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Manual Funciones Matemáticas DIVISIÓN SISTEMAS PRODUCTIVOS, MANTENIMIENTO INDUSTRIAL Y CONSTRUCCIÓN

MANUAL DE LA ASIGNATURA FUNCIONES MATEMÁTICAS

DIVISIÓN SISTEMAS PRODUCTIVOS, MANTENIMIENTO INDUSTRIAL Y CONSTRUCCIÓN.

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MANUAL DE ASIGNATURA

DIRECTORIO 5

INTRODUCCIÓN 6

1° UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA. 6

BREVE INTRODUCCIÓN HISTÓRICA. 6

TEMA 1. PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN. 8

Conceptos 8

Figuras, cuerpos y sus elementos 9

Formulario área y volumen cuerpos geométricos 14

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN: 16

TEMA 2. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS. 17

Concepto 17

Tipos de ángulos 18

Proceso de conversión de unidades de medidas de ángulos. 18

Ángulos entre paralelas 20

Triángulo 22

Clasificación de los triángulos 23

TEMA 3. TRIGONOMETRÍA 25

Teorema de Pitágoras 25

Funciones Trigonométricas 26

Identidades Trigonométricas 29

Ley de senos y ley de cosenos 30

2° UNIDAD GEOMETRÍA ANALÍTICA 36

TEMA 1. LA RECTA EN EL SISTEMA CARTESIANO. 36

Identificar los elementos y caracteristicas del plano cartesiano. 36

Definir conceptos de: 37

Puntos en el plano 37

Definición de una recta. 38

Cómo encontrar el punto medio de un segmento de línea. 39

División de un segmento en una razón dada. 40

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Distancia de un punto a una recta. 40

Pendiente de una Recta. 41

Ángulo entre dos rectas. 42

Formas de la ecuación de la recta. 43

Ecuación de la recta 45

TEMA 2. LAS CÓNICAS. 52

Conceptos 52

Tipos de cónicas 52

Circunferencia 52

Elipse 54

Parábola 56

Hipérbola 65

Ecuación general de las cónicas 66

3° UNIDAD FUNCIONES 67

TEMA 1. CONCEPTOS DE FUNCIONES. 67

Concepto de función. 67

Dominio 67

Rango 68

Funciones Iguales 68

La definición general 70

Funciones con múltiples variables 71

Notación intervalo 71

Notación y Nomenclatura 72

Imagen e imagen inversa 73

Igualdad de funciones 73

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas 73

Clasificación 73

Funciones implícitas 73

Función Explicita. 74

Representación de funciones. 74

Características de la gráfica 75

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TEMA 2. OPERACIONES CON FUNCIONES. 83

OPERACIONES CON FUNCIONES 83

Suma de funciones 83

Resta de funciones 83

Producto de funciones 83

Cociente de funciones 83

Condición Inicial en una función 85

TEMA 3. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES. 86

Modelos matemáticos usando funciones 86

4° UNIDAD ÁLGEBRA VECTORIAL 90

TEMA 1. VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES 90

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR 93

Producto de un vector por un escalar 93

TEMA 2. TRANSFORMACIÓN DE VECTORES. 95

¿Qué son las transformaciones lineales? 95

Propiedades de una transformación lineal 95

Propiedad 1 95

Demostración: 95

Propiedad 2 95

Demostración: 95

Propiedad 3 95

Ejemplo 1 96

Resolución 96

REFERENCIAS: 99

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DIRECTORIO

MANUAL ELABORADO POR: ING ANTOLÍN ROBLES GARAY, ARQ. JOSÉ JUAN TREJO ANAYA.

REVISADO POR: M EN A FELIPE SAMUEL TOVAR PACHECO

MANUAL DE FUNCIONES MATEMÁTICAS. DIVISIÓN SISTEMAS PRODUCTIVOS, MANTENIMIENTO INDUSTRIAL Y CONSTRUCCIÓN.. D.R. 2018

ESTA OBRA, SUS CARACTERÍSTICAS Y DERECHOS SON PROPIEDAD DE LA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE SAN JUAN DEL RÍO (UTSJR), AV. LA PALMA NO. 125, COL. VISTA HERMOSA, SAN JUAN DEL RÍO, QRO.

QUEDA PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN PARCIAL O TOTAL POR CUALQUIER MEDIO, SIN AUTORIZACIÓN.

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INTRODUCCIÓN

El objetivo de aprendizaje de esta asignatura es: El alumno desarrollará modelos matemáticos empleando las herramientas de geometría, trigonometría, geometría analítica y álgebra vectorial para contribuir a la solución de problemas de su entorno y las ciencias básicas. La competencia que se quiere alcanzar plantear y solucionar problemas con base en los principios y teorías de física, química y matemáticas, a través del método científico para sustentar la toma de decisiones en los ámbitos científico y tecnológico. El material que se presenta está orientado al cumplimiento de este objetivo, por lo que se presentan los temas a partir de problemas de aplicación y posteriormente se desarrollan los conceptos fundamentales de los temas en estudio.

1° UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA. El alumno resolverá problemas de geometría y trigonometría para contribuir a la interpretación y solución de problemas de su entorno.

BREVE INTRODUCCIÓN HISTÓRICA. Todas las civilizaciones antiguas desarrollaron conceptos matemáticos fuertemente ligados a sus necesidades prácticas; conteo de objetos, operaciones aritméticas básicas, y conceptos fundamentales de geometría para la construcción y medición de tierras. Sin embargo, hubo un pueblo que desarrolló una forma de entender y hacer matemáticas que era diferente a todos los demás; se basó en el razonamiento lógico y transformó radicalmente y para siempre, el significado de esta ciencia. Debido a esta forma de entender la matemática, la geometría es considerada la primera disciplina científica propiamente hablando; se desarrolló a partir de necesidades prácticas, pero se formalizó y se organizó con base en el llamado método axiomático deductivo desde el siglo iii A.C. A través del libro “los elementos” de Euclides.

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La geometría (medida de la tierra) es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las figuras, en el plano y en el espacio, incluyendo puntos, rectas, planos y curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc… La geometría es una de las ciencias más antiguas, data del 2000 al 500 A.C y los primeros indicios se dan en la Mesopotamia, el tema central de esta rama es el problema de la medida de los predios, Los indicios que se encontraron fueron: Calculo de áreas como son el cuadrado y el circulo y usaban un valor aproximado para π=3, y desde entonces ya calculaban el volumen de las figuras. Según Heródoto los egipcios fueron los padres de la geometría, considerando las grandes construcciones que llevaron a cabo, en su época se decía que era la geometría más avanzada, sin embargo no hay nada que lo pueda afirmar, se concentraron en el cálculo del área y volúmenes que utilizaron el valor 3.1605 para calcular el área de círculos. Del año 800 al 400 A.C. Los griegos ya resolvían problemas prácticos relacionando con cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas, realizaban operaciones con números enteros, utilizaban extracción de la raíz, calculo con fracciones, resolución de problemas de primero y segundo grado y problemas prácticos de cálculo, todo esto relacionado con construcción y agricultura. En el siglo VI A.C. Tales de Mileto considerado uno de los siete sabios de la antigüedad. Fundo la geometría como ciencia y fue el primero en calcular la altura de las pirámides de Egipto. También en el siglo VI A.C. el señor Pitágoras (discípulo de Tales de Mileto) fundo la escuela Pitagórica donde se estudiaba filosofía, matemáticas y ciencias naturales. Estudiaron los números enteros y su clasificación e hicieron la demostración del teorema de

Pitágoras y los números irracionales (√2 √3). En el siglo V Heródoto utilizo por primera vez la palabra geometría y fue el que determino que el significado es “Medida de la Tierra”. La geometría se utilizó para encontrar la distribución adecuada de la tierra por los desbordamientos anuales del rio Nilo. En los siglos IV a III A.C. Euclides (matemático griego) logro que la geometría griega sobreviviera a través de su obra escrita por él, conocida como: “Los Elementos de Euclides”, esta obra está compuesta por 13 libros y es conocida como la obra más famosa de historia de las matemáticas, y por este motivo es conocido como padre de la geometría.

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En el siglo III A.C. Arquímedes, invento la forma de medir superficies curvas y calculo una aproximación para calcular π. También en este siglo Apolonio de Perga, escribió un tratado de 8 tomos en el que se estableció por primera vez los nombres de elipse, parábola e hipérbola, su tratado estableció las bases para el estudio de la geometría de curvas, tratado que perduro hasta los tiempos del científico francés René Descartes que vivo en el siglo XVII después de Cristo. La geometría avanzo muy poco desde finales de la era griega hasta finales de la edad media. En este siglo XIII D.C. un matemático árabe llamado Nasir al-Din al-Tusi escribió libros sobre geometría e hizo estudios críticos relativos al axioma Euclidiano del paralelismo, y es lo que conocemos actualmente como geometría no euclidiana, su libro geometría práctica se considera como el punto de arranque de la geometría Renacentista. En el siglo XVII el matemático francés René Descartes introdujo el álgebra en el estudio de las secciones cónicas, creando con esta innovación la geometría analítica y también el sistema cartesiano, ambos estudios vigentes en la actualidad. El matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz en el siglo XVII introdujo la simbología para representar los objetos geométricos, estableció las coordenadas rectangulares, las oblicuas y las polares e hizo las transformaciones de los diferentes sistemas de coordenadas. Leonhard Euler matemático y físico suizo en el siglo XVII hizo estudios sobre las tangentes y resolución general sobre ecuaciones trigonométricas, creando con sus teorías la actualidad de la trigonometría.

TEMA 1. PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN.

Conceptos El perímetro de un polígono (o cualquier otra curva cerrada, tal como un círculo) es la distancia alrededor del exterior. Es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica. La palabra perímetro viene del griego “Peri” alrededor y “Metro” medida. El área de una curva simple, cerrada, plana es la cantidad del espacio interior. Área: Viene del latín, área es un pedazo de tierra que se encuentra comprendido entre ciertos límites, es decir es un espacio delimitado determinadas características geométricas. El volumen de un sólido de forma 3D es la cantidad del espacio desplazado por él.

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Algunas fórmulas para figuras planas comunes de 2 dimensiones y solidos de 3 dimensiones se dan a continuación. Las respuestas tienen una, dos, o tres dimensiones; el perímetro es medido en unidades lineales, el área es medido en unidades cuadradas, y el volumen es medido en unidades cúbicas.

Figuras, cuerpos y sus elementos

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¿Qué son los cuerpos geométricos? Un sólido o cuerpo geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen. Los cuerpos geométricos pueden ser: Poliedros y Cuerpos Redondos.

Poliedros. La palabra poliedro proviene del griego y significa muchas caras. Son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos. Por lo tanto tienen todas sus caras planas. Los elementos son caras, aristas y vértices. Caras. Superficies planas que forman el poliedro, las cuales se interceptan entre sí. Aristas. La línea que une dos caras se denomina arista. En un cubo hay 12 aristas. Vértices. Son los puntos donde se interceptan 3 o más aristas.

Clases de poliedros - Los poliedros regulares: son aquellos cuyas caras son todos polígonos regulares iguales y coincide el mismo número de ellas en cada vértice. - Los poliedros irregulares: Son irregulares cuando los polígonos (figuras geométricas planas) que lo forman, no son todos iguales. Poliedros regulares. Tetraedro. Compuesto por cuatro caras con forma de triángulos equiláteros. Tiene cuatro vértices y seis aristas.

Cubo. Está compuesto por seis caras cuadradas; motivo por el cual se le conoce también con el nombre de hexaedro regular, (hexaedro = cuerpo con 6 caras). Tiene 8 vértices y 12 aristas.

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Octaedro. Compuesto por ocho caras con forma de triángulos equiláteros, en forma de dos pirámides unidas por su base. Tiene 6 vértices y 12 aristas.

Dodecaedro Compuesto por doce caras con forma de pentágono. Tiene 20 vértices y 30 aristas.

Icosaedro. Compuesto por veinte caras con forma de triángulos equiláteros, que tiene un eje plano hexagonal. Tiene 12 vértices y 30 aristas.

Clasificación de poliedros irregulares: Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en: - Prisma - Pirámide Son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonas. Los prismas tienen dos caras paralelas e iguales, llamadas bases, el resto de sus caras son paralelogramos. Las pirámides tienen una base y el resto de las caras son triángulos. Prisma. Está constituido por dos bases poligonales e iguales y sus caras laterales son paralelogramos. Según el número de lados de la base se le da el nombre al prisma. Por ejemplo: Prismas triangular (sus bases son un triángulo), Prismas cuadrangulares (sus bases son cuadrados), Prisma pentagonal (sus bases son pentágonos), Prisma hexagonal (sus bases son hexágonos), etc. La altura de un prisma es la distancia entre las bases.

Es recto cuando su eje es perpendicular a las bases y oblicuo cuando el ángulo entre el eje y la base es diferente a base 90°. Si el prisma es cortado de tal manera que la sección producida no sea paralela a una de sus bases, recibe el nombre de prisma truncado. Pirámide. Es una figura tridimensional constituida por una base poligonal y por caras laterales cuyas aristas concurren a un punto del espacio llamado cúspide o vértice común, por lo tanto las caras laterales siempre serán triangulares. El eje o altura de la pirámide es la línea que va del vértice al centro de la base. La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

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La pirámide se llama rectangular cuando el eje es perpendicular al centro de la base, en un caso diferente se llama oblicua. La porción de pirámide comprendida entre la base y la sección producida por un plano que corta sus caras laterales se llama tronco de la pirámide o pirámide truncada.

Cuadro comparativo: Caras, aristas y vértices de los poliedros En el siguiente cuadro podrás ver una comparación de los elementos de cada poliedro:

Cuerpos redondos Son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono. El cilindro, el cono y la esfera son cuerpos redondos. Cilindro. Un cilindro es una superficie cilíndrica que se forma cuando una recta, denominada generatriz, gira alrededor de otra recta paralela, denominada eje. También lo podemos definir como el cuerpo que se genera cuando un rectángulo gira alrededor de un de sus lados. El cilindro tiene dos bases circulares y una superficie curva. Elementos del cilindro. Por medio del dibujo de arriba, es posible determinar los elementos de un cilindro, que son: eje, bases, altura y generatriz.

Eje: lado AD, alrededor del cual gira el rectángulo.

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Bases: son los círculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados AB y CD del rectángulo. Cada uno de estos lados es el radio de su círculo y también, el radio del cilindro. Altura: corresponde al mismo eje AD; es perpendicular a las bases y llega al centro de ellas. Esta es la razón por la que el cilindro es recto. Generatriz: es el lado BC, congruente con el lado AD, y que al girar forma la cara lateral o manto del cilindro. Radio: el radio de los círculos que forman las bases también es el radio del cilindro. Centro: es el centro de cada una de las bases circulares.

Tiene 2 caras basales planas, paralelas y congruentes. 1 cara lateral que es curva y 2 aristas basales. Puedes observar que en el desarrollo en el plano se forma un rectángulo para la cara lateral, cuyos lados son el perímetro de la circunferencia que forma las bases y la altura o generatriz.

Cono. El cono es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. El cono tiene una base circular y una superficie curva.

Elementos del cono. En el dibujo de arriba podemos distinguir los elementos de un cono recto:

Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo. Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto, AB. Por lo tanto AB es el radio del cono. La base se simboliza: O (A, AB). Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región lateral conocida como manto del cono. Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular a la base. Centro: Es el centro de la base.

Tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista basal y un vértice llamado cúspide. Tipos. Si la altura coincide con su eje, el cono es recto. Si el eje y la altura no coinciden, el cono es oblicuo.

Esfera. La esfera es el sólido generado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.

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Elementos de la esfera. Al girar el semicírculo alrededor del diámetro AB, se genera una superficie esférica donde se determinan los siguientes elementos:

Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esférica. Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia y corresponde al punto O. Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia: OA. Diámetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la superficie esférica, pasando por el centro: AB.

Formulario área y volumen cuerpos geométricos En la siguiente ilustración podrás ver las distintas fórmulas para obtener el área y volumen de los cuerpos geométricos.

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Fórmulas

Perímetros

Forma Fórmula Variables

Cuadrado P = 4 s s es la longitud del lado del cuadrado.

Rectángulo P = 2 L + 2 W L y W son las longitudes de los lados del rectángulo (longitud y ancho).

Triángulo a + b + c a , b , y c son las longitudes de los lados.

Triángulo rectángulo, con catetos a y b

a y b son las longitudes de los catetos del triángulo

Círculo P = C = 2 πr = πd r es el radio y d es el diámetro.

Áreas

Forma Fórmula Variables

Cuadrado A = s 2 s es la longitud del lado del cuadrado.

Rectángulo

A = LW L y W son las longitudes de los lados del rectángulo (longitud y ancho).

Triángulo

b y h son la base y la altura.

Triángulo

a , b , y c son las longitudes de los lados ys es el semiperímetro

Paralelogramo

A = bh b es la longitud de la base y h es la altura.

Trapezoide

b 1 y b 2 son las longitudes de los lados paralelos y hla distancia (altura) entre las paralelas.

Círculo A = πr 2 r es el radio.

Volumen

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Forma Fórmula Variables

Cubo V = s 3 s es la longitud del lado.

Prisma rectangular recto V = LWH L es la longitud, W es el ancho y H es la altura.

Prisma o cilindro V = Ah A es el área de la base, hes la altura .

Pirámide o cono

A es el área de la base, hes la altura.

Esfera

r es el radio.

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN:

TEMA 1 PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN

SER SABER SABER HACER

ANALÍTICO CREATIVO SISTEMÁTICO AUTÓNOMO RESPONSABLE CRÍTICO TRABAJO COLABORATIVO

DEFINIR EL CONCEPTO DE PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN. IDENTIFICAR FIGURAS, CUERPOS GEOMÉTRICOS Y SUS ELEMENTOS. EXPLICAR FÓRMULAS DE PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN.

REPRESENTAR GRÁFICAMENTE PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN. DETERMINAR PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN DE FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS. RESOLVER PROBLEMAS RELACIONADOS CON FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS DEL ENTORNO EN QUE SE DESENVUELVE.

AU DE SA NA AU DE SA NA AU DE SA NA

ACTIVIDAD 1

REPRESENTA EL ÁREA Y PERÍMETRO DE UN CUADRADO DE 3 M

REPRESENTA EL ÁREA Y PERÍMETRO DE UN RECTÁNGULO DE 3 M DE ALTURA Y UNA

DIAGONAL DE 5√2

REPRESENTA EL ÁREA Y PERÍMETRO DE UN ROMBO DE DIAGONALES 36 Y 24 CM.

REPRESENTA EL ÁREA Y PERÍMETRO DE UN CIRCUNFERENCIA DE RADIO 10.

ENCONTRAR EL DIÁMETRO Y PERÍMETRO DE UN CIRCULO DE ÁREA 28.27M2

DETERMINAR EL DIÁMETRO Y ÁREA DE UN CIRCULO CUYO PERÍMETRO MIDE 188.4 CM.

CALCULAR EL ÁREA DE UN HEXÁGONO QUE TIENE COMO BASE 5.

EXPRESAR EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO EN FUNCIÓN DE SU LADO. ACTIVIDAD 2

REPRESENTAR GRÁFICAMENTE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS Y DETERMINE SU VOLUMEN.

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TEMA 2. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS.

Concepto ¿Qué es Ángulo? El ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común llamado vértice. En otros casos se hace referencia a la abertura que conforman dos lados que parten de ese punto común, o se centran en el giro que da el plano respecto de su origen. Estos conceptos corresponden a la geometría, que es una de las ramas de las matemáticas, pero que encuentran innumerables aplicaciones en muchísimos otros campos, como la ingeniería, la óptica o la astronomía. En todos los casos se hace referencia a un punto en común, con dos líneas que parten desde ese punto y que generan una cierta apertura, representada por un arco. El grado de apertura de esos arcos (y no su extensión) está representado por el ángulo, sin importar cuán lejos o cerca se haga del vértice. El concepto de ángulo, entonces, hace referencia a una magnitud que puede ser analizada y comparada con otras, por lo que existen operaciones entre ellos. Para eso, la medición de los ángulos se hace en grados, minutos, y segundos. Los primeros (representados con el signo °) equivalen a 60 de los segundos (representados con ’), que a su vez equivalen a 60 de los terceros (representados con ’’). La cantidad de grados podrá ascender hasta 360, que es considerado el giro completo. Por poner un ejemplo cotidiano que ejemplifique esto, podemos ver el reloj de agujas: constantemente las agujas están formando ángulos. A las 12 en punto, cuando las dos agujas apuntan exactamente para el mismo lado, el ángulo es de 0°. A las 3 pasa a ser de 90°, a las 6 de 180°, a las 9 de 270°, y en el giro de las 12 de nuevo serán los 360°, y volverá a empezar. En lo que respecta a las operaciones con ángulos, podemos sumarlos entre sí, restarlos entre sí o multiplicarlos y dividirlos por números enteros. Si se sabe que el ángulo está comprendido entre dos semirrectas, se puede decir que siempre podrá trazarse una recta que divida en dos partes iguales al ángulo. Esa recta es denominada la bisectriz, y cualquier punto de esa recta equidista de ambos lados del ángulo. El radián mide el ángulo presentado como central a una circunferencia y su medida es igual a la razón entre la longitud del arco que comprende de dicha circunferencia y la longitud del radio, es decir, mide la cantidad de veces que la longitud del radio cabe en dicho arco. Su símbolo es rad.

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Un grado sexagesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a la tricentésima sexagésima (1/360) parte de una circunferencia. Es la nonagésima (1/90) parte de un ángulo recto.

Tipos de ángulos Son muchísimas las clases de ángulos que se pueden dar en el plano, se indican a continuación algunos ejemplos: Nulo: El ángulo nulo es el que mide 0°, el agudo es el que mide entre 0° y 90°, el recto el que mide 90°, el obtuso el que mide entre 90° y 180°, el cóncavo es el que mide más de 180° y el completo es el de 360°. Suplementario: El ángulo suplementario es el ángulo que le falta a uno existente para sumar 180°, mientras que el complementario es el que le falta para sumar 90°. Adyacentes: Dos ángulos serán adyacentes si están consecutivos con respecto a una recta, y serán opuestos por el vértice si los lados son prolongaciones de los lados de otro ángulo.

Proceso de conversión de unidades de medidas de ángulos. En relación a la conversión de ángulos, es importante recordar que en la calculadora científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudan a la conversión de las Funciones Trigonométricas. Éstas son: Grados sexagesimales (D) (DEG) Radianes (R) (RAD) Gradianes (G) (GRAD) Algunos conceptos básicos del sistema de medición más trabajado, esto es, los grados sexagesimales.

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1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal 1º = 60 minutos = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto) 1′ = 60 segundos = 60” (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo) Ahora bien, si lo que queremos es trabajar, son las equivalencias para ejercitar sobre las conversiones, un buen punto de partida es señalar que: Un ángulo de 180° equivale a π radianes Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes Vale recordar que el número π ≈ 3,14159265359…

Casos particulares Convertir una medida de ángulo expresada como decimal, a grados minutos y segundos. Convertir 18, 4567º a grados, minutos y segundos. En la calculadora científica, la tecla (º ‘ ”)

1. Se toma la parte entera y esos son grados netos, sin duda. Así que vamos contabilizando 18º.

2. Luego tomamos la parte decimal la multiplicamos por 60, para obtener los minutos, así: 0.4567 * 60 = 27.402. De este resultado nuevamente separamos la parte entera, es decir 27, que serán los minutos.

3. Por último tomamos los decimales que no usamos en el paso anterior es decir los 0,402 y los multiplicamos nuevamente por 60, para obtener los segundos. De este modo, obtenemos: 0.402 x 60 = 24.12. De este resultado, nuevamente se toma la parte entera despreciando la decimal.

4. Resultado final: 18, 4567º = 18 º 27 ‘ 24”

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Conversión grados – radianes y viceversa Convertir de radianes a grados, vamos a utilizar la siguiente fórmula:

Ejemplo: si te piden convertir 4,36 radianes a grados, la operación será: 180 (4,36) y luego dividido por 3,1416. El resultado será 249,8090145, que convertido serán 249º 48’32”.

Convertir de grados a radianes, vamos a utilizar la siguiente fórmula: Ejemplo: si te piden convertir 44º 47 ‘ a radianes, razonarás así:

60′ = 1º 47′ = x Resolviendo esa regla de tres simple, obtienes x = 0,783333 que son los minutos expresados en grados, para sumarlos a los 44 que ya tienes y poder usar la fórmula anterior. Entonces: harás 3,1416 * ( 44, 783333) dividido 180 y obtendrás 0,78 radianes.

Ángulos entre paralelas

Los ángulos entre paralelas, en geometría euclidiana, son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Estableciendo una relación a distancia entre estos ángulos, esta relación facilita estudiar diversos problemas mediante igualdad de ángulos y ángulos suplementarios.

Ángulos alternos Son los que se sitúan a distinto lado de la transversal. Alternos internos Son los que se encuentran a distinto lado de la transversal y en la zona interior de las rectas paralelas. Las parejas de ángulos: c,f; d,e se llaman ángulos alternos internos. Los ángulos alternos internos son congruentes.

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Alternos externos Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas. Las parejas de ángulos: a,h; b,g se llaman ángulos alternos externos. Los ángulos alternos externos son congruentes. Ángulos colaterales Ángulos colaterales son los que se encuentran del mismo lado de la secante Ángulos colaterales internos Los ángulos colaterales internos o conjugados internos son los que se encuentran del mismo lado de la secante y entre de las rectas. Son ángulos colaterales internos los siguientes ángulos: c,e; d,f. Los ángulos colaterales internos son suplementarios. (Suman 180°) Ángulos colaterales externos Los ángulos colaterales externos o conjugados externos son los que se encuentran al mismo lado de la secante y en la parte exterior de las paralelas. Son ángulos colaterales externos los siguientes ángulos: a,g; b,h. Los ángulos colaterales externos son suplementarios. (Suman 180°) Ángulos congruentes entre paralelas Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que son adyacentes.

Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal Si intersectamos dos rectas paralelas por una transversal, obtendremos 8 ángulos, 4 en cada punto de intersección. Ángulos correspondientes Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal son los ángulos que se ubican en las esquinas correspondientes y valen lo mismo.

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Ángulos alternos externos

Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Son iguales entre sí; es decir miden lo mismo. Ángulos alternos internos

Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Son iguales entre sí; es decir miden lo mismo.

Triángulo Se llama triángulo, en geometría plana, al polígono de tres lados. Los puntos comunes a cada par de lados se denominan vértices del triángulo. Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres pares congruentes de ángulos exteriores, tres lados y tres vértices entre otros elementos. Elementos Vértices. Cada uno de los puntos que determinan un triángulo. Tal como los vértices de un polígono, suelen ser denotados por letras latinas mayúsculas: A,B,C, Si AB+BC=AC no existe triángulo que determine A,B y C. Un triángulo se nombra, entonces, como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices. Lados. Cada par de vértices determina un segmento, que se conoce como lado del triángulo. No interesa el orden de los vértices para nombrar un lado de modo AB, BA nombran a un mismo lado. Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC. Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: a para BC, b para AC, c para AB. La suma de los lados de un triángulo se conoce como perímetro, denotado por la ecuación P=2s=AB+BC+CA

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Ángulos. Cada par de lados con origen común el vértice de un triángulo y que contienen dos de esos lados concurrentes se llama ángulo del triángulo u -ocasionalmente- ángulo interior- La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ prolongados y que

concurren en el extremo O es . También es posible utilizar una letra minúscula -habitualmente una letra griega- coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en el ejemplo se pueden observar los ángulos:

EL ángulo cuyo vértice coincide con uno de los vértices del triángulo y sus lados: son la prolongación de un lado triangular y el otro lado angular contiene a un lado triangular, se llama ángulo externo. En cada vértice triangular hay dos ángulos externos.

Clasificación de los triángulos Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por la medida de sus lados, todo triángulo se clasifica en:

Triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo tienen una misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados o π /3 radianes). Triángulo isósceles, tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales). Un triángulo es isósceles cuando tiene dos lados iguales; esto no descarta que los tres lados sean iguales, de modo que todo triángulo equilátero sea isósceles, pero no se cumple el enunciado recíproco. Sea el triángulo ABC isósceles, donde b = c entonces los ángulos opuestos son iguales, B = C. También se cumple que B' = C' siendo estos los ángulos externos. Además se cumplen las igualdades A + 2B = A +2C = 180º; A' + 2B' = A' + 2C' = 360º; A' = 2C = 2B; B'=C'=A+B= A+C

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Triángulo escaleno, Todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Por la amplitud de sus ángulos

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa. Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto (90°). Por ello, los

triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos. Cualquier triángulo o bien es rectángulo o bien oblicuángulo. Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°). Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.

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ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN: TEMA 2 ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

SER SABER SABER HACER

ANALÍTICO CREATIVO SISTEMÁTICO AUTÓNOMO RESPONSABLE CRÍTICO TRABAJO COLABORATIVO

DEFINIR EL CONCEPTO DE ÁNGULO Y SUS UNIDADES DE MEDIDA: GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES. IDENTIFICAR LOS TIPOS DE ÁNGULOS IDENTIFICAR LAS PROPIEDADES DE ÁNGULOS

TRAZAR ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS. REALIZAR CONVERSIONES ENTRE UNIDADES DE MEDIDA DE ÁNGULOS. OBTENER ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS EMPLEANDO SUS PROPIEDADES

AU DE SA NA AU DE SA NA AU DE SA NA

ACTIVIDAD 3

TRAZAR TRIÁNGULOS CON SUS ÁNGULOS CON BASE A SUS PROPIEDADES, REALIZANDO CONVERSIONES ENTRE UNIDADES DE MEDIDA DE ÁNGULOS.

TEMA 3. TRIGONOMETRÍA

Teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras relaciona los lados de un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es el triángulo que tiene un ángulo recto (90° ). A los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y al lado restante hipotenusa. Pues bien, el teorema de Pitágoras relaciona la hipotenusa con sus dos catetos. Vamos ahora a descubrir esta relación.

Imaginemos un triángulo rectángulo, por ejemplo de catetos 3 y 4 cm y con una hipotenusa de 5 cm, y dibujamos un cuadrado sobre cada uno de sus lados. Nos queda una figura así: Pues bien, lo sorprendente es que el cuadrado de la hipotenusa tiene la misma área que los otros dos cuadrados juntos. En nuestra imagen de muestra podemos comprobarlo sumando la cantidad de cuadraditos que conforman cada cuadrado, pues, el cuadrado de la hipotenusa está formado por 25 cuadraditos, que es igual a los 16+9=25 cuadraditos de los otros dos cuadrados.

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Estos valores no son más que el área de cada cuadrado, que se calcula

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esta relación se conoce con el nombre de teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras cuenta con una infinidad de demostraciones diferentes, de hecho el matemático estadounidense Elisha Scott Loomis publicó el libro "The Pythagorean Proposition" en 1927 con 370 demostraciones diferentes. Loomis clasifica las demostraciones en cuatro apartados: las algebraicas, donde se relacionan los lados del triángulo; geométricas, en las que se comparan áreas; dinámicas, a través de las propiedades de fuerza y masa; y las cuaterniónicas, que usan los vectores. En esta unidad solamente haremos una demostración geométrica.

Funciones Trigonométricas En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones. Conceptos generales

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

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Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de

este triángulo rectángulo que se usará en el sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo α

El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo α

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

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5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

Razones trigonométricas de ángulos notables

Identidades Trigonométricas

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Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

Ley de senos y ley de cosenos La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces .

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Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.

Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluído (AAL). Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes. El tercer ángulo del triángulo es

C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130° Por la ley de los senos,

Por las propiedades de las proporciones

Ejemplo 2: Dado dos ángulos y un lado incluido (ALA). Dado A = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados faltantes. El tercer ángulo del triángulo es: C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63° Por la ley de los senos,

Por las propiedades de las proporciones

y El caso ambiguo Si dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos es dado, tres posibilidades pueden ocurrir. (1) No existe tal triángulo. (2) Dos triángulos diferentes existen. (3) Exactamente un triángulo existe.

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Considere un triángulo en el cual se le da a, b y A . (La altitud h del vértice B al lado , por la definición de los senos es igual a b sin A .) (1) No existe tal triángulo si A es agudo y a < h o A es obtuso y a ≤ b.

(2) Dos triángulos diferentes existen si A es agudo y h < a < b.

(3) En cualquier otro caso, exactamente un triángulo existe.

Ejemplo 1: No existe solución Dado a = 15, b = 25 y A = 80°. Encuentre los otros ángulos y el lado. h = b sin A = 25 sin 80° ≈ 24.6 Dese cuenta que a < h. Así parece que no hay solución. Verifique esto usando la ley de los senos.

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Esto contrae el hecho de que –1 ≤ sin B ≤ 1. Por lo tanto, no existe el triángulo. Ejemplo 2: Dos soluciones existentes Dado a = 6. b = 7 y A = 30°. Encuentre los otros ángulos y el lado. h = b sin A = 7 sin 30° = 3.5 h < a < b por lo tanto, hay dos triángulos posibles.

Por la ley de lo senos,

Hay dos ángulos entre 0° y 180° cuyo seno es aproximadamente 0.5833, 35.69° y 144.31°. Si B ≈ 35.69° Si B ≈ 144.31° C ≈180° – 30° – 35.69° ≈ 114.31° C ≈ 180° – 30° – 144.31° ≈ 5.69°

Ejemplo 3: Una solución existente Dado a = 22, b =12 y A = 40°. Encuentre los otros ángulos y el lado. a > b

Por la ley de lo senos,

B es agudo. C ≈ 180° – 40° – 20.52° ≈ 119.48° Por la ley de lo senos,

Si se nos dan dos lados y un ángulo incluido de un triángulo o si se nos dan 3 lados de un triángulo, no podemos usar la ley de los senos porque no podemos establecer ninguna

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proporción donde información suficiente sea conocida. En estos dos casos debemos usar la ley de los cosenos. La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse. La ley de los cosenos establece: c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C . Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos. La ley de los cosenos también puede establecerse como b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A . Ejemplo 1: Dos lados y el ángulo incluido-LAL Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes.

Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.

Ejemplo 2: Tres lados-LLL Dado a = 8, b = 19 y c = 14. Encuentre las medidas de los ángulos. Es mejor encontrar el ángulo opuesto al lado más grande primero. En este caso, ese es el lado b.

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Ya que el cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. B ≈ 116.80° Ya que B es un ángulo obtuso y un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso, sabemos que el ángulo A y el ángulo C ambos son agudos. Para encontrar los otros dos ángulos, es más sencillo usar la ley de los senos.

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN:

TEMA 3 TRIGONOMETRÍA

SER SABER SABER HACER

ANALÍTICO CREATIVO SISTEMÁTICO AUTÓNOMO RESPONSABLE CRÍTICO TRABAJO COLABORATIVO

EXPLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS. EXPLICAR LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. EXPLICAR LA LEY DE SENOS Y LA LEY DE COSENOS. EXPLICAR LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS: - RECÍPROCAS - COCIENTE - PITAGÓRICAS

RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS UTILIZANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS UTILIZANDO LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS. RESOLVER PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS RELACIONADOS CON EL ENTORNO EN QUE SE DESENVUELVE. DEMOSTRAR IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

AU DE SA NA AU DE SA NA AU DE SA NA

ACTIVIDAD 4

RESOLVER TRIÁNGULOS CON BASE A SUS PROPIEDADES TRIGONOMÉTRICAS.

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2° UNIDAD GEOMETRÍA ANALÍTICA

El alumno resolverá problemas de rectas y cónicas en el plano cartesiano para contribuir a la interpretación y solución de problemas de su entorno.

TEMA 1. LA RECTA EN EL SISTEMA CARTESIANO.

Identificar los elementos y caracteristicas del plano cartesiano. Elementos que componen el plano cartesiano El plano cartesiano está determinado por dos rectas perpendiculares a las que se les llama eje de coordenadas. La recta horizontal se llama eje de las equis o eje de las abscisas y la recta vertical ejes de la y o eje de las ordenadas. Cada uno de estos ejes es una recta numérica, en el eje X los positivos están a la derecha del cero mientras en el eje de la Y los positivos se encuentran en la parte superior. El punto de corte de los ejes se llama origen. El uso del plano cartesiano es muy común en las matemáticas ya que nos ayuda a representar números, puntos, ecuaciones, su comportamiento y poder ver la forma que toman. Aunque se ve bastante simple es esencial en su respectiva área, por lo que vale la pena saber cada uno de los elementos que lo forman. Éste fue desarrollado hace cientos de años y si tiene este nombre, es porque Rene Descartes, destacado matemático francés, lo llevo hasta lo que conocemos ahora. Elementos del plano cartesiano. Los ejes. Los principales elementos son los ejes que se ven a simple vista y que le dan forma al plano. Tenemos el eje X, el cual es la linea horizontal, y el eje Y, el cual es la linea vertical. Estas líneas se cruzan en un punto llamado el origen, que sirve como referencia cuando se buscan un número. Una de las características que tienen los ejes o las lineas que los representan son las flechas que tienen en cada extremo. Éstas sirven para indicar que el plano cartesiano se extiende infinitamente en todas las direcciones, tanto positivas como negativas. Coordenadas. Las coordenadas son un par de números que se utilizan para ubicar un punto en el plano. Se representan con una X y una Y dentro de unos paréntesis, indicando la cantidad de puntos que hay que desplazarse sobre cada eje: (x,y). También se conocen como pares ordenados y se pueden indicar coordenadas positivas y negativas, yendo a la derecha y arriba los positivos, mientras que los negativos irían a la izquierda y abajo. Cuadrantes. El plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes, donde se representa la continuidad de éste hasta el infinito incluyendo todas las combinaciones de coordenadas posibles.

Cuadrante I. (x,y) Cuadrante II. (-x,y) Cuadrante III. (-x,-y) Cuadrante IV. (-x,y)

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Si un número está al menos en uno de los ejes, su valor será cero, dependiendo si es el horizontal o el vertical. Simple y útil. Desde la antigüedad ha ayudado a representar gráficamente lo que estudian las matemáticas, desde un pequeño punto hasta los conceptos algebraicos más complejos, todo tiene cabida en el plano cartesiano, cualquier tipo de número, desde los reales hasta los imaginarios. Cualquier estudiante puede notar lo sencillo y difícil que es a la vez, porque se puede empezar con cualquier punto y después pasar a representar rectas, parábolas, hipérbolas o cualquier otra función. En la actualidad se utilizan diferentes sistemas que de alguna forma u otra toman algo del modelo de Descartes. Se ha agregado profundidad con la inclusión del eje z y aunque es un pequeño cambio, modifica completamente la dimensión con la que se visualizan las matemáticas, ya que se agregan más elementos, más signos y se da un rango de movimiento más amplio para otro tipo de funciones y ecuaciones.

Definir conceptos de:

Puntos en el plano Un punto en el plano se localiza con una pareja ordenada de valores (x, y) llamados coordenadas, donde x es la primera componente y y la segunda. La primera componente (x) se localiza en el eje de las abscisas, y la segunda (y) en el eje de las ordenadas. Al trazar las perpendiculares de cada uno de los ejes desde esos puntos, las líneas resultantes se intersecan en un punto que es el lugar buscado. Si se tiene el par ordenado A (6, 2) y se localiza en el plano, la primera componente (6) se localiza en el eje de las abscisas y la segunda (2) en el eje de las ordenadas; al trazar la perpendicular de los ejes coordenados desde esos puntos se encuentra su intersección, que es la coordenada A (6, 2). En el par ordenado B (-7, 4) se puede observar que el valor de x es negativo y el de y es positivo, por lo que tal punto se localiza en el segundo cuadrante. Si el punto a localizar es C (--5, -2), el punto estará en el tercer cuadrante y si es D (8, -3), estará en el cuarto cuadrante. Cuando la abscisa del par ordenado es 0, por ejemplo M (0, 5), el punto se localiza sobre el eje de las y. Y si la ordenada es 0, por ejemplo N (-7, 0) el punto se localiza en el eje de las x.

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En ocasiones es necesario identificar las coordenadas de un punto observando su localización con respecto al origen. Por ejemplo:

El punto A se localiza en la intersección de las perpendiculares del eje de las abscisas en el punto 6 y del eje de las ordenadas en el 3; por lo tanto, sus coordenadas son (6, 3). El punto B se localiza en la intersección de las perpendiculares del eje de las abscisas en el punto -2 y del eje de las ordenadas en el -4, por lo tanto, sus coordenadas son (-2, -4). En el plano cartesiano es posible representar expresiones algébricas y su uso abarca no sólo aspectos estrictamente matemáticos sino también relativos a otras ramas de la ciencia.

La recta. Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x. Si una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2,y2), entonces su pendiente (m) está dada por: m=y2-y1/x2-x1

Definición de una recta. En geometría una línea recta es aquella que une dos puntos ubicados en un plano, siendo una sucesión ordenada de puntos ininterrumpidos. Es uno de los elementos geométricos básicos y fundamentales. Distancia entre dos puntos. Sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano. Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el

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eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1 ) . Ejemplo: La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1 P2 y emplear el Teorema de Pitágoras. Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos P1 (7, 5) y P2 (4, 1)

Cómo encontrar el punto medio de un segmento de línea. Encontrar el punto medio de un segmento de recta es sencillo siempre y cuando conozcas las coordenadas de ambos extremos. La manera más común de hacer esto es utilizando la fórmula del punto medio, pero existe otra forma de encontrar el punto medio de un segmento de recta si es vertical u horizontal. Si quieres saber cómo encontrar el punto medio de un segmento de recta en unos cuantos minutos, sigue estos pasos. Entiende el punto medio. El punto medio de un segmento de recta es el punto que se encuentra localizado exactamente a la mitad de dos puntos. Se trata del promedio de ambos puntos, el cual es el promedio de las dos coordenadas x y de las dos coordenadas y. Conoce la fórmula del punto medio. La fórmula del punto medio puede utilizarse al sumar las coordenadas x de los dos puntos extremos y dividiendo el resultado entre dos y luego haciendo lo mismo con las coordenadas y. Así es como se encuentra el promedio de las coordenadas x y y. Ésta es la fórmula: [(x1 + x2)/2,( y1 + y2)/2] Localiza las coordenadas de los puntos extremos. No puedas utilizar la fórmula del punto medio sin conocer las coordenadas x y y de los puntos extremos. Para este ejemplo queremos encontrar el punto medio, punto O, el cual se encuentra en medio de los dos puntos extremos M (5,4) y N (3,-4). Tenemos que (x1, y1) = (5, 4) and (x2, y2) = (3, -4). Observa que cualquiera de los dos pares de coordenadas puede servir como (x1, y1) o como (x2, y2). Ya que solo estarás sumando y dividiendo entre dos, no importa cuál par coloques primero.

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Introduce las coordenadas correspondientes en la fórmula. Ahora que conoces las coordenadas de los puntos extremos, puedes colocarlos en la fórmula. Así es como se hace: [(5 + 3)/2, (4 + -4)/2] Resuelve. Una vez que hayas introducido las coordenadas en la fórmula, todo lo que debes hacer es una operación aritmética que te dará como resultado el punto medio entre dos puntos. Así es como se hace: [(5 + 3)/2, (4 + -4)/2] = [(8/2), (0/2)] = (4, 0) El punto medio entre los puntos (5,4) y (3, -4) es (4,0).

División de un segmento en una razón dada. El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas. La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuántas veces la una contiene a la otra. Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos. Consideramos como el proceso de “Dividir un segmento en una razón dada” aquel el cual consiste en determinar una posición (P) del elemento en cual se encuentra el (Segmento) dado entre dos puntos (A)y (B), de tal manera que el segmento (AP) dividido entre el segmento (PB) da como resultado la razón.

Ahora, para obtener las coordenadas de un punto 'P', que divida a un segmento en una razón dada, se sigue las siguientes fórmulas:

El valor de x2 se multiplica por la razón y se divide entre la suma de 1 más la razón. Así, se obtiene la abscisa del punto 'P'. La ordenada, se obtiene de manera análoga.

Distancia de un punto a una recta. Ax+By+C=0 Ecuación General de la recta. Y=Mx+b Ecuación Ordinaria de la recta. 𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1 Ecuación Simétrica

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𝑑 =𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶

√𝐴2+𝐵2 Formula General

En Geometría euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese punto y un punto de una línea o recta. Sean A un punto y D una recta. Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima entre A y un punto M de D. Calcular la distancia que existe entre el punto A(4,3) y la recta 3x+2y-6=0

𝑑 =3𝑥+2𝑦−6

√32+22 =

3𝑥+2𝑦−6

√9+4 =

3𝑥+2𝑦−6

3.6 =

3.4+2.3−6

3.6=

12+6−6

3.6 =

12

3.6 =3.3

Pendiente de una Recta. Es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Se denota con la letra m. Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.

Cálculo de la pendiente.

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Pendiente dada la ecuación de la recta.

Ejemplos La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es: La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya que la división por 0 no está definida.

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La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta tangente La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Ángulo entre dos rectas. Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de: Sus vectores directores

Rectas paralelas al eje OY

Ejemplos Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son: vector= (-2, 1) y vector=(2, -3).

Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my - 8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.

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Formas de la ecuación de la recta. Hasta el momento, se han dado algunas características de la recta tales como la distancia entre dos puntos, su pendiente, su ángulo de inclinación, relación entre ellas, etc. Con ello ya tenemos elementos que nos servirán para la obtención de la ecuación en sus distintas formas. La recta se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que al tomarse de dos en dos se obtiene la misma pendiente. Forma ordinaria de la ecuación de una recta. La ecuación de la recta se expresa en términos de la pendiente m y la ordenada al origen b. Si la pendiente m, (la cual representa la inclinación de la recta) es positiva obtendremos una gráfica como la de la figura (A) y si m es negativa obtendremos una gráfica como la de la figura (B), cabe mencionar que (b) representa el valor de la ordenada (y), donde la recta intersecta al eje y.

Forma general de la ecuación de una recta. En esta forma, la ecuación de la recta se representa por coeficientes enteros y debe ser igualada a cero, su forma simbólica es:

Nota: Cuando la ecuación se presente en ésta forma, el termino A deberá ser positivo. Donde A, B y C son los coeficientes de la ecuación, x e y son las variables. Forma punto - pendiente de la ecuación de una recta. Una de las primeras formas de representar la ecuación de una recta es la llamada punto - pendiente, como su nombre lo indica, los datos que se tienen son un punto y una pendiente. Sea A(x1, y1) el punto dado y m la pendiente dada de la recta, entonces si consideramos otro punto cualquiera B(x, y), que forme parte de dicha recta, por la definición de recta se tiene que:

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Ejemplos resueltos. Ejemplo 1. Hallar la ecuación ordinaria de la recta que pasa por el punto A(-5, 4) y tiene una pendiente de m =2.

Ejemplo 2. Hallar la ecuación ordinaria de la recta que pasa por el punto A(-2, 5) y tiene una pendiente de m =3 / 2. Ecuación de la recta en su forma simétrica. La ecuación de una recta en su forma simétrica es aquella que está dada en términos de las distancias de los puntos de intersección de la recta al origen del sistema coordenado, como se muestra en la siguiente figura. Cabe recordar que en una coordenada (x, y), x recibe el nombre de abscisa, y recibe el nombre de ordenada. De acuerdo a la figura la ordenada al origen es “b” (distancia entre el origen y el punto de intersección de la recta con el eje y). La abscisa al origen es “a” (distancia entre el origen y el punto de intersección de la recta con el eje x). Si A(a, 0) y B(0, b) son dos puntos de la recta, al sustituirlos en la ecuación en su forma punto-punto tenemos que:

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Ejemplos resueltos. Ejemplo 1. Hallar la ecuación simétrica de la recta cuya abscisa al origen es -3 y la ordenada al origen es 4. Cabe recordar que la abscisa al origen es el punto de intersección de la recta con el eje x y la ordenada al origen es el punto de intersección de la recta con el eje y. Entonces a= -3 y b= 4 Sustituyendo en la ecuación de la forma simétrica tendríamos que: Ejemplo 2. Hallar la ecuación simétrica de la recta cuya ecuación general es: 2x -3y+12=0 Para obtener la ecuación simétrica, lo que debemos hacer es que el término independiente sea igual a 1. 2x -3y = -12 Dividimos entre -12 toda la ecuación.

Ecuación de la recta La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha). La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta. El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta. Para comprender este proceder es como si la misma línea solo se cambia de ropa para que sepan de su existencia pero expresada en términos matemáticos (como una ecuación). Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado. Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la línea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta. Ecuación general de la recta. Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano) , con abscisas (x) y ordenadas (y). Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 Que también puede escribirse como ax + by + c = 0 y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:

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Teorema La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números

reales ( ); y en qué A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta. Ecuación principal de la recta. Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta. Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente: Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa (horizontal) e y el valor de la ordenada (vertical).

(x, y) = (Abscisa, Ordenada) Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5. Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación. Ejemplo: El punto (7,2) satisface la ecuación y = x – 5 , ya que al reemplazar queda 2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero. Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula

y = mx + n Que considera las siguientes variables: un punto (x,y), la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada ( n ), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada). Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente (m) y el punto de intercepción (n) (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y). Respecto a esto, en el gráfico de arriba, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y). Forma simplificada de la ecuación de la recta. Si se conoce la pendiente m , y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es ( 0, b ) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma

y − y 1 = m(x − x 1 ) y – b = m(x – 0)

y – b = mx y = mx + b

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Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b (no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada. Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7). Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto. Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto, la b corresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y ). Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10. Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b. Usamos la información que tenemos: m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación y = 3x + 10. La ecuación que se pide es y = 3x + 10 . Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general: y – 3x – 10 = 0 , la cual amplificamos por –1, quedando como – y + 3x + 10 = 0 , que luego ordenamos, para quedar 3x – y + 10 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5. Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b. Usamos a información: m = – 5 y sustituimos en la ecuación: y = – 5x + b Ahora tenemos que buscar la b ; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2) , por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – 5 (1) + b Despejamos la variable b en: 2 = – 5 (1) + b 2 = – 5 + b 2 + 5 = b b = 7 Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = – 5x + 7 La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = – 5x + 7. La cual también podemos expresar en su forma general: y = – 5x + 7 y + 5x – 7 = 0 La cual ordenamos y queda 5x + y – 7 = 0

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Ahora, observemos el gráfico de arriba: Cuando se tienen dos puntos de una recta P1 (x1,y1 ) y P2 (x2,y2 ) , la pendiente, que es siempre constante , queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula

Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta, con la fórmula: y – y 1 = m(x – x 1 ) Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos. Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P1= (x1 , y1) y tiene la pendiente dada m, se establece de la siguiente manera: y – y 1 = m(x – x 1 ) Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de – 1/3 Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente: y – y 1 = m(x – x 1 ) y – (–4) = – 1/3(x – 2) 3(y + 4) = –1(x – 2) 3y + 12 = –x + 2 3y +12 + x – 2 = 0 3y + x + 10 = 0 x + 3y + 10 = 0 Volviendo a la ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0) , en ella la pendiente ( m ) y el coeficiente de posición ( n ) quedan determinados por:

Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 6y + 3 = 0?

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean P(x 1 , y 1 ) y Q(x 2 , y 2 ) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación. Para ello tomemos un tercer punto R(x, y) , también perteneciente a la recta. Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente.

y La ecuación de la recta que pasa por dos puntos es: que también se puede expresar como

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Ejemplo 1: Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)

Ejemplo 2: Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P 1 (4, 3) y P 2 (–3, –2) Sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

Reemplazamos los valores:

Que se corresponde con una ecuación de la forma general Donde A = 5 B = 7 C = 1 Ecuación de la recta dados punto–pendiente (se conoce un punto y se conoce la pendiente) Por lo ya visto, y por los ejemplos anteriores, sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por

Pero

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Luego, si reemplazamos en la ecuación anterior obtenemos

Despejando, llegamos a: y – y 1 = m(x – x1) Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta de pendiente –4 y que pasa por el punto (5, –3) y – y 1 = m(x – x 1 ) y – (–3) = –4(x – 5) y + 3 = –4x + 20 y = –4x + 20 –3 y = –4x +17 Luego la ecuación pedida es 4x + y – 17 = 0. Ejercicios para obtener la ecuación general de la recta dados un punto y la pendiente Recuerde que la fórmula inicial es y – y 1 = m(x – x 1 ) 1. m = –1; punto (–2, 3)

y – 3 = –1(x + 2) y – 3 = –x – 2 x + y – 1 = 0

2. m = 2; punto (–3/2, –1) y + 1 = 2(x + 3/2) y + 1 = 2x + 3 – 2x + y – 2 = 0 2x – y + 2 = 0

3. m = 0; punto (–3, 0) y – 0 = 0(x + 3) y = 0

4. m= –4; punto (2/3, –2) y + 2 = –4(x – 2/3) y + 2 = –4x + 8/3 y +2 – 4x –8/3 = 0 y – 2/3 – 4x = 0 4x – y + 2/3 = 0

5. m = –2/5; punto (1,4) y – 4 = 1(x – 1) y – 4 = x – 1 y – 4 – x + 1 = 0 y – 3 – x = 0 x – y + 3 = 0

6. m = 3/4; punto (2,5, –3) y + 3 = ¾(x – 2,5)

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y + 3 = 3/4x – 15/8 y + 3 – 3/4x +15/8 = 0 y + 39/8 – 3/4x = 0 3/4x – y – 39/8 = 0

7. m = ind; punto (0,5) y – 5 = (x – 5) y – 5 – x + 5 = 0 y – x = 0 x – y = 0

8. m = 0; punto (–4, 1/2) y – ½ = (x + 4) y – ½ – x – 4 = 0 y – 9/2 – x = 0 x – y + 9/2 = 0

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN:

TEMA 1 LA RECTA EN EL SISTEMA CARTESIANO

SER SABER SABER HACER

ANALÍTICO CREATIVO SISTEMÁTICO AUTÓNOMO RESPONSABLE CRÍTICO TRABAJO COLABORATIVO

IDENTIFICAR LOS ELEMENTOS Y CARACTERÍSTICAS DE UN PLANO CARTESIANO.

OBTENER LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS, EL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA, LA DIVISIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA EN UNA RAZÓN DADA, LA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA, EL ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Y LA PENDIENTE DE UNA RECTA. REPRESENTAR EN EL PLANO CARTESIANO EL PUNTO, EL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA, LA DIVISIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA EN UNA RAZÓN DADA Y EL ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS. OBTENER LA ECUACIÓN DE LA RECTA. REPRESENTAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN SUS DIFERENTES FORMAS.

AU DE SA NA AU DE SA NA AU DE SA NA

ACTIVIDAD 5

EJERCICIOS DE LA RECTA EN EL SISTEMA CARTESIANO.

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TEMA 2. LAS CÓNICAS.

Conceptos La palabra cónica viene de cono. Se llama cónica (o sección cónica) a las curvas resultantes de la intersección del cono y un plano. Este plano no debe pasar por el vértice (V).

Tipos de cónicas Existen cuatro tipos de cónicas, según el ángulo del plano que intersecta con el cono y su base: Circunferencia: es la intersección del cono con un plano paralelo a la base. Elipse: intersección del cono con un plano oblicuo a la base y que no la corta en ningún momento. Parábola: es la intersección del cono con un plano paralelo a su generatriz y que corta a la base. Hipérbola: es la intersección de un cono recto y un plano cuyo ángulo es menor al de la generatriz del cono.

Circunferencia La circunferencia es una figura geométrica cuyos puntos están a una distancia constante, llamada radio (r), del centro (C). La superficie plana

comprendida dentro de una circunferencia es el círculo. También es un tipo de cónica, obteniéndose como la intersección de un cono y un plano paralelo a la base de éste. Elementos de la circunferencia Los principales elementos de la circunferencia son:

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Centro: el centro C es el punto interior que está a una distancia r de todos los puntos de la circunferencia

Radio: es el segmento r que une el centro (C) de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

Diámetro: segmento D que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro (C). Su longitud es el doble que la del radio.

Cuerda: es un segmento K que une dos puntos de la circunferencia sin necesidad de pasar por el centro.

Arco: es la parte de la circunferencia que queda entre los dos extremos de una cuerda (a).

Ángulo central: es el ángulo entre dos segmentos que van del centro a dos puntos de la circunferencia (α)

Punto interior: punto que está dentro de la circunferencia (I), encontrándose a una distancia del centro menor que r.

Punto exterior: puntos que están fuera de la circunferencia (E), es decir, a una distancia del centro mayor que r.

Arco capaz: lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ven los extremos de una cuerda bajo un mismo ángulo. Este ángulo es la mitad del ángulo central que abarca dicha cuerda.

Ecuación de la circunferencia Los puntos de la circunferencia (x,y) son aquellos que cumplen la ecuación:

Esta ecuación reúne todos los puntos (x,y) que están a una distancia r del centro C. En el caso particular de la circunferencia de centro (0,0), su ecuación viene dada por:

Ecuación paramétrica de la circunferencia Los puntos (x,y) de la circunferencia también se pueden expresar a partir del ángulo (θ) del punto a través de la circunferencia respecto al eje de coordenadas x, mediante la ecuación paramétrica. El ángulo se puede expresar radianes (θ∈[0,2π]) o grados sexagesimales (θ∈[0º,360º]).

Es decir, la fórmula reducida de la ecuación paramétrica es:

Longitud de la circunferencia La longitud de la circunferencia es igual a dos veces el radio (r) por π, o lo que es lo mismo, el diámetro (D) de la circunferencia por π.

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El concepto “longitud de la circunferencia” es igual al del “perímetro del círculo” y miden lo mismo.

Área de la circunferencia La circunferencia no tiene área. La circunferencia es el perímetro del círculo. En todo caso, existe el área comprendida dentro de la circunferencia, o lo que es lo mismo, el área del círculo. La fórmula de ésta es:

Elipse La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante. Es decir, para todo punto P de la elipse, la suma de las distancia d1 y d2 es constante. Una elipse se puede definir también como la intersección entre un cono recto y un

plano oblicuo que no pase por su base. También podemos definir la elipse como una cónica, consecuencia de la intersección de un cono con un plano oblicuo que no corta la base. Elementos de una elipse Los elementos más importante de la elipse son:

Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que generan la elipse. La suma de las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d1 y d2) es constante.

Distancia focal (2c): distancia entre los dos focos. F1F2=2c. c es la semidistancia focal.

Centro: es el punto medio de los dos focos (O).

Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor (o igual en el caso de la circunferencia) a la del semieje menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor:

Como vemos en el dibujo, esta relación cumple el teorema de Pitágoras.

Radios vectores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los dos segmentos que lo unen con los dos focos. PF1 y PF2 (en el dibujo, d1 y d2).

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Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos, F1F2, y su perpendicular que pasa por el centro. Es decir, son los puntos I, J, K y L

Ecuación de una elipse Los puntos pertenecientes a la elipse (x,y) son los puntos del plano que cumplen que la suma de su distancia a los dos focos es constante. La ecuación de la elipse es la siguiente:

En el caso de que la elipse esté centrada (el centro es el punto (0,0)), la ecuación es:

Área de una elipse El área comprendida dentro de una elipse es π veces el producto de los dos semiejes (a y b).

En el caso de que los dos semiejes sean iguales (r=a=b), su fórmula es la misma que el área

comprendida dentro de una circunferencia (o lo que es lo mismo, el área del círculo):

Perímetro de una elipse El cálculo del perímetro de la elipse (o longitud de la elipse) es muy difícil, aunque no lo parezca. Requiere de integrales complicadas para su cálculo. Existen fórmulas que aproximan el cálculo hasta valores bastante exactos. Existe una aproximación con menos del 5% de error, siempre que el semieje mayor (a) no sea mucho más grande que el menor (b):

El matemático Ramanujan dio una aproximación más exacta que la anterior:

Excentricidad de la elipse La excentricidad de una elipse (e) es un valor que determina la forma de la elipse, en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento. Sea c la semidistancia focal y al semieje mayor:

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La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1 (0≤e≤1). Es 0 cuando la elipse es una circunferencia. En este caso los semiejes mayor y menor son iguales y los focos (F1 y F1) coinciden en el centro de la elipse. Cuando la excentricidad crece y tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.

Existe otra fórmula que calcula la excentricidad a partir de los dos semiejes (a y b).

Esta fórmula se obtiene a partir de la anterior ya que se cumple que:

Parábola La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del foco (F) y de una recta denominada directriz. El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que será más o menos abierta según la distancia entre F y la directriz).También puede definirse como la intersección entre un cono recto y un plano paralelo a una generatriz del cono y que pase por la base del mismo. La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una generatriz g de la superficie cónica.

El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que “parecerá” más o menos abierta según sea la distancia entre F y la directriz). Todas las parábolas son semejantes. Su excentricidad es 1 en todos los casos. Solamente varía la escala. Una de las aplicaciones físicas más importantes de la parábola es el movimiento parabólico. Este movimiento se caracteriza porque una partícula o cuerpo sólido lanzado en un campo gravitatorio recorre una trayectoria parabólica.

Una aplicación práctica de la parábola son las antenas parabólicas, en las que todas las rectas paralelas al eje de la parábola se reflejan en el foco de la misma. (Empleado en óptica, antenas de transmisión de radiofrecuencia, estufas domésticas parabólicas, captación de energía solar, etc.)

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Elementos de una parábola Los elementos de la parábola son:

Foco: el foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz.

Directriz: es la recta fija D. Los puntos de la parábola equidistan de la directriz y el foco.

Radio vector: es el segmento R que une el foco con cada uno de los puntos de la parábola. Es igual al segmento perpendicular a la directriz desde el punto correspondiente.

Eje: es la recta E perpendicular a la directriz que pasa por el foco y el vértice. Es el eje de simetría de la parábola.

Parámetro: es el vector p, que va desde el foco al punto más próximo de la directriz. Es importante el signo del parámetro. En las parábolas verticales, cuando el parámetro es positivo la parábola se abre hacia arriba. Cuando p es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Igualmente, en las parábolas horizontales, cuando p es positivo, se abre hacia la derecha y cuando p es negativo, la parábola se abre a la izquierda.

Vértice: es el punto V de la intersección del eje y la parábola.

Distancia focal: distancia entre el foco F y el vértice V. Es igual a p/2.

Puntos interiores y exteriores: la parábola divide el plano en dos regiones. Los puntos que están en la región del foco se llaman puntos interiores (I), mientras que los otros son los exteriores (J).

Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la parábola.

Cuerda focal: una cuerda que pasa por el foco F.

Lado recto: Cuerda focal paralela a la directriz D y, por tanto, perpendicular al eje E. Su longitud es dos veces el parámetro (2p, pues se ven en la figura dos cuadrados unidos iguales de lado p).

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Excentricidad de la parábola La parábola es la única de las cónicas cuya excentricidad es siempre 1. Veamos la figura. Por la misma definición de parábola, su excentricidad siempre es la unidad. De esto deriva que todas las parábolas sean semejantes, variando su apariencia de cerradas o abiertas, según la escala. La ecuación de la parábola depende de si el eje es vertical u horizontal. Si el eje es vertical, la y será la variable dependiente. Si el eje es horizontal, será x la variable dependiente. Ecuación canónica o reducida de la parábola

Consideremos una parábola cuyo eje es el eje de ordenadas, su vértice es el centro de coordenadas V (0, 0) y que está en la parte positiva de las x. En este caso, el foco estará necesariamente en F (p/2,0) . La ecuación de la recta directriz D será x = –p/2. Los radios vectores FP y PM, correspondientes a cualquier punto P de la parábola (que, por definición, son iguales) tendrán la longitud:

Operando y simplificando, obtenemos la ecuación canónica o reducida de la parábola referida a esta configuración:

Si se desplaza paralelamente el eje E al eje de ordenadas y el vértice de la parábola se lleva al punto V (xV,yV), la ecuación de esta parábola ahora será la que se muestra en la imagen. También se muestra la ecuación de la recta directriz D.

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Ecuación canónica o reducida de la parábola, pero ahora con su eje coincidente con el eje de las abscisas, su vértice es el centro de coordenadas V (0,0) y que está en la parte positiva de las y. Si se desplaza paralelamente el eje E al eje de las abscisas y el vértice de la parábola se lleva al punto V (xV,yV), la ecuación de esta parábola ahora será la que se muestra en la imagen.

Análogamente, vemos las expresiones de la ecuación canónica o reducida para las parábolas con ejes coincidentes con el eje de ordenadas o con el eje de abscisas, siempre con el vértice en el origen O (0,0), pero ahora con valores negativos de las x y de las y respectivamente. Se muestra en las dos imágenes siguientes:

Otras ecuaciones de la parábola La ecuación de la parábola con vértice V (xV,yV) y el eje vertical paralelo al eje OY es:

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En la que las constantes tienen el siguiente valor:

Donde a ≠ 0 y b y c son números reales. Lo vemos en la imagen:

La constante a indica lo “abierta” que es la parábola. Cuando el valor de a es menor, la parábola aparecerá más abierta. Dicho de otra manera, la parábola aparecerá más abierta cuando el parámetro p sea mayor. Si la constante a es positiva, el vértice V será el mínimo de la parábola, es decir, se abre hacia arriba. Si la constante a es negativa, el vértice V será máximo de la parábola, o sea, que se abre hacia abajo.

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La ecuación de la parábola con vértice V (xV,yV) y el eje horizontal paralelo al eje OX es:

En la que las constantes tienen el siguiente valor:

La constante a indica lo “abierta” que es la parábola. Cuando el valor de a es menor, la parábola aparecerá más abierta. Dicho de otra manera, la parábola aparecerá más abierta cuando el parámetro p sea mayor. Si la constante a es positiva, la parábola se abre hacia la derecha. Si la constante a es negativa, la parábola se abre hacia la izquierda.

Ecuación general de la parábola Los casos anteriores donde el eje es vertical u horizontal, son casos particulares de la ecuación general de la parábola.

Veamos casos de parábolas en los que sus ejes no son verticales ni horizontales. Es el caso de la parábola inclinada o parábola oblicua.

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En estos cuatro casos su ecuación tiene todos los términos de la ecuación general de la parábola. Se puede comprobar que en las cuatro parábolas se cumplen las dos condiciones de la ecuación general de la parábola, es decir que B2 – 4AC = 0 y que A y C no son nulos al mismo tiempo. Raíces de una parábola Las raíces de una parábola vertical de ecuación son los puntos de la misma de ordenada nula (y = 0), es decir, allí donde la parábola corta al eje de ordenadas OX.

Una parábola vertical puede tener dos raíces, una o ninguna. Como en el corte con OX, y = 0, los puntos de cortes serán las raíces de una ecuación de segundo grado:

Cuyas raíces se hallan por la fórmula:

Donde el binomio que se halla dentro de la raíz cuadrada es el que determina el número de raíces de la parábola.

Los tres casos y la aplicación del criterio se ilustran en estas tres parábolas: Así, en el caso de dos raíces, podemos hacer este desarrollo:

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Por el punto medio de las dos raíces pasará el eje de la parábola, su eje de simetría. El resultado coincide con el hallado para ordenada del vértice de una parábola vertical. Si la parábola vertical tuviese una raíz, la ordenada del vértice será el valor de la misma raíz y, por tanto, la ecuación del eje de la parábola:

A partir de aquí, la ecuación de la parábola vertical se puede expresar también así:

La parábola vertical cortará al eje OY cuando la ordenada sea nula, cuando x = 0.

Vértice de una parábola El vértice de una parábola vertical V es el punto donde la parábola corta a su eje. La ecuación de la parábola vertical se puede expresar de estas dos formas:

Desarrollando el cuadrado del segundo binomio:

De donde obtenemos el coeficiente b y, a partir de él, la ordenada del vértice xV:

Sustituyendo la expresión de la ordenada del vértice xV en la ecuación anterior, desarrollando y simplificando con el común denominador 4a, obtenemos:

El resultado lo vemos en la imagen:

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Tangente a la parábola Las rectas tangente y normal a cualquier punto P de una parábola son

las bisectrices de los ángulos formados por los radios vectores correspondientes a ese punto. De las dos bisectrices, hay que tener en cuenta cuál es la tangente y cuál la normal. Las dos tangentes que pasan por los extremos del lado recto son perpendiculares entre sí y se cortan en la intersección de la directriz con el eje. Con este último forman dos ángulos de 45°.

Ejercicio Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje de las abscisas OY, que pasa por el punto P (4,0) y su vértice está en V (2,-1). Hacer su representación gráfica. Solución: Como el eje de la parábola E es paralelo al eje OY, la ecuación de la parábola será del tipo:

Sustituyendo las coordenadas del vértice en la ecuación:

Sabemos que la parábola pasa por P (4,0), luego:

Ésta es la ecuación buscada. Como la ordenada del vértice es 2, la ecuación del eje de la parábola, paralelo a OY será x = 2. Finalmente, como hemos averiguado el parámetro p = 2, la recta directriz, que es perpendicular al eje E y paralelo al eje de ordenadas OX, estará a p/2 del vértice, luego su ecuación será y = -1 –p/2 = -2.

El resultado del ejercicio lo vemos en la imagen:

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Hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es constante. El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola (2a).

La hipérbola también se puede definir como una cónica, siendo la intersección del cono con un plano que no pase por su vértice y que forme un ángulo con el eje del cono menor que el ángulo que forma con el eje generatriz g del cono. Elementos de la hipérbola Los elementos de la hipérbola son:

Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).

Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.

Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.

Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.

Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso.

Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1 y V2).

Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota como F1F2.

Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.

Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. Los puntos B1 y B2 se generan como vemos en las relaciones entre semiejes. Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal:

Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la hipérbola en el

infinito.

Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos

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contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).

Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto Pi.

Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.

Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D1 y D2). Su distancia a cada una es a/e (e es la excentricidad de la hipérbola). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las asíntotas (A1 y A2).

Ecuación de la hipérbola La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O=(o1,o2) como:

Si la hipérbola tiene su centro en el origen, O=(0,0), su ecuación es:

Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general de la hipérbola:

Siendo A, B, C, D y E escalares (números reales) y necesariamente debe cumplir que los coeficientes de x2 e y2 (A y C) son no nulos y tienen diferente signo.

Ecuación general de las cónicas Las cónicas tienen una fórmula general para definir los puntos (x,y) que la forman. Según las características de los parámetros A, B, C, D y E, definirán cada uno de los cuatro tipos de cónica.

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ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN: TEMA 2 LAS CÓNICAS

SER SABER SABER HACER

ANALÍTICO CREATIVO SISTEMÁTICO AUTÓNOMO RESPONSABLE CRÍTICO TRABAJO COLABORATIVO

DEFINIR LOS CONCEPTOS DE CÓNICAS Y LUGAR GEOMÉTRICO. DEFINIR LOS CONCEPTOS Y ELEMENTOS DE CIRCUNFERENCIA, PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA. EXPLICAR EL PROCESO DE OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CIRCUNFERENCIA, PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA. EXPLICAR LAS FORMAS DE ECUACIONES: - COMÚN - CANÓNICA - GENERAL

REPRESENTAR EN EL PLANO CARTESIANO LOS ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA, LA PARÁBOLA, LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA. OBTENER LAS ECUACIONES DE CIRCUNFERENCIA, PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA DADAS SUS CONDICIONES. REPRESENTAR LAS ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA, PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA EN SUS DIFERENTES FORMAS.

AU DE SA NA

AU DE SA NA AU DE SA NA

ACTIVIDAD 6

Encontrar la ecuación de la circunferencia de los ejercicios.

Obtener los elementos de una parábola dada su ecuación.

3° UNIDAD FUNCIONES

TEMA 1. CONCEPTOS DE FUNCIONES.

Concepto de función. En matemáticas, se dice que una magnitud es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r (el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2). Del mismo modo, la duración T de un viaje en tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que se desplace el tren (la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v). A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la magnitud de la que depende (el radio y la velocidad) es la variable independiente.

Dominio Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente " x".

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Rango Es el conjunto de todos los valores que puede tomar una función, dependiendo de los valores de " x".

Funciones Iguales Dos funciones f(x) y g(x) son iguales si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: Ambas funciones tienen el mismo dominio. Para todo valor de "x" que pertenece al dominio de f(x) y g(x), se cumple que el rango de e f(x) es igual al rango de g(x). En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial: ..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ... Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español. La manera habitual de denotar una función f es: f: A → B a → f(a), Donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

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Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función. Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo. Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s2 recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente y t la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.) Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distintos:

La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información. Cada punto de la curva roja representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos y coordenadas del plano cartesiano. También puede utilizarse una regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por

la expresión: Donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que existe una dependencia entre ambas magnitudes. Una función también puede reflejar la relación de una variable dependiente con varias variables independientes. Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleración constante pero indeterminada a, la distancia recorrida es una función entonces de a y t; en particular,

. Las funciones también se utilizan para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera, no solo los números. Por ejemplo, existe una función que a cada polígono le asigna su número de lados; o una función que a cada día de la semana le asigna el siguiente: Lunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Lunes

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La definición general Función hace referencia a la dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados. Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una asociación f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B. Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final). Un objeto o valor genérico a en el dominio A se denomina la variable independiente; y un objeto genérico b del codominio B es la variable dependiente. También se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente. Esta definición es precisa, aunque en matemáticas se utiliza una definición formal más rigurosa, que construye las funciones como un objeto concreto.

Diagrama de una función, con dominio X = {1, 2, 3} y codominio Y = {A, B, C, D}, el cual es definido por el conjunto de pares ordenados {(1, D), (2, C ), (3, C)}. La imagen / rango es el conjunto {C, D}. Este diagrama, que representa el conjunto de pares {(1, D), (2, B), (2, C)}, no define una función. Una razón es que 2 es el primer elemento en más de un par ordenado, (2, B) y (2, C), de este conjunto. Otras dos razones, también suficientes por sí mismas, es que ni 3 ni 4 son primeros elementos (entrada) de ningún par

ordenado en el mismo. Ejemplos

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Funciones con múltiples variables Existen muchos ejemplos de funciones que «necesitan dos valores» para ser calculadas, como la función «tiempo de viaje» T, que viene dada por el cociente entre la distancia d y la velocidad media v: cada pareja de números reales positivos (una distancia y una velocidad) tiene asociada un número real positivo (el tiempo de viaje). Por tanto, una función puede tener dos (o más) variables independientes. La noción de función de múltiples variables independientes no necesita de una definición específica separada de la de función «ordinaria». La generalidad de la definición anterior, en la que se contempla que el dominio sea un conjunto de objetos matemáticos arbitrarios, permite omitir la especificación de dos (o más) conjuntos de variables independientes, A1 y A2, por ejemplo. En lugar de ello, el dominio se toma como el conjunto de las parejas (a1, a2), con primera componente en A1 y segunda componente en A2. Este conjunto se denomina el producto cartesiano de A1 y A2, y se denota por A1 × A2. De este modo las dos variables independientes quedan reunidas en un solo objeto. Por

ejemplo, en el caso de la función T, su dominio es el conjunto , el conjunto de parejas de números reales positivos. En el caso de más de dos variables, la definición es la misma, usando un conjunto ordenado de múltiples objetos, (a1,..., an), una n-tupla. También el caso de múltiples variables dependientes se contempla de esta manera. Por ejemplo, una función división puede tomar dos números naturales como valores de entrada (dividendo y divisor) y arrojar dos números naturales como valores de salida (cociente y resto). Se dice entonces que esta función tiene como dominio y codominio el conjunto .

Notación intervalo La notación intervalo es una forma de escribir subconjuntos de la recta númerica real . Un intervalo cerrado es aquel que incluye sus puntos finales: por ejemplo, el conjunto

{ x | – 3 x 1}.

Para escribir este intervalo en notación intervalo, usamos corchetes cerrados [ ]: [ –3, 1]

Un intervalo abierto es aquel que no incluye sus puntos finales: por ejemplo,

{ x | – 3 x 1}.

Para escribir este intervalo en notación intervalo, use paréntesis :

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( –3, 1) También puede tener intervalos que son mitad abiertos y mitad cerrados:

[ –2, 4) También puede usar la notación intervalo junto con el conjunto operador unión para ecribir subconjuntos de la recta numérica hechos de más de un intervalo:

Notación y Nomenclatura La notación habitual para presentar una función f con dominio A y codominio B es:

También se dice que f es una función «de A a B» o «entre A y B». El dominio de una función f se denota también por dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la operación o regla que permite obtener el elemento de B asociado a un cierto a ∈ A, denominado la imagen de a. Ejemplos

La notación utilizada puede ser un poco más laxa, como por ejemplo En dicha expresión, no se especifica que conjuntos se toman como dominio y codominio. En general, estos vendrán dados por el contexto en el que se especifique dicha función. En el caso de

funciones de varias variables (dos, por ejemplo), la imagen del par no se denota

por , sino por , y similarmente para más variables. Existen además terminologías diversas en distintas ramas de las matemáticas para referirse a funciones con determinados dominios y codominios:

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También las sucesiones infinitas de elementos tales como a, b, c, ... son funciones, cuyo dominio en este caso son los números naturales. Las palabras «función», «aplicación», «mapeo», u otras como «operador», «funcional», etc. pueden designar tipos concretos de función según el contexto. Adicionalmente, algunos autores restringen la palabra «función» para el caso en el que los elementos del conjunto inicial y final son números.

Imagen e imagen inversa Los elementos del codominio B asociados con algún elemento del dominio A constituyen la imagen de la función.

Igualdad de funciones Dadas dos funciones, para que sean idénticas han de tener el mismo dominio y codominio, y asignar la misma imagen a cada elemento del dominio.

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o contener varios objetos del dominio. Esto da lugar a la siguiente clasificación:

Clasificación

¿Cómo identificar una función de manera práctica? Para identificar una función, hay que representarla gráficamente y trazar varias rectas paralelas al eje "y" o de ordenadas. Si cada una de esas rectas trazadas cortan a la curva en un único punto podemos estar seguros que la gráfica representa a una función, porque cumpliría con la definición más arriba mencionada, explícitamente, para cada valor de " x" existe un único valor de " y".

Funciones implícitas Las funciones pueden clasificarse en funciones explícitas e implícitas. Una función en la que la variable dependiente se expresa ÚNICAMENTE en términos de la variable independiente es una función explícita. La forma de estas funciones es y = f(x), y al derivarlas, la idea es encontrar y’. Por ejemplo,

la función es una función explícita.

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En los casos en los que nuestra variable dependiente no esté expresada sólo en términos de la

variable independiente, se tiene una función implícita. Una expresión equivalente a es

Esta expresión no nos presenta a y en términos de x, por lo que en este caso tenemos a la función definida de manera implícita.

Función Explicita. Una función en la que la variable dependiente se expresa ÚNICAMENTE en términos de la variable independiente es una función explícita. La forma de estas funciones es y = f(x), y al derivarlas, la idea es encontrar y'. La representación de funciones Es el mecanismo mediante el cual se representa gráficamente una función. Observando la gráfica se puede obtener mucha información acerca de cómo se comporta dicha función. Sea la función f definida por:

Representación de funciones. La representación de funciones es el mecanismo mediante el cual se representa gráficamente una función. Observando la gráfica se puede obtener mucha información acerca de cómo se comporta dicha función. Sea la función f definida por:

La gráfica de f consiste en dibujar el conjunto de pares ordenados (x,f(x)) de la función en coordenadas cartesianas.

Siendo Dom f el dominio de la función f.

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Características de la gráfica Antes de proceder a dibujar la gráfica de una función es conveniente estudiar sus características para que nos sea más fácil. Dominio de la función Recorrido de la función Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Concavidad y convexidad Simetría

Dominio de la función El dominio de una función f es el subconjunto Dom f (o D) de elementos que tienen

imagen. Es decir, el conjunto de elementos x de la variable independiente X que tienen imagen en Y. También se le llama campo de existencia de la función.

Recorrido de la función El recorrido de una función f es el conjunto Im f (o Rec f) de todos los elementos que toma la variable dependiente. Es decir, el conjunto de todas las imágenes. También se le llama rango de una función o codominio.

Formalmente se define el recorrido de una función como:

Las funciones en que el recorrido de la función Im f es el mismo que el conjunto final Y son funciones sobreyectivas. Crecimiento y decrecimiento

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La tasa de variación indica cómo cambia una función al pasar de un punto a otro. Esta tasa examina si la función crece o decrece en una región. El crecimiento o decrecimiento de una función f se puede estudiar en un intervalo [a,b], en un punto x o en todo el dominio.

Máximos y mínimos Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).

Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función. Continuidad y discontinuidad Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel. Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.

La continuidad de una función se estudia en diferentes sectores de la función: Continuidad en un punto Continuidad lateral Continuidad en un intervalo

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La concavidad y convexidad explica la forma geométrica que tiene una función. En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una montaña, mientras que una función convexa a un valle. Diremos que una función es cóncava (o cóncava hacia abajo) si dados dos puntos cualesquiera (M y N) de su gráfica, el segmento que los une queda por debajo de la curva de la función. También se llaman funciones estrictamente cóncavas. Análogamente, diremos que la función es convexa (o cóncava hacia arriba) si tomando dos puntos cualquiera (M y N), el segmento que los une queda por encima de la curva. También se llaman funciones estrictamente convexas.

Simetría

Una función f es simétrica si al doblar su gráfica por un eje de simetría ésta se superpone.

Existen dos tipos de simetrías:

1. Funciones simétricas respecto al eje de ordenadas OY (también se llaman funciones pares).

2. Funciones simétricas respecto al origen (también llamadas funciones impares). Estudiar si la función es simétrica se llama estudio

de la simetría o, al tratarse de funciones pares o impares, estudio de la paridad.

Las funciones que no son simétricas son asimétricas.

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Función polinómica Una función polinómica f es una función cuya expresión es un polinomio tal como:

El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales. Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio. Función constante Una función f es constante si la variable dependiente y toma el mismo valor a para cualquier elemento del dominio (variable independiente x).

En términos matemáticos, la función f es constante si para cualquier par de puntos x1 y x2 del dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) = f(x2).

La gráfica de una función constante es una recta paralela al eje de abscisas X. Función polinómica de primer grado Las funciones polinómicas de primer grado o de grado 1 son aquellas que tienen un polinomio de grado 1 como expresión. Están compuestas por un escalar que multiplica a la variable independiente más una constante. Su mayor exponente es x elevado a 1.

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Su representación gráfica es una recta de pendiente m. La m es la pendiente y la n la ordenada, o punto en donde corta la recta f al eje de ordenadas. Según los valores de m y n existen tres tipos: Función afín Una función afín es una función polinómica de primer grado que no pasa por el origen de coordenadas, o sea, por el punto (0,0). Las funciones afines son rectas definidas por la siguiente fórmula:

Los escalares m y n son diferentes de 0.

Función lineal Una función lineal es una función polinómica de grado 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Son funciones rectas de la forma:

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Función identidad Una función identidad es una función tal que la imagen de cualquier elemento es éste mismo:

Estas funciones también suele denotarse por id.

La función identidad es una función lineal de pendiente m = 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide el primer y el tercer cuadrante en partes iguales, o sea, es su bisectriz. Función cuadrática Las funciones cuadráticas (o funciones de segundo grado) son funciones polinómicas de grado 2, es decir, el mayor exponente del polinomio es x elevado a 2 (x2):

Su representación gráfica es una parábola vertical.

Función cúbica

Las funciones cúbicas (o funciones de tercer grado) son funciones polinómicas de grado 3, es decir, las que el mayor exponente del polinomio es x elevado a 3 (x3):

La representación gráfica de la función cúbica es:

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Función racional Las funciones racionales f(x) son el cociente de dos polinomios. La palabra racional hace referencia a que esta función es una razón.

P(x) es el polinomio del numerador y Q(x) el del denominador.

Función exponencial Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es:

Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

También se suele denotar la función como exp (x). Función logarítmica Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

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Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Funciones definidas a trozos Las funciones definidas a trozos (o función por partes) si la función tiene distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variable independiente (x).

Por ejemplo:

La imagen de un valor x se calcula según en qué intervalo se encuentra x. Por ejemplo, el 0 se encuentra en el intervalo (-∞,1), por lo que su imagen es f(0)=0. El valor 3 está en el intervalo [1,4], entonces su imagen es f(3)=2.

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ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN: TEMA 1 CONCEPTO DE FUNCIONES

SER SABER SABER HACER

ANALÍTICO CREATIVO SISTEMÁTICO AUTÓNOMO RESPONSABLE CRÍTICO TRABAJO COLABORATIVO

DEFINIR EL CONCEPTO DE: - VARIABLE - VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE - CONSTANTE - FUNCIÓN - DOMINIO Y RANGO - FUNCIONES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS RECONOCER LA NOTACIÓN DE INTERVALOS. DESCRIBIR LAS DIFERENTES REPRESENTACIONES DE UNA FUNCIÓN. IDENTIFICAR LOS TIPOS DE FUNCIONES:

REPRESENTAR LOS TIPOS DE FUNCIONES EN SUS DIFERENTES FORMAS. DETERMINAR EL RANGO Y DOMINIO DE UNA FUNCIÓN CON SUS INTERVALOS.

AU DE SA NA AU DE SA NA AU DE SA NA

ACTIVIDAD 7

Representar LAS FUNCIONES EN LOS EJERCICIOS.

Determinar Rango y Dominio en las funciones.

TEMA 2. OPERACIONES CON FUNCIONES.

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

Resta de funciones Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

Cociente de funciones Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

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(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

Ejercicio: Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4. Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5. Resolución:

· La función f + g se define como (f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.

(f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7 (f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18 (f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2 Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo. Por ejemplo, para la imagen del 2,

‚ Dadas las funciones f (x) = x2 - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x). Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g. Resolución:

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

Resolución:

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados. „ Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.

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Resolución:

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.

Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f. Resolución:

Condición Inicial en una función Una solución a un problema de valor inicial es una función y que es una solución a la ecuación diferencial y satisface

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN:

TEMA 2 OPERACIONES CON FUNCIONES

SER SABER SABER HACER

ANALÍTICO CREATIVO SISTEMÁTICO AUTÓNOMO RESPONSABLE CRÍTICO TRABAJO COLABORATIVO

Explicar las operaciones básicas entre funciones: - Suma - Resta - Producto - Cociente - Composición Definir el concepto de condición inicial en una función.

Realizar operaciones con funciones. Evaluar una condición en una función.

AU DE SA NA AU DE SA NA AU DE SA NA ACTIVIDAD 8

Operaciones con funciones

Evaluar una condición en una función.

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TEMA 3. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES.

Modelos matemáticos usando funciones Las funciones son muy utilizadas para modelar matemáticamente situaciones y problemas de la vida real. Para conseguir las funciones primero se establecen las variables, luego se procede a traducir del lenguaje común al lenguaje matemático, para finalmente expresar la variable dependiente en términos o en función de la variable independiente. El valor de las funciones desde el punto de vista de la ingeniería consiste en su uso como herramientas en la solución de problemas. Naturalmente, es necesario recurrir a nuestros conocimientos de asignaturas previas para poder aplicar las funciones en la resolución de problemas. Cuando se dispone de la forma algebraica de la función, es relativamente sencillo utilizarla para resolver algún problema, es más complejo cuando se requiere obtener la expresión algebraica de la función. Por ejemplo: En el problema de punto de equilibrio entre costos e ingresos fue necesario obtener la función de costo y la función de ingreso. Anota en las siguientes líneas ambas funciones: Función de ingreso: Función de costo: Ahora podemos efectuar operaciones entre funciones para determinar la función de ganancia, recordando que la ganancia es el resultado de restar los costos de los ingresos. Anota en las siguientes líneas la función de ganancia considerando que g(x) representa la ganancia; i(x) los ingresos; y c(x) los costos: 𝑔(𝑥) = 𝑖(𝑥) − 𝑐(𝑥) = Una situación que se presenta con frecuencia al tratar de obtener la expresión algebraica de una función consiste en el uso de información acerca de puntos por los que pasa la función que se emplearán con la finalidad de generar un sistema de ecuaciones que, al resolverse, nos dará como resultados los valores de los coeficientes de la función. Obtener la forma algebraica de una función. Función lineal. Se realiza un experimento aplicando, sucesivamente, diferentes cargas a un resorte obteniéndose los siguientes resultados.

Es posible abordar este problema desde la perspectiva de la ley de hook, sin embargo, en este caso, vamos a utilizar el enfoque de las funciones matemáticas.

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El primer paso consiste en graficar para darnos una idea acerca del tipo de función que podemos elegir para representar el comportamiento de este fenómeno físico. Utiliza el plano cartesiano de la derecha para trazar la gráfica e indica, de acuerdo con el aspecto de la gráfica, qué tipo de función podemos aplicar. Función: Aparentemente, los puntos están sobre una línea recta, de modo que podemos utilizar nuestros conocimientos de geometría analítica para encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos, digamos el primero y el último. Puntos: (20,0.68) y (60,3.26) En primer lugar, calculamos la pendiente: 𝑚=𝑦2−𝑦1/𝑥2−𝑥1, el resultado es: 𝑚= ______________ Con la pendiente y punto a o el punto b, obtenemos la ecuación: 𝑦−𝑦1=(𝑥−𝑥1) Escribe la ecuación en forma explícita: ____________________________________ Conocida la ecuación, podemos pronosticar la deformación del resorte para cargas que no hemos aplicado, por ejemplo; ¿cuál sería la deformación del resorte si la carga aplicada fuera de 10 newtons? ¿y si fuera de 70 newtons? Agrega estos puntos a la gráfica. En esta primera etapa de solución del problema, hemos tomado como un hecho que los puntos pertenecen a una recta, pero no lo hemos verificado. Nuevamente, debemos recurrir a nuestros conocimientos previos, en este caso, de geometría analítica; si los puntos son colineales, las pendientes calculadas con cualquier par de puntos arrojarán el mismo resultado. Vamos a calcular la pendiente considerando parejas de puntos consecutivos: el primer punto con el segundo, el segundo con el tercero, , y así sucesivamente hasta llegar al último punto.

Con esta sencilla prueba, podemos darnos cuenta de que los puntos no son colineales, por lo tanto, la función lineal debe ser considerada solamente una aproximación a la solución

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exacta; en muchos casos con estos resultados aproximados es suficiente para las necesidades prácticas, pero debemos saber cuándo estamos recurriendo a una solución aproximada y, de ser posible, conocer la magnitud del error. Función cuadrática. La siguiente función, en cuanto a nivel de complejidad, es la cuadrática; vamos a determinar la función cuadrática que pasa por los puntos obtenidos al realizar las mediciones de deformación del resorte. Para encontrar la función cuadrática son necesarios tres puntos, y disponemos de cinco, vamos a tomar el primero, el tercero y el último: (20,0.68), (40,1.91), y (60,3.26). Vamos a emplear la función cuadrática en forma explícita: 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐. Al sustituir cada uno de los puntos dados, se obtendrá una ecuación de primer grado con dos incógnitas, completa la información faltante.

Ahora debemos resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por cualquiera de los métodos estudiados en asignaturas anteriores: reducción, sustitución, igualación, cramer, gauss, gauss jordan, matriz inversa, entre otros. Resuelve el sistema de ecuaciones y anta los valores de las incógnitas: 𝑎= , 𝑏= , 𝑐= La ecuación de segundo grado es: 𝑦= Utiliza esta función cuadrática para determinar las deformaciones cuando la carga aplicada es de 10 y 70 newtons. Compara estos resultados con los que se obtuvieron al tomar como datos una función lineal. ¿cambia mucho el resultado? Explica tu respuesta: En caso de que quisiéramos obtener una función cúbica sería necesario emplear 4 puntos y se resolvería un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, y si se tratara de una función de cuarto grado, el sistema de ecuaciones sería de 5x5. Ejercicios Resuelve los siguientes problemas y traza la gráfica correspondiente, recuerda que nl significa número de lista y ne, número de equipo.

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se sabe que la temperatura afecta a la eficiencia de cierta reacción química. Se lleva a cabo un experimento y se encuentran los resultados señalados en la tabla adjunta. Determina la temperatura a la que debe efectuarse la reacción para que la eficiencia sea la más alta posible.

Encuentra la función cuadrática cuyo vértice se encuentra en el punto v de coordenadas: (1.5 + 𝑁𝐿 10 , −1.5 − 𝑁𝐸 10 ); si sabemos que la directriz se encuentra a 0.5 + 𝑁𝐿 4 unidades de distancia. Encuentra las dos funciones que cumplen con estas condiciones, traza las gráficas y determina sus vértices. Resuelve las dos ecuaciones obtenidas y observa que la función cruza al eje equis en las soluciones, cuando estas son reales.

la función cúbica puede ser escrita, en forma general como: y = ax3 + bx2 + cx + d. Encuentra la ecuación de tercer grado que pasa por los puntos: A(-3.nl, -5); b(-1.ne, 1); c(1.nl, -2); d(2.ne, 7) Y determina, por aproximaciones sucesivas, los vértices y los puntos donde la curva cruza al eje equis. la función logaritmo es útil en la resolución de problemas

debido a que muchos fenómenos naturales se pueden describir con esta curva. Un ejemplo es la escala de richter empleada para la medición de la intensidad de los terremotos. Investiga la forma en la que se aplica la función logaritmo y explica cuánto varía la intensidad del terremoto cuando se habla de un

incremento de una unidad en la intensidad de dichos fenómenos naturales.

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ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN:

TEMA 3 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES

SER SABER SABER HACER

ANALÍTICO CREATIVO SISTEMÁTICO AUTÓNOMO RESPONSABLE CRÍTICO TRABAJO COLABORATIVO

EXPLICAR EL PROCESO DE CONSTRUCCIÓN Y VALIDACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO CON FUNCIONES.

MODELAR PROBLEMAS DE SU ENTORNO CON FUNCIONES. VALIDAR EL MODELO MATEMÁTICO.

AU DE SA NA AU DE SA NA AU DE SA NA

ACTIVIDAD 9

Aplicación de funciones.

4° UNIDAD ÁLGEBRA VECTORIAL

TEMA 1. VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES Conceptos Un Vector es un segmento de línea que con dirección y sentido, representa una magnitud física, forma parte fundamental de la Geometría, su representación gráfica consiste en una flecha, cuya punta va dirigida en dirección a la magnitud del estudio. En estudios matemáticos avanzados, el vector tiene gran importancia, ya que se utiliza para el estudio de funciones y la resolución de problemas en las que se busca la representación numérica y grafica de una función. Un vector posee las siguientes características: Origen: Cuando un vector es usado, parte de un punto del cual tendrá como partirá para cumplir con su objetivo clave. Longitud: La cual es necesaria para el estudio matemático de la función en estudio, para obtenerla, es necesario calcular el modulo con los puntos de origen y llegada respectivamente elevados al cuadrado y dentro de una raíz. Dirección: Esta se visualiza dependiendo de la orientación que tenga en el espacio. Puede ser creciente o decreciente dependiendo de la magnitud en estudio. Sentido: Básicamente es hacia a donde apunta la punta de la flecha con la que es representado. Un vector en estudios básicos se puede encontrar en el plano cartesiano, cuyas dos dimensiones permiten el estudio del comportamiento de puntos a fin de establecer parámetros y respuestas que

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den las respuestas de la función. Sin embargo, el estudio en 3D (en el espacio) se emplea vectores como ejes coordenados. A pesar que es usado generalmente en la Geometría, el Vector no deja de tener un significado abstracto, por lo que se emplea en áreas ajenas al cálculo matemático, como por ejemplo: En la informática, en la biología, en el estudio de mapas (cartografía) y muchos más. Cuando la palabra vector es usada en un contexto, produce la sensación de que nos dirigiremos desde un punto de partida a uno de llegada. Es importante señalar que el uso de esta palabra en la vida cotidiana no es común sin embargo un concepto filosófico nos indica que un vector es Toda acción proyectiva que tiene cualidad e intensidad variables. Cuando nos trazamos un plan, una meta o una estrategia para llegar a un objetivo ya establecido, creamos un vector mental dirigido a la misión que nos proponemos.

Operaciones con vectores Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen

en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Resta de vectores

Para restar dos vectores libres con el opuesto

de Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Ejemplo:

Producto de vectores

El producto de un número k por un vector es otro vector:

De igual dirección que el vector

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Del mismo sentido que el vector si k es positivo.

De sentido contrario del vector si k es negativo.

De módulo

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Ejemplo:

Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores , y dos números: a y b, el vector se dice que es una

combinación lineal de . Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

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Modulo Dado un vector del espacio euclídeo tridimensional expresado por sus componentes, su módulo es el número real dado por la expresión: La intensidad omódulo de un vector es la longitud del segmento que lo representa, por lo que habrá de ser proporcional al valor de la magnitud medida.

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Antes de empezar con mi tema, primero deberíamos de aclarar ciertos puntos y conceptos que necesitamos saber para poder empezar con nuestro tema, entre estos conceptos tenemos los siguientes: Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden. Módulo del vector AB Es la longitud del segmento AB, se representa por.|AB| Dirección del vector AB Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. Sentido del vector AB El que va del origen A al extremo B. Vectores Equiponentes Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

Vector Libre

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.

Producto de un vector por un escalar El producto de un escalar por un vector o producto ve un vector por un escalar da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido.

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La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original. Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector. Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas: V = (x, y) k V = k (x, y) = (kx, ky) Ejemplo: V = (2,1) k = 2 k V = 2 (2, 1) = (4, 2)

Ejemplo: V= (2, 2) k = -1 k V = -1 (2, 2) = (-2, -2)

Si los vectores son de más de dos coordenadas se realiza lo mismo por cada una de ellas.

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN: TEMA 1 VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES

SER SABER SABER HACER

ANALÍTICO CREATIVO SISTEMÁTICO AUTÓNOMO RESPONSABLE CRÍTICO TRABAJO COLABORATIVO

IDENTIFICAR EL CONCEPTO DE VECTOR Y SUS COMPONENTES EN DOS Y TRES DIMENSIONES. EXPLICAR LAS OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIABLES COMPLEJAS Y VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES, Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA: - MÓDULO O MAGNITUD - SUMA - RESTA - MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR - PRODUCTO PUNTO - PRODUCTO CRUZ - VECTOR UNITARIO

GRAFICAR UN VECTOR EN UN SISTEMA DE DOS Y TRES DIMENSIONES. RESOLVER OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIABLES COMPLEJAS Y VECTORES EN FORMA ANALÍTICA Y GRÁFICA. RESOLVER PROBLEMAS DE VECTORES RELACIONADOS CON SU ENTORNO.

AU DE SA NA AU DE SA NA AU DE SA NA

ACTIVIDAD 10

Graficar Vectores

Resolver operaciones con funciones complejas y vectores analíticos y gráficos.

Resolver problemáticas con solución de vectores.

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TEMA 2. TRANSFORMACIÓN DE VECTORES. ¿Qué son las transformaciones lineales?

En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. O sea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones:

Propiedades de una transformación lineal Propiedad 1 La imagen del vector nulo del dominio 0V es el vector nulo del codominio 0w:

Demostración:

Donde hemos expresado a 0V como el producto del escalar 0 por cualquier vector del espacio vectorial V, hemos usado la segunda condición que debe cumplir una transformación lineal, y finalmente hemos vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector. Propiedad 2 La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v:

Demostración:

La justificación de los pasos dados en la demostración es similar a la anterior. Propiedad 3 Consideremos r vectores del espacio vectorial V:

Tomemos una combinación lineal en el dominio:

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Donde Si aplicamos la transformación lineal F de V a W, teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta:

Es decir que una transformación lineal “transporta” combinaciones lineales de V a W, conservando los escalares de la combinación lineal. Ejemplo 1 Analizar si la siguiente función es una transformación lineal:

Resolución Controlemos primero que el transformado del 0V sea el 0W. Ésta es una condición necesaria: si no se cumpliera, no sería transformación lineal. Como T((0,0,0))=(0,0), la función dada es “candidata” a ser transformación lineal. Para demostrar que es una transformación lineal tenemos que comprobar las condiciones dadas en la definición.

Tomemos dos vectores de R3

u=(u1,u2,u3)) v=(v1,v2,v3) Veamos si T(u+v)=T(u)+T(v) Primero hacemos la suma de u y v:

Y ahora aplicamos T:

T(u+v)=T(u)+T(v) En conclusión: se cumple la primera de las condiciones. Nos faltaría la otra propiedad.

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Vectores linealmente dependientes e independientes Vectores linealmente dependientes Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades

Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

Dos vectores libres del plano son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Vectores linealmente independientes Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales. Ejemplo: Determinar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:

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Linealmente independientes ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN:

TEMA 1 TRANSFORMACIÓN VECTORES

SER SABER SABER HACER

ANALÍTICO CREATIVO SISTEMÁTICO AUTÓNOMO RESPONSABLE CRÍTICO TRABAJO COLABORATIVO

DEFINIR EL CONCEPTO DE TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS APLICACIONES. DEFINIR LOS TIPOS DE TRANSFORMACIONES: - REFLEXIÓN - ROTACIÓN - TRASLACIÓN - EXPANSIÓN - CONTRACCIÓN EXPLICAR LAS PERACIONES PARA LA TRANSFORMACIÓN CON MATRICES EN ESPACIOS VECTORIALES.

TRANSFORMAR FIGURAS GEOMÉTRICAS CON VECTORES EN UN PLANO EN SUS DIFERENTES TIPOS.

AU DE SA NA AU DE SA NA AU DE SA NA

ACTIVIDAD 11

Ejercicios de trasformación de figuras geométricas con vectores.

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REFERENCIAS: SWOKOWSKI, E. (2009) ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA MÉXICO

D.F MÉXICO CENGAGE LEARNING

BALDOR, J. A. (1998) GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO CON TRIGONOMETRÍA MÉXICO D.F

MÉXICO CULTURAL

LARSON/HOSTETLER/EDWA RDS (2006) CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA VOL. 1 MÉXICO

D.F MÉXICO MC GRAW HILL

SILVIA, JUAN MANUEL (2008) FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS: ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y

TRIGONOMETRÍA. MÉXICO D.F MÉXICO LIMUSA S.A. DE C.V.

LEITHOLD, L. (1994) ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA MÉXICO D.F

MÉXICO HARLA