MATEMÁTICAS · derivadas de funciones elementales ... coseno y tangente –, exponenciales y...
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PRUEBA DE ACCESO PARA MAYORES DE 25 AÑOS MATEMÁTICAS Material Didáctico Pepi Cebrián Laserna Profesora área cientifico-tecnológica EPA Sedaví
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PRUEBA DE ACCESO PARA MAYORES DE 25 AÑOS
MATEMÁTICAS
Material Didáctico
Pepi Cebrián Laserna Profesora área cientifico-tecnológica
EPA Sedaví
1
La Orden de 29 de diciembre de 2004, de la Conselleria de Empresa, Universidad y Ciencia, regula la prueba de acceso a la universidad de los mayores de 25 años en el ámbito de la Comunidad Valenciana a tenor de lo dispuesto en el Real Decreto 743/2003, de 20 de junio, por el que se regula la prueba de acceso a la universidad de los mayores de 25 años, en el que se atribuyen competencias a las comunidades autónomas para determinar el establecimiento de las líneas generales de la metodología, desarrollo y contenidos de los ejercicios que la integran, así como para el establecimiento de los criterios y fórmulas de valoración de las pruebas, previo informe de las universidades de su territorio.
TIPO DE EXAMEN
La prueba tendrá una
duración de una hora, se propondrán cinco problemas, uno de cada bloque, de los que el alumno elegirá cuatro, cada uno de los cuales puntuará sobre 2,5 puntos.
Se permitirá la utilización de
cualquier tipo de calculadora, pero está prohibido almacenar en memoria información sobre los temas y utilizar medios de comunicación a distancia.
PROGRAMA
BLOQUE I
1.- Polinomios y sistemas de ecuaciones. Operaciones elementales con polinomios (suma, resta, multiplicación y división). Regla de Ruffini. Resolución de ecuaciones polinómicas de grado menor o igual a tres. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2 × 2 y 3 × 3. Planteamiento de problemas sencillos resolubles con sistemas de ecuaciones lineales. 2.- Matrices y determinantes. Concepto de matriz. Suma y producto de matrices. Cálculo de determinantes de matrices 2 × 2 y 3 × 3. 3.- Logaritmos. Logaritmos decimales y neperianos. Logaritmo de un producto, de un cociente y de una potencia (incluido el caso de una raíz).
1
BLOQUE II
4.- Geometría analítica en el plano. Ecuaciones de la recta en el plano. Posiciones relativas (incidencia y paralelismo). Distancia entre dos puntos y distancia de un punto a una recta. 5.- Trigonometría. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Resolución de triángulos rectángulos.
BLOQUE III
6.- Funciones. El concepto de función. Dominio y rango. Representación de las funciones elementales (las funciones polinómicas de grado menor o igual a tres, las funciones circulares seno, coseno y tangente, la función exponencial a x y las funciones logarítmicas log x y ln x ). 7.- Límites. La noción de límite. Infinitésimos e infinitos. Cálculo de límites de cocientes de polinomios (cuando x tiende hacia a y cuando x tiende a infinito). 8. Continuidad y derivación. El concepto de función continúa. Derivada y su interpretación geométrica. Cálculo de la derivada de una suma, resta, producto y cociente de funciones. Derivada de la composición de dos funciones: Regla de la cadena. Cálculo de derivadas de funciones elementales (polinómicas, racionales, circulares – seno, coseno y tangente –, exponenciales y logarítmicas).
BLOQUE IV
9. Aplicaciones de las derivadas. Obtención del crecimiento y decrecimiento de una función y de su representación gráfica. Extremos relativos. Problemas elementales de máximos y mínimos. 10. Cálculo integral. La noción de primitiva. Primitivas de funciones polinómicas. Obtención de áreas mediante integrales definidas.
BLOQUE V 11. Nociones elementales de estadística y probabilidad. Media, rango y desviación típica de una muestra: Significado y cálculo. Nociones elementales de combinatoria. Aplicación al cálculo de probabilidades.
2
TEMARIO
Tema 1 Polinomios y sistemas de ecuaciones
Operaciones elementales con polinomios Regla de Ruffini Resolución de ecuaciones polinómicas de grado menor o igual a
tres Resolución de sistemas lineales 2x2 y 3x3 Planteamientos de problemas sencillos resolubles con sistemas
de ecuaciones lineales
Tema 2 Matrices y determinantes
Concepto de matriz Suma y producto de matrices Calculo de determinantes de matrices 2x2 y 3x3
Tema 3 Logaritmos
Logaritmos decimales y neperianos Logaritmo de un producto, de un cociente, potencia y raíz
Tema 4 Geometría analítica en el plano
Ecuaciones de la recta en el plano Posiciones relativas (incidencia y paralelismo) Distancias entre dos puntos y distancia de un punto a una recta
Tema 5 Trigonometría
Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Resolución de triángulos rectángulos
Tema 6 Funciones
El concepto de función Dominio y rango Representación de las funciones elementales (polinómicas de
grado menor o igual a tres, circulares, exponencial y logarítmica)
Tema 7 Límites
La noción de límite Cálculo de límites de cocientes de polinomios (cuando x tiende
hacia a y cuando x tiende a infinito)
3
Tema 8 Continuación y derivación
El concepto de función continúa Derivada y su interpretación geométrica Calculo de la derivada de una suma, resta, producto y cociente
de funciones Derivada de la composición de dos funciones: Regla de la cadena Cálculo de derivadas de funciones elementales (polinómicas,
racionales, circulares exponenciales logarítmicas)
Tema 9 Aplicaciones de las derivadas
Obtención del crecimiento y decrecimiento de una función y de su representación gráfica
Extremos relativos Problemas elementales de máximos y mínimos
Tema 10 Cálculo integral
Noción de primitivas Primitivas de funciones polinómicas Obtención de áreas mediante integrales definidas del tipo
dxxfb
a
Tema 11 Nociones elementales de estadística y probabilidad
Media, rango y desviación típica de una muestra: Significado y cálculo
Nociones elementales de combinatoria. Aplicación al cálculo de probabilidades
4
Tema 1 Polinomios y sistemas de ecuaciones
1.1 Polinomios Objetivos
1. Sumar, restar y multiplicar polinomios de una variable. 2. Dividir, de la forma tradicional, dos polinomios explicitando
cociente y resto. 3. Dividir un polinomio por (x-a) usando la regla de Ruffini.
Relacionar cociente y resto. EJERCICIOS 1. Suma y resta los siguientes polinomios: 6342)( 23 xxxxP y 346)( 3 xxxQ 2. Suma y resta los siguientes polinomios: 123612)( 234 xxxxxP y 123)( 34 xxxxQ 3. Suma los siguientes polinomios: 145)( 2 xxxP ; xxxQ 247)( 3 ; 217)( 2 xxR 4. Suma y resta los siguientes polinomios: 10975)( 234 xxxxP y 726)( 23 xxxxQ 5. Suma y resta los siguientes polinomios: 22)( 23 xxxxP y 155)( 23 xxxxQ 6. Dados los polinomios:
155)(5335)(
22)(122)(
23
23
23
23
xxxxSxxxxR
xxxxQxxxxP
efectuar las siguientes operaciones simplificando los resultados lo más posible:
5
I )()()()( xsxRxQxP II. )()()()( xSxRxQxP III. )(3)(2 xQxP IV. )(4)(3)(2)( xSxRxQxP V. )()()()( xPxSxRxQ VI. )()()(2 xPxSxP VII. )(2)()( xRxSxP 7. Efectúa los siguientes productos de los siguientes polinomios: a. 5842 xx b. 34132 2 xxx
c.
412262 23 xxxx
d. 2513 323 xxxxx e. 534623 23 xxxx f. 652473 2245 xxxxx g. 2321653 223 xxxxx h. 723564 23 xxxx 8. Efectúa las siguientes divisiones de polinomios: a. xxxx 2:4816 24 b. 132:2552 234 xxxxx c. 32:175194 2235 xxxxxx d. 453:2429116 2234 xxxxxx e. 1:1234 2235 xxxxxx f. 23:1332 2245 xxxxxx g. 162:2646 23235 xxxxx h. 12:23 2346 xxxxx 9. Hallar, mediante la regla de Ruffini, el cociente y resto de las siguientes divisiones: a. 2:13423 234 xxxxx b. 5:1523 235 xxxx c. 3:814 xx d. 1:18 xx
e.
21:3268172 34 xxxx
10. Hallar “a” para que el polinomio 6543 234 axxxx sea divisible por 2x
6
11. Hallar “a” para que el polinomio 16912 23 axxx sea divisible por 2x
12. Halla el valor numérico del polinomio 523 24 xxx para x = 3
13. Sin efectuar la división, indica cuales de las siguientes divisiones son exactas:
a) x3 - 2x2 – 6x + 2 : x-2 b) x4 – 3x3 + x2 + 1 : x-1
14. Calcula el valor de m para que el polinomio 213)( 23 xmmxxxP sea divisible por x+2
14. Halla el polinomio de segundo grado que satisfaga las condiciones siguientes:
a) El coeficiente de segundo grado sea -2 b) Que sea divisible por x-3 c) Que al dividirlo por x+2 el resto de la división sea -10
15. Dado el polinomio bxaxxxP 7)( 23 , calcula a y b sabiendo que P(x) es divisible por (x-5) y que el resto de dividir P(x) por (x-2) es 9.
1.2 Ecuaciones Objetivo Calcular raíces de una ecuación polinómica de grado dos aplicando la fórmula tradicional y de una de grado tres usando la regla de Ruffini
EJERCICIOS 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: 092 x 012 x 092 xx 062 xx 0652 xx 03093 2 xx 0253 2 xx 01582 xx xxx 82142
xxx 235242
xx 4242 2 037 xx 0742 xx 0122 xx
7
2. Calcula las raíces de las siguientes ecuaciones: 010932 23 xxx 0673 xx 010932 23 xxx 029103 23 xxx 023 23 xxx 04423 xxx 0652 23 xxx 01834 23 xxx
0362 23 xxx 01036 23 xxx 05252 23 xxx 08126 23 xxx 0201253 23 xxx 025204 23 xxx
1.3 Sistema de ecuaciones Objetivos 1. Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. 2. Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en el que una
ecuación no sea lineal y que conduzca a una ecuación de segundo o tercer grado sencilla.
3. Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales y tres incógnitas usando el método de reducción.
4. Resolver un problema sencillo que suponga el planteamiento de un sistema entre los citados en los tres apartados anteriores.
EJERCICIOS 1. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método más conveniente: sustitución, igualación o reducción
a.
62
yxyx
b.
432432
yxyx
c.
142443
yxyx
i.
753122532
yxyx
j .
7252
yxyx
k.
3851223
yxyx
d.
35383
yxyxy
e.
143
753yx
yx
8
f.
021
34
23
yx
yx
g.
112
yxxy
h.
0
822
yxyx
l
12319
4563
6543
3213
yxyx
yxyx
ll.
xxyx
yx
21342
2213
2
m.
62
023
22 yxyx
yx
n.
1201332
22 xyxyx
2. Resuelve los siguientes sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas:
a.
317
zyxzyxzyx
b.
242352
11
zyxzyx
zyx
c.
54
6
zyzx
zyx
d.
1231532
3
yxzyzyx
e.
296511532
2
zyxzyx
zyx
f.
2041655152
zyxzyxzyx
g.
43210231632
zyxzyxzyx
h.
68
12
zxzy
yx
i.
162442
92
zyxzyxzyx
j.
102518826
33
zyxzyx
zyx
9
3. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
Número de zapatos que hay en una habitación con x personas Número de dedos de x manos Número de orejas en una habitación con x personas Numero de personas que hay en una habitación después de llegar 2 Número de cromos que me quedan después de perder 12 en el juego Número de ruedas necesarias para fabricar x coches Numero de euros para cambiar por x billetes de 5 euros Numero de días de x semanas Número de horas de x días Numero de patas de una corral de x gallinas Número de patas de x sillas Número de pasajeros de autobús después de bajar 7 Numero de bañistas de una piscina después de salir 15 La tercera parte de un número más 3 unidades El triple de un número menos 3 unidades El triple de un número más su tercera parte La tercera parte de un número menos 3 El triple de un número menos su tercera parte La mitad de un número menos su tercera parte Numero de personas casadas después de celebrarse x matrimonios Repartir una fortuna entre 7 hermanos Doble de la edad más 25 años Dos quintos de un número El triple de un número más 1 Un número menos 3 Tres octavos de un número Número de participante que llegan a la meta si se retiran 5 Valor de 5 sello de correos de x céntimos La edad de Pedro hace 4 años El doble de mi edad menos 2 años La cuarta parte de una cantidad de dinero más 500 euros Me dan 1/3 de las naranjas de una caja y se me pudren 3 Un número más su quinta parte Restar a la sexta parte de un número 4 unidades Cuatro menos un número El cuádruplo de un número La cuarta parte de un número La cuarta parte de un número más su quinta parte Número de lectores en un biblioteca después de irse 8 Número de patas en una cuadra de caballos Número de huevos para rellenar x docenas Páginas que me faltan para leer un libro si ya he leído 25 Mi padre me da el doble del dinero que tenía ¿Cuánto tengo ahora? Añadir 2 al doble de un numero La mitad de un número menos su doble
10
4. Cada 8 horas un trabajador produce 10 mesas de tipo A y 9 mesas de tipo B. En 10 horas produce 8 mesas de tipo A y 18 mesas de tipo B. Determinar el tiempo que tarda en producir cada tipo de mesa. 5. Un individuo invirtió 6.000.000 de euros repartidos en tres empresas y obtuvo 450.000 euros de beneficios. Calcular la inversión realizada en cada empresa sabiendo, que en la empresa A hizo el doble de inversión que en la B y C juntas y que los beneficios de las empresas fueron de 5% en la empresa A, 10% en la B y 20% en la C. 6. La suma de las edades, en el momento actual, de un padre y sus dos hijos es 73 años. Dentro de 10 años la edad del padre será el doble de la edad del hijo menor. Hace 12 años la edad del hijo mayor era el doble de la edad de su hermano. Halla la edad de cada uno.
7. Los animales de un laboratorio deben mantenerse bajo una dieta estricta. Cada animal recibe 10 g de proteínas y 3 g de grasas. Se dispone de dos tipos de alimentos: el tipo A con 5% de proteínas y 3% de grasas, y el tipo B con 10% de proteínas y 1% de grasas.¿Cuantos gramos de cada alimento pueden utilizarse par obtener la dieta correcta de un único animal?
8. La suma de las tres cifras de un número es 6, y si se intercambian la primera y la segunda, el número aumenta en 90 unidades. Finalmente, si se intercambian la segunda y la tercera, el número aumenta en 9 unidades. Calcular dicho número.
11
Tema 2 Matrices y determinantes
Objetivos 1. Realizar una operación con matrices que suponga sumar, restar, multiplicar por un escalar, multiplicar entre ellas, teniendo como mucho tres filas o columnas. 2. Calcular determinantes de matrices 2× 2 y 3×3. 2.1 Concepto de matriz Una matriz m x n es una tabla ordenada de números dispuestos en m filas y n columnas escrita entre paréntesis. Los números situados en una matriz se llaman elementos.
A m x n A Fila x Columna
Ejemplo: A 2 x 3 =
741923
Tipos de matrices:
Matriz cero o nula: Cuando los elementos de la matriz son todos iguales a cero.
Ejemplo: 0000 O1x4
Matriz fila: Cuando la matriz solo tiene una fila
Ejemplo: A = 862
Matriz columna: Cuando la matriz solo tiene una columna
Ejemplo: A =
09
8
12
Matriz opuesta (-A) : Cuando los elementos son los opuestos de los correspondientes elementos de A.
Ejemplo: A =
39
65 -A =
3965
Matriz cuadrada (M m x m ): Cuando la matriz A tiene el mismo número de filas que de columnas.
A =
aaaaaaaaa
, es una matriz de orden 3.
La diagonal de A está constituida por los elementos: a11, a22, a33 La traza de A es la suma de esos elementos diagonales.
Tr(A)= a11 + a22 + a33
Matriz diagonal: Cuando todos los elementos que no pertenecen
a la diagonal de una matriz cuadrada son cero.
Ejemplo: A =
100050009
Matriz identidad: Cuando los elementos de la diagonal de una
matriz diagonal son todos iguales a uno.
Ejemplo: I 3 =
100010001
Matriz triangular superior: Si todos los elementos situados bajo la
diagonal de una matriz diagonal son iguales a cero.
Ejemplo: A =
900810695
13
Matriz triangular inferior: Si todos los helmintos situados sobre la diagonal de una matriz diagonal son iguales a cero.
Ejemplo: A =
791089007
Matriz transpuesta: Se obtiene cambiando columnas por filas y
filas por columnas, conservando el orden relativo de los elementos.
Ejemplo: A =
310541907
At =
359140017
Las matrices se utilizan como notación abreviada para representar sistemas de ecuaciones lineales.
Ejemplo: A cada sistema de ecuaciones
74
923yxyx
se le asocia la matriz de coeficientes:
A=
4123
Y la matriz ampliada:
A*=
741923
Representación matricial:
4123
.
79
YX
14
2.2 Suma, resta y producto de matrices
Para que dos matrices A y B puedan sumarse necesitan tener la misma dimensión m x n .
Ejemplo: A =
39
65 B =
4130
A + B =
43193605
=
710
35
Para que dos matrices A y B puedan restarse necesitan tener la misma dimensión m x n .
Ejemplo: A =
7321
B =
4130
A + B =
47133201
=
114
51
El producto de una matriz A por una matriz B solamente está
definido si el número de columnas de A y el número de filas de B coinciden. El producto de matrices no es conmutativo.
Ejemplo: A =
39
65 B =
141
260
AB=
1·32·94·36·91·30·9
)1·(62·54·66·51·60·5=
21663
1666
2.3 Calculo de determinantes de matrices 2x2 y 3x3 Ejemplos:
4120
= 0·4-2·1=-2
15
162082501
=
= [1·8·1 ] + [2·6·5 ] + [0·0·(-2) ] – [ 5·8·(-2) ] - [1·6 ·0 ] – [0·2·1] = = 8 +60 +0 +80 -0-0 =148 EJERCICIOS
1. Dadas las matrices A=
260
027 B=
413
101 C=
1041
Calcula: A + B ; C x A ; C x B ; 3A – 2B ; A - B
2. Dadas las matrices A=
7064
, B=
84
41 y C=
07
53
Calcula A +B+C: A +B x C ; 2A + 3B ; A x C + B ; A-C ; A -B
3. Dadas las matrices A =
5130
12 , B =
411641
, calcula A + B , A x B ; B x
A ; B-A 4. Halla los siguientes determinantes:
a) 61
24
b) 28
11
c) 3152
d) 1248
e) 3590
f) 1834
g) 3570
h) 1127
i) 342213106
16
j) 423201
154
k) 313421
312
l) 324
322131
m) 111724350
n)326514782
o)201348265
17
Tema 3 Logaritmos
Objetivos 1. Calcular el logaritmo de un número conociendo el valor del logaritmo de otro. 2. Desarrollar el logaritmo de una expresión en la que aparezcan productos, cocientes, potencias y raíces. 3.1 Logaritmos decimales y neperianos Si a >0 y a ≠1 se llama logaritmo en base a de P , y se designa Palog , al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.
PaxP xa log
Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y, en lugar de designarse mediante 10log se designan así: log
KK 10loglog
Los logaritmos cuya base es el número e se llaman logaritmos neperianos, y se designa mediante ln .
KK elogln 3.2 Propiedades de los logaritmos 1. El logaritmo de la base es 1:
1log aa 2. El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base:
01log a 3. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
QPQP aaa logloglog
18
4. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el del denominador:
QPQP
aaa logloglog
5. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia:
PnP an
a loglog 6. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice:
nPP an
aloglog
7. Cambio e base. El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base:
aPP
b
ba log
loglog
EJERCICIOS 1. Sabiendo que 5,3log 2 A y 4,1log 2 B calcular:
a) 4
log 2BA
b) 322logB
A
2. Si 7,0log k , calcula
100log
3 k
3. Calcula: 271log2log 32
4. Calcula: 81log3log91log 333
5. Calcula: 5237 8log
31log2401log
6. Calcula: 41log32log
101log 22
7. Desarrolla z
yx 3log3
19
8. Sabiendo que 8,1log5 A y 4,2log5 B , calcula:
a) 32
5 25log
BA
b) 2
3
55log
BA
9. Sabiendo que 4,14log k , calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) 100
log k
b) 21.0log k
c)k1log
d) 2log k
10. Sabiendo que log 3= 0,477, calcula el logaritmo decimal de 30 , 300 , 3000 , 0.3 0.003 11. Sabiendo que 45,0ln k calcula el valor de:
a) ekln b) 3ln k c)
ke2
ln
12. Si xk log , escribe en función de x;
a) 2log k b) 100
log k c) k10log
13. Calcula el valor de las expresiones siguientes:
a) 35
26
2 5122464log
b) 3
3
3 278172927log
14. Comprueba que 61
log
log1log3
a
aa , siendo 1a
20
Tema 4 Geometría Analítica en el plano
Objetivos 1. Saber obtener la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas, la ecuación continua, la ecuación explícita y la ecuación general de una recta bien conociendo dos puntos por los que pasa bien conociendo un punto y su vector director. 2. Saber obtener la ecuación de una recta conociendo un punto por el que pase y el valor de su pendiente. 3. Saber obtener el valor de la pendiente de una recta. 4. Dada una recta obtener rectas paralelas a la misma desde un punto exterior, o perpendiculares desde un punto cualquiera. 4.1 Ecuación de la recta en el plano Un vector AB queda determinado por dos puntos, origen A y extremo B:
12,12 yyxxAB
Una recta puede quedar determinada por:
Un punto y un vector de dirección Dos puntos Un punto y la pendiente La pendiente y la ordenada en el origen Un punto y un vector normal
21
ECUACION VECTORIAL 212,1 ,, vvtppyx ECUACIONES PARAMETRICAS
22
11
vtpyvtpx
ECUACION CONTINUA
2
2
1
1
vpy
vpx
ECUACION GENERAL O IMPLICITA 0 CByAx
donde ABv ,
es un vector director de la recta
BAn ,
es un vector perpendicular a la recta ECUACION EXPLICITA nmxy donde m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen
1
2
12
12
vv
xxyym
ECUACIÓN PUNTO – PENDIENTE 12 pxmpy
22
4.2 Posiciones Relativas
Objetivo Relacionar la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas con su incidencia o paralelismo. Para averiguar si las rectas son secantes, paralelas o coincidentes, hallaremos su intersección resolviendo el sistema que forman sus ecuaciones de manera que:
Si tiene una solución , se cortan: SECANTES Si no tienen solución, las rectas son PARALELAS. Si tiene infinitas soluciones, las rectas son COINCIDENTES.
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Dos rectas son perpendiculares si se cumple que 121 mm 4.3 Distancia entre dos puntos del plano
Objetivo Hallar la distancia entre dos puntos del plano. El módulo de vector AB es la distancia entre dos puntos:
2122
12, yyxxABBAd
4.4 Distancia de un punto a una recta
Objetivo Calcular la distancia de un punto a una recta, bien usando una fórmula bien deduciendo ésta. La distancia de un punto P(a,b) a la recta Ax+By+C=0 es :
22
,BA
CBbAarPdist
23
EJERCICIOS
1. Halla las coordenadas de MN y NM , siendo M ( 7,-5 ) y N (- 2,-11 ) 2. Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(-3,7) y tiene
la dirección paralela al vector 1,4
d . Dando valores al parámetro, obtén otros cinco puntos de la recta. 3. Halla la ecuación de la recta r, de todas las formas posibles, que pasa por el punto (3,2) y su vector de posición (4,-5). 4. Halla la ecuación de la recta r, de todas las formas posibles, que pasa por el punto A (3,5) y lleva la dirección del vector u = (2,-4) 5. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3,2) y B(1,-4) 6. Dada la recta de ecuación X = (3,2) + t (9,-1), averigua el vector director, un punto y la pendiente de dicha recta. 7. Dada la recta de ecuación x = -3 + t y = 2 – 5t averigua el vector director, un punto y la pendiente de dicha recta.
8. Dada la recta de ecuación 12
x
= 4
5y averigua el vector director y un
punto de dicha recta. 9. Halla las pendientes de las rectas que pasan por:
a) A ( -2,1) , B (5,4) b) P ( 4,2) , Q ( 1,7) c) A ( 0,-8) , B ( -3,5) d) P ( 5,5) , Q ( 10,-10)
10. Escribe la ecuación de la recta de pendiente 3 y cuya ordenada en el origen es -5.Averigua el punto cuya abcisa es x = -4. 11. Escribe la ecuación de la recta de pendiente -1 y ordenada en el origen 4. Averigua el punto cuya ordenada es y= 1/2 12. Escribe la ecuación de la recta de ordenada 1 y pendiente 6.Averigua el punto cuya abcisa es x = 3. 13. Escribe la ecuación de la recta de pendiente -3 y corta al eje y en el punto (0,5).
24
14. Escribe la ecuación de la recta de pendiente 2 y pasa por el punto (0,-4). 15. Halla la ecuación de la recta que pasa por (-5,7) y tiene pendiente -2. 16. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,2) tiene de pendiente -2. 17. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (-4,3) y tiene de pendiente 6. 18. Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos:
a) (-7,11) (1,7) b) (3,-2) (1,4) c) (-2,5) (-2,8) d) (6,-1)(0,-5) e) (0,9) (-7,2)
19. Dada la recta de ecuación 5 x – 7 y – 2 = 0 , averigua el vector director , un vector normal , un punto y la pendiente de dicha recta. 20. Dada la recta de ecuación y = 2x - 6, averigua un punto, la pendiente y la ordenada en el origen. 21. Halla la ecuación de la recta paralela a y = 6x+2 y cuya ordenada en el origen es 4. 22. Halla la ecuación de la recta paralela a 13 xy y cuya ordenada en el origen es -3. 23. Halla la ecuación de la recta paralela a 15 xy y cuya ordenada en el origen es 2. 24. Halla la ecuación de la recta paralela a 42 xy y cuya ordenada en el origen es 5.
25. Halla la ecuación de la recta paralela a 52
xy y cuya ordenada en el
origen es -3.
26. Halla la ecuación de la recta paralela a 53
2
xy y cuya ordenada en el
origen es -1.
27. Halla la ecuación de la recta paralela a 45
xy y cuya ordenada en el
origen es 1.
25
28. Halla la ecuación de la recta paralela a 2x -3y = 0 cuya ordenada en el origen es -2. 29. Halla la ecuación de la recta paralela a 92 xy y que pase por el punto (1,2). 30. Halla la ecuación de la recta paralela a 35 xy y que pase por el punto (0,6).
31. Halla la ecuación de la recta paralela a 95
xy y que pase por el punto
(15,3). 32. Halla la ecuación de la recta paralela a 2x –y +5 = 0 que pase por el punto ( 0, 2). 33. Dada la recta 39 xy , escribe la ecuación de la recta perpendicular a ella, que pasa por el punto (2,3). 34. Dada la recta 6 xy , escribe la ecuación de la recta perpendicular a ella, que pasa por el punto (2,3). 35. Dada la recta 43 xy , escribe la ecuación de la recta perpendicular a ella, que pasa por el punto (0,-9).
36. Dada la recta 92
xy , escribe la ecuación de la recta perpendicular a
ella, que pasa por el punto (-4,1).
37. Dada la recta 412 xy , escribe la ecuación de la recta perpendicular a
ella, que pasa por el punto (-2,-3).
38. Dada la recta 328 xy , escribe la ecuación de la recta perpendicular a
ella, que pasa por el punto (-3,0). 39. Dada la recta 92 xy , escribe la ecuación de la recta perpendicular a ella, que pasa por el punto (-7,7). 40. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,-2) y tiene igual pendiente que la recta –x + y + 3 = 0 41. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-2,1/3) y tiene igual pendiente que la recta que pasa por los puntos P(2,1) y Q(3,4)
26
42. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,3) y es paralela a la recta x + y – 3 = 0 43. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de la rectas 3x + 4 y -10 = 0 4 x – 3y – 5 = 0 y por el punto P (-3,2) 44. Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(3,-4) 45. Halla la ecuación de la recta que pasa por (2,3) y es: a) Paralela al eje X b) Paralela al eje Y c) Que pase por el origen de coordenadas 46. Calcula la ecuación de la recta paralela a la de ecuación 2x – y = 0 sabiendo que su ordenada en el origen es 7 47. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto de corte de las rectas r y s de ecuaciones r ≡ 3x +2y -5 =0 y s ≡ 5x -7y + 2 = 0 y es
paralela a la recta 5
2x =
53y
48. Halla el punto de intersección de las rectas: a. 8x +2y – 20 = 0 y 3x +2y -13 =0 b. x – y = 30 y x – y = 14 c. 3x + 2y -19=0 y 5x + y -20 = 0 d. 5x -6y -7 = 0 y 5x +4y -5 = 0 49. Obtén la distancia entre los siguientes pares de puntos: a. (3,-5), (1,4) b. (-2,5) , (-3,-7) 50. Halla la distancia del punto Q(-3,4) a las siguientes rectas: a) 2x +3y =4
b) 2
1x= y – 4
c) x = 1 -2t y = 3 -6t 51. Calcula la distancia del origen de coordenadas a las siguientes rectas:
a) 3x-4y+12=0 b) 2y-9=0
c) x =3 d) 3x-2y=0
27
52. Dadas las rectas:
tytx
r32
57:1
tytx
r21
2:2
tytx
r65
35:3
tytx
r412
25:4
Averigua la posición relativa de: a) r1 y r2 b) r2 y r3 c) r3 y r4
28
Tema 5 Trigonometría
Objetivos 1. Conocer las definiciones del seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. 2. Saber los valores del seno, coseno y tangente de los ángulos de 0, 30, 45, 60 y 90 grados sexagesimales. 3. Saber pasar de grados sexagesimales a radianes y viceversa. 4. Dado un triángulo rectángulo en el que se desconozca algún elemento (lados o ángulos) obtenerlo a partir de los que se conozca. 5. Conocer y aplicar el Teorema de Pitágoras. 6. En un triángulo cualquiera obtener la altura sobre un lado. 7. Resolver un problema sencillo cuya modelación sea un triángulo rectángulo cuyo elemento incógnita sea lo que se quiere hallar. La Trigonometría estudia, principalmente, la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo. 5.1 Razones trigonométricas del ángulo agudo
sen α = hipotenusaladelongitud
aopuestocatetodellongitud
cos α= hipotenusaladelongitud
acontiguocatetodellongitud
tg α=
acontiguocatetodellongitudaopuestocatetodellongitud
tg α=
cossen
cotg α = tg
1
sec α = cos
1 cosec α=
sen1
29
5.2 Propiedades Las razones trigonométricas de un ángulo agudo tienen las siguientes propiedades: ■ A partir de las definiciones de las razones trigonométricas, y considerando que 0º < α < 90º , se deduce que :
0 < senα < 1 0 < cosα < 1 Esta propiedad es consecuencia del hecho de que, en todo triángulo rectángulo, los catetos son menores que la hipotenusa. ■ Para cualquier ángulo agudo se cumple que:
1cos22 sen
5.3 Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo es hallar todos sus elementos
desconocidos. En un triángulo hay que determinar seis elementos:
- Los tres ángulos A , B y C - Los tres lados a, b y c
Para resolver un triángulo rectángulo se pueden utilizar: ■ La propiedad que indica que la suma de los tres ángulos de un
triangulo es 180º. ■ El teorema de Pitágoras.
Hipotenusa2 = cateto2 + cateto2
■ Las definiciones de las razones trigonométricas.
30
5.4 Tipos de triángulos
SEGÚN SUS LADOS
Equilátero 3 lados iguales
Isósceles 2 lados iguales
Escaleno Ningún lado igual
SEGÚN SUS ÁNGULOS
Acutángulo 3 ángulos iguales
Rectángulo 1 ángulo recto
Obtusángulo 1 ángulo obtuso
5.5 ¿Cómo pasar de grados sexagesimales a radianes y
viceversa?
Mediante una regla de tres: 180º son л radianes Ejercicio: Pasa 210º a radianes
Ejercicio: Pasa 3
2rad a grados sexagesimales
5.6 Algunos resultados muy útiles Los resultados siguientes aparecen con tanta frecuencia que es conveniente memorizarlos:
La altura de un triángulo es igual al producto de uno de sus lados laterales por el seno del ángulo que dicho lado forma con la base.
ALTURA DE UN TRIÁNGULO senahahsen
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.
ÁREA DE UN TRIÁNGULO senbasenabhbÁrea
21
22
31
5.7 Razones trigonométricas de 0, 30, 45,60 y 90 grados sexagesimales
Razones
0º rad
6º30 rad
4º45 rad
3º60 rad
2º90
sen α
0 2
1
22
23
1
cos α
1 2
3
22
21
0
tg α
0 3
3
1
3 -
EJERCICIOS 1. Los catetos de un triangulo rectángulo miden 12 y 16 m. Halla la hipotenusa y su área. 2. En un triangulo la hipotenusa mide 25 m y uno de los catetos 15 m. Halla el otro cateto. 3. El ángulo de elevación del Sol sobre el horizonte es de 35º. Calcular la sombra que proyectará una persona de 1,75 metros de estatura Sol: 2,5 m. 4. Dado un triángulo rectángulo en el que a= 12 cm y b = 6 cm , calcula los otros elementos del triángulo. 5. Calcula la altura a que llega una escalera de 4,5 metros apoyada en una pared formando un ángulo de 60º con el suelo. 6. El ángulo desigual de un triángulo isósceles es de 30º. Los lados iguales miden 7 cm cada uno. Calcula el área del triángulo. 7. Un grupo de bomberos intenta, con mucha prisa y con una escalera de 5 metros de longitud, llegar a una ventana situada a 4 metros del suelo de un edificio, de donde sale un humo sospechoso de que algo se quema. ¿A que distancia de la pared del edificio habrán de colocar el pie de la escalera para poder entrar por la ventana con facilidad antes de que sea tarde? 8. Calcular a que distancia de la pared debemos situar una escalera de 6 metros para que llegue a una ventana situada a 4 metros del suelo. 9. Un poste metálico de 17 m de alto ha caído sobre la pared de un edificio. ¿Qué altura habrá alcanzado la parte superior del poste si estaba colocado a 10,2 m de la pared del edificio?
32
10. ¿Qué altura podremos alcanzar con una escalera de mano de 11,5 m de larga, colocando su pie una distancia de 6,9 m de la pared? 11. Calcula el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10 m. 12. Una cometa esta unida al suelo por un hilo de 100 m, que forma con la horizontal del terreno un ángulo de 60º. Suponiendo que el hilo esta tirante, halla la altura de la cometa. 13. Resuelve los triángulos rectángulos, en los que A=90º: a) b=3, c=3; b) a=5;B=37º;
c) c=15, b=8.
Sol: a) B=45º, C=45º, b=3 2 ; b) C=53º, b=3, c=4; c) a=17,C=61,9º, B=28,1º 14. La base de un triángulo isósceles mide 60 cm y los lados iguales 50 cm. Calcula sus ángulos. Sol: 53º, 53º, 74º. 15. Sabiendo que en un triángulo A=90º, a=13 cm y b=12 cm. Hallar el otro lado y los otros ángulos. Sol: c=5, B=67,4º, C=22,6º 16. Resuelve el triángulo, rectángulo en A, sabiendo que: B=30º y b=4 cm. ¿Cuál es su área?. Sol: C=60º; b=4 3 cm; a=8 cm; S=8 3 cm2. 5. Resuelve el triángulo isósceles ABC, en el que el ángulo desigual es A, conociendo: a) c=10 m y a=12 m; b) A=120º y c=2 m; c) B=45º y a=10 m.
33
Sol: a) C=B=53º; A=74º; b=c=10; b) B=C=30º; b=c=2, a=2 3; c) B=C=45º, A=90º, b=c=5 2 . 6. La base de un triángulo isósceles mide 20 m y el ángulo opuesto 74º. Calcula los lados y la superficie. Sol: x=50/3; S=400/3 m2. Problemas de ecuaciones aplicados a trigonometría 13. La hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 25 m. y sus catetos miden lo mismo, ¿cuánto mide cada cateto? 14. Halla los lados de un triangulo rectángulo sabiendo que ordenados de mayor a menor, cada lado mide 2 m más que el anterior. 25. Hallar los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 13 cm y que la diferencia entre sus catetos es 7 cm.
34
Tema 6 Funciones
Objetivos 1. Encontrar el campo de existencia de fórmulas sencillas (cociente de polinomios, raíces de polinomios de grado uno o dos a lo sumo y logaritmos) 2. Conocer la representación gráfica de las funciones polinómicas de grado menor o igual a tres. 3. Conocer la representación gráfica de las funciones seno, coseno y tangente. 4. Conocer la representación gráfica de la función exponencial a x 5. Conocer la representación gráfica de la función logarítmica tanto decimal como neperiano. 6. Conocer los ceros de las funciones anteriores (puntos donde corta al eje de abscisas) y los puntos donde corta al eje de ordenadas. 6.1 Concepto de función Una función y = f(x) es una relación entre las variables x e y que asocia a cada valor de la variable x un único valor de la variable y. La expresión algebraica de la función se llama ecuación de la función La variable x se llama variable independiente y la variable y variable dependiente. Se llama dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, x, y se representa por D (f) Se llama recorrido o Rango de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, y, y se representa por Re (f). Ejemplo: Si colocamos las horas del día en el eje de abcisas y la temperatura en el eje de ordenadas, se considera la temperatura como una magnitud que depende o esta en función de la hora del día: se dice que la temperatura es la variable dependiente y la hora del día es la variable independiente. 6.2 Dominio y rango Una función de variable real f es una relación que asigna a cada número real x (variable independiente) de un cierto conjunto de números reales, que se llama dominio, un único número real y (variable
35
dependiente). Se representará por y = f(x) y se dirá que y es la imagen del origen x. El dominio de la función f se representará por D(f). El conjunto de todas las imágenes o valores que toma una función f se llama Recorrido y se representará por R(x). 6.3 Funciones lineales
y = mx + n Representa una recta de pendiente m y pasa por el punto ( 0 , n) . La n se llama ordenada en el origen. La pendiente de una recta es la variación ( aumento o disminución) que se produce en la y cuando la x aumenta una unidad.
12
12
xxyym
Puntos de corte con los ejes
Con el eje de abcisas ( OY) :Se obtiene dando el valor de y =0 Con el eje de ordenadas (OX) : Se obtiene dando el valor de x =0
Crecimiento y decrecimiento
Cualquier función es creciente cuando se verifica que al aumentar la variable independiente x , aumenta la variable dependiente y.
Cualquier función es decreciente cuando se verifica que , al aumentar el valor de las variables independiente , x , disminuye la variables dependiente y .
Puntos máximos y mínimos
Los puntos máximo y mínimo son los puntos donde la función alcanza el mayor y el menor valor respectivamente.
Máximos y mínimos relativos
Es un máximo relativo cuando en él se sufre el cambio de monotonía, deja de crecer para empezar a decrecer.
Es un mínimo relativo cuando en él se sufre el cambio de monotonía, deja de ser decreciente para ser creciente.
36
6.4 Funciones cuadráticas
y = ax2 + bx + c 1. Si a< 0 sus ramas van hacia abajo Si a > 0 sus ramas van hacia arriba
2. Vértice x0 = ab
2
y0 = f(x0)
3. Cortes con los ejes - Eje OX (abcisas) Cuando y = 0 - Eje OY (ordenadas) Cuando x = 0 4. Tabla de valores 6.5 Funciones exponenciales f(x) = ax
con a > 0 y a 1 siendo el número a la base. 1. Las exponenciales de la forma ax son crecientes Las exponenciales de la forma a-x son decrecientes 2. Dominio: 3. Recorrido: (0, ) 4. Todas pasan por el punto (0,1)
37
6.6 Funciones logarítmicas
xxf alog con a > 0 y a ≠1 1. Todas ellas son continuas en (0,+∞) 2. Pasan por los puntos (1,0) y (a,1) 3. Son crecientes si a>1 4. Si 0 < a < 1 , son decrecientes 6.7 Funciones circulares
seny
1. Su dominio es y su recorrido es 1,1 2. Es continua es su dominio y periódica de periodo 2 3. Corta al eje OX en los puntos x= 2,,0
tgy
1. Su dominio es D =
,
25,
23,
2
y su recorrido es
2. Presenta discontinuidades en 2
, 2
3 ,
25
, …. y es periódica de
periodo 3. Corta al eje OX en los puntos x = 0 , , 2 , …
38
EJERCICIOS 1. Representa las siguientes rectas:
a. y = x + 3 b. y = x - 5 c. y = 2x + 1 d. y = -X +2 e. y =-2X -8 f. y = 9 g. y = -2
h. y =0 i. y = -3x+2 j. y = -1 k. y = x + 3
l. y = 2x
+3
2. Representa las siguientes parábolas:
a. y = x2 + 7x + 10 b. y = x2 + 10x +21 c. y = x2 – 3x -10 d. y = x2 – 49 e. y = 16x2 – 1
f. y = x2 – 7x g. y = x2 h. y = x2 – 8 i. y = x2 +5
3. Halla el dominio de las siguientes funciones: a)
86 23 xxy
b) 51
xxy
c) 3
72
xxy
d) 942
2
x
xy
e) x
xy21
3
f) xy 21
g) 22 xxy
h) 42 xy
i)24
1x
y
j) 1
12
x
y
k) 12
x
xy
39
Tema 7 Límites
Objetivos 1. Calcular límites de cocientes de polinomios cuando la variable tiende a infinito. 2. Calcular límites del cociente de dos polinomios cuando x tiende a un número de forma que aparezca la indeterminación cero partido por cero. Se sugiere usar la regla de Ruffini. 3. Encontrar límites laterales de funciones definidas a trozos.
7.1 Cálculo de límites de cocientes de polinomios cuando x tiende hacia a
Si el denominador no se anula, el límite en a es el valor de la función en a.
lim )()(
)()(
cQcP
xQxP
Si el denominador se anula y el numerador no se anula, el límite es
infinito
lim )()(
xQxP
En estos casos hay que estudiar los dos límites laterales.
Si tanto el numerador como el denominador se anulan, entonces la
expresión puede simplificarse.
40
7.2 Cálculo de límites de cocientes de polinomios cuando x tiende hacia
..........
)()()(
n
m
bxax
xQxPxf
Si el grado de P> grado de Q entonces:
lim f(x) =
Si grado de P < grado de Q entonces el límite vale 0.
Si grado de P = grado de Q entonces:
lim f(x) = ba
EJERCICIOS
1. Calcula los siguientes límites:
1. 21lim
2
xx
x
2. 2
3
1 1lim xx
x
3. 10365
2
2
2lim
xx
xxx
4. 12167 23
3
2lim xxx
xx
5. 12167
6523
23
3lim
xxx
xxxx
6. 3
5lim3
x
xx
7.xxx
x
1
2
1lim
8. 2
1lim3
x
xx
9. xx
xx 2
42
0lim
10. x
xxx
22
0
23lim
11. x
xxx 7
72
0lim
12. 112
1lim
x
xx
13. 42
22
lim
xx
x
14. 34
32
3lim
xx
xx
41
15. xx
xx
2
3
1
1lim
16. 2
22
2lim
x
xxx
17.11
2
4
1lim
x
xx
18. 44
822
2
2lim
xx
xx
19. 122
23
1lim
xx
xxx
20. 23
2
2
2lim xxxx
x
21. x
xx 1
2lim1
22. 2
1lim3
x
xx
23. 43 23
1lim
xxx
2. Calcula los siguientes límites cuando x :
1.1
1lim 2
x
2. 212lim
xx
3.3
32lim
xx
4. x
x
3
2lim2
5. 32
2limx
6. x
x
15lim
2
7. xx
2523lim
8. x
x12lim
9. 2
2
13
limxx
10. 2121lim
xx
11. 5
1lim3 x
12. 87lim 2 xx 13. 98lim 2 xx
14. 52
lim3
xx
15. 2
2
13lim
xx
16. 12
lim 2
23
xx
xx
42
3. Hallar los límites de la función
37
352xxxx
xf en los puntos 3, 1 y
7.
4. Dada la función
01012
xxxx
xf halla el límite en los puntos -2, 3 y
0.
5. Hallar los límites de la función
142
12
3
xx
xxxf en el punto x = -1.
6. Hallar los límites de la función
1
24
12
xxxx
xf en los puntos x =-1
y x = 0
Hay que recordar que……. Cuando en un límite (donde x tienda a cero), nos encontremos las funciones siguientes:
xtgxa
xsenx
x
1ln
1cos1
Podremos sustituirlas por “ x” , y calcular el límite.
43
Tema 8 Continuidad y derivación
Objetivos 1. Conocer el concepto de función continua en un punto (aquella cuyo límite en dicho punto exista y coincida con el valor de la función en el punto). 2. Conocer la interpretación geométrica del concepto de función continua en un punto.
8.1 El concepto de función continua
Una función es continua en un punto x = a si su gráfica en la vecindad de a (en un entorno de a ) se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. En caso contrario se dice que es discontinua en x = a.
Una función es continua en si lo es en cada punto de la recta real. Los puntos donde una función no es continua se llaman de
discontinuidad. Las funciones elementales (lineales, polinómicas, racionales,
exponenciales, logarítmicas y trigonométricas) son continuas en todos los puntos de su dominio de definición. ¿Cuándo una función es continua? Las funciones definidas por expresiones analíticas elementales, son
continuas en todos los puntos en los que están definidas. Por ejemplo: 533 xxxf está definida en todo y , por tanto, es continua en todos los puntos de
35
xxxg es continua en todos los puntos , salvo en x = -3 donde no está
definida 4 xxh es continua en ,4 , que es donde está definida
44
Relación de la continuidad en a con el limite cuando ax
FUNCION CONTINUA si )(lim)( xfaf FUNCION CONTINUA si cumple estos tres criterios: 1. Que exista f(a) 2. Que exista el xf
axlim
Para que exista el límite debe cumplirse que:
xfxfaxax
limlim
3. Entonces f(a) = xf
axlim
EJERCICIOS 1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
32
xxy
xxxy 32
52 xy
xxy 32
2
1x
y
42
3
xxy
3212
2
2
xxxxy
2. Estudia la continuidad de las siguientes funciones definidas “a trozos”:
31343
xxxx
y
11122
2 xxxx
y
1
24
12
xxxx
y
45
12
11
x
xxy
35312
xxxx
y
01
012 xx
xy
11111
112
xsixxsix
xsixy
8.2 Derivada y su interpretación geométrica
Objetivos 1. Saber la definición de derivada de una función en un punto. 2. Conocer la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.
La tasa de variación media de una función en un intervalo proporciona información sobre el cambio total experimentado por la función en dicho intervalo, es decir, considerando sólo sus valores iniciales y final. Hay funciones con la misma TVM en un mismo intervalo. Para distinguirlas se necesita evaluar cómo es su variación instantánea en cada punto 0x . TASA DE VARIACIÓN MEDIA de una función xfy en un intervalo ba, es
el cociente
abafbf
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA o DERIVADA de una función xfy en un punto a es el límite, cuando 0h , de su tasa de variación media en el intervalo haa ,
h
afhafafh
lim
0
'
La derivada de una función xf en un punto x = a coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto y mide, por tanto, la inclinación de la gráfica sobre el punto a .
46
8.3 Cálculo de derivadas
Objetivos 1. Conocer las fórmulas de la derivada de la suma, resta, producto y cociente de funciones. 2. Conocer las derivadas de las funciones elementales (potenciales, exponenciales, circulares- seno, coseno, tangente -, logarítmicas) 3. Conocer la Regla de la Cadena para calcular la derivada de la función compuesta de dos funciones derivables. 4. Simplificar las expresiones que se obtengan tras una derivación.
TABLA I . REGLAS DE DERIVACIÓN
Suma ''´ gfgf
Resta ''´ gfgf
Producto ''' gfgfgf
Cociente 2
'''
ggfgf
gf
TABLA II. DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES
Tipo potencial
1 aa xaxD
0kD
1xD
xxD
21
Tipo logarítmico
xLxD 1
ex
xD aa log1log
Tipo exponencial
xx eeD
LaaaD xx
Tipo seno xsenxD cos
Tipo coseno senxxD cos
Tipo tangente xtgtgxD 21
47
EJERCICIOS 1. Calcula la derivada de las siguientes funciones:
632 23 xxy
89111224520 41225 xxxxy
22
xy
223
22
3 xxxy
325 xy
32 3 xy
xxy 53ln 5
75 26 xxy
xsenxy cos
796 34 xxxseny
49cos 3 xy
xseny 4
xxy 46cos 25
senxy
12 xy
xy ln
3 62 xy
xexy 3ln
senxexy 2cos
xesenxxy 2
xy 28
2. Calcula la derivada de los siguientes productos:
senxxy
xx ey 17
xey x cos2
xxy 354
xexy 32 16
132
xey x
senxecoxy
48
3. Calcula la derivada de los siguientes cocientes:
55
xxy
2
23
xxxy
2
3
1
xxy
12
xsenxy
senxsenxy
11
3
42xxy
171
x
y
332
x
y
41
x
y
4. Halla la derivada de las siguientes funciones, aplicando la regla de la cadena:
2
1
x
xy
42
3
xxy
xxy
xey1ln
3
3412
xxy
xseny 2
1254
xxLny
xxLny 23 2
23 xy
xey 24
2
xx eey
45725
xxxseny
x
x
eeLny
11
xxsenxxy 32ln6 777
xeLny 2cos
5cos4 2 xy
49
8.4 Recta tangente
Objetivos 1. Usar la interpretación geométrica de la derivada para calcular la recta tangente a una curva en un punto dado. 2. Saber hallar los puntos donde la tangente a una curva en un punto es horizontal. La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Por tanto, la ecuación de la recta tangente a la curva )(xfy en el punto de abcisa x0 es:
)()´( 000 xfxxxfy EJERCICIOS
1. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 652 xxy en el punto de abcisa x = 2.
2. Escribe la ecuación de la recta tangente a 522 xxy en el punto
de abcisa x = -1.
3. Escribe la ecuación de la recta tangente a 142 xxy cuya pendiente sea igual a 2.
4. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva xxy 33
que sean paralelas a la recta 0106 yx
5. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la función 24 xy en los puntos de corte con el eje de abcisas.
50
Soluciones ejercicios rectas tangentes Ejercicio 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-20
-10
10
20
x
y
Ejercicio 2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-20
-10
10
20
x
y
51
Ejercicio 3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-20
-10
10
20
x
y
Ejercicio 4
-2 -1 1 2
-4
-2
2
4
x
y
52
Tema 9 Aplicación de las derivadas
Objetivos 1. Obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función usando la primera derivada de la misma. 2. Calcular los máximos y mínimos de una función sencilla.
9.1 Obtención del crecimiento y decrecimiento de una función )´(xf es positiva la función es CRECIENTE )´(xf es negativa la función es DECRECIENTE 9.2 Extremos relativos
0)´( oxf Hay máximo o mínimo relativo en xo Para comprobar si es máximo o mínimo podemos calcular la segunda derivada.
mínimounesxpositivoesxf 00 )´´( máximounesxnegativoesxf 00 )´´(
EJERCICIOS 1. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos de las siguientes funciones:
11)( 2
xxxf
11)( 2
x
xf
1183)( 3 xxxf
xxxf
224)(
35)( 2 xxxf
2
3224)(x
xxxf
53
221)( xxxf
12)( 2
24
x
xxxf
4
123)(2
xxxf
33)( xxf
3)( xxf
473)( 2 xxxf
254)( 23 xxxxf
14)(
x
xf
Soluciones del ejercicio 1
xxxf
24)(
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
54
1183)( 3 xxxf
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
x
y
35)( 2 xxxf
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
55
2
3224)(x
xxxf
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-30
-20
-10
10
20
30
x
y
221)( xxxf
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-30
-20
-10
10
20
30
x
y
56
254)( 23 xxxxf
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-20
-10
10
20
x
y
9.3 Problemas elementales de máximos y mínimos Objetivo
Resolver problemas elementales cuya modelación suponga el cálculo del máximo o el mínimo de una función sencilla.
1. Halla dos números cuya suma sea 40 sabiendo que su producto es
máximo. Sol: 20 y 20 2. Halla dos números cuya suma es 18 , sabiendo que el producto del uno
por el cuadrado del otro ha de ser máximo. Sol: 12 y 6 3. Determina dos números cuya suma sea 24 y tales que el producto del
uno por el cubo del otro sea máximo. Sol: 18 y 6
57
4. ¿Cuál es el número que sumado con 25 veces su inverso da un valor mínimo? Sol: 5
5. Encuentra un número tal que al restarle su cuadrado la diferencia sea
máxima. Sol: 0,5 6. Un pastor quiera vallar un campo rectangular de 3600 m2 de superficie
para hacer un aprisco. ¿Podrías indicarle las dimensiones para que el coste fuera mínimo? Sol: 60 m x 60 m
7. Un pastor dispone de 1000 m de tela metálica para construir una cerca
rectangular aprovechando una pared ya existente. ¿Podrías indicarle las dimensiones pata que el corral sea lo mayor posible? Sol: 500 m x 250 m.
8. Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la
valla del lado del camino cuesta 8 euros/m y la de los otros 1 euro/m, halla el área del mayor campo que puede cercarse con 288 euros.
9. ¿Qué medidas tiene el triángulo de máxima área entre todos los que
tienen 10 cm de hipotenusa? Sol: 50 cm x 50 cm 10. Entre todos los rectángulos de perímetro 12 ¿Cuál tiene la diagonal
menor? ¿Cuanto mide ésta? Sol: 3m x 3m 11. Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los
márgenes superior e inferior deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm . Calcular las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. Sol: 5 cm x 10 cm
58
Tema 10 Cálculo integral 10.1 Noción de primitiva
Objetivo
Conocer el concepto de primitiva de una función en un intervalo. Se llama primitiva de una función xf , a otra función xF tal que
xfxF ' Cada función tiene infinitas primitivas que difieren en constantes. Todas ellas se designan con la expresión xf
Por tanto: xfxfD
kxFxF '
Al conjunto de todas las primitivas de una función se le llama integral indefina de xf :
CxFdxxf
10.2 Primitivas de funciones polinómicas Objetivo Calcular la primitiva de cualquier función polinómica.
knxx
nn
1
1
59
EJERCICIOS Halla una primitiva de cada una de las siguientes funciones: 1) 4x 2) x 3) 3 x
4) 4
1x
5) x
1
6) xx3
7) xx3
8) 33 xx 9) 1x 10) x4 11) 52x 12) 93x 13) 9
14) 72
x
15) 3
2 xx
16) 32
11xx
17) 4
1 xx
18) 32 x 19) 23 38 xx
20) 453x
x
21) 432 xx 22) 132 2 xx 23) 62 x 24) 24 x 25) 542 xx 26) 33x 27) 512 x 28) 2x 29) 53 x 30) 793 x
60
10.3 Obtención de áreas mediante integrales definidas del tipo dxxf
b
a
Objetivo Calcular el área encerrada entre una función polinómica, el eje de abscisas y dos rectas verticales usando la integral de la función.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si xfy es una función continua, el área bajo su gráfica en el intervalo
variable xa, es una función, x
afxF cuya derivada es xf :
xfxFfxFx
a '
Aplicando este teorema, podríamos obtener razonadamente áreas bajo curvas, siempre que supiéramos obtener una primitiva de xf . Sin embargo, el próximo resultado nos simplifica aúna más la tarea.
REGLA DE BARROW
Para hallar la integral b
af se procede así:
1. Se halla una primitiva de la función xf : xfxG
2. Se calculan los valores aGbG
3. la integral buscada es: aGbGfb
a
EJERCICIOS
1. Halla el área limitada por la recta xy 2 , el eje de abcisas y la recta 4x .
2. Halla el área limitada por la recta 5 yx , el eje de abcisas y las
rectas 42 xyx
3. Halla el área limitada por la rectas 7212
xxxy
61
4. Halla el área del recinto comprendido entre el aje de abcisas , el eje de ordenadas y la recta que pasa por el punto P(2,3) y tiene de pendiente m = -2
5. Halla el área limitada por la parábola 222 xx , el eje de abcisas y
las rectas x = 2 y x =3
6. Halla el área encerrada entre la curva 12 xy , el eje X y las rectas x = -2 y x = 3
7. Halla el área encerrada entre la curva 42 xy , el eje X y las
rectas x = 0 y x = 2
8. Halla el área encerrada entre la curva 22 xxy , el eje X y las rectas x = -1 y x = 1
9. Halla el área encerrada entre la curva 322 xxy y el eje X
10. Halla el área encerrada entre la curva 21 xy , el eje X y las rectas
x = -2 y x = 2
62
Tema 11 Nociones elementales de estadística y probabilidad
Objetivo Calcular, dada una muestra estadística, su media y su desviación típica y saber interpretar su resultado. 11.1 Media, rango y desviación típica de una muestra:
Significado y cálculo Los parámetros estadísticos se utilizan para sintetizar y expresar de forma más simple la información que contiene las tablas y las gráficas. Tipos: Parámetros de centralización: Son aquellos parámetros que
se sitúan en el centro de la distribución una vez ordenados los datos.
Media N
fxx nn
Moda Mediana
Medidas de dispersión: Son las medidas que nos permiten
hacernos una clara idea de si los valores de la variable están agrupados o no en torno a la media.
Recorrido o Rango ( R ) : A la diferencia entre el dato mayor y el dato menor. Cuanto menor recorrido más centrados están los datos.
Desviación Media
Varianza ( 2 = V )
22
xN
fxV in
Desviación Típica ( )
63
EJERCICIOS DE ESTADISTICA
1. Un pediatra anotó en la siguiente tabla los meses de edad de 100 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez. Meses 9 10 11 12 13 14 15 Nº de
Niños/as 2
10
15
36
22
14
1
Calcula:
a) La media b) Rango c) Desviación típica
2. El mismo pediatra, además, midió a los 100 niños/as de su consulta en la revisión de los 12 meses, obteniendo los siguientes resultados:
Medidas en cm
[60,65﴿ [65,70﴿ [70,75﴿ [75,80﴿ [80,85﴿
Nº de Niños/as
3 32 46 12 7
Calcula:
a) La media b) Rango c) Desviación típica
3. Las cantidades de automóviles vendidas por cada uno de los 10 vendedores de una agencia durante una semana son:
2,4,7,10,10,10,12,12,14,15 .
Calcula el rango, la desviación típica y la media. 4. Durante un mes de verano, ocho vendedores de una firma de calefacción central y aire condicionado vendieron las siguientes unidades de aire condicionado:
8,11,5,14,8,11,16,11
Calcula el rango, la desviación típica y la media.
64
11.2 Nociones elementales de combinatoria. Aplicación al cálculo de probabilidades
Objetivos 1. Conocer el concepto de variaciones, combinaciones y permutaciones sin repetición. Resolver problemas elementales usando dichos conceptos. 2 . Conocer los números combinatorios, saber calcularlos tanto directamente como con el triángulo de Tartaglia y aplicarlo al binomio de Newton.
Muestras ordenadas
1. Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n. n
nm mVR , 2. Variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n.
1.......21, nmmmmV nm nm
3. Permutaciones: Son un caso especial de variaciones sin
repetición cuando n = m.
!mPm
4. Permutaciones con repetición de m elementos.
....!!!
21, 21
nnmPR m
nn
Muestras no ordenadas
1. Combinaciones ordinarias
n
nmnmnm P
VCC ,
,
2. Binomio de Newton
nnnnnn bann
ban
nba
nba
nba
nba
01122110
1..........
210
65
EJERCICOS DE COMBINATORIA
1. Tienes 4 botes de pintura: Roja, Azul, Verde y Blanca, ¿Cuántas mezclas de dos colores puedes hacer? 2. Tres amigos están en la fila del autobús ¿de cuantas maneras pueden subir, sabiendo que lo tiene que hacer de uno en uno? 3. ¿Cuántos números de 2 cifras puedes escribir con los dígitos 1, 3 y 5? 4. ¿De cuantas formas se pueden repartir las tres medallas olímpicas entre 7 corredores? 5. ¿De cuantas formas diferentes pueden llegar a la meta cuatro corredores? 6. Se lanza una moneda tres veces ¿Cuáles son los resultados posibles? 7. Con la palabra RESTA, ¿Cuántas palabras podemos formar con o sin sentido? 11.3 Probabilidad
Objetivo Conocer el concepto básico de probabilidad de un suceso. Usar la combinatoria para calcular probabilidades de sucesos sencillos. Los experimentos se pueden clasificar en dos categorías:
Experimentos deterministas: Cuando al repetir el experimento sabemos de antemano su resultado. Por ejemplo:”Medir las dimensiones de una habitación”
Experimentos aleatorios: Cuando no se sabe a priori el resultado que
se va obtener, realizándolo en las mismas condiciones. Por ejemplo:”Lanzar un dado de parchis, y anotar la cara superior”. Suceso aleatorio es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Se llama espacio muestral, y se representa por E, al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
66
EJERCICIO Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos:
1. Lanzar una moneda al aire y anotar la cara superior. 2. Lanzar un dado de parchís y anotar la cara superior 3. lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos de las caras superiores. 4. Lanzar un dado y que te salga un numero primo 5. Lanzar un dado y que te salga par. 6. Lanzar dos monedas. 7. Lanzar una moneda y un dado. 8. Lanzar dos dados. 9. Extraer dos bolas de una urna que contiene 3 bolas rojas y 7 bolas
blancas
La probabilidad de un suceso A , es el cociente entre el número de casos favorables de que ocurra el suceso y el número de casos posibles.
posiblescasosnfavorablescasosnAp
ºº)(
Propiedades de la probabilidad
Un suceso imposible es aquel que no tiene ninguna probabilidad de ocurrir.
0)( SP Suceso seguro es aquel que va ocurrir con toda certeza.
1)( SP La probabilidad de cualquier suceso es siempre un número
comprendido entre o y 1. Probabilidad de un suceso contrario.
)(1)( SPSP
Hay experiencias en las que fácilmente podemos distinguir dos o más etapas. Se llaman pruebas compuestas. En ellas, el cálculo de probabilidades de sucesos compuestos se simplifica mucho calculando las probabilidades de sus componentes.
67
Dos pruebas compuestas son independientes cuando el resultado de una no influye en la otra. Si no es así, se llaman dependientes.
Ejemplo 1: Lanzamos una moneda y un dado. Es evidente que el
resultado de una no influye en la otra. Son independientes. Ejemplo 2: Extraemos dos cartas de una baraja. El resultado sí
depende de la primera ( Por ejemplo si la primera es AS , es menos probable que la segunda lo sea) . Son dependientes.
La probabilidad del suceso compuesto es igual al producto de las
probabilidades de los de los sucesos de sus componentes.
)()()( BPAPByAP
A veces tenemos que calcular la probabilidad de que ocurra un suceso u otro. En matemáticas, la preposición “o” equivale a una unión de sucesos, y en términos probabilísticas a una suma de probabilidades, siempre que los sucesos sean incompatibles ( que no se presenten a la vez).
)()()( BPAPBoAP
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD 1. Calcula la probabilidad de lanzar un dado y obtener un número par. 2. Si extraemos una carta de una baraja española, calcula:
a) La probabilidad de extraer un rey. b) La probabilidad de extraer un oro. c) La probabilidad de extraer un rey de oros.
3. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una figura en una baraja española? 4. Se selecciona una letra de la palabra”INNECESARIO”. Halla la
probabilidad de que la letra elegida sea: a) Una R b) Una E
c) Una U d) Una C
68
5. Se lanzan dos monedas. Hallar las siguientes probabilidades:
A) Obtener dos caras. B) Obtener dos cruces C) Obtener al menos una cara
6. Una urna tiene ocho bolas rojas, cinco amarillas y siete verdes.
Determina la probabilidad de que: a) Sea roja b) Sea verde c) Sea amarilla d) No sea roja e) No sea amarilla
7. Considérese el experimento de lanzar dos dados y sumar los números que aparezcan, calcula:
a) la probabilidad de que salga un 7 b) La probabilidad de que no salga un 7 c) La probabilidad de obtener un múltiplo de 3
8. Se lanza una moneda y un dado, ¿Cuál es la probabilidad de obtener cruz y un número par?
9. Una urna contiene 3 bolas blancas, 5 verdes y 2 negras. Se sacan dos
bolas al azar.¿Cual es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean blancas?
10. Una bolsa contiene 4 bolas azules, 3 rojas, 2 verdes y 1 blanca, Se saca
una bola al azar, ¿qué es más probable, que salga azul o que salga blanca?
11. Calcula la probabilidad de obtener tres cuatros al lanzar tres dados. 12. Calcula la probabilidad de no obtener NINGUN SEIS al lanzar cuatro
dados. Ayuda: Calcula la probabilidad de obtener NO SEIS 13. Ante un examen, un alumno solo ha estudiado 15 de los 25 temas
correspondientes a la materia del mismo. Este se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.
14. Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de 3 al
azar, hallar la probabilidad de: a) Seleccionar 3 niños b) Seleccionar exactamente 2 niños y 1 niña c) Seleccionar por lo menos un niño d) Seleccionar exactamente 2 niñas y 1 niño
69
15. Calcula la probabilidad de obtener ALGUN SEIS al lanzar cuatro dados. Ayuda: ALGUN SEIS es el suceso contrario de NINGUN SEIS.
16. Tenemos una moneda y dos urnas con bolas. Lanzamos la moneda y si
sale cara, extraemos una bola de I y si sale cruz una bola de II. Calcula la probabilidad de que salga cruz y roja.
URNA I : 6 negras, 3 rojas y 1 blanca URNA II: 2 negras, 6 rojas y 2 blancas 17. Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado y sacar una carta de la
baraja española: a) Salga un 4 y un caballo b) Un número par y un oro c) Un número mayor que dos y una figura de copas.
18. Calcula la probabilidad de extraer de una baraja de cartas española sea:
A) Rey o un as B) Rey o caballo C) Rey y una copa
19. Tenemos un dado y dos urnas. Lanzamos el dado. Si sale 1 o 2, acudimos a la urna I . Si sale 3, 4,5 o 6, acudimos a la urna II. Extraemos una bola de la urna correspondiente. ¿Cuál es la probabilidad de extraer 2 y blanca.
URNA I : 5 bolas blancas, 3 bolas negras y 2 bolas verdes URNA II: 2 bolas blancas, 6 bolas negras y 2 bolas verdes
70
AUTOEVALUACIONES
71
AUTOEVALUACION TEMA 1
1. Dados los siguientes polinomios:
P(x) = x + 1 Q(x) = x2 + x – 1 R(x) = 4x3 – 6x2 + 12 Halla: R(x) -Q(x) · R(x) 2. Resuelve el sistema por el método que quieras:
1847
92
625
23yxx
xyyx
3. Divide aplicando la regla de Ruffini:
a) 3x4 – 12x2 – 40x - 3 : x - 3 b) –x3 + 3x2 + 5x + 6 : x +1 4. Sin efectuar la división, indica cuales de las siguientes divisiones son exactas: a) x3 - 2x2 – 6x + 2 : x-2
b) x4 – 3x3 + x2 + 1 : x-1
5. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3x3 + 4x2 + 4x + 3 =0 b) 4x2 + 10x – 6 = 0 c) ( 2x – 5) · ( 4x + 3 ) = 3·( 4x2 – 3x -7 )
d) 0
121617
423
312
xxx
e) xxxx 92532 2 6 Resuelve:
3223224325
zyxzyxzyx
72
AUTOEVALUACION TEMA 2
1. Hallar los siguientes determinantes:
241654321
=
304320113
=
1084
= 5162
=
2 Dadas las matrices A=
8022
, B=
4021
y C=
3624
, calcular A+B x C
3. Dadas las matrices A=
624952
, B= 902 , C=
812
y
D=
357501435
, calcular A x D y B x C
73
AUTOEVALUACION TEMA 3
1. Calcula: a) log 2 + log 4 + log 8 + log 16 =
b) 100
1log001,0log1000log
c) 71log7log
d) 3ln e = e) 625log
f) 25625log
4
2. Calcula los siguientes logaritmos: a) 3log3 b) 27log3
c) 91log3
d) 27log3
3. Sabiendo que hN 5log , determina:
125
log5N
4. Expresa como un solo logaritmo: a) 7log2log2log5log3
b) 2log215log1
23
c) 35ln12ln3
5. Aplicando las propiedades de los logaritmos halla x: a) x5,12log3
b) 391log x
c) 5,6log 3 x
74
AUTOEVALUACION TEMA 4
1. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3,2) y B(1,-4) de todas las formas posibles. 2. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-2,1/3) y tiene igual pendiente que la recta que pasa por los puntos P(2,1) y Q(3,4).
3. Busca la ecuación de la recta paralela a
37y
x que pase por el
origen de coordenadas. 4. Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas. En los casos en que sean secantes, determina el punto de intersección:
a) 0750123
yxyx
b) 064
0732
yxyx
c) 0228014
yxyx
d)
35
11
32
yxy
x
5. Calcula la distancia a la recta r:
yx 23
del punto de intersección
de las rectas 020132 yxyyx . 6. Calcula la distancia del punto P (2,2) a la recta paralela al eje de abcisas que pasa por el punto Q (3,4). 7. Halla las ecuaciones de las medianas del triángulo de vértices A (3,1) , B(0,2) y C(1,-2). Ayuda: La mediana de un triangulo es la línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
75
AUTOEVALUACION TEMA 5
1. ¿Cuánto miden los catetos de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que la hipotenusa mide 10 cm ?
2. Calcula el ángulo de elevación del Sol sobre el horizonte, sabiendo que
una estatua proyecta una sombra que mide tres veces su altura.
3. Calcula la altura a que llega una escalera de 4,5 metros apoyada en una pared formando un ángulo de 60 con el suelo.
4. Calcula las razones trigonométricas de un triangulo rectángulo en el
que la hipotenusa es el triple que uno de sus catetos.
5. En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea de 5 cm y uno de sus ángulos agudos de 30º , calcular las longitudes de los catetos.
6. Un triángulo rectángulo tiene sus dos ángulos agudos iguales. Calcular
la hipotenusa si uno de los catetos mide 3 cm.
7. Si A, B, y C son los ángulos de un triángulo con lados a, b, y c, y si A es un ángulos de 90º, B es un ángulo de 60º y b = 2. Calcular el resto de elementos, tanto en grados como en radianes.
76
AUTOEVALUACION TEMA 6
1. Representa las siguientes parábolas: a) 25xy b) 25 2 xy c) 322 xxy 2. Representa las siguientes rectas: a) 623 yx b) xy 25 c) 3y 3. Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones: a) 42 xy
b) 5
13
xy
c) 32 2 xy d) 26 xy e) 26xy
77
AUTOEVALUACION TEMA 7
Calcula:
a)
112
1lim x
xxx
b)
442
4lim x
xxx
c)
xx
x
11 2
0lim
d)
31
2
3
3lim x
xx
e)
442
2
2
2lim xx
xxx
f)
112lim
1 xx
x
g)
186
2
2
lim xxx
x
h)
11
2
4
lim xx
x
i)
11
7
5
lim xx
x
j)
xxxx
x2
2
213lim
k)
xxxxx
x23
23
41lim
l)
13312
23
2
3lim xxx
xxx
78
AUTOEVALUACION TEMA 8
Derivar y simplificar las siguientes funciones:
senxxy 3
senxLnxy 5
xy
cos1
112
x
xy
12
x
senxxy
)(senxLny
)1( 2 xxLny
5senxy
)(LnxLny
senxy
22 )1( xLny
xxLny 63
senxxy cos1
121 2 xxxLny
Lnxey
)(senxLney
senxxxy
11
192
xxy
21 xxseny
167 xy
98log 3 xxy
253 xxtgy
79
AUTOEVALUACION TEMA 9
1. Dadas las siguientes funciones, obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y sus extremos relativos:
a) 872
2
x
xy
b) 3
14
x
y
c) 13 23 xxy 2. Descomponer el número 40 en dos partes, tales que el triple del cuadrado de la primera parte más 7 veces el cuadrado de la segunda sea mínimo. 3. Siendo la suma de los catetos de un triangulo rectángulo 12 cm, hallar la longitud de los que correspondan al de área máxima. 4. De todos los triángulos isósceles de 30 cm de perímetro ¿cuál es el de área máxima?
80
AUTOEVALUACION TEMA 10
1. Halla el área limitada por 12 xxf , el eje X y las rectas x = -1 y x = 3 2. Dada la parábola 22 xxy , calcular sus puntos de corte con el eje de abcisas y encontrar el área encerrada entre su gráfica y dicho eje. 3. Resuelve las siguientes integrales: a) dxx63
b) dxx 12
c) dxx3
81
AUTOEVALUACION TEMA 11
1. Calcula la probabilidad de que al sacar dos cartas de una baraja de 40 cartas nos encontremos con dos reyes. 2. Las calificaciones de un examen de Física en un grupo de 10 alumnos han sido:
9 5 7 4 2 3 4 8 4 5
Calcular la media y la desviación típica de la muestra e interpretarlas. 3. Un portero de un club de fútbol ha encajado en los últimos seis partidos el siguiente número de goles:
1 0 1 3 0 1
Averiguar la media y la desviación típica de la muestra e interpretar el resultado. 4. Calcular el número de palabras (con o sin sentido) de cuatro letras, sin repetición, que se pueden formar con las letras a, c, e, o, s. Calcular la probabilidad que una, elegida al azar, comience por vocal. 5. Las ventas de una gráfica de aceite medidas en litros de aceite han sido en los últimos cinco años:
250 – 350 – 375 – 400 – 425 Hallar la media y la desviación típica de la muestra e interpretar los resultados.
