MATH1500 - Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

MATE1500

Funciones Exponenciales y sus Gráficas

La función exponencial con base es denotada por

, donde 0, 1, x

f a

f x a a a x

x

y

(0,1)


La función exponencial con base es denotada por

, donde 0, 1, x

f a

f x a a a x

x

y

(0,1)

Asíntota horizontaly = 0


• Gráficas de y = ax

– Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando una tabla, las funciones f (x) = 2x y g (x) = 4x

x -2 -1 0 1 2 3

f (x)

g (x)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

x

y




x -2 -1 0 1 2 3

f (x) 1/4

g (x)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

x

y




x -2 -1 0 1 2 3

f (x) 1/4 1/2

g (x)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

x

y




x -2 -1 0 1 2 3

f (x) 1/4 1/2 1

g (x)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

x

y




x -2 -1 0 1 2 3

f (x) 1/4 1/2 1 2

g (x)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

x

y




x -2 -1 0 1 2 3

f (x) 1/4 1/2 1 2 4

g (x)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

x

y




x -2 -1 0 1 2 3

f (x) 1/4 1/2 1 2 4 8

g (x)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

x

y




x -2 -1 0 1 2 3

f (x) 1/4 1/2 1 2 4 8

g (x) 1/16 1/4 1 4 16 64

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

x

y


• Gráficas de y = a-x

– Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando una tabla, las funciones F (x) = 2-x y G (x) = 4-x

x -3 -2 -1 0 1 2

F (x)

G (x)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

x

y


• Gráficas de y = a-x

– Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando una tabla, las funciones F (x) = 2-x y G (x) = 4-x

x -3 -2 -1 0 1 2

F (x) 8 4 2 1 1/2 1/4

G (x) 64 16 4 1 1/4 1/16

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

x

y


• La Base Natural e

• La Función Natural Exponencial

2.718281828459...e

xf x e

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

4

5

x

y

(0,1)

(1, e)

(-2, 1/e2) (-1, 1/e)

Funciones Logarítmicas

Para 0, 0, 1

log si y solamente si

La función dada por

log

es llamada la función logarítmica con base

y

a

a

x a a

y x x a

f x x

a


• Evaluando Logaritmos

– Utiliza la definición de función logarítmica para evaluar cada logaritmo en el valor indicado de x.

1. f (x) = log2x, x = 2

2. f (x) = log3x, x = 1

3. f (x) = log4x, x = 2

4. f (x) = log10x, x = 1/100


• Propiedades de Logaritmos0

1

log

log 1 0 porque 1

log 1 porque

log y (propiedades inversas)

Si log log , entonces

a

a

a

xx

a

a a

a

a a a

a x a x

x y x y


• Utilizando Propiedades de Logaritmos

1. Resuelve por x: log2x = log23

2. Resuelve por x: log44 = x

3. Simplifica: log55x

4. Simplifica: 7log 147


• Gráficas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas• Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando una

tabla, las funciones f (x) = 2x y g (x) = log2x

x -2 -1 0 1 2 3

f (x) 1/4 1/2 1 2 4 8

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y


• Gráficas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas• Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando una

tabla, las funciones f (x) = 2x y g (x) = log2x

x 1/4 1/2 1 2 4 8

g(x) -2 -1 0 1 2 3

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y


Para 0, 0, 1

ln si y solamente si

La función dada por

ln

es llamada la función logarítmica natural

y

x a a

y x x e

f x x


• Propiedades de Logaritmos Naturales0

1

ln

ln1 0 porque 1

ln 1 porque

ln y (propiedades inversas)

Si ln ln , entonces

x x

e

e e e

e x e x

x y x y


• Utiliza las propiedades de logaritmos naturales para reescribir cada expresión.

1. ln 1/e

2. eln 5

3. 4 ln 1

4. 2 ln e


• Encontrando el Dominio de Funciones Logarítmicas

1. f (x) = ln(x – 2)

2. g (x) = ln(2 – x)

3. h (x) = ln x2

Propiedades de Logaritmos

• Fórmula de Cambio de Base

loglog

log

ba

b

xx

a


• Calcula los siguientes logaritmos, utilizando una calculadora.

1. log425

2. log212


• Propiedad de Producto

• Propiedad de Cociente

• Propiedad de Potencia

log log loga a auv u v

log log loga a a

uu v

v

log logn

a au n u


• Escribe cada logaritmo en términos de ln 2 y ln 3.

1. ln 6

2. ln 2/27


• Utiliza las propiedades de logaritmos para expandir cada expresión.

3

4a. log 5

3 5b. ln

7

x y

x


• Utiliza las propiedades de logaritmos para condensar cada expresión logarítmica.

10 10

2 2

1a. log 3log 1

2

b. 2 ln 2 ln

1c. log log 4

3

x x

x x

x x

Resolviendo Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

• Resuelve cada ecuación exponencial.

2

2 5

a. 72

b. 3 2 42

c. 4 3 2

d. 2 3 4 11

x

x

x

t

e

e


• Resolviendo una Ecuación Exponencial en Forma Cuadrática.

1. e2x – 3ex + 2 = 0

2. e2x – 4ex – 5 = 0


• Resuelve cada ecuación logarítmica.

1. ln 3x = 2

2. log3 (5x – 1) = log3 (x + 7)

3. 5 + 2 ln x = 4

4. 2 log5 3x = 4


• Resuelve cada ecuación logarítmica.

1. ln (x – 2) + ln (2x – 3) = 2 ln x

2. ln (x + 5) = ln (x – 1) – ln (x + 1)

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