Funciones Logarítmicas y Exponenciales

Objetivo de aprendizaje:

Hasta ahora, la gran cantidad de funciones que hemos estudiado son funciones alge-braicas, es decir funciones definidas mediante operaciones algebraicas. Particularmente, lospolinomios que no son más que sumas de monomios, es decir, elementos de la forma axn,donde a es el coeficiente del monomio y xn corresponde al término del monomio, entreotras. En este caso, estudiaremos dos tipos de funciones especiales que se definen medianteexponentes variables, distinto al proceso anterior donde la variable se encontraba en labase.

Debo saber:

Teoría de Exponentes.Propiedades de Funciones.Graficación de Funciones.Resolución de Ecuaciones.

Definición (Función Exponencial).Una función exponencial, es una función de la forma: f(x) = ax , donde a > 0 ydistinto de 1. A este valor a, se le denomina base y a la x, exponente que representaa la variable.

Z OBSERVACIÓN bEl dominio de una función exponencial sin im-portar su base, siempre es el conjunto de todoslos números reales (R) y su rango o recorrido, esel conjunto de los reales positivos (R+ =]0,∞[).Por tanto, una función exponencial “nuncaes cero” o equivalentemente, no tiene raíces.Además, es importante recordar que valentodas las propiedades de la teoría de expo-nentes.

Para el caso de funciones exponenciales tales que:0 < a < 1, entonces sus gráficas sufren una reflexióncon respecto al eje y. A saber, si consideramos a las fun-ciones exponenciales,

f(x) = 2x y g(x) =

(1

2

)x

obtenemos las gráficas de la derecha, donde g(x) es justa-mente la reflexión de f(x).

2

Una propiedad fundamental de toda función exponencial, es justamente el hecho deque es una función creciente. ¿Qué es una función creciente?

Definición (Funciones Crecientes).

Sea f una función definida en un abierto ]a, b[. Se diceque f es creciente en ]a, b[, si para todo par x1, x2 ∈]a, b[,tales que: x1 < x2, se cumple que: f(x1) < f(x2). Es decir,es una función que conserva desigualdades.

Por el contrario, una función decreciente invierte desigualdades. Es decir, si f es unafunción definida en un intervalo abierto ]a, b[, decimos que f es decreciente si paracualquier par x1, x2 ∈]a, b[, tales que: x1 < x2, se cumple que. f(x1) > f(x2).

Problema Resuelto 1.Al ordenar de mayor a menor la siguiente serie de números: 2−2, 20,2, 2

13 , 21,41 y 2

√2

¿Cuál es la expresión de mayor valor?

Solución.Como la función exponencial f(x) = 2x es una función creciente, tenemos que el mayorvalor lo obtendrá en el mayor valor evaluado, es decir, debemos ordenar los elementosintroducidos en la función para determinar como actúa la función sobre ellos. entonces,

−2 < 0,2 =1

5<

1

3< 1, 41 =

141

100<√2 ≈ 1,4142....

Por consiguiente, el mayor valor lo obtenemos en x =√2, es decir, es justamente 2

√2. �

Problema Resuelto 2.Determine el conjunto de valores que puede tomar x ∈ R, para que se satisfaga lainecuación: 33−x2 ≤ 9x.

Solución.En principio, debemos tener la misma base y por tanto, reescribimos la inecuación de laforma:

33−x2 ≤ 9x =⇒ 33−x2 ≤ (32)x =⇒ 33−x2 ≤ 32x

Ahora bien, como la función f(x) = 3x es una función creciente, tenemos que se debecumplir que:

3− x2 ≤ 2x =⇒ x2 + 2x− 3 ≤ 0 =⇒ (x+ 3)(x− 1) ≤ 0

Haciendo un estudio de signos de esta inecuación, nos queda que:

Tabla de valores para estudio de signos] −∞,−3[ −3 ] − 3, 1[ 1 ]1,∞[

x+ 3 − 0 + + +x− 1 − − − 0 +

(x+ 3)(x− 1) + 0 − 0 +

Por tanto, obtenemos que: x ∈ [−3, 1] para que se satisfaga la inecuación. �

3

Si consideramos la gráfica de una función exponencial decualquier base a > 0 y a 6= 1, obtenemos que al trazarparalelas al eje de las x, se intercepta a la gráfica en sólo unpunto para cada una de las rectas. Esta acción, evidenciaque las funciones exponenciales son inyectivas y por tanto,verifican que si:

f(x1) = f(x2) entonces x1 = x2, para x1, x2 ∈ Domf

El cual es el principio activo del proceso de resolución de ecuaciones exponenciales.Observemos los siguientes problemas relacionados con esta propiedad.

Problema Resuelto 3.

Determine la solución de la ecuación:√2x−3 =

1

8.

Solución.Reescribimos la ecuación en base 2 y obtenemos:

√2x−3 =

1

8=⇒ 2

x−32 = 2−3

[Reescrituraen base 2

]=⇒ x− 3

2= −3 [Inyectividad de 2x]

=⇒ x− 3 = −6 =⇒ x = −3 [Operatoria en R]

�

Problema Resuelto 4.Determine la o las soluciones de la ecuación: x+1

√a2x−1 =

x−1√ax+1, para a > 0 y a 6= 1.

Solución.Convertimos las expresiones radicales en exponenciales y obtenemos:

x+1√a2x−1 =

x−1√ax+1 =⇒ a

2x−1x+1 = a

x+1x−1

[Reescrituraen base a

]=⇒ 2x− 1

x+ 1=

x+ 1

x− 1[Inyectividad de ax]

Claramente x 6= 1 y x 6= −1

=⇒ (2x− 1)(x− 1) = (x+ 1)2

=⇒ 2x2 − 3x+ 1 = x2 + 2x+ 1 [Productos Notables]

=⇒ x2 − 5x = 0 =⇒ x(x− 5) = 0 [Factor Común]

=⇒ ����

x = 0 o x = 5 =⇒ x = 5

En este caso, descartamos la solución x = 0 para ser coherentes con la ecuación original yque los radicales estén bien definidos. �

4

Problema Resuelto 5.

Determine el valor de x en la siguiente ecuación: (64)x2 ·(1

8

)x

= 0,5 · (2x)2.

Solución.Observando las bases de cada una de las expresiones, notamos que la base común es 2,entonces:

(64)x2 ·(1

8

)x

= 0,5 · (2x)2 =⇒ (26)x2 ·(

1

23

)x

=1

2· (2x)2

[Reescrituraen base 2

]=⇒ (26)x

2 ·(2−3)x

= 2−1 · (2x)2[a−n =

1

an

]=⇒ 26x

2 · 2−3x = 2−1 · 22x [(an)m = anm]

=⇒ 26x2−3x = 2−1+2x [an · am = an+m]

=⇒ 6x2 − 3x = −1+ 2x [Inyectividad de 2x]

=⇒ 6x2 − 5x+ 1 = 0 =⇒ (3x− 1)(2x− 1) = 0

=⇒ x =1

3y x =

1

2

Dejamos al lector la prueba de cada una de las soluciones obtenidas en la ecuación, paraasí verificar que realmente corresponden como soluciones de la ecuación planteada. �

Problema Resuelto 6.Determine el valor de x en la siguiente ecuación: 52 · 54 · 56 · · · 52x = 0,04−28.

Solución.Observando las bases de cada una de las expresiones, notamos que la base común es 5,entonces:

52 · 54 · 56 · · · 52x = 0,04−28 =⇒ 52 · 54 · 56 · · · 52x =(

1

52

)−28 [Reescrituraen base 5

]=⇒ 52 · 54 · 56 · · · 52x = 556

[a−n =

1

any (an)m = anm

]=⇒ 52+4+6+···+2x = 556 [(an)m = anm]

=⇒ 52(1+2+3+···+x) = 556

=⇒ 2(1+ 2+ 3+ · · ·+ x) = 56 [Inyectividad de 5x]

Donde x ∈ N.Luego, usamos la Fórmula de Gauss.

=⇒ 1+ 2+ 3+ · · ·+ x = 28 =⇒ x(x+ 1)

2= 28

=⇒ x(x+ 1) = 56 =⇒ x2 + x− 56 = 0

=⇒ (x+ 8)(x− 7) = 0 =⇒ �����x = −8 y x = 7

�

5

! ALERTA !¿Qué sucede si las bases son distintas?. Por ejemplo, supongamos que que-remos resolver la ecuación:

22x−2 =√3−4x+4

Resulta sencillo observar por simple inspección que la solución es x = 1, peroen general debemos aplicar logaritmos para poder resolverlas. ¿Qué es unlogaritmo?

Definición (Logaritmo de Base a).En general, una función logarítmica de base a, se define simplemente como la inversade una función exponencial de base a. A saber,

y = loga x⇐⇒ x = ay , siempre que a > 0 y a 6= 1 (1)

O bien, el logaritmo en base a de x, es el exponente al que se debe elevar a paraobtener x.

Luego, tenemos dos logaritmos bien particulares: El Logaritmo de Briggs o tambiénconocido como Logaritmo vulgar o común: y = log10 x = log x, cuya inversa esjustamente, y = 10x y el Logaritmo Natural: y = loge x = ln x, cuya inversa es: y = ex.

Z OBSERVACIÓN bEl dominio de una función logarítmica sin im-portar su base, siempre es el conjunto de to-dos los números reales positivos (R+ =]0,∞[) ysu rango o recorrido, es el conjunto de todoslos números reales (R). Toda esta información,resulta sencilla de deducir a partir de la infor-mación dada por sus inversas, las funcionesexponenciales y de la relación de equivalen-cia dada en (1).

Podemos enunciar una serie de propiedades de las funciones logarítmicas, que enmuchos casos son simplemente las propiedades inversas a las propiedades de las funcionesexponenciales, esto en virtud de que se satisface la relación (1). Veamos,

6

Propiedades de los Logaritmos

Sean a,M,N ∈ R+, además a 6= 1 y p ∈ R cualquiera. Entonces,

Propiedades de los Logaritmos

1. loga a = 1 2. loga 1 = 0

3. loga(M ·N) = loga M+ loga N 4. loga

(M

N

)= logaM− loga N

5. loga(Mp) = p logaM 6. loga

p√M =

1

ploga M

7. logap M =1

ploga M 8. logNM · logM N = 1

Claramente, toda función logarítmica es creciente y además, es sencillo verificar que esinyectiva.

Si consideramos la gráfica de una función logarítmica decualquier base a > 0 y a 6= 1, obtenemos que al trazarparalelas al eje de las x, se intercepta a la gráfica en sólo unpunto para cada una de las rectas. Esta acción, evidenciaque las funciones logarítmicas son inyectivas y por tanto,verifican que si:

f(x1) = f(x2) entonces x1 = x2, para x1, x2 ∈ Domf

El cual es el principio activo del proceso de resolución de ecuaciones logarítmicas. Porel hecho de que la función logarítmica es invertible, es decir, biyectiva, debe cumplirse que:

aloga x = x

Observemos los siguientes ejemplos relacionados con estas propiedades.

Ejemplo¿Cuál debe ser el valor de m en la siguiente expresión: log5(m− 3) = 1?

Para responder a esta interrogante, es suficiente con situarse en la propiedad 1 y darsecuenta que para que un logaritmo sea la unidad, es necesario que el argumento sea igual ala base. Por consiguiente, tenemos que: m− 3 = 5 =⇒ m = 8 �

EjemploDetermine el valor de x, en la expresión: logx+2(4) = 2.

Ahora bien, usando la definición presentada en (1) obtenemos que:

logx+2(4) = 2⇐⇒ 4 = (x+ 2)2 ⇐⇒ 22 = (x+ 2)2 ⇐⇒ x+ 2 = 2⇐⇒ x = 0

usando el hecho de que x+ 2 > 0 [Base de un Logaritmo]. �

7

Problema Resuelto 7.Si logbm = 4 y logb n = 6. Entonces, ¿cuál será el valor de la expresión logb(n ·m)3?

Solución.Para resolver este problema básicamente se debe hacer uso de las propiedades que permitanreescribir la expresión dada en términos de los datos iniciales. Veamos a que hacemosreferencia:

logb(n ·m)3 = 3 logb(n ·m) = 3 [logb n+ logbm] = 3[4 · 6] = 3 · 24 = 72

�

Problema Resuelto 8.Demuestre la Propiedad 8, es decir: logNM · logMN = 1

Solución.Sean

a = logN M y b = logMN

Entonces, obtenemos que:

M = Na y N = Mb =⇒ (Na)b = Mb = N =⇒ Na·b = N =⇒ a · b = 1

En virtud de la inyectividad de cualquier función exponencial. �

Fórmula de Cambio de Base

La fórmula para cambiar de un logaritmo a otro, está dada por:

loga N =logbN

logb a

Para demostrar este hecho, se puede observar que si:

y = loga N⇐⇒ N = ay ⇐⇒ logbN = logb(ay)⇐⇒ logbN = y logb a⇐⇒ y =

logb N

logb a

En consecuencia, tenemos la fórmula deseada. �

EjemploSuponga que log 14 ≈ 1,14612 y que log 5 ≈ 0,69897. Demuestre que 1,64 es una aproxi-mación de dos cifras decimales para log5 14.

En virtud de la fórmula anterior, al escribir el logaritmo en base 5 en términos de lanueva base 10, obtenemos que:

log5 14 =log 14

log 5≈ 1,14612

0,69897≈ 1,63972 ≈ 1,64

como en efecto queríamos demostrar. �

8

Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Estas son el tipo de ecuaciones en las que intervienen Funciones Exponenciales yFunciones Logarítmicas. El método para resolver estas ecuaciones varía según el tipo deEcuación. Veamos a que hacemos referencia:

• Ecuaciones exponenciales que se resuelven por simple igualación de expo-nentes: Si ambos miembros de una ecuación tienen igual base o en su defecto puedenser expresados como potencias de igual base, entonces su solución se obtiene simplementeigualando los exponentes (esto, en virtud de la inyectividad de las funciones exponenciales).EjemploDetermine el valor de x en la ecuación: 7x+3 = 343.

Sabemos de la teoría de exponente que 343 = 73, en consecuencia:

7x+3 = 343 =⇒ 7x+3 = 73 =⇒inyectividad

x+ 3 = 3 =⇒ x = 0

�

Z OBSERVACIÓN bResulta importante destacar, que otra forma de resolver este tipo de ecua-ciones es justamente la aplicación de su función inversa, en este caso log7 xy usar las propiedades de logaritmos estudiadas antes. Veamos,

7x+3 = 73 =⇒ log7(7x+3) = log7(7

3) =⇒ (x+3)log7 7 = 3log7 7 =⇒ x+3 = 3 =⇒ x = 0

usando el hecho que: log7 7 = 1 [Propiedad 1 de Logaritmos].

• Ecuaciones exponenciales que se resuelven usando logaritmos: Si la expresióncontiene sólo un término a cada lado de la igualdad y son de bases distintas, entonces,la misma se puede resolver aplicando logaritmos a ambos lados y la base de los mismosdependerá de los requerimientos del problema. Usualmente, se usan los de Briggs [Base10] o el natural [Base e].

EjemploCalcule el valor de x, en la expresión: 3x+2 = 2.

Como las expresiones son de bases distintas, aplicaremos el logaritmo de Briggs [Base10], de donde nos queda que:

log(3x+2) = log 2 =⇒ (x+ 2) log 3 = log 2 =⇒ x+ 2 =log

2log 3 =⇒ x =

log 2

log 3− 2

• Ecuaciones exponenciales que se pueden resolver usando un cambio de va-riables: En este caso, usaremos un ejemplo para explicar el método.Ejemplo

Resuelva la ecuación: 3x +1

3x=

10

3.

9

Solución.Reescribiendo la ecuación, obtenemos que:

3x+1

3x=

10

3=⇒ 3 ·(3x)2+3 = 10 ·3x =⇒

u = 3x3u2−10u+3 = 0 =⇒ (3u−1)(u−3) = 0

de donde, las soluciones están dadas por:

u =1

3y u = 3 =⇒ 3x = 3−1 y 3x = 3 =⇒ x = −1 y x = 1

�

• Ecuaciones Logarítmicas: Estas ecuaciones se resuelven aplicando la definición delogaritmo y sus propiedades.EjemploResuelva: log(x+ 3) + log x = 1.Solución.Usando las propiedades de logaritmos, nos queda:

log(x+ 3) + log x = 1 =⇒ log [(x+ 3) · x] = 1 =⇒ (x+ 3) · x = 10 =⇒ x2 + 3x− 10 = 0

De donde nos queda:

x2 + 3x− 10 = 0 =⇒ (x+ 5)(x− 2) = 0 =⇒ x = −5 y x = 2

Ahora bien, el primer candidato a solución no sirve, esto en virtud de que estamos fueradel dominio de la función logaritmo. En consecuencia, la única solución del problema es:x = 2 �

Problema Resuelto 9.Determine el valor de x en la ecuación: log x3 − 7 = 3.

Solución.Como no hay paréntesis en el desarrollo, notamos que el argumento del logaritmo es sólox3, de donde obtenemos:

log x3 − 7 = 3 =⇒ log x3 = 10 =⇒ x3 = 1010 =⇒ x =3√1010 =⇒ x = 1000

3√10

�

Problema Resuelto 10.

Si sabemos que: log x = a, log y = b y log z = c, entonces ¿A qué es igual el log 3

√xz

y2.

Solución.Aplicando las propiedades de Logaritmos, obtenemos que:

log 3

√xz

y2=

1

3log

(xz

y2

)=

1

3[log x+ log z− 2 log y] =

1

3[a+ c− 2b]

�

10

Problema Resuelto 11.Determine el o los posibles valores de x en la ecuación:

log3(x+ 1) − log3(2− x) = 2 log3(x+ 1)

Solución.Usando propiedades de logaritmos tenemos que:

log3(x+ 1) − log3(2− x) = 2 log3(x+ 1) =⇒ log3

[x+ 1

2− x

]= log3(x+ 1)2

y usando la inyectividad de los logaritmos (o en su defecto, aplicando la función inversaf(x) = 3x), obtenemos que: como x 6= −1 nos queda:

x+ 1

2− x= (x+ 1)2 =⇒ 1

2− x= x+ 1 =⇒ (x+ 1)(2− x) = 1 =⇒ 2x− x2 + 2− x = 1

En consecuencia,

x2 − x− 1 = 0 =⇒ x1,2 =1±√1+ 4

2=⇒ x1,2 =

1±√5

2

�

Problema Resuelto 12.Determine la solución real de la ecuación: 102x+log 2 + 10x+log 5 − 3 = 0.

Solución.En este caso, usando las propiedades de los logaritmos y de las funciones exponenciales yconsiderando que: 10log a = a, nos queda:

102x+log 2+10x+log 5−3 = 0 =⇒ 102x ·10log 2+10x ·10log 5−3 = 0 =⇒ 2·(10x)2+5·10x−3 = 0

Si consideramos la sustitución: u = 10x , entonces la ecuación anterior nos queda:

2u2 + 5u− 3 = 0 =⇒ (2u− 1)(u+ 3) = 0 =⇒ u =1

2y u = −3

De donde, obtenemos sólo una respuesta a considerar, esto en virtud de que devolviendodel cambio de variables, notamos que:

10x =1

2y 10x = −3

para lo cual observamos que la segunda es imposible en virtud de que las funcionesexponenciales nunca son negativas. Por consiguiente, aplicando logaritmo en base 10 y suspropiedades, nos queda:

10x = 2−1 =⇒ x log 10 = − log 2 =⇒ x = − log 2

�

11

Z OBSERVACIÓN bSi bien es cierto, la respuesta al problema anterior es correcta, tambiénpodamos dar la misma en otro formato que a priori parece distinta. Sabemosde entrada por propiedades de logaritmos que:

1 = log 10 = log(2 · 5) = log 2+ log 5 =⇒ log 2 = 1− log 5

De donde obtenemos que para el Problema anterior, la solución pudo habersido expresada por:

x = log 5− 1

Problema Resuelto 13.Si se sabe que log 7 ≈ 0,845 y que log 2 ≈ 0,301. Entonces, calcule una aproximaciónde log 35.

Solución.Sabemos que: log 35 = log(7 · 5) = log 7+ log 5. Usando la observación anterior, notamosque: log 5 = 1− log 2. Por consiguiente,

log 35 = log 7+ 1− log 2 ≈ 0,845+ 1− 0,301 = 1,544

�

Problema Resuelto 14.Determine el valor de n en la siguiente ecuación: 7 · 3n+1 − 5n+2 = 3n+4 − 5n+3.

Solución.En este caso, reescribiremos la función en primera instancia, buscando la manera de generarproductos usando el factor común. Veamos a que hacemos referencia:

7·3n+1−5n+2 = 3n+4−5n+3 =⇒ 7·3n+1−3n+4 = 5n+2−5n+3 =⇒ 7·3n·3−3n·34 = 5n·52−5n·53

de donde obtenemos:

21·3n−81·3n = 25·5n−125·5n =⇒ −60·3n = −100·5n =⇒ 3

5=

5n

3n=

(5

3

)n

=⇒ n = −1

�

Problema Resuelto 15.Resuelva la ecuación logarítmica dada por: log9(x+ 4)2 = 1+ log3 x.

Solución.Para este caso, debemos recordar una propiedad que en general es poco usada:

logaP N =1

Ploga N

12

Entonces, podemos transformar uno de los logaritmos que intervienen en la ecuación,veamos:log9(x+ 4)2 = 1+ log3 x =⇒ log32(x+ 4)2 = 1+ log3 x =⇒ 1

2log3(x+ 4)2 = log3 3+ log3 x

Luego, usando la propiedad del producto y de las potencias, nos queda:

log3(x+ 4) = log3(3x) =⇒Inyectividad

x+ 4 = 3x =⇒ 2x = 4 =⇒ x = 2

�

Problema Resuelto 16.

Calcule el valor de x, en: (log log x)

3 log log x

log log log x = 27

Solución.Como x se encuentra tanto en la base como en el exponente de esta expresión, tenemosque debemos aplicar logaritmos para “bajar” el exponente y tener una visión mas clara delo que queremos despejar. Entonces, aplicando log a ambos lados, nos queda:

log (log log x)

3 log log x

log log log x = log 27 =⇒ 3 log log x

log log log x· (log log log x) = 3 log 3

En consecuencia, simplificando estas expresiones y usando la inyectividad de la funciónlogaritmo, nos queda:

log(log x) = log 3 =⇒ log x = 3 =⇒ x = 103 =⇒ x = 1000

�

Problema Resuelto 17.Determine el valor de x en términos de p en: logx+p[2px+ 2p2] = 2.

Solución.Reescribiendo el argumento del logaritmo, nos queda:

logx+p[2px+ 2p2] = 2 =⇒ logx+p[2p(x+ p)] = 2 =⇒ logx+p(2p) +������

��:1logx+p(x+ p) = 2

En consecuencia,logx+p(2p) = 1 =⇒ 2p = x+ p =⇒ x = p

�

Z OBSERVACIÓN bAhora bien, las funciones exponenciales y las funciones polinómicas resultanmuy útiles para representar ciertos fenómenos. En particular, el crecimiento odecrecimiento poblacional, que bajo la formación de la ecuación logística,son aplicables a estudio de propagación de epidemias.

13

Problema Resuelto 18.Después de que un estudiante con un virus gripal regresa a un campo universitarioaislado de 3000 estudiantes, el número de estudiantes infectados después de t días, sepronostica por:

f(t) =3000

1+ 2999 · e−0,895 t

Determine:

(a) ¿Cuántos estudiantes estarán enfermos en 10 días?

(b) ¿En qué periodo de tiempo, se estima que los infectados, lleguen aproximadamentea 100 estudiantes?

Solución.(a) Es claro, que en el instante inicial de la medición sólo hay un infectado, es decir elestudiante que ingresó enfermo. En efecto,

f(0) =3000

1+ 2999 · e−0,895·0 =3000

1+ 2999=

3000

3000= 1

Ahora bien, para conocer el número aproximado de estudiantes infectados al décimo día,basta con evaluar t = 10 en la función dada:

f(10) =3000

1+ 2999 · e−0,895 (10)=

3000

1+ 2999 · e−8,95≈ 3000

1+ 2999 · 0,0001297371

De donde obtenemos:

f(10) ≈ 3000

1+ 0,389081743=

3000

1,389081743≈ 2159,70011

En consecuencia, podemos establecer que hay unos 2160 estudiantes infectados a los 10días.(b) En este caso, debemos hallar el tiempo t0, en el cual:

100 = f(t0) =3000

1+ 2999 · e−0,895 t0=⇒ 1+ 2999 · e−0,895 t0 =

3000

100= 30

O bien,

2999 · e−0,895 t0 = 29 =⇒ e−0,895 t0 =29

2999=⇒ e0,895 t0 =

2999

29

Luego,

0,895 · t0 = ln

(2999

29

)=⇒ t0 =

1

0,895ln

(2999

29

)=⇒ t0 ≈ 5,182947876

Por consiguiente, tenemos 100 estudiantes infectados en poco más de 5 días, de dondepodemos dar garantía de que habrán más de 100 infectados si consideramos 5 días ymedio. �

14

Problema Resuelto 19.

Determine el dominio de la función: f(x) = ln

(3

√x2 + 5x+ 6

x2 − 1

)

Solución.Para que un logaritmo esté bien definido, debe suceder que su argumento sea positivo. Portanto,

Domf =

x ∈ R :3

√x2 + 5x+ 6

x2 − 1> 0

=

{x ∈ R :

x2 + 5x+ 6

x2 − 1> 0

}

=

{x ∈ R :

(x+ 2)(x+ 3)

(x− 1)(x+ 1)> 0

}Para estudiar los signos de esta inecuación nos apoyaremos en la tabla que se generacuando consideramos los ceros y polos de la función racional. Veamos,

] −∞,−3[ −3 ] − 3, 2[ −2 ] − 2,−1[ −1 ] − 1, 1[ 1 ]1,∞[x+ 3 − 0 + + + + + + +x+ 2 − − − 0 + + + + +x+ 1 − − − − − 0 + + +x− 1 − − − − − − − 0 +

Cociente + 0 − 0 + @ − @ +

Como la desigualdad es estricta, de la solución debemos sacar tanto a los puntos queanulan la función racional polinómica, como a los puntos que hacen cero el denominador.En consecuencia,

Domf =] −∞,−3[∪] − 2,−1[∪]1,∞[

�

Problema Resuelto 20.

Considere la función dada por: f(x) =ex − e−x

2. Determine f−1(x).

Solución.Supongamos que y =

ex − e−x

2, entonces si despejamos x en términos de y, obtendremos

la inversa. Entonces, usando propiedades de las funciones exponenciales nos queda:

y =ex − e−x

2=⇒ ex −

1

ex= 2y =⇒ (ex)2 + 1 = 2yex =⇒ (ex)2 − 2yex − 1 = 0

Usando la resolvente, obtenemos que:

ex =2y+

√4y2 + 4

2=⇒ ex = y+

√y2 + 1 =⇒ x = ln

(y+

√y2 + 1

)¿Por qué sólo la positiva? Entonces, como el logaritmo esté bien definido obtenemosfinalmente que,

f−1(x) = ln(x+√1+ x2

)�

15

Más aplicaciones de las Funciones Exponenciales yLogarítmicas

Concentraciones.

Problema Resuelto 21.Suponga que la concentración de un medicamento en un órgano en el instante t (ensegundos), está dada por:

x(t) = 0,08+ 0,12e−0,02t

donde x(t) son gramos sobre centímetros cúbicos[ grcm3

]. Determine:

(a) ¿Cuál es la concentración pasado un minuto?

(b) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar 0,18 grcm3 de medicamento en el órgano?

Solución.Veamos entonces:

(a) Se sabe que el tiempo está dado en segundos y cómo se necesita saber la concentraciónal cabo de un minuto, debemos hallar la cantidad de x(t), cuando t = 60 seg. Por tanto,

x(60) = 0,08+ 0,12e−0,02·[60] = 0,08+ 0,12e−1,2

Al sustituir estos valores en una calculadora, se obtiene.

x(60) = 0,08+ 0,12 · [0,3011942119] ≈ 0,11661433054

de donde se puede concluir aproximando por la segunda cifra significativa que la concen-tración al minuto es aproximadamente: x(60) ≈ 0,12 gr

cm3 .

(b) Para este caso, se debe hallar un tiempo t0, en el cual se alcanza la cantidad propor-cionada. En consecuencia, se debe resolver la ecuación:

x(t0) = 0,18 =⇒ 0,08+ 0,12e−0,02t0 = 0,18 =⇒ 0,12e−0,02t0 = 0,1 =⇒ e−0,02t0 =0,1

0,12

Usando las fracciones generatrices de cada uno de estos decimales, se obtiene que:

e−t050 =

5

6=⇒

AplicandoLogaritmo Natural

−t0

50= ln

(5

6

)=⇒ t0 = −50 ln

(5

6

)

Al usar nuevamente la calculadora, se obtiene que: t0 ≈ 9,12 seg.

En conclusión se puede inferir, que esta cantidad se obtiene pasados los 9 segundos. �

16

Poblaciones.

Problema Resuelto 22.El crecimiento de una población de mosquitos, en función del tiempo, se modela segúnla función:

f(t) =500.000

1+ 499 · e−0,02·t

donde t es el tiempo medido en días. Determine:

(a) ¿Cuántos mosquitos formarán la población a los 50 días?

(b) Si después de n días, la población de mosquitos asciende a 233.524 mosquitos,¿cuál es el valor de n?

Solución.Para hallar la cantidad de mosquitos a los 50 días, basta con calcular la función dadaevaluada en t = 50. Veamos,

f(50) =500.000

1+ 499 · e−0,02·[50] =⇒ f(50) =500.000

1+ 499 · e−1

Usando de forma adecuada la calculadora, se obtiene que:

f(50) ≈ 500.000

1+ 499 · [0,3678794412]≈ 500.000

184,5718411=⇒ f(50) ≈ 2708,972273

Donde se obtiene que la población de mosquitos en el día 50, está compuesta por 2709mosquitos.

Para responder a la segunda parte del problema, se debe resolver la siguiente ecuación:

f(n) = 233.524 =⇒ 500.000

1+ 499 · e−0,02·[n] = 233.524 =⇒ 1

1+ 499 · e−0,02·[n] =233.524

500.000

Usando propiedades de los números racionales y simplificando un poco, nos queda:

1+ 499 · e−0,02·[n] =125.000

58.381=⇒ e−0,02·[n] =

1

499

[125.000

58.381− 1

]=

66.619

499 · 58.381

Aplicando logaritmo natural a ambos lados y considerando que ln(e) = 1, se obtiene:

−n

50= ln

(66.619

499 · 58.381

)=⇒ n = −50 ln

(66.619

499 · 58.381

)≈ 304,0303384 días

En consecuencia, se puede inferir que al pasar ligeramente los 304 días la población demosquitos es la deseada. �

17

Ecuación de Costo.

Problema Resuelto 23.Para una compañía el Costo de producir q unidades, se modela por la ecuación:

C = 2q ln(q) + 20

donde el Costo está dado en dólares. Determine el costo de producir sólo seis unidadestomando dos decimales de exactitud.

Solución.En este caso, las unidades a producir están representadas por q = 6. En consecuencia, sedebe calcular:

C = 2 · 6 · ln(6) + 20 =⇒ C = 12 ln(6) + 20 ≈ 12 · [1,791759469] + 20

De donde se obtiene que:

C ≈ 21,50111363+ 20 = 41,50111363 =⇒ C ≈ 41,50

Por tanto, se necesitan 41 dólares y 50 centavos para producir las seis unidades. �

Ecuación de Oferta.

Problema Resuelto 24.La ecuación que representa la oferta de un fabricante está dada por:

P = log(10+

q

2

)donde q representa a las unidades ofrecidas para un precio P en pesos por unidad. ¿Aqué precio ofertará el fabricante cada unidad, si produce 1980 unidades?

Solución.Se debe calcular la oferta para la cantidad de unidades, entonces:

P = log

(10+

1980

2

)= log (10+ 990) = log(1.000)

Aplicando propiedades de logaritmos, nos queda:

P = log(103) = 3 ·�����:1

log(10) = 3

En consecuencia, al fabricar 1980 unidades, cada unidad costará 3 pesos. �

18

Ecuación de Venta.

Problema Resuelto 25.Después de t años, el número de unidades de un producto vendido por año está dadopor:

q = 1.000 ·(1

2

)[0,08]t

Tal ecuación, recibe el nombre de Ecuación de Gompertz, la cual describe el creci-miento natural en muchas áreas de estudio. Resuelva esta ecuación para t y demuestreque el tiempo en función de la producción está dado por:

t =

log

(3− logq

log 2

)3 log 2− 1

Solución.Aplicando logaritmo vulgar a ambos lados de la ecuación, se obtiene:

logq = log

(1.000 ·

(1

2

)[0,08]t) [

Aplicación delLogaritmo Vulgar

]

= log(1.000) + log

((1

2

)[0,08]t) [

Propiedadlog(a · b) = loga+ log b

]

= log(103) + log

((1

2

)[0,08]t) [

Representaciónen Potencias

]= 3 · log(10) + (0,08)t · log

(1

2

) [Propiedad

log(ab) = b loga

]= 3 ·�����:

1log(10) + (0,08)t · log

(1

2

) [Propiedadloga(a) = 1

]

= 3+ (0,08)t · [log 1− log 2]

[Propiedad

log(ab

)= loga− log b

]

= 3+ (0,08)t · [���* 0

log 1 − log 2]

[Propiedadloga(1) = 0

]Luego,

− log(2)[0,08]t = log(q)−3 =⇒ [0,08]t =3− logq

log 2=⇒ t·log

(2

25

)= log

(3− logq

log 2

)pero de la identidad: 1 = log(10), se obtiene que: log 5 = 1− log 2 y por tanto,

t · [log 2− 2 log 5] = log

(3− logq

log 2

)=⇒ t · [3 log 2− 1] = log

(3− logq

log 2

)Al despejar t, se obtiene el valor esperado. �

ING-CALC-II/Exponenciales - Logaritmos/APT/2019/LATEX