauricio Yat Luc
Autores:
Mauricio Yat Luc
Hermelindo Quim Cuc
Rigoberto Morales
Pedro Tzuy Caal
Revisor:
Mauricio Yat Luc
Manual de Aprendizaje para estudiantes Nivel básico
Playa Grande Ixcán.
No se autoriza la reproducción total o parcial de este libro.
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Primer semestre – primer año
Contenidos Paginas
Portada ---------------------------------------------------------------------------- 1
Tabla de contenidos ----------------------------------------------------------- 3
Descripción general ------------------------------------------------------------ 5 Expresión algebraicas --------------------------------------------------------- 6 Reducción de términos semejantes --------------------------------------- 8 Uso de paréntesis -------------------------------------------------------------- 9 Operaciones abiertas (suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces)-----------------------------------------------------------------
10
Números enteros --------------------------------------------------------------- 14
Propiedad conmutativa / Existencia de un numero opuesto -------- 16 Suma de números decimales / Suma de fracciones homogéneas- 17
Resta de fracciones homogéneas ----------------------------------------- 21 Suma de fracciones heterogéneas----------------------------------------- 20 Fracciones ----------------------------------------------------------------------- 23 Leyes de los exponentes ----------------------------------------------------- 24 Elementos básicos (punto, recta, rayo, plano, segmento, ángulo) Representación y terminología ---------------------------------------------
25
Determinación geométrica --------------------------------------------------- 26 Segmentos consecutivos ----------------------------------------------------- 27 Clasificación de ángulos ------------------------------------------------------ 29 Paralelas y perpendiculares --------------------------------------- 30 Ángulos: complementarios, suplementarios, alternos internos, alternos externos. --------------------------------------------------------------
32
Relación entre ángulos y lados de figuras ------------------------------- 34
Segundo semestre – primer año
Partes de las figuras planas ------------------------------------------------- 40 Simetría de las figuras ------------------------------------------------------- 41 Clases de preposiciones ----------------------------------------------------- 43 Definición de conjuntos y relaciones -------------------------------------- 46
Tipos de conjunto -------------------------------------------------- 47 Producto cartesiano. Dominio y contra dominio ------------------------ 48 Funciones y relaciones ------------------------------------------------------- 49 Ecuaciones de primer grado ------------------------------------------------ 53 Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita / Conjunto de los Números Naturales: definición y operaciones, orden y representación, propiedades de las operaciones y del conjunto, divisibilidad, teoría de números–factores, múltiplos, M.C.M y mcd, primos-Potenciación ---------------------------------------
53 Operaciones con los números naturales --------------------------------- 56
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Uso de los números naturales / Conjunto de los números enteros: Definición y operaciones básicas, orden y representaciones, recta numérica, inversos, valor absoluto, propiedades de las operaciones y del conjunto, potenciación con naturales --------------------------------------------------------------------------
58 Técnicas de recolección de datos ----------------------------------------- 59
Medidas de tendencia central: media, mediana y moda ------------- 65 Sistemas posicionales y no posicionales -------------------------------- 67 Sistema de Numeración Maya: Fundamento filosófico, origen y significado de los símbolos, características principales --------------
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Bibliografía ---------------------------------------------------------------------- 70
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I. Descripción General
En la actualidad no es posible reducir la definición de las matemáticas a las ciencias de los números (aritmética) y las formas (geometría). El uso de símbolos (álgebra y teoría de conjuntos), el estudio del cambio (cálculo) y de la incertidumbre (estadística y probabilidad), el análisis de las formas de razonamiento (lógica matemática) y las consideraciones acerca de los enfoques matemáticos en diferentes grupos culturales (etnomatemática), son objeto de estudio de las Matemáticas contemporáneas.
Tampoco es deseable considerar a las Matemáticas aisladas de la tecnología variada que el presente ofrece. Tanto para estudiar la ciencia como para mejorarla o utilizarla, la tecnología de ordenadores, la internet, la telecomunicación, los medios audiovisuales, la calculadora (desde la aritmética hasta la científica y la gráfica) y otros instrumentos (ábacos, instrumentos de medición y dibujo, entre otros) deberán volverse de uso común en las aulas para fortalecer el aprendizaje y abrir a las y los estudiantes oportunidades de trabajo, comunicación y aprovechamiento del tiempo.
La ciencia matemática actual reconoce y valora la presencia de los métodos y las visiones matemáticas en los diferentes Pueblos y grupos culturales, pasados y presentes. Por lo tanto, el Curriculum favorecerá la integración de los diferentes elementos culturales con el conocimiento práctico.
Por último será importante considerar las Matemáticas como integradoras de saberes, enfoques, métodos, y aún de valores y actitudes para que su aporte al Curriculum sea significativo.
Por tanto, orientar el desarrollo del pensamiento analítico y reflexivo, mediante la integración de la búsqueda de patrones y relaciones; la interpretación y el uso de un lenguaje particular, simbólico, abstracto; el estudio y representación de figuras; la argumentación lógica y la demostración; la formulación y aplicación de modelos variados (aritméticos, geométricos y trigonométricos y algebraicos), así como proporcionar herramientas útiles para recolectar, presentar y leer información, analizarla y utilizarla para resolver problemas prácticos de la vida habitual, son propósitos del área de Matemáticas.
Poner en práctica el método científico para hacer conjeturas, crear, investigar, cuestionar, comunicar ideas y resultados, utilizando esquemas, gráficos y tablas e interpretar información en diferentes fuentes para compartir, analizar, tomar decisiones y emitir juicios; y propiciar situaciones que estimulen la lectura, escritura y operatividad con cantidades escritas en diferentes sistemas y bases de numeración, valorando los aportes de las Matemáticas provenientes de diferentes culturas, también son intenciones del área curricular de Matemáticas.
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
ÁLGEBRA: EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES ¿A qué se le llama "Expresiones Algebraicas Racionales"? A esas "fracciones que tienen polinomios en el numerador y denominador". Recuerda que una expresión algebraica es aquella formada por números y letras. Una expresión algebraica es racional si su parte literal (es decir las letras) no está afectada por un radical. (En caso de estar afectada la parte literal por un radical, será una expresión algebraica irracional). Aprenderemos a trabajar con ellas: simplificarlas y realizar diversas operaciones (sumas, restas, multiplicaciones, divisiones)
FRACCIONES ALGEBRAICAS: SIMPLIFICACIÓN. Completa los huecos. Cuando acabes copia los ejercicios en tu cuaderno.
FRACCIONES ALGEBRAICAS: SIMPLIFICACIÓN. Completa los huecos. Cuando acabes copia los ejercicios en tu cuaderno.
Expresión algebraica: es el resultado de combinar uno o más términos algebraicos mediante las operaciones de adición y/o sustracción. Por ejemplo:
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;
;
;
Se denomina grado de un término algebraico, a la suma de los exponentes de su factor literal, por ejemplo:
Tiene grado 1 + 2 = 3;
tiene grado Cuando una expresión algebraica tiene un sólo termino algebraico, recibe el nombre de Monomio. Si la expresión algebraica tiene dos términos algebraicos recibe el nombre de Binomio. Si tiene tres términos algebraicos, recibe el nombre de Trinomio. Y en caso contrario si tiene más de tres términos algebraicos, se denomina Multinomio.
Además, las expresiones algebraicas con exponentes positivos se llaman polinomios.
Por ejemplo: (i) es un monomio (polinomio), pues tiene un solo término algebraico (con exponentes positivos).
(ii) es un binomio (y es un polinomio).
(iii) es un trinomio (y es un polinomio).
es un monomio (que no es un polinomio).
es un binomio ( que no es polinomio)
Valorización de expresiones algebraicas
Valorar una expresión algebraica es reemplazar cada variable por un valor numérico que le corresponde y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.
Por ejemplo valoremos las siguientes expresiones algebraicas:
(i) El área de un triángulo se determina como el semi-producto entre la base y la altura, esto es: en donde: base y: altura. Entonces sí y tenemos que:
(ii)
si
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e
Primero reemplazamos las variables, esto es:
Luego realizamos todas las operaciones con su orden respectivo
(iii)
si
,
y
En forma análoga al ejercicio anterior, reemplazamos las variables en primer lugar:
Luego realizamos las operaciones correspondientes
Entonces reemplazando en la expresión algebraica tenemos:
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Los términos semejantes son los términos algebraicos que tienen el mismo factor literal,
es decir, deben tener las mismas letras con los mismos exponentes. Por ejemplo:
es término semejante con. El término es término semejante con.
La reducción de términos semejantes consiste en sumar o restar éstos términos que se encuentran en alguna expresión algebraica.
Algunos ejemplos de la reducción de expresiones algebraicas son los siguientes:
(i) De acuerdo a la siguiente la figura determina el perímetro
Entonces el perímetro de la figura, es la suma de las medidas de todos sus lados, esto es: en este caso hay tres términos algebraicos cuyo factor literal es por lo cual se pueden sumar. También hay tres términos algebraicos que tienen factor literal por lo cual se pueden sumar. Por lo tanto
(ii)
En este ejemplo hay dos términos cuyo factor literal es, estos términos son semejantes, por lo cual se pueden sumar. También hay tres términos que tienen factor literal, por tanto, son términos semejantes y se pueden sumar. En la expresión
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algebraica tenemos números solos (sin factor literal), por tal se suman. Haciendo estas operaciones la expresión en (ii) nos queda:
(iii)
En este ejemplo hay tres términos que tienen factor literal, por lo cual son términos semejantes y se pueden sumar. También ocurre lo mismo con los términos que tienen
factor literal y , los cuales son términos semejantes y se pueden sumar. Reduciendo términos semejantes, nos queda:
USO DE PARÉNTESIS
En álgebra, al igual que en aritmética, los paréntesis nos sirven para indicar que las operaciones que ellos encierran tienen prioridad ante las demás, o bien para indicar lo que está dentro de ellos debe ser considerado como un todo.
Para suprimir los paréntesis en una expresión algebraica se siguen las siguientes reglas:
(i) Si un paréntesis es precedido por un signo positivo, entonces se puede suprimir sin cambiar los signos de los términos que están dentro de ellos.
(ii) En caso contrario, esto es si un paréntesis es precedido por signo negativo, entonces al suprimir el paréntesis los términos que están dentro de él cambian de signo.
En el caso que a un paréntesis no le preceda ningún signo, entonces se entiende que el paréntesis tiene un signo positivo.
Por ejemplo, en la siguiente expresión, suprimir los paréntesis y reducir los términos semejantes.
Para resolver este ejercicio se puede hacer de dos formas, una es eliminar inmediatamente los paréntesis y luego reducir los términos semejantes. La segunda forma es reducir los términos semejantes dentro del paréntesis y luego eliminar los paréntesis, y nuevamente reducir términos semejantes. Aplicaremos la segunda forma:
En algunas expresiones algebraicas hay más de un paréntesis, en estos casos para eliminar los paréntesis, se suprime primero los paréntesis que están al interior de otro y así sucesivamente. Aunque también se puede hacer de la forma contraria, es decir, eliminar primero los paréntesis desde el exterior hasta llegar a los interiores, es poco común proceder así ya que resulta más complicado.
Por ejemplo, en la siguiente expresión, suprimir los paréntesis y reducir los términos
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semejantes
(i)
Para este ejemplo, en primer lugar, suprimimos los paréntesis interiores hasta llegar a los exteriores y luego reducimos los términos semejantes. Entonces:
Para verificar lo dicho respecto de las mayores dificultades para eliminar los paréntesis desde afuera hacia adentro, el lector puede hacerlo en este caso.
(ii)
Al igual que el ejemplo anterior, empezamos suprimiendo los paréntesis que están más al interior hasta llegar al más exterior y luego reducimos los términos semejantes, esto es:
OPERACIONES ABIERTAS (SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN, POTENCIAS Y RAÍCES)
Adicción
Para definir el número uno es una tarea bastante difícil, pero todos tenemos un buen
sentido intuitivo de lo que la "unidad" es. La unidad es la propiedad de tener o pensar de
una cantidad única. Por ejemplo, piensa en cuando usted tiene un dólar, un Kilogramo
de papas, o un año luz. Desde aquí se puede definir recursivamente los números
naturales mediante la asignación de un nuevo nombre para cada nuevo número de
unidades que tenemos:
Ahora que hemos nombrado los números podemos definir además el proceso de contar
el número de unidades que tenemos. Por ejemplo,
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EJERCICIOS
1) (3+3+3+3+3+3+3)(+3+3+3+3)(3+3+3+3)=
2) (2-2-2-2-2-2-2)(3-3-3-33)(3-3-3-3)=
3) (9+9+9+9+9+9+9)(9+9+9+9+9+9)(9+9+9)=
Sustracción
Sustracción igualmente puede ser definida como recuento de la cantidad inicial de
unidades y la eliminación de una cierta cantidad. Por ejemplo:
Significa, teniendo 5 unidades quitarle 3 unidades, dejando un resultado de 2 unidades.
Multiplicación
La multiplicación es una forma abreviada de adición repetida. Por ejemplo:
Lo que esto significa es sumar tres cinco veces, o sumar cinco en tres ocasiones.
Tenga en cuenta que en algunas regiones y de los casos, es mejor usar el símbolo de la
cruz o la letra "x" en lugar del punto.
División
División es la operación opuesta a la multiplicación.
El problema de división superior se pregunta si seis es 1 +1 +1 +1 +1 +1, y tres es 1 +1
+1, entonces en cuántos juegos de tres podemos separar a seis? La respuesta es, por
supuesto 2, ya que;
; dos partes de
3 unidades.
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En la división es en la primera operación en la que surge un problema. En todas las
operaciones previamente definidas (adición, sustracción y multiplicación) podríamos
realizar la operación en cualquier par de números que elegimos. Sin embargo, en la
división no se puede dividir por cero. Mucho se dijo sobre este hecho a lo largo de la
historia, e incluso a través de sus estudios en toda la matemática.
Potenciación
Las potencias son una abreviatura utilizada para la multiplicación repetida. Recuerde
que cuando se introdujo por primera vez la multiplicación, era como una abreviatura de
adición repetida. Por ejemplo, usted aprendió que: 4 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5. La expresión "×
4", nos contó las veces que tuvimos que añadir. Los exponentes son el mismo tipo de
taquigrafía para la multiplicación. Los exponentes se escriben en superíndice después
de un número de tamaño normal.
Por ejemplo: 23 = 2 x 2 x 2. El número en letra más grande se llama la base. El número
en superíndice (es decir, el número más pequeño escrito anteriormente) es el
exponente. El exponente nos dice cuántas veces la base se multiplica por sí mismo. En
este ejemplo, la base es 2 y el exponente es 3.
La expresión 23 se lee en voz alta como "2 elevado a la tercera potencia", o
simplemente "2 al cubo".
En general, un exponente de un número a la potencia de n :; a x a x a ... = la base
es "a" y es multiplicado por sí mismo n veces
Éstos son algunos otros ejemplos:
6 × 6 = 62 (Esto se leería en voz alta como "seis veces seis es seis elevado a la
segunda potencia", o más simplemente "seis veces es seis al cuadrado.) "
7 × 7 × 7 × 7 = 74 (Esto se leería en voz alta como "siete veces siete veces siete
veces siete es igual a siete elevado a la cuarta potencia." No hay alternativa para la
expresión elevada a la cuarta potencia. Sólo los poderes segundos y terceros que por
lo general reciben abreviado porque vienen más a menudo. Cuando está claro lo que
se está hablando, la gente suele dejar caer las palabras "elevadas" y "potencia" y
podría simplemente decir "siete a la cuarta".
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Cuando nos fijamos en los exponentes más adelante en este libro veremos que
cambiar el tipo de número que se utiliza para el exponente empieza a tener
algunos resultados muy sofisticados. Para tener una idea acerca de por qué
algunas personas disfrutan de las matemáticas leer acerca de la belleza
matemática y la ecuación .
Raíces
Las raíces son la operación inversa para exponentes. Es fácil, aunque tal vez tedioso,
para calcular los exponentes dados una raíz. Por ejemplo 7*7*7*7 = 49*49 = 2401. Por lo
tanto, sabemos que la raíz cuarta de 2401 es 7, y la raíz cuadrada de 2401 es 49.
¿Cuál es la raíz tercera de 2401?
Encontrar el valor de una raíz en particular es difícil. Esto se debe a la exponenciación
es un tipo diferente de la función de suma, resta, multiplicación y división. Cuando
nosotros, graficamos funciones veremos que los polinomios que utilizan curvas
exponenciales de uso en lugar de líneas.
Usando álgebra veremos que no todos estos polinomios son funciones, que saber
cuándo un polinomio es una relación o una función nos puede permitir hacer ciertos
tipos de supuestos, y podemos utilizar estos supuestos para construir modelos mentales
de los temas que de otra manera imposible de entender.
Por ahora nos ocuparemos de raíces, al convertirlos de nuevo en exponentes.
La raíz n-ésima positiva de se representa como . Nos deshacemos de la raíz,
elevando nuestra respuesta a la enésima potencia quedando
La noción de número es una de las más fundamentales en matemáticas. Su origen se
remonta a la antigüedad y a través de los siglos ha pasado por un proceso de extensión
y de generalización de los números reales...
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En el campo de la aritmética, cada número tiene un valor definido, así 30 siempre va a
valer treinta, el símbolo del valor absoluto de un número se representa así: siendo n
cualquier número entero, negativo o positivo cabe resaltar que el valor de un número,
esté precedido por el signo más o el signo menos, siempre será el mismo:
de esto se deduce que: esto es porque el valor absoluto
indica la distancia que hay en la recta numérica entre cualquier número y 0, y sea el
número positivo o negativo, la distancia es la misma.
Como ya vimos en la clasificación de las cantidades, los Números Racionales, que serán
estudiados a profundidad en este capítulo, se clasifican en ENTEROS y
FRACCIONARIOS. Un número entero es, por ejemplo, 2, mientras que 0,5 ó 1⁄2 es un
número fraccionario, que se puede escribir de esas dos maneras.
NÚMEROS ENTEROS
Son aquellos números que indican una cantidad exacta. Sus operaciones básicas son, como en los otros
tipos de números, suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, esta última operación se
puede aplicar a un pequeño grupo de números enteros, a los cuadrados perfectos, cubos perfectos, etc.
Para sumar o restar dos números hay que tener en cuenta los signos de los mismos: para sumar dos
números de iguales signos, se suman sus valores absolutos y se deja el signo que tienen; para sumar dos
números con signos diferentes, se resta el valor absoluto del menor del valor absoluto del mayor y se deja
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el signo del mayor número.
Por ejemplo: -5-3=-8; 5+3=8; 5-3=2; -5+3=-2
La multiplicación es una suma abreviada, así 3+3+3+3+3 se puede escribir y efectuar como 3x5=15.
La división consiste en buscar un número que multiplicado por el divisor, dé como resultado el dividendo,
este número buscado se llama cociente, muchas veces la división no es exacta y se obtiene un residuo.
Las divisiones se pueden representar de las siguientes maneras: 8/2=8÷2=4, porque 4x2=8, de la misma
forma: 26/13=26÷13=2, porque 2x13=26.
Ejercicio: -2-3= ________ 5+3= ________ 7-3= ________ -5+9= ________
La potenciación es una multiplicación abreviada, consiste en dos elementos: la base,
que es el factor que va a multiplicarse por sí mismo, y el exponente, que indica cuántas
veces se va a multiplicar la base por sí misma: 3x3x3x3=3^4=81
La radicación, como se dijo anteriormente, es una operación que sólo puede ser
aplicada a ciertos números racionales para que el resultado siga siendo racional: si se
va a aplicar raíz cuadrada, el número debe ser un cuadrado perfecto; si se va a aplicar
una raíz cúbica, el número debe ser un cubo perfecto... Más adelante se explicará cómo
se simplifican los números irracionales.
El resultado de una radicación es un número que al ser elevado al índice de la raíz, da
como resultado la cantidad sub-radical.
√4=2; ∛27=3, cuando el índice de la raíz es 2, suele omitirse.
El ser humano siempre ha necesitado de la habilidad de contar, y además,
de reunir cantidades separadas, hecho que origino la suma. Por ejemplo, cuando
cogemos dos canicas por nuestra izquierda, y otras dos canicas por nuestra derecha, al
unirlas (o sumarlas) originan cuatro canicas:
PROPIEDADES DE LA SUMA
Las propiedades que cumplen la regla de la suma son dos: La propiedad conmutativa y
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la propiedad asociativa.
PROPIEDAD CONMUTATIVA
El orden de los sumandos no altera el valor de la suma. Da igual resultado sumarle 5 a
3, que sumarle 3 a 5:
Propiedad asociativa
Al sumar varios números, el orden no varía de cualquier modo:
Suma de números naturales
Clasificación de los números
En la imagen se ve que las dos cantidades son números naturales. Se realiza la
operación al juntar las dos cantidades dadas.
Suma de números enteros
Clasificación de los números
Cuando un número entero es sumado con otro número entero el resultado será
igualmente un número entero.
Existencia de un número neutro
Al haber un número neutro (un cero):
Si son más de dos cantidades: se suman todas las demás cantidades de la forma
regular y se omite el cero.
Por ejemplo:
Si solo son dos (un cero y un número n): se pasa el número n y se elimina el
0.
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Por ejemplo
EXISTENCIA DE UN NÚMERO OPUESTO
Se crea cuando exista un número negativo y uno positivo se restaran y se pondrá el
signo del número más grande (por valor absoluto).
Por ejemplo: porque y el número más grande es 8, en este
caso.
Suma de números fraccionarios
Clasificación de los números''
Los quebrados son aquellos que se representan como una fracción o un decimal.
Con el mismo denominador
Al tener el mismo denominador se facilita la operación. Solo se sumaran directamente
los numeradores. En el ejemplo se puede apreciar que:
Con diferente denominador
5 y 8
Suma de números decimales
Clasificación de los números
Los números decimales son números que parten en 10 a la unidad por cada uno de los
espacios ocupados a la derecha.
Se suma como cualquier otro número de varios digitos pero tomando en cuenta el lugar
del punto. Ejemplos:
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Nota en esta ocasión se agrega un 0 imaginario a el 2.4 quedando 2.40
La suma de fracciones es una de las operaciones básicas que puede efectuarse sobre
fracciones.
SUMA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS
16
Para sumar dos o más fracciones homogéneas, se suman los numeradores y se deja
el denominador común.
Ejemplo:
Ejemplo:
SUMA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS:
La suma de dos o más fracciones heterogéneas se realiza de la siguiente manera:
1) Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.
2) Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador por denominador común
y dividido por denominador.
3) Se suman los numeradores (dado que las fracciones modificadas tienen el mismo
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denominador).
Suma de fracciones de distinto denominador
Ejemplo:
1. Se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.), por lo que se tiene
que
2. Se calculan los numeradores.
Numerador de la primera fracción:
Numerador de la segunda fracción:
La suma se reduce a las siguientes fracciones:
3. Se suman los numeradores:
.
Otra presentación para sumar 1/6 con 4/9.
Se trabaja con 18 dólares, 1/6 de esa cantidad es 3. Se va separando en seis montones,
cada uno tiene 3 dólares; luego divides en 9 montones; cada uno dos dólares, pero para
4/9 hay que tomar 4 montones, en total, 8 dólares. Sumando 3 del primero y 8 del
segundo sale 11, que respecto al inicio representan 11/18. Por tanto
1/6 + 4/9 = 3/18 + 8/18 = 11/18.
Se calcula el m.c.m., que en este caso es 18. Se ponen las fracciones con tal mcm como
denominador. Acto seguido, se divide el mcm en el denominador inicial y el resultado se
multiplica en el numerador inicial, y ya tenemos el numerador de la fracción cuyo
denominador es el mcm.
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SUMA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS: FORMA 2
Ejemplo:
Se resolvería de la siguiente forma:
La fracción resultante es y los es una reducción ya que si observamos el
numerador y el denominador son divisibles por tres, de ahí resulta:
El método es multiplicar el numerador de la primera fracción con el denominador de la
segunda, posteriormente se suma la multiplicación del denominador de la primera
fracción con el numerador de la segunda fracción y todo eso dividido por la
multiplicación de los dos denominadores.
Aquí no calculamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.).
Una variante manejable
Suma extraordinaria de fracciones
Supongamos que España, en el primer partido del mundial, gana por 2-1; razón de goles
a favor sobre goles en contra: 2/1. En el segundo partido gana por 5-2, razón de goles a
favor y en contra es 5/2. En los dos partidos España ha marcado 2+ 5 = 7 goles; le han
marcado 1+2 = 3 goles; la razón en este caso es 7/3, en los dos partidos.
De otro modo: 2/1 +* 5/2 = (2+5)/(1+2) = 7/3; Se coloca +*, para distinguir de la suma
ordinaria o común o la más usual o la escolar.
Resta de fracciones
Multiplicación de fracciones
División de fracciones
La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata
de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una
parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia o resto. Es el contrario de la
suma, ya que esta añade y la resta quita. Aparte de la diferencia, también tiene otras
partes, la primera de arriba se llama minuendo y la de abajo, sustraendo.
Ejemplo:
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La resta de fracciones es una operación aritmética por la que partiendo de dos
fracciones se obtiene una tercera que es la diferencia entre ambas.
RESTA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS
Para restar dos ó más fracciones homogéneas, se restan los numeradores y se deja
el denominador común y simplificamos
Ejemplo:
Resta de fracciones heterogéneas
La resta de dos o más fracciones heterogéneas se realiza de la siguiente manera:
1. Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores:
(mínimo común múltiplo de 4 y 2)
2. Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador antiguo (6) x denominador
común (4) y dividido por denominador antiguo (4)
(6*4/4=6 )
Numerador antiguo (1) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (2)
( 1*4/2= 2 )
3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las
fracciones tienen el mismo denominador)
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La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas
veces como indica otro número. Así, 4×3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o,
simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo
(4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.
La multiplicación de fracciones es una operación aritmética, en la cual partiendo de dos
fracciones se obtiene una tercera que será el producto de las anteriores.
Para multiplicar dos fracciones numéricas o algebraicas se multiplican
sus numeradores y sus denominadores, por separado, teniendo así el numerador y el
denominador de la fracción producto.
Para resolver productos de fracciones debemos simplificar y posteriormente multiplicar
numerador con numerador y denominador con denominador.
Suma de fracciones
Resta de fracciones
División de fracciones
La división es una de las operaciones aritméticas básicas. Para efectuarla se debe
cumplir la condición de que:
y que Por ejemplo, sustituyendo los valores de a y b con los números 6 y 3
respectivamente, tenemos que cumpliéndose aquí la condición de que el producto
de b y c equivale al valor de a. Cabe decir que no existe un resultado para la división por
cero, por lo tanto, un error muy común es suponer que la división por cero es
una operación matemática válida.
La división de fracciones es una operación aritmética por la que partiendo de
dos fracciones se obtiene una tercera, que es la división de la primera entre la segunda,
se puede realizar siguiendo tres métodos que, lógicamente, darán el mismo resultado:
Multiplicar de forma cruzada
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Multiplicar de "forma cruzada" las fracciones, es decir, multiplicar numerador por
denominador, y denominador por numerador:
FRACCIONES
"Invertir" la segunda fracción y multiplicar "directamente", es decir, numerador por
numerador, y denominador por denominador:
Ejemplo:
Representar como fracción de fracciones
Se representa una fracción en el numerador y la segunda en el denominador, se
simplifica en otra fracción, donde se divide el producto de extremos entre el producto de
medios:
Ejemplo:
Una vez terminado el ejercicio hay que simplificar, si se puede.
Suma de fracciones
Resta de fracciones
Multiplicación de fracciones
La potenciación es la operación matemática mediante la cual multiplicamos un número
por sí mismo las veces que nos indique el exponente.
Partes del número con exponente. Por ejemplo, la ecuación
donde a es un número cualquiera, equivale a la ecuación es decir
que cumplimos la condición de multiplicar por sí mismo nuestro número (a) tres veces,
tal como lo indicó el exponente (3)
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LEYES DE LOS EXPONENTES
De acuerdo a las leyes básicas de los exponentes, sabemos que las operaciones como
la multiplicación de términos homogéneos (en nuestros ejemplos el término será x) con
exponentes diferentes serán:
Multiplicación de exponentes
Dado el caso de la multiplicación de dos números iguales (representados por la literal x)
con exponentes diferentes, tenemos que
Por ejemplo, en la ecuación debido a
que y , por lo tanto, la ecuación de arriba se puede
expresar como
División de exponentes
Dado el caso de la división de dos números iguales (representados por la literal x) con
exponentes diferentes, tenemos que
Por ejemplo, en la ecuación Esto porque, dicho de otra forma,
podemos decir que la ecuación anterior es igual a la siguiente ecuación
Entonces, de acuerdo a la ley de las divisiones, en donde teniendo términos similares
como divisores y como dividendos de una ecuación, dichos términos iguales se anulan,
y siguiendo esta lógica, tenemos que dos de los términos de arriba de la división
(dividendos) se anulan con los dos términos de abajo de la división (divisores).
Quedando como resultado solamente la x restante del dividendo.
En el caso de tener como divisor un exponente mayor que el exponente del dividendo,
tenemos el caso de un exponente negativo, el cual se puede expresar como
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Y expresado en forma de fracción, el número equivale a esto porque, de igual forma
que se anulan los dos términos en el primer ejemplo, aquí se anulan todos los términos
de x que se encuentran en el dividendo.
Elementos básicos (punto, recta, rayo, plano, segmento, ángulo) Representación y terminología
Resta de fracciones
< Matemáticas | Aritmética
La resta de fracciones es una operación aritmética por la que partiendo de dos
fracciones se obtiene una tercera que es la diferencia entre ambas.
Resta de fracciones homogéneas
Para restar dos ó más fracciones homogéneas, se restan los numeradores y se deja
el denominador común y simplificamos
Ejemplo:
Resta de fracciones heterogéneas
La resta de dos o más fracciones heterogéneas se realiza de la siguiente manera:
1. Se halla el mínimo común múltiplo de los dos denominadores:
(mínimo común múltiplo de 4 y 2)
2. Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador antiguo (6) x denominador
común (4) y dividido por denominador antiguo (4) ( 6*4/4=6 )
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Numerador antiguo (1) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (2)
( 1*4/2= 2 )
3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las
fracciones tienen el mismo denominador)
Puntos, segmentos, rectas y planos
El PUNTO es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido. A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc.
El concepto de punto, como ente geométrico, surge en la antigua concepción griega de la geometría, compilada en Alejandría por Euclides en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto excluyente: «lo que no tiene ninguna parte». El punto, en la geometría clásicase basa en la idea de que era un concepto intuitivo, el ente geométrico «sin dimensiones», y sólo era necesario asumir la noción de punto. Esa cuestión fue analizada por A. N. Whitehead en: Una investigación sobre los principios naturales de conocimiento (An Inquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge), y El concepto de la Naturaleza (The concept of Nature). En estos libros se expone la «relación de inclusión». En Proceso y Realidad (Process and Reality) Whitehead propone un nuevo enfoque basado en la «relación de conexión» topológica. También H. J. Schmidt plantea una visión totalmente distinta del punto geométrico.
DETERMINACIÓN GEOMÉTRICA
Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia: En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z).
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En coordenadas polares, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ). En coordenadas esféricas, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ).
En coordenadas cilíndricas, mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (ρ, φ, z). También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas, parabólicas, esferoidales, toridales, etc.
SEGMENTO
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos. o también Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos. Este es el Segmento AB
Tipos de segmentos Segmento nulo: Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden. Ejemplo: Un punto
SEGMENTOS CONSECUTIVOS Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.
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Según pertenezcan o no a la misma línea, se clasifican en:
Colineales
No Colineales: Los segmentos consecutivos no colineales, llamados poligonal o quebrada, pueden ser abiertos o cerrados según tengan o no extremos comunes el primer y el último segmento que lo forman. Las poligonales cerradas forman polígonos.
LA RECTA En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
La Recta se nombra con una letra Minúscula o dos Mayúsculas y se lee la recta AB, la recta HG y la recta m.
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LA SEMIRRECTA
La Semirrecta se nombra con dos Mayúsculas y se lee la Semirrecta AB, la Semirrecta HG.
PLANO En geometría, un plano es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta. Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. .-Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es sólo bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies de diferente tipo. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana otras superficies que son regularmente tridimensionales. Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: Tres puntos no alineados.
Una recta y un punto exterior a ella.
Dos rectas paralelas.
Dos rectas que se cortan
Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego: Alfa (α), Beta (β), Theta
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(θ), Fi (φ) entre otras Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).
Paralelas y perpendiculares Líneas paralelas, secantes y perpendiculares
Líneas paralelas son líneas que siempre tienen la misma distancia entre sí. Nunca
se cruzarán o intersectarán.
Líneas secantes son líneas que se intersectan o cruzan entre sí.
Líneas perpendiculares son líneas secantes especiales.
En donde se cruzan, forman un ángulo recto.
ESQUEMA
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Rectas paralelas y perpendiculares Rectas Perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si:
al cortarse forman cuatro ángulos iguales de 90°
si sus vectores directores son perpendiculares
si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo
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Ejercicio: Hallar una recta perpendicular que pase por el punto (-2,-3) a la recta que pasa por los puntos (1,2); (-4,-3)
Ejercicios de aplicación:
1. Hallar la ecuación de una recta perpendicular a y=2x-3 que pase por el punto (1,2)
2. dos rectas perpendiculares se intersectan en el punto (2,2) si una de ella pasa por el origen, encuentra la ecuación de las dos rectas
3. perpendicular a la recta y=8; pasa por (3,4)
4. perpendicular a la recta x-2y+5=0, pasa por (0,4)
5. perpendicular a la recta y=2x-3, pasa por (1,-2)
ÁNGULOS: COMPLEMENTARIOS, SUPLEMENTARIOS, ALTERNOS INTERNOS, ALTERNOS EXTERNOS.
Ángulos
Figura 1: Rectas paralelas m y n, recta transversal t.
Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 se llaman ángulos
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correspondientes, y son congruentes (figura 1).
Ángulos externos
Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la
transversal. Son iguales entre sí; es decir miden lo mismo.
Alternos externos
Las parejas de ángulos: <1 y <7; <2 y <8 se llaman ángulos alternos externos, y son
congruentes (figura
1).Alternos internos
Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos, y son
congruentes (figura
1). Ángulos congruentes entre paralelas
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos
formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que
son adyacentes (figura 2).
Figura 2: Rectas paralelas a y b, transversal t, ángulos adyacentes β y θ. Teoremas y resultados relacionas
La noción de ángulos correspondientes es la base de numerosos ejemplos y teoremas
fundamentales de la geometría,1 presente en los cursos de enseñanza media de las
matemáticas.[Ver: Bibliografía] Es un resultado geométrico intuitivo conocido y manejado
desde la antigüedad, de manera tanto práctica como teórica,2 si bien es la ciencia
griega, y en particular Euclides, en los Elementos (siglo III a.C.), quienes formalizan los
conceptos y las nociones de un modo que ha permanecido casi sin variaciones hasta
nuestros días.
Según cuenta la leyenda, el filósofo Tales de Mileto utilizó esta propiedad para medir la
altura de las pirámides de Guiza, alrededor del año 500 a.C.
Triángulos semejantes.
Proposiciones de Euclides
La controversia sobre el V postulado alcanza la definición de los ángulos entre
paralelas desde el momento mismo de la elección de la noción de «rectas paralelas»:
las que guardan siempre la misma distancia; las que no se encuentran; o bien las que
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forman ángulos congruentes al ser cortadas por una transversal.
RELACIONES ENTRE ÁNGULOS Y LADOS DE FIGURAS
Relaciones entre parejas de ángulos
En casi todas las figuras geométricas donde intervengan rectas aparecen ángulos, los cuales es posible relacionar en cuanto a sus dimensiones y a su posición en el plano.
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°
α + β son suplementarios
α + β = 180°
Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en común y los otros dos están en la misma recta.
a es adyacente con b Û A, B, C son colineales (están en la misma recta), BD lado común para a y b
Los ángulos adyacentes son suplementarios.
Rectas secantes y paralelas
Como ya vimos, por definición, un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas rectas que parten de un mismo punto.
Fijando nuestra atención en las rectas, sabemos que estas pueden ser secantes (que se cortan) o paralelas (que no se cortan nunca).
Dos rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ángulos. Cada ángulo tiene dos lados y un vértice.
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Esta construcción en el plano nos permite relacionar entre sí los ángulos así formados.
Ángulos opuestos por el vértice
Son los ángulos formados por dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice (V).
α es opuesto por el vértice con β
γ es opuesto por el vértice con δ
Como podemos verificar en la figura: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales
Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante
Dos rectas paralelas cortadas por una tercera determinan ocho ángulos:
Esta distribución numérica nos permite caracterizar parejas de ángulos según su posición, haciendo notar que los ángulos 3, 4, 5 y 6 son interiores (o internos) y que los ángulos 1, 2, 7 y 8 son exteriores (o externos) respecto a las rectas:
ÁNGULOS INTERNOS (3, 4, 5 Y 6)
Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios (suman 180º)
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Ángulos 3 y 5 son suplementarios (suman 180º)
Ángulos 4 y 6 son suplementarios (suman 180º)
Ángulos externos (1, 2, 7 y 8)
Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios.
Ángulos 1 y 7 son suplementarios (suman 180º)
Ángulos 2 y 8 son suplementarios (suman º80º)
Ángulos correspondientes:
Son aquellos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.
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1 y 5 son ángulos correspondiente
s (iguales), ∠ 1
= ∠ 5
2 y 6 son ángulos correspondientes
(iguales) ∠ 2 = ∠ 6
3 y 7 son ángulos correspondientes
(iguales) ∠ 3 = ∠ 7
4 y 8 son ángulos correspondientes
(iguales) ∠ 4 = ∠ 8
Esta relación da pie para formular el siguiente postulado:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos correspondientes es congruente entre sí.
Ángulos alternos internos:
Son aquellos ángulos interiores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.
3 y 6 son ángulos alternos internos ∠ 3 = ∠
6
4 y 5 son ángulos alternos internos ∠ 4 = ∠
5
Esta relación da pie para formular el siguiente postulado:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos internos es congruente entre sí.
Ángulos alternos externos:
Son aquellos ángulos exteriores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.
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1 y 8 son ángulos alternos externos ∠ 1 = ∠
8
2 y 7 son ángulos alternos externos ∠ 2 = ∠
7
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LA IMPORTANCIA DE LA MATEMATICA
En casi todas las cosas que hacemos a diario aplicamos las matemáticas. Las operaciones de suma, resta, resta multiplicación y división de la aritmética resulta básicas.
Si trabajamos en una institución o en una empresa, en un puesto de
responsabilidad, el control en nuestro trabajo es cada es más importante. En situaciones como éstas necesitamos saber más, no basta con las operaciones aritméticas.
Usted pensará que con los avances tecnológicos de la computación, hoy muchas
empresas resuelven su problema. Todo el desarrollo en computación tiene sus bases en matemáticas y, en muchos casos, para trabajar en las computadoras, es necesario saber operar los números y también las letras.
La computación simplifica el trabajo, el álgebra simplifica la aritmética y ambas
son base para hacer los programas con los cuales se trabaja en las computadoras para sumar, restar, multiplicar y dividir más rápidamente grandes cantidades de números.
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PARTES DE LAS FIGURAS PLANAS
Las principales figuras geométricas planas son: Tarea, cada de las partes de las figuras realizar la figura lo que corresponde a cada una de ellas, guiándose con los conceptos que se te presentan
El círculo es una figura que se realiza trazando una curva que está siempre a la misma
distancia de un punto que llamamos centro. La línea que bordea al círculo se llama
circunferencia.
El triángulo
El triángulo es una figura que está formada por 3 rectas que se llaman lados. Hay
diferentes maneras de clasificar a los triángulos, según sus lados o sus ángulos.
Según sus ángulos:
1. Rectángulo: tiene un ángulo recto, es decir, mide 90º
2. Acutángulo: tiene 3 ángulos agudos, es decir, miden menos de 90 º
3. Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso, es decir, mide más de 90º
Según sus lados:
1. Equilátero: los 3 lados miden igual
2. Isósceles: tiene 2 lados que miden igual y otro desigual
3. Escaleno: no tiene ningún lado igual
El rectángulo
El rectángulo es una figura formada por 4 rectas llamadas lados. Las características de
los rectángulos son que sus lados opuestos son paralelos y sus 4 ángulos miden 90º.
El cuadrado
El cuadrado es un tipo de rectángulo. Tienen las mismas características pero además
los 4 lados del cuadrado miden igual.
El rombo
El rombo es una figura formada por 4 rectas. Sus lados opuestos son paralelos y los
4 miden igual pero a diferencia del cuadrado, no tiene ningún ángulo recto.
El trapecio
El trapecio es una figura formada por 4 rectas. Tiene dos lados paralelos pero lo otros 2 no lo son.
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SIMETRÍA DE LAS FIGURAS Eje de simetría es la línea que divide una figura en dos partes simétricas. En la figura a la derecha, la línea roja (d) que divide al triángulo ABC.
Otra definición para Simetría sería: Proporción adecuada de las partes de un todo. Correspondencia de posición, forma y dimensiones de las partes de un cuerpo o una figura a uno y otro lado de un plano transversal (bilateral) o alrededor de un punto o un eje (radial).
También sabremos que una figura es simétrica cuando podemos pasar una línea recta o eje por ella de tal forma que dicha línea divide la figura en dos partes que tienen la misma forma.
Por el contrario, una figura no es simétrica cuando, al trazar una línea recta por su mitad, la figura se divide en dos partes que tienen formas distintas.
Simetría en figuras planas
El triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría.
El triángulo isósceles tiene un solo eje de simetría.
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El triángulo escaleno no tiene ejes de simetría. Estas figuras sin ejes de
simetría se llaman figuras asimétricas.
El rectángulo tiene dos ejes de simetría.
El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría.
El rombo tiene dos ejes de simetría.
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El trapecio no tiene ejes de simetría.
El trapezoide no tiene ejes de simetría.
PREPOSICIONES SIMPLES
Clases de proposiciones
Existen dos clases de proposiciones:
PROPOSICIONES SIMPLES: también denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones
que no se pueden dividir.
Ejemplos:
El cielo es azul.
PROPOSICIONES COMPUESTAS: también denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas
por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos.
Ejemplos:
Fui al banco, pero el banco estaba cerrado.
Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios.
Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalare un auto.
Conectivos (operadores) lógicos
Son aquellos que sirven para formar proposiciones más complejas (compuestas o moleculares).
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TIPOS DE CONECTIVOS Y EJEMPLOS
Conectivo Props. Compuesta
NOT ¬ Negación
AND ^ Conjunción
OR v Disyunción inclusiva
OR exclusivo v Disyunción exclusiva
Condicional
Bicondicional
A) NEGACION:
EJEMPLO: Juan conversa.
Juan no conversa.
B) CONJUNCION:
EJEMPLO: P: La casa está sucia.
Q: La empleada la limpia mañana.
PQ: La casa está sucia y la empleada la limpia mañana.
C) DISYUNCION:
D) DISYUNCION EXCLUSIVA:
EJEMPLO: P: Pedro juega básquet.
Q: María juega futbol.
PVQ: Pedro juega básquet o María juega futbol.
E) CONDICIONAL:
EJEMPLO: P: Si me saco la lotería.
Q: Te regalare un carro.
PQ: Si me saco la lotería entonces te regalare un carro.
F) BICONDICIONAL:
EJEMPLO: P: Simon bolívar vive.
Q: Montalvo está muerto.
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PQ: Simon bolívar vive si y solo si Montalvo está muerto.
Formas proposicionales
Existen tres formas proposicionales:
TAUTOLOGIAS: es aquella forma proposicional que da como resultado verdadero.
CONTRADICCIONES: es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso.
FALACIAS O INDETERMINADA: es aquella forma proposicional que siempre es verdadera y falsa a la
vez.
PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
A) CONMUTATIVA:
B) ASOCIATIVA:
C) DISTRIBUTIVA:
D) IDENTIDAD:
E) ABSORCION:
F) LEYES DE MORGAN:
G) DOBLE NEGACION:
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46
DEFINICIÓN DE CONJUNTOS Y RELACIONES
Lo primero que debemos saber es qué es un conjunto. Podemos definirlo como una
colección de objetos, a los que llamamos elementos, que tienen alguna característica
común.
Los conjuntos pueden tener elementos de cualquier tipo: números, letras, objetos,
personas… Por ejemplo, este conjunto contiene frutas:
Conjuntos y subconjuntos
Categoría:
Lógica, Recursos Didácticos
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En el post de hoy vamos a ver una pequeña introducción a los conjuntos y subconjuntos,
qué tipos hay, cómo se expresan… Todo con algunos ejemplos muy fáciles de entender:
para ello, en lugar de números, utilizaremos elementos como frutas, animales, niños…
Lo primero que debemos saber es qué es un conjunto. Podemos definirlo como una
colección de objetos, a los que llamamos elementos, que tienen alguna característica
común.
Los conjuntos pueden tener elementos de cualquier tipo: números, letras, objetos,
personas… Por ejemplo, este conjunto contiene frutas:
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Tipos de Conjuntos
Clasificación de conjuntos
Los conjuntos pueden clasificarse en función de su número de elementos, en:
Finito: si tiene una colección que se pueda contar, aunque sea difícil. Por ejemplo, el
conjunto de frutas incluye todos los tipos de fruta que hay en el mundo. Aunque sea
difícil, se podrían contar todos los tipos de fruta del mundo, por lo que es finito.
Infinito: si tiene una colección que no se pueda terminar de contar nunca. Por ejemplo,
el conjunto de todos los números pares, que son infinitos, es un conjunto infinito.
Relaciones entre conjuntos
En función de sus relaciones entre ellos, los conjuntos pueden ser:
Conjuntos disjuntos: son aquellos que no tienen ningún elemento en común.
Por ejemplo, los conjuntos de frutas y de animales son disjuntos, porque no hay ninguna
fruta que sea un animal, ni ningún animal que sea una fruta:
Conjuntos subconjuntos: se da cuando todos los elementos de un conjunto
pertenecen al otro.
Por ejemplo, el conjunto de frutas rojas y el conjunto de frutas amarillas son
subconjuntos del conjunto de frutas, puesto que todas las frutas rojas son frutas, y todas
las frutas amarillas son frutas también:
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PRODUCTO CARTESIANO. DOMINIO Y CONTRADOMINIO
En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que
resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden
formarse tomando el primer elemento del par ordenado del primer conjunto y el segundo
elemento del par ordenado del segundo conjunto.
Por ejemplo, dados los conjuntos:
y
su producto cartesiano es:
que se representa:
El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya
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formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto
Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo,
y se denota como (a, b), donde a es el «primer elemento» y b el «segundo elemento».
Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares
ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos:
El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B cuyos elementos son los
pares ordenados (a, b), donde a es un elemento de A y b un elemento de B:
Puede definirse entonces el cuadrado cartesiano de un conjunto como A2 = A × A.
El conjunto Z2 puede visualizarse como el conjunto de puntos en el plano
cuyas coordenadas son números enteros.
Ejemplos
Números enteros
Sea el conjunto de los números enteros Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}. El producto
cartesiano de Z consigo mismo esZ2 = Z × Z = { (0,0), (0, +1), (0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0),
... (−1, 0), ... }, es decir, el conjunto de los pares ordenados cuyas componentes son
enteros. Para representar los números enteros se utiliza la recta numérica, y para
representar el conjunto Z2 se utiliza un plano cartesiano (en la imagen).
FUNCIONES Y RELACIONES
Entender los conceptos de Relación y de Función es de suma importancia en Matemática.
Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones.
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Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relación. En nuestra lengua, decir “en relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”.
Ejemplos:
En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio.
En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un número; o sea, a cada nombre de la guía le corresponde un número.
Definición matemática de Relación y de Función
En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.
Ver: Plano Cartesiano
Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B
Ejemplo 1.
Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.
Solución
El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:
A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:
R1 = {(2, 1), (3, 1)}
R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
R3 = {(2, 4), (3, 5)}
La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 = {(x, y) / y = 1}.
La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y) / x < y}
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Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 = {(x, y) / y = x + 2}
Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.
Ejemplo 2.
Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación
R = {(x, y) / x + y = 3}
Solución
El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados
C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (–3, 2), (–3, 3), (–3, 6)}
Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:
R = {(1, 2), (–3, 6)}
Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.
Dominio y rango de una relación
El dominio de una relación es el conjunto de pre-imágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango.
Ejemplo 3
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la relación.
Solución
El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:
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R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es pre-imagen de 4”.
Así, el dominio y rango son:
D = {2, 3, 4}
Rg = {4, 6, 8}
Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?
En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.
Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?
La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.
Representación gráfica de las relaciones
Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla
R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.
Solución
Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:
R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Y la gráfica correspondiente es la siguiente:
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Entonces hacemos:
2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:
2x = 53 + 3
2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:
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2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora:
x = 56 / 2
x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES: DEFINICIÓN Y OPERACIONES, ORDEN Y REPRESENTACIÓN, PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES Y DEL CONJUNTO, DIVISIBILIDAD, TEORÍA DE NÚMEROS–FACTORES, MÚLTIPLOS, M.C.M Y MCD, PRIMOS-POTENCIACIÓN
En matemáticas, un número natural (designado por ℕ) es cualquiera de los números
que se usan para contar los elementos de un conjunto.
Es todo número perteneciente a la serie ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,…} formada por todos los
números que, a partir del cero (o ausencia de elemento), el uno inicia y sin término
medio.
Definición en teoría de conjuntos
En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo
conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo
una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere
contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un
conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada
por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el
candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.
Formalmente, un conjunto x se dice que es un número natural si cumple
1. Para cada y ∈ x, y ⊆ x
2. La relación ∈x = {(a, b) ∈ x • x | a ∈ b} es un orden total estricto en x
3. Todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en el orden ∈x
Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete
las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante
del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que ∅ no contiene elementos. Luego se definen
los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.
Se define -según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se
denota por 0 y que cada número natural n tiene un sucesor denotado como n+. Estas
ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:
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0 = ∅
n+ = n ∪ {n}
De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a
saber, un antecesor de él. Por ejemplo:
Por definición 0 = {} (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
1 es el sucesor de 0, entonces 1 = 0+ = ∅ ∪ {0} = {0}
2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces 2 = 1+ {0} ∪ {1} = {0, 1} .
y en general
3 = {0, 1, 2}
4 = {0, 1, 2, 3}
5 = {0, 1, 2, 3, 4}
⋮
Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar
de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se
define esta relación mediante la expresión:
a ≤ b ⇔ a ⊆ b
Es decir que un número a es menor o igual que b si y solo si b contiene a todos los
elementos de a.
También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada
número natural consta de sus antecesores. Así a < b si y solo si a ∈ b.
Esa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como
conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los
conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida
como inducción matemática.
Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los
números naturales, es decir que si A es un conjunto inductivo, entonces ℕ ⊆ A. Esto
significa que, en efecto, ℕ es el mínimo conjunto inductivo.
Se define la suma por inducción mediante:
a + 0 = a
a + b+ = (a × b) + a
Lo que convierte a los números naturales (ℕ, +) en un monoide conmutativo
con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide
satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matemático.
El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.
De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones:
a × 0 = 0
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a × b+ = (a × b) + a
Esto convierte (ℕ, ×) (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.
Otra forma de construcción de ℕ es la siguiente: Sea ℱ la clase de todos los conjuntos y
definiremos una relación binaria R "ser equipo tente" de la siguiente manera:
Dados A y B ∈ ℱ se dice que A R B ↔ Existe una aplicación biyectiva de A sobre B, es
decir, existe f : A → B biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación
verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva luego es una relación de
equivalencia al conjunto cociente ℱ/R = {[A]/A ∈ ℱ} los llamaremos cardinales y a los
cardinales finitos se les llamará números naturales. Las operaciones de suma y producto
de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los
conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que (ℕ, +, ×) sea un
semi-anillo conmutativo y unitario.
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS NATURALES
Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales
son la suma y la multiplicación.
La suma y la multiplicación de números naturales son
operaciones conmutativas y asociativas, es decir:
El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a + b = b + a,
y a × b = b × a.
Para sumar —o multiplicar— tres o más números naturales, no hace falta agrupar los
números de una manera específica ya que (a + b) + c = a + (b + c) (propiedad
asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a + b + c.
Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar
claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues
la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad
se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa de la forma:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:
Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya
que a + b y a × b son siempre números naturales.
Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada
número a, a + 0 = a y a × 1 = a.
No existencia de divisores de cero para la operación de multiplicación: si a y b son
números naturales tales que a × b = 0, entonces a = 0 o b = 0.
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Propiedades de los números naturales
Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden ≤ se puede
redefinir así: a ≤ b si y solo si existe otro número natural c que cumplea + c = b. Este
orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son
números naturales y a ≤ b, entonces se cumple:
a + c ≤ b + c
a × c ≤ b × c
Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto
bien ordenado
1) Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b
En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números
naturales a y b, si b ≠ 0, podemos encontrar otros dos números naturales q y r,
denominados cociente y resto respectivamente, tales que:
a = (b × q) + r y r < b
Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.
Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de
los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.
Relación de orden
La relación sucesor le da una estructura de orden.
Conceptos globales y de estructura
Algebraicamente, el conjunto ℕ = {0, 1, 2, ... n, ...} es un semi-grupo aditivo
asociativo con elemento neutro 0 y semi-grupo multiplicativo asociativo con
elemento neutro 1.9
Topológicamente, ℕ tiene la topología cofinita.10
El cardinal de ℕ es menor que el cardinal de ℝ.11
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USO DE LOS NÚMEROS NATURALES
Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para
describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza
con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito,
que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal (teoría de conjuntos). En
el mundo de lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales
a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos
conceptos son diferentes.
Otro uso de gran importancia, desde el punto de vista matemático, es en la
construcción de los números enteros, para lo cual en N × N se establece una relación
de equivalencia, para dos pares ordenados de N × N:
(a, b) ~ (c, d) ↔ a + d = b + c.
Sustracción o resta con números naturales
Asúmase que ℕ = {0, 1, 2, 3 …} y sea H = {(m, n) / m, n ∈ ℕ; m ≥ n}, sea g una
aplicación de H en ℕ, tal que g(m, n) = m - n = d ↔ m = d + n, donde m, n están en
H y d está en ℕ. A la aplicación g de H sobre ℕ se llama sustracción o resta en ℕ. La
diferencia d = m - n, solo es posible en el caso que m ≥ n.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS: DEFINICIÓN Y OPERACIONES BÁSICAS, ORDEN Y REPRESENTACIONES, RECTA NUMÉRICA, INVERSOS, VALOR ABSOLUTO, PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES Y DEL CONJUNTO, POTENCIACIÓN CON NATURALES.
Los números enteros son elementos de un conjunto de números que reúne a
los positivos (1, 2, 3,...), a los negativos opuestos de los anteriores: (..., −3, −2, −1) y al
0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son
menores que todos los enteros positivos (1, 2,...) y que el cero.
Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un
signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al
número se asume que es positivo.
Si se considera ℕ = {1,2,3...} , entonces un entero natural es un entero positivo y el
conjunto ℕ es parte propia de conjunto ℤ. El conjunto de todos los números enteros se
representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3...}, letra inicial del
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vocablo alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y
dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular
también el signo del resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse
para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero
hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20
alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20
alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La
altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del mar
Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.
TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE DATOS
TECNICAS DE RECOLECCIÓN DE DATOS
Los analistas utilizan una variedad de métodos a fin de recopilar los datos sobre una
situación existente, como entrevistas, cuestionarios, inspección de registros (revisión en
el sitio) y observación. Cada uno tiene ventajas y
desventajas. Generalmente, se utilizan dos o tres para
complementar el trabajo de cada una y ayudar a asegurar
una investigación completa.
Para llevar a cabo un trabajo de investigación el
investigador cuenta con gran variedad de métodos para
diseñar un plan de recolección de datos. Tales métodos
varían de acuerdo con cuatro dimensiones importantes:
estructura, confiabilidad, injerencia del investigador y
objetividad. La presencia de estas dimensiones se reduce
al mínimo en los estudios cualitativos, mientras que adquieren suma importancia en los
trabajos cuantitativos, no obstante el investigador a menudo tiene la posibilidad de
adaptar la estrategia a sus necesidades. Cuando la investigación está altamente
estructurada, a menudo se utilizan instrumentos o herramientas para la recolección
formal de datos.
Las tres principales técnicas de recolección de datos son:
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1.Entrevistas 2. La encuesta 3. La observación 4. sesión de grupo.
LA ENTREVISTA.
La entrevista, desde un punto de vista general, es una forma específica de interacción
social. El investigador se sitúa frente al investigado y le formula preguntas, a partir de
cuyas respuestas habrán de surgir los datos de interés. Se establece así un diálogo,
pero un diálogo peculiar, asimétrico, donde una de las partes busca recoger
informaciones y la otra se nos presenta como fuente de estas informaciones.
Una entrevista es un dialogo en el que la persona (entrevistador), generalmente un
periodista hace una serie de preguntas a otra persona (entrevistado), con el fin de
conocer mejor sus ideas, sus sentimientos su forma de actuar.
EL ENTREVISTADO
Deberá ser siempre una persona que interese a la comunidad. El entrevistado es la
persona que tiene alguna idea o alguna experiencia importante que transmitir.
EL ENTREVISTADOR
Es el que dirige la entrevista debe dominar el dialogo, presenta al entrevistado y el tema
principal, hace preguntas adecuadas y cierra la entrevista. La entrevista es también
información y reportaje, las entrevistas pueden ser reales o imaginarias.
PARTES DE UNA ENTREVISTA.
La presentación suele ser breve, pero no suficientemente informativa. En ella no se
habla del entrevistado, sino del tema principal de la entrevista.
El cuerpo de la entrevista está formado por preguntas y las respuestas. Es importante
elegir bien las preguntas para que la entrevista sea buena, las preguntas deben ser
interesantes para él público, y adecuadas para el entrevistado trasmita sus experiencias.
También deben ser breves, claras y respetuosas. El cierre de la entrevista debe ser
conciso. El entrevistador puede presentar un resumen de lo hablado o hacer un breve
comentario personal.
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LO QUE DEBE SER Y LO QUE NO DEBE SER UNA ENTREVISTA. Ambiente personas y dialogo. Una entrevista debe ser simple reflejo de lo que ha sido. Condiciones necesarias, saber describir el ambiente, saber ver que la persona con quien nos entrevistamos y dominar el dialogo. Para la entrevista se pueden seguir dos métodos: el impresionista y el expresionista. El impresionismo nos dará como una visión instantánea en la que recogen aquellos rasgos y detalles que destacan del conjunto, lo
más llamativo es lo que nosotros, por eliminación de lo accesorio, cuando al paso del tiempo, se va borrando nuestra memoria todo lo que interesa verdaderamente. Se es impresionista por temperamento. En el periodismo, conviene la técnica impresionista, el expresionismo para la entrevista de cierta altura, la que de be periódicamente, de cuando en cuando, a personalidades relevantes que exigen un estudio profundo meditado NO RECARGAR DEMASIADO. Un hombre no es una simple suma de rasgos. Lo que interesa es su alma, un carácter que s refleje en algunos de esos rasgos. Lo que interesa, en realidad son los rasgos son
principalmente los ojos, la boca y las manos. NO NOS QUEDA UN RECURSO: Estudiar las manos del hombre escurridizo que tengamos ante nosotros.
En las manos, si sabemos mirarlas, encontraremos mas de una vez el verdadero carácter del hombre que estamos observando: si no son huesudas, sí alargadas, y cortas y macizas, sí lánguidas o
enérgicas. Las manos hablan lo mismo que se hallan serena quietud como si están en pleno y agitado movimiento, sin que lo sepa su dueño nos descubren el modo mas intimo de su ser. Como tercer elemento fundamental de la entrevista nos queda el dialogo. En la entrevista lo que nos interesa, no solo lo que dice el personaje de turno, si no como lo dice. El secreto de este como reside en el matiz. Sin el dialogo carece de vida de dos maneras: Puntuando bien las frases y periodos, de modo que una coma, un punto y
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coma, un signo de admiración o puntos suspensivos reflejen el tono de lo que se nos dijo. Otra imperiosa vigencia en el dialogo de la entrevista es la selección, para quedarnos estrictamente significativo.
EL ARTE DE PREGUNTAR
En el modo periodístico se ha impuesto un tipo de intervención a base exclusivamente de preguntas y respuestas, simple dialogo sin matiz alguno. El sistema se ha impuesto por que este procedimiento informativo es el que más fácil redacción de todos. No exige demasiada preocupación literaria ni hay que preocuparse muchos por darles formas a las frases. Pero lo bueno es enemigo de lo fácil. Y así resulta que este tipo de entrevistas standard, es el personaje entrevistado se esfuma. Una entrevista no debe hacerse para que el entrevistador luzca con
facilidad interrogatorio lo que debe buscar es la fuerza de la personalidad. Y un hombre no se le descubre a la fuerza para interrogarle, si dejándole hablar, que es lo mismo. Hay pues, que saber preguntar en su momento y saber callar cuando es la ocasión lo exige. La entrevista ha de ser reflejo del dialogo, que nunca exclusivamente una suma de preguntas y respuestas, sino algo más complejo: afirmaciones, negaciones, titubeos, gestos y reservas. PREGUNTAS ABIERTA Y CERRADAS.
La aplicación de un examen toma menos tiempo y esta es la razón para que sean tan populares en los “quices”. La aplicación del examen toma más tiempo, particularmente si lo que se exige es un ensayo relativamente elaborado. En términos totales de tiempo de corrección son apropiadas para clases con muchos estudiantes. En términos de tiempo total de corrección es preferible para grupos de pocos estudiantes.
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SE DEBEN TOMAR NOTAS El tomar notas, depende del momento, del interlocutor, de nosotros mismos. Pero muy buena retentiva que se tenga, siempre convendrá tomar alguna rápida nota (más o menos disimulada o, terminada la entrevista, al salir a la calle). Tales notas nos servirán para recordar un gesto, una frase, algo característico.
Otras veces, en un cambio, no preciso recurrir apenas a las notas, por lo que nuestro interlocutor se presta más al trabajo de síntesis que al análisis. Lo que sí es imperativo, antes de coger un lápiz, es estudiar rápidamente a la persona entrevistada para saber cómo reacciona. Hay quien nada más al ver ante sí el cuaderno de notas del periodista advierte la responsabilidad de la palabra escrita y adopta inmediatamente una actitud doctoral, casi siempre es falsa. Otras personas especialmente los científicos hablan con más aplomo y seguridad cuando ven funcionar una pluma del periodista, saben que si se evita la posibilidad de error en la interpretación de sus manifestaciones.
De Emil Ludwuing se cuenta que, antes de entrevistarse con un personaje celebre. Procuraba hablar con el enemigo o contrincante profesional, político o ideológico de aquel. De este modo, el biógrafo conseguía a alguien le hablase m al de aquella persona con quien pensaba entrevistase, conocía así sus defectos, a veces reveladores. Para su futuro estudio psicológico. Para este procedimiento no es conveniente siempre ir en blanco a la entrevista. Cuando ignoramos todo una persona, puede engañarnos las apariencias. Saber un poco ayuda a enjuiciar, pero tampoco debe dejarse influir demasiado la opinión ajena. Las entrevistas en el mundo periodístico se suele llamar entrevista lo que en realidad, es pura y simple encuesta, es decir a una serie de preguntas y respuestas, mejor o peor hilvanadas. Es recomendable sustituir tan insustanciales encuestas por el procedimiento informativo en vez de llenar cartillas y cuartillas con preguntas y respuestas, la mayoría insignificantes, más vale resumir lo que se nos haya dicho sobre un tema determinado, directamente expuesto sobre lo que se escribe, solo cederemos la palabra al interlocutor, es decir que produciremos lo que dijo textualmente, cuando así lo exija la responsabilidad de una afirmación o el valor psicológico, el modo de expresarse, en un momento determinado. La interviene ha de ser lo más objetiva posible. Al personaje objeto de nuestra dialogo hay que mostrado con fidelidad y sinceridad, pero también con toda corrección si por azar nos tropezáramos alguna vez con un tipo extraño, como un hombre en el que sí que queremos reflejarlo tal como es, procuraremos que sea el propio entrevistado quien
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se define a través de sus palabras o gestos de tal manera que sin nosotros nada el lector descubra por sí mismo los vicios las virtudes de la persona a quien presentamos. De este modo el escritor, notario, en este caso de la realidad, de lo que ven sus ojos salva su responsabilidad perfectamente, sobre todo si fue objetivo y ponderamos en su exposición. Finalmente se dan casos en que por razones especialísimas, el entrevistado le conviene aparecer como una figura más del cuadro que describe, es decir, aparecer más bien como actor que como autor, se impone entonces el reportaje de la intervención, aquí el escritor se ve a sí mismo como otro personaje más del escenario que sus ojos contemplan.
Lo he expuesto hasta aquí más vale exclusivamente para la entrevista, digamos psicológica, es decir, aquella que intenta rebelar quien es y cómo es un apersona determinada. No siempre es preciso ni perceptivo retratar a un tipo humano como lo haría un novelista. En realidad lo más frecuente en el campo de la información, en estos casos es la técnica es la propia del reportaje. Al reportaje se le presenta aquí como, si no por el que lo que vale en este caso la ciencia, no la personalidad científica. LA ENCUESTA. Una encuesta es un conjunto de preguntas normalizadas dirigidas a una muestra representativa de la población o instituciones, con el fin de conocer estados de opinión o hechos específicos. Tipos Las encuestas tienen por objetivo obtener información estadística indefinida, mientras que los censos y registros vitales de población son de mayor alcance y extensión. Este tipo de estadísticas pocas veces otorga, en forma clara y precisa, la verdadera información que se requiere, de ahí que sea necesario realizar encuestas a esa población en estudio, para obtener los datos que se necesitan para un buen análisis. Este tipo de encuesta abarca generalmente el UNIVERSO de los individuos en cuestión. Otro tipo de Encuestas es Encuestas por Muestreo en donde se elige una parte de la población que se estima representativa de la población total. Debe tener un diseño muestral, necesariamente debe tener un marco de donde extraerla y ese marco lo constituye el censo de población. La encuesta (muestra o total), es una investigación estadística en que la información se obtiene de una parte representativa de las unidades
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de información o de todas las unidades seleccionadas que componen el universo a investigar. La información se obtiene tal como se necesita para fines estadístico-demográficos. Una forma reducida de una encuesta por muestreo es un "sondeo de opinión", esta forma de encuesta es similar a un muestreo, pero se caracteriza porque la muestra de la población elegida no es suficiente para que los resultados puedan aportar un informe confiable. Se utiliza solo para recolectar algunos datos sobre lo que piensa un número de individuos de un determinado grupo sobre un determinado tema. Actualmente, existen sistemas de gestión de encuestas en Internet, que están acercando su utilización a investigadores que hasta el momento no tenían acceso a los medios necesarios para ejecutarlas.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA, MEDIANA Y MODA
Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la
información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el
centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia
central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de
estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o
menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición.1 En este caso
se incluyen también los cuartiles entre estas medidas.
Entre las medidas de tendencia central tenemos:
La media aritmética es el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre
el número de sumadores.
Por ejemplo, las notas de 5 alumnos en una prueba:
niño nota
1 6,0 ·Primero, se suman las notas:
2 5,4 6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 = 27,6
3 3,1 ·Luego el total se divide entre la cantidad de alumnos:
4 7,0 27,6/5=5,52
5 6,1
· La media aritmética en este ejemplo es 5,52
Media muestra
Esencialmente, la media muestra es el mismo parámetro que el anterior, aunque el
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adjetivo "muestral" se aplica a aquellas situaciones en las que la media aritmética se
calcula para un subconjunto de la población objeto de estudio.
La media muestral es un parámetro de extrema importancia en la inferencia estadística,
siendo de gran utilidad para la estimación de la media poblacional, entre otros usos.
Moda
Artículo principal: Moda (estadística)
La moda es el dato más repetido de la encuesta, el valor de la variable con
mayor frecuencia absoluta.5 En cierto sentido la definición matemática corresponde con
la locución "estar de moda", esto es, ser lo que más se lleva.
Su cálculo es extremadamente sencillo, pues solo necesita un recuento. En variables
continuas, expresadas en intervalos, existe el denominado intervalo modal o, en su
defecto, si es necesario obtener un valor concreto de la variable, se recurre a
la interpolación.
Por ejemplo, el número de personas en distintos vehículos en una carretera: 5-7-4-6-9-5-
6-1-5-3-7. El número que más se repite es 5, entonces la moda es 5.
Hablaremos de una distribución bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas,
es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Cuando en una
distribución de datos se encuentran tres o más modas, entonces es multimodal. Por
último, si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.
Cuando tratamos con datos agrupados en intervalos, antes de calcular la moda, se ha
de definir el intervalo modal. El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta.
La mediana es un valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los datos,
una vez que éstos están ordenados de menor a mayor.7 Por ejemplo, la mediana del
número de hijos de un conjunto de trece familias, cuyos respectivos hijos son: 3, 4, 2, 3,
2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1 y 1, es 2, puesto que, una vez ordenados los datos: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2,
2, 2, 2, 3, 3, 4, el que ocupa la posición central es 2:
En caso de un número par de datos, la mediana no correspondería a ningún valor de la
variable, por lo que se conviene en tomar como mediana el valor intermedio entre los
dos valores centrales. Por ejemplo, en el caso de doce datos como los siguientes:
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Se toma como mediana
Existen métodos de cálculo más rápidos para datos más numerosos (véase el artículo
principal dedicado a este parámetro). Del mismo modo, para valores agrupados en
intervalos, se halla el "intervalo mediano" y, dentro de éste, se obtiene un valor concreto
por interpolación.
SISTEMAS POSICIONALES Y NO POSICIONALES
SISTEMAS POSICIONALES Y NO POSICIONALES
Todos los sistemas señalados anteriormente se basan en el mismo principio general. Se
toma un número p, base del sistema de numeración y todo número N se representa
como la combinación de potencias de aquel con coeficientes que toman valores de 0 ap-
1, o sea, en la forma
ak pk + ak-1 p
k-1 + ... + a1 p + a0
Después, este número se denota abreviadamente
(akak-1...a1a0)p
En este caso el valor de cada cifra depende del lugar que ocupa. Por ejemplo, en el
número 222, el dos figura tres veces; pero el de la extrema derecha representa dos
unidades, el del medio significa dos decenas y el otro, dos centenares. (Aquí tratarnos
con el sistema decimal. Si fuese empleado el sistema de base p, estos tres dos
significarían, respectivamente, los valores 2, 2p y 2p 2. Los sistemas de numeración que
se basan en este principio se denominan sistemas posicionales.
SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA: FUNDAMENTO FILOSÓFICO, ORIGEN Y SIGNIFICADO DE LOS SÍMBOLOS, CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES
Los mayas utilizaban un sistema de numeración vigesimal (de base 20) de raíz mixta,
similar al de otras civilizaciones mesoamericanas.
Los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor
del año 36 a. C. Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con
algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria. Las inscripciones los
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muestran en ocasiones trabajando con sumas de hasta cientos de millones y fechas tan
extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas.
Numeración maya
Los mayas idearon un sistema de numeración como un instrumento para medir el tiempo
y no para hacer cálculos matemáticos. Por eso, los números mayas tienen que ver con
los días, meses y años, y con la manera en que organizaban el calendario.
Los mayas tenían tres modalidades para representar gráficamente los números, del 1 al
19, así como del cero: un sistema numérico de puntos y rayas; una numeración
cefalomorfa «variantes de cabeza»; y una numeración antropomorfa, mediante figuras
completas.
En el sistema de numeración maya las cantidades son agrupadas de 20 en 20; por esa
razón en cada nivel puede ponerse cualquier número del 0 al 19. Al llegar al veinte hay
que poner un punto en el siguiente nivel; de este modo, en el primer nivel se escriben las
unidades, en el segundo nivel se tienen los grupos de 20 (veintenas), en el tercer nivel
se tiene los grupos de 20×20 y en el cuarto nivel se
tienen los grupos de 20×20×20.
Numeración maya.
Los tres símbolos básicos son el punto, cuyo valor es
1; la raya, cuyo valor es 5; y el caracol (algunos
autores lo describen como concha o semilla), cuyo
valor es 0.
El sistema de numeración maya, aun siendo vigesimal,
tiene el 5 como base auxiliar. La unidad se representa
por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos sirven para 2,
3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añaden
los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9.
Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 19 (con tres
rayas y cuatro puntos) que es el máximo valor que se puede representar en cada nivel
del sistema vigesimal. Este sistema de numeración es aditivo, porque se suman los
valores de los símbolos para conocer un número. El punto no se repite más de 4 veces.
Si se necesitan 5 puntos, entonces se sustituyen por una raya. La raya no aparece más
de 3 veces. Si se necesitan 4 rayas, entonces quiere decir que se quiere escribir un
número igual o mayor que 20 necesitándose así emplear otro nivel de mayor orden.
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Para escribir un número más grande que veinte se usan los mismos símbolos, pero
cambian su valor dependiendo de la posición en la que se pongan. Los números mayas
se escriben de abajo hacia arriba.
En el primer orden (el de abajo) se escriben las unidades (del 0 al 19), en el segundo se
representan grupos de 20 elementos. Por esto se dice que el sistema de numeración
maya es vigesimal.
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BIBLIOGRAFIA
1. GUZMÁN, Miguel de., “Tendencias actuales de la enseñanza de la matemática”, Studio Pedagógico, España: Revista de Ciencias de la Educación, 21. 19-2, 1989.
2. GUZMÁN, Miguel de., “Para pensar mejor”, Madrid: Labor, 1991. 3. GUZMÁN, Miguel de., “Enseñanza de la matemática y de las ciencias”, Madrid: OEI
(Organización de Estados Iberoamericanos), 1993.
4. HOWSON, A.G. and KAHANE, J.P., “The Popularization of Mathematics”, (ICMI Study Series), Cambridge University Press, 1990.
5. National Council of Teachers of Mathematics, “Principles and Standards of School
Mathematics”, USA: NCTM, 2005. 6. NESHER, P and KILPATRICK, J. (editors), “Mathematics and Cognition: A Research
Synthesis by the International Group for Psychology of Mathematics Education”, (ICMI Study Series), USA: Cambridge University Press, 1990.
7. SANTALÓ, Luis, “Enseñanza de la matemática en la escuela media”, Buenos Aires: Docencia, 1981.
