Funciones Exponenciales y logarítmicas

Funciones exponenciales

Definición: f(x) = abx b > 0 , b ≠ 1, a ≠ 0 donde a y b son constante, b llamada base, a coeficiente y x puede asumir cualquier valor real.

A. Gráfica

B. Dominio y Campo de valores

Dominio de f es el conjunto de todos los números reales positivos y el campo de valore también será el conjunto de todos los números reales positivos. Se requiere que b sea positiva para evitar números imaginarios (-2)1/2

C. Propiedades básicas de f(x) = bx b > 0 , b ≠ 1

1. Todas las gráficas que pasan por el punto (0,1). b0 = 12. Todas las gráficas son continuas, sin huecos ni saltos.3. El eje x es una asíntota horizontal.4. Si b > 1, entonces bx aumenta conforme aumenta x.5. Si 0 < b< 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.6. La función de f es uno a uno.

D. Otras propiedades

Para a y b positivos, a ≠ 1 , b ≠ 1 y x y y reales: Leyes de exponentes

1. ax ∙ ay = ax + y 2. (ax)y = axy 3. (ab)x = axbx

Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 1

y = 2x

y = (1/2)x = 2-x

y = bx 0 < b < 1

y = bx

b > 1

D = {-∞,∞) CV = (0, ∞)

4. 5.

6. ax = ay si y sólo si x = y7. Para x ≠ 0 , entonces ax = bx si y sólo sí a = b

Ejemplo: 4x-3 = 8 (22)x – 3 = 23

se expresa el 4 y el 8 como potencia de 2

22x – 6 = 23(ax)y = axy

2x – 6 = 3 Propiedad 2

2x = 9

x = 4 ½

E. Aplicación

1. Crecimiento demográfico

La bacteria Escherichia coli ( E. coli) se encuentra naturalmente en los intestinos de muchos mamíferos. En un experimento de laboratorio, se encuentra que el tiempo de duplicación para la E. coli es de 25 minutos. Si el experimento comienza con una población de 1000 E. coli y no hay ningún cambio en el tiempo de duplicación, ¿cuántas bacterias estarán presentes: a. en 10 minutos ? b. en 5 horas? = 300 minutos

P0 = 1,000 minutos d = 25 minutos

a. P = (1,000) (210/25) = 1,320 E. colíb. P = (1,000) (2300/25) = 4,096,000 = 4.1 x 106 E. colí

1. Decaimiento radiactivo El oro radiactivo 198(198Au) que se usa en las radiografías del hígado tiene una vida media de 2.67 días. Si se empieza con 50 miligramos del isótopo, ¿Cuántos miligramos quedarán después de: a. ½ día? b. una semana?

A0 = 50 mg h = 2.67 días

a. A = 50(2-.5/2.67) = 50 = 43.9 mg 2.5/2.67

b. A = 50(2-7/2.67) = 50 = 8.12 mg 2 7/2.67

2. Interés compuesto

Si se invierten $1,000 en una cuenta que paga el 10% de interés compuesto

Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 2

P = población en el tiempo tP0 = población en el tiempo t = 0d = tiempo de duplicación

Cuando t = d P = P02t/d = P02

A = cantidad al tiempo tA0 = cantidad al tiempo t = 0h = vida media

A = A02-t/h

A = cuenta al final del año t añosP = capitalr = interés compueston = cantidad al año

2

mensualmente, ¿cuánto habrá en la cuenta después de 10 años? Redondea a la centésima más cercana.

P = $1,000 r = .10 n = 12 t = 10 años

= $2,707.04

Preparado por Profa. Carmen Batiz UGHS 3

Ejercicios 4.1

Funciones Exponenciales de base e

A. Definición

f(x) = ex x es un número real

B. Gráfica

C. Aplicación

1. Medicina -Crecimiento bacterianoEl cólera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria del cólera que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por la fórmula presentada. Si se empieza con una bacteria, ¿cuántas bacterias habrá en a. 5 horas? b. 12 horas? Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos.

N0 = 1 t = 5 horas a. N = 1 e(1.386) (5) = e(1..386) (5) = 1,020 t = 12 horas b. N = 1 e(1.386) (12) = e(1.386) (12) = 16,700,000 .

2. Cálculo de fechas conel carbono 14

El bombardeo de rayos-cósmicos de la atmósfera produce neutrones, los que al regresar reaccionan con el nitrógeno y producen carbono 14 radiactivo. El carbono 14 radiactivo penetra en los tejidos de todos los seres vivos a través del dióxido de carbono, el cual es absorbido primero por las plantas. Mientras que la planta o el animal esté vivo, el nivel de carbono 14 en el organismo se mantiene constante, Una vez que el organismo muere, el carbono 14 disminuye de acuerdo con la ecuación. Si 1000 mg de carbono 14 están presentes en un inicio, ¿cuántos miligramos estarán presentes en:

a. 10,000 años b. 50,000 años?

4

y = e-xy = ex

N= número de bacterias presentes después de t horas

N0 = número de bacterias presentes cuando t = 0

t = tiempo de duplicación

N = N0e1.386t

A = cantidad al carbono 14 presente en t años

A0 = cantidad al tiempo t = 0 t = tiempo

A = A0e-0.000124t

y = 4 – ex/2

y = 4 asíntota horizontal x → ∞ ex/2 → 0 y 4 y → 4

A0 = 1,000 mg a. A = 1000e-0.000124(10,000) = 289 mg b. A = 1000e-

0.000124(50,000) = 2.03 mg3. Interés compuesto continuo

Si se invierten $100 a una tasa anual del 8% de interés compuesto continuamente, ¿qué cantidad, aproximada al centésimo más cercano, estará en la cuenta después de 2 años?

P = $100 r = .08 t = 2 años = $117.35

D. Crecimiento y decaimiento exponencial

Crecimiento sin límite y = cekt c, k > 0 Decaimiento exponencial y = ce-kt c, k > 0

Crecimiento limitado y = c(1- e-kt ) c, k > 0 Crecimiento logístico c, k , M > 0

5

A = cuenta al final del año t añosP = capital invertido a una tasa anual rr = tasa anualt = cantidad al año

Ejercicios p. 292-293

Tomado del libro Pre-Cálculo Funciones y sus Gráficas –Barnett-Ziegler-Byleen

c t

y

t

y

c

y

y y

t

tt

c

c M

Crecimiento de la población a corto plazo (personas, bacterias, etcétera; crecimiento de dinero a un interés compuesto continuo.

Decaimiento radiactivo, absorción de luz en agua, vidrio, etcétera; presión atmosférica.

Habilidades de aprendizaje, últimas ventas; crecimiento de la compañía; circuitos eléctricos.

Crecimiento de la población a largo plazo; epidemias, ventas de nuevos productos; crecimiento de una compañía.

Ejercicios p. 301-302

Funciones logarítmicas

A. Definición

forma logarítmica forma exponencialy = log b x equivalente x = by si b > 0 y b ≠ 1y = log 10 x x = 10y

y = loge x x = ex

B. Gráfica

C. Conversiones logarítmicas a exponenciales

Ejemplos : a. log 2 8 = 3 b. log 25 5 = ½ c. log 2 ¼ = -2 8 = 23 5 = 251/2 ¼ = 2-2

Ejemplos : a. 49 = 72 b. 3 = c. 1/5 = 5-1

log 7 49 = 2 log 9 3 = ½ log 5 (1/5)= -1

D. Resolviendo ecuaciones con logarítmos

Ejemplos: Encuentra y : y = log 9 2727 = 9y cambiando a forma exponencial33 =32y escribir cada número con la misma base 3 = 2y propiedad de exponentes

3/2 = y

E. Propiedades de las funciones logarítmicas

Si b, M y N son números reales positivos, b ≠1, y p y x son números reales, entonces:

x= 2y = f-1

D (f) = (-∞,∞) = CV de f-1

CV de f = (0, ∞) = D de f-1

y = xy = 2x

6

1. log b 1 = 02. log b b = 13. log b bx = x4. blog

b x = x , x > 0

5. log b MN = log b M + log b N

6.

7. log b Mp = p log b M8. log b M = log b N si y sólo si M = N

7

Ejemplos: a. log 10 10-5 = -5 propiedad # 3 b. log 5 25 = log 5 52 = 2 propiedad #3 c. log 10 1 = 0 propiedad #1d. log e em + n = m + n propiedad #3e. 10 log

104 = 4 propiedad #4f. elog

e(x4 + 1) = x4 + 1 propiedad #4

g. = logb r - (logb u + logbv) = logb r - logb u - logbv Prop 5 y

6

h. = (3/5) (logb m - logb n) Prop 6 y 7

i. = (1/3) logb u - 5 logb v Prop 6 y 7

j. log e 5 = 1.609 y log e 8 = 2.079, encuentre

= 10 loge 5 - loge 8 = 10(1.609) – 2.079 = 14.01

k. log e 5 = 1.609 y log e 8 = 2.079, encuentre

(si ¼ = .25 ) = .25 (loge 8 - loge 5) = .25 (2.079 - 1.609) =

0.1175l. Encuentre x, tal que log b x = 2/3 log b 8 + ½ log b 9 – log b 6 sin

usar calculadora o tabla.

log b x = 2/3 log b 8 + ½ log b 9 – log b 6= log b 8 2/3 + log b 91/2 – log b 6= log b 4 + log b 3 – log b 6

=

log b x = x = 2

Logaritmos communes y naturales

Ejercicios p. 312-313

8

A. Definición

log x = log10 x logaritmo comúnln x = loge x logaritmo natural

B. Uso de la calculadora para hallar logaritmos

Ejemplos: Utiliza la calculadora para evaluar cada una con seis cifras decimales.

a. log 3184 Utilizando la techa 10x entra 3184 = 3.502973

b. ln 0.000349 Utilizando la techa ex entra 0.000349 = -7.960439

c. log(-3.24) = error

d. = 14.27549

e. = 1.02165

f. ln 3 – ln 1.08 = 1.02165

C. Relaciones logarítmicas y exponenciales

Log x = y es equivalente a x = 10x

Ln x = y es equivalente a x = ex

Ejemplos: Encuentre x con tres dígitos significativos, dados los logaritmos indicados.

a. log x = -9.315 x = 10-9.315

x = 4.84 x 10-10

b. ln x = 2.386 x = e2.386

x = 10.9

D. Aplicaciones

D = nivel de decibeles del sonido I = intensidad del sonido Io = 10-12 w/m2 (estandarizado)

D = 10 log I I0

9

M = magnitud en la escala RichterE = energía liberada por el terremotoEo = 104.40 joules (estandarizado)

M =

v = velocidad de un cohete al apagarse cuando se agota el combustible

c = velocidad de escape de motor del coheteW1 = peso de partida (combustible, estructura y

carga útil)Wb = peso consumido (estructura y carga útil)

v =

1. Intensidad del sonido

Encuentra el número de decibeles de un cuchicheo con intensidad de sonido de 5.20 x 10-10 watt por metro cuadrado. Calcule la respuesta hasta dos cifras decimales.

D = 10 log I D = 10 log 5.20 x 10 -10 I0 10-12

= 10 log (5.20 x 102) = 10 (log 5.20 + log 102) = 10 (0.716 +2) = 27.16 decibeles

2. Intensidad de un terremoto

El terremoto de 1985 en Chile liberó aproximadamente 1.26 x 1016 joules de energía. ¿cuál fue su magnitud en la escala de Richter? Calcule la respuesta con dos cifras decimales?

M = M =

M =

M =

M = = 7.80

3. Teoría de vuelo de un cohete

En una etapa típica, el combustible sólido de un cohete puede tener una razón de peso W1/Wb = 18.7 y una velocidad de escape c = 2.38 km/s. ¿Alcanzaría este cohete una velocidad de lanzamiento de 9.0 km/s

v = v =

v = 6.97 km/sNo alcanzará llegar a la órbita por ser menor a 9.0 km/s

Ejercicios de PrácticaFunciones Exponenciales y LogarítmicasLibro: Pre-Cálculo Funciones y sus Gráficas Barnett, Ziegler y Byleen

Ejercicios p. 321- 322Tomado del libro: Pre- Cálculo Funciones y GráficasBarnett – Ziegler-Byleen

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