Funciones exponenciales y logarítmicas.

Función exponencial: f(x) = 2

x

Función logarítmica: g(y) = 2

y

Problema contextualizado. Una pelota de goma se deja caer

desde una altura de 10 metros. Cada vez que rebota contra el piso pierde un 10% de altura. ¿Cuántos rebotes son necesarios para que esté a 2 metros del suelo? 1

¿Qué hacer para entenderlo? ¿Cómo saber cual es la base

constante para poder definir la ecuación ? Hagámoslo, paso a paso.

Estará de acuerdo que si pierde el 10% de altura en cada rebote la pelota, ésta alcanzará una altura efectiva de sólo el 90%, entonces; en el primer rebote tendremos que la pelota alcanza una altura de:

(10 m)(90%) = (10 m)(0.9) = 9.0 metros en el primer rebote.

¿Qué pasa en el segundo rebote? Considerando que la pelota ahora

cae al piso desde la altura que alcanzó en el primer rebote, 9.0 metros y que sólo subirá nuevamente una altura efectiva del 90%, tendremos:

(9.0 m)(0.9) = 8.10 m Ésta será la altura que alcance

después del segundo rebote.

¿Y los siguientes rebotes?

Número de rebot

e

Altura

inicial

(m)

Base o porcentaj

e constant

e

Operación Altura

final (m)

1 10 90% = (0.90)

(10)(0.90) = 9.0 9.0

2 9.0 (9.o)(0.90) = 8.10

8.10

3 8.10 (8.10)(0.90) = 7.29

7.29

4 7.29 (7.29)(0.90) = 6.561

6.561

2.287

15 2.287 (2.287)(0.90) = 2.058

2.058

16 2.058 (2.058)(0.90) = 1.853

1.853

Interrelación entre las funciones exponenciales y logarítmicas. y = log b x si y sólo si x =

b y 2

Donde b = base o constante La ecuación logarítmica se interpreta; “y” es el logaritmo de un número “x”

en base “b”

Del lenguaje común al leguaje matemático. Observamos que la base o constante es el

porcentaje del 90% = 0.90; entonces b = 0.90

Otro dato que conocemos en este momento, es: x debe ser igual a la altura de 2 metros. Por analogía , tenemos:

x = b y 2 = (0.9 y )(10) por qué (10), porque es la altura inicial que

especifica el problema.

El modelo matemático para este problema. Recordando una de las propiedades de

los logaritmos, tenemos Log b N p= p log b N Que se interpreta: “El logaritmo en base

“b” de un número “N” elevado a una potencia o exponente “p”; es igual al exponente “p” que multiplica al logaritmo en base “b” del número “N”.

Entonces 2 = (0.9 y)(10) por la propiedad de los logaritmos se puede expresar:

Solución.

Log b (2 ÷ 10) = y (log b 0.9) por lo tanto

y = log b (0.2) ÷ log b (0.9) y = 15.27553 Observaciones. De nuestra tabla se puede ver que la

altura final de 2. 0 metros está entre el rebote 15 y el 16.

Para comprobar puede utilizar los logaritmos decimales o naturales que traen las calculadoras científicas.

Conclusiones.

Si el valor que consideramos base o constante, en este caso; b = 0.90 lo elevamos al exponente y = 15.27553

Tendremos : (10 m)(0.90) y = 15.27553 = 2.00 metros

Referencias.

1 CONALEP. Guía pedagógica y de Evaluación del módulo Representación simbólica y angular del entorno. Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica. México. 2010.

2 R. A. Barnett. Matemáticas para Administración y Ciencias Sociales. Mc Graw Hill. 2da. Edición. México. 1990.

Gráfica de la primera diapositiva realizada en Graphmatica de kSoft

Trabajo realizado por:

Víctor Manuel Santes Espinosa. 23 de junio de 2011. UPN. ECD. G6